Bài giảng Thi học sinh giỏi toán 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỢI TỦN DỰ THI HỌC SINH GIỎI Q́C GIA
LÂM ĐỒNG NĂM HỌC 2010-2011
ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi : TỐN
( Đề thi gồm có 01 trang) Thời gian làm bài : 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi : 13/10/2010
Câu 1: ( 4,0 điểm)
Giải hệ phương trình:
2 4 3
2 2
4 4 0
4 2 4 1
x y xy
x y xy

+ − =


+ − =


Câu 2: ( 5,0 điểm)
Cho dãy sớ
( )
n
u
xác định như sau:
1
2u =
và
2
1

2010
,
2011 2011
n
n n
u
u u
+
= +
với
1,2,3,...n =
1. Chứng minh
( )
n
u
là dãy số tăng và khơng bị chặn trên.
2. Tính
1
1
lim
1
n
i
n
i
i
u
u
→+∞
=

+
−
∑
.
Câu 3: ( 5,0 điểm)
1. Từ đỉnh
A
của hình vng
ABCD
, ta vẽ hai tia
,Ax Ay
đi qua miền trong của hình
vng đó. Gọi
,M K
lần lượt là hình chiếu của các điểm
,D B
lên
Ax
; gọi
,N L
lần lượt là
hình chiếu của các điểm
,D B
lên
Ay
. Chứng minh rằng các đường thẳng
,KL MN
vng
góc với nhau.
2. Cho tam giác

ABC
nhọn, với
, ,BC a CA b AB c= = =
. Hãy tìm điểm
M
bên trong
tam giác ABC sao cho
. . .a MA b MB c MC+ +
đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 4:( 3,0 điểm)
Cho
, ,x y z
là các số ngun. Chứng minh rằng
x y z
+ +
chia hết cho 30 khi và chỉ khi
5 5 5
x y z+ +
chia hết cho 30.
Câu 5: ( 3,0 điểm)
Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số thỏa mãn
đồng thời các điều kiện sau:
1. Trong mỗi số tự nhiên, mỗi chữ số có mặt đúng hai lần.
2. Trong mỗi số tự nhiên, hai chữ số giống nhau khơng đứng cạnh nhau.
-----------------------Hết-----------------------
Họ và tên thí sinh:……………………………………………Số báo danh:…………........
Chữ kí giám thị 1:………………………..Chữ kí giám thị 2:………………………….....
Trang 1/1