Chuyen de toa do trong khong gian

Mục
1

lục

TỌA ĐỘ TRONG
In

1.2
1.3

KHÔNG

GIAN.

ẽšãẽ ẽăaaiiiiii
1.1.1
Hé truc toa do.

1.1.2
Cong thite va cdc tinh chat.
Một số đều lưu ý

©...

Ặ Q Q

Ẻ

Một số bài tốn.
1.3.1

Bài tốn tìm toa d6 véctd. . 2.
. . Q.2
1.3.2
Bài tốn tìm tọa độ điểm
............ c2
1.3.3
Một số bài tốn về thể tích và điện tích................
1.3.4
Bài tốn tham số


Chương

1

TỌA ĐỘ TRONG
1.1

KHÔNG

GIAN.

Lý thuyết.

1.1.1

Hệ trục tọa độ.

Hệ gồm

ba trục tọa độ Ĩz,Ĩy,Oz

góc @#z

đơi một vng góc được gọi là hệ trục tọa độ vng

trong khơng gian.

cà

e 2(0;0;0) gọi là góc tọa độ.
e ()z là trục hoành.

e Oy là trục tung.
e Oz la truc cao.

—> 7

/#|=[3]=[F] P= Fe=
ei

EK

la cac vécto don vi trén cắc truc Ox, Oy, Oz.

s

“d---..d

3

«L7. GLE. VLE.
« 7/7 =0, 7g =07#=0
° mm
=. 7.
-7, mm

⁄
Ấy
=7

Các mặt phẳng tọa độ (Oz), (Owz), (Ozz) đơi một vng góc.

M €Oz<> M(z;0;0)

se M€

M eOyu<

s AM € (Oyz)S M(0;
y; z)

M(0;;0)

M € Oz & M(0;0; z) ơ

(Ozy)
< M(z;y;0)
rz)âđ M(z;0;z)
>

e M(x; y; 2) 6 OM =x. 7 + y. 7 +2.k.
TÈ =(#:u;z)

©œ T

=z.Ê

+0. Ÿ

—>

+z.k

ay

0


Chuyên đề tọa độ trong không gian.

Trường THPT

Dương Háo Học

e Cho diém
+ Diểm N
+ Diễm P
+ Diém Q
+ Diém R

M(x; y; 2). Khi
đối xứng với M
đối xứng với M
déi xttng vdi M
đối xứng với M

1.1.2

d6
qua
qua
qua
qua

góc
trục
truc
trục

tọa
Ĩz
Oy
Oz

độ
1A
là
lA

là WN(—z :—; —2).
P(x; —y ;—Z).
Q(—2; y; —2).
R(—2x;—y; z).

Cơng thức và các tính chất.

a) Trong hệ trục toa d6 Oxyz.

e) Cho TỶ — (#i;i;z4), ở = (2:2; Z2)

Cho A(xva; ya; 24), B(@p; yp; ZB). Khi đó:

và số thực k tùy ý, ta có:

e AB

« ư + Ư

= (01

6 t

= (đi — đai

=

AB

(ap —asyp

— yarn

— 2a)

= V(#p — #A)? + (Us — ya)? + (28 — Za)?

e Toa độ trung điểm I của đoạn thắng AB

I

LATLB YATYB
2
`
2_

b) Cho AABC

2A TT 2B
2

e (v= /e+y+2

ee

ee

3

3

â t

Cho t



?

UATn

(1:1: Z1);

eô [,]= ( A
Ù2

_

TC

LH,

A =

22

?

2ALZH

2c LZD

—

29

(%3; Yo} 22).

Z1

1

22

#2

đồng phẳng © [#, ở].

)

khi

ty

Yi

LQ

Ù2

71.2

1.2

+

Y1-Y2

+

21.29

=

TỶ.

mcd

+ 1.U2 + Z1-22

V#Ÿ + yt + z7. 33 + ys + 25

đó

)

tức là
Ly

=

k2

#1

Y1

Z1

+2

Y2

22

Uị
= kụa - hay — = T— = —
Z1
Với

—

kz

(%2, J2, Z2

z 0)

e z, ứ cùng phương <> Tư, ở] =ữ

= 0

số cơng thức diện tích và thể tích.

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

=

° tỶ, Trị cùng phương <> t =È.Ư

)

ev lvsewv.v
=0
*Một

Z1

e|[ở, ]|=[#|.[#|.sin (ở, ở)

1a

ef’,Vv) Lv: [vv] Lv
e , ứ,

@

° cos (WT)

véi A(x4; ya; 24),

Toa d6 trong tam ttt dién ABCD

d)

=

ev.v =|U|.|7|.cos (77, ở)

3

B(xp; yp; 2B), C(«03 yo; 2c), D(xp; yp; Zp)

(oteeteotep.

Ly

véi A(x; ya; 24), B(@B; yB; ZB),

c) Cho tit diện ABCD

E

— yas 21 — 22).

ek.v = (kay: ky; kz)

là

C(2co; yc; 2c). Khi dé trong tam AABC 1a

ee

— Ư

Ð 8211 + 9a 24 + 25):

3


Trường THPT

Chuyên đề tọa độ trong không gian.

Dương Háo Học

* Diện tích tam giác ABC

* Diện tích hinh binh hanh ABCD

A

A

sac
= 2 Í8, SẺ]
B

C

2

* Thé tích khối hộp A8ŒD.A!B'Œ!D!
B

* Thé tich khéi tt? dién ABCD
A

C

A’

D'

—>

Vapcapc = || AB, AD] AA

* Thé tich khéi lăng trụ AĐŒ.A'E'Œ

A

sac = ||A8, 8)

1

c

VABC.A!BCŒ: — 3 | [AB, AC|

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

—y

AA’

D

Vaspcp = : | [AB, AC|

-AD|


Trường THPT

1.2

Chuyên đề tọa độ trong không gian.

Dương Háo Học

Một

số đều lưu ý

e Ba điểm A,B,C thắng hàng khi và chỉ khi

e Bồn điểm A,B,C,D là bốn đỉnh của một

tứ diện (bốn điểm A,B,C,D không đồng

[4B, AC] = 0
e Da điểm A,B,C

phẳng) khi và chỉ khi

khong thang hang

đỉnh của một tam giác )khi và chỉ khi

(38,ở] .AÖ z0

(ba

[4B, AC] + ở
e Cho điểm Ä/(z;;z). Khi đó
+ Điểm N đối xứng với M qua góc tọa độ

e Cho điểm Ä/(z;; z). Khi đó
+ Diem A⁄ đối xứng với M qua (Oz)
My (x;y; —2).

là N(—z; —; —2).
+ Điểm P đối xứng với M qua trục Óz là

là

+ Điểm 1⁄¿ đối xứng với M qua (OØøz) là

P(a;—y; —2).

Ma(—#; 9; 2).

Q(—#;: —2).

Ma(x; —y; 2).

+ Điểm Q đối xứng với M qua trục Oy là

+ Diểm Ä⁄¿ đối xứng với M qua (Ozz) là

+ Điểm R đối xứng với M qua trục Óz là

l(—#: —U; 2).

e Cho điểm Ä/(z;;z). Khi đó

+- Hình chiếu của điểm
T(z;0; 0).
+ Hình chiếu của điểm

M

trên Ĩz

là

M

trên

Ĩy

là

+ Hình chiếu
K (0;0; z).

M

trén

Oz

IA

J(0;y; 0).

e Góc ABC

của

điểm

e Cho diém M(x; y; z). Khi d6

+ Hình chiéu cia diém M trén (Ory) là

Ny (x;

Á›(0:0:2).

+ Hình chiêu của điểm M trên (Øzz) là
N3(x;0; 2).
e Góc giữa hai đường thắng BA, BC dudc
tính bởi cơng thức

được tính bởi cơng thức
——>

cos ABC

= cos (BA, BC)

450).

+ Hình chiêu của điểm M trén (Oyz) là

= _BABC_

_JE4L|mđ

cos (BA, BC) =

cos (BA, BC)|

e Tìm các điểm đặt biệt trong tam giác.
Xét tam giác ABŒ
+ Trong tam cua tam giác là

(ARE

3

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

ee
)

Se
3

Ae)
3

BÀ nở

A

cI


Trường THPT Dương Háo Học

Chuyên đề tọa độ trong không gian.

AH 1 BC

-+E Trực tâm H của tam giác ABC ©

BH

1 AC

=

AH, AB, AC
+ H la chan duGng

dong phang.

All.BỞ =0

BH.AC

(AB, AC)AH

cao ctia tam giác hạ từ đỉnh A khi

All L BC
lộn

nẻ

All BỎ =0
cùng phương

»

Lần

nà

=ÿ

+ D là chân đường phân giác trong của A của tam giác ABC

khi

AB
,
,
AB
Hay điểm D chia đoạn BC theo thỉ sơ k = ———
AC

oP

được tính theo công thức

_ tp —kre

Tk

— WB — ÈUc

JD—

DS

1g.

_ 2B
— kze

Tk

+ E la chân đường phân giác ngồi của góc A của tam giác ABC
AB
,
,
AB
Hay điểm D chia đoạn BC theo thỉ sơ k = ac
LE

Ứ

được tính theo cơng thức

#bB — ko

= ——

1=k

_ MB — kyc
YE
—“1-ƑE.

>„

Ứ

— ZB — kZƠ

1=k

+ Toa d6 tam I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

* Cách 1:
Gọi Ƒ(œ;b;c) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

khi đó

IA? = IB?

IA?
= IB?

IB? = IC?

© 4 ID? =IC2

AB, AC, AT dong phang

(AB, AỞIAÌ = 0

* Cách 2:

- Lập phương trình mặt phẳng (ABC)

- Lập phương trình mặt cầu (S) qua bén diém O, A, B,C.

- Xác định tâm và bán kính đường trịn giao tun ctia (S) va (ABC).
e Tìm

các điểm đặt biệt trong tứ diện.

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

6

=0

khi

= 0


Trường THPT Dương Háo Học

Chuyên đề tọa độ trong không gian.

Xét tứ diện ABCD
+ Trọng tâm tứ diện là

.=—--=-=-=_ắ-ẽe.=a
4

+ H la chan đường
* Cách

:

4

:

4

cao của tứ diện hạ từ đỉnh A khi

1:

All L BỞ

AH.BC =0

AH L BD
BH, BC, BD dong phẳng
* Cách

= {AH BD =0
(BC, BDIBH = 0

2:

- Lập phương trình mặt phang (BCD).

- Lập phương trinh dudng thang A qua A vudng géc (BCD)

-Khi do H = AN (BCD)

+ O là tâm

mặt

cầu ngoại tiếp tứ dién ABCD.

* Cách 1:
O(a; b;c) lA tam mat cau ngoai tiép tit diện ABCD khi
OA? = OB?

cœ

OB? = OC?

Hệ phương trình với 3 ấn
a,b,c

* Cách 2:
- Lập phương trình mặt cầu qua bốn điểm A,B,C,D.

- Suy ra tâm mặt cầu cần tìm.

1.3
1.3.1

Một

số bài tốn.

Bài tốn tìm tọa độ véctd.

Bài tốn

1.3.1.

Tìm tọa độ các véctơ sau.

a) @=-27 4+ 7

d)d

=37 -47 45k

Lời giải.

@ =(-2:1:0)

w@ = (1;-2:0)

b) b =77 —8k

c) @=-9F

e)t= 7-37

b=(7;0;-8)

Dứ-=3/+5(ÿ-#)

=(00;-9)

ở =(3;5;—5)

—>

đ=(8;:-4;5)

Bài toán 1.3.2. Cho ba vécto @ = (2;3;1), b = (1;—2;—1),
vécto d sao cho aod

= 3; bả

=4;

đ.d

=2

Lời giải.
Goi d = (x; y; Z)
Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

ĩ

=(—2:4;3). Xác định


Trường THPT Dương Háo Học

Tacéd4 52

@.d
b.d
od

=3
=4

eG

=2

Chuyên đề tọa độ trong khơng gian.

2z+ 3U +z =3
@&4x-2y-—7z=4

L=
© 4 =_-ư5

—2z + 4ụ + 3z = 2

z=

S©

d=

(4; —5; 10)

10

* Luu y. |@|? = @?

Do đó

(a+
(@Suy ra

(a+

—)\ 2

i’)

Lắc

—\2

i’)

= #?+

—\2

0)

>

>

=

=

b?+2.đ.bù.

—~@?4

b?-27@.0.

—\2

+(¢@-7)
—I2

=2(@?+
—)\ 2

=(#+

i’)

>

—~ 9?

—

b?)

>

>

462427.6

>

= la |? + | b ? + 2) a. | b |. cos( đ,

a0

—I2

—\2

=(#- 9)

>

>

a- —6

tử

2

b )

>

=#?+ b?_3ở.b
>

=[#|+|b|2—2[3|.|Đ.|.eos(#,
Suy ra

>

>

b})

>
=2(\@P+/0/)

Áp dụng lưu ý trên cho bài toán sau.

Bài toán 1.3.
1. 3. Cho hai vécto @, Đ tạo với nhau một góc 600. Biết | đ | = 5; | Đ |=8

Tìm [# + b| và [# — ĐÌ
Lời giải.
‘Ta có

‘a + —|2
b) =|@P

+] —>0/2 +2/7].] —6]. cos(@, —>b)

= 25 + 64 + 2.5.8.
cos 60°
— 129

>|#+ b|= v19
Tương tự

2

—>

t~ĐỊ =[#l2+|[BIP —2[|[B-eos(, Đ)
= 2ð + 64 — 2.5.8. cos 60°
= 49

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

8


Trường THPT Dương Háo Học

Chuyên đề tọa độ trong không gian.

Bài tốn 1.3.4. Cho @ = (1;—3;4).
a) Tìm z; z để véctơ

b = (2;g;z) cùng phương với a.

b) Tim toa do @ sao cho a, ở ngược hướng và [đ|= 2| #|
Lời giai.

a) ở, b ngược hướng khi

b) Goi @ = (x;y; 2).
Theo gid thuyét ta c6 @, đ nên

lể|=2[#|= đ=-2

v= —-2

>

4=

z=-8

Vay @ = (—2; 6; 8)

* Bai tap tuong tu
—>

z

Bai 1. Cho ba vécto@ = (2;—5;3), b = (0;2: `.

a) Ø

=8 —4b -92

c) +

b+ ở

Bài 2. Cho ba vécto a=

cho đ.+` =4;

bì? =4đ_—4b
+3
1

tad

e) + ở = Ở

= (1:7;2). Xác định véctơ # biết

— sb

+38e

Ð +28= b

(3; —2; 4),

b.+=3ð; đ.3 =0.
—>

mắc

Bài 3. Cho [đ | v3;|b|=2
=
và góc giữa
@ va b bang 30°. Tim |@
—>
Bài 4. Cho [ở| = 13;|b|=
19 và [# + —>b | = 24, Tính |
—>

đ—

—>

b|

= bị—>

mắc

Bai 5. Cho |[đ|=3:|b| = õ và góc giữa
@ va b bing 120°. Tim |@
>
>
>

—>

a — b|

Bai 6. Cho [@| = 26;|6 | =28 va |@ + b| = 28. Tính | - bị
—>

Bai 7. Cho @ = (3;—2;4), b = (5: ree
Tim

@

sao cho @.2

= (—3;0; 2).

= 4:

=

Bai 8. Cho @ = (2;3;1), b = (5;6;4

a) Tinh cosin góc của hai vécto @ va
b) Tim@ biếtđ L 3; ể Lv b và ở = (z;g;]1).

Bài 9. Trong không gian với hệ trục tọa độ Ozwz cho & = (2:3; 1),

(3; 2; —4).
a) Chttng minh @, Đ . # không đồng phẳng.

b) Phân tích d=

(4; 12; —3) theo ba vécto a. +. ẻ

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

9

Đ = (5;7;0),

C=


Trường THPT Dương Háo Học

Chuyên đề tọa độ trong không gian.

Bài 10. Cho ba véctơ = (3:2 <1),0 = (—4 1:2), @ = (6;3:7),d = (—7;—9; —26).
Đ

a) Chitng minh rang@a,b. ẻ khơng dđồnng phẳng.
b) Phân tích véctơ đth heo ba véctơ #, b„ ở.
t

Bài 11. Cho ba véctơ # = (2;—1;3), B = (1;3;-1),@ = (3:1:1),d = (6; —4;8).
a) Ching minh ring @, b, @ khong dong phang.
b) Phân tích véctơ ‘d. theo ba vécto a,b, ?.

Bai 12. Cho ba vécto @ = (2:3; 1),

b = (5;7:0), @ = (3;—2;4),d = (4;12;—3).

—>

a) Chitng minh rang a,b,
¢ khong dong phang.
)
b) Phân tích véctơ đ theo ba véctở #,bĐ b, ở.

1.3.2

Bài tốn tìm tọa độ diễm

2

¬

tọa độ điểm

D sao cho

Bài tốn 1.3.5. Cho @ = (3;—5;6) va M(0;6;2). X4c dinh diém N sao cho MN = ở.
Lời giải.
Goi N(x; y; Z)

—>

Ta cé: MN

= (x;y — 6; 2 — 2)

tử = (3;—5;6)
4w =

Vì MỸ
= tư nên

wW=

¿—-6=-—5

«@Ằ$u=I

z-2=6

Bài

tốn

AC= BD

1.3.6.

Lời giải.

Đặt 2(z;;z).

AỞ = (6:3;
—5)
DỦ=

tr

z=8

A(1;2;3), B(1;2;—3), C(7;4;—-2).

Tim

Khi đó

Tụ

à A

Cho

= N(3;1;8)

8z + 3)
nên

#—l

=6

y-2

=2

z+3

=-5

L=7
$4y=H=

z=-8

Vậy D(7; 4; —8)
Bài tốn

1.3.7.

Cho A(2;—1;5), B(5; —5; 7), C(11; —1; 6), D(5; 7; 2).

a) Chứng minh rằng ABŒ

là hình thang.

b) Tim diém M(x; y;1) sao cho A,B, M thang hang.

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

10


Trường THPT Dương Háo Học

Lời giải.
a) Chứn ne ae
Ta có A

Vi

Chuyên đề tọa độ trong không gian.

.
là aa thang.
)và CD = —6; 8; —4)

3

T4

6
Nén

8

AB, CD

Mà BỞ =

2

cùng phương

1) va AD = (3;8; —3)

Suy ra a va F 3 ko
cùng phương.
Vậy ABŒD) là hình thang.

b) Tìm điểm M(a;y;1) sao cho A,B, M thang hang.
Ta c6 AM
A, B,M

= (a — 2;y
+ 1; -—4) _,

thang hang © AB

= kAM

Hay

œ—2_

0+l_ -4

3-4

Suy ra

2

x — 2 _ 9
3

U+1_

_

“sy

r=—4

2ø

—4

[-

Vay M(—4; 7; 1)
Bài toán 1.3.8. Cho A(—2;1;3), 8(5;—2;1). Tìm tọa độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ

số k = —2. Dường thắng AB cắt mặt phẳng (ÓOzy) tại C. Tìm tọa độ điểm C.
Lời giải.

Điểm M chia đoạn AB theo theo tỉ số k # 1

uM

Ä⁄/
MÃ = kMB.

— #A—

Â#p

—

kyp

1E

MA —

được tính bởi cơng thức.

YM = man

— ZA— kzp

“MS

Tk

2
Vay diém
M (2;8 -1;2 3
Gia stt dudng thang AB cat (Oxy) tai C theo ti sé k nén C(x; y;0)
ta có

za—kzp

CTI
Mà zœ =0 nên

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

3—k
—

1—k

3-&k

Tk

=05k=3
11


Trường THPT Dương Háo Học

Chuyên đề tọa độ trong không gian.

Do đó điểm Œ chia đoạn AB theo tỉ số k = 3.
Suy ra
— #Ak#@p

“CTI k
_

MA—

—-2—-35

Eụn

_

1=

wo (Lo)

l1—&

Vay

17

1-3.

3{—3)

2

_ 7

1-3

2

17
7
Œ [| —:—-:0

Bài toán 1.3.9. Cho A(1;2;—1), Ø(2;—1;3),C(—4;7;ð) tạo thành một tam giác. Tìm
tọa độ điểm D là chân đường phân giác trong hạ từ đỉnh B của tam giác ABC.

Lời giải.

Ta có

AB = (1;—3;4) > AB = v26
BC = (—6;8;2) > BC = 2%
Goi D(x; y; z).

Theo tính chất đường phân giác ta có
DA

AB

1

1

—>

——=——==_-DA=_-ÙC=
DC
BC
2
2
>

2

1

DẦ=_—-Ï)

1

Hay điểm
D chia đoạn AC theo theo tỉ 80 k= —5.
Do dé

(

1

Lp
#A

—

mm

ya — kyo

yo = ———_
1—k

Zz

5

=

za

—

=\ 9D

“T2
_ 245.7
1

kzo

11

TT"

+

—

3

2,

—_—___

1—k

2

__4
=

3

I

1+

Zp

”

=

—=l+.5
¬..

i 1
75

2 11
VayD| -—s:37 ql
3
Bài toán 1.3.10.
tam giác ABC.

2

k#œ

#b=—————

.

—=

I+-(-3)

Cho A(0;1;2), B(2; —2;1),C(—2;0; 1). Tìm tọa độ điểm trực tâm của

Lời giải.

Gọi Hí(a;b; c)

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

12


Trường THPT Dương Háo Học

Chuyên đề tọa độ trong không gian.

Ta có
AB = (2;—3;—1)

AC = (—2;-1;-1)
= [AB, AC] = (2; 4;—8)
AH = (a;b— 1;e— 3)
=[A8, AỞ|ATÌ = 3a + 4b — 8e + 19
CH

= (a+2;b:c—1)

BH

=(a—2:b+2;c—1)

Để H là trực tâm của tam giác ABC thì

FA8, AỞ|AH =0
CH 1 AB
BH

([A6, AỞ|AH =0
= ’ CH.AB =0

1 AC

| BH.AC

2ø + 4b — 8e+ 12 =0
42(a+3)—3b—e+1=0

©

= 0

—2(a—2)—b—2—c+I=0

Í2q -} 4b— 8e = —12
&

a=0

< 2a —-3b-—c=—5

©

4b—Ì]
c=2

—28—b—c=-ä

Vay H(0; 1; 2)
Bai toan

1.3.11.

Cho A(1; —1;0), B(2; 2; 1), C(13; 3; 4).

a) Chitng minh rang A,B,C là ba đỉnh của một tam giác.

b) Tìm tọa độ điểm E 1A chan dudng phan giác trong của góc A của tam giác ABC.

c) Tìm tọa độ chân đường cao H vẽ từ D của tứ diện ABCD với (1; 1; 1).
Lời giải.
Ta có

= (1:3:1)
> AB = vĩ
AỞ

Vi 12
l

= (12;4;4) > AC =4V/11

x 7 Nên ba điểm A,B,C là ba đỉnh của một tam giác.
3

2?

b) Ta có E là chân đường phân giác trong góc A của AA BC
AB

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

1

13

nên


Trường THPT Dương Háo Học

Suy ra

Chuyên đề tọa độ trong khơng gian.

(

1

WE

1L”

1+

1
{YE

=

.

11

8

0

9

9

c) * Cách
1:

i+}

5

1
=

1

_7nT12C
°

21

1+-

1”

1+

1

1+3

TT

142

4

4

=—

5

8
9

Gọi Hí(a;b;c;)

Ta cé AB = (1;3;1), AC’= (12; 4;4)
"na Oy
DH

=(a—

AI

1;b— 1;c— ])

=(a—1;b+1;e)

Vì H là hình chiếu của D trên (ABC) nên

DH 1. AB

DH.AB =0

Dif 1 AC
AH, AB, AC dong phng

â 4 Di A =0
(AB, AC).AH =0

â

a+3b+ce=5

43a+b+ec=5
a+b4ce=0

10

a=

ô

42p9
c=-

Vay



10

H

* Cỏch

10

9

Oo
9

5

9 2)

Ta có AB = (1;3;1),
4Ở = (12:4;4)
(AB, AC] = (8:8: —32)
ee

( ABC):)

Qua A(1; —1;0)
oe

oxr-1
x

++

1-—4z=0Z
%-E— —4z=0

4z

Mặt khác

A:

Qua ua D(1;1;1)
5
1;
‘3 1 (ABC)

=.

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

Qua ua D(1:1;1)
5 15
a

on

t = (1;1;—4)
14

>

pelt
=l+/
ọ

\ r At

z=l—

t€R


Trường THPT Dương Háo Học

Chuyên đề tọa độ trong không gian.

Khi đó # = An(ABC)

Thế z = 1+;

=1+t;z = 1-— 4f vào phương trình (1BŒ) ta được

1+t+14+t-4(1-4t) =0et=Vay

10
(=

10

9 ”9”9

5

)

* Bài tập tương tự.
Bài 1. Cho A(1;0;—2), 5(2;1;—1),C(1;—2; 2)

a) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABŒ.

b) Tìm tọa độ trung điểm các cạnh của tam giác ABC.
c) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác.
Bai 2. Cho hai điểm A(2;4;—3),

B(5;—7;1). Tim N trên trục z“Óz cách đều hai điểm

A,B.

Bài 3. Cho tam giác ABC biết A(1; 0; -2), B(—2;1;1), C(1; -3; —2). Goi D 1A diém chia
doan thang AB theo ti sé 2 vA E 1A điểm chia đoạn thắng BC theo tỉ số —2.
a) Tim toa độ điểm D va E.

b) Tinh cosin góc tạo bởi hai véctơ AD va AE.

Bài 4. Cho ba điểm A(3; 0; 4), B(1;2;3), C(9;6; 4). Tim toa độ điểm D sao cho ABCD là
hình bình hành.

Bai 5. Cho ba điểm A(—1;3;2), (3; 4:0), (0; —1;3). Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD
là hình bình hành.

Bai 6. Cho M(2;—1;4) va I(—3;2;5). Tìm điểm A⁄' đối xứng với M qua I.

Bài 7. Cho điểm M trên trục Óy cách đều hai điểm A(—4;3;2), B(—1;2;—3).
Bai 8. Cho ba điểm A(7;ð;1), Ø(4;5;—2), C(3;4;2). Tìm điểm thuộc mặt phẳng (Oxy)
cách déu ba diém A,B,C.

Bai 9. Cho ba diém A(1;0;0), B(0;0; 1), C(2;1;1). Tim toa dé diém D sao cho ABCD 1a
hinh binh hanh.

Bài 10. Cho hình hộp ABC'D.A'B'C'D

c6 A(1;0;1),

B(2;1;2),

D1; -1;1), C’(4; 5; —5).

Tìm tọa độ các điểm cịn lại.

Bài I1. Cho hình bình hành ABCD

với A(—3;—2;0),

điểm D và tính góc giữa AỞ và BỦ.

Bài 12. Cho tứ diện ABŒD
biết

VABƠPD

=

9.

Tim

Ø(3;—3;1),

biết A(2;1; —1), B(3;0;1),C(2;—1;3)
toa

do

dinh

C(5;0;2). Tìm tọa độ
và D thuộc trục Ởy,

D.

Bai 13. Cho A(—3; 2; —7), B(2; 2; —3), C(—3; 6; —2), D(1; 0; 2)
a) Chứng minh tam giác ABC cân. Tính chu vi tam giác ABC.
b) Tìm tọa độ tầm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bai 14. Cho A(1;0;—1), B(1;2;1), C(3;2; 1), D(2;1; /2 — 1). X4c dinh tam I va ban kính
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

lỗ


Trường THPT Dương Háo Học

Bai 15. Cho A(1;0;2),
a) Tim tọa độ
b) Tìm tọa độ
c) Tim toa do

đ) Tìm tọa độ
e) Tìm tọa độ

Chun đề tọa độ trong khơng gian.

B(—2; 1; 3), C(3; 2; 4).
trọng tâm G tam giác ABC.
trực tâm H của tam giác ABC.
tam I đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.
chân đường cao AH của tam giác ABC.
chân đường phân giác trong kẻ từ À của tam giác ABC.

Bài 16. Tính độ dài đường phân giác trong của góc A của AAĐŒ,

a) A(; ~2;2), B(—5; 6; 4), C(0; 1; =2)

biết

b) A(2; -1; 3), B(4;0; 1), C(—10; 5; 3)

Bai 17. Cho A(—1; 2; 4), B(2; 1; 3), C(0; 0; 5), D(3; 0; —2)

a) Chứng minh rằng ABCD là một tứ diện. Tính thể tích của tứ diện và độ dài

đường cao của tứ diện kẻ từ D.
b) Xét hình hộp ABŒD'.A'ECŒCD, tìm tọa độ các đỉnh A’, B’,C’, D’ cua hinh
hộp.
c) Tim toa độ điểm I là chân đường phan giác trong của góc A của AAD trong
đó F(1;3; 7).

đ) Tìm tọa độ K nằm trong (AB) sao cho ABŒK vuông tại B và AACK vuông

tại A.

1.3.3

Một số bài tốn về thể tích và diện tích

Bài tốn

1.3.12.

—>

Cho đ = (2:—1;1),

b =(1;-3;2),

a) Chứng minh ba véctơ đó khơng đồng phẳng.
b) Phan tich d = (4;3;—5) theo ba vécto
^

Z

dt

Z

¢ = (—3;2; —2).

@, b, ¢

—>

>

—>

Lời giải.
a) Ta có

Nên ba vécto @,

>

`

3

b „ C không dong phang.

Gia sit d =m@+nb +1?

Ma

ma

= (2m;

—m;m)

nb = (n; —3n; 2n)

[ở = (—31; 21; 21)

(
Do d = (4;3; —ð) nên
2m + m—

ðÍ = 4

m = 31

—m—ản+2Ì=3
{ém + mz”— 2Ù = —ð
Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

=> 4n =2
/= 20

16


Trường THPT Dương Háo Học

Hay

Chuyên đề tọa độ trong không gian.

=

d =31@ +20 +20¢

Bài tốn 1.3.13. Cho bốn điểm A(0;2;—2),
a) Chứng minh ABCD

Ø(—3;1;—1),

Œ(4;3;0), 2(2;1;-—?2).

là một tứ diện và tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện đó.

b) Tính thể tích của tứ diện ABCD.
Lời giải.

a)Ta có AB = (

1), AC = (4; 1; 2), AD

= (2

= aah = (~3; 10; 1)

(AB Ae Tổ ~ -

Suy ra AB, AC. AD

không đồng phẳng

Hay A,B,C,D tao thành một tứ diện.

Trọng tâm tứ diện là

3.7

ð

e | + =1)

b) Thể tích tứ diện là

= s|(A8,AJA0|=š

Bài toán 1.3.14. Cho A(1;
B(1; 4; 0), C(—4; 1; 1), D(—5; —5; 3).
a) Tinh cosin của góc hai vécto cán ,B
b) Chitng minh tit dién ABCD có hai canh đối AC và CD vng góc nhau.

Lời giải.
a) Ta có

= (0;6:—9) => |AB| = 210
AD = (—6;—3:1) > JAD] = V46

AB.AD = —
Suy ra

i

COS (4B, AD)

AB.A

= Ti

b) Ta có
AỞ

= (—5;3; —l)

BƯ = (~6; ~9;3)
AỞ.BÖ =0

Suy ra AC

TL BD

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

Z

17

a)

—V115
53


Trường THPT Dương Háo Học

Bai toan

1.3.15.

Chuyên đề tọa độ trong không gian.

Cho A(1;0;1), B(—1; 1; 2), C(—1; 1,0), D(2; —1; —2).

a) Chitng minh rang A,B,C,D là bốn đỉnh của một tứ diện.
b) Tính đường cao của tam giác BCD hạ từ đỉnh D.
c) Tính góc CBD va góc giữa hai đường thắng AB, CD.
d) Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
đỉnh A.
Lời

Ti đó suy ra độ dài đường cao của tứ diện hạ từ

giải.

Ta có

oe

2;—I;—1) > |BÄ|
= võ
(0:0; —
(3;—

Pe

=2

) + |BD| = v29
)=>

(3; —2; 2) > |CD| = vii

Suy ra
BA, BC|

= (2; 4;0)

=|
al

| BD = -2

)

—

Vậy BA, BC, BD

`

2

không đồng phang

Hay A,B,C,D là bốn đỉnh của một tứ diện.

b) Gọi DK là đường cao của tam giác BCD.

Ta có |hẻ, BD] = (—4;—6:0) > || BC, BD] | = 2/13
Do đó

1
SABCD

Ma Sapcp

= = ||BC. BD)

=v13

1
= 2:?G.DE

Suy ra
25Apcpb

2W13

BC

2

DK = “28GB _ “VY — VỊ3
c) Ta cé
cos CBD= cos (BC, BD)

=

BC.BD
a
BC). Bỏ| v2

Goi a = (AB, CD).
Khi đó

|AB.CD

COs @ = lcos( AB, CD)| = ina).

Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

18

—

= CBD

x 42°152.01


Trường THPT Dương Háo Học

Chuyên đề tọa độ trong không gian.

Mà

AB= (—3;1;1)
Sổ — (3; —2; —2)

= AB.CD
=—

Bl ~vä.|Z|~ vĩđ

Do đó

cosa = cos( (AB, CD) ) = a

= a & 8°2'58, 08”

d) Ta có

AB= (—2:1:1)
Goat

= [BD, AC| = (—2; —4;0)
AD = (1; 1; —3)

¬ [BỒ,x0] AB =>
Vay

Vane =

1

Gọi AH là chiều cao của tứ điện ABCD.

AH

=

| [BD, AC| AD| =s 1
Khi đó

3V4sơp _ V13
SABCD

=

15

* Bài tập tương tự.
Bai 1. Cho tứ diện ABCD

biết A(2;3; 1), B(4;1;—2), C(6; 3; 7), d(—5; —4; 8). Tìm độ dai

đường cao của tứ diện xuất phát từ đinht D.

Bài 2. Cho A(3;4; —1), 5(2:0;3),Œ(—3; 5; 4).

a) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.
b) Tính số đo các góc của tam giác ABC.
c) Tính diện tích tam giác ABC.

Bài 3. Cho @ = (4:3: —U, # = :- -1),ở = (—3:1:2)
—>

a) Chiing minh @, re @ khong

ding phẳng,

b) Từ điểm A dựng 1Ö- ở. TB
ABCD.A'B'C'D'
Bài 4. Cho A(2;—1;6),

Db, AA’=

6 ba kich thuéc AB, AD. AA’

B(—3;:—1;—4),

C(5;—1;0),

O(1;2; 1).

@. Tinh thể tích khối hộp

a) Chứng minh A,B,C,D khơng cùng thuộc một mặt phẳng.

b) Tính tọa độ trọng tâm tứ diện ABCD.

c) Tinh thé tic tit điện ABCD.
Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

19

Trường THPT Dương Háo Học

Chuyên đề tọa độ trong không gian.

Bài 5. Cho A(0;1; 1), B(—1; 0; 2), C(—1; 1; 0), D(2; 1; —2).

a) Chứng minh bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng.

b) Tinh diện tích tam giác ABC. 'Pừ đó suy ra độ dài đường cao hự từ đỉnh A và

bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC.
c) Tính góc CBD va góc giữa hai đường thắng AB, CD.
d) Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

Từ đó suy ra độ dài đường cao của tứ diện

hạ từ đỉnh D.

Bài 6. Cho A(1;0;0), Ø(0;0;1),C(2;1; 1).
a) Chứng minh ba điểm A,B,C là ba đỉnh của một tam giác.

b) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.

e) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành.

d) Tính độ dài đường cao của tam giác hạ từ đỉnh A.
e) Tính số đo các góc của tam giác ABC.
Bai 7. Cho A(1;0;0), Ø(0;1;0),C(0;0;1), 2O(—2;1; —1)
a) Chứng minh ABCD là một tứ diện.
b) Tính các góc tạo bởi các cạnh đối của tứ diện.

e) Tính thể tích của tứ diện ABCD và chiều cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.

Bai 8. Cho lăng trụ tam giác A BŒ.A'E'ŒC' với A(1;—2;—2), B(0;0;—3),C(—1;0;6), A(2;3;—1)

a) Tính thể tích khối lăng trụ.

b) Tính độ dài đường cao lăng trụ.
Bai 9. Cho tứ diện 15Œ

với A(—1;0; —2), B(—3; 2; —1), C(0;1;—4), D(—2; —1;3). Tính

khoảng cách từ D đến mặt phẳng (AC).

Bai 10. Cho Tam giác ABC

với A(1;2; —1), B(2; —1; 3), C(—4; 7; 5).

a) Tính độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác ABC.
b) Tính độ dài đường phân giác trong của tam giác ABŒ kẻ từ B.

Bai 11. Cho A(4; 2; 3), B(—2; 1; —1), C(3; 8; 7), D(—6; 2; z)

a) Chứng minh tam giác ABC cân.
b) Tìm D để tam giác ABD cân tại Ð.

c) Tính tọa độ trọng tâm tam giác ABD

d) Tính diện tích tam giác ABC.
Bai 12. Tính diện tích tam giác ABC

biết A(1;0;0), 8(0;2;0),C(2;1;3)

Bai 13. Cho A(1;1;0), Ø(0;2;1),C(1;0;2), D(1;1;1)

a) Chitng minh A, B,C, D

khéng déng phẳng. Tính thể tích của tứ diện ABCD.

b) Tìm tọa độ trọng tâm Œ của tam giác ABC và trọng tâm tứ diện ABCD.
c) Tính diện tích các mặt của tứ diện ABCD.

đ) Tính độ dài các đường cao của tứ diện ABCD.
e) Tính các góc của hai đường thắng AB và CD.

Bai 14. Cho A(1;0;0), Ø(0;0;1),C(2;1; 1).
a) Chứng minh 4,7,
là ba đỉnh của một tam giác.

b) Tính diện tích và chu vi của tam giác ABC.
e) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD

là hình bình hành.

đ) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ A.
e) Tính các góc của tam giác ABC.
Giáo viên: Nguyễn Khắc Truyết

20