CONG THUC ON THI HKI GTHH 12 HAY

CƠNG THỨC ĐẠO HÀM
I. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích và thương:
1) (u  v) u  v
2) (u  v) u   v
 u  u v  uv
  
v2
3) (u.v) u v  uv
4)  v 
II. Các công thức đạo hàm:
Hàm cơ bản
Hàm hợp

(
C
)
1)
=0
1) Không có
2) ( x) = 1

1
3) ( x ) =  x

2) Khơng có

1
3) (u )  u .u

4) (kx) = k

4) (ku ) = k. u 
u
( u ) 
2 u
5)

( x ) 
5)

1
2 x

k
 k 
   2
x
6)  x 
7) (sin x) cos x
8) (cos x)  sin x
1
(tan x)  2
cos x
9)
1
(cotx) 
sin 2 x
10)
x
x
11) (e ) e

x

x

12) ( a ) a ln a
1
(ln x ) 
x
13)
1
(log a x) 
x ln a
14)
1
(log x) 
x ln10
15)

Lưu ý: a) y (biến).(biến)  y (u.v)
 u 
 k 
biến
số


y

y

y

y
 
 
 v  c)
v
biến 
biến 
b)
biến
(biến)
y
y 
số 
số
d)
III. Lũy thừa:
1) a 1
0

k
 k 
   2 .v
v
6)  v 
7) (sin u ) u .cos u
8) (cos u ) u( sin u)
u
(tan u )  2
cos u
9)

u
(cot u ) 
sin 2 u
10)
u
u
11) (e ) u .e
u

2
d) (cos x)  2sin x cos x  sin 2 x
2 ln x
(ln 2 x) 2 ln x .(ln x) 
x
e)

u

12) ( a ) u.a ln a
u
(ln u ) 
u
13)
u
(log a u ) 
u ln a
14)
u
(log u ) 
u ln10

15)

1 2
1
 x 3 
y
3
3
33 x2
16) y  x x 
m mn  1
m

y

.x
n m
n
n
17) y  x  x 
1
3

m mn  1

y

.u .u
n m
n

18) y  u u 
a b
c d
ax  b
ad  bc
y
 y 

2
cx  d
(cx  d )
(cx  d ) 2
Chú ý: a)
m
n

2
ax 2  bx  c  y   adx  2aex  (be  cd )
y
( dx  e)2
dx  e
b)
2
c) (sin x) 2sin x cos x sin 2 x

 b
 
4)  a 

n

a n

2)
 a
 
 b

 1
 
3)  a 

1
 n
a

n

a n

n
1
n

m
n

n m
6) a  a
1

a m .a  n a m . n
a

5) a  a
n

am n

7) a a .a
8)
IV. Lôgarit:

1) a b (b  0,0  a 1)   loga b
mn

m

n

2) log a ( xy ) log a x  loga y
x
loga log a x  log a y
y
3)
loga b
b
4) a

1
log a b  log a b


6)
1
log a  log a b
b
8)
10)

log a n b m 

m
log a b
n


log a b  

12)
1
log a b 
log b a
14)
Chú ý: 1) log a 1 0

5)

log a a 

7)

log a b  log a b

9)

log a n a m 

11)
13)

m
n

loga b loga b
log a b 

logc b
logc a

15) log a c.logc b log a b
2) log a a 1 3) ln1 0

4) ln e 1
5) log1 0
6) log10 1
CÁC PHƯƠNG GIẢI TỐN
A. Tìm tập xác định


1) Hàm số lũy thừa: y  x ( y u )
a) Nếu  nguyên dương. TXĐ: D 

b) Nếu  nguyên âm hoặc  0
ĐK: x 0 (hoặc u 0 ).


D  \  x0 
TXĐ:
, với x0 là nghiệm của ĐK
c) Nếu  không nguyên
ĐK: x  0 (hoặc u  0 ). TXĐ: D (a; b)
Chú ý: 1) Nếu là BPT bậc nhất ax  b  0

b
 x   a với a  0

 x   b với a  0
a
 ax   b  
D
* Nếu x  a . TXĐ: (a; )
* Nếu x  b . TXĐ: D ( ; b)
2
2) Nếu BPT là bậc hai ax  bx  c  0
Dùng MTBT: Mode /  / 1/1/1
* Nếu x  a, b  x . TXĐ: D ( ; a)  (b; )

* Nếu a  x  b . TXĐ: D (a; b)
* Nếu MTBT hiện: All Real Numbers.
TXĐ: D 
2) Hàm số lôgarit: y loga x (hoặc y loga u )
ĐK: x  0 (hoặc u  0 )

Suy ra: TXĐ (như hàm số lũy thừa ở mục c.2)
ax  b
y log a
cx  d
* Đặc biệt:
2
a) Cách 1: (ax  b)(cx  d ) mx  nx  p  0
(thực hiện như mục c.2)
b) Cách 2: * ax  b 0  x  x1

* cx  d 0  x  x2 (giả sử x1  x2 )
D ( x1; x2 )
b.1) Nếu a và c trái dấu. TXĐ:
b.2) Nếu a và c cùng dấu.
TXĐ: D ( ; x1 )  ( x2 ; )
B. Giải phương trình
x
I) Phương trình mũ: a b (*)
1) Nếu b 0 : (*) Vô nghiệm
a x b  x log a b
2) Nếu b  0 :
a f ( x ) b  f ( x ) log a b
Mở rộng:
f (x)
a g ( x )  f ( x ) g( x )
3) Đưa về cùng cơ số: a
2x
x
4) Đặt ẩn phụ: ma  na  p 0
 x loga k

 a x k

 x
  a l   x loga l ( k , l  0 )
(Nếu k  0 hoặc l  0 thì loại)

Chú ý: a) ma  na  p 0 (1)
2
x
Đặt t a  0 , (1)  mt  nt  p 0
2x

x


   0 (  0)

n

 S   0
m

p

P  0

n
m
+ Đề (1) có 2 0 phân biệt  
   0 (  0)


 S  n  0
 
m

P  p 0
n
m
+ Để (1) có 0 duy nhất  
x
x
x
b) PT có dạng ma  nb  pc 0 (2)
(chia 2 vế cho cơ số lớn nhất hoặc nhỏ nhất)
Ví dụ: Cơ số a lớn nhất, ta có: (2) 
x

x

b
c
m  n    p   0
a
 a
 la 2 x  ka x  h 0
II) Phương trình lơgarit:
log a x b  x a b và x  0
b
Mở rộng: log a f ( x ) b  f ( x ) a và f ( x )  0
1) Đưa về cùng cơ số:

 f ( x)  0

g ( x)  0
log a f ( x) log a g ( x)  f ( x)  g ( x)
và 
2
2) Đặt ẩn phụ: m log a x  n log a x  p 0

 x a b1

b2
 x a và x  0
2
Chú ý: PT m log a x  n log a x  p 0 có nghiệm
 a 0

   0 ( 0)
C. Giải bất phương trình
x
I) Bất phương trình mũ: a  b (*)
1) Nếu b 0 : (*) có tập nghiệm T 
2) Nếu b  0 :
a) Với a  1 : (*)  x  log a b
 log a x b1

  log a x b2 

b) Với 0  a  1 : (*)  x  log a b
x
Chú ý: a  b (*)

1) Nếu b 0 : (*) có tập nghiệm T 
2) Nếu b  0 :
a) Với a  1 : (*)  x  log a b
b) Với 0  a  1 : (*)  x  log a b
f ( x)
a g ( x ) (**)
3) Đưa về cùng cơ số: a
a) Nếu a  1 : (**)  f ( x) g ( x)
b) Nếu 0  a  1 : (**)  f ( x)  g ( x)


2x
x
4) Đặt ẩn phụ: ma  na  p  0
(sử dụng MTBT: Mode/  /1/1/? )
Chỗ nào có nghiệm âm loại
II) Bất phương trình lơgarit: log a x  b (*)
b
a) Nếu a  1 : (*)  x  a và x  0
b
b) Nếu 0  a  1 : (*)  x  a và x  0
1) Đưa về cùng cơ số: log a f ( x)  log a g ( x) (**)
 f ( x)  0

a) Nếu a  1 : (**)  f ( x)  g ( x) và  g ( x)  0
 f ( x)  0

f
(
x

)

g
(
x
)
0

a

1

b) Nếu
: (**)
và  g ( x)  0
2
2) Đặt ẩn phụ: m log a x  n log a x  p 0
(sử dụng MTBT: Mode/  /1/1/? )
Lưu ý: Chỗ nào nghiệm âm khơng loại

HÌNH HỌC
V Sđáy .h
1) Thể tích khối lăng trụ:
1
V  .Sđáy .h
3
2) Thể tích khối chóp:
(cạnh)2 3
S
4

Chú ý: 1) Tam giác đều: a)
(cạnh) 3
2
b) Đường cao tam giác đều bằng
1
S  (tích 2 cạnh góc vuông)
2
2) Tam giác vng:
1
S  (cạnh góc vuông)2
2
3) Tam giác vng cân:
* Cạnh huyền = (cạnh góc vng) 2
4) Hình chữ nhật: S dài . rộng
2
5) Hình vng: S (cạnh)

* Đường chéo hình vng d = (cạnh) 2
1
S  (tích 2 đường chéo)
2
6) Hình thoi:
S

(đáy lớn  đáy nhỏ).h
2

7) Hình thang vng:
(với h là chiều cao của hình thang)
3) Tỉ số thể tích của khối chóp:

VS .ABC  SA SB SC 

.
.
SA SB SC
a) VS .ABC

VS .MBC SM SB SC SM

. .

V
SA
SB
SC
SA
b) S .ABC
S

A'

A

S

C'
M

B'
C

A

B

C

B

4) Diện tích xq của hình nón:
S  rl r
* xq
( bán kính; l đường sinh)
S Sxq  Sđáy  rl   r 2
* tp
5) Thể tích của khối nón:
1
V  . r 2 h
3
( h chiều cao của khối nón)
6) Diện tích xq của hình trụ:
S 2 rl r
* xq
( bán kính; l đường sinh)
S Sxq  2Sđáy 2 rl  2 r 2
* tp
7) Thể tích của khối trụ:
V  r 2 h ( h chiều cao của khối nón)
2
8) Diện tích của mặt cầu: S 4r

4
V  r 3
3
9) Thể tích của khối cầu:
PHƯƠNG PHÁP TÌM THỂ TÍCH
3
1) Thể tích khối lập phương: V (cạnh)

2) Thể tích khối hộp chữ nhật: V a.b.c
(với a,b,c là 3 kích thước hình hộp)
(cạnh)3 2
V
12
3) Thể tích khối tứ diện:
4) Thể tích khối chóp tam giác đều
1 (cạnh)2 3
V .
.h
3
4
a) Có chiều cao h :
b) Có cạnh bên b :
1 (caïnh)2 3
V .
. b2 
3
4

 caïnh 3 





3


c) Góc giữa cạnh bên và đáy bằng 
1 (cạnh)2 3 (cạnh) 3
V .
.
.tan 
3
4
3
d) Góc giữa mặt bên và đáy bằng 
1 (caïnh)2 3 (caïnh) 3
V .
.
.tan 
3
4
6
5) Thể tích khối chóp tứ giác đều

2


1
V  .(cạnh)2 .h
3

a) Có chiều cao h :
b) Có cạnh bên b :
2

1
V  .(caïnh)2 . b 2 
3

 cạnh 2 




2



c) Góc giữa cạnh bên và đáy bằng
1
(cạnh) 2
V  .(cạnh)2 .
.tan 
3
2
d) Góc giữa mặt bên và đáy bằng 
1
cạnh
V  .(cạnh)2 .
.tan 
3

2
6) Thể tích khối chóp tam giác có đáy là tam giác
đều và có một cạnh bên vng góc với đáy
a) Góc giữa cạnh bên và đáy bằng 
1 (cạnh)2 3
V .
.(cạnh).tan 
3
4
b) Góc giữa mặt bên và đáy bằng 
1 (caïnh)2 3 (caïnh) 3
V .
.
.tan 
3
4
2
6) Thể tích khối chóp tứ giác có đáy là hình
vng và có một cạnh bên vng góc với đáy
a) Góc giữa cạnh bên SB ( SD ) và đáy bằng 
1
V  .(cạnh)2 .(cạnh).tan 
3

b) Góc giữa cạnh bên SC và đáy bằng  SCA
1
V  .(caïnh)2 .(cạnh 2).tan 
3
c) Góc giữa ( SBC ), (( SCD )) và đáy bằng 
S

1
V  .(caïnh)2 .(caïnh).tan 
3
S

C

A

D

A

1
V  .S ABC .AC.tan 
3

c) Góc giữa mặt bên ( SBC ) và đáy bằng  SBA
1
V  .S ABC .AB.tan 
3
8) Thể tích khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác
đều
A'

A'

C'

C'

B'

B'

A

A

C

C

M

B

B


a) Góc giữa cạnh AB và đáy bằng  ABA
(cạnh)2 3
V
.(cạnh).tan 
4

b) Góc gữa mặt ( ABC ) và đáy bằng  AMA
(cạnh)2 3 cạnh 3
.

.tan 
4
2
9) Thể tích khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác
vng
1
V SABC .AA ( AB.BC ).AA
2

a) Góc giữa cạnh AB và đáy bằng  ABA
V S ABC .AB.tan 

b) Góc gữa mặt ( ABC ) và đáy bằng  ABA
V S ABC .AB.tan 
PHƯƠNG PHÁP TÌM BÁN KÍNH MẶT CẦU
NGOẠI TIẾP HÌNH CHĨP
1) Hình chóp tam giác đều
S
V

r

SA2
2SO

M

H

B

B

C

7) Thể tích khối chóp tam giác có đáy là tam giác
vng và có một cạnh bên vng góc với đáy
1
1 1
V  .S ABC .SA  .( AB.BC ).SA
3
3 2

a) Góc giữa cạnh bên SB và đáy bằng  SBA
1
V  .SABC .AB.tan 
3

b) Góc giữa cạnh bên SC và đáy bằng  SCA

* Tính SO
+ Nếu góc giữa cạnh
bên SA và đáy là 
thì SO OA.tan 

I
A

B
O

2 (cạnh) 3
 .
.tan 
C
3
2
+ Nếu góc giữa mặt bên ( SBC ) và đáy là 
1 (cạnh) 3
 .
.tan 
2
thì SO ON .tan  3
S

M

N


A

2) Hình chóp tứ giác đều

* SA vng góc với đáy

SA2
r
2SO

D

2

 SA   caïnh 3 
r IA  

 

3
 2  

*
6) Hình chóp tam giác có đáy là tam giác đều và
có một mặt bên là tam giác đều nằm trong mặt
phẳng vng góc với đáy

(cạnh) 2
.tan 
2

+ Nếu góc giữa mặt bên ( SAB ) và đáy là  thì
cạnh

.tan 
SO OM .tan 
2
3) Hình chóp tam giác có đáy là tam giác vng
và có một cạnh bên vng góc với đáy
S

B

C

A

4) Hình chóp tứ giác có đáy là hình vng (hoặc
hình chữ nhật) và có một cạnh bên vng góc
với đáy

2

2

2

2

C

 cạnh 3   cạnh 3 
r 
 


 

6
3


 

7) Hình chóp tứ giác có đáy là hình vng và có
một mặt bên là tam giác đều nằm trong mặt
phẳng vng góc với đáy
 caïnh 2   caïnh 3 
r 
 


 

2
6

 

8) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối lập phương
là:

I

SB
r
2

r

I

O
2B

* Tính SO
+ Nếu góc giữa
cạnh bên SA và
đáy là  thì
SO OA.tan 


a

r

(cạnh)2  (cạnh 2)2
2

ĐƠN ĐIỆU
3
2
1) Hàm bậc ba: y ax  bx  cx  d
a) Nếu y 0 vơ nghiệm (hoặc có nghiệm kép)

* Với a  0 thì h/s đồng biến trên TXĐ (trên  )
* Với a  0 thì h/s nghịch biến trên TXĐ (trên 
)
b) Nếu y 0 có 2 nghiệm phân biệt x1  x2
* Với a  0 thì hàm số nghịch biến trên ( x1; x2 ) ;
đồng biến trên ( ; x1 ) và ( x2 ; )

SC
2

* Với a  0 thì hàm số đồng biến trên ( x1; x2 ) ;
nghịch biến trên ( ; x1 ) và ( x2 ; )
d
( f ( x ))
dx
x x

5) Hình chóp tam giác có đáy là tam giác đều và
có một cạnh bên vng góc với đáy
S
d

K
I
C

A
G
B

M

* Dùng MTBT:
CALC x trên
từng khoảng của đáp án
+ Nếu KQ là số dương  Hàm số đồng biến

+ Nếu KQ là số âm  Hàm số đồng biến
Chú ý: Tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch
biến) trên 
* Tính đạo hàm y
* Tính  (hoặc  )
* Hàm số đồng biến trên    0 và a  0
Hàm số nghịch biến trên    0 và a  0
(Dùng MTBT: Mode/  /1/1/?)
Đặc biệt: Tìm m để hàm số đồng biến (hoặc
nghịch biến) trên khoảng (a; b)


d
( f ( x , m))
dx
x x
a) Dùng
CALC c với a  c  b
và CALC m ở từng đáp án (dùng loại trừ)
b) Mode 7: Nhập hàm số f ( x ) ? (thay m ở từng
đáp án). Start a , End b , Step 0,1; 0,2; 0,3; … Dò
bảng ở cột f ( x ) . * Nếu tăng thì hàm số đồng biến
* Nếu giảm thì hàm số nghịch biến  m (nhận)
4
2
2) Hàm trùng phương: y ax  bx  c
a) Hàm số không đồng biến (hoặc nghịch biến)
trên TXĐ (hoặc trên  )
b) Nếu a và b trái dấu thì y có 3 n0 phân biệt

c) Nếu a và b cùng dấu thì y có 1 n0 x 0
(Lập BBT xét dấu y )
ad  bc
ax  b
y 
(cx  d )2
cx  d 
3) Hàm nhất biến:
a) Hàm số không đồng biến (hoặc nghịch biến)
trên trên 
b) Nếu ad  bc  0 thì hàm số đồng biến trên
TXĐ (hoặc trên từng khoảng xác định của nó)
c) Nếu ad  bc  0 thì hàm số đồng biến trên TXĐ
(hoặc trên từng khoảng xác định của nó)
 d a
I ; 
Chú ý: Hàm số có tâm đối xứng  c c 
y

CỰC TRỊ
3
2
1) Hàm bậc ba: y ax  bx  cx  d
a) Nếu y 0 vơ nghiệm (hoặc có nghiệm kép)
thì hàm số khơng có điểm cực trị  Số điểm cực
trị là 0
b) Nếu y 0 có 2 nghiệm phân biệt thì hàm số có
2 điểm cực trị  Số điểm cực trị là 2
Phương pháp
1) Tìm điểm cực trị x  x0

d
( f ( x ))
dx
x x

CALC x0 bằng 0
2) Tìm điểm cực đại x  x0
d
( f ( x ))
dx
x x
CALC x0  0,001 bằng (số > 0)
3) Tìm điểm cực tiểu x x0
d
( f ( x ))
dx
x x
x  0,001
CALC 0
bằng (số < 0)
m
Chú ý: Tìm
để (bậc 3 và trùng phương)
1) Hàm số đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại x  x0


* Tính y, y * Cho y ( x0 ) 0  m ?
* Thay x0 và m vào y
+ Nếu y  0  x0 là điểm cực đại
x

+ Nếu y  0  0 là điểm cực tiểu
x
+ Nếu y 0  0 là điểm cực trị
4
2
2) Hàm trùng phương: y ax  bx  c

a) Nếu a và b trái dấu thì hàm số có 3 cực trị
 Số điểm cực trị là 3
b) Nếu a và b cùng dấu thì hàm số có 1 điểm cực
trị  Số điểm cực trị là 1
Chú ý: a) Ba điểm cực trị A, B, C tạo thành 1 tam
3
giác vuông (hoặc vuông cân)  b  8a 0
b) Ba điểm cực trị A, B, C tạo thành 1 tam giác
3
đều  b  24a 0
ax  b
cx  d
3) Hàm nhất biến:
Hàm số khơng có cực trị
y

GTLN – GTNN

1) Tìm GTLN và GTNN trên khoảng (a; b) ,
(b; ) , ( ; a) , ( ; )
* Bước 1: Chỉ ra TXĐ
x
* Bước 2: Tính y , cho y 0  nghiệm i

* Bước 3: Lập BBT (xét dấu y )
* Bước 4: Kết luận
a) Nếu có duy nhất 1 giá trị cực đại thì giá trị đó là
GTLN của hàm số
b) Nếu có duy nhất 1 giá trị cực tiểu thì giá trị đó
là GTNN của hàm số
2) Tìm GTLN và GTNN trên đoạn [a; b]
* Bước 1: Chỉ ra TXĐ (nếu chưa cho đoạn)
* Bước 2: Tính y , cho y 0  nghiệm xi
* Bước 3: Tính y(a), y(b), y( xi ) với xi  [a; b]
* Bước 4: Kết luận
a) Số nào lớn nhất ở bước 3 thì số đó là GTLN
b) Số nào nhỏ nhất ở bước 3 thì số đó là GTNN
Dùng MTBT: Xóa g( x ) : Shift / Mode /  / 5 / 1
* Mode / 7: Nhập f ( x ) = ?. Start a ; End b ; Step
b a
0,1; 0,2; 0,4; 0,5; 1; … (hoặc Step 19 )
TIỆM CẬN
1) Cách tìm tiệm cận đứng:
* Bước 1: Tìm nghiệm của mẫu
* Bước 2: Thay nghiệm của mẫu vào tử
+ Nếu tử bằng 0 thì loại nghiệm đó


+ Nếu tử khác 0 thì nghiệm đó là TCĐ
2) Cách tìm tiệm cận ngang:
12
Dùng MTBT: Nhập hàm số f ( x ) rồi CALC 10
trở lên nếu ra 1 số cụ thể thì số đó là TCN, tiếp tục
12

CALC  10 cũng ra 1 số cụ thể khác số ở trên thì
số đó là TCN thứ hai.
ax  b
y
cx  d
Chú ý: 1) Đối với hàm nhất biến
(có thể khuyết a , b , d )
a) Tiệm cận cận đứng là:

x 

d
c

a
c
b) Tiệm cận ngang là
c) Số tiệm cận của hàm số này là 2
ax  b
y 2
mx  nx  p
2) Đối với hàm số dạng
y

a) Tiệm cận đứng là nghiệm của mẫu nhưng thay
vào tử phải khác 0
b) Tiệm cận ngang là y 0
y

Đường thẳng y h(m) cắt đồ thị hàm số tại 4

điểm phân biệt  yCT  h(m)  yCĐ

3) Tìm m để phương trình f ( x , m) 0 có 3
(hoặc 4) nghiệm phân biệt
* Bước 1: Biến đổi f ( x, m) 0  f ( x ) h(m)
* Bước 2: Tìm giá trị yCT , yCÑ của hàm số f ( x )
* Bước 3: Để PT f ( x , m) 0 có 3 nghiệm phân
biệt  yCT  h(m)  yCÑ
ĐỒ THỊ HÀM SỐ
3
2
1) Đồ thị hàm số bậc ba: y ax  bx  cx  d
a) Có tâm đối xứng
b) Khơng có đường tiệm cận  Số tiệm cận là 0
c) Đồ thị h/s cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt khi
hàm số có 3 nghiệm phân biệt
Các dạng đồ thị

a

0,
y

0
VN
a  0, y 0 VN
1)

ax 2  bx  c
mx 2  nx  p

3) Đối với hàm số dạng
a) Tiệm cận đứng là nghiệm của mẫu nhưng thay
vào tử phải khác 0
a
y
m
b) Tiệm cận ngang là
4) Đối với hàm số có chứa căn thức bậc hai thì tìm
tiệm cận ngang ta dùng MTBT (như trên)

2) a  0, y 0 n0 kép

a  0, y 0 n kép
0

3) a  0, y 0 2 n0 pb

a  0, y 0 2 n0 pb

SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI HÀM SỐ
1) Tìm tọa độ giao điểm (hoặc số giao điểm, số
điểm chung của hai đồ thị hàm số)
Chẳng hạn: Cho hai hàm số y  f ( x ) và y g( x )
* Bước 1: Giải phương trình f ( x ) g( x ) (1)
* Bước 2: + (1) có 1 n0 duy I  Số giao điểm là 1
+ (1) có 2 n0 phân biệt  Số giao điểm là 2, …
Lưu ý: Nếu tìm tọa độ giao điểm thì thay n0 của
PT (1) vào y  Tọa độ giao điểm là ( x0 ; y0 )
2) Tìm m để đường thẳng y h(m) cắt đồ thị

hàm số y  f ( x )
a) Đối với đồ thị hàm số bậc ba
Đường thẳng y h(m) cắt đồ thị hàm số tại 3
y  h(m)  yCÑ
điểm phân biệt  CT
f ( xCT ). f ( xCÑ )  0
hoặc
b) Đối với đồ thị hàm số trùng phương

4
2
2) Đồ thị hàm trùng phương: y ax  bx  c
a) Có trục đối xứng là trục Oy
b) Khơng có đường tiệm cận  Số tiệm cận là 0
c) Đồ thị h/s cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt khi
hàm số có 4 nghiệm phân biệt


Các dạng đồ thị

a

0,
b

0,
y

0
a  0, b  0, y 0

1)
có 1 nghiệm
có 1 nghiệm

2) a  0, b  0, y 0
có 3 n0 phân biệt

3) Hàm nhất biến:
a) Khơng có cực trị

a  0, b  0, y 0
có 3 n0 phân biệt

y

ax  b
cx  d

 d a
I ; 
b) Có tâm đối xứng  c c 
c) Số tiệm cận là 2
d
x 
c
d) Tiệm cận đứng
a
c
e) Tiệm cận ngang là
Các dạng đồ thị


y

0,
ad

bc
0
1)
y

2) y  0, ad  bc  0