Tài liệu Giáo trình trường điện từ_Chương 1 + 2 pdf

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG
KHOA VIỄN THÔNG II





BÀI GIẢNG








Biên soạn: TS. Phan Hồng Phương







(Lưu hành nội bộ)


TP HCM - 2000

3

Chương Chương I. MỞ ĐẦUI. MỞ ĐẦU

Tương tác điện từ là một trong các dạng tương tác cơ bản trong tự nhiên,
nó được thực hiện thông qua trường điện từ. Trường điện từ tồn tại ngay trong
các hệ vi mô như nguyên tử, phân tử, lực điện từ có cường độ bằng khoảng
2
10
−
lần so với lực tương tác hạt nhân. Ngoài ra ảnh hưởng của trường điện từ
còn có thể được lan truyền dưới dạng sóng trong không gian và trong các môi
trường chất. Trong một số trường hợp ta có thể khảo sát riêng trường điện và
trường từ, tuy nhiên trong đa số các trường hợp trường điện và trường từ có mối
tương quan chặt chẽ.
Trong chương này ta sẽ xét một số khái niệm cơ bản về trường điện từ:
các thông số, đònh luật, … làm cơ sở để khảo sát các chương sau.

I.1 Các đại lượng vector đặc trưng cho trường điện từI.1 Các đại lượng vector đặc trưng cho trường điện từ
Xét hai điện tích điểm q và q
1
dứng yên trong chân không, chọn gốc tọa
độ trùng với vò trí của q, q
1
nằm tại điểm P. Mỗi điện tích đều sinh ra một
trường điện. Lực điện của trường gây bởi q tác động lên q
1
là
r
2
r0
1

E
i
r4
qq
F
r
r
⋅
⋅ε⋅ε⋅π
⋅
=
gọi là lực Coulomb, trong đó
[ ]
m/F
10
9
4
1
9
0
⋅
⋅
π
=ε là
hằng số điện, hay độ thẩm điện của môi trường chân không, r là khoảng cách
giữa q và q
1
.
E
F

r
hướng về phía q nếu q và q
1
trái dấu (lực hút), hướng ra xa q
nếu q và q
1
cùng dấu (lực đẩy).
Xét đại lượng vector






⋅
⋅ε⋅ε⋅π
==
m
V
i
r4
q
q
F
E
r
2
r0
1
e

r
r
r
. Vậy
E
r
chỉ phụ
thuộc vào điện tích
q
tạo ra điện trường và vector bán kính
r
irr
r
r
⋅= . Do đó ta
có thể dùng đại lượng
E
r
để đặc trưng cho điện trường gây bởi
q
tại một điểm
trong không gian.
E
r
gọi là vector cường độ điện trường có đơn vò là
m/V
.
E
r

hướng vào q nếu q < 0, hướng ra xa q nếu q > 0 (hình 1.1).


Hình 1.1
Xét môi trường điện môi được
cấu tạo bởi các phân tử, môi trường này
trung hòa về điện. Nếu đặt điện môi
vào một điện trường, điện môi bò phân
cực (hình 1.2). Mức độ phân cực điện
được đặc trưng bởi vector phân cực điện
P
r
.

Khi đó vector cường độ điện trường tại một điểm trong điện môi được
đònh nghóa như sau:

4
r
2
i
r
4
q
E
r
r
⋅
⋅
ε

⋅
π
=






m
V

trong đó ε là độ thẩm điện của môi trường.





Hình 1.2 Hình 1.3

Ngoài ra, người ta còn đặc trưng cho trường điện bằng vector cảm ứng
điện:







+ε=

2
0
m
c
PED
rrr
.
Với môi trường tuyến tính, đẳng hướng hoặc khi cường độ điện trường
không quá lớn, vector
P
r
tỉ lệ với
E
r
:
EkP
E0
r
r
⋅⋅ε= , trong đó
E
k là độ cảm điện của môi trường.
Khi đó
(
)
EEEk1D
r0E0
r
r
r

r
ε=εε=⋅+ε= , tức ED
r
v
ε= .
r
ε
ε
=
ε
0
là độ thẩm điện của môi trường,
r
ε
gọi là độ thẩm điện tương đối của
môi trường.
Nếu điện tích điểm q chuyển động với vận tốc
v
r
thì tại mỗi điểm trong
chân không ngoài lực điện
E
F
r
còn có lực từ tác dụng BvqF
M
r
r
r
×= , trong đó

B
r
là
vector cảm ứng từ có đơn vò là Tesla [T] (hình 1.3).
Tổng của lực điện và lực từ là lực điện từ hay lực Lorentz:
BvqEqFFF
ME
r
r
r
r
r
r
×+=+= .
Nếu đặt từ môi trong từ trường, từ môi sẽ bò phân cực từ. Mỗi phân tử từ
môi có thể xem như tương đương với một dòng điện chảy khép kín gọi là dòng
điện phân tử. Moment từ của phân tử:
n
iSim
r
r
⋅⋅= , trong đó
n
i
r
là vector pháp
tuyến của mặt có chứa dòng điện phân tử. Gọi
M
r
là vector phân cực từ đặc

trưng cho mức độ bò phân cực của từ môi:






∆
=
∑
=
→∆ m
A
V
m
limM
n
1i
i
0V
r
r
.
Người ta còn đặc trưng cho trường từ bằng vector cường độ từ trường:

5
M
B
H
0

r
r
r
−
µ
=






m
A
,
trong đó






⋅π=µ
−
m
H
104
7
0
là hằng số từ.

Với môi trường tuyến tính, đẳng hướng hoặc khi cường độ từ trường
không quá lớn: HkM
M
r
r
⋅= ,
M
k là độ cảm từ của môi trường.
HHkHB
M00
r
r
r
r
µ=µ+µ= ,
(
)
r0M0
k1
µ
µ
=
+
µ
=
µ
là độ thẩm từ của môi trường







m
H
,
r
µ
gọi là độ thẩm từ
tương đối của môi trường.

I.2 Một số khái niệm khácI.2 Một số khái niệm khác
A. Mật độ điện tích
Mật độ điện tích khối:






∆
∆
=ρ
→∆
3
0V
m
c
V
q

lim
Mật độ điện tích mặt:






∆
∆
=σ
→∆
2
0S
S
m
c
S
q
lim
Mật độ diện tích dài:






∆
∆
=λ

→∆ m
cq
lim
0 ll

Điện tích tổng:
∫
=
C,S,V
dqq ;





λ
σ=
ld
dS
qdV
dq
S

B. Cường độ dòng điện
Các điện tích chuyển động sinh ra dòng điện. Cường độ dòng điện chảy
qua mặt S được đònh nghóa như sau:

[ ]
A
t

q
limI
0t
∆
∆
=
→∆

C. Mật độ dòng điện
J
r

Xét một dây dẫn kim loại có mật độ điện tích khối là ρ (hình 1.4a). Các
điện tích di chuyển dọc theo dây với vận tốc
v
r
. Trong khoảng thời gian ∆t các
điện tích di chuyển được một đoạn
t
v
∆
⋅
=
∆
l . Lượng điện tích đi qua thiết
diện
'S∆
của dây trong thời gian ∆t là
t
'

S
v
'
S
V
'
q
∆
⋅
∆
⋅
ρ
=
∆
⋅
∆
⋅
ρ
=
∆
⋅
ρ
=
∆
l .
Xét trường hợp tổng quát hơn (hình 1.4b): lượng điện tích chảy qua mặt
cắt không vuông góc với trục dây là tSvq ∆⋅∆⋅ρ=∆
r
. Dòng điện tương ứng là:

SJSv
t
q
I ∆⋅=∆⋅ρ=
∆
∆
=∆
r
r

trong đó
vJ
r
r
ρ=
gọi là vector mật độ dòng điện, có đơn vò là






2
m
A
.

6
Dòng điện chạy qua mặt S bất kỳ sẽ là:
∫

=
S
dSJI
r
[A]. Theo đònh luật
Ohm, vector
J
r
liên hệ với cường độ điện trường
E
r
như sau:
EJ
r
r
σ=
σ là độ dẫn điện của môi trường, có đơn vò là






m
S
.

a).

b).
Hình 1.4

I.3 Hệ phương trình Maxwell và điều kiện bờ.I.3 Hệ phương trình Maxwell và điều kiện bờ.
Hệ phương trình Maxwell là tổng hợp của 4 đònh luật cơ bản rút ra từ
kết quả thực nghiệm và được biểu diễn dưới dạng toán học. Đó là các đònh
luật:
– Đònh luật cảm ứng điện từ Faraday;
– Đònh luật lưu số Ampère-Maxwell;
– Đònh luật Gauss đối với trường điện;
– Đònh luật Gauss đối với trường từ.

I.3.1 Đònh luật cảm ứng điện từ FaradayI.3.1 Đònh luật cảm ứng điện từ Faraday
Trường từ thay đổi theo thời gian tạo ra dòng điện cảm ứng.
Công lực điện của trường điện cảm ứng dòch chuyển một đơn vò điện
tích dọc theo đường kín C gọi là sức điện động cảm ứng, có giá trò bằng
∫
=ε
C
C
dE l
r
, tính bằng Volt.
Sức điện động cảm ứng có giá trò bằng và ngược dấu với tốc độ biến
thiên từ thông gửi qua diện tích giới hạn bởi vòng dây kín (hình 1.5):

7

∫∫
−=

SC
dSB
dt
d
dE
r
l
r
(phương trình Maxwell thứ hai dạng tích phân)
Dấu trừ biểu hiện đònh luật Lenz về chiều của dòng điện cảm ứng: dòng điện
cảm ứng luôn có chiều sao cho tác dụng chống lại nguyên nhân sinh ra nó.
Trong hệ SI, đơn vò của từ thông là Weber
[
]
Wb , tương đương với
[
]
sV
⋅

B
r
C
dS
S

Hình 1.5
Theo đònh lý Stockes ta có:
∫ ∫
=

C S
dSErotdE
r
l
r
.
Với mặt
S
bất kỳ không phụ thuộc
thời gian, ta có

( )
SdSErotdS
t
B
dSB
dt
d
SSS
∀−=
∂
∂
=
∫∫∫
r
r
r

⇒

t
B
Erot
∂
∂
−=
r
r
(phương trình Maxwell thứ hai dạng vi phân)

Ví dụ
:
Một cuộn dây bán kính a, có N vòng được nối với điện trở R. Chọn mặt
phẳng Oxy của hệ tọa độ Descartes trùng với mặt phẳng cuộn dây như trên
hình 1.6. Mạch điện này được đặt vào một từ trường biến thiên
(
)
tsini3i2BB
zy0
ω+=
r
r
r
, trong đó ω là tần số góc và s/rad10
3
=ω . Tính:
– Từ thông móc vòng qua một vòng dây;
– Sức điện động cảm ứng trong cuộn dây; cho N = 10, T2.0B
0
=

, a = 10
cm, s/rad10
3
=ω ;
– Dòng điện cảm ứng trong mạch, cho R = 1 kΩ.
♦ Từ thông móc vòng qua mỗi vòng dây là:

(
)
[
]
tsinBa3dSitsini3i2BdSB
0
2
S
zzy0
S
ωπ=⋅ω+==Φ
∫∫
r
r
r
r
[Wb].
Sức điện động cảm ứng trong cuộn dây:

(
)
tcosBaN3tsinBNa3
dt

d
dt
d
N
0
2
0
2
C
ωωπ−=ωπ−=
Φ
−=ε
Thế các giá trò số N = 10, T2.0B
0
=
, a = 10 cm, s/rad10
3
=ω vào công thức
trên:
t10cos5.188
3
C
−=ε [V].

8

Hình 1.6
Tại thời điểm t = 0, 0dtd
>
Φ

và
V5.188
C
−
=
ε
. Lúc này từ thông
đang tăng, do đó theo đònh luật
Lenz dòng điện cảm ứng i phải
có chiều chống lại nguyên nhân
sinh ra nó, tức có chiều như trên
hình 1.6. Suy ra thế tại điểm 2
cao hơn tại điểm 1 và V5.188VV
21C
−
=
−
=
ε
.
Dòng điện cảm ứng i có dạng như sau:

t10cos19.0t10cos
10
5.188
R
VV
i
33
3

12
==
−
= . ♦

I.3.2 Đònh luật lưu số AmpèreI.3.2 Đònh luật lưu số Ampère MaxwellMaxwell
Lưu số của vector cường độ từ trường
H
r
theo đường kín C tùy ý bằng
tổng đại số cường độ các dòng điện chảy qua diện tích bao bởi đường kín C.

∑
∫
=
k
k
C
IdH l
r


[ ]
∫∫
+=
S
S
C
C
dSD

dt
d
IdH
r
l
r

trong đó số hạng thứ nhất
[
]
S
C
I – dòng điện dẫn; số hạng thứ hai
∫
S
dSD
dt
d
r
là
dòng điện dòch theo luận điểm của Maxwell.

C
dS
S
D,J
r
r

D,J

r
r
1
dS
2
dS
1
C
2
C

Hình 1.7 Hình 1.8

Nếu dòng điện dẫn liên tục, ta có
[
]
∫
=
S
S
C
dSJI
r
, và:

∫∫∫
+=
SSC
dSD
dt

d
dSJdH
r
r
l
r
(phương trình Maxwell thứ nhất dạng tích
phân) (xem hình 1.7).
Đối với một mặt kín S ta có (hình 1.8):

9








+=
+=
∫∫∫
∫∫∫
222
111
S
2
S
2
C

S
1
S
1
C
dSD
dt
d
dSJdH
dSD
dt
d
dSJdH
rr
l
r
r
r
l
r

_______________________________________

∫∫
++
+=
2121
SSSS
dSD
dt

d
dSJ0
r
r

⇒

∫∫
−=
SS
dSJdSD
dt
d
r
r

Vậy: Dòng điện dòch qua một mặt kín bằng dòng điện sinh ra do các
điện tích chảy vào trong thể tích giới hạn bởi mặt kín đó.
Để minh họa cho luận điểm về dòng điện dòch của Maxwell, ta xét
mạch điện gồm một tụ điện nối với nguồn. Xét mặt kín như trên hình 1.9. Theo
đònh luật Ampère ta có:
)t(IdSD
dt
d
S
=
∫
r
.
Gọi A là diện tích mặt tụ điện, giả sử trường điện phân bố đều trên mặt tụ

điện. ta có:

( )
)t(IAD
dt
d
=⋅
( )tI
S

Hình 1.9
Vậy giữa hai bản tụ điện có tồn tại dòng
điện qua lớp điện môi có có giá trò bằng
dòng điện dẫn trong mạch, Maxwell gọi là
dòng điện dòch.
Theo đònh lý Stockes ta có:

∫ ∫
=
C S
dSHrotdH
r
l
r
.

Với mặt S bất kỳ không phụ thuộc thời gian:

dS
t

D
dSD
dt
d
SS
∫∫
∂
∂
=
r
r

Từ phương trình Maxwell thứ nhất suy ra:

( )
SdS
t
D
dSJdSHrot
SSS
∀
∂
∂
+=
∫∫∫
r
rr

⇒

t
D
JHrot
∂
∂
+=
r
rr
(phương trình Maxwell thứ nhất dạng vi phân)

I.3.3 Đònh luật Gauss đối với trường điệnI.3.3 Đònh luật Gauss đối với trường điện

10
Thông lượng của vector cảm ứng điện
D
r
gửi qua mặt kín bất kỳ S bằng
tổng các điện tích tự do phân bố trong thể tích bao bởi mặt S.

[
]
V
S
QdSD =
∫
r

Nếu điện tích Q phân bố liên tục trong thể tích V,
ρ
là mật độ điện tích khối

(hình 1.9), ta có:

[
]
∫
ρ=
V
V
dVQ
Vậy
∫∫
ρ=
VS
dVdSD
r
(phương trình Maxwell thứ ba dạng tích phân)
S
dS
D
r
ρ


Hình 1.10
Theo đònh lý divergence ta có:
∫∫
=
VS
dVDdivdSD
r

r

Vậy
( )
VdVdVDdiv
VV
∀ρ=
∫∫
r

⇒

ρ=Ddiv
r
(phương trình
Maxwell thứ ba dạng vi phân)


I.3.4 Đònh luật Gauss đối với trường từI.3.4 Đònh luật Gauss đối với trường từ
Thông lượng vector cảm ứng từ
B
r
(từ thông) gửi qua mặt kín S bất kỳ
bằng 0.

0dSB
S
m
==Φ
∫

r
(phương trình Maxwell thứ tư dạng tích phân)
Đònh luật này thể hiện tính liên tục của thông lượng vector cảm ứng từ
B
r
: các đường sức từ không có điểm bắt đầu và điểm kết thúc, chúng được
khép kín hoặc đi xa vô cùng.
Chú ý: Đònh luật Gauss đối với trường từ được suy ra từ đònh luật
Faraday đối với mặt kín (hình 1.10):







−=
−=
∫∫
∫∫
22
11
S
2
C
S
1
C
dSB
dt

d
dE
dSB
dt
d
dE
r
l
r
r
l
r

_____________________________

∫
−=
S
dSB
dt
d
0
r



B
r
1
dS

2
dS
1
C
2
C


Hình 1.10

11
Điều này đúng với mặt S bất kỳ, do đó:
∫
=
S
0dSB
r
.
Theo đònh lý divergence ta có:
( )
VdVDdiv0dSB
VS
∀==
∫∫
r
r

⇒

0

Bdiv
=
r
(phương trình Maxwell thứ tư dạng vi phân)

I.4 Đònh luật bảo toàn điện tíchI.4 Đònh luật bảo toàn điện tích
Điện tích trong một hệ cô lập về điện không thay đổi.
Dòng điện qua mặt kín S bằng tốc độ thay đổi điện tích trong thể tích V
bao bởi mặt S. Điều này được thể hiện dưới dạng toán học như sau:

∫∫
−=
VS
qdV
dt
d
dSJ
r
(dạng tích phân)
Chú ý: Đònh luật này có thể suy ra từ đònh luật Gauss và đònh luật
Ampère-Maxwell:

∫∫
=
VS
qdVdSD
r
(đònh luật Gauss)

∫∫

−=
SS
dSJdSD
dt
d
r
r
(đònh luật Ampère)
⇒

∫∫
−=
VS
qdV
dt
d
dSJ
r

Theo đònh lý divergence ta có:
( )
VdVJdivSdJ
VS
∀=
∫∫
r
r
r

⇒

t
Jdiv
∂
ρ∂
−=
r


I.6 Các điều kiện bờI.6 Các điều kiện bờ
Điều kiện bờ là giá trò các vector đặc trưng của trường tại mặt biên phân
chia hai môi trường chất khác nhau.
Các điều kiện bờ rút ra từ các phương trình Maxwell dạng tích phân:
















=

=
+=
−=
∫
∫∫
∫∫∫
∫∫
0dSB
qdVdSD
dSD
dt
d
dSJdH
dSB
dt
d
dE
S
VS
SSC
SC
r
r
l
r
r
l
r

12
• Các thành phần tiếp tuyến
Xét khung chữ nhật abcd để vuông góc với bờ S ngăn cách giữa hai môi
trường sao cho khung đối xứng qua mặt S (hình 1.11). Ta có:
0dSB
dt
d
limdElim
S
0bc
0ad
C
0bc
0ad
=−=
∫∫
→
→
→
→
r
l
r

Khi
0S →
: 0EE
cdab
=
+

⇒

(
)
0EEi
21
=∆−⋅
τ
l
r
r
r

Vậy
(
)
0EEi
21
=−⋅
τ
r
r
r
tức
ττ
=
21
EE . Vậy thành phần tiếp tuyến của
E

r
liên tục
trên bờ.
Nếu viết dưới dạng vector, ta có:
ns
iii
r
r
r
×=
τ

⇒

(
)
(
)
0iEEiEEii
s21n21ns
=−×−=−×
r
r
r
r
r
r
r
r
, )abcd(i

s
⊥

⇒
(
)
0EEi
21n
=−×
r
r
r
.

Môi trường 1
Môi trường 2
1
E
r
2
E
r
τ2
E
τ1
E
n1
E
n2
E

a
b
c
d
l∆
l∆
1
dS
2
dS
n1
D
n2
D

Hình 1.11
Bây giờ ta hãy tìm điều kiện bờ cho thành phần tiếp tuyến của vector
cường độ từ trường:
τ
H . Ta có:

44 34421
r
r
l
r
l
0
S
0bc

0ad
S
0bc
0ad
0bc
0ad
dSD
dt
d
limdSJlimdHlim
∫∫∫
→
→
→
→
→
→
+=
mà
(
)
321
r
r
sscdab
iJHH ⋅=+
dòng điện mặt phân bố trên bề rộng l
∆

(dòng điện qua mặt abcd nhưng vì 0bc,ad

→
)

(
)
ss21ns
0bc
0ad
iJHHiidHlim
r
r
r
r
r
r
l
r
=−×=
∫
→
→


(
)
ss21ns
iJHHii
r
r
r

r
r
r
=−×⋅
⇒

(
)
s21n
JHHi
r
r
r
r
=−× hay
s21
JHH
=
−
ττ
.
Vậy thành phần
τ
H không liên tục trên bờ.

• Các thành phần pháp tuyến

13
Xét hình khối đặt vuông góc với bờ S ngăn cách giữa hai môi trường sao
cho đối xứng qua S (hình 1.11).

∫∫
ρ=
→→
V
0ss
S
0ss
dVlimdSDlim
r

mà 0dVlim
V
0ss
=ρ
∫
→
ngoài điện tích mặt. Vậy
SSn2n1
DD
σ
=
ρ
=
−
hay
(
)
S21n
DDi σ=−⋅
r

r
r

Để tìm thành phần pháp tuyến
n
B trên bờ, ta có: 0dSBlim
S
0ss
=
∫
→
r
, suy ra:

( )
0BBi
0BB
21n
n2n1
=−⋅
=
−
rr
r

Vậy thành phần
n
B liên tục trên bờ.
Tóm lại ta có thể tóm tắt các điều kiện bờ trong bảng 1.1, và tóm tắt hệ
phương trình Maxwell trong bảng 1.2.

Bảng 1.1 Tổng kết về các điều kiện bờ
Dạng vector Dạng vô hướng

(
)
0EEi
21n
=−×
r
r
r

(
)
S21n
JHHi
r
r
r
r
=−×
(
)
S21n
DDi σ=−⋅
r
r
r

(
)
0BBi
21n
=−⋅
r
r
r


0EE
21
=
−
ττ

S21
JHH
=
−
ττ

Sn2n1
DD
σ
=
−

0BB
n2n1

=
−


Bảng 1.2 Tóm tắt hệ phương trình Maxwell
Dạng tích phân Dạng vi phân Điều kiện bờ
∫∫∫
+=
SSC
dSD
dt
d
dSJdH
r
r
l
r

t
D
JHrot
∂
∂
+=
r
rr

(
)
S21n

JHHi
r
r
r
r
=−×
hay
S21
JHH
=
−
ττ

∫∫
−=
SC
dSB
dt
d
dE
r
l
r

t
B
Erot
∂
∂
−=

r
r

(
)
0EEi
21n
=−×
r
r
r

hay
ττ
=
21
EE
∫∫
ρ=
VS
dVdSD
r

ρ=Ddiv
r

(
)
S21n
DDi σ=−⋅

r
r
r

hay
Sn2n1
DD
σ
=
−

∫
=
S
0dSB
r

0
Bdiv
=
r

(
)
0BBi
21n
=−⋅
r
r
r

hay
n2n1
BB
=

Các phương trình chất:
ED
r
r
ε
=
;
HB
r
r
µ=
;
EJ
r
r
σ
=
;
Đònh luật bảo toàn điện tích:
t
Jdiv
∂
ρ∂
−=

r



14
I.7 Đònh lý Poynting I.7 Đònh lý Poynting –– Năng lượng điện từNăng lượng điện từ
Xét điện tích điểm dq chuyển động với vận tốc
v
r
trong thể tích V chòu
tác dụng của trường điện từ
E
r
,
B
r
.
Lực điện từ tác dụng lên dq là:
(
)
BvEdqF
r
r
r
r
×+= .
Khi dq chuyển động một đoạn
l
d
lực

F
r
sinh ra công bằng:

(
)
( )
dtvEdq
dEdq
dBvdqdEdq
dBvEdqdFdA
⋅⋅⋅=
⋅⋅=
⋅×⋅+=
⋅×+⋅==
r
r
l
r
l
rr
r
l
r
l
r
r
r
r
l

r

⇒
vEdq
dt
dA r
r
⋅⋅= – công suất trường điện từ sinh ra do điện tích điểm
dq chuyển động.
Ngoài ra dVdq
ρ
=
, ρ có đơn vò là ]m/c[
3
. Suy ra:

dVEv
dt
dA
⋅⋅⋅ρ=
r
r

Mật độ dòng điện dẫn bằng ]m/A[vJ
2
r
r
ρ=
⇒

j
dPdVEJ
dt
dA
=⋅⋅=
r
r

Trong đó dVEJP
V
j
∫
⋅=
r
r
– công suất tiêu tán trường do tỏa nhiệt Joule trong
thể tích V và ]m/W[EJp
3
j
r
r
⋅= là mật độ công suất tiêu tán.
Từ các phương trình Maxwell
t
D
HrotJ
∂
∂
−=
r

rr
;
t
B
Erot
∂
∂
−=
r
r
và hằng đẳng
thức
(
)
HrotEErotHHEdiv
r
r
r
r
r
r
−=× .
⇒

( )
t
D
EJE
t
B

H
t
D
JE
t
B
HHEdiv
∂
∂
⋅−⋅−
∂
∂
⋅−=








∂
∂
+⋅−
∂
∂
−=×
r
rrr
r

r
r
rr
r
rr

⇒

( )
t
B
H
t
D
EJEHEdiv
∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅+⋅=×−
r
r
r
rrrrr

Đặt
(
)
HES

r
r
r
×= . Đại lượng vector này gọi là vector Poynting, có đơn vò là
]m/W[
2
.
Vậy
t
B
H
t
D
EJEPdiv
∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅+⋅=−
r
r
r
rrrr
, suy ra đònh lý Poynting dạng tích phân:

∫∫∫









∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅+⋅=−
VVS
dV
t
B
H
t
D
EdVEJdSS
r
r
r
rrr
r

Đây là công suất trường điện từ truyền qua mặt S vào thể tích V. Số hạng thứ
nhất
∫
⋅
V

dVEJ
r
r
thể hiện công suất tiêu tán trong thể tích V; số hạng thứ hai

15
∫








∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅
V
dV
t
B
H
t
D
E
r

r
r
r
thể hiện công suất ứng với sự thaay đổi năng lượng
trong thể tích V đươc tính bằng
[
]
2
mW .
Vậy vector Poynting HES
r
r
r
×= chính là mật độ dòng công suất.

]W[dV
t
B
H
t
D
E
dt
dW
V
∫









∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅=
r
r
r
r

Giả sử 0B,H,D,E =
r
r
r
r
tại thời điểm
0t =
, suy ra:

∫ ∫
=









∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅=
t
0t V
dtdV
t
B
H
t
D
EW
r
r
r
r
.
Theo điều kiện cho môi trường tuyến tính, đẳng hướng
ED
r
r
ε
=

, ta có:

(
)
t
E
D
t
E
E
t
E
E
t
D
E
∂
∂
⋅=
∂
∂
⋅ε=
∂
ε∂
⋅=
∂
∂
⋅
r
r

r
r
r
r
r
r


( )
t
D
E2
t
E
D
t
D
EDE
t
∂
∂
⋅=
∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅=⋅
∂
∂

r
r
r
r
r
rrr

⇒

( )
DE
t
2
1
t
D
E
rr
r
r
⋅
∂
∂
⋅=
∂
∂
⋅
Tương tự ta suy ra
( )
BH

t
2
1
t
B
H
rr
r
r
⋅
∂
∂
⋅=
∂
∂
⋅ .
Vậy
∫∫
⋅+⋅=
VV
dVBH
2
1
dVDE
2
1
W
r
r
r

r

Đại lượng
]m/J[DE
2
1
w
3
E
r
r
⋅= là mật độ năng lượng điện trường;
]m/J[BH
2
1
w
3
M
r
r
⋅= là mật độ năng lượng từ trường.
Đối với trường điện từ tónh trong thể tích V các phương trình Maxwell
có dạng:
0
Erot
=
r
;
0
Hrot

=
r
, kết hợp với hằng đẳng thức toán
(
)
0HrotEErotHHEdiv =−=×
r
r
r
r
r
r
, ta suy ra:
(
)
(
)
0dSSdSHEdVHEdiv
SSV
∫∫∫
==×=×
r
r
r
r
r

⇒

∫∫









∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅+⋅=
VV
dV
t
B
H
t
D
EdVEJ0
r
r
r
rrr

⇒
constdVBH
2

1
dVDE
2
1
W
VV
=⋅+⋅=
∫∫
r
r
r
r

Vậy năng lượng trường điện từ tónh không đổi theo thời gian.

I.8 Ý nghóa hệ phương trình MaxwellI.8 Ý nghóa hệ phương trình Maxwell


16
• Phương trình 1 và 2 mô tả mối quan hệ giữa hai mặt thể hiện điện và từ của
trường điện từ biến thiên.
t
D
JHrot
∂
∂
+=
r
rr
;

t
B
Erot
∂
∂
−=
r
r

Vậy từ trường và điện trường biến thiên luôn gắn bó kèm theo nhau và luôn có
tính chất xoáy ( 0Hrot;0Erot ≠≠
r
r
).

Trường điện từ có thể biến thiên hoặc không biến thiên theo thời gian.
Giữa các trường điện từ không biến thiên người ta chia làm hai loại: trường
điện từ tónh và trường điện từ dừng.
– Với trường điện từ dừng:
0
t
B
;0
t
E
;0J =
∂
∂
=
∂

∂
≠
r
r
r

⇒

0Hrot;0Erot ≠=
r
r
. Khi đó điện trường có tính chất thế, từ trường có tính chất
xoáy ở những vùng có dòng điện và tính chất thế ở những vùng không có dòng
điện.
– Với trường điện từ tónh: 0Hrot;0Erot;0J;0t/ ====∂∂
r
r
r
. Đây là
trường của các nam châm vónh cửu và các vật mang điện tónh. Điện và từ lúc
này hoàn toàn không phụ thuộc vào nhau, đều có tính chất thế và không có
tính chất xoáy.
• Phương trình 3 và 4 mô tả hình học của mặt thể hiện điện trường và từ
trường.
∫
=
S
0dSB
r
– dòng vector

B
r
luôn chảy liên tục, không có điểm
đầu và điểm cuối.
∫
=
S
QdSD
r
hay
ρ=Ddiv
r
– vector
D
r
có thể có những vùng xuất phát
(
)
0
>
ρ
và những vùng tận cùng
(
)
0
<
ρ
.
D
r

có thể không chảy liên tục, khép
kín khắp nơi như
B
r
.
• Các phương trình Maxwell mô tả quan hệ khăng khít giữa trường và môi
trường chất.
Phương trình
t
D
JHrot
∂
∂
+=
r
rr
thể hiện tính chất xoáy của từ trường,
đường sức từ
H
r
xoay quanh những dòng điện là một dạng chuyển động của
chất;
Phương trình
ρ=Ddiv
r
thể hiện rằng điện trường tỏa ra từ những hạt
mang điện là nguồn của điện trường;
Phương trình
0
Bdiv

=
r
chứng tỏ từ trường
B
r
không có nguồn;
Các hệ số
ρ
σ
ε
µ
,
,,
là các thông số của môi trường.


17
Chương II. Chương II. TRƯỜNG ĐIỆN TỪ TĨTRƯỜNG ĐIỆN TỪ TĨNH VÀ TRƯỜNG ĐIỆNNH VÀ TRƯỜNG ĐIỆN TỪ DỪNG TỪ DỪNG

II.1 Trường điện từ tónhII.1 Trường điện từ tónh
II.1.1 Khái niệmII.1.1 Khái niệm
Trường điện từ tónh là trường thỏa mãn các điều kiện: các đại lượng đặc
trưng cho trường và cho môi trường chất , ,,H,B,D,E σρ
r
r
r
r
không thay đổi theo
thời gian (
0t

=
∂
∂
) và trong trường không có các điện tích chuyển động, tức
không có dòng điện (
0J
=
r
).
Để khảo sát trường điện từ tónh ta dùng hệ phương trình Maxwell:
0
t
D
JHrot =
∂
∂
+=
r
rr
;
0
t
B
Erot =
∂
∂
−=
r
r

ρ=Ddiv
r
; 0Bdiv =
r
.
kết hợp với các phương trình chất cho môi trường tuyến tính, đẳng hướng
HB
r
r
µ= ;
ED
r
r
ε
=
. Vì 0Hrot =
r
, 0Erot =
r
, các phương trình mô tả trường điện và
từ hoàn toàn độc lập với nhau, trường có tính chất thế và ta có thể xét riêng
từng loại trường: trường điện tónh và trường từ tónh.
• Trường điện tónh, chẳng hạn như trường của một hay nhiều điện tích
điểm hoặc các vật tích điện đứng yên, được mô tả bởi hệ phương trình
Maxwell:
0Erot =
r
; ρ=Ddiv
r
và phương trình chất

ED
r
r
ε
=
.
• Trường từ tónh, chẳng hạn như trường của một hay nhiều nam châm vónh
cửu đứng yên. Hệ phương trình Maxwell mô tả trường từ tónh:
0Hrot =
r
; 0Bdiv =
r
, kết hợp với phương trình chất
HB
r
r
µ=
.

II.1.2 Trường điệII.1.2 Trường điện tónhn tónh
A. Khái niệm về thế vô hướng
E
ϕ

Xét một điện tích điểm q đặt trong trường điện tónh
E
r
. Vậy lực điện
trường tác động lên q là:
EqF

r
r
=
Tác dụng lên q một lực ngoài
F
r
−
để di chuyển điện tích q, công ta cần
để dòch chuyển q một đoạn l
d
trong trường là:

l
r
l
r
dEqdF −==−
Vậy công để dòch chuyển q theo một đường kín C (hình 2.1) là

∫
−=
C
dEqA l
r

Theo đònh lý Stockes:
∫∫
=
SC
dSErotdE

r
l
r
⇒
∫
−=
S
dSErotqA
r
mà
0Erot =
r
.

18
Suy ra A = 0, tức 0dEdEdE
2
21
1
2
21
1
P
)bPP(
P
P
)aPP(
PC
=−=
∫∫∫

l
r
l
r
l
r
⇒
∫∫
=
2
P
)
2
bP
1
P(
1
P
2
P
)
2
aP
1
P(
1
P
dEdE l
r
l

r
, trong đó
1
P và
2
P là 2 điểm trên đường kín C (hình 2.1).
Như vậy công dòch chuyển điện
tích q từ
1
P đến
2
P chỉ phụ thuộc
vào vò trí
1
P và
2
P mà không
phụ thuộc vào quãng đường dòch
chuyển.
Nếu q = 1 c (Coulomb) ta có:

∫
−=ϕ=
2
P
1
P
1
2
P

1
P
dE)P(A l
r
.
Hàm số
(
)
)z,y,x(P
EE
ϕ
=
ϕ
gọi
là hàm thế vô hướng (thế năng,
thế điện) ứng với điểm P(x,y,z)
trong trường điện tónh.

1
P
2
P
dS
a
b
S
E
r
C

Hình 2.1
Vì điểm mốc
1
P chọn tùy ý nên khi cho hàm thế vô hướng ta cần nói rõ điểm
mốc. Đối với các điểm mốc khác nhau hàm thế vô hướng tại một điểm cho
trước khác nhau. Tuy nhiên, hiệu các thế vô hướng
1E
ϕ
và
2E
ϕ
tại các điểm
1
P
và
2
P là hoàn toàn xác đònh:

∫∫∫
−=+−==ϕ−ϕ
1
2
2
0
1
0
P
P
P

P
P
P
122E1E
dEdEdEu l
r
l
r
l
r
.
12
u gọi là điện áp từ
1
P đến
2
P , là công dòch chuyển 1 Coulomb từ điểm
1
P
đến điểm
2
P và không phụ thuộc vào đường dòch chuyển.

B. Mối liên hệ giữa
E
r
và
E
ϕ

Ta tìm mối quan hệ giữa thế vô hướng ϕ và vector cường độ điện trường
E
r
. Xét hai điểm cách nhau một đoạn l
d
trong trường điện tónh
E
r
. Lượng tăng
thế giữa hai điểm này là:
ll
r
l
l
l
dEdEdd
E
E
−=−=⋅
∂
ϕ
∂
=ϕ , trong đó
l
E là hình
chiếu của
E
r
theo phương l
d

;
Suy ra:
l
l
∂
ϕ
∂
−=
E
E .
Trong hệ tọa độ Descartes:

19

Ez
E
y
E
x
E
zzyyxx
gradi
z
i
y
i
x
iEiEiEE
ϕ−=









∂
ϕ∂
+
∂
ϕ∂
+
∂
ϕ∂
−=
++=
rrr
r
r
r
r

Vậy
E
gradE ϕ−=
r


C. Phương trình Laplace-Poisson

Thế biểu thức này vào phương trình Maxwell thứ 2 và 4 và sử dụng
phương trình chất cho môi trường tuyến tính, đẳng hướng:






ρ=ε=
=
EdivDdiv
0Erot
rr
r

⇔






ρ=ε=
ϕ−=
EdivDdiv
gradE
E
rr
r

Đối với môi trường tuyến tính, đồng nhất, đẳng hướng
const
=
ε
:
ρ=ϕε−=ε=
E
graddivEdivDdiv
r
r
mà divgrad chính là toán tử Laplace
EE
graddiv
ϕ
∆
=
ϕ
. Vậy ta suy ra phương trình Laplace-Poisson cho điện
trường tónh:

ε
ρ
−
=
ϕ
∆
E

Ở vùng không có điện tích tự do, tức ngoài nguồn thì ρ = 0, khi đó 0
E

=
ϕ
∆
.
Vậy ta có thể viết phương trình này như sau:




ερ−
=ϕ∆
dotự tích điện có khôngvùngở 0
do
tự

tích

điện

có

vùng
ở


E

Đây là phương trình vi phân có đạo hàm riêng. Giải phương trình này ta
tìm được hàm thế vô hướng
E

ϕ
, từ đó tìm vector cường độ điện trường
E
r
.
Trong hệ tọa độ Descartes:




ερ−
=
∂
ϕ∂
+
∂
ϕ∂
+
∂
ϕ∂
=ϕ∆
dotự tích điện có khôngvùngở 0
dotự tích điện có vùngở
2
E
2
2
E
2
2

E
2
E
zyx
.

D. Bài toán bờ và các điều kiện bờ của trường tónh điện
Với phương trình Laplace-Poisson
ε
ρ
−
=
ϕ
∆
E
, trong đó
ρ
và
E
ϕ
là
các hàm số của tọa độ
z,y,x
:
(
)
z,y,x
ρ
=
ρ

,
(
)
z,y,x
EE
ϕ
=
ϕ
, ẩn là
E
ϕ
, điều
kiện bờ là các giá trò
E
ϕ
tại bờ phân chia hai môi trường chất khác nhau.
Có các loại điều kiện bờ như sau:
• Điều kiện bờ Dirichlet: cho trước giá trò )S(
E
ϕ
trên bờ S;
• Điều kiện bờ Neumann: cho giá trò đạo hàm
(
)
nS
E
∂
ϕ
∂
(đạo hàm

E
ϕ

theo chiều pháp tuyến
n
i
r
), tức sự phân bố )S(E
n
trên bờ S (hoặc
)S(D
n
).
Trong thực tế người ta thường gặp các điều kiện bờ Dirichlet khi xét
điện trường giữa các vật dẫn, dây dẫn, các điện cực, …

20
Trong điện trường tónh, bề mặt các vật này đẳng thế:
EnnE2E2E1E1E
)S(;;)S(;)S(
ϕ
=
ϕ
ϕ
=
ϕ
ϕ
=
ϕ
L .

• Điều kiện bờ hỗn hợp trên mặt S ngăn cách giữa hai môi trường bao
gồm:
)S()S(
2E1E
ϕ
=
ϕ
và quy luật chuyển tiếp của
)S(E,E,n
nE τ
∂
ϕ
∂
.
Ta xét một vài ví dụ các loại bờ thường gặp trong kỹ thuật.
1. Vật dẫn (môi trường 1) – Điện môi (môi trường 2)
Hệ phương trình Maxwell trên bờ S:

0
Erot
=
r

)n(Ddiv
S
δ⋅σ=ρ=
r
, trong đó
(
)

n
δ
là hàm Dirac.
Vì trong vật dẫn (môi trường 1) không có điện trường tónh
0D;0E
n11
=
=
τ
, suy ra điều kiện bờ
Sn2n121
D;0D;0EE
σ
=
=
=
=
ττ
.
2. Điện môi 1 – Điện môi 2
Hệ phương trình Maxwell trên bờ S:
0
Erot
=
r
;
0
Ddiv
=
r

, suy ra điều kiện
bờ:
n22n11n2n121
EE;DD;EE
ε
=
ε
=
=
ττ
.

Ví dụ:
1. Tụ điện phẳng có bề dày d đặt dưới một điện áp u (hình 2.5). Cho
0)0(
E
=
ϕ
; u)d(
E
=
ϕ
. Tìm hàm
E
ϕ
và
E
r
.
♦ Theo phương trình Laplace (cho vùng không có phân bố điện tích tự

do):

0
E
=
ϕ
∆
, tức 0
zyx
2
E
2
2
E
2
2
E
2
=
∂
ϕ∂
+
∂
ϕ∂
+
∂
ϕ∂
trong hệ tọa độ Descartes. Vì tụ
điện phẳng, hàm
E

ϕ
chỉ phụ thuộc vào tọa độ x:
⇒
0
x
2
E
2
=
∂
ϕ∂
.
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân trên có dạng:

21E
CxC
+
=
ϕ
.
Để xác đònh các hằng số
21
C,C ta dùng các điều kiện bờ:

0C
2
0x
E
==ϕ
=

uCdC
21
dx
E
=+=ϕ
=

⇒
d/uC;0C
12
=
=

⇒
x
d
u
E
=ϕ
Vậy ta xác đònh được vector cường độ điện trường
E
r
:

xz
E
y
E

x
E
E
i
d
u
i
z
i
y
i
x
gradE
rrrr
r
−=








∂
ϕ∂
+
∂
ϕ∂
+

∂
ϕ∂
−=ϕ−= ♦

21
d
d
+ +
+
+ + + + + +
+
+
+
+
+
-
-
- - - - - - -
-
-
-
-
-
0
E
r
Bản kim loại
Bản kim loại
Điện môi

Hình 2.5

2. Giải bài toán trên, giả sử có tồn tại điện tích giữa hai bản tụ điện với mật
độ
ρ
.
♦ Vì giữa hai bản tụ điện có phân bố điện tích tự do với mật độ khối
ρ
, ta
có phương trình với ẩn
E
ϕ
:
ε
ρ
−
=
ϕ
∆
/
E

⇒

ε
ρ
−=
∂
ϕ∂
2

E
2
x

Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng:
21
2
E
CxC
2
x
++
ε
ρ
⋅−=ϕ
Để xác đònh các hằng số
21
C,C ta dùng các điều kiện bờ:
0C)0(
2E
=
=
ϕ

uCdCd
2
)d(
21
2
E

=++⋅
ε
ρ
−=ϕ
⇒
0C;
2
d
d
u
C
21
=
ε
ρ
+= ;
⇒
x
2
d
d
u
2
x
2
E







ε
ρ
++
ε
ρ
−=ϕ .
Vậy ta xác đònh được vector cường độ điện trường
E
r
:

xx
E
E
i
2
d
d
ux
i
x
gradE
rr
r
⋅













ε
ρ
+−
ε
ρ
=⋅
∂
ϕ∂
−=ϕ−= . ♦

II.1.3 Điện dungII.1.3 Điện dung
Xét một môi trường có độ thẩm điện là ε, độ dẫn điện là σ trong trường
điện tónh. Nếu trong trường này có các điện tích chuyển động thì sẽ hình thành
dòng điện có mật độ
J
r
. Ta có:
EJ
r
r
σ

=
. Viết lại phương trình liên tục:
0
t
Jdiv =
∂
ρ∂
+
r
⇒
(
)
0Ediv
t
=σ+
∂
ρ∂
r
.
Khi
const
=
σ
, ta có: 0Ediv
t
=σ+
∂
ρ∂
r
, mà

ε
ρ
=
ε
= Ddiv
1
Ediv
r
r
. Suy ra:

22
0
t
=ρ
ε
σ
+
∂
ρ∂
⇒
( )
σε
−
ρ=ρ
/
t
0
e .
Nếu môi trường là vật dẫn thì ε << σ, tức ε / σ → 0. Vậy trong một thời điểm

tức thời,
0→
ρ
, tức
J
r
và I → 0. Vậy
0
/JE
=
σ
=
r
r
.
Ngoài ra ta có
E
gradE ϕ−=
r
⇒ 0grad
E
=
ϕ
⇒ const
E
=
ϕ
.
Kết quả phân tích trên cho thấy rằng vật dẫn là vật đẳng thế, bề mặt vật
dẫn cũng là mặt đẳng thế; điện tích chỉ phân bố ở mặt ngoài vật dẫn; trường

điện trong vật dẫn bằng 0.
Bây giờ ta hãy xét một hệ gồm hai vật thể dẫn điện hình dạng bất kỳ, ở
giữà là một điện môi, cả hệ thống tạo thành một tụ điện. Nếu ta nối hai vật thể
với nguồn một chiều, các điện tích dương và âm tập trung trên bề mặt của các
vật thể: vật thể nối với cực dương của nguồn tích điện dương +Q và vật thể nối
với cực âm của nguồn tích điện âm -Q. Và bề mặt vật dẫn luôn là mặt đẳng
thế. Ta đònh nghóa khái niệm điện dung như sau:

u
Q
C =






V
C
hay [F],
trong đó u là điện thế giữa hai vật thể dẫn điện và Q là giá trò điện tích trên
chúng. Các đường sức trường điện của tụ điện trên trong không gian được mô
tả trên hình 2.2. Vector
E
r
luôn luôn vuông góc với bề mặt vật dẫn và có giá trò
trên bề mặt là:

ε
σ

=⋅=
S
nn
EiE
r
r

trong đó
S
σ
là mật độ điện tích mặt. Khi đó ta có thể tính được điện tích Q:

∫∫∫
⋅ε=⋅ε=σ=
SS
n
S
S
dSEdSEidSQ
r
r
r

Điện áp u quan hệ với cường độ điện trường bởi biểu thức đònh nghóa điện áp:

∫
⋅==
2
1
P

P
21
dEuu l
r
, trong đó các điểm
1
P và
2
P nằm trên hai vật dẫn
khác nhau.

23

Hình 2.2
Vậy điện dung được tính như sau:

∫
∫
⋅
⋅ε
=
L
S
dE
dSE
C
l
r
r
.

Giá trò C không phụ thuộc vào
điện trường
E
r
và là đại lượng
đặc trưng của hệ thống hai vật
dẫn trên. C phụ thuộc vào hình
dáng, kích thước, vò trí tương đối
của hai vật dẫn và điện thẩm của
điện môi giữa hai vật dẫn.

Nếu lớp điện môi giữa hai vật dẫn là điện môi không lý tưởng, tức có
một độ dẫn điện σ nào đó thì dòng điện dẫn có thể chảy qua nó (dòng điện rò).
Khi đó tụ điện này còn có điện trở r:

∫
∫
⋅σ
⋅
=
S
L
dSE
dE
r
r
l
r

Ta có

σ
ε
=
rC .
Ta có thể mở rộng khái niệm điện dung cho một hệ thống vật dẫn. Cho
một hệ vật dẫn đánh số 1, 2, 3, …, n mang điện tích
n321
q, ,q,q,q (hình 2.3).
Gọi thế trên các mặt vật dẫn tương ứng là
En3E2E1E
, ,,,
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
. Ta sẽ chứng
minh rằng trong môi trường tuyến tính ta có mối quan hệ như sau:

nnn22n11nEn
nn1212111
1
E
q qq

q qq
α++α+α=ϕ
α
+
+
α

+
α
=
ϕ
.
Thật vậy, nếu ta chọn thế mốc ở xa vô cùng, ta có:

n1E12E11E
S
nS
S
1S1E
dS
r4
1
dS
r4
1
n
n
1
1
ϕ++ϕ+ϕ=σ
πε
++σ
πε
=ϕ
∫∫

Các số hạng

n1E13E12E11E
, ,,,
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
là
các thành phần của
1E
ϕ
ứng với từng điện
tích trên mỗi vật dẫn khi các vật dẫn khác
không mang điện. Theo trường hợp trên
với hệ hai vật dẫn, ta suy ra mỗi
i1E
ϕ
phải
tỉ lệ với
i
q , tức
ii1i1E
q
α
=
ϕ
. Vậy ta có
điều phải chứng minh.

0=ϕ
1

q
2
q
n
q


Hình 2.3

24
Các hệ số
kl
α
gọi là hệ số thế, có ý nghóa vật lý như sau:
kl
α
bằng thế
trên vật l khi vật thứ k có điện tích 1C và các vật cò lại không mang điện.
Nếu môi trường tuyến tính thì
ll kk
α
=
α
.
Quan hệ tuyến tính giữa các thế
En3E2E1E
, ,,,
ϕ
ϕ
ϕ

ϕ
và các điện tích
n321
q, ,q,q,q cũng có thể viết như sau:

Ennn2E2n1E1nn
Enn12E121E111
q

q
ϕβ++ϕβ+ϕβ=
ϕ
β
+
+
ϕ
β
+
ϕ
β
=

Các hệ số
kl
β
bằng lượng điện tích nạp được lên vật dẫn l khi điện thế của
vật k là 1V, còn điện thế của các vật còn lại bằng 0 (nối đất). Tương tự như
trên, nếu môi trường tuyến tính thì
ll kk
β

=
β
.
Gọi điện áp giữa các vật dẫn k và l là
k
u
l
,
EkEk
u
ϕ
−
ϕ
=
ll
. Từ hai hệ
phương trình tuyến tính trên ta có thể viết mối quan hệ giữa các điện tích
n321
q, ,q,q,q của các vật với các điện áp giữa chúng như sau:

nnnn3n3n2n2n1n1nn
n1n11313121210101
uC uCuCuCq

uC uCuCuCq
++++=
+
+
+
+

=

k
k
u
q
C
l
l
l
∂
∂
= là điện tích nạp lên vật dẫn l khi đặt một điện áp giữa vật l và
vật k trong khi các vật dẫn khác, kể cả vật l đều nối đất.
k
C
l
là điện dung bộ
phận giữa vật l và vật k. Ta có thể kiểm tra trường hợp tụ điện gồm hai vật
dẫn cách nhau bởi môi trường điện môi, điện dung bộ phận
12
C khi đó chính là
điện dung của tụ điện.

II.1.4 Trường từ tónh và từ thế vô hướngII.1.4 Trường từ tónh và từ thế vô hướng
Như ta đã biết, hệ phương trình Maxwell đối với trường từ tónh có dạng:








=µ=
=
0HdivBdiv
0Hrot
rr
r

Một ví dụ điển hình của trường từ tónh là trường của nam châm vónh cửu đứng
yên. Các đường sức từ của một thanh nam châm được vẽ trên hình 2.4.
Tương tự như với trường điện tónh ta đònh nghóa từ thế vô hướng
M
ϕ
như
sau:
∫
−=ϕ
2
P
1
P
M
dH l
r

Từ thế vô hướng
M
ϕ

liên hệ với vector cường độ từ trường bởi biểu thức:

M
gradH ϕ−=
r
.

25
N
S
H
r

Hình 2.4

Vậy trường điện từ tónh có phân bố năng
lượng từ trong không gian. Với môi trường tuyến
tính, đồng nhất, đẳng hướng
const
=
µ
, ta có:
0graddivHdivBdiv
M
=ϕµ−=µ=
r
r

ta suy ra phương trình Laplace cho từ thế vô hướng:
0

M
=
ϕ
∆
.


II.1.5 Một số bài toán thường gặpII.1.5 Một số bài toán thường gặp
Trong bài toán trường điện tónh, ta cần tìm sự phân bố trường, tức sự
phân bố của các đại lượng
D,E
r
r
hoặc
E
ϕ
trong môi trường có các vật mang
điện. Bài toán trường điện tónh có dạng:
CdE
E
+−=ϕ
∫
l
r
. Với môi trường
đẳng hướng và đồng nhất ta có phương trình Laplace-Poisson:

ε
ρ
−=ϕ∆

E

với điều kiện bờ:
{
}
0
S
2E1E
=
ϕ
−
ϕ


Sn2n1
DD
σ
=
−
tức
S
2E
2
1E
1
n
n
σ=
∂
ϕ

∂
ε−
∂
ϕ
∂
ε ;

ττ
−
21
EE tức
0
2E1E
=
τ
∂
ϕ
∂
−
τ
∂
ϕ
∂
.
Để giải bài toán trường điện tónh người ta dùng các phương pháp khác
nhau. Ở đây ta chỉ xét một vài phương pháp giải các bài toán thường gặp trong
kỹ thuật.

1. Phương pháp dùng đònh luật Gauss
Phương pháp này dùng để tính điện trường đối xứng qua tâm hình cầu,

hoặc qua trục hình trụ (điện tích điểm hoặc một vật dẫn hình cầu mang điện
đều đặt trong môi trường điện môi nhiều lớp hình cầu đồng tâm, một trục
mang điện hoặc một vật dẫn hình trụ tròn, v.v …).

A. Điện trường của quả cầu mang điện đều

Gọi điện tích của quả cầu là q. Để tìm sự phân bố trường của quả cầu ta
dùng đònh luật Gauss:
qdSD
S
=
∫
r

Ở đây D,E
r
r
chỉ có thành phần xuyên tâm (//
n
i
r
). Chọn mặt S là mặt cầu
đồng tâm với quả cầu và có bán kính r, ta có:

26
qDr4SDdSDdSD
2
SS
=⋅π=⋅==
∫∫

r

⇒
2
r
r
4
q
D
π
= . Vậy ta xác đònh được vector cường độ điện trường:

r
2
r
r
rr
i
r
4
q
i
D
iEE
r
r
r
r
⋅
πε

=⋅
ε
=⋅=
Chọn mốc tính thể tích ở xa vô cùng, ta có:
dr
r4
q
drE)r(
r
2
r
rE
∫∫
∞∞
πε
−=−=ϕ
const
=
ε
:
r
4
q
)r(
E
πε
=ϕ , trong đó ρπ=
3
R
3

4
q (ρ là mật độ điện tích khối
trong quả cầu, R là bán kính quả cầu). Các đường sức điện trường đã được mô
tả trên hình 1.1.

B. Điện trường của dây dẫn trụ tròn

Trong trường hợp này D,E,
E
r
r
ϕ chỉ phụ thuộc vào khoảng cách đến trục
và
rrrr
iDD;iEE
r
r
r
r
⋅=⋅= .
Chọn mặt S hình trụ có bán kính r và chiều cao l , đồng trục với dây dẫn
(hình 2.6). Khi đó:
qr2DdSDdSD
S
r
S
=π⋅==
∫∫
l
r

⇒

l
r
2
q
D
r
π
=

Hình 2.6
Gọi λ là mật độ điện tích dài của dây, ta có
l
⋅
λ
=
q

⇒

r
2
D
r
π
λ
= . Vậy ta tìm được các vector
D

r
và
E
r
:

rr
i
r
2
E;i
r
4
D
r
r
r
r
⋅
ε
π
λ
=⋅
π
λ
= .
Trong môi trường tuyến tính, đẳng hướng
const
=
ε

, ta có

dr
r2
drE)r(
r
r
r
r
rE
00
∫∫
π
ελ
−=−=ϕ ;
0
r là bán kính
thiết diện một mặt trụ nào đó đồng tâm với dây
dẫn mà ta chọn thế trên đó bằng 0. Suy ra:

r
r
ln
2
)r(
0
E
⋅
πε
λ

=ϕ .

2. Dùng nguyên lý chồng trường