Chuyen de boi duong Toan nang cao 9

Chuyên đề 5: Phơng trình bậc hai
Phần II. kiến thức cần nắm vững
1. Công thức nghiệm:
Phơng trình ax2+bx+c = 0 (a  0) cã  = b2- 4ac
+NÕu  < 0 thì phơng trình vô nghiệm
+Nếu = 0 thì phơng trình có nghiệm kép: x1 = x2 =
b
2a

+Nếu > 0 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 = − b+ √ Δ ; x2 = − b
2a

2a

2. Công thức nghiệm thu gọn:
Phơng trình ax2+bx+c = 0 (a  0) cã ’=b’ 2- ac ( b =2b )
+Nếu < 0 thì phơng trình vô nghiệm
+Nếu = 0 thì phơng trình có nghiệm kép: x1 = x2 =
b
a

+Nếu > 0 thì phơng trình có 2 nghiƯm ph©n biƯt:
'
x1 = − b+ √ Δ ;

'
x2 = b

a

a

3. Hệ thức Vi-ét
a) Định lí Vi-ét:
Nếu x1; x2 là nghiệm của phơng trình ax2+bx+c = 0 (a0)
th× : S = x1+x2 = − b ; P = x1.x2 = c
a

a

b) ứng dụng:
+Hệ quả 1:
Nếu phơng tr×nh ax2+bx+c = 0 (a  0) cã: a+b+c = 0 thì
phơng trình có nghiệm: x1 = 1; x2 = c

a

+Hệ quả 2:

Nếu phơng trình ax2+bx+c = 0 (a 0) có: a- b+c = 0 thì
phơng trình có nghiệm: x1 = -1; x2 = c
a

c) Định lí: (đảo Vi-Ðt)
NÕu hai sè x1; x2 cã x1+x2= S ; x1.x2 = P thì x1; x2 là
nghiệm của phơng trình : x2- S x+P = 0
(x1 ; x2 tån t¹i khi S2 4P 0)
Chú ý:
+ Định lí Vi-ét chỉ áp dụng đợc khi phơng trình có nghiệm
(tức là 0)

+ Nếu a và c trái dấu thì phơng trình luôn có 2 nghiệm trái
dấu
Phần II. bài tập rèn luyện
I. Toán trắc nghiệm
(Mục đích: Củng cố, khắc sâu lí thuyết)
Bài 1: Điền vào chỗ ..... để có mệnh đề đúng
a) Phơng trình mx2+nx+p = 0 (m 0) có = .....
Nếu ..... thì phơng trình vô nghiệm
Nếu ..... thì phơng trình có nghiệm kép: x1 = x2 = .....
Nếu ..... thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 =..... ; x2 = .....
2
b) Phơng trình px +qx+k = 0 (p  0) cã ’= .....(víi q = 2q )
Nếu ..... thì phơng trình vô nghiệm
Nếu ..... thì phơng trình có nghiệm kép: x1 = x2 = .....
Nếu ..... thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 =..... ; x2 = .....
Bài 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề
nào sai
A. Nếu x1; x2 là nghiệm của phơng trình ax2+ bx + c = 0 (a
 0)
th×: S = x1+ x2 = − b ; P = x1.x2 = c
a

a


B. Nếu x1; x2 là nghiệm của phơng trình ax2+ bx + c = 0 (a
 0)
th×: S = x1+ x2 = c ; P = x1.x2 = b

a

phơng trình cã nghiƯm: x1 = 1; x2 = c

a

D. NÕu ph¬ng tr×nh ax +bx+c = 0 (a  0) cã: a-b+c = 0 thì
2

phơng trình có nghiệm: x1 = 1; x2 = c

a

E. Nếu phơng trình ax +bx+c = 0 (a 0) có: a- b+c = 0 thì
2

phơng trình có nghiƯm: x1 = -1; x2 = − c
a

F. NÕu ph¬ng tr×nh ax2+bx+c = 0 (a  0) cã: a+b+c = 0 thì
phơng trình có nghiệm: x1 = -1; x2 = − c
a

G. NÕu hai sè u vµ v cã u+v = S ; u.v = P thì u; v là nghiệm
của phơng trình : x2- S x+P = 0
H. Nếu hai sè u vµ v cã u+v = S ; u.v = P thì u; v là nghiệm
của phơng trình : x2- P x+S = 0
Bài 3: Ba bạn Hùng, Hải, Tuấn cùng tranh luận về các mệnh
đề sau:
A.Nếu phơng trình ax2+bx+c = 0 có a+b+c = 0 thì phơng

trình cã 2 nghiƯm: x1 = 1; x2 = c

a

B.NÕu ph¬ng tr×nh ax +bx+c = 0 cã: a-b+c = 0 th× phơng
2

trình có 2 nghiệm: x1 = -1; x2 = c
a

C.Phơng trình ax2+bx+c=0 có tổng hai nghiệm là b và
a

a

2

hai nghiệm là 3

a

C. Nếu phơng trình ax2+bx+c = 0 (a  0) cã a+b+c = 0 th×

tÝch hai nghiƯm là c

D.Phơng trình 2x2-x+3 = 0 có tổng hai nghiệm là 1 và tích
2

Hùng nói: cả bốn mệnh đề đều ®óng
H¶i nãi: c¶ bèn mƯnh ®Ị ®Ịu sai

Tn nãi: A, B, C đúng còn D sai
Theo em ai đúng, ai sai? giải thích rõ vì sao?
GV:cần khắc sâu hơn về a 0 và khi sử dụng ĐL viet thì
phải có ĐK: 0)
II. Toán tự luận
Loại toán rèn kỹ năng áp dụng công thức
vào tính toán
Bài 1:

Giải phơng tr×nh
a) x2 - 49x - 50 = 0
b) (2- √ 3 )x2 + 2 √ 3 x – 2 – 3 = 0
Giải:
a) Giải phơng trình x2 - 49x - 50 = 0
+ Lời giải 1: Dùng công thức nghiÖm
(a = 1; b = - 49; c = 50)
 = (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601; √ Δ = 51
Do > 0 nên phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
x 1=

( 49) 51
=1 ;
2

x 2=

( 49)+51
=50
2

+ Lời giải 2: ứng dụng của định lí Viet
Do a b + c = 1- (- 49) + (- 50) = 0
Nên phơng trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 = − −50 =50
1
+ Lêi gi¶i 3:  = (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601
Theo định lí Viet ta có :


1. 3x2 – 7x - 10 = 0
2. x2 – 3x + 2 = 0
3. x2 – 4x – 5 = 0
4. 3x2 – 2 √ 3 x – 3
=0

¿
x 1+x 2=49=(−1)+50
x 1 . x2=49=−50=(−1). 50
⇒
¿ x 1=−1
x 2=50
¿{
¿

Bµi 2:

VËy phơng trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 = 50 =50
1

b) Giải phơng trình (2- 3 )x2 + 2 √ 3 x – 2 – √ 3

0

5. x2 – (1+ √ 2 )x + √ 2 = 0
6. √ 3 x2 – (1- √ 3 )x – 1 = 0
7.(2+ √ 3 )x2 - 2 √ 3 x – 2 +
√3 = 0
8. x2 – |x| – 6 = 0

=

Giải:
+ Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm
(a = 2- √ 3 ; b = 2 √ 3 ; c = – 2 – √ 3 )
 = (2 √ 3 )2- 4(2- √ 3 )(– 2 – √ 3 ) = 16; √ Δ = 4
Do  > 0 nên phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
2 √ 3+ 4
− 2 √3 − 4
x 1=
=1 ; x 2=
=−(7+ 4 √ 3)
2(2− √3)
2(2− √3)
+ Lêi gi¶i 2: Dïng c«ng thøc nghiƯm thu gän
(a = 2- √ 3 ; b’ = √ 3 ; c = – 2 – √ 3 )
’ = ( √ 3 )2- (2- √ 3 )(– 2 – √ 3 ) = 4; √ = 2
Do > 0 nên phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt:
− 3+ 2
− 3− 2
x 1= √
=1 ; x 2= √

=−(7+4 √ 3)
2 −√3
2− √3
+ Lêi gi¶i 3: ứng dụng của định lí Viet
Do a + b + c = 2- √ 3 + 2 √ 3 + (- 2 - 3 ) = 0
Nên phơng tr×nh cã nghiƯm:
x1 = 1; x1 = − −2 − 3 =(7+ 4 3)
2 3
*Yêu cầu:
+ Học sinh xác định đúng hệ số a, b, c và áp dụng đúng
công thức
+ áp dụng đúng công thức (không nhẩm tắt vì dễ dẫn
đến sai sót)
+ Gv: cần chú ý rèn tính cẩn thận khi áp dụng công
thức và tính toán
* Bài tập tơng tự:
Giải các phơng trình sau:

Tìm hai sè u vµ v biÕt: u + v = 42 và u.v = 441
Giải
Du u+v = 42 và u.v = 441 nên u và v là nghiệm của phơng trình
x2 – 42x + 441 = 0 (*)
Ta cã: ’ = (- 21)2- 441 = 0
Phơng trình (*) có nghiệm x1 = x2 = 21
VËy u = v = 21
*Bµi tËp tơng tự:
1. Tìm hai số u và v biết:
a) u+v = -42 vµ u.v = - 400
b) u - v = 5 vµ u.v = 24
c) u+v = 3 vµ u.v = - 8

d) u - v = -5 vµ u.v = -10
2. Tìm kích thớc mảnh vờn hình chữ nhËt biÕt chu vi b»ng
22m vµ diƯn tÝch b»ng 30m2
Bµi 3: Giải các phơng trình sau
(phơng trình quy về phơng tr×nh bËc hai)
a) x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0
b)

2x
x 2 − x +8
=
x +1 ( x +1)( x − 4)

c) 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2
d) 3(x2+x) – 2 (x2+x) – 1 = 0
Gi¶i
a) Gi¶i phơng trình x3 + 3x2 2x 6 = 0 (1)
(1)  (x2 - 2)(x + 3) = 0  (x + √ 2 )(x - √ 2 )(x +
3) = 0
 x = - √2 ; x = 2 ; x = - 3
Vậy phơng trình (1) có nghiÖm x = - √ 2 ; x = √ 2 ;
x=-3
b) Giải phơng trình

2x
x 2 x +8
=
x +1 ( x +1)( x − 4)

(2)

Víi §K: x≠ -1; x≠ 4 th×
(2)  2x(x- 4) = x2 – x + 8  x2 – 7x – 8 = 0 (*)


Do a – b + c = 1- (-7) + (- 8) = 0 nên phơng trình (*) có
nghiệm x1 = -1(không thoả mÃn ĐK) ; x2 = 8 (thoả mÃn ĐK)
Vậy phơng trình (2) có nghiệm x = 8
c) Giải phơng trình 5x4 + 2x2 -16 = 10 x2 (3)
Ta cã: (3)  5x4 – 3x2 – 26 = 0
Đặt x2 = t (t 0) thì (3)  5t2 – 3t – 26 = 0
XÐt  = (-3)2 – 4.5.(-26) = 529.  √ Δ = 23
Nªn: t1 = −(− 3)+23 =13 (tho¶ m·n t  0) ;

( ) ( )

x

Bài 4: Cho phơng trình x2 + √ 3 x - √ 5 = 0 cã 2
nghiÖm là x1 và x2 .
Không giải phơng trình hÃy tính giá trị của biểu thức
sau:

Vậy phơng trình (3) có nghiệm x1 = − 13 ; x2 =

x13 + x23

13
5

√

A=
5

d) Gi¶i phơng trình 3(x2+x) 2 (x2+x) 1 = 0 (4)
Đặt x2+x = t . Khi đó (4) 3t2 – 2t – 1 = 0
Do a + b + c = 3 + (- 2) + (- 1) = 0 . Nªn t1 = 1; t2 =
−

x +1

2

1
1
− 4 x + + 3=0
x
x
x+ 2
6
+3=
x −5
2−x
x+

2.5
5
−(− 3)−23
t2 =

=−2 (lo¹i)
2. 5
Víi t = 13  x2 = 13  x = ± 13
5
5
5

√

√

5)2
8.
3. x4 – 5x2 + 4 = 0
4
2
4. 0,3 x + 1,8x + 1,5 = 0
5. x3 + 2 x2 – (x - 3)2 = (x- 9.
1)(x2-2
x
x+1
6.
− 10.
=3

1
3

2

− 1+ √5
2

t2 = − 1  x2+x = − 1  3x2 + 3x + 1 = 0 (*)
3
3
2 = 32 - 4.3.1 = -3 < 0 . Nên (*) vô nghiệm
Vậy phơng trình (4) có nghiệm x1 = 1 5 ; x2 =
2

1+ 5
2

* Bài tập tơng tự: Giải các phơng trình sau:
1. x3+3x2+3x+2 = 0
7. (x2 – 4x + 2)2 + x2 - 4x 2
2
2
2. (x + 2x - 5) = (x - x +
4=0

B = x12 + x22 ;

1

1

C= x +x ;
2
2

2

D=

2

Giải
Do phơng trình có 2 nghiệm là x1 và x2 nên theo định lí
Viet ta cã:
x1 + x2 = − √ 3 ;
x1.x2 = − √ 5
x +x
A = 1 + 1 = 1 2 = − √3 = 1 √15 ;
x 2 x 2 x 1 . x 2 − √5 5
2
B = x12 + x22 = (x1+x2)2- 2x1x2= − √ 3 ¿ −2(− √5)=3+ 2 √ 5

t1 = 1 x2+x = 1 x2 + x – 1 = 0
1 = 12 - 4.1.(-1) = 5 > 0. Nªn x1 = − 1− √5 ; x2 =

1 1
+
;
x2 x2

C=

¿

− √5 ¿2

¿
¿
;
x 21 + x 22 3+2 √ 5
= ¿
x 21 . x 22

D = (x1+x2)( x12- x1x2 + x22) =
(− √ 3)[3+2 √5 ( 5)]=(3 3+3 15)
* Bài tập tơng tự:
Cho phơng trình x2 + 2x - 3 = 0 có 2 nghiệm là x1 và
x2 .
Không giải phơng trình hÃy tính giá trị của biểu thức
sau:
A=
x13 + x23

1 1
+
;
x2 x2

B = x12 + x22 ;

1

1

C= x +x ;
2

2
2

2

D=


2

E=

2

6 x 1 +10 x1 x 2+ 6 x 2
3

3

5 x 1 x 2 +5 x 1 x 2

2

; F=

2

3 x 1 +5 x1 x 2+3 x 2
2

2

4 x 1 x 2+ 4 x 1 x 2

Loại toán rèn kỹ năng suy luận
(Phơng trình bậc hai chứa tham số)
Bài 1: (Bài toán tổng quát)
Tìm điều kiện tổng quát để phơng tr×nh ax2+bx+c = 0 (a 
0) cã:
1. Cã nghiƯm (cã hai nghiƯm)    0
2. V« nghiƯm   < 0
3. NghiÖm duy nhÊt (nghiÖm kÐp, hai nghiÖm b»ng nhau)
=0
4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) > 0
5. Hai nghiƯm cïng dÊu   0 vµ P > 0
6. Hai nghiƯm tr¸i dÊu   > 0 vµ P < 0  a.c < 0
7. Hai nghiƯm d¬ng(lín h¬n 0)   0; S > 0 và P > 0
8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0)  0; S < 0 vµ P > 0
9. Hai nghiệm đối nhau 0 và S = 0
10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau 0 và P = 1
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối
lớn hơn a.c < 0 và S < 0
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dơng có giá trị tuyệt đối
lớn hơn
a.c < 0 và S > 0
(ë ®ã: S = x1+ x2 = − b ; P = x1.x2 = c )
a
a
* Giáo viên cần cho học sinh tự suy luận tìm ra điều kiện
tổng quát, giúp học sinh chủ động khi giải loại toán này

Bài 2: Giải phơng trình (giải và biện luận): x2- 2x+k = 0
( tham sè k)
Gi¶i
’ = (-1)2- 1.k = 1 – k
NÕu ’< 0  1- k < 0 k > 1 phơng trình vô nghiệm
Nếu = 0  1- k = 0  k = 1 phơng trình có nghiệm
kép x1= x2=1
Nếu > 0 1- k > 0  k < 1  ph¬ng trình có hai
nghiệm phân biệt
x1 = 1- 1 k ; x2 =
1+ √ 1− k
KÕt luËn:

NÕu k > 1 thì phơng trình vô nghiệm
Nếu k = 1 thì phơng trình có nghiệm x=1
Nếu k < 1 thì phơng trình cã nghiÖm x1 = 1- √ 1− k ; x2 =
1+ 1 k
Bài 3: Cho phơng trình (m-1)x2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham sè
m)
a) T×m m ®Ĩ (1) cã nghiƯm
b) T×m m ®Ĩ (1) cã nghiƯm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất
đó?
c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hÃy tìm
nghiệm còn lại(nếu có)?
Giải
a) + Nếu m-1 = 0 m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 x =
3
(là nghiệm)
2

+ Nếu m 1. Khi đó (1) là phơng trình bậc hai có: =12- (3)(m-1) = 3m-2
(1) cã nghiÖm  ’ = 3m-2  0  m 2
3

+ Kết hợp hai trờng hợp trên ta có: Với m 2 thì phơng
3
trình có nghiệm
b) + NÕu m-1 = 0  m = 1 th× (1) có dạng 2x - 3 = 0 x =
3
(là nghiệm)
2

+ Nếu m 1. Khi đó (1) là phơng tr×nh bËc hai cã: ’ = 1(-3)(m-1) = 3m-2
(1) cã nghiÖm duy nhÊt  ’ = 3m-2 = 0  m = 2
3

(thoả mÃn m 1)
Khi đó x =



1
1
=
=3
m 1
2
1
3

+Vậy với m = 1 thì phơng trình có nghiệm duy nhÊt x =

3
2


với m = 2 thì phơng trình có nghiệm duy nhất x
3

=3
c) Do phơng trình có nghiệm x1 = 2 nªn ta cã:
(m-1)22 + 2.2 - 3 = 0  4m – 3 = 0  m = 3

4
3
-1=
4

Khi ®ã (1) là phơng trình bậc hai (do m -1 =


1
4

0)
−3

=

−3

Theo ®inh lÝ Viet ta cã: x1.x2 = m−1
1
−

=12 ⇒ x 2=6

4

Vậy m = 3 và nghiệm còn lại là x2 = 6
4
* Giáo viên cần khắc sâu trờng hợp hệ số a có chứa tham
số (khi đó bài toán trở nên phức tạp vàhọc sinh thờng hay
sai sót)
Bài 4: Cho phơng trình: x2 -2(m-1)x 3 m = 0 ( ẩn số
x)
a) Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm x1, x2 với mọi m
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng âm
d) Tìm m sao cho nghiệm số x 1, x2 của phơng trình thoả
mÃn x12+x22
10.
e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m
f) HÃy biểu thị x1 qua x2
Giải
a) Ta cã: ’ = (m-1)2 – (– 3 – m ) =
Do

(

2

m−

1
≥0
2

)

(

m−

1 2 15
+
2
4

)

víi mäi m; 15 >0   > 0 với mọi m
4

Phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Hay phơng trình luôn có hai nghiệm (đpcm)

b) Phơng trình có hai nghiệm trái dấu a.c < 0  – 3 – m
< 0  m > -3
VËy m > -3

c) Theo ý a) ta cã ph¬ng trình luôn có hai nghiệm
Khi đó theo định lí Viet ta cã: S = x1 + x2 = 2(m-1) vµ P =
x1.x2 = - (m+3)
Khi đó phơng trình có hai nghiệm âm S < 0 và P > 0

2(m 1)< 0
−(m+3)> 0
⇔
¿ m<1
m<−3
⇔ m< −3
¿{

VËy m < -3
d) Theo ý a) ta có phơng trình luôn có hai nghiệm
Theo ®Þnh lÝ Viet ta cã: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = (m+3)
Khi đó A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m-1)2+2(m+3) =
4m2 – 6m + 10
Theo bµi A  10  4m2 – 6m  0  2m(2m-3)  0


⇔
¿m ≥0
2 m−3 ≥ 0
¿
¿
¿
m≤ 0
¿
2 m−3 ≤ 0

¿
¿
¿
⇔
¿
¿
¿
m≥ 0
¿
¿
3
m≥
2
¿
¿
¿

VËy m  3 hc m  0
2
e) Theo ý a) ta có phơng trình luôn có hai nghiệm

Theo định lí Viet ta cã:

¿
x1 +x 2=2(m −1)
x 1 . x 2=−(m+3)
⇔.
¿ x1 + x 2=2 m− 2
2 x 1 . x 2=− 2m −6
¿{

¿

 x1 + x2+2x1x2 = - 8
VËy x1+x2+2x1x2+ 8 = 0 là hệ thức liên hệ giữa x1 và x2
không phụ thuộc m
f) Từ ý e) ta có: x1 + x2+2x1x2 = - 8  x1(1+2x2) = - ( 8 +x2)
 x 1=−

8+ x2
1+ 2 x 2

VËy

x 1=−

8+ x2
1+ 2 x 2

( x2 ≠ − 1 )
2

Bµi 5: Cho phơng trình: x2 + 2x + m-1= 0 ( m là tham số)
a) Phơng trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mÃn
3x1+2x2 = 1
1
1
c) Lập phơng trình ẩn y thoả mÃn y 1=x 1+
; y 2=x 2+
x2

x1

với x1; x2 là nghiệm của phơng trình ở trên
Giải

2
a) Ta cã  = 1 – (m-1) = 2 – m
Phơng trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau

'
≥0
P=1
⇔
¿ 2− m≥ 0
m− 1=1
⇔
¿ m≤ 2
m=2
⇔ m=2
¿{

VËy m = 2
b) Ta cã ’ = 12 – (m-1) = 2 m
Phơng trình có nghiệm 0 2 – m  0  m  2
(*)
Khi ®ã theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m
– 1 (2)
Theo bµi: 3x1+2x2 = 1 (3)

Từ (1) và (3) ta có:

+ Gv: cần chú ý sửa chữa những thiếu sót của học sinh,
cách trình bày bài và khai thác nhiều cách giải khác


x 1 + x 2=−2
3 x1 +2 x 2=1
⇔
¿ 2 x 1 +2 x2=−4
3 x1 +2 x 2=1
⇔
¿ x 1=5
x 1 + x 2=−2
⇔
¿ x 1=5
x2=−7
¿{
¿

ThÕ vµo (2) ta cã: 5(-7) = m -1  m = - 34 (tho¶ m·n (*))
VËy m = -34 là giá trị cần tìm
d) Với m 2 thì phơng trình đà cho có hai nghiệm
Theo định lÝ Viet ta cã: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m – 1
(2)
Khi ®ã:
y 1+ y 2=x 1+ x 2 +

x +x

1 1
−2
2m
+ =x 1+ x 2 + 1 2 =−2+
=
x1 x 2
x1 x2
m−1 1 −m

(m≠1)

1
1
1
1
m2
y 1 y 2=( x 1+ )( x 2+ )=x 1 x 2 +
+2=m−1+
+2=
x2
x1
x1 x 2
m− 1
m −1

(m≠1)
 y1; y2 lµ nghiƯm cđa phơng trình: y2 -

2m
.y +

1m

2

m
m1

= 0 (m1)

Phơng trình ẩn y cần lập là: (m-1)y2 + 2my + m2 = 0
*Yêu cầu:
+ HS nắm vững phơng pháp
+ HS cẩn thận trong tính toán và biến đổi

* Bài tập tơng tự:
1) Cho phơng trình: (m 1)x2 + 2(m 1)x m = 0 ( ẩn x)
a) Định m để phơng trình có nghiệm kép.
Tính nghiệm kép này
b) Định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều âm.
2) Cho phơng trình : x2 4x + m + 1 = 0
a) Định m để phơng trình có nghiệm.
b) Tìm m sao cho phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mÃn:
x12 + x22 = 10
3) Cho phơng trình: x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0
a) Chứng minh rằng, phơng trình luôn luôn có hai nghiệm
khi m thay đổi
b) Định m để phơng trình có 2 nghiƯm x1, x2 tho¶ m·n: 1 <
x1 < x2 <6
4) Cho phơng trình bậc hai có ẩn x: x2 2mx + 2m – 1 = 0
a) Chøng tá r»ng phơng trình có nghiệm x1, x2 với mọi m.

b) Đặt A = 2(x12 + x22) – 5x1x2
a) Chøng minh A= 8m2 – 18m + 9
b) T×m m sao cho A=27
c) Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng 2 lần
nghiệm kia
5) Cho phơng trình ; x2 -2(m + 4)x + m2 8 = 0. Xác định m
để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mÃn:
a) A = x1 + x2 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất.
b) B = x12 + x22 x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
c) Tìm hệ thức giữa x1 , x2 không phụ thuộc vào m
6) Cho phơng trình : x2 – 4x – (m2 + 3m) = 0
a) Chøng minh rằng phơng trình luông có 2 nghiệm x1, x2
với mọi m
b) Xác định m để: x12 + x22 = 4(x1 + x2)


c) Lập phơng trình bậc hai ẩn y có 2 nghiệm y1 và y2 thoả
mÃn:
y1 + y2 = x1 + x2 vµ

y1
y
+ 2 =3
1 − y2 1 − y1

7) Cho phơng trình : x2 + ax + 1 = 0. Xác định a để phơng
trình có 2 nghiệm x1 , x2 tho¶ m·n :

x1 2 x 2
+

x2
x1

2

( )( )

>7

8) Cho phơng trình : (m 1)x2 2(m + 1)x + m = 0 (1)
a) Giải và biện luận phơng trình (1) theo m
b) Khi phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2:
* Tìm một hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m
* Tìm m sao cho |x 1 x 2| 2
Bài 174
Cho phơng trình cã Èn sè x : x2 -2(m-1)x – 3 – m = 0
1) Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm sè víi mäi m
2) T×m m sao cho nghiƯm sè x1, x2 của phơng trình
thoả mÃn điều kiện x12+x22
10.
Bài 175
Cho phơng trình bậc hai có ẩn x: x2 2mx + 2m – 1 = 0
1) Chøng tá r»ng ph¬ng trình có nghiệm x1, x2 với mọi m.
2) Đặt A = 2(x12 + x22) – 5x1x2
a) Chøng minh A= 8m2 – 18m + 9
b) T×m m sao cho A=27
3) T×m m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng 2 lần
nghiệm kia
Bài 176
Cho phơng trình: (m 1)x2 + 2(m 1)x m = 0 ( ẩn x)

a) Định m để phơng trình có nghiệm kép.
Tính nghiệm kép này
b) Định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều âm.
Bài 177
Cho phơng trình: x2 (2m 3)x + m2 – 3m = 0

a) Chøng minh r»ng, ph¬ng trình luôn luôn có hai nghiệm
khi m thay đổi
b) Định m để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mÃn:
1 < x1 < x2 <6
Bài 178
Cho hai phơng trình: x2 + x + a = 0 (1)
x2 + ax2 + 1 = 0 (2)
Tìm các giá trị của a để hai phơng trình:
a) Tơng đơng với nhau.
b) Có ít nhất một nghiệm chung.
Bài 179
a) Chứng minh rằng đẳng thức:
(m2 + m + 1)2 + 4m2 + 4m = (m2 + m + 1)2
b) Cho phơng trình: mx2 - (m2 + m + 1)x + m + 1 = 0 (1)
Tìm điều kiện của m để phơng trình (1) có hai nghiệm
phân biệt khác -1
Bài 180
Gọi a,b là hai nghiệm của phơng trình:
x2 + px + 1 = 0
Gọi c,d là hai nghiệm của phơng trình:
y2 + qy + 1 = 0
Chøng minh hÖ thøc: (a – c)(a – d)(b c)(b d) = (p
q)2
Bài 181

Giả sử a và b là hai nghiệm của phơng trình x2+px+1 = 0
Giả sử c và d là hai nghiệm của phơng tr×nh x2+qx+1 = 0
Chøng minh hƯ thøc: (a – c)(b – c)(a + d)(b + d) = q2 + p2
Bµi 182
Cho phơng trình: (m + 2)x2 (2m 1)x – 3 + m = 0
1) Chøng minh r»ng, ph¬ng trình có nghiệm với mọi m.
2) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai
nghiệm phân biệt x1, x2 và khi đó hÃy tìm giá trị của m để
nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
Bài 183
Cho phơng trình : x2 4x + m + 1 = 0
a) Định m để phơng trình có nghiệm.


b) Tìm m sao cho phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mÃn:
x12 + x22 = 10
Bài 184
Cho phơng tr×nh : x2 – 2mx + m + 2 = 0
a) Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm không âm
b) Khi đó hÃy tính giá trị của biểu thøc: E= √ x1 + √ x 2 theo
m
Bµi 185
Cho phơng trình : 3x2 mx + 2 = 0. Xác định m để phơng
trình có hai nghiệm thoả mÃn: 3x1x2 = 2x2 2
Bài 186
Cho phơng trình: x2 2(m – 1)x - m = 0
a) Chøng minh r»ng phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm x1,
x2 với mọi m.
b) Với m 0, lập phơng trình ẩn y thoả mÃn:
1

1
y 1=x 1+ , y 2=x 2+
x2
x1

Bài 187
Cho phơng trình : 3x2 - 5x + m = 0. Xác định m để phơng
trình có hai nghiệm thoả mÃn: x12 x22 = 5/9
Bài 188
Cho phơng trình ; x2 -2(m + 4)x + m2 8 = 0. Xác định m
để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mÃn:
a) A = x1 + x2 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất.
b) B = x12 + x22 x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
c) Tìm hệ thức giữa x1 , x2 không phụ thuộc vào m
Bài 189
Cho phơng trình : x2 – 4x – (m2 + 3m) = 0
a) Chøng minh rằng phơng trình luông có 2 nghiệm x1, x2
với mọi m
b) Xác định m để: x12 + x22 = 4(x1 + x2)

c) Lập phơng trình bậc hai ẩn y có 2 nghiệm y1 và y2 thoả
y1
y
+ 2 =3
1 y2 1 − y1

m·n: y1 + y2 = x1 + x2,

Bµi 190
Cho phơng trình : x2 + ax + 1 = 0. Xác định a để phơng

2

trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mÃn :

x1
x
+ 2
x2
x1

2

( )( )

>7

Bài 191
Cho phơng tr×nh : 2x2 + 2(m + 2)x + 4m + 3 = 0
a) Xác định m để phơng trình có 2 nghiƯm x1, x2
b) Chøng minh r»ng c¸c nghiƯm x1, x2 tho¶ m·n:
2
2
x + x +3 x x ≤ 1+

|

1

1

|

2

(

2

)

Bài 192
Cho phơng trình : ax2 + bx + c = 0 (a
0)
Chứng minh rằng, điều kiện cần và đủ để phơng trình có hai
nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia là: 9ac = 2b2
Bài 193
Cho phơng trình bậc hai: ax2 + bc + c = 0 (a
0).
Chøng minh rằng, điều kiện cần và đủ để phơng trình có hai
nghiệm mà nghiệm này bằng k lần nghiệm kia (k > 0) lµ:
kb2 = (k + 1)2ac
Bµi 194
Chøng minh r»ng phơng trình :
(x a)(x b) + (x b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0
luôn luôn có 2 nghiệm với mọi a, b, c.
Bài 195
Co hai phơng trình :
x2 + mx + 2 = 0 (1)
X2 + 2x + m = 0 (2)
a) Định m để 2 phơng trình có ít nhất một nghiệm chung

b) Định m để 2 phơng trình tơng đơng
c) Xác định m để phơng trình: (x2+mx+2)(x2+2x+m) = 0 có
4 nghiệm ph©n biƯt .


Bài 196
Với giá trị nào của các tham số a và b, các phơng trình bậc
hai:
(2a + 1)x2 (3a – 1)x + 2 = 0 (1)
(b + 2)x2 – (2b + 1)x – 1 = 0 (2)
Cã hai nghiÖm chung
Bài 197
Với giá trị nào của tham số k thì hai phơng trình sau có
nghiệm chung :
2x2 + (3k + 1)x – 9 = 0
6x2 + (7k – 1)x – 19 = 0
Bài 198
Với giá trị nào của số nguyên p , các phơng trình sau đây có
nghiệm chung
3x2 - 4x + p – 2 = 0
x2 – 2px + 5 = 0
Bài 199
Cho phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 víi a, b, c lµ các
số hữu tỷ, a
0, có một nghiệm là 1 + 2 .
HÃy tìm nghiệm còn lại
Bài 200
Tìm tất cả các số nguyên k để phơng trình:
kx2 ( 1-2k) + k – 2 = 0 lu«n lu«n cã nghiƯm số hữu tỷ.
Bài 201

Cho phơng trình bậc hai: 3x2 + 4(a – 1)x + a2 – 4a + 1 = 0
xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x 1 và x2
thoả mÃn hệ thức :

x1 + x2 1 1
= +
2
x1 x2

Bài 202
Cho biết phơng trình: x2 + px + 1 = 0 cã hai nghiƯm lµ a và
b,phơng trình: x2 + qx + 2 = 0 cã hai nghiƯm lµ b vµ c
chøng minh hƯ thøc : (b – a)(b – c) = pq – 6
Bµi 203
Cho các phơng trình : x2 - 5x + k = 0 (1)
x2 - 7x + 2k = 0 (2)
X¸c định k để một trong các nghiệm của phơng trình (2) lớn
gấp 2 một trong các nghiệm của phơng trình (1)

Bài 204
Cho các phơng trình : 2x2 + mx 1 = 0 (1)
mx2 - x + 2 = 0 (2)
Với giá trị nào của m, phơng trình (1) và phơng trình (2) có
nghiệm chung
Bài 205
Giả sử x1 và x2 là hai nghiệm của phơng trình bậc hai:
3x2 - cx +2c - 1 = 0.
1

1

Tính theo c giá trị của biểu thức: S = x + x
1
2
Bài 206
Xác định a để hai phơng trình sau có nghiệm chung :
x2 + ax + 8 = 0
x2 + x + a = 0
Bài 207
Tìm tất cả các số nguyên k để các phơng trình bậc hai:
2x2 + (3k 1)x 3 = 0
6x2 – (2k – 3)x – 1 = 0
a) Có nghiệm chung
b) Tơng đơng với nhau
Bài 208
Cho phơng trình bËc hai: 2x2 + 6x + m = 0. Víi giá trị nào
của tham số m, phơng trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2
3

thoả mÃn:

3

x1 x2
+ 2
x2 x1

Bài 209
Cho biết x1 và x2 là hai nghiệm phân biệt khác 0 của phơng
trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a

0, a,b,c
R). HÃy lập
1 1
một phơng trình bậc hai có các nghiệm là : x , x
1
2
Bài 210
2

2


Biết rằng x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình bËc hai: ax2 +
bx + c = 0 . H·y việt phơng trình bậc hai nhân x13 và x23 làm
hai nghiƯm
Bµi 211
Cho f(x) = x2 – 2(m+ 2)x + 6m + 1
a) CMR: phơng trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m.
b) Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với
m để phơng trình f(x) = 0 có hai nghiệm lớn hơn 2
Bài 212
Cho phơng trình : x2 -2(m + 1)x + m2 + m - 6 = 0
a) Định m để phơng trình có hai nghiệm đều âm
b) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mÃn:

|x 1 x 2 |=50
3

3

Bài 213
CMR: phơng trình :( x + 1)(x+3) + m(x + 2)(x + 4) = 0
Lu«n luôn có nghiệm số thực với mọi giá trị của tham số m
Bài 214
Cho phơng trình bậc hai: x2 - 6x + m = 0. Với giá trị nào
của tham số m, phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mÃn:
x12 + x22 = 72
Bài 215
Giả sử a và b là hai số khác nhau. Chứng minh rằng nếu hai
phơng tr×nh:
x2 + ax + 2b = 0 (1)
x2 + bx + 2a = 0 (2)
Có đúng một nghiệm chung thì các nghiệm số còn lại của (1)
và (2) là nghiệm chung của phơng trình : x2 + 2x + ab = 0
Bài 216
Cho hai phơng trình : x2 + ax + 2b = 0 (1)
x2 + bx + ac = 0 (2)
( a,b,c đôi một khác nhau và khác 0)
Cho biết (1) và (2) có đúng một nghiệm chung. Chứng minh
rằng hai nghiệm còn lại của phơng trình (1) và (2) là nghiệm
của phơng trình x2 + cx + ab = 0

Bài 217
Cho phơng trình: x2 (m 1)x – m2 + m - 2 = 0
a) Chøng minh rằng phơng trình luôn luôn có hai nghiệm
trái dấu với mọi m
b) Với giá trị nào của tham số m, biểu thức: E = x 12 + x22
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 218
Cho hai phơng trình: x2 + a1x + b1 = 0 (1)

x2 + a2x + b2 = 0 (2)
Cho biÕt a1a2
2(b1 + b2). Chøng minh mét trong hai phơng trình đà cho có nghiệm.
Bài 219
Cho ba phơng trình: ax2 + 2bx + c = 0 (1)
bx2 + 2cx + a = 0 (2)
cx2 + 2ax + b = 0 (3)
víi a,b,c ≠ 0. Chøng minh r»ng, Ýt nhÊt một trong ba phơng
trình trên đây phải có nghiệm
Bài 220
Cho phơng trình: x2 2(m 1)x + m2 3m + 4 = 0
a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm pân biệt x 1, x2
thoả mÃn:

1 1
+ =1
x1 x2

b) Lập một hệ thức giữa x1 và x2 độc lập với m
Bài 221
Cho phơng trình: (m + 2)x2 – 2(m – 1)x + 3 – m = 0
a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x 1, x2 tho¶ m·n
hƯ thøc : x12 + x22 = x1 + x2
b) LËp mét hƯ thøc gi÷a x1 và x2 không phụ thuộc vào m
c) Viết một phơng trình bậc hai có các nghiệm là:
x1 =

x 1 1
, x2 =
x 1+1

x 2 1
x 2+1

Bài 222:
Cho phơng trình: x2 + (m+1) + m = 0


a) Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm x 1,
x2 với mọi m
b) Xác định m để biểu thức: E = x12+x22 đạt giá trị bé nhất.
Bài 223
Cho phơng trình; (a 3)x2 2(a 1)x a 5 = 0
a) giải phơng trình khi a =13
b) Xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Bài 224
Cho phơng trình bậc hai: 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0
a) Chøng minh rằng phơng trình luông luôn có nghiệm với
mọi m
b)Tìm m để phơng trình có nghiệm kép.Tìm nghiệm đó
c) Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm phân x 1, x2 tho¶
m·n: -1 < x1 < x2 <1
d) Trong trêng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt x 1x2,
hÃy lập một hệ thức giữa x1 và x2 không có m.
Bài 225
Cho phơng trình: x2 2(m 1)x m + 3 = 0
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có nghiệm với
mọi m
b) Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm đối nhau.
Bài 226

Cho phơng trình: x2 + ax + b = 0. Xác định a và b để phơng
trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mÃn x1 x2 = 5 và
x13 + x23 = 35. Tính các nghiệm đó.
Bài 227
Giả sử phơng trình x2 + ax + b = 0; (a; b; c # 0) co hai
nghiệm phân biệt trong đó đúng một nghiệm dơng x1 thì phơng trình bậc hai: ct2 + bt + a = 0 cịng cã hai nghiƯm ph©n
biƯt trong đó có t1 > 0 thoả mÃn: x1 + t1
2
Bài 228
Cho 2 phơng trình :
ax2 + bx + c = 0 (1)
cx2 + bx + a = 0 (2)

(a, b, c  0 ). Chøng minh r»ng nÕu (1) có hai nghiệm tơng
đơng x1, x2 thì (2) cũng có hai 2 nghiệm tơng đơng x3, x4.
Ngoài các nghiệm đó thoả mÃn x1 + x2 + x3 + x4
4
Bài 229
Không giải phơng trình: 3x2 + 17x 14 = 0 (1)
HÃy tính giá trị của biểu thức: S=

3 x 1 + 5 x 1 x2 +3 x 2
4 x1 x2 + 4 x 1 x 2
2

2

2

2

Víi x1, x2 lµ hai nghiệm của phơng trình (1)
Bài 230
a) Không giải phơng trình, hÃy tính hiệu các lập phơng của
các nghiệm lớn và nghiệm nhỏ của phơng trình
X2 - 85 x+1 5 =0
4

16

b) Với giá trị nào của số nguyên a, các nghiệm của phơng
trình: ax2 + (2a 1)x + a 2 = 0 là các số hữu tỷ?
Bài 231
Cho phơng tr×nh: 2x2 – (2m + 1)x + m2 – 9m + 39 = 0
a) Giải phơng trình khi m =9
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
c) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm mà một nghiệm
gấp đôi nghiệm còn lại. Tìm các nghiệm đó.
Bài 232
Cho phơng trình bậc hai: x2 + ax + b = 0. Xác định a và b
để phơng trình cã hai nghiƯm a vµ b
Bµi 233
Cho f(x) = (4m – 3)x2 – 3(m + 1)x + 2(m + 1)
a) Khi m = 1, tìm nghiệm của phơng trình đó
b) Xác định m để m để f(x) viết đợc dới dạng một bình phơng
c) Giả sử phơng trình f(x) = 0 cã hai nghiƯm ph©n biƯt x 1x2
lËp mét hƯ thức giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m.
Bài 234
Cho x,y > 0 tho¶ m·n hƯ thøc:
√ x( √ x + √ y)=3 √ y ( √ x +5 √ y)(1)

HÃy tính giá trị của biểu thức: E = 2 x + √ xy +3 y
x+ √ xy − y
Bµi 235
Cho phơng trình : x2 2(m 1)x 3 m = 0
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có hai nghiệm
với mọi m
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1x2
thoả mÃn : x12 + x22
10
c) Xác định m để phơng trình cã nghiÖm x1, x2 sao cho:
E = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 236
Cho phơng trình bậc hai:
ax2 + bx + c = 0
px2 + qx + r = 0
cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung.
Chøng minh r»ng ta có hệ thức: (pcar) 2 = (pbaq)(cq
rb)
Bài 237
Cho phơng trình:
x2 + ax + b = 0 (1)
x2 – cx – d = 0 (2)
C¸c hƯ sè a, b, c, d tho¶ m·n: a(a–c)+c(c–a)+8(d–b) >
0
Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét trong hai phơng trình đà cho
có hai nghiệm phân biệt .
Bài 238
Giả sử phơng trình bậc hai: x2 + ax + b = 0 có hai nghiệm

nguyên dơng. Chứng minh rằng: ax2 + bx2 là một hợp số.
Bài 239
Giả sử phơng tr×nh bËc hai: x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0
Cã hai nghiƯm ph©n biƯt x1, x2. Xác định m để biểu thức
E = x12 + x22 + 10x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính min E
Bài 240
Cho biết phơng trình: x2 (a 1)x + 1 = 0 có hai nghiệm
x1, x2; Xác định a ®Ó biÓu thøc M = 3x 2 + 5x1x2 + 3x2 đạt giá

trị nhỏ nhất. HÃy tìm nghiệm trong trờng hợp M đạt giá trị
nhỏ nhất.
Bài 241
Cho phơng trình: x2 + px 1 = 0 (p là số lẻ) cã hai nghiƯm
ph©n biƯt x1x2; Chøng minh r»ng: nÕu n là số tự nhiên thì: x 1n
+ x2n và x1n+1 + x2n +1 đều là các số nguyên và chúng nguyên tố
cùng nhau.
Bài 242
Cho phơng trình bậc hai: x2 2(m + 1)x + 4m = 0
a) Chøng minh r»ng với mọi m phơng trình luôn luôn có
nghiệm. Tìm m để phơng trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm
kép đó.
b) Xác định m để phơng trình có một nghiệm x = 4. Tính
nghiệm số còn lại.
Bài 243
Cho phơng trình bậc hai: x2 – mx + m – 1 = 0. Cã hai
nghiệm x1, x2. Với giá trị nào của m, biểu thøc
R=

2 x 1 x 2+ 3
x 1 + x 2 +2(1+ x 1 x2 )

2

đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn

2

nhất đó.
Bài 244
Cho a là số thực khác -1. HÃy lập một phơng trình bậc hai
có 2 nghiệm x1, x2 thoả mÃn các hệ thức:
4x1x2 + 4 = 5(x1 + x2) (1)
(x1 – 1)(x2 – 1) =

1
a+1

(2)

Bµi 245
Cho a 0. Giả sử x1 và x2 là nghiệm của phơng trình
X2 ax -

1
=0
2
2a

Chứng minh rằng: x14 + x24 2+ 2
Dấu đẳng thức xẩy ra khi nào.
Bài 246

Cho a 0, giả sử x1, x2 là nghiệm của phơng trình:


1
=0
2
a

x2 ax

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: E = x14 + x24
Bài 247
Cho phơng trình bậc 2: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0
a)Với giá trị nào của tham số a, phơng trình có nghiệm kép.
b) Xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt lớn
hơn -1
Bài 248
Cho phơng trình: x2ax+a1 = 0 có hai nghiệm là x1 ,x2.
a) Không giải phơng trình, hÃy tính giá trị của biểu thức:
M=

3 x 1 + 3 x 2 −3
x1 x2 + x1 x2
2

2

2

2

b) Tìm giá trị của a để: P = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 249
Cho phơng trình: x2 – (2m + 1)x + m2 + m – 1 = 0
a) Chứng minh rằng, phơng trình có nghiệm víi mäi m
b) Chøng minh r»ng, cã mét hƯ thøc giữa hai nghiệm không
thuộc vào m.
Bài 250
Cho phơng trình: ax2 + (ab + 1)x + b = 0
a) Chøng minh rằng với mọi a,b phơng trình đà cho đều có
nghiệm.
b) Muốn cho phơng trình đà cho có nghiệm duy nhất bằng
1
2

thì a và b phải bẳng bao nhiêu?

Bài 251
Cho phơng tr×nh : x2 – 2mx – m2 – 1 = 0 (1)
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có hai nghiệm
x1, x2 với mọi m
b) Tìm biểu thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m

c) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm x 1, x2 thoả
mÃn:

x1 x2
5
+ =
x2 x1

2

Bài 252
Cho phơng trình : (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = 0 (1)
a) Giải và biện luận phơng trình (1) theo m
b) Khi phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2:
* Tìm một hệ thức giữa x1, x2 độc lập ®èi víi m
* T×m m sao cho |x 1 − x 2| 2
Bài 253
Cho phơng trình : x2 2x – (m – 1)(m – 3) = 0
a) Chøng minh rằng: phơng trình luôn luôn có nghiệm với
mọi m
b) Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm không âm.
c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm. Xác định m để biểu thức
E = (x1 + 1)x2 đạt giá trị lớn nhất.
Bài 254
Cho phơng trình : x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 = 0
a) Chøng minh r»ng ph¬ng trình luôn luôn có nghiệm với
mọi m.
b) Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mÃn
x1 = x22.
Bài 255
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng tr×nh x2 – 3x + a = 0
Gäi t1, t2 là hai nghiệm của phơng trình : t2 12t + b = 0
Cho biÕt :

x 1 x2 t 1
. TÝnh a vµ b
= =
x 2 t 1 t2