Chuyen de BDT BunhiacopskyRat hay

Trong sự phong phú về phơng pháp chứng minh BĐT cũng nh tìm GTNN và GTLN, phơng
pháp sử dụng BĐT Bunhiacopsky là một trong những yêu cầu mà giáo viên cần phải trang bị cho
học sinh, đặc biệt là học sinh giỏi. Tuy nhiên, do thời lợng ít nên giáo viên gặp phải nhiều khó khăn
khi dạy học sinh về chủ đề này.
Việc vận dụng BĐT Bunhiacopsky đợc qui về việc chọn các bộ số thích hợp . Bộ số thích
hợp ở đây phải hiểu theo nghĩa: là phù hợp với điều kiện của bài toán và thống nhất đợc điều kiện
xảy ra dấu bằng, đây là điểm khó nhất khi vận dụng BĐT này.
Trong bài viết này, với mục đích trang bị cho học sinh những hiểu biết cơ bản nhất của phơng
pháp sử dụng BĐT Bunhiacopsky - tôi hy vọng sẽ đóng góp đợc phần nào vào việc dạy học về chủ
đề này.
Nhắc lại BĐT Bunhiacopsky
+ Giáo viên có thể đặt vấn đề về BĐT Bunhiacopsky cho học sinh víi n = 2 vµ n = 3 theo phơng án
sau đây sẽ rất hiệu quả.
- Từ ( a 2+b 2 )( x2 + y 2 ) =( ax+ by )2 + ( ay − bx )2 ∀ a ,b , x , y
2
⇒ ( ax + by ) ≤ ( a2 +b2 ) ( x 2 + y 2 ) . DÊu “=” cã

⇔ ay =bx

hay a = b

x y
2
2
2
2
2
2
2
2
- Tõ ( a +b + c )( x + y + z )=( ax + by+ cz ) +( bz − cy ) +( cx −az ) + ( ay − bx )2

∀ a,b,c, x , y , z
2
(2)
⇒ ( ax + by+ cz ) ≤ ( a2+ b2 +c 2 ) ( x 2+ y 2 + z 2 )
DÊu “=” cã ⇔ ay =bx , cx=az , bz=cy → a = b = c
x y z

a

+ Bé 2 sè:

a
+ Bé 3 sè:

2

2

b

2

 x

2

y

2

  xa  by 

2

dấu “=” xảy ra khi

2

 b 2  c 2   x 2  y 2  z 2   xa  by  cz 

(1)

a kx

b ky

a kx

b ky

dấu “=” xảy ra khi c kz

+ Tổng quát:
 a12  a22  ...  an2   x12  x22  ...  xn2   a1x1  a2 x2  ...  an xx  2
dấu “=” xảy ra khi ai = kxi
1. Chøng minh B§T nhờ sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky
Một số chú ý
*Dạng toán cho biết bậc thấp, chứng minh bậc cao hoặc ngợc lại (
tiến hành nh sau:
1) Dạng cho ax + by = c , C/m

2

⇒ ( ax + by ) ≤ ( a2 +b2 ) ( x 2 + y 2 )

x 2+ y 2 ≥

), ta thêng

c2
, ta chän bộ 2 số (a, b) và (x, y). Khi đó do
a 2+ b2

đpcm.

2) Dạng cho ax + by = c , C/m

... hc ...

Ax 2+ By2 ≥

ABc2
,
a2 B+ b2 A


ta chän bé 2 sè
Khi ®ã
3) Cho

2

2

2

( √aA , √bB )

a
b
a b
( Ax2 + By2 ) ⇒ ®pcm
.x √A+
. y √B ≤
+
A B
√A
√B
√a 2 B2 +b2 A 2 |k| ,
A 2 x 2 + B2 y 2 =k 2 C/m |ax + by|≤
|AB|
ta chän bé 2 sè a , b và
A B

) (

(

)

(

Khi đó

và ( x A , y √ B )

(

)

( Ax , By )

2
2 2
2 2
a
b
a 2 b2
2 a B +b A
. Ax+ . By ≤ 2 + 2 ( A2 x 2+ B2 y 2 ) ⇔ ( ax+ by ) ≤
⇒ ®pcm
2 2
A
B
A B
A B

) (

)

I. Chứng minh bất đẳng thức

Một số bài tập áp dơng
*

Ví dụ 1.1: Cho a, b > 0. Chứng minh
1 1
4
a)  
a b a b
n 2 m2  m  n 
b) 

a
b
a b

2

Lêi giải
a) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có:
2
1
 1

 1 1
. a
. b  4
    a  b  
a

b
a
b




1 1
4
  
a b a b
2
 n 2 m2 
m
2
 n

b)  
. a
. b   n  m 
  a  b  
b 
b
 a

 a
n2 m2  n  m 




a
b
a b
Tổng quát:

2

2

a12 a22
an2  a1  a2  ...  an 
  ...  
bn
b1  b2  ...  bn
 Cho bi  0, i 1.n thì b1 b2
(1)
2
 a  a  ...  an 
a1 a2
a
  ...  n  1 2
cn a1c1  a2c2  ...  ancn (2)
 Với ai ci  0 với i 1.n thì c1 c2
Thật vậy:


2

 a1


 a12 a22
an2 
a2
an
2


...

b

b

...

b

.
b

.
b

...

.
b





 1 2
n
1
2
n   a1  a2  ...  an 
 b

bn 
b2
bn
 b1 b2
 1

2

a12 a22
an2  a1  a2  ...  an 

  ...  
b1 b2
bn
b1  b2  ...  bn
đặt aici = bi > 0 thay vào (1) c (2)
(Một số tài liệu gọi BĐT (1) và (2) là BĐT cộng mẫu số)

Vớ d 1.2: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh
a 2 b2 c 2
a)   a  b  c.
b

c
a
a 3 b3 c 3
c)   a 2  b2  c2
b
c a

a2
b2
c2
a b c
b)



b c c a a b
2
a3
b3
c3
a 2  b2  c2
d)



b c c a a b
2
Lêi giải
2

a) Ta có :

a2 b2 c2  a  b  c 
  
a  b  c
b
c
a
a b c
2

a2
b2
c2
 a  b  c a  b  c
b)



b  c c  a a  b 2 a  b  c 
2
2

2
2
2
a 3 b3 c 3 a 4 b 4 c 4  a  b  c 
c)      
a 2  b 2  c 2
b

c a ab bc ca
ab  bc  ca
a3
b3
c3
a4
b4
c4
a 2  b2  c2
d)






b  c a  c a  b ab  ac ab  bc ac  bc
2

Ví dụ 1.3:
25a 16b
c


8
b

c
c


a
a

b
Cho a, b, c > 0. Chứng minh:
Lêi giải
c
 a

 b

Ta có : VT 25 
 1  16 
 1 
 1  42 
 bc 
 c a  a b
2

25
16
1 
 5  4  1  42 8



a

b


c
 a  b  c  



2 a  b  c
 b c c a a b 
b c a c a b


 a 0
4
1
Dấu “=” xảy ra khi 5
vơ lí suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 1.4:


x2 y2 z 2 x y z
 2  2  
2
y
z
x
y z x
Cho x, y, z > 0. Chứng minh:
Lêi giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có
2
x2 y 2 z 2 1  x y z  1  x y z   x y

  
 

 
 
y 2 z 2 x 2 3  y z x  3  y z x   y z

z x y z
  
x  y z x

Giải thích thêm:
x 2 y2 z 2
+ + =
y2 z2 x2
2
2
1
1
1
+
+
=
√3
√3
√3

2

[( ) ( ) ( ) ] [(

2

2

x
y
z
+
+
y
z
x

2

2

1 x 1 y 1 z
1 x y z
≥
. + . + .
=
+ +
√ 3 y √3 z √ 3 x 3 y z x

) ( ) ( )] [

] (

2

)

VÝ dô 1.5: Cho x, y là nghiệm của phơng trình: 3x + 4y = 7
Chøng minh r»ng:

x2  y 2 

49
25

Lêi giải

Theo BĐT Bunhiacôpski ta có:
49 25 x 2  y 2  

3x  4 y 

3

2

 42   x 2  y 2   7  25  x 2  y 2 

49
x 2  y 2
25

VÝ dô 1.6: Cho x  2 y 10.CMR : x y 20

Lời giải

áp dụng BĐT Bunhiacôpski cho hai bé sè (1 ; 2) vµ ( x ; y ) ta đợc:

1.

x 2. y

2

1  2   x  y   10
2

2

2

5  x  y   x  y 20

y
x

x 4, y 16
2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1

Ví dụ 1.7: Cho ba số không âm x, y, z thoả mÃn điều kiện x + y + z = 1.
Chøng minh r»ng: A  x  y  y  z  z  x  6
Lời giải

áp dụng BĐT Bunhiacôpski cho hai bộ ba số (1 ; 1 ; 1) vµ ( x  y ; y  z ; z  x ) ta ®ỵc:



A2 

xy  yz  zx

2

  1 1 1   x  y  y  z  z  x   A
2

2

2

2

6  x  y  z  6  A  6

V× A > 0 nên A 6 (dấu = xảy ra x + y = y + z = z + x  x = y = z = 1/3)
VÝ dô 1.8: Cho a, b, c > 0. CMR: S =
C1) Theo Bunhiacopsky ta có:

a
b
c
3
+

+

b+c a+ c a+b 2

Lời giải

(1) (BĐT Nes bitt)


(√

(

2

a
b
c
2
. √ a ( b+c ) +
. √ b ( c+ a ) +
. √ c ( a+b ) = ( a+b+ c )
b+c
c+ a
a+b
( a+b+ c )2
a
b
c
+

+
( ab+ac + bc+ab+ ac+ bc ) =2 S ( ab+ bc +ca ) ⇒ S ≥
b+c c+ a a+ b
2 ( ab+ bc +ca )
2
2
2
a + b +c +2 ( ab+ bc+ca ) 3 ( ab+ bc+ca ) 3
≥
= .
2 ( ab+ bc +ca )
2 ( ab+ bc +ca ) 2

√

)

√

)

C2) Dïng biến đổi tơng đơng và Cô si:
(1) a +1+ b +1+ c + 1≥ 9 ⇔ 2 ( a+ b+c ) 1 + 1 + 1 ≥ 9
b+ c

[

c+ a

]

a+ b
2
b+c c +a a+b
1
1
1
⇔ [ ( b+ c )+ ( c+ a ) + ( a+ b ) ]
+
+
≥9
b+c c+ a a+ b
BĐT này đúng do ( x+ y+ z ) 1 + 1 + 1 =3+ x + y + y + z + x + z ≥ 9
x y z
y x
z y
z x

[

]

(

) (

)(

)( )

(Cã thĨ sư dụng hệ quả của BĐT Co si vào việc giải quyết bài toán trên)
Ví dụ 1.9: (Đề sơ tuyển HSG Quúnh Lu 2007 - 2008)
Cho a, b, c > 0 vµ abc = 1. Chøng minh r»ng A= a + b + c 1
2+a 2+b 2+ c
Lời giải
Đặt a= x ; b= y ; c= z ⇒ abc=1 (phï hỵp víi ®iỊu kiƯn)
y

z
x
a
b
c
x
y
z
Khi ®ã A=
+
+
=
+
+
2+a 2+b 2+ c 2 y+ x 2 z + y 2 x+ z
x
y
z
XÐt 2 d·y sè a1=
; a2 =
; a3 =
2 y+ x

2z+ y
2 x+z
vµ x 1=√ x ( 2 y+ x ) ; x 2=√ y ( 2 z+ y ) ; x 3= √ z ( 2 x + z )
¸p dơng Bunhiacopsky ta cã: ( a1 x 1+ a2 x 2 +a3 x 3 )2 ≤ ( a1 + a2 + a3 )( x 1 + x2 + x 3 )

√

√

√

2

Ta cã A=( a1 +a 2 + a3 ) ≥
2

2

( a1 x 1+ a2 x 2 +a3 x 3 )

2

2

2

2

2

2

2

( x1 + x2 + x3 )
2

2

2

2

( x+ y+ z )
( x + y + z )2
⇔ A≥
=.. .. . .. .. .=
=1 .
2
x (2 y +x )+ y (2 z + y )+ z (2 x +z )
(x+ y+z)

DÊu b»ng cã khi vµ chØ khi x = y = z ---> a = b = c
II. T×m GTLN, GTNN
VÝ dơ 2.1: T×m GTLN cña: A=2 √ x − 1+ 3 √ 5 − x
Lêi gi¶i
2
A ≤ ( 4+9 )( x −1+5 − x )=4 .13 ⇒ A ≤ 2 √ 13
MaxA = 2 √ 13 ⇔ √ x −1 = √ 5 − x

(

2

3

)

VÝ dô 2.2: Cho 0 < x < 1. T×m GTNN cđa: M =√ 22 ( x + x 2 ) + √ 32 ( x − x 2 ) .
Lêi gi¶i
2
2
M =√ 22 ( x + x ) + √ 32 ( x − x )=√ 11 . √ 2 ( x + x ) + √ 4 . √8 ( x − x )
2

2

2

5
125 125
+
≤
6
2
2

( )

⇒ M 2 ≤ ( 11+ 4 ) ( 2 x+2 x 2+ 8 x −8 x 2 )=15 ( 10 x − 6 x 2) =− 90 x −

M 5.



5 . Đẳng thức xảy ra khi và chØ khi
2

¿
11
1
=
2
2 ( x + x ) 2 ( x − x 2)
5
x=
6
⇔ x=5 6
¿{
¿

VÝ dô 2.3: Cho x 2+ y 2 ≤ x +3 . T×m GTNN cđa: B = 2x + 3y.
Lêi gi¶i
2

Tõ x 2+ y 2 ≤ x +3 ⇒ x − 1 + y 2 ≤ 13 .

( 2)

4

Theo Bunhiacopsky, ta cã:
2

1
1 2 2 13 2
1
13
13
2 x − +3 y ≤ ( 4+ 9 ) x −
+y ≤
⇒ 2 x − +3 y ≤ ⇒ 2 x +3 y ≤ +1=7,5
2
2
2
2
2
2
¿
1
x−
2 y
=
VËy MaxB = 7,5 khi vµ chØ khi
2
3 ---> x, y
2 x +3 y=7,5
¿{
¿

[( ) ] ( ) ( )

[( ) ]

VÝ dô 2.4: Cho x, y, z > 0. T×m GTNN cđa C= 3 x + 4 y + 5 z .
y+z z+x x+ y
Lêi gi¶i
C+12=

3x
4y
5z
3
4
5
+3+
+ 4+
+5=( x+ y+ z )
+
+
y+z
z+x
x+ y
y + z z + x x+ y
1
3
4
5
¿ [ ( z + y ) +( x + z ) +( y + x ) ]

+
+
≥
2
y + z z + x x+ y

(

[

1
2

)

]

2

2
2
3
4
5
1
1
=¿ ( √ 3+ √ 4 + √ 5 ) ⇒C ≥ ( √ 3+ √ 4 + √ 5 ) − 12→ GTNN
√ z+ y . √ + √ z + x . √ + √ y + x . √
2
2

√ y+z
z+x
y+x
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 3 = √ 4 = √ 5

[

]

y+z

z+ x

y+x

Ví dụ 2.5: Cho x, y, z thỏa mãn: xy + yz + zx =1.
Tìm GTNN của biểu thức: A = x4 + y4 + z4
Lêi gi¶i
Áp dụng Bunhiacopsky, ta có
2

1  xy  yz  zx   x 2  y 2  z 2   x 2  y 2  z 2   x 2  y 2  z 2 
2

 1  x 2  y 2  z 2   1  1  1  x 4  y 4  z 4 
1
1
3
 P   minP = khi x = y = z =
3

3
3

2


4a
9b
16c


Ví dụ 2.6: Tìm GTNN của P = b  c  a c  a  b a  b  c trong đó a, b, c là độ dài ba cạnh
của một tam giác.
Lời giải
a
1
b
1
c
1  29



P 4 
   9
   16 
 
 bc a 2
 ca b 2
 a b  c 2 2

=

a bc
4
9
16  29




2
 b c  a c  a  b a b  c  2
2

a b c
 2  3  4
29

.

2
 b  c  a   c  a  b   a  b  c 2
a b c
81
29 81 29
.

 
26
2

a b c 2
2
2
a b c
 minP = 26 khi  
7 6 5
Ví dụ 2.7: Tìm giá trị nhỏ nhất của Q = + +
trong đó a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 1


Lời giải
2
2
a  b  c
a  b  c
a
b
c


Ta có : Q 




1 b2  4ac
2b  c 2c  a 2a  b a  2b  c   b  2c  a   c  2a  b  3  ab  bc ca
1
3
Ví dụ 2.9: (Đề sơ tuyển HSG Quỳnh Lu 2006 - 2007)

Cho a, b. c > 0. T×m GTNN cña P= a + b + c
2 b+3 c 2 c+ 3 a 2 a+3 b
Lêi gi¶i
 minQ = 1 khi a b c 

a
b
c
; a 2=
; a3 =
2 b+3 c
2 c +3 a
2a+ 3 b
vµ x 1=√ a ( 2b +3 c ) ; x 2=√ b ( 2 c+ 3 a ) ; x3 =√ c ( 2 a+3 b )
Theo Bunhiacopsky ta cã: ( a1 x 1+ a2 x 2 +a3 x 3 )2 ≤ ( a1 + a2 + a3 )( x 1 + x2 + x 3 )

XÐt 2 d·y sè a1=

√

√

√

2

Ta cã P=( a1 +a2 +a 3 ) ≥
2

2

2

( a1 x1 +a 2 x 2+ a3 x3 )

2

2

2

2

2

( x 1 + x2 + x 3 )
2

2

2

( a+b+ c )2
( a+ b+c )2
3
.
=
≥
a ( 2 b+3 c ) +b ( 2 a+3 c ) +c ( 2 a+3 b ) 5 ( ab+ bc+ca ) 5
Chó ý: ( a+b +c )3 ≥ 3 ( ab+ bc+ ca )

VËy min P= 3 ⇔ a=b=c .
5
⇒P≥

Ví dụ 2.8:
Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm GTNN của

2


P

1
1
1
1

 
2
2
a b c
ab bc ca
2

Lời giải
1
1
1
9
  

ab bc ca ab  bc  ca
1
9
 P 2

2
2
a b c
ab  bc  ca


1
4
7
 2



2
2
2  ab  bc  ca   ab  bc  ca
 a b c


 1  2

2

 a  b  c

2



9
21
9 
30
2
ab  bc  ca
 a  b  c

1
3
VÝ dô 2.10: (S¬ tun hun Qnh Lu 2005 - 2006)
Cho 0 < x < 1. T×m GTLN cđa A= √ 32 ( x − x2 ) + √ 22 ( x+ x2 )
Lêi gi¶i
2
2
2
Ta cã A= √ 32 ( x − x ) + √22 ( x+ x ) =2 √ 8 ( x − x ) + √ 11. √ 2 ( x+ x 2 )
Theo Bunhiacopsky ta cã A 2 ≤ ( 4+11 ) ( 8 x −8 x 2+ 2 x +2 x 2 ) =15 ( 10 x −6 x 2 )
 minP = 30 khi a = b = c =

25
5
−6 x −
6
6

2

125
2

[ ( )]
√ . DÊu b»ng cã
VËy MaxA =
√ .
¿ 15

⇒ A ≤5 .

≤

5
2

5

5
2

2

2

⇔ √ 11 √ 8 ( x − x ) =2 √ 2 ( x+ x )

vµ x= 5 ⇒ x= 5

6

6

Bµi tËp lun tËp

2
2
1. Cho biÕt 3x + 4y = 7. Chøng minh r»ng: 3x  4 y 7
2

2

2. Cho x, y là 2 số thoả mÃn điều kiện: 2 x  3 y 5 . Chøng minh:  5 2 x  3 y 5
3. a, b, c lµ 3 cạnh của một tam giác vuông, c là cạnh huyền, x và y là hai số thực thoả
2
2
hệ thức: ax + by = c. Chøng minh r»ng: x  y 1 .

4. Chøng minh r»ng nÕu:
5. Chøng minh r»ng

a 2  b 2 c 2  d 2 1  ac  bd 1

a sin x  b cos x  a 2  b 2

2
2
2
6. Cho a, b, c > 0. Chøng minh r»ng B= a + b + c ≥ a+b+ c

b+c c+ a a+ b

7. Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Tìm GTNN cña A=

2

1
1
1
+ 3
+ 3
x ( y + z ) y ( z+ x ) z ( x+ y )
3

8. Cho các số x, y, z > 0 thoả mÃn √ xy + √ yz+ √ zx=1 .


2
2
2
Tìm giá trị nhỏ nhất của B= x + y + z

x+ y

y+ z z+ x

9. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác, p lµ nưa chu vi. Chøng minh r»ng:

√ p< √ p − a+√ p − b+ √ p− c ≤ √ 3 p

BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI
1.Dạng tổng quát:Với  x1, x2, x3,.......,xn 0 ta có:
*Dạng 1:

x1  x2  ...  xn n
 x1 x2 ...xn
n

* Dạng 2:

x1  x2  ...  xn n n x1 x2 ...xn
n

 x1  x2  ...  xn 

 x1 x2 ...xn
n

*Dạng 3: 
Dấu bằng xảy ra  x1= x2=......= xn.
*Một vài hệ quả quan trọng:

1 1
1
( x1  x2  ...  xn )    ...   n 2
xn 
 x1 x2
+
với  xi > 0, i 1, n

1 1
1
n2
  ...  
x
x2
xn x1  x2  ...  xn với  x > 0, i 1, n
+ 1
i

S
 
+ Nếu x1+ x2 + x3 +....+ xn = S = const thì Max( P=x1x2....xn)=  n 
S
Khi x1= x2=......= xn= n

+Nếu x1x2x3....xn = P =const thì Min ( S = x1+x2+...+xn)=

nn P

n
Khi x1= x2=......= xn= P

2.Dạng cụ thể:
*n = 2: x, y 0 khi đó:

a,

xy
 xy

2

2

 x y

  xy
2


b,

n


2

c,

 x  y

d,

1 1
4
 
x y x y

x yz 3
 xyz

3
a,

4 xy

b,

x  y  z 3 3 xyz
3

 x yz

  xyz
3

c, 

*n = 3 x, y 0 khi đó:

x  y  z
d, 

3

27 xyz

CÁC KỸ THUẬT SỬ DỤNG
I.ĐÁNH GIÁ TỪ TRUNG BÌNH CỘNG SANG TRUNG BÌNH NHÂN.
Đánh giá từ TBC sang TBN là một kỹ thuật cơ bản nhất để đánh giá bất đẳng thức
theo chiều " ≥ ",đánh giá từ tổng sang tích.

Bài 1:Cho x,y,z > 0.Chứng minh rằng: (x+y)(y+z)(z+x) ≥ 8xyz
Giải Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có:
 x  y 2 xy

 y  z 2 yz

 z  x 2 zx
 ( x  y)( y  z )( z  x) 8 xyz
2
2
2
2
2
2
2 2 2
Bài 2:Chứng minh rằng : ( x  y )( y  z )( z  x ) 8 x y z với x, y, z

GiảiSai lầm thường gặp:
 x 2  y 2 2 xy
 2
2
2
2
2
2
2
2
2 2 2
 y  z 2 yz  ( x  y )( y  z )( z  x ) 8 x y z ; x, y, z
 z 2  x 2 2 zx

Ta có : 

(sai)

Ở cách làm trên ta đã nhân các BĐT cùng chiều trong khi chưa biết giá trị của từng vế là âm hay
dương.
Lời giải đúng:
Áp dụng BĐT Cơsi, ta có:


 x 2  y 2 2 xy 0
 2
2
2
2
2
2
2
2
2 2 2
2 2 2
 y  z 2 yz 0  ( x  y )( y  z )( z  x ) 8 x y z 8 x y z ; x, y, z
 2
2
 z  x 2 zx 0
Bài 3: Chứng minh rằng (1+ a + b)(a + b + ab)  9ab với  a,b 0

Giải
3
3

Ta có (1  a  b)(a  b  ab) 3 1.a.b .3 a.b.ab 9ab

*Ở bài toán trên số 9=3.3 gợi ý cho ta sử dụng BĐT Côsi cho 3 số,2 cặp.
x2  x  2

Bài 4: Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực x.

x2  x 1

2

1 3

x 2  x  1  x     0
2 4

Giải
với mọi x
 x 2  x  2 ( x 2  x 1)  1 2 x 2  x  1 

x2  x  2
x2  x 1

2

II.KỸ THUẬT ĐÁNH GIÁ TỪ TBN SANG TBC.

Bài 1.Chứng minh rằng:
ab  cd 

 a  c  b  d 

a, b, c, d  0 (1)

Giải


(1)

ab

 a  c  b  d 

ab

 a  c  b  d 

cd
1
 a  c  b  d 

.Theo BĐT Cơsi,ta có:

cd
1 a
b  1 c
d 
 



 
 a  c   b  d  2  a  c b  d  2  a  c b  d 
1  a c bd  1
 

   1  1 1
2 a c bd  2
(đpcm)

Bài 2.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

F

8 x  2 18 x  6

2 x 1
3x  1
Giải

ĐK: x 0 .Ta có:

F

8 x  2 18 x  6 2(4 x  1) 3(6 x  2)



2 x 1
3x 1
2 x 1

3x 1

2


Với x 0 theo BĐT Cơsi ta có: 4 x 2 2. 2 x 2  2 x

6 x 2 3 x 3 3 x  3
Suy ra

F

2(4 x  1) 3(6 x  2) 2(2 x  2  1) 3(3 x  3  2)



2 x 1
3 x 1
2 x 1
3x 1



2(2 x  1) 3(3x  1)

2  3 5
2x 1
3x  1

Vậy GTLN của F=5 khi x =1

Ở bài toán trên ta thấy để khử mẫu thì việc chuyển căn thức ở tử về biểu thức khơng chứa căn là
việc làm cần thiết,do đó ta sử dụng BĐT Côsi chuyển từ TBN sang TBC.Việc chuyển từ TBN sang
TBC là một mặt mạnh của BĐT Côsi.
a, b, c  0
8

abc( a  b)(b  c)(c  a) 
729
Bài 3: Cho a  b  c 1 Chứng minh rằng:

Giải
Theo BĐT Cơsi ta có:
3

3

3

3

8
 a  b  c   (a  b )  (b  c )  (c  a ) 
 1  2
abc(a  b)(b  c)(c  a ) 


   
 

3

3
729

 3  3
III.KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI.

Bài toán mở đầu:
a b
1
 2
a  2
a
Cho a,b > 0.Ta có b a
.Khi đó ta có hệ quả với a >0 thì
.

Dấu "=" xảy ra khi a= 1
Bài tốn trên là kết quả của bất đẳng thức Côsi.
Nhưng ta thử đặt câu hỏi là nếu thay điều kiều kiện a > 0 bởi a 1 hay a 2 hay a 5... thì lời giải
bài tốn như thế nào???
Bài 1:Cho a 3 .Tìm Min của
+ Sai lầm thường gặp:

S a 

1
a


S a 

1
1
2 a. 2
a
a

+ Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:
1
1
a   a   a 1
a
a
Min S=2 khi
mâu thuẫn với giả thiết a 3 .

+ Xác định điểm rơi:
Ta biết rằng các giá trị cực trị thường xảy ra tại các giá trị biên hoặc giá trị trung tâm.Ở bài tốn
này ta thấy khi a tăng thì giá trị của S cũng tăng,mặt khác ta có giá trị biên là 3 nên ta có dự đốn
khi a=3 thì S nhận giá trị nhỏ nhất.
1
Ta phải tách hạng tử a hoặc hạng tử a để sao cho khi áp dụng BĐT Cơsi dấu "=" xảy ra khhi a

2.Có các hình thức tách sau:

 a 1 
   ; a  (1)




1
   a;  (2)
a
 1  
 a,   
 a
 1 
  a;
 (3)
 a 
  
  a;  (4)
 a 

Chẳng hạn ta chọn sơ đồ (1), với điểm rơi a = 3,ta có:
a 3
  
3 1
    9

 3
 1 1
 a 3

+ Lời giải đúng:

S a 

1  a 1  8a
a 1 8.3 10

    2 . 

a  9 a 9
9 a 9
3

10
Suy ra Min S= 3  a 3

Bài 3: Cho a 2 .Tìm Min của

S a 

1
a2


+ Sai lầm:
S a 

1  a 1  7a
a 1 7a
2
7a
2
7.2 9
  2  
2 . 2 






a 8 a  8
8 a
8
4
8a 8
8.2 8

Vậy Min

S

9
4 khi a=2

+ Nguyên nhân:
Mặc dù đã chọn điểm rơi là a = 2 và Min

sai lầm ở việc đánh giá mẫu số: "Nếu a 2 thì

S

9
4 là đáp số đúng nhưng cách giải trên đã mác

2
2
2



8a
8.2 4 là đánh giá sai".

Ta phải làm sao để khi sử dụng BĐT Côsi sẽ khử hết biến số a ở cả mẫu và tử.
+ Xác định điểm rơi:
a 2
 
2 1
    8

 4
 1 1
2
a = 2 cho cặp số  a 4

+ Lời giải đúng:
S a 

1  a a 1  6a
a a 1 6.2 9
    
3 3 . . 2 

2
a 8 8 a 8
8 8 a
8
4

Vậy Min

S

9
4 khi a=2

Bài 4: Cho a,b,c >0 và a  2b  3c 20 .Tìm min của
3 9 4
S a  b  c   
a 2b c

+Tìm điểm rơi: Với a  2b  3c 20 ta dự đốn được điểm rơi a=2, b=3, c=4,ta có sơ đồ điểm rơi với
các biến a,b,c như sau:
 a 2
3
3

 3 3  2    
2
4
 a  2

  b 3
9
1

 9 9  3    
6

2
 2b  6
c 4
1

 4 1   
4 4
4
 c  4 1


Giải
3 9 4  3a 3   b 9   c 4  a b 3c
S a  b  c                 
a 2b c  4 a   2 2b   4 c  4 2 4

Theo BĐT Côsi ta có:
 3a 3   b 9   c 4 
           3  3  2 8
 4 a   2 2b   4 c 
(1)

Mà

a  2b  3c 20 

a b 3c a  2b  3c 20
  
 5
4 2 4

4
4
(2)

Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được: S 13  Min S = 13
Đẳng thức xảy ra  a=2, b=3, c=4
IV.KĨ THUẬT CÂN BẰNG HỆ SỐ:

Bài toán mở đầu:
Cho các số thực khơng âm x,y,z thỗ mãn điều kiện xy + yz + zx = 1,
10 x 2  10 y 2  z 2 4

chứng minh bất đẳng thức:
Giải

2
2
Theo BĐT Cơsi ta có: 2 x  2 y 4 xy ;

1
1
8 x 2  z 2 4 xz 8 y 2  z 2 4 yz
2
2
;

Cộng từng vế cả 3 bất đẳng thức trên ta được:

10 x 2  10 y 2  z 2 4  xy  yz  zx  4

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
x y

4 x z 
4 y z


1

 x  y  3

z 4

3

Đây là một lời giải đẹp,ngắn gọn nhưng hơi thiếu tự nhiên.Chúng ta sẽ tự hỏi tại sao lại tách
10=2 + 8 đây là sự ngẫu nhiên hay may mắn?Và nếu tách theo cách khác, chẳng hạn 10 = 3 + 7 liệu
có giải được khơng?Tất nhiên,mọi cách tách khác đều không dẫn đến kết quả,và tách 10=2+8 cũng
không phải là sự may mắn...
Bài 1: Chứng minh rằng nếu xy + yz +zx = 5 thì
3 x 2  3 y 2  z 2 10

+ Phân tích tìm lời giải:


Ta cần tách các hạng tử 3x2, 3y2, z2 sao cho khi áp dụng BĐT Cơsi thì xuất hiện các tích xy, yz, zx
mà có phần hệ số bằng nhau để ta sử dụng được giả thiết xy + yz +zx = 5.
Ta tách 3 l  (3  l ) với (0 l 3) và áp dụng BĐT Côsi cho các cặp số (x,y),(y,z),(x,z)
ta có:
lx 2  ly 2 2lxy

 3  l  x2 

 3  l  y2 

1 2
z  2  3  l  yz
2

1 2
z  2(3  l ) xz
2

2
2
2
Do đó 3x  3 y  z 2lxy  2(3  l )( xz  yz ) ,vậy ta phải tìm số l dương sao cho

2l  2(3  l )  l 1

Giải
Áp dụng BĐT Cơsi ta có:

x 2  y 2 2 xy ;

1
1
2 y 2  z 2 2 yz 2 x 2  z 2 2 xz
2
2

;

Cộng vế theo vế từng BĐT trên ta được:
3x 2  3 y 2  z 2 2( xy  yz  zx ) 2.5 10 (đpcm)

Bây giờ ta sẽ xét bài tốn tổng qt như sau:
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của
k (x2  y2 )  z 2

Trong đó các số thực x, y, z thoả mãn xy + yz + zx = 1 và k là một hằng số dương
Giải
Ta hãy tách k l  (k  l ) với (0 l k ) và áp dụng BĐT Côsi theo phương pháp tương tự như trên.
lx 2  ly 2 2lxy

 k  l  x2 

1 2
z  2( k  l ) xz
2

1
(k  l ) y 2  z 2  2(k  l ) yz
2

2
2
2
Do đó k ( x  y )  z 2lxy  2(k  l )( xz  yz ) .

Trong trường hợp này, ta không phải cân bằng điều kiện đẳng thức mà ta phải cân bằng điều kiện

giả thiết, tức là cần tìm số một số dương l sao cho 2l  2(k  l ) .Khi đó


k ( x 2  y 2 )  z 2 2l ( xy  yz  zx ) 2l .

Số l được chọn ở trên thỏa mãn phương trình
2l 2 k  l  2l 2  l k l

1 1 8k
4

Các bài Toán cực trị trong các kì thi HSG Toán 9
A. Bài tập.
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc:
2 2

A=

1+ x ¿
¿
1+ x 4
¿

víi x 0 .

(Đề thi chọn HSG Toán 9, tỉnh Khánh Hoà năm học 1987 1988)

Bài 2. Cho P ¿ 1 − 1 − 1 − 1
. H·y t×m giá trị nguyên dơng của x, y, z để cho P đạt giá trị d2 x x+ y x+ y+z
ơng nhỏ nhất.

(Đề thi chọn HSG Toán 9, toàn quốc năm häc 1988 – 1989)
2

Bµi 3. Cho A ¿ 2( x 2+x +1) . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A và các giá trị tơng ứng của x.

x +1

(Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 1989 1990)
Bài 4. Cho hµm sè y=√ x 2 − 2 x +1+ √ x2 6 x +9 . Tìm giá trị nhỏ nhất của y và các giá trị tơng ứng
của x.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 1990 1991)
Bµi 5. Cho M ¿ √ x +3 − 4 √ x − 1+ √ x +15 −8 √ x 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của M và các giá trị tơng ứng
của x.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 1991 1992)
Bài 6. Tìm giá trị nguyên lớn nhất của m sao cho bất đẳng thức sau đây luôn luôn đúng với mọi sè
thùc x:


2
A = x+ 2¿ (x +3) ≥m .

( x +1)¿

(§Ị thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 1992 1993)
2

Bài 7. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y x +8 x+7 .
x+ 1
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 6, TP. HCM năm học 1992 1993)

Bài 8. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y ¿ √ x 3 −6 x 2 +21 x +18 , víi − 1 ≤ x ≤ 1.
2
(§Ị thi chän HSG Toán 9, TP. HCM năm học 1992 1993)
Bài 9. Cho ba số dơng x, y, z thoả mÃn ®iỊu kiƯn: 1 + 1 + 1 ≥ 2 . Tìm giá trị lớn nhất của
1+ x 1+ y 1+ z
xyz.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 1992 1993)
Bài 10. a) Tìm giá trị nhỏ nhất cđa hµm sè y ¿ x 2+3 x +1 .
b) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y =

x2
.
x4 + x2 + 4

(Đề thi chọn HSG Toán 9, tỉnh Thừa Thiên Huế năm học 1994 1995)
Bài 11. Cho ba số dơng x, y, z thoả mÃn điều kiện:
thức: P = 2x + 3y – 4z.

¿
2 x+ y +3 z=6
3 x+ 4 y 3 z=4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
{


(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 1, TP. HCM năm học 1994 1995)
Bài 12. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x 2+ y 2 khi cã x 2+ y 2 xy=4 .
(Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 1995 1996)
Bài 13. Cho ba số dơng a, b, c có tổng là một hằng số. Tìm a, b, c sao cho: ab + bc + ca lớn nhất.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 1, TP. HCM năm học 1995 1996)
Bài 14. Cho biểu thức Q ¿ √ 1 − x 1 + √ 1− x2 +√ 1− x 3+. . .+ √1 − x 1997 trong ®ã x 1 , x 2 , x 3 ,,

x 1997 là các biến số dơng và thoả m·n ®iỊu kiƯn x 1+ x 2 + x 3+ .. .+ x1997 =1 . Tìm giá trị lớn nhất của
Q và giá trị tơng ứng các biến của nó.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Toàn quốcnăm học 1996 1997)
Bài 15. Cho x, y > 0 thoả mÃn điều kiện x.y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
M =x + y +
.
x+ y
(Đề thi HSG Toán 9, Trờng THCS Colette, Quận 3, TP. HCM năm học 1996 1997)
Bài 16. Cho các số thực không âm a1 , a2 , a3 , a 4 , a5 có tổng bằng 1. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thøc: A ¿ a1 a2 +a 2 a 3+ a3 a4 + a4 a5 .
(Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 1996 1997)
Bài 17. Cho a, b > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thøc A= (x+ a)( x+b) (víi x > 0).
x
(§Ị thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 1996 1997)
Bài 18. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y=√ x 2 − 2 x +6 víi x ≤ 1 .
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 6, TP. HCM năm học 1997 1998)
Bài 19. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: A= √5 − x + √ x − 1 .
(§Ị thi chọn HSG Toán 9, Quận 6, TP. HCM năm học 1997 1998)
Bài 20. Tìm giá trị nhỏ nhất cđa hµm sè: y=√ 2 x2 −2 x+ 5+ √ 2 x 2 − 4 x +4 ..
(§Ị thi chän HSG Toán 9, TP. HCM năm học 1997 1998)
Bài 21. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y= 2 + 1 víi 0 < x < 1.
1− x x
(Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 1997 – 1998)


Bài 22. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A ¿|√ x 2+8 x +20 − √ x 2+ 4 x +40| .
(Đề thi HSG Toán 9, Trờng THCS Colette, Quận 3, TP. HCM năm học 1998 1999)
Bài 23. Cho x, y > 0 thoả mÃn điều kiện x + y
1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thøc

M=

1
2
+ + 4 xy . .
2
xy
x +y
2

(§Ị thi chän HSG Toán 9, TP. HCM năm học 1998 1999)
Bài 24. Cho ba số dơng x, y, z thoả mÃn điều kiện x.y.z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biÓu thøc P
¿

1
1
1
+ 3
+ 3
.
x ( y + z ) y (z+ x) z (x+ y)
3

(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 1, TP. HCM năm học 1999 2000)
Bài 25. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A ¿ √ x + 4 √ x −1+ √ x 4 x 1. ..
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận Tân Bình, TP. HCM năm học 1999 2000)
Bài 26. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B ¿ 5 x2 +2 y 2+ 4 xy − 2 x +4 y+ 2005.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 6, TP. HCM năm học 1999 2000)
Bài 27. Với giá trị nào của x thì biểu thức C = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) có giá trị nhỏ nhất ?
Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 5, TP. HCM năm học 2000 2001)
Bài 28. Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Tìm giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc:
(a+ b −c )(b+ c − a)(c+ a b)
.
M=
3 abc

(Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 2001 2002)
Bài 29. Tìm giá trị lín nhÊt cđa hµm sè: y= √ x − 4 .
2x
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 1, TP. HCM năm học 2001 2002)
Bài 30. a) Với x, y không âm, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = x − 2 √ xy+3 y −2 √ x +2004 ,5 .
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thøc: f(x) = x +√ 1 − x −2 x 2 .
2
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 9, TP. HCM năm học 2002 2003)
Bài 31. Cho x, y thoả mÃn điều kiện x 2+ y 2 =1 . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất cđa biĨu
thøc: M =x 6 + y 6 . .
(§Ị thi chọn HSG Toán 9, Quận 10, TP. HCM năm học 2002 2003)
Bài 32. Tìm giá trị nhỏ nhất cña A = x 2+ xy+ y 2 − 3 x 3 y +2002.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 1, TP. HCM năm học 2002 2003)
Bài 33. Cho ba số thực không âm x, y, z thoả mÃn điều kiện: x+ y+ z=1 . Tìm giá trị lớn nhÊt cđa
biĨu thøc A = − z 2 + z ( y +1)+ xy .
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2003 2004)
1
Bài 34. Cho hai số thoả mÃn đẳng thức: 8 x 2+ y 2 + 2 =4 . Xác định x, y để tích x.y đạt giá trị nhỏ
4x

nhất.

(Đề thi chọn HSG Toán 9, Tỉnh Thừa Thiên Huế năm học 2003 2004)
Bài 35. a) Cho x, y > 0 thoả mÃn điều kiện: x.y = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A=

x
y
+ 2 4.
2
x + y x +y
4

1
b) Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc B = x 2+3+ 2

x +3

.

(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 9, TP. HCM năm học 2003 2004)
Bài 36. Tìm giá trị cđa x, y ®Ĩ biĨu thøc √ x2 −6 x +2 y 2+ 4 y +11+ √ x 2+ 2 x +3 y 2+ 6 y +4 . Đạt giá trị nhỏ
nhất.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận Tân Bình, TP. HCM năm học 2003 2004)
Bài 37. Tìm giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó:


M ¿ x − √ x −2005 .
(§Ị thi chän HSG Toán 9, Quận Tân Bình, TP. HCM năm học 2004 2005)
2
2
Bài 38. a) Tìm giá trị lớn nhất cđa biĨu thøc: A ¿ x2 + xy + y 2 . Víi x, y > 0.

x − xy+ y

b) Tìm giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất ®ã:
B ¿|x|√ 9− x2 . Víi −3 ≤ x ≤ 3 .
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận Tân Bình, TP. HCM năm học 2004 2005)
Bài 39. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thøc:
A ¿ 3 √ x −1+4 √5 − x . Với 1 x 5 .
(Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 2004 2005)
4 x +3
Bài 40. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc: y= 2
.
x +1

(§Ị thi chän HSG Toán 9, TP. Hải Phòng năm học 2004 2005)
Bài 41. Cho a, b, c > 0 vµ a + b + c = 6. Tìm giá trị lớn nhất cđa biĨu thøc:
P ¿ a− 1 + b −1 + c − 4 . Víi 1≤ x ≤ 5 .
a
b
c
(§Ị thi chọn HSG Toán 9, Tỉnh Quảng NgÃi năm học 2005 – 2006)
12
Bµi 42. Gäi x 1 , x 2 là các nghiệm của phơng trình: 12 x 2 6 mx+ m2 −4 + 2 =0 (m  0) . Tìm m để
3
1

biểu thức A x + x

m

3
2

đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
A 3 x −1+4 √5 − x . Víi 1≤ x ≤ 5 .
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 10, TP. HCM năm học 2005 2006)
Bài 43. Tìm các giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó:
B |x|25 − x 2 . Víi −5 ≤ x ≤ 5.
(§Ị thi chọn HSG Toán 9, Quận Tân Bình, TP. HCM năm học 2005 2006)
Bài 44. Cho x 3+ y3 +3 ( x 2+ y 2 )+4 ( x+ y)+ 4=0 và x . y >0 . Tìm giá trị lín nhÊt biĨu thøc:
M ¿ 1+ 1
x y
(§Ị thi chän HSG Toán 9, Tỉnh Bình Định năm học 2005 2006)
Bài 45. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thøc: A ¿ x 2 − x + 5 +√ x 2 2 x +2 .



2

x y
b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B ¿ 4 4

x + y +6

(§Ị thi chän HSG Toán 9, Quận 9, TP. HCM năm học 2005 2006)
Bài 46. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y ¿ √− x 2+3 x +18 − √ − x 2 +4 x +5 .
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 1, TP. HCM năm học 2005 2006)
Bài 47. Cho hai số dơng x và y có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A

1
5
+
.
2
x + y 4 xy
2

(Đề thi chọn HSG Toán 9, Huyện Yên Thành, Tỉnh Nghệ An năm học 2010 2011)
Bài 48. Cho x 2+ y 2 =1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biĨu thøc:
S = (2 − x)(2 − y ) .
(§Ị thi chän HSG To¸n 9, Hun Nghi Léc, TØnh NghƯ An năm học 2009 2010)
Bài 49. Cho hai số dơng x , y thỏa mÃn điều kiện: x+ y=2010 .
2011

2010
1
+
.
x
2010 . y

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu: S =
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Tỉnh Hà Tỉnh năm häc 2009 – 2010)