Chuyên đề phương pháp toạ độ trong không gian

Chun đề phương pháp toạ độ trong khơng gian


1
1
CÁC BÀI TẬP HÌNH HỌC KHƠNG GIAN TỔNG HỢP
GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ
PHẦN II: HÌNH CHĨP

Vũ Ngọc Vinh - THPT A Nghĩa Hưng - Nam Định


PHƯƠNG PHÁP CHUNG GIẢI TỐN
Để giải được các bài tốn hình khơng gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ
thích hợp. Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình.
Bài tốn đơn giản hay khơng một phần phụ thuộc vào cách chọn hệ trục toạ độ vng góc và đơn vị
trên các trục.
Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp, chú ý đến vò trí của gốc O ( Đỉnh của góc vng, tâm
mặt cầu ….)
Bước 2: Dựa vào điều kiện của bài tốn để xác định toạ độ của điểm, phương trình của đường và mặt
cần thiết trong hệ trục toạ độ ấy.
(có thể xác đònh toạ độ tất cả các điểm hoặc một số điểm cần thiết)
Khi xác đònh tọa độ các điểm ta có thể dựa vào :
+)Ý nghóa hình học của tọa độ điểm (khi các điểm nằm trên các trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ).
+) Dựa vào các quan hệ hình học như bằng nhau, vuông góc, song song ,cùng phương , thẳng hàng,
điểm chia đọan thẳng để tìm tọa độ
+) Xem điểm cần tìm là giao điểm của đường thẳng, mặt phẳng.
+) Dưạ vào các quan hệ về góc của đường thẳng, mặt phẳng.
Bước 3: Chuyển các tính chất hình học trong giả thiết hoặc kết luận của bài tốn sang tính chất đại số
và giải tích, đưa bài tốn về bài tốn đại số, giải tích. Sử dụng các kiến thức về toạ độ để giải quyết

bài toán .
Các dạng toán thường gặp:
- Độ dài đọan thẳng
- Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
- Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng
- Góc giữa hai đường thẳng
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
- Góc giữa hai mặt phẳng
- Thể tích khối đa diện
- Diện tích thiết diện
- Chứng minh các quan hệ song song , vuông góc
- Bài toán cực trò, quỹ tích
Bổ sung kiến thức :
1) Nếu một tam giác có diện tích S thì hình chiếu của nó có diện tích S
'
bằng tích của S với cosin
của góc

giữa mặt phẳng của tam giác và mặt phẳng chiếu

cos.
'
SS 

2) Cho khối chóp S.ABC. Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A
'
, B
'
, C

'
khác với S
Ta luôn có:

Chun đề phương pháp toạ độ trong khơng gian


2
2

SC
SC
SB
SB
SA
SA
V
V
ABCS
CBAS
'''
.
'''
.


Chú ý.
a) Hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy và đáy là hình vng (hoặc hình chữ nhật). Ta chọn
hệ trục tọa độ như dạng tam diện vng.
b) Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng (hoặc hình thoi) tâm O đường cao SO vng góc với đáy.

Ta chọn hệ trục tọa độ tia OA, OB, OS lần lượt là Ox, Oy, Oz. Giả sử SO = h, OA = a, OB = b ta có
O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(–a; 0; 0), D(0;–b; 0), S(0; 0; h).
c) Hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD và AB = b.
SAD
đều cạnh a và vng góc với
đáy. Gọi H là trung điểm AD, trong (ABCD) ta vẽ tia Hy vng góc với AD. Chọn hệ trục tọa độ Hxyz
ta có:
H(0; 0; 0),
   
a a
A ; 0; 0 , B ; b; 0
2 2
   
a a a 3
, C ; b; 0 , D ; 0; 0 , S 0; 0; .
2 2 2
 


 




 


Phần II. 1 .
HÌNH CHĨP CĨ MỘT CẠNH BÊN VNG GĨC VỚI ĐÁY
( Hay hình chóp có hai mặt bên vng góc với đáy)

* Lưu ý: Đường cao của hình chóp là cạnh bên
vu«ng gãc
đáy.
Ví dụ 1.
Tø diƯn ABCD: AB, AC, AD ®«i mét vu«ng gãc víi nhau;
AB = 3; AC = AD= 4
TÝnh kho¶ng c¸ch tõ A tíi mỈt ph¼ng (BCD)
( KD: 2002)
Giảii
+ Chän hƯ trơc Oxyz sao cho A  O
D Ox; C  Oy và B  Oz
 A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0)
 Phương tr×nh ®o¹n ch¾n cđa (BCD) lµ:
1
4 4 3
  
x y z
 3x + 3y + 4z - 12 = 0
Kho¶ng c¸ch tõ A tíi mỈt ph¼ng (BCD) lµ:
d(A; mp’(BCD)) =
6 34
17


Ví dụ 2.
Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại A,
AD = a, AC = b, AB = c.Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c và chứng minh rằng :

 
2S abc a b c  

(DB – ĐH. K. D – 2003)
Giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có tọa độ các điểm là :A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a)

z
y
x
B
C
D
A


Chun đề phương pháp toạ độ trong khơng gian


3
3
     
 
    
 
 
   
 
     
     

   

 
2 2 2 2 2 2
BCD
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
BC c;b;0 ,BD c;0;a , BC,BD ab;ac;bc
1 1
S BC,BD a b a c b c đpcm
2 2
a b a c b c abc(a b c)
a b a c b c abc(a b c)
Theo BĐT Cauchy ta được :
a b +b c 2ab c
b c +c a


     


 

2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2bc a Cộng vế : a b a c b c abc(a b c)
c a a b 2ca b

Ví dụ 3.
Cho hình chóp S.ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD),

SA a 2.

Mặt phẳng () qua A
vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt là M, N, P. Chứng minh rằng tứ giác AMNP có hai
đường chéo vuông góc và tính diện tích của tứ giác.
Giải
Dựng hệ trục Ax, Ay, Az đôi một vuông góc,
với A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0),
S(0; 0; a 2)

1
SC (a; a; a 2) a(1;1; 2) a.u
    



2
SB (a; 0; a 2) a(1; 0; 2) a.u
    



3
SD (0; a; a 2) a(0;1; 2) a.u
    



Phương trình mp(qua A(0; 0; 0) với
pháp vectơ

1
n u (1;1; 2)
  
 
:
( ): x y 2z 0.   

Phương trình đường thẳng SC qua C(a; a; 0) với vectơ chỉ phương
1
u

:

x a t
(SC): y a t
z 2t
 


 


 


N SC N(a t; a t; 2t)
    

a a a a 2
N ( ) a t a t 2( 2t) 0 t N ; ;

2 2 2 2
 
            
 
 

Phương trình đường thẳng (SB): x = a + t; y = 0;
x 2t. 

Ta có:
a 2a a 2
M SB; M ( ) t M ; 0;
3 3 3
 
      
 
 
. Phương trình đường thẳng (SD):
x 0; y a t; z 2t.
    
Ta có:
a 2a a 2
P SD; P ( ) t P 0; ;
3 3 3
 
      
 
 

S

A
P
N
M
B
C
a
O
z
a 2

a
x
D
y
z
y
x
A
B
C
D

Chun đề phương pháp toạ độ trong khơng gian


4
4
a a a 2 2a 2a 2a 2
AN ; ; ; AN a; MP ; ; 0 ; MP .

2 2 2 3 3 3
 
 
    
 
 
 
 
 

Ta có:
2 2
a 2a a 2a a 2 a a
AN.MP . . .0 0 AN MP
2 3 2 3 2 3 3
 
         
 
 
 
(đpcm)
Diện tích tứ giác AMNP:
2
1 1 2a 2 a 2
S .AN.MP .a. .
2 2 3 3
  


Ví dụ 4.

Cho hình chóp S ABCD, SA  (ABCD), SA = a, SC  BD; đáy ABCD là hình thang vuông có
BC = 2a,
a
AD
2

và đường cao AB = a. M là điểm trên cạnh SA, đặt AM = x (
0 x a)
 
. Tính độ
dài đường cao DE của BMD. Đònh x để DE đạt giá trò nhỏ nhất.
Giải
Dựng hệ trục Axyz với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc, A(0; 0; 0),
B(a; 0; 0), C(a; 2a; 0),
a
D 0; ; 0 , S(0; 0; a), M(0; 0; x)
2
 
 
 
.
BM ( a; 0; x).
 


Phương trình đường thẳng BM qua B với , vectơ chỉ phương:
x a at
(BM) : y 0
z xt
 









a
E BM E(a at; 0; xt) DE a at; ; xt
2
 
      
 
 

a
DE BM DE.BM 0 (a at)( a) .0 xt.x 0
2
        
 


    

2
2 2 2
2 2
a
(x a )t a t .

x a
Ta có:
2 2
2 2 2 2
ax a a x
DE ; ;
2
x a x a
 
 
 
 
 



       
   
         
2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
a x a a x a a x (x a a 4x
DE 1
4 4 2
(x a ) (x a ) (x a ) x a
a a
DE minDE x 0 x 0 M A.
2 2

Ví dụ 5.
Cho hình chóp SABCD, ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD), SA = 2a. Mặt phẳng ()
qua BC hợp với AC một góc 30
o
, cắt SA, SD lần lượt tại M, N. Tính diện tích thiết diện BCNM.
Giải.
Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc,
A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), S(0; 0; 2a).
Đặt: AM = h; (0 < h < 2a)  M(0; 0; h)
M
E
A
D
a
C
y
z
S
a
B
x

Chun đề phương pháp toạ độ trong khơng gian


5
5
BM ( a; a;h), BC (0; a; 0),
   

 

2
[BM; BC] ( a.h; 0; a ) a(h; 0; a)
    
 


a.n 

, với
n (h; 0; a)



n (h; 0; a)
 

là pháp vectơ của mặt phẳng ().
Đường thẳng AC có vectơ chỉ phương
1
u (a; a; 0) a(1;1; 0) a.u ,  
 
với
1
u (1;1; 0)

.
() hợp với AC một góc 30
o

.
 
  
   
 

     
o
2 2
2 2
2 2 2 2 2
1.h 1.0 0.a 1
sin30
2
1 1 0. h 0 a
h 1
2
2 h a
h 2 h a 2h h a

h a
  
M là trung điểm SA.
Ta có:
MN ( ) (SAD)
MN// BC// AD.
BC// AD
  






BC (SAB) BC BM BCNM
   
là hình thang vuông tại B và M.

ABM vuông cân đỉnh A 
BM a 2.
MN là đường trung bình của

SAD
a
MN .
2
 
Diện
tích hình thang vuông BCNM:
2
1 3a 2
S .BM(MN BC)
2 4
  
.

Ví dụ 6.
Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đơi một vng góc. Điểm M cố định thuộc tam
giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) là 1, 2, 3. Tính a, b, c để
thể tích O.ABC nhỏ nhất.
Giải

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có:
O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c).
d[M, (OAB)] = 3

z
M
= 3.

Tương tự

M(1; 2; 3).
pt(ABC):
x y z
1
a b c
  

1 2 3
M (ABC) 1
a b c
    
(1).
O.ABC
1
V abc
6

(2).
3
1 2 3 1 2 3

(1) 1 3 . .
a b c a b c
    


1
abc 27
6
 
.
C
y
2a
S
N
D
y
a
x
a
B
H
A
M


Chun đề phương pháp toạ độ trong khơng gian


6

6
(2)
min
1 2 3 1
V 27
a b c 3
     

3
6
9
a
b
c



 





Ví dụ 7.
Tứ diện S.ABC có cạnh SA vng góc với đáy và
ABC

vng tại C. Độ dài của các cạnh là SA = 4,
AC = 3, BC = 1. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, H là điểm đối xứng của C qua M. Tính cosin góc
phẳng nhị diện [H, SB, C]

Giải.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có:
A(0; 0; 0), B(1; 3; 0), C(0; 3; 0), S(0; 0; 4) và H(1; 0;
0).
mp(P) qua H vng góc với SB tại I cắt đường thẳng SC
tại K, dễ thấy
[H, SB, C] =
 
IH, IK
 
(1).
SB ( 1; 3; 4)  

,
SC (0; 3; 4) 

suy ra:
ptts SB:
x 1 t
y 3 3t
z 4t


 




 









, SC:
x 0
y 3 3t
z 4t







 









và (P): x + 3y – 4z – 1 = 0.
   

5 15 3 51 32
I ; ; , K 0; ;
8 8 2 25 25


379 281
cos[H, SB, C]
12645

 

Ví dụ 8.
Cho hình chóp S. ABCD có SA  (ABCD) và SA =
a 6
, đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp
trong đường tròn đường kính AD = 2a.
Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC).
Giải.
Dựng
/ /
BB AD, CC AD 
và I là trung điểm AD
/ / / /
a 3 a 3a
BB CC ; AB ; AC
2 2 2
    

Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông
   

   
   
a 3 a a 3 3a
góc A(0; 0; 0), B ; ; 0 , C ; ; 0 ,
2 2 2 2
D(0; 2a; 0), S(0; 0; a 6).

a 3 a a 3 3a
SB ; ; a 6 , SC ; ; a 6
2 2 2 2
   
   
   
   
 

2 2 2
2
a 3 a 3 a 3
[SB; SC] a 6; 0; (2 2; 0; 1) .n,
2 2 2
 
  
 
 
 

với
n (2 2; 0; 1)




Phương trình mặt phẳng (SBC) qua S với pháp vectơ
n

:
(SBC): 2 2x z a 6 0
  

Vì:
AD// BC AD//(SBC) d(AD; (SBC)) d(SBC))  



z
S
a 6

x
A
B
B
/

C
C
/

I
D

2a
y


Chuyên đề phương pháp toạ độ trong không gian


7
7
Ta coù:
0 0 a 6 a 6
d(A; (SBC))
3
8 1
 
 

. Vaäy,
a 6
d(AD; (SBC)) .
3



BÀI TẬP
Bài 1( KA 2000)
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC vuông góc với từng đôi một có OA = a, OB = a
2
, OC = c.
Gọi D là đỉnh đối diện với O của hình chữ nhật AOBD và M là trung điểm của BC. (P) là mặt phẳng

qua A, M và cắt mặt phẳng (OCD) theo một đường thẳng vuông góc với AM.
1) Gọi E là giao điểm của (P) với OC, tính độ dài OE.
2) Tính khoảng cách từ C đến mp’(P).
3) Tính tỉ số thể của hai khối đa diện được tạo thành khi cắt khối chóp C.AOBD bởi mặt phẳng
(P).
Bài 2. ( ĐH 2001 )
Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a, M là trung điểm BC. Trên các nửa đường thẳng AA
1
,
MM
1
vuông góc với mặt phẳng (ABC) về cùng một phía, lấy tương ứng các điểm N, I sao cho 2MI =
NA = a. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống NB. Chứng minh rằng: AH

NI.
Bài 3.
Trên ba tia Ox, oy, oz vuông góc với từng đôi một lấy lần lượt các điểm A, B, C. Giả sử A cố định còn
B, C thay đổi sao cho OA = OB + OC. Hãy xác định vị trí của B, C sao cho thể tích của tứ diện OABC
là lớn nhất.
Bài 4.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA =
3a
và vuông với đáy.
1) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
2) Tính khoảng cách từ tâm O của hình vuông đến mặt phẳng (SBC).
3) Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC).
Bài 5.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a, SA = a và vuông góc với
đáy. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và AC.
1) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SBC).

2) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SEF) và mặt phẳng (SBC).
Bài 6.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = 2a và vuông góc với đáy.
1) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC), từ C đến mặt phẳng (SBD).
2) MN lần lượt là trung điểm của AB, AD. CMR: MN // (SBD) và tính khoảng cách từ MN đến
mặt phẳng (SBD).
Bài 7.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với cạnh AB = a, AD = 2a, SA = a và vuông
góc với đáy.
1) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) và khoảng cách từ trung điểm I của SC đến
mặt phẳng (SBD).
2) Gọi M là trung điểm của cạnh CD, tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBM).
Bài 8.( KA – 2000)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AB = AD = a, DC = 2a ,
SD = a và vuông góc với đáy.
1) Chứng minh rằng tam giác SBC vuông và tính diện tích của tam giác đó.
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Bài 9.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = 2a và vuông góc với đáy.