CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 6 Bất đẳng thức, cực trị đại số

1

Website: tailieumontoan.com
CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9
QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Dạng 6: Bất đẳng thức, cực trị đại số
A. Bài toán (giữ nguyên màu)
Bài 1: Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện

1
5a 2 + 2ab + 2b 2

+

1
5b 2 + 2bc + 2c 2

1 1 1
+ + ≤ 2 . Chứng minh rằng:
a b c

1

2
≤ .
5c 2 + 2ca + 2a 2 3

+

Bài 2: Cho x , y , z , t là các số thực dương. Chứng minh rằng:
x

y
z
t
+
+
+
≥ 2.
y+ z z+t t + x x+ y
Bài 3: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c ≤ 3. Chứng minh rằng
1
362
+
≥ 121 .
2
2
2
a + b + c ab + bc + ca
Bài 4: Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn x ( x − z ) + y ( y − z ) = 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của

x3
y3
x2 + y 2 + 4
+
+
biểu thức P = 2
.
x + z2 y2 + z2
x+ y
Bài 5:
a) Cho a, b, c là các số thực bất kỳ và x, y, z là các số thực dương. Chứng minh:

a2 b2 c2 (a + b + c)2
+ + ≥
x y z
x + y+ z
a3 + 8
b3 + 8
c3 + 8
+
+
b)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3
, với a, b, c là các số
a (b + c) b3(c + a) c3(a + b)

thực dương thỏa mãn abc = 1.
Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A=

x +6 x −9 + x −6 x−9
, với x > 9 .
81 18
−
+
1
x2 x

Bài 7: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = a + b + c + 2. Tìm giá trị lớn nhất của
1
1
1

+
+
.
biểu thức P =
2
2
2
2
2
a +b
b +c
c + a2
Bài 8:Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P=

a a
a+ 3 b

+

b b
b+3 c

+

c c
c+3 a

Bài 9: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn xyz = 2. Chứng minh

x
2y
4z
1
+ 2
+ 2
≤ .
2
2
2
2x + y + 5 6y + z + 6 3z + 4x + 16 2
2

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

.


2

Website: tailieumontoan.com

Bài 10:

Cho các thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3.
Tìm minS = (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2)
Bài 11: Giả sử ba số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a > 0 , b = 3a 2 , a + b + c = abc . Chứng
minh rằng: a ≥

1+ 2 3
.
3

(

)(

4
4
4
4
Bài 12: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a + b b + c

(a

2

)(

)(

)(c

4

)

+ a 4 = 8 . Chứng minh rằng

)

− ab + b 2 b 2 − bc + c 2 c 2 − ca + a 2 ≥ 1 .

Bài 13: Cho các số dương x , y , z thỏa mãn:

x 2 + y 2 + y 2 + z 2 + z 2 + x 2 = 2014 . Tìm giá trị

x2
y2
z2
+
+
.
y+z z+x x+ y
Bài 14: Với x , y là các số thực thay đổi thỏa mãn 1 ≤ y ≤ 2 và xy + 2 ≥ 2 y . Tìm giá trị nhỏ nhất
x2 + 4
của biểu thức: M = 2
y +1
y
x
Bài 15: Cho , , z là các số thực dương thỏa mãn xy + yz + xz = 1 . Chứng minh rằng:
nhỏ nhất của biểu thức T =

3

1
1
1
2 x

y
z 
+
+
≥ 
+
+
÷
2
2
2
1+ x 1+ y 1+ z
3  1 + x 2
1 + y2
1 + z2 ÷

Bài 16: Với x, y là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện 4 x 2 + 4 y 2 + 17 xy + 5 x + 5 y ≥ 1 .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 17 x 2 + 17 y 2 + 16 xy .
Bài 17: Cho a , b , c là ba số thực thỏa điều kiện a + b + c = 10 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
M = a 2 + b2 + c 2 .
Bài 18: Cho ba số thực x , y , z . Tìm giá trị lớn nhất biểu thức S =

(

xyz x + y + z + x 2 + y 2 + z 2

(x

2

+ y 2 + z 2 ) ( xy + yz + zx )

).

Bài 19: Cho ba số thực dương x , y , z thỏa mãn: x + y + z = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
x
y
z
S=
+
+
2
2
1 + y 1+ z 1+ x2
Bài 20: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y =

2
1
+ với 0 < x < 1 .
1− x x

Bài 21: Cho a , b , c là các số dương thỏa mãn điều kiện

1 1 1
+ + ≤ 3 . Chứng minh rằng:
a b c

a
b

c
1
+
+
+ ( ab + bc + ca ) ≥ 3
2
2
2
1+ b 1+ c 1+ a
2
y
Bài 22: Cho ba số dương x , , z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1 . Chứng minh rằng
350
386
+ 2
> 2015
xy + yz + zx x + y 2 + z 2
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038


3

Website: tailieumontoan.com
Bài 23: Chứng minh rằng: 1 +

2 3 4
2014 2015
+ 2 + 3 + .... + 2013 + 2014 < 4
2 2 2
2

2

Bài 24: Cho x , y là hai số dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
2
x + y)
x + y)
(
(
S= 2
+
x + y2
xy
Bài 25: Cho a , b là các số dương thỏa mãn điều kiện (a + b)3 + 4ab ≤ 12. Chứng minh bất đẳng
1
1
+
+ 2015ab ≤ 2016.
thức:
1+ a 1+ b
1
1 1
Bài 26: Cho 3 số thực dương x , y , z thỏa mãn: 2 + 2 + 2 = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
x
y
z
thức: P =

y2z2
z2 x2

x2 y2
+
+
x ( y2 + z2 ) y ( z2 + x2 ) z ( x2 + y2 )

Bài 27: Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng

a b
4a
+ ≥
.
b c a+c

Bài 28: Cho các số thực dương a , b , c thỏa mãn ab + bc + ca = 1 . Chứng minh rằng:
a b2 + 1 + b c 2 + 1 + c a 2 + 1 ≥ 2 . Dấu “=” xảy ra khi nào?
Bài 29: Cho ba số a,b,c ≥ 1 thỏa mãn 32abc = 18(a+ b+ c) + 27. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P=

a2 − 1
b2 − 1
c2 − 1
+
+
a
b
c

Bài 30: Tìm GTNN của A =

x2
y2
z2
+
+
biết x, y, z > 0 ,
x+ y y+z z+x

xy + yz + zx = 1 .

 1 1 1
a) Cho ba số dương a, b, c . Chứng minh rằng ( a+ b + c)  + + ÷ ≥ 9
 a b c
b) Cho 3 số dương x, y, z thỏa điều kiện x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
x
y
z
P=
+
+
x+1 y+1 z+1

Bài 31:

2011 − 2010 và 2010 − 2009
Bài 33: Chứng minh bất đẳng thức: ab ≥ c ( a − c ) + c ( b − c ) (với a > c, b > c, c > 0)
Bài 32: So sánh 2 số:

Bài 34: Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng:
a

+
b +c

b
+
c +a

c
>2
a +b

Bài 35: Cho x, y , z là ba số dương thỏa mãn x + y + z = 3 . Chứng minh rằng:
x
y
z
+
+
≤1
x + 3 x + yz y + 3 y + zx z + 3z + xy
x;y ∈ R

y 2 2
x
Bài 36: Cho x; y thỏa mãn 
.
+
≤
1 . Chứng minh rằng:
1+ y 1+ x
3

0 ≤ x;y ≤
2

Bài 37:

a) Cho bốn số thực bất kì a, b, c, d . Chứng minh: ab + cd ≤

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

(a

2

+ c 2 ) ( b2 + d 2 )


4

Website: tailieumontoan.com
b) Với giá trị nào của góc nhọn α thì biểu thức P = 3sin α + 3 cos α có giá trị lớn nhất?
Cho biết giá trị lớn nhất đó.
Bài 38: Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 2xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: P =

x
y
z
+
+

z (z + x) x ( x + y ) y ( y + z )

1 1 1
+ + ≥ 6.
a b c
Bài 40: Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có ba góc nhọn. Chứng minh rằng với mọi số
Bài 39: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng a5 + b5 + c5 +

x 2 y 2 z 2 2x 2 + 2y 2 + 2z 2
+ + >
a 2 b2 c2
a 2 + b2 + c2
Bài 41: Cho biểu thức B = x − 2 + 4 − x .Tìm giá trị lớn nhất của B và giá trị x tương ứng.
thực x, y, z ta ln có:

Bài 42: Cho x, y là 2 số dương thỏa mãn x + y = 1, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
1
P = (1 - 2 )(1 - y2 ) .
x
Bài 43: Cho ba số thực a, b, c > 0 thoả mãn a + b + c = 2013.
a
b
c
+
+
≤ 1.
Chứng minh
a + 2013a + bc b + 2013b + ca c + 2013c + ab

Dấu đẳng thức sảy ra khi nào?
Bài 44: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2ab + 6bc + 2ac = 7 abc . Tìm giá
4ab
9ac
4bc
+
+
trị nhỏ nhất của biểu thức C =
.
a + 2b a + 4c b + c
Bài 45: Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=3
2 x2 + y2 + z 2 2 y 2 + x2 + z 2 2 z 2 + y 2 + x2
+
+
≥ 4 xyz
Chứng minh rằng
4 − yz
4 − xz
4 − yx
Bài 46: Cho x, y là các số thực dương thoả mãn x + y = 1.
1
1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x 3 + y3 + xy .
Bài 47: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M =

Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng

x y
xy
+ + 2

.
y x x + y2

5
khi và chỉ khi x = y .
2

x;y ∈ R

y 2 2
x
+
≤
Bài 48:Cho x; y thỏa mãn 
.
1 . Chứng minh rằng:
0
≤
x;y
≤
1
+
y
1
+
x
3

2
Bài 49:Cho x, y là 2 số thực thoả mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0.

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x + y + 1.
Bài 50: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

a
b
c
a
b
c
+
+
<
+
+
a+b b+c c+a
b+c
c+a
a +b
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038


5

Website: tailieumontoan.com
Bài 51:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =

4x+3
x2 + 1

Bài 52:Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
Q=

Bài 53: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2016 x 2 + 2 x + 2016
x2 + 1

Bài 54: Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng : 1 <

Bài 55: Tìm GTNN của biểu thức: A =

a +1 b +1 c +1
+
+
≥3
b2 + 1 c2 + 1 a2 + 1

a
b
c
+
+
<2
a+b b+c c+a

3− 4 x
x +1

Bài 56: Cho x, y, z là các số không âm và x + y + z = 1 .

Chứng minh rằng:

x+y +

y+z + z+x ≤ 6

Bài 57: Cho tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác).
Bài 58: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng

8
8
8
8
8
8
+
+
+ a2 + b2 + c2 ³
+
+
2
2
a + 3 b+ 3 c + 3
(a + b) + 4abc (b + c) + 4abc (a + c) + 4abc
2

.
Bài 59: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh rằng

a
b
c
+
+
>2
b+c
c+a
a+b

Bài 60: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa ab + bc + ca = 3abc. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

a3
b3
c3
thức A =
.
+
+
c + a2 a + b2 b + c2
Bài 61: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng abc + 2(1 + a + b + c
+ ab + ac + bc) ≥ 0.
1
1
Bài 62: Chứng minh rằng với mọi x > 1 ta ln có. 3(x2 - 2 ) < 2(x3 - 3 )
x
x
Bài 63: Với a, b là các số thực thỏa mãn đẳng thức (1 + a)(1 + b) =

9

.
4

Hãy tìm GTNN của P = 1 + a 4 + 1 + b 4
Bài 64: Cho a, b ,c là ba số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a 3 + b3 + c3 a 2 + b 2 b 2 + c 2 c 2 + a 2
P=
+ 2
+
+
.
2abc
c + ab a 2 + bc b 2 + ca
Bài 65: Cho ba số thực không âm x,y,z thỏa mãn x+y+z=3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A=

2 x 2 + 3 xy + 2 y 2 + 2 y 2 + 3 yz + 2 z 2 + 2 z 2 + 3 zx + 2 x 2

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038


6

Website: tailieumontoan.com
Bi 66: Cho các số thực dơng a, b, c tho¶ m·n a + b + c =6. Chứng minh rng:

b+c+5 c+a+4 a+b+3
+
+

6 . Dấu đẳng thức xảy ra khi nµo
1+ a
2+b
3+ c

Bài 67: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + ac + bc = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức T =

19a + 3 19b + 3 19c + 3
+
+
.
1 + b2
1 + c2
1 + a2

Bài 68: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P=

a
b
c
+ 3
+ 3
2
2
9a + 3b + c 9b + 3c + a 9c + 3a 2 + b
3

Bài 69: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = xyz . Chứng minh rằng:

1 + 1 + x2 1 + 1 + y 2 1 + 1 + z 2
+
+
≤ xyz
x
y
z
Bài 70: Chứng minh với mọi số nguyên dương n lớn hơn 1 ta có

Bài 71: Cho ba số khơng âm x,y,z thỏa mãn

2 3 4...

( n − 1)

n < 3.

1
1
1
+
+
= 2.
1 + 2x 1 + 2 y 1 + 2z

1
.
64

a
b
c
+
+
> 2 , với a, b, c>0
b+c
a+c
b+a

Chứng minh rằng xyz ≤
Bài 72: Chứng minh

Bài 73: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3y2+x2+2xy+2x+6y+2017
Bài 74: Cho a, b, c là 3 cạnh một tam giác. Chứng minh:
1
1
1
1 1 1
+
+
≥ + +
a +b−c b+c− a c + a −b a b c

Bài 75: Chứng minh rằng

a 4 + b4
≥ ab3 + a 3b − a 2b 2
2

Bài 76:
a/ Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y = 1.
 2 1  2 1 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M =  x + 2 ÷ y + 2 ÷
y 
x 

1
1
1
+
+
=6.
b/ Cho x, y, z là các số dương thoả mãn
x+ y y+z z+x
1
1
1
3
+
+
≤ .
Chứng minh rằng:
3x + 3 y + 2 z 3 x + 2 y + 3z 2 x + 3 y + 3z 2
Bài 77: Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2. Ký hiệu a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác . Tìm
a
9b
16c
+
+

b + c − a c + a− b a+ b− c
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

giá trị nhỏ nhất của biểu thức S =


7

Website: tailieumontoan.com
c
Bài 78: Cho ba số dương a, b và thoả mãn abc = 1 . Chứng minh rằng:
1
1
1
1
+ 2
+ 2
≤ .
2
2
2
a + 2b + 3 b + 2c + 3 c + 2a + 3 2
2

Bài 79:

1.Cho a, b > 0. Chứng minh rằng:

a+b
≥ ab

2

2. Chia 10 số: 2; 3; 4; 5; 7; 8; 9; 10; 12; 14 làm thành hai nhóm rồi lấy tích các số trong mỗi nhóm.
Gọi M là tổng của hai tích số đó. Tìm giá trị nhỏ nhất của M và chỉ ra ít nhất 4 cách chia sao cho M
nhỏ nhất.
Bài 80: Các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện: x + y +z = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
F=

x4
y4
z4
+
+
( x 2 + y 2 )( x + y ) ( y 2 + z 2 )( y + z ) ( z 2 + x 2 )( z + x)

ìï a ¹ 0
ï
Bài 81: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện: ﾵ ïí 2b c
.
ïï
³ +4
a
ỵï a
Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm.

Bài 82:
Cho x, y, z > 0 thoả mãn x + y + z = 2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

x2
y2
z2
+
+
y+z z+x x+ y

Bài 83: (2,5 điểm)
1) Cho x , y , z là các số thực không âm thỏa mãn x + y + z = 3 và xy + yz + zx ≠ 0 .
Chứng minh rằng
x +1 y +1 z +1
25
+
+
≤
.
y + 1 z + 1 x + 1 3 3 4 xy + yz + zx
Bài 84:
2
2
2
1) Cho ba số a, b, c không âm thỏa mãn điều kiện: a + b + c ≤ 2 ( ab + bc + ca ) và
p, q, r là ba số thỏa mãn: p + q + r = 0. Chứng minh rằng: apq + bqr + crp ≤ 0 .

2) Cho các số dương a, b thỏa mãn a.b = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4
M = ( a + b + 1) a 2 + b 2 +
a+b
2
2

2
1) Cho ba số a, b, c không âm thỏa mãn điều kiện: a + b + c ≤ 2 ( ab + bc + ca ) và
p, q, r là ba số thỏa mãn: p + q + r = 0. Chứng minh rằng: apq + bqr + crp ≤ 0 .

(

)

2) Cho các số dương a, b thỏa mãn a.b = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4
M = ( a + b + 1) a 2 + b 2 +
a+b

(

Bài 85:
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

)


8

Website: tailieumontoan.com
a) Chứng minh với mọi số a, b, c, d ta ln có: (a + c )(b + d 2 ) ≥ ( ab + cd ) 2
2

2

2

a2 + b2
1
≥
(4a + 3b)(3a + 4b) 25

b) Cho a, b > 0 chứng minh rằng:
Bài 86: ( 2 điểm)

Với x, y là hai số thực thỏa mãn y 3 + 3 y 2 + 5 y + 3 = 11 9 − x 2 − 9 x 4 − x 6 . Tìm giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = x − y + 2018.
Bài 87: Cho a, b, c là ba số không âm có tổng bằng 1. Chứng minh:
a) 3 ( ab + bc + ac ) ≤ 1
2
2
2
b) a + b + c ≥ 4 ( ab + bc + ac ) − 1

Bài 88:
Cho x,y,z ≥ 0 thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=

x
y
z
+ 3
+ 3
y + 16 z + 16 x + 16
3

Bài 89: Cho a, b, c > 0 . Chúng minh rằng:
b2 + c 2 c 2 + a 2 a 2 + b2
+
+
≥ 2( a + b + c) .
a
b
c
Bài 90: Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì
3a 2 + 3b 2 + 3c 2 + 4abc ≥ 13 .
Bài 91: Cho các số thực dương a, b, c, d thoả mãn a > 1, b > 1, c > 1, d > 1 . Chứng minh bất
a2
b2
c2
d2
+
+
+
≥ 16 .
đẳng thức
b −1 c −1 d −1 a −1
2
Bài 92: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ( a + c ) ( b + c ) = 4c . Tìm giá trị lớn nhất,

nhỏ nhất của biểu thức P =

a
b
ab
+

+
.
b + 3c a + 3c bc + ca

Bài 93: Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 3
Chứng minh rằng a b3 + 1 + b c3 + 1 + c a 3 + 1 ≤ 5
Bài 94:
a) Cho

x, y, z là các số thực dương nhỏ hơn 4. Chứng minh rằng trong các số

1
1 1
1 1
1
+
, +
, +
luôn tồn tại ít nhất một số lơn hơn hoặc bằng 1.
x 4− y y 4− z z 4− x
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038


9

Website: tailieumontoan.com
b) Với các số thực dương a, b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện a + b + c2 + 2abc = 1, tìm giá trị lớn
2

2

nhất của biểu thức P = ab + bc + ca − abc.
Bài 95:

Cho a, b, c là các số thực sao cho a + b = c − 2 và ab = 2c 2 − 3c + 1 .Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức P = a 2 + b 2
Bài 96: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức B =

3x + 4
.
x2 + 1

Bài 97: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1 .
a
b
c
3
+
+
≥ .
Chứng minh
( a + 1) ( b + 1) ( b + 1) ( c + 1) ( c + 1) ( a + 1) 4

Bài 98: Chứng minh bất đẳng thức:
a 2 b2 c2 ( a + b + c )
(*) với a, b, c  ∈ ¡ và x, y, z > 0 .
+ + ≥
x
y z
x+ y+z

Cho ba số dương x, y, z  thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 673 .
x
y
z
1
+ 2
+ 2
≥
Bài 99: Chứng minh rằng: 2
x − yz + 2019 y − zx + 2019 z − xy + 2019 x + y + z
2

Bài 100: Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4

4

4

 a   b   c 
P=
÷ +
÷ +
÷.
 a+b b+c c+a
Bài 101: Cho ba số thực dương x, y,z thỏa mãn x +y +z +2 =xyz . Chứng minh rằng
x +y +z +6 ³ 2

(

)

yz + zx + xy .

Bài 102: Cho x, y , z là các số thực dương thỏa mãn x + y − z + 1 = 0. Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức : P =

x3 y 3

( x + yz ) ( y + xz ) ( z + xy )

Bài 103: Cho a > 0 , b > 0 . Chứng minh

2

 a 

b
=
a 
− 1÷
≥
b
1
−

÷
÷

÷. Dấu “ ” xảy ra khi nào?

b
a





Bài 104: Cho x; y; z là các số thực dương thoả mãn: xyz = 1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =

1
1
1
+ 3 3
+ 3
3
x + y +1 y + z +1 z + x3 +1
3

Bài 105: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:

a
b
c
+
+
<2
b+c c+a a +b
1
1

1
;
;
b)
là độ dài 3 cạnh của một tam giác.
a+b b+c c+a
a)

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038


10

Website: tailieumontoan.com
1 1
4
Bài 106: Chứng minh rằng: với mọi số thực x, y dương, ta ln có: + ≥
x y x+ y

Bài 107: Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh rằng:
1
1
1
1 1
1
1
+ 2
+ 2
≤ 
+

+
÷
x + yz
y + xz z + xy 2  xy
yz zx 
2

Bài 108: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x ≥ z. Chứng minh rằng
xz
y2
x + 2z 5
+
+
≥ .
2
y + yz xz + yz x + z 2
Bài 109: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 ≤ 12 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu
3
3
3
4
4
4
thức S = 4 ( a + b + c ) − ( a + b + c )
Bài 110: Cho a , b , c là ba số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
1 1 1
+ + ≥ a 2 + b 2 + c 2 . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
a 2 b2 c2
Bài 111: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 28 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
5a + 5b + 2c

biểu thức: P =
.
12 ( a 2 + 28 ) + 12 ( b2 + 28 ) + c 2 + 28

Bài 112: Cho x , y , z là các số thực không âm thỏa mãn x + y + z = 3 và xy + yz + zx ≠ 0 .
x +1

y +1

z +1

25

Chứng minh rằng : y + 1 + z + 1 + x + 1 ≤ 3
.
3 4 xy + yz + zx
a2 + b2
≥4 3
Bài 113: Cho a b và ab = 6. Chứng minh:
a−b

Bài 114: Cho A =

x2 − x
x2 + x
−
x + x +1 x − x +1

Đặt B = A + x – 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B
Bài 115: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh rằng

a
b
c
+
+
> 2.
b+c
c+a
a+b

Bài 116: Cho x, y, z > 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

T=

x
y
z
+
+
3 x + 2 y −1 − 4 3 y + 2z −1 − 4 3 z + 2x −1 − 4

Bài 117:
Cho các số dương x, y,z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 670. Chứng minh rằng:
x
y
z
1
+ 2
+ 2

≥
x − yz + 2010 y − zx + 2010 z − xy + 2010 x + y + z
2

Bài 118: Cho a, b, c>0 thỏa mãn abc=1 .
Chứng minh

1
1
1
3
+
+
≤
ab + a + 2
bc + b + 2
ca + c + 2 2

Bài 119: Cho x, y là 2 số thực thoả mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0.
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x + y + 1.
Bài 120: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038


11

Website: tailieumontoan.com

a
b

c
a
b
c
+
+
<
+
+
a+b b+c c+a
b+c
c+a
a+b
Bài 121: Cho ba số thực a, b, c dương. Chứng minh rằng:
a3
a3 + ( b + c)

3

b3

+

b3 + ( c + a )

3

+

c3

c3 + ( a + b )

Bài 122: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn:
Chứng minh rằng:

≥ 1.

3

a 2 + b 2 + b 2 + c 2 + c 2 + a 2 = 2011.

a2
b2
c2
1 2011
+
+
≥
.
b+c c+a a +b 2
2

Bài 123: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = xyz .
Chứng minh rằng:

1 + 1 + x2 1 + 1 + y 2 1 + 1 + z 2
+
+
≤ xyz
x

y
z

Bài 124: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A =

x2 − 4 x + 1
x2

Bài 125: Cho 3 số a, b, c thỏa mãn 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
 1

1
1 
+
÷.
 a +1 b +1 c +1 

B = (a + b + c + 3) 

+

Bài 126: Cho x, y là các số thực dương thoả mãn :

1 2
+ = 2 . Chứng minh rằng :
x y

5x2 + y − 4xy + y2 ≥ 3
3

 x − 1
 3− 2x x 
1
1
Bài 127: Cho x > 1; y > 0 , chứng minh:
+
+ ÷
÷ + 3 ≥ 3
3
(x − 1)  y  y
 x−1 y 
Bài 128: Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a + b + c ≤ 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
 1 1 1
P = 21 a2 + b2 + c2 + 12( a + b + c) + 2017 + + ÷
 a b c

(

)

Bài 129: Cho a,b,c là các số thực dương. CMR:
Bài 130:

a) Cho x > 0, y > 0, z > 0 và

Chứng minh rằng:

ab
bc

ca
a + b+ c
+
+
≤
a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b
6

1 1 1
+ + =4.
x y z

1
1
1
+
+
≤1
2x+y+z x + 2 y + z x + y + 2z

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038


12

Website: tailieumontoan.com
b) Cho x > 0, y > 0, z > 0 thỏa mãn x

2011

+y

2011

+z

2011

= 3.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = x 2 + y 2 + z 2
Bài 131: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =

4x+3
x2 +1

Bài 132: Cho a; b; c là các số thuộc đoạn [ −1; 2] thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 6 hãy chứng minh rằng: a
+b+c ≥ 0
Bài 133: Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên dương n , ta có:
1
1
1
1
+ 3 + 3 + ... +
< 3.
2 3 2 4 3
( n + 1) 3 n
Bài 134: Cho hai số thực x và y thỏa mãn x 2 + xy + y 2 = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của P = x3 y + xy 3 .
3b − c 3c − a 
 3a − b

+ 2
+ 2
≤ 9 với a, b, c là độ dài ba cạnh
Bài 135: Chứng minh rằng ( a + b + c )  2
 a + ab b + bc c + ca 
của một tam giác.
Bài 136: Cho x, y, z > 0 thỏa mãn 2 y + z =

1
3 yz 4 zx 5 xy
+
+
≥4
. Chứng minh rằng
x
y
z
x

B. Lời giải (giữ nguyên màu)
Bài 1: Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện

1
5a 2 + 2ab + 2b 2

+

1
5b 2 + 2bc + 2c 2

+

1 1 1
+ + ≤ 2 . Chứng minh rằng:
a b c

1

2
≤ .
5c 2 + 2ca + 2a 2 3
Lời giải

Với ∀x, y,z > 0 ta có : x + y + z ≥ 3 3 xyz ,

x= y=z

1 1 1
1
+ + ≥ 33
x y z
xyz

1 1 1
1
11 1 1
⇒ ( x + y + z )  + + ÷≥ 9 ⇒
≤  + + ÷ Đẳng thức xảy ra khi
x+ y+z 9 x y z
x y z

Ta có: 5a 2 + 2ab + 2b 2 = ( 2a + b )2 + ( a − b )2 ≥ ( 2a + b )2

⇒

1
5a 2 + 2ab + 2b 2

≤

1
1 1 1 1
≤  + + ÷ . Đẳng thức xảy ra khi a = b
2a + b 9  a a b 

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038


13

Website: tailieumontoan.com

1
1 1 1 1
≤  + + ÷ Đẳng thức xảy ra khi b = c
5b 2 + 2bc + 2c 2 2b + c 9  b b c 
1
1
11 1 1
≤
≤  + + ÷Đẳng thức xảy ra khi c = a

5c 2 + 2ca + 2a 2 2c + a 9  c c a 
Do đó:
1
1
1
13 3 3
+
+
≤  + + ÷
5a 2 + 2ab + 2b 2
5b 2 + 2bc + 2c 2
5c 2 + 2ca + 2a 2 9  a b c 
1 1 1 1 2
≤  + + ÷≤
3 a b c 3
3
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = . Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
2
Tương tự:

1

≤

Bài 2: Cho x , y , z , t là các số thực dương. Chứng minh rằng:
x
y
z
t
+

+
+
≥ 2.
y+ z z+t t + x x+ y
lời giải.

Đặt:
A=

x
y
z
t
+
+
+
y + z z +t t + x x + y

M=

x
y
z
t
+
+
+
x+ y y + z z +t t + x

N=

y
z
t
x
+
+
+
x+ y y+ z z +t t + x

⇒M +N =

x
y
z
t
y
z
t
x
+
+
+
+
+
+
+
= 4.
x+ y y + z z +t t + x x + y y + z z +t t + x

Ta có:
N + A=

y +t x+ z y +t x+ z
+
+
+
x+ y y + z z +t t + x

4( y + t )
4( x + z)
 1
 1
1 
1 
= ( y +t) 
+
+
+
= 4.
÷+ ( x + z ) 
÷≥
 x+ y z+t 
 y + z t + x  x+ y + z +t x + y + z +t

Chứng minh tương tự ta cũng có: A + M ≥ 4 .
⇒ A + M + A + N ≥ 8 ⇒ A ≥ 2.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = t > 0 .
Bài 3: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c ≤ 3. Chứng minh rằng

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038


14

Website: tailieumontoan.com
1
362
+
≥ 121 .
2
2
a + b + c ab + bc + ca
lời giải.
2

Với 3 số thực dương a, b, c ta có

1 1 1
9
+ + ≥
a b c a+b+c

Thật vậy: Ta có
1 1 1
a b
a c
b c
( a + b + c )  + + ÷ =  + ÷+  + ÷+  + ÷+ 3
a b c b a c a c b

cô − si

≥ 2+2+2+3= 9
1 1 1
9
Vậy + + ≥
(*)
a b c a+b+c
Dấu “=” sảy ra khi a = b = c
* Với ba số thực a, b, c ta có
3(ab + bc + ca ) ≤ (a + b + c) 2
Thậy vậy:
3(ab + bc + ca) ≤ (a + b + c) 2
2

⇔ 3ab + 3bc + 3ca ≤ a 2 + b + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca
2

⇔ a 2 + b + c 2 − ab − bc − ca ≥ 0
1
2
2
2
⇔ ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )  ≥ 0


2
Luôn đúng với mọi a, b, c
2
a + b + c)

(
Vậy ab + bc + ca ≤
(**)
3
Dấu “=” sảy ra khi a = b = c
Áp dụng (*) (**) và giả thiết a + b + c ≤ 3 ta có
1
362
+
2
2
2
a + b + c ab + bc + ca
1
1
1
360
= 2
+
+
+
2
2
a + b + c ab + bc + ca ab + bc + ca ab + bc + ca
9
360
9 360.3
≥
+
≥ +

= 121
2
2
( a + b + c) ( a + b + c) 9 9
3
Dấu “=” sảy ra khi a = b = c = 1.
Bài 4: Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn x ( x − z ) + y ( y − z ) = 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P =

x3
y3
x2 + y2 + 4
+
+
.
x2 + z 2 y2 + z 2
x+ y
Lời giải

x3
xz 2
xz 2
z
=
x
−
≥
x
−
= x− .

Áp dụng bất bẳng thức Côsi 2
2
2
2
x +z
x +z
2xz
2
y3
z
x2 + y 2 + 4
≥
y
−
.
P
≥
x
+
y
−
z
+
.
Tương tự 2
Suy ra
y + z2
2
x+ y

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038


15

Website: tailieumontoan.com
Theo gt z =

x +y
4
⇒ P ≥ x+ y+
≥ 4.
x+ y
x+ y
2

2

Vậy Pmin = 4 ⇔ x = y = z = 1.
Bài 5:
a) Cho a, b, c là các số thực bất kỳ và x, y, z là các số thực dương. Chứng minh:

a2 b2 c2 (a + b + c)2
+ + ≥
x y z
x + y+ z
a3 + 8
b3 + 8
c3 + 8
+

+
b)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3
, với a, b, c là
a (b + c) b3(c + a) c3(a + b)

các số thực dương thỏa mãn abc = 1.
Lời giải
a)
a2 b2 c2 (a + b + c)2
Ta có: + + ≥
x y z
x + y+ z
 a2 b2 c2 
⇔  + + ÷( x + y + z) ≥ (a + b+ c)2 (vì x, y, z > 0)
 x y z
⇔ a2 +

a2y a2z b2x 2 b2z c2 x c2y 2 2 2 2
+
+
+b +
+
+
+ c ≥ a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca
x
x
y
y
z
z

 a2 y
b2x   a2z
c2 x   b2z
c2y 
⇔
− 2ab +
+
−
2
ca
+
+
−
2
bc
+
÷ 
÷ 
÷≥ 0
y   x
z   y
z 
 x
2

2

2

 y

x  z
x  z
y
⇔  a
−b ÷
+
a
−
c
+
b
−
c

÷

÷
÷  x
÷  y
÷ ≥ 0 (ln đúng với
x
y
z
z

 
 


x, y, z > 0)

 y
=b
a
x

 z

Dấu “=” xảy ra khi:  a = c
 x
 z
=c
b
 y
a2 b2 c2 (a + b + c)2
Vậy: + + ≥
x y z
x + y+ z

x
y

 ay = bx
x
a b c

⇔  az = cx ⇔ = =
z
x y z
 bz = cy


y
z

3
3
3
b) P = a + 8 + b + 8 + c + 8
3
3
3

a (b + c) b (c + a) c (a + b)
1
1
1
8
8
8
P=
+
+
+ 3
+ 3
+ 3
b + c c + a a + b a (b + c) b (c + a) c (a + b)
1
1
1
8
8

8
P = bc + ca + ab +
+
+
1 1 1 1 1 1
1 1
1 1
1 1
+
+
+
a2 ( + ) b3( + ) c3( + )
b c c a a b
b c
c a
a b

Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038

(vì abc = 1)


16

Website: tailieumontoan.com
1
a

1
b

Đặt x = ; y = ; z =

1
⇒ x, y, z > 0 và xyz = 1
c

 yz
zx
xy   x2
y2
z2 
P=
+
+
+
8
+
+
÷ 

 y + z z + x x + y   (y + z) (z + x) (x + y) 

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:
yz y + z
yz y + z
+
≥2
.
= yz

y+ z
4
y+ z 4

zx z + x
zx z + x
+
≥2
.
= zx
z+ x
4
z+ x 4
xy x + y
xy x + y
+
≥2
.
= xy
x+ y
4
x+ y 4
yz
zx
xy x + y + z
+
+
+
≥ xy + yz + zx ≥ 33 x2y2z2 = 3
Suy ra:

y+ z z+ x x + y
2
yz
zx
xy
x + y+ z
+
+
≥ 3−
⇒
(1)
y+ z z + x x + y
2

Áp dụng bất đẳng thức ở câu a, ta có:
x2
y2
z2
(x + y + z)2 x + y + z
+
+
≥
=
(y + z) (z + x) (x + y) 2(x + y+ z)
2
 x2
y2
z2 
8
+

+
Suy ra: 
 ≥ 4(x + y+ z) (2)
(
y
+
z
)
(
z
+
x
)
(
x
+
y
)



Cộng (1) và (2) theo vế ta được:
 x2
yz
zx
xy
y2
z2 
7(x + y + z)
+

+
+ 8
+
+
 ≥ 3+
y + z z + x x + y  (y + z) (z + x) (x + y) 
2
7(x + y + z)
7
21 27
≥ 3+ .33 xyz = 3+ =
Suy ra: P ≥ 3+
2
2
2 2

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1 suy ra a = b = c = 1
Vậy MinP =

27
khi a = b = c = 1
2

Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A=

x +6 x −9 + x −6 x−9
, với x > 9 .
81 18

−
+
1
x2 x

Lời giải
Ta có

Và

x +6 x −9 = x −9 +3 ;

x−6 x−9 =

x−9 −3

x −9 + 3+ x −9 −3
81 18
9
x−9
⇒
−
+
1
=
−
1
=
A
=

x
.
x
x
x2 x
x−9

Khi x ≥ 18 thì A =

2x
=2 x−9 +
x−9

18
≥ 12 , dấu bằng xảy ra khi x = 18 (1).
x −9

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038


17

Website: tailieumontoan.com
Khi 9 < x < 18 thì A =
Suy ra Amin = 12 .

6x
54
54
=6+

>6+
= 12 (2)
x −9
x −9
9

Bài 7: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = a + b + c + 2. Tìm giá trị lớn nhất của
1
1
1
+
+
.
biểu thức P =
2
2
2
2
2
a +b
b +c
c + a2

Lời giải
1
1
1
2
+ +
+

=1
ab bc ca abc

Từ đẳng thức abc = a + b + c + 2 ⇔

1
x 1
y 1
z
=
; =
; =
( x, y, z > 0)
a y+z b z+x c x+ y
1
1
1
1
1
1
+
+
≤
+
+
Ta có: P =
2ab
2bc
2ca
a2 + b2

b2 + c 2
c2 + a2
1
xy
1
1 x
y  1
=
.
≤ 
+
.
Mặt khác:
( x + z ) ( y + z ) 2 2  x + z y + z ÷ 2
2ab
Đặt

Tương tự thì ta cũng có:
1
1 y
z  1
≤ 
+
÷.
2bc 2  y + x z + x  2
1 z
x  1
+

÷.

2ca 2  y + z y + x  2
3
Cộng vế theo vế ta có: P ≤
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1 . Hay là
2 2
a=b=c=2
Bài 8:Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1

≤

a a

P=

a+ 3 b

b b

+

b+3 c

c c

+

c+3 a

.

Lời giải
Ta có: P =

2

a

a + 3 ab

+

2

b

b + 3 bc

+

c2
c + 3 ca

Theo bất đẳng thức Bunhiacốpxki (dạng phân thức). Ta có:

P=
P=

a2
a + 3 ab

a2
a + 3 ab

+
+

b2
b + 3 bc
b2
b + 3 bc

+
+

c2
c + 3 ca
c2
c + 3 ca

≥
≥

( a + b + c)

2

(

a + b + c + 3 ab + bc + ca

(

16

4 + 3 ab + bc + ca

(do a + b + c = 4 )
Theo bất đẳng thức Cô-si. Ta có:
a + b ≥ 2 ab ; b + c ≥ 2 bc ; c + a ≥ 2 ca

⇒ 2a + 2b + 2c ≥ 2 ab + 2 bc + 2 ca
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

)

)


18

Website: tailieumontoan.com

⇒ ab + bc + ca ≤ a + b + c = 4 ⇒ P ≥

16
=1
4 + 3.4

a;b;c > 0
4


Dấu " = " xảy ra ⇔ a + b + c = 4 ⇔ a = b = c =
3
a = b = c

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1 khi a = b = c =

4
3

Bài 9: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn xyz = 2. Chứng minh

x
2y
4z
1
+ 2
+ 2
≤ .
2
2
2
2x + y + 5 6y + z + 6 3z + 4x + 16 2
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số khơng âm, ta có
2x 2 + y 2 + 5 = (x 2 + y 2 ) + (x 2 + 1) + 4 ≥ 2xy + 2x + 4 = 2(xy + x + 2),
2

6y 2 + z 2 + 6 = (4y 2 + z 2 ) + 2(y 2 + 1) + 4 ≥ 4yz + 4y + 4 = 4(yz + y + 1),

3z 2 + 4x 2 + 16 = (z 2 + 4x 2 ) + 2(z 2 + 4) + 8 ≥ 4zx + 8z + 8 = 4(zx + 2z + 2).
x
x
2y
y
≤
, 2
≤
,
Suy ra
2
2
2
2x + y + 5 2(xy + x + 2) 6x + z + 6 2(yz + y + 1)
4z
z
≤
.
2
2
3z + 4x + 16 zx + 2z + 2)
Cộng các bất đẳng thức theo vế, ta được
x
y
z
P≤
+
+
2(xy + x + 2) 2(yz + y + 1) zx + 2z + 2


1
x
y
2z
= 
+
+
÷
2  xy + x + 2 yz + y + 1 zx + 2z + 2 

1
x
xy
2z
= 
+
+
÷
2  xy + x + 2 xyz + xy + x zx + 2z + xyz 
 1
1
x
xy
2
= 
+
+
÷= .
2  xy + x + 2 xy + x + 2 x + xy + 2  2

Bài 10:

Cho các thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3.
Tìm minS = (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2)
Lời giải

Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có :
(a.1 + b.1 + c.1 )2 ≤ ( a2 +12 + 12 )(b2 + c2 + 1) = (a2 + 2) (1+ b2 + c2)
(1)
Do vai trò của a, b, c là như nhau theo nguyên lý Dirichlet thì trong 3 số a2
-1, b2-1,c2-1 luôn tồn tại 2 số cùng dấu, giả sử b2-1; c2-1

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038


19

Website: tailieumontoan.com

⇒ (b − 1)(c − 1) ≥ 0
2

2

⇔ b2c2 − b2 − c2 + 1 ≥ 0
⇔ b 2 c 2 + 2b 2 + 2c 2 + 4 ≥ 3 + 3b2 + 3c 2
⇔ (b 2 + 2)(c 2 + 2) ≥ 3(1 + b 2 + c 2 )
⇔ (a 2 + 2)(b 2 + 2)(c 2 + 2) ≥ 3( a 2 + 2)(1 + b 2 + c 2 )

(2)

Từ (1) và (2) , suy ra:
S = = (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) ≥ 3(a +b+c)2=3.9=27
Vậy GTNN của S = 27 khi và chỉ khi a=b=c=1
Bài 11: Giả sử ba số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a > 0 , b = 3a 2 , a + b + c = abc . Chứng
1+ 2 3
.
3

minh rằng: a ≥

Lời giải
abc
Ta thấy 3a 2 = bc ⇒ 3a 3 = abc ⇒ a3 =
3

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
2

2

3
 b + c   3a − a 
3a = bc ≤ 
=
÷
÷ 
 2   2 
2

⇒ 3a 2

( 3a
≤

3

− a)

2

4

⇒ 12a 2 ≤ ( 3a 3 − a )

2

⇒ a 2 ( 3a 2 − 1) ≥ 12a 2
2

(

⇒ ( 3a 2 − 1) − 2 3
2

(

)(

)

2

≥0

)

⇒ 3a 2 − 1 + 2 3 3a 2 − 1 − 2 3 ≥ 0
 3a 2 − 1 − 2

 3a 2 − 1 + 2
⇒
 3a 2 − 1 − 2
 2
 3a − 1 + 2
 2
 a
 
 2
 a

⇒

 a 2


 a 2
 
⇒ a2 ≥

3≥0
3≥0
3≤0
3≤0

1− 2 3
3
1+ 2 3
≥
3
≥

1− 2 3
3
1+ 2 3
≤
3
≤

1+ 2 3
3

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038


20

Website: tailieumontoan.com
⇒a≥

1+ 2 3
( Do a > 0 ).
3

(

)(

4
4
4
4
Bài 12: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a + b b + c

(a

2

)(

)(

)(c

4

)

+ a 4 = 8 . Chứng minh rằng

)

− ab + b 2 b 2 − bc + c 2 c 2 − ca + a 2 ≥ 1 .
Lời giải

(

+ Ta chứng minh kết quả 2 a 2 − ab + b 2

(

)

2

≥ a 4 + b 4 (1).

(

Thật vậy , (1) ⇔ 2 a + b + a b + 2a b − 2ab a + b
4

4

2

2

2

2

⇔ ( a 2 + b 2 − 2ab ) ≥ 0 .

2

2

)) ≥a

4

+ b4

2

⇔ ( a − b ) ≥ 0 , bất đẳng thức đúng, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b
4

(

+ Tương tự có (2): 2 b 2 − bc + c 2

)

2

≥ b 4 + c 4 , (3) : 2 ( c 2 − ca + a 2 ) ≥ c 4 + a 4 .
2

+ Thấy các vế của (1), (2), (3) đều không âm, nhân theo vế các bất đẳng thức này ta được

8 ( a 2 − ab + b 2 ) ( b 2 − bc + c 2 ) ( c 2 − ca + a 2 ) ≥ ( a 4 + b 4 ) ( b 2 + c 4 ) ( c 4 + a 4 ) = 8
2

(

2

Hay a 2 − ab + b 2

) (b
2

2

2

− bc + c 2 ) ( c 2 − ca + a 2 ) ≥ 1 (*).
2

2

Do a 2 − ab + b 2 , b 2 − bc + c 2 , c 2 − ca + a 2 ≥ 0 nên từ (*) suy ra

(a

2

− ab + b 2 ) ( b 2 − bc + c 2 ) ( c 2 − ca + a 2 ) ≥ 1 , có đpcm.
2

2

Bài 13: Cho các số dương x , y , z thỏa mãn:

2

x 2 + y 2 + y 2 + z 2 + z 2 + x 2 = 2014 . Tìm giá trị

x2
y2
z2
+
+
nhỏ nhất của biểu thức T =
.
y+z z+x x+ y
Lời giải
Đặt a = x 2 + y 2 ; b =

y2 + z2 ; c = z2 + x2

( a ; b ; c > 0)

⇒ a + b + c = 2014
a = x2 + y 2 ⇒ a2 = x2 + y 2
b=

y 2 + z 2 ⇒ b2 = y 2 + z 2

c = z2 + x2 ⇒ c2 = z2 + x 2
⇒ x2 =

a 2 − b2 + c2
a 2 + b2 − c2
− a 2 + b2 + c 2
; y2 =
; z2 =
2
2
2

Áp dụng bất đẳng thức Cô – sy, ta có:
y + z ≤ 2 ( y2 + z2 ) = b 2 ⇒
z + x ≤ 2( z + x
2

2

)

x2
x2
≥
y+z b 2

y2
y2

=c 2⇒
≥
z+x c 2

z2
z2
≥
x+ y a 2
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038
x + y ≤ 2 ( x2 + y2 ) = a 2 ⇒


21

Website: tailieumontoan.com
x
y
z
x
y
z
1 x
y
z2 
T=
+
+
≥
+
+

=
+
+

y+z z+x x+ y b 2 c 2 a 2
c
a÷
2 b

2

2

2

2

2

2

2

2

1  a 2 − b2 + c 2 a 2 + b2 − c 2 −a 2 + b2 + c 2 
T≥
+
+


÷
b
c
a
2 2

T≥


1  a 2 c 2 a 2 b2 b2 c 2
 b + b + c + c + a + a − a − b − c÷
2 2


Áp dụng bất đẳng thức Cơ – sy, ta có:
a2
b2
c2
+ b ≥ 2a ;
+ a ≥ 2b ;
+ a ≥ 2c
b
a
a
a2
b2
c2
+ c ≥ 2a ;
+ c ≥ 2b ;
+ b ≥ 2c

c
c
b
⇒

a 2 c 2 a 2 b2 b2 c 2
+ + + + + ≥ 4 ( a + b + c ) − 2 ( a + b + c ) = 2 ( a + b + c ) = 2.2014 = 4028
b b
c
c a a

⇒

a 2 c 2 a 2 b2 b2 c 2
+ + + + + − a − b − c ≥ 2 ( a + b + c ) − ( a + b + c ) = a + b + c = 2014
b b
c
c a a

⇒T ≥

1
2 2

×2014 =

1007
2

Dấu “ = ” xảy ra khi a = b = c =

Vậy MinT =

2014
3

1007
2014
⇔x=y=z=
2
3 2

Bài 14: Với x , y là các số thực thay đổi thỏa mãn 1 ≤ y ≤ 2 và. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
x2 + 4
M= 2
y +1
Lời giải
Ta có: xy + 2 ≥ 2 y ⇒ 4 xy + 8 ≥ 8 y
Mà 4 x 2 + y 2 ≥ 4 xy ⇒ 4 x 2 + y 2 + 8 ≥ 4 xy + 8 ≥ 8 y
⇒ 4 ( x2 + 4) ≥ 8 y + 8 − y 2
⇒ 4 ( x 2 + 4 ) ≥ 4 ( y 2 + 1) + ( 5 y + 2 ) ( 2 − y ) ≥ 4 ( y 2 + 1)

⇒M =

x2 + 4
≥1
y2 + 1

Dấu “ = ” xảy ra khi x = 1 và y = 2
x = 1
Vậy MinM = 1 ⇔ 

y = 2
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038


22

Website: tailieumontoan.com
y
Bài 15: Cho x , , z là các số thực dương thỏa mãn xy + yz + xz = 1 . Chứng minh rằng:
1
1
1
2 x
y
z
+
+
≥
+
+

2
2
2
2
2
1+ x 1+ y 1+ z
3  1 + x
1+ y
1 + z2

Lời giải

3


÷
÷


1 + x 2 = xy + yz + xz + x 2 = ( x + y ) ( x + z )
1 + y 2 = xy + yz + xz + y 2 = ( x + y ) ( y + z )
1 + z 2 = xy + yz + xz + z 2 = ( z + y ) ( x + z )
⇒

2( x + y + z)
1
1
1
+
+
=
2
2
2
1+ x 1+ y 1+ z
( x + y) ( y + z) ( z + x)

 x
y
z

Ta có: 
+
+
 1 + x2
1 + y2
1 + z2


2


 x
y
z 
+
+
÷ ≤ ( x + y + z) 
2
2
2 ÷
÷
1+ x 1+ y 1+ z 




x
y
z
= ( x + y + z) 

+
+

( x + y) ( x + z) ( x + y) ( y + z) ( z + y) ( x + z) 
=

2( x + y + z)
( x + y) ( y + z) ( z + x)

 x
1
1
1
y
z
⇒
+
+
≥
+
+

2
2
2
2
2
 1+ x
1+ x 1+ y 1+ z
1+ y

1 + z2


2


÷
÷


Do đó:
2 x
y
z
+
+

2
2
3  1 + x
1+ y
1 + z2

3


4( x + y + z)
÷ =
÷ 3( x + y ) ( y + z ) ( z + x )


Bất đẳng thức trở thành
x
1 + x2

+

y
1+ y2

+

z
1 + z2

≤

3
2

Ta có:

x
1+ x

2

y
1 + y2

z
1+ z

2

=
=

=

1 x
x 
≤ 
+
÷
( x + y) ( x + z) 2  x + y x + z 
x

y

( x + y) ( y + z)
z

( x + z) (

≤

1 y
y 
+


2 x+ y y+ z÷


1 z
z 
≤ 
+
÷
y + z) 2  x + z y + z 

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038

 x
y
z
+
+

2
2
 1+ x
1+ y
1 + z2



÷
÷


23

Website: tailieumontoan.com
⇒

x
1+ x

2

y

+

1+ y

2

+

z
1+ z

2

≤

3

2

1
3

Dấu “ = ” xảy ra khi x = y = z =

Bài 16: Với x, y là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện 4 x 2 + 4 y 2 + 17 xy + 5 x + 5 y ≥ 1 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 17 x 2 + 17 y 2 + 16 xy .
Lời giải
Đặt a = x + y . Áp dụng bất đẳng thức Cơ – sy, ta có:

( x + y)
xy ≤
4

2

2


a 2 hay  5
=
 a + 1÷ ≥ 2
2

4

Từ đó, ta có a ≥

2
5

(

)

2 − 1 . Suy ra

9
P = 17 x 2 + 17 y 2 + 16 xy = 17a 2 − 18 xy ≥ 17a 2 − a 2 ≥ 2
2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y =

(

)

2

2 −1 = 6 − 4 2

2 −1
.
5

Bài 17: Cho a , b , c là ba số thực thỏa điều kiện a + b + c = 10 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
M = a 2 + b2 + c 2 .
Lời giải
M = a 2 + b 2 + c 2 = ( a + b + c ) − 2 ( ab + bc + ca ) = 100 − 2 ( ab + bc + ca )

2

Áp dụng bất đẳng thức Cơ – sy, ta có:
ab ≤

a 2 + 2ab + b2
b 2 + 2bc + c 2
c 2 + 2ca + a 2
bc
≤
ca
≤
;
;
4
4
4

⇒ ab + bc + ca ≤ a 2 + b 2 + c 2
⇒ M ≥ ab + bc + ca

⇒M ≥

100 − M
2

⇒M ≥

100
3

a = b = c
10
⇔a=b=c=
Dấu “ = ” xảy ra ⇔ 
3
 a + b + c = 10
Vậy Min M =

100
10
⇔a=b=c=
3
3

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038


24

Website: tailieumontoan.com

(

xyz x + y + z + x 2 + y 2 + z 2

Bài 18: Cho ba số thực x , y , z . Tìm giá trị lớn nhất biểu thức S =

(x

2

+y +z
2

2

) ( xy + yz + zx )

).

Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:

( x + y + z)
⇒S≤

⇒S≤

xyz

2

(

≤ 3( x2 + y 2 + z2 ) ⇒ x + y + z ≤ 3 x2 + y 2 + z 2
3 x2 + y2 + z2 + x2 + y2 + z2

(x

+ y 2 + z 2 ) ( xy + yz + zx )

2

xyz

(

)

3 +1

3 6 x2 y 2 z2 3 x2 y 2z2

=

)=

xyz

(

)

3 +1

x 2 + y 2 + z 2 ( xy + yz + zx )

3 +1
3 3

Dấu “ = ” xảy ra khi x = y = z
3 +1
⇔x=y=z
3 3

Vậy Max M =

Bài 19: Cho ba số thực dương x , y , z thỏa mãn: x + y + z = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
x
y
z
S=
+
+
2
2
1 + y 1+ z 1+ x2
Lời giải
Ta có :

x
xy 2
y
yz 2
z
zx 2
+
=
x

;
;
+
=
y
+
=z
1 + y2 1 + y2
1 + z2 1 + z2
1 + x2 1 + x2

⇒S=

 xy 2
x
y
z
yz 2
zx 2 
+
+
=
x
+
y
+
z
−
+
+

(
) 
2
2
2 ÷
1 + y2 1 + z2 1 + x2
1+ y 1+ z 1+ x 

 xy 2
yz 2
zx 2 
⇒ S = 3− 
+
+
2
2
2 ÷
1+ y 1+ z 1+ x 
xy 2
xy 2 xy
yz 2
yz 2 yz
zx 2
zx 2 zx
≤
=
Ta có:
;
;
≤

=
≤
=
1 + y2 2 y
2 1 + z2 2z
2 1 + x2 2 x
2
⇒

xy 2
yz 2
zx 2
xy + yz + zx
+
+
≤
2
2
2
1+ y 1+ z 1+ x
2

⇒ S ≥ 3−

xy + yz + zx
2

Do ( x + y + z ) ≥ 2 ( xy + yz + zx ) ⇒ xy + yz + zx ≤ 3
2

⇒ S ≥ 3−

3 3
=
2 2

Vậy Min S =

3
⇔ x = y = z =1
2

Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038


25

Website: tailieumontoan.com
Bài 20: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y =

2
1
+ với 0 < x < 1 .
1− x x
Lời giải

y=

2
1

2
1
2x 1 − x
+ =
− 2 + −1+ 3 =
+
+3
1− x x 1− x
x
1− x
x

 2x
1 − x > 0
Vì 0 < x < 1 ⇒ 
1 − x > 0
 x
Áp dụng bất đẳng thức Cô – sy, ta có:
2x 1 − x
2x 1 − x
+
≥2
×
=2 2 ⇒ y ≥2 2 +3
1− x
x
1− x x
Dấu “=” xảy ra khi:

2x 1 − x

=
⇔ 2x2 = x2 − 2x + 1 ⇔ x2 + 2x − 1 = 0
1− x
x
⇔ x = −1 + 2 (nhận) hoặc x = −1 − 2 (loại)

Vậy Min y = 2 2 + 3 ⇔ x = 2 − 1
Bài 21: Cho a , b , c là các số dương thỏa mãn điều kiện

1 1 1
+ + ≤ 3 . Chứng minh rằng:
a b c

a
b
c
1
+
+
+ ( ab + bc + ca ) ≥ 3
2
2
2
1+ b 1+ c 1+ a
2
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô – sy cho 2 số dương, ta có:
a b
b c
c a

+ ≥2; + ≥2; + ≥2
b a
c b
a c
⇒

a b b c c a
+ + + + + ≥6
b a c b a c

⇒

a b b c c a
+ + + + + +3≥ 6+3
b a c b a c

b  c c 
 a a b
⇒  1 + + ÷+  + 1 + ÷+  + + 1 ÷ ≥ 9
c a b 
 b c a
 1 1 1
 1 1 1  1 1 1
⇒ a  + + ÷ + b  + + ÷+ c  + + ÷ ≥ 9
a b c
a b c a b c
1 1 1
⇒  + + ÷( a + b + c ) ≥ 9
a b c
⇒

9
1 1 1
≤ + + ≤3
a+b+c a b c

⇒a+b+c ≥3
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038