chuong 1 tap hop lop 10

Lớp 10- 2017-2018

GV: Nguyễn Thị Thu Sương- 01206004221

Chuyên đề 1: MỆNH ĐỀ. TẬP HỢP
Chủ đề 1: MỆNH ĐỀ

1. Mệnh đề: là một khẳng định hoặc là đúng hoặc là sai và khơng thể
vừa đúng vừa sai.
Ví dụ:  “2 + 3 = 5” là MĐ đúng.
“ 2 là số hữu tỉ” là MĐ sai.
 “Mệt quá!” không phải là MĐ.
2. Mệnh đề chứa biến
Ví dụ: Cho khẳng định “2 + n = 5”. Khi thay mỗi giá trị cụ thể của n
vào khẳng định trên thì ta được một mệnh đề. Khẳng định có đặc
điểm như thế được gọi là mệnh đề chứa biến.
3. Phủ định của một mệnh đề
Phủ định của mệnh đề P ký hiệu là P là một mệnh đề thoả mãn tính
chất nếu P đúng thì P sai, cịn nếu P sai thì P đúng.
P : “3 khơng là số ngun tố”.
Ví dụ: P: “3 là số nguyên tố”.
4. Mệnh đề kéo theo
Mệnh đề “Nếu P thì Q” gọi là mệnh đề kéo theo, ký hiệu P  Q.
Mệnh đềP  Q chỉ sai khi P đúng đồng thời Q sai.
Ví dụ: Mệnh đề “1>2” là mệnh đề sai.
Mệnh đề “ 3 < 2 Þ 3 < 4 ” là mệnh đề đúng.
Trong mệnh đề P  Q thì
P: gọi là giả thiết (hay P là điều kiện đủ để có Q).
Q: gọi là kết luận (hay Q là điều kiện cần để có P).
5. Mệnh đề đảo – Hai mệnh đề tương đương
Mệnh đề đảo của mệnh đề P  Q là mệnh đề Q  P.

Chú ý: Mệnh đề đảo của một đề đúng chưa hẵn là một mệnh đề đúng.
Nếu hai mệnh đề P  Q và Q  P đều đúng thì ta nói P và Q là hai
mệnh đề tương đương nhau. Ký hiệu P  Q.
Cách phát biểu khác: + P khi và chỉ khi Q.
+ P là điều kiện cần và đủ để có Q.
+ Q là điều kiện cần và đủ để có P.
1


Lớp 10- 2017-2018

GV: Nguyễn Thị Thu Sương- 01206004221

6. Ký hiệu , 
: đọc là với mọi
: đọc là tồn tại
Ví dụ: x  , x 2  0: đúng n  , n2 – 3n + 1 = 0: sai
7. Phủ đỉnh của mệnh đề với mọi, tồn tại
Mệnh đề P: x có mệnh đề phủ định là x
Mệnh đề P: x có mệnh đề phủ định là x
Lưu ý:
Phủ định của “a < b” là “a  b” Phủ định của “a = b” là “a  b”
Phủ định của “a > b” là “a  b”
BÀI TẬP
Bài 1: Hãy phát biểu thành lời các mệnh đề sau. Xét tính đúng sai và
lập mệnh để phủ định của chúng
a/ ∃x ∈ R : x2 +1=0
b/ ∀ x ∈R : x 2+x +3≠0
2
c/ ∃x∈Z :|x|<1

d/ ∃x ∈R : x ≤0
2
2
e/ ∃x ∈R : x −4 x+3=0
f/ ∃x ∈R : x −5≠0
2
f/ ∀ n∈ N :n(n+1 )≠2
g/ ∃x ∈Z : x < x
2
h/ ∀ x ∈R : x + x +2>0
i/ ∀ x ∈R : x 2−6 x≥−9
g/ ∃x ∈R :−x 2−4 x−4 <0
m/ ∃∈R :|−x|=x
n/
l/

1
∀ x ∈R : < x
x

∀ x ∈: R :

2
k/ ∃x∈Q: x −x−1=0

x 2−1
=x +1
x−1

p/ ∃n∈N :1+3+5+7+...+(2n−1)=n

r/ ∀ n∈ N : n( n+1 )⋮2
3
t/ ∃n∈N : ( n +2 n )⋮3
2 n+1
n+2
v/ ∀ n∈N :(3 +2 )⋮7

o/
2

x 2 −9
∃x ∈R :
≠x−3
x +3

q/

∀ n∈N :1+2+3+. ..+n≠

s/ ∃x∈R :|x|n
u/ ∃n∈N :(4 +15 n−1)⋮9
2
w/ ∀ x∈R :( √ x−1) =x−1

2

n( n+1)
2

Lớp 10- 2017-2018

GV: Nguyễn Thị Thu Sương- 01206004221

Chủ đề 2: TẬP HỢP
TẬP HỢP
Cho tập hợp A. Nếu a là phần tử thuộc tập A ta viết a  A.
Nếu a là phần tử không thuộc tập A ta viết a  A.
1. Cách xác định tập hợp
a. Cách liệt kê
Viết tất cả phần tử của tập hợp vào giữa dấu {}, các phần tử cách nhau
bởi dấu phẩy (,)
Ví dụ: A = {1,2,3,4,5}
b. Cách nêu tính chất đặc trưng
Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập đó.
Ví dụ: A = {x  |2x 2 – 5x + 3 = 0}
Ta thường minh hoạ tập hợp bằng
một đường cong khép kín gọi là
biểu đồ Ven.
2. Tập hợp rỗng: Là tập hợp không chứa phần tử nào. Ký hiệu .
2
Ví dụ: A = {xR | x  4 0 } thì được ghi là A = .
3. Tập hợp con của một tập hợp
A  B ⇔x : x A ⇒ x B
Ví dụ: A = {1, 3}, B = {1, 2, 3} thì A  B.

 Lưu ý:
 A  A, A.
 A  B, B  C thì A  C.

   A, A.
4. Hai tập hợp bằng nhau:
A = B  x : x A x B
Ví dụ: A = {nN | n là bội chung của 2 và 3};
B = {nN | n là bội của 6} là hai tập hợp bằng nhau, đều bằng {0; 6; 12;
18; 24; …}.
3


Lớp 10- 2017-2018

GV: Nguyễn Thị Thu Sương- 01206004221

BÀI TẬP
Bài 1: Viết các tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho
các phần tử.
a/ A= { 0,2, 4, 6, 8,10 , 12 }
b/ B={ 1, 3,5, 7, 9,11, 13 , 15 }
D=

{

1 1 1 1 1
, , , ,
2 6 12 20 30

c/ C={ 0 , 3 , 8 , 15 , 24 , 35 , 63 }
d/
Bài 2: Liệt kê các phần tử của tập hợp sau :
a/ A= { 3k−1 |k∈Z ,−5≤k≤3 }

b/ B={ x∈Z | |x|<9 }

{

17
2

}.

}
c/
d/ D= { x∈Q|( x −5 x−6)( x −7)=0 }
2
2
e/ E= { x∈R|2x −7 x +5=0 va x < 2,4 }
f/ F={ x∈(−1;3 )| x −x−2=0 }
2
2
g/ G= {x∈(−7;8,3 ) |( x −64)( x −8 x+7)=0 }
Bài 3: Xác định các tập hợp sau bằng cách liệt kê
A = {x  Q | (2x + 1)(x2 + x – 1)(2x2 – 3x + 1) = 0}
B = {x   | 6x2 – 5x + 1 = 0}
C = {x   | (2x + x2)(x2 + x – 2)(x2 – x – 12) = 0}
D = {x   | x2 > 2 và x < 4}
E = {x   | x  2 và x > –2}
F = {x   ||x |  3}
G = {x   | x2  9 = 0}
H = {x  R | (x  1)(x2 + 6x + 5) = 0}
I = {x  R| x2  x + 2 = 0}
J = {x   | (2x  1)(x2  5x + 6) = 0}

K = {x | x = 2k với k   và 3 < x < 13}
L = {x   | x2 > 4 và |x| < 10}
M = {x   | x = 3k với k   và 1 < k < 5}
N = {x  R | x2  1 = 0 và x2  4x + 3 = 0}
Bài 4:Hãy liệt kê các phần tử của các tập hợp sau đây
B = {x  |6x2 – 5x +1 = 0} F = {x  |2x2 – 5x + 3 = 0}
C= x ∈Z | 3 <|x|≤

2

x=

2

1

2

1
8

G = {x  |2x – 5x + 3 = 0} H={x  Q| 2 ,  , x  }
I là tập hợp các số chính phương khơng vượt q 400

4

a


Lớp 10- 2017-2018

GV: Nguyễn Thị Thu Sương- 01206004221

Chủ đề 3: CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP
1. Phép giao: AB = {x  x A và x B}
x∈A
hay x  AB { x ∈ B

B

A

2. Phép hợp: AB = {x  x A hoặc x B}
x∈ A
hayxAB ¿¿ x ∈ B

B

A

3. Hiệu của hai tập hợp: A\B = {x x A và x B}
x∈A
Hay x  A\B  { x B
A

B

A\ B

4. Phần bù: Khi B  A thì A\B gọi là phần bù của B trong A. Ký hiệu

C AB
B

Vậy, C A = A\B khi B  A

B

A

BÀI TẬP
Bài 1: Cho ba tập hợp :
A= {1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 7 } , B={ -1, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 9 } C={ 1 , 3 , 6 , -2 , 7 }
a/ Xác đinh các tập hợp : A∩B , A∩C , B∩C , A\ B , B \ C , A∪C , A∪B
b/ Chứng minh rằng :
c/ Chứng minh rằng : ( A∪B )∩C =( A∩C )∪( B∩C )
Bài 2: Mỗi học sinh lớp 10E đều chơi bóng đá hoặc bóng chuyền.
Biết rằng có 25 chơi bóng đá ,20 bạn chơi bóng chuyền và 10 bạn chơi
cả hai mơn thể thao này. Hỏi lớp 10E có bao nhiêu học sinh.
Bài 3:Cho các tập hợp
(

¿
A ∩ B )∪ ( A
¿
¿ = A ∪ B

¿∪ ( B

5

¿


Lớp 10- 2017-2018
A= { x ∈R| -3 ≤x≤2 }

GV: Nguyễn Thị Thu Sương- 01206004221

, B={ x ∈R|0< x≤8 }
C={ x∈R | x < -1 }
, D= { x∈R | x≥ 6 }
a/ Dùng kí hiệu đoạn , khoảng , nửa khoảng để viết lại các tập hợp trên.
b/ Biểu diễn các tập hợp A, B, C, D trên trục số.
c/ Xác định các tập hợp sau :
A∩B , A∩ C , A∩D , B∩C , B∩D , C∩D , A∪B , A∪C , A∪D , B∪C , B∪D , D∪C d/ Xác
định các tập hợp :
¿
A ∪( B ∩C ) ; ( A ∩B )∪C
; ( A ∩C ) \B
¿∩ A
; R\A
; R \ B ; R \ C ¿

6

;

( D

Lớp 10- 2017-2018

GV: Nguyễn Thị Thu Sương- 01206004221

Chủ đề 4: CÁC TẬP HỢP SỐ
 Số tự nhiên N: N {0;1;2;3...}
 Số tự nhiên khác 0: N * {1;2;3...}
 Số nguyên Z: Z {...  3;  2;  1;0;1;2;3...}
 Nguyên Z: Z {...  3;  2;  1;0;1;2;3...}
a
, a  Z ,b  N *
b
.

 Hữu tỷ Q: Biểu diễn dưới dạng
 Số thực R: Là tập hợp các số có dạng thập phân
hữu hạn hoặc vơ hạn tuần hồn (hữu tỷ) và dạng
thập phân vơ hạn khơng tuần hồn (vơ tỷ).
1. Quan hệ giữa các tập số:     Q R
2. Các tập con của tập hợp số thực
Nửa khoảng [a ; b]

Tập hợp
xR/ a  x  b

Khoảng(a ; b )

xR/ a < x < b

Khoảng (- ; a)

xR/ x < a

Hình biểu diễn
//////////// [

////////////(

] ////////

) /////////

)/////////////////////
///////////////////(

Khoảng (a ; + )

xR/ a< x 

Nửa khoảng [a ; b)

R/ a  x < b

////////////[

) /////////

Nửa khoảng (a ; b]

xR/ a < x  b

////////////(

] /////////

Nửa khoảng (- ; a]

xR/ x  a

Nửa khoảng [a ;  )

xR/ a  x 
BÀI TẬP
7

]/////////////////////

///////////////////[


Lớp 10- 2017-2018

GV: Nguyễn Thị Thu Sương- 01206004221

Bài 1: Xác định mỗi tập hợp số sau :
a/ (-5 ; 3)∩(0 ; 7)

b/ (-1 ; 5 )∪(3 ; 7)

¿

c / R ( 0 ;+∞ )

d / (−∞ ; 3)∩(- 2 ; +∞ )

e/ (- 1 ; 3 )∩(1 ; +∞ )∪(-2 ; 1)
g/(−∞ ; - 3)∩{ -1 ; - 2 ; 3 ; - √ 3 ; 5}

f / (−∞ ; 2)∩(-1 ; 5 )∩( √ 2;7 )
¿
h/( - 7 ; +∞ )( -1 ; 5 )

Bài 2: Cho ba tập hợp

{

C= x ∈R |

2
>0
-x+ 2

}

A= { x∈ R | 2x - 1 > 0 } , B={ x∈ R ||x- 2|>4 } và
Xác định tập hợp : A∩B ; A∪B ; A∩C ; B∩C ; B∪C , A∩B∩C .

Bài 3: Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng lên trục số.
a.[–3;1)  (0;4]
b.[–3;1)  (0;4]
c.(–;1)  (2;+)

d.(–;1)  (2;+)
Bài 4: Cho tập hợp A = (–2;3) và B = [1;5). Xác định các tập hợp A 
B, A  B, A\B, B\A
Bài 5: Cho A = {x  R | |x |  4} ; B = {x  R| –5 < x – 1  8}
Viết các tập hợp sau dưới dạng khoảng – đoạn – nửa khoảng A  B ;
A\B ; B\A ; \(A B)
Bài 6: Cho A = {x  R | x2  4} ; B = {x  R | –2  x + 1 < 3}Viết các
tập hợp sau dưới dạng khoảng – đoạn – nửa khoảng AB ; A\B ; B\A ; \
(AB)
Bài 7: Cho A = {x  R|– 3  x  5} và B = {x  | –1 < x  5}. Xác định
các tập hợp A  B, A B, A\B, B\A
Bài 8: Cho hai tập hợp A = {x  R| x > 2} và B = {x  R| –1 < x  5}.
Xác định các tập hợp A B, A  B, A\B, B\A
Bài 9: Cho hai tập hợp A = {2,7} và B = (–3;5]. Xác định các tập hợp
A  B, A  B, A\B, B\A
Bài 10: Xác định các tập hợp sau đây và biểu diễn chúng lên trục số
a.R\((0;1)  (2;3))
b.R\((3;5)  (4;6))
c.(–2;7)\[1;3]
d.((–1;2)  (3;5))\(1;4)
2
A. - π < - 2 <=> π < 4
C.π < 4 <=> π 2 < 16
B. 23 < 5 => 2. 23 < 2.5
C.23 < 5 => (-2) 23 > (-2)
8


Lớp 10 –2017-2018

GV: Nguyễn Thị Thu Sương -01206004221

CHUYÊN ĐỀ 2: VECTO
Chủ đề 1: VECTO- TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTO
1.Vectơ
* Vecto là đoạn thẳng định hướng:
-Một điểm được xác định là gốc( điểm đầu), còn điểm kia là điểm ngọn(
điểm cuối)
-Hướng từ điểm gốc đến ngọn là hướng của vecto
-Độ dài của đoạn thẳng gọi độ dài của vecto( mô đun)
* Kí hiệu: Vecto có điểm gốc A, điểm ngọn B kí hiệu
Độ dài vecto

⃗
AB

kí hiệu là

||

Đường thẳng AB gọi là giá của vecto

⃗
AB

* Vecto khơng kí hiệu ⃗0 là vecto:
-Có điểm gốc và điểm ngọn trùng nhau
-Có hướng bất kì
-Độ dài bằng 0
2.Hai vecto cùng phương, cùng hướng:

 Giá của một véctơ là đường thẳng chứa véctơ đó.
9

⃗
AB


Lớp 10 –2017-2018

GV: Nguyễn Thị Thu Sương -01206004221

 Hai véctơ được gọi là cùng
phương nếu giá của chúng song song
⃗
hoặc trùng nhau. Véctơ 0 cùng phương với mọi véctơ.
 Hai véctơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.
Cùng hướng là mũi tên từ điểm đầu đến điểm cuối cùng chỉ về một
hướng.
* Hai vecto
⃗
AB

CD
// ⃗

⃗
CD

↑↑

⇔

{ ¿/¿ Tia AB ,CD cùng hư

ớng

CD được gọi là ngược hướng kí hiệu:
và ⃗

⃗
AB

⃗
CD

↑↓

AB/¿CD
A , B , C , D thẳng hàng

và C⃗D được gọi là cùng hướng kí hiệu:

⃗
AB

* Hai vecto
⃗
AB

¿
¿

⇔

* Hai vecto
⃗
AB

CD được gọi là cùng phương kí hiệu:
và ⃗

⃗
AB

⇔

{ ¿/¿ Tia AB ,CD ngư

ợh
cư

ớng

3.Hai vecto bằng nhau, đối nhau:
* Hai vecto
⃗
AB

=

⃗
CD

* Hai vecto
⃗
AB

=-

⃗
CD

⃗
AB
⇔

⃗
AB
⇔

và C⃗D được gọi là bằng nhau kí hiệu:
¿
AB=CD
¿
¿

CD được gọi là đối nhau kí hiệu:
và ⃗
¿

AB=CD
¿
¿

4. Tổng và hiệu của hai vecto:
a. Định nghĩa tổng của 2 vectơ và quy tắc tìm tổng:
AB=⃗a , ⃗
BC=⃗b .
* Cho 2 vecto tùy ý ⃗a và ⃗b . Lấy điểm A tùy ý, dựng ⃗
AC
Khi đó ⃗a + ⃗b = ⃗
AB+⃗
BC=⃗
AC (Quy tắc 3 điểm)
* Với 3 điểm A, B, C tùy ý ta ln có: ⃗
AB+⃗
AD=⃗
AC (Quy tắc hình
* Tứ giác ABCD là hình bình hành, ta có ⃗
bình hành)
10


Lớp 10 –2017-2018

GV: Nguyễn Thị Thu Sương -01206004221
các vectơ: Với ⃗a , ⃗b , ⃗c là 3 vectơ bất

 Tính chất phép cộng
có:

 ⃗a + ⃗b = ⃗b + ⃗a (tính chất giao hốn)
 ( ⃗a + ⃗b ) + ⃗c = ⃗a + ( ⃗b + ⃗c ) (tính chất kết hợp)
 ⃗a + ⃗0 = ⃗0 + ⃗a = ⃗a (tính chất vectơ-khơng)
 ⃗a + (- ⃗a ) = - ⃗a + ⃗a = ⃗0
b. Vectơ đối:
⃗ ⃗

kì ta

*Vectơ là vectơ đối của ⃗a nếu b  a và ⃗a , ⃗b ngược hướng nhau. Kí
hiệu ⃗b = - ⃗a
* Nếu ⃗a là vectơ đối của ⃗b thì ⃗b là vectơ đối của ⃗a hay –(– ⃗a )= ⃗a
* Mỗi vectơ đều có vectơ đối. Vectơ đối của AB là BA . Vectơ đối của 0 là
⃗0

c. Định nghĩa hiệu và quy tác tìm hiệu:
* ⃗a - ⃗b = ⃗a +(- ⃗b )
OB−⃗
OA=⃗
AB (Quy tắc trừ)
* Với 3 điểm A, B, O bất kì ta có: ⃗
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Xác định một vectơ, sự cùng phương và hướng của hai vectơ

Phương pháp giải: Áp dụng các định nghĩa về các vecto cùng
phương, cùng hướng, vecto bằng nhau, đối nhau.
 Để xác định vectơ ta cần biết độ lớn và hướng của vectơ, hoặc
biết điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Ví dụ 2 điểm phân biệt
AB và ⃗
BA

A, B ta có 2 vectơ khác nhau là ⃗
AA với A
 Vectơ ⃗a là vectơ-không khi và chỉ khi |⃗a|=0 hoặc ⃗a =⃗
là điểm bất kì.
Bài tập:

Bài 1: Cho ABC. Gọi M, N, P lần
lượt  trung
⃗ điểm cạnh AB, AC,

BC. Nhận xét và so sánh hai véctơ NM và PB ; NP và AB
Bài 2: Cho ABC có trực tâm H nội tiếp đường trịn (O). Gọi B là
AH và BC ;
điểm
đối
⃗ xứng của B qua O. Nhận xét và so sánh hai véctơ
⃗
AB và HC .
11


Lớp 10 –2017-2018

GV: Nguyễn Thị Thu Sương -01206004221

Bài 3: Cho
tứ giác ABCD. Chứng minh ABCD là hình bình hành khi
 
và chỉ khi AB DC .
⃗ ⃗

⃗ ⃗
Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng nếu AB DC thì AD BC .
Bài 5:Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của AB và  CD.
Đoạn AN và CM lần lượt cắt BD tại E và F. Chứng
 
minh rằng DE EF FB
Bài 6: Hình bình
hành ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của C qua D.

Chứng minh AE BD
Bài 7: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. M,N lần lượt là trung
điểm của AD và BC.
OM
a. Xác định các vecto cùng phương với vecto ⃗
DO
b. Xác định các vecto cùng hướng với vecto ⃗
OC
c. Xác định các vecto bằng vecto AB và ⃗
Bài 8: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm I
a. Xác định vecto cùng phương với vecto AB
IC
b. Xác định các vecto cùng hương với vecto ⃗
EF
c. Xác định các vecto bằng vecto ⃗
Dạng 2: Khảo sát sự bằng nhau của 2 vectơ.

Phương
pháp giải: Để chứng minh 2 vectơ bằng nhau có 3 cách:
⃗ ⃗

 ⃗ ⃗
a b
  a b
⃗ ⃗
a và b cùng huong 
 
AB DC
⇒
ABCD là hbh


⃗ ⃗

và BC  AD
 Nếu ⃗a = ⃗b , ⃗b = ⃗c thì ⃗a = ⃗c
Bài tập:
Bài 1: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC,
CA, AB. Tìm các vectơ bằng nhau và chứng minh.
Bài 2: Cho điểm M và ⃗a . Dựng điểm N sao cho:
MN=⃗a
a. ⃗
MN cùng phương với ⃗a và có độ dài bằng ⃗a .
b. ⃗
Bài 3: Cho hình vng ABCD tâm O. Liệt kê tất cả các vectơ bằng
nhau (khác ⃗0 ) nhận đỉnh và tâm của hình vng làm điểm đầu và điểm
cuối.
12


Lớp 10 –2017-2018

GV: Nguyễn Thị Thu Sương -01206004221

Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh
MN=⃗
DC , thì ABCD là hình
MN=⃗
AB và ⃗
AD, BC. Chứng minh rằng nếu ⃗
bình hành.
AB=⃗
DC thì
Bài 5: : Cho tứ giác ABCD, chứng minh rằng nếu ⃗
⃗
AD=⃗
BC

Dạng 3: Tìm tổng của hai vectơ và tổng của nhiều vectơ

Phương pháp giải:
 Dùng định nghĩa tổng của 2 vectơ, quy tắc 3 điểm, quy tắc hbh và
các tính chất của tổng các vectơ.
Bài tập:
Bài 1: Cho hbh ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của
BC và AD.
⃗
NC và ⃗
MC ; ⃗
CD ; ⃗
NC

AM và ⃗
AD và ⃗
a. Tìm tổng của 2  vectơ
 
b. Chứng minh AM  AN  AB  AD

Bài 2: Cho lục giác đều ABCDEFF tâm O. Chứng minh
      
OA  OB  OC  OD  OE  OF 0

Bài 3: Cho năm điểm A, B, C, D, E. Hãy tính tổng

⃗ ⃗ ⃗ ⃗
AB  BC  CD  DE

Dạng 4: Tìm vectơ đối và hiệu của 2 vectơ

Phương pháp giải:
 Theo định nghĩa, tìm hiệu ⃗a - ⃗b , ta làm hai bước sau:
- Tìm vectơ đối của ⃗b
- Tính tổng ⃗a +(− ⃗b)   
 Vận dụng quy tắc OA  OB BA với ba điểm O, A, B bất kì.
Bài tập:
Bài 1: Cho tam giac ABC. Các điểm M, N và P lần lượt là trung điểm
của AB, AC và BC
       
a. Tìm hiệu AM  AN , MN  NC, MN  PN , BP  CP
MN và ⃗
AM theo 2 vectơ ⃗
MP

b. Phân tích ⃗
   
Bài 2: Cho 4 điểmA, B, C, D. Chứng minh AB  CD  AC  BD
Bài 3: Cho 2 điểm phân biệt A và B. Tìm điểm M thỏa mãn 1 trong
các điều kiện
sau:
⃗ ⃗ ⃗
  
 
MA

MB

BA
MA

MB

AB
a.
b.
c. MA  MB 0
13


Lớp 10 –2017-2018

GV: Nguyễn Thị Thu Sương -01206004221

Bài 4: Chứng

minh
rằng điểm I là trung điểm của đoaạn thẳng AB


khi và chỉ khi IA  IB
Dạng 5: Chứng minh bất đẳng thức vecto

Phương pháp giải :
Để chứng minh một đẳng thức vecto ta chú ý sử dụng:
AB+⃗
BC=⃗
AC và ⃗
OB−⃗
OA=⃗
AB với mọi A,B,C
* Quy tắc ba điểm: ⃗
AB+⃗
AD=⃗
AC với ABCD là hình bình hành
* Quy tắc hình bình hành : ⃗
Thực hiện các phép biến đổi theo những cách sau đây:
C1: Biến đổi vế này sang vế kia
C2: Biến đổi tương đương ( đưa ĐT chứng minh về một đẳng thức luôn
đúng)
C3: Xuất phát từ một ĐT đúng biến đổi về đẳng thức cần chứng minh
C4: Tạo dựng hình phụ
Bài tập:
Bài 1:
Cho tứ giác ABCD.  Chứng
minh:

   
  
a) AB DC  AD  CB b) BC  DA DC  BA

c)

⃗ ⃗ ⃗ ⃗
AB  CD  AD  CB .

Bài 2: Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt trung
điểm các cạnh AB,
    
AC, BC. Chứng minh rằng O ta ln có OA  OB  OC OM  ON  OP .
Bài 3:
⃗ Cho
⃗ ⃗ sáu
⃗ ⃗điểm
⃗ A, B, C, D, E, F. Chứng minh:
a) AC  BD  EF  AF  BC  ED ;
b)

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
AD  BF  EC  AC  BD  EF ;

c)

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
AE  BD  CF  AD  BF  CE ;

d)

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
AF  BE  CD  AE  BD  CF ;

e)

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
AD  BE  CF  AE  BF  CD .

Bài 4: Chứng
minh rằng với hai véctơ không cùng
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
ln có:

a  b  a b  a  b

.
14

⃗ ⃗
a
phương , b ,

ta


Lớp 10 –2017-2018

GV: Nguyễn Thị Thu Sương -01206004221

Bài 5:
Cho ABCD là hình ⃗bình
⃗ hành.
⃗ ⃗ Chứng minh:
  
a) AB  CB DB ;
b) OA  OC OB  OD với mọi điểm O.
Bài 6: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh:
a)

⃗ ⃗ ⃗ ⃗
AB  CB  AD  CD ;

b)

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
AB  DC  CB  AD 0 .

Bài 7:
⃗ Cho
⃗ ⃗ ngũ
⃗ ⃗giác ABCDE. Chứng
⃗ ⃗ ⃗minh:
⃗ ⃗
a) AB  CD  AE  BC  DE ; b) AB  AC  DC 

⃗ Bài
⃗ ⃗8:⃗Cho
⃗ ⃗lục⃗giác
⃗ ⃗ABCDE. Chứng minh:

AD  BE  CF  AE  BF  CD  AF  BD  CE

15

BE  ED .


Lớp 10 –2017-2018

GV: Nguyễn Thị Thu Sương -01206004221

Chủ đề 2: TÍCH CỦA VECTO VỚI MỘT SỐ
1. Định nghĩa:
⃗
a
 Tích của véctơ với số⃗ thực k là một véctơ, ký ⃗hiệu
 Nếu k > 0 thì véctơ ka⃗ cùng hướng với véctơ a .⃗
 Nếu k < 0 thì véctơ ka ngược
hướng với véctơ a .
⃗
 Độ dài của véctơ
2. Tính⃗ chất: ⃗
k la  kl  a
   ⃗ ⃗ ⃗
  k ⃗ l  ⃗a k a⃗ la⃗

⃗
ka

là

⃗
ka .

k a

 ⃗ ⃗ 
⃗
⃗
k
a

0
a
0

 k = 0 hoặc =
3. Trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm
tam giác:
 
k a b k a kb



⃗
OA  OB
OM 
2
M là trung điểm AB  O,
.


 
⃗
OA  OB  OC
OG 
3
G là trọng tâm ABC  O,
.


4. Điều
kiện hai véctơ cùng phương:
⃗ ⃗
⃗ ⃗
a
,
b
a

cùng phương  tồn tại số thực k để  kb . 
 A, B, C thẳng hàng  tồn tại số thực k để AB k AC .
5. Biểu thị một⃗véctơ
qua hai véctơ không cùng phương:
⃗
⃗
a
,
b
 Cho véctơ
khơng cùng phương. Khi đó

 x ta ln có thể biểu
⃗ ⃗
a, b , tức là có duy nhất
thị được một cách duy
nhất
qua
hai
véctơ
⃗
⃗ ⃗
cặp số m, n sao cho x ma  nb .
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Chứng minh đẳng thức vecto

Phương pháp giải : Vận dụng các quy tắc
16


Lớp 10 –2017-2018

GV: Nguyễn Thị Thu Sương -01206004221

- Quy tắc 3 điểm
- Quy tắc hình bình hành
-

 
⃗
OA  OB
OM 

2
M là trung điểm AB  O,
.

 
⃗
OA  OB  OC
OG 
3
G là trọng tâm ABC  O,
.

 Bài tập:

Bài 1: Cho
hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng:
  

AB  AC  AD 2 AC

Bài 2: Cho M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD
và I là trung
Chứng minh:
⃗ ⃗ điểm
⃗ ⃗ MN.
⃗
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
 AC  BD  AD  BC ;
a) 2MN
b) 4AI  AB  AC  AD ;

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
c) IA  IB  IC  ID 0⃗. ⃗ ⃗ ⃗
Bài 3: Chứng minh AA '  BB '  CC ' 0 khi và chỉ khi ABC và
ABC có cùng trọng tâm.
Bài 4: Cho ABC.

 
 2GB CB .
a) Tìm điểm G sao cho GA
 
 
MA

MB
 2MC 0
b) Tìm điểm M sao cho
Bài 5: Cho ABC, trực tâm H, trọng tâm G nội tiếp đường tròn tâm
O. Gọi D  là điểm
đối xứng
minh:
⃗ ⃗của
⃗ B⃗qua O. Chứng

   
 HD 2 HO ;
HA  HB  HC 2 HO ; OA  OB  OC OH .
a) HB
⃗ ⃗
b) OH 3OG và nhận xét về 3 điểm O, G, H.
Bài 6: Cho ABC và G, H, O lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm

đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Gọi D là điểm đối xứng của A qua
O. Chứng minh rằng:
HC = ⃗
HB + ⃗
HD
a. ⃗
HC =2 ⃗
HO
HA + ⃗
HB + ⃗
b. ⃗
HC = 2 ⃗
OA
HA - ⃗
HB - ⃗
c. ⃗
OA + ⃗
OB + ⃗
OC = ⃗
OH
d. ⃗
OH =3 ⃗
OG
e. ⃗

17


Lớp 10 –2017-2018

GV: Nguyễn Thị Thu Sương -01206004221

Bài 7: Cho ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là điểm trên
cạnh AC sao cho NC= 2NA. Gọi K là trung điểm của MN
a. Chứng minh rằng:

⃗
AK

=

1
4

+

1
6

b. Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:

=

⃗
KD

1
4

+

1
3

Dạng 2: Biểu thị vecto theo hai vecto không cùng phương và chứng
minh 3 điểm thẳng hàng

Phương pháp giải : Sử dụng quy tắc 3 điểm phối hợp với các tính
chất của các phép toán vecto để biểu thị vecto cần biểu diễn theo hai
vecto không cùng phương cho trước.
 Muốn chứng minh 3 điểm thẳng hàng ta cần chứng minh


AB k AC .
Bài tập:



3
BD  BC
5

Bài 1: Cho ⃗ABC.
và
⃗ cạnh BC lấy điểm D sao cho
⃗ ⃗Trên
điểm E thoả 4 EA  2 EB  3EC 0 . 

a) Biểu diễn véctơ ED theo EB và EC ; b) Chứng minh E, A, D
thẳng hàng.


  
2 IA  3IB  IC 0

 Bài 2: Cho ABC và hai điểm I, J thoả hệ thức
2 JA  3JB 0 .
 

a) Biểu diễn véctơ AI theo các véctơ AB, AC và véctơ
véctơ

 
CA, CB .

b) P, Q là hai điểm thoả mãn hệ thức
minh P, I, Q thẳng hàng.




CJ


 
PQ 2 PA  3PB  PC .

và

theo các

Chứng

c) Gọi M là trung điểm đoạn CQ. Chứng minh P, J, M thẳng hàng.
18


Lớp 10 –2017-2018

GV: Nguyễn Thị Thu Sương -01206004221

19


Lớp 10 –2017-2018

GV: Nguyễn Thị Thu Sương -01206004221

Chủ đề 3: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
1. Trục và độ dài đại số trên trục:
 Trục toạ độ là đường
thẳng trên đó đã xác định một
điểm gốc O và
⃗
⃗
một véctơ đơn vị i có độ dài
bằng 1. Ký hiệu (O; i ).
⃗
  Cho điểm M trên trục (O; i ), khi đó có duy nhất một số
thực m để
⃗

OM mi thì m được gọi là toạ độ điểm M trên trục (O; i ) hay véctơ

⃗
OM có toạ độ m trên trục (O; i ).
⃗
 ⃗Cho⃗ điểm A, B trên ⃗trục⃗ (O; i ), khi
đó có duy
nhất một số thực a để
 

OA ai , số thực b để OB bi và AB OB  OA (b  a )i thì (b  a ) được

gọi là toạ độ véctơ AB .
⃗
(
b

a
)
 ⃗ còn được
gọi là độ dài đại số của véctơ AB , ký hiệu AB . Ta
⃗
có AB⃗= AB . i
⃗
⃗

i
Nếu AB cùng hướng với thì AB > 0, nếu AB ngược hướng với i thì
AB <

0.
2. Hệ trục toạ độ:
⃗⃗
⃗
i
,
j
 Hệ trục
toạ độ (O; ) gồm hai trục (O; i
)
⃗
và (O; j ) vng góc nhau.
Điểm O được
⃗
gọi gốc toạ độ. Trục (O; i ) được gọi
là
⃗
trục hoành, ký hiệu Ox. Trục (O; j ) được
gọi là trục
tung, ký hiệu Oy. Hệ trục toạ
⃗⃗
độ (O; i, j ) còn được ký hiệu là Oxy. Mặt
phẳng mà có chứa một hệ trục toạ độ Oxy được gọi là mặt phẳng
toạ độ Oxy.
3. Toạ độ của điểm, véctơ trên hệ trục toạ độ Oxy:
 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy
cho điểm A, khi đó tồn tại duy nhất
⃗ ⃗

OA = xi  y j thì cặp số (x; y) được gọi là toạ độ

cặp số⃗thực (x; y) để

véctơ OA , ký hiệu OA = (x; y) và cặp số (x; y) cũng được gọi là toạ
độ điểm A, ký hiệu A(x; y).
20