1 5 hệ phương trình 17tr đặng việt đông image marked

Chương 3

PHƯƠNG TRÌNH
HỆ PHƯƠNG TRÌNH

§ 5. hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn


HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN:
 Định nghĩa:
a1 x  b1 y  c1 (1)
với
a2 x  b2 y  c2 (2)

Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn x và y là hệ có dạng ( I ) : 
a12  b12  0

 2
2
a2  b2  0

Cặp số ( xo ; yo ) đồng thời thỏa cả 2 phương trình (1) và (2) được gọi là nghiệm của hệ.
 Công thức nghiệm: Quy tắc Crame.
Ký hiệu: D 

a1
a2

b1
c
 a1b2  a2 b1 , Dx  1

b2
c2

b1
a
 c1b2  c2 b1 , Dy  1
b2
a2

Xét D

Kết quả
Hệ có nghiệm duy nhất x 

D0

Dx  0 hoặc Dy  0

D0

c1
 a1c2  a2 c1 .
c2

Dy
Dx
, y

D
D

Hệ vô nghiệm.

Dx  D y  0

Hệ có vơ số nghiệm.

Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như: phương
pháp thế, phương pháp cộng đại số.
 Biểu diễn hình học của tập nghiệm:
Nghiệm ( x; y) của hệ ( I ) là tọa độ điểm M( x; y) thuộc cả 2 đường thẳng:
(d1 ) : a1 x  b1 y  c1 và (d2 ) : a2 x  b2 y  c2 .

 Hệ ( I ) có nghiệm duy nhất  (d1 ) và (d2 ) cắt nhau.
 Hệ ( I ) vô nghiệm  (d1 ) và (d2 ) song song với nhau.
 Hệ ( I ) có vô số nghiệm  (d1 ) và (d2 ) trùng nhau.
a1 b1

a2 b2

a1 b1 c1
 
a2 b2 c2

y

y
(d2 )

yo

O

M

( d1 )
x

xo

Nghiệm duy nhất

( d1 )

a1 b1 c1
 
a2 b2 c2

y
(d2 )

(d2 )
x

O

Vơ nghiệm

( d1 )

O

x

Vơ số nghiệm

HỆ BA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 3 ẨN

Trang 1/15


a1 x  b1 y  c1 z  d1

Hệ có dạng: a2 x  b2 y  c2 z  d2  Một nghiệm của hệ là bộ 3 số ( xo ; yo ; zo ) thỏa cả 3
a x  b y  c z  d
3
3
3
 3

phương trình của hệ. Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt
ẩn để đưa về các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta
cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương
trình bậc nhất hai ẩn.

§ 6. hệ phương trình bậc hai hai ẩn số


HỆ GỒM 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
ax  by  c
2

2
dx  exy  fy  gx  hy  i

(1)
(2)



Dạng tổng quát: 



Phương pháp giải: Từ phương trình bậc nhất (1), rút x theo y (hoặc y theo x) và thế
vào phương trình cịn lại (2) để giải tìm x (hoặc tìm y).
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I

Dấu hiệu nhận dạng: Khi thay đổi vị trí x và y cho nhau thì hệ khơng thay đổi và trật tự
các phương trình cũng khơng thay đổi.
 Phương pháp giải: Biến đổi về dạng tổng và tích 2 biến.
Đặt S  x  y , P  xy.


Giải hệ với ẩn S , P với điều kiện có nghiệm ( x; y) là S2  4 P.
Tìm nghiệm ( x; y) bằng cách thế vào phương trình X 2  SX  P  0.
 Một số biến đổi để đưa về dạng tổng – tích thường gặp:


x 2  y 2  ( x  y)2  2 xy  S2  2 P.



( x  y )2  ( x  y )2  4 xy  S2  4 P.
4

4

2

2 2

2

2

4

2


2

x 3  y 3  ( x  y )3  3 xy( x  y )  S3  3SP.



x  y  ( x  y )  2 x y  S  4S P  2 P .


x 4  y 4  x 2 y 2  ( x 2  xy  y 2 )( x 2  xy  y 2 )          

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II
Dấu hiệu nhận dạng: Khi thay đổi vị trí x và y cho nhau thì hệ phương trình khơng thay
đổi và trật tự các phương trình thay đổi (phương trình này trở thành phương trình kia).
 Phương pháp giải: Lấy vế trừ vế và phân tích thành nhân tử, lúc nào cũng đưa được về
dạng ( x  y). f ( x)  0, tức ln có x  y.


 Lưu ý: Đối với hệ đối xứng loại II chứa căn thức, sau khi trừ ta thường liên hợp.
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI


a1 x 2  b1 xy  c1 y 2  d1
Dạng tổng quát:  2
2
a2 x  b2 xy  c2 y  d2



Phương pháp giải: (i )  

2
2
d2 ( a1 x  b1 xy  c1 y )  d1 .d2
2
2
d1 ( a2 x  b2 xy  c2 y )  d1 .d2

(i)
(1)
(2)

Lấy (1)  (2)  ( a1d2  a2 d1 )  x 2  (b1d2  b2 d1 )  xy  (c1d2  c2 d1 )  y 2  0. Đây là phương trình đẳng
cấp bậc hai nên sẽ tìm được mối liên hệ x , y.

Trang 2/15


 fm ( x; y)  a
với fm ( x; y), fn ( x; y), fk ( x; y) là các biểu thức đẳng cấp bậc
 fn ( x; y)  f k ( x; y)

 Lưu ý: Dạng 

m , n, k thỏa mãn m  n  k. Khi đó ta sẽ sử dụng kỹ thuật đồng bậc để giải. Tức biến đổi hệ
 a  f ( x; y )
m

 
 fm ( x; y)  fn ( x; y)  a. f k ( x; y) và đây là phương trình đẳng cấp bậc
 a  f ( x; y )  a  f ( x; y )
k
 n

k.

Câu 1.

 2 x  y  1
Nghiệm của hệ: 
là:

3 x  2 y  2

 2  2; 2 2  3 .
C.  2  2;3  2 2  .

 2  2; 2
D.  2  2; 2

A.

B.


2  3 .

2 3 .

Lời giải
Chọn C.
Ta có : y  1  2 x  x  2 1  2 x  2  x  2  2  y  3  2 2 .



Câu 2.



Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm
A. 0.

2 x  3 y  5
4 x  6 y  10

 x; y  : 

B. 1.

C. 2.

D. Vơ số.

Lời giải
Chọn A.
Ta có : 4 x  6 y  10  2 x  3 y  5 . Vậy phương trình có vơ số nghiệm.
Câu 3.

Câu 4.

3 x  4 y  1
Tìm nghiệm của hệ phương trình: 
2 x  5 y  3
7 
7 
 17 7 
 17
 17
A.  ;   .
B.   ;  .
C.   ;   .
 23 23 

 23 23 
 23 23 
Lời giải
Chọn A.
1  3x
1  3x
17
7
 x  5
1  x 
y
Ta có : y 
.
4
4
23
23
0,3 x  0, 2 y  0,33  0
Tìm nghiệm  x; y  của hệ : 
1, 2 x  0, 4 y  0, 6  0
A.  –0, 7;0, 6  .

B.  0, 6; –0, 7  .

C.  0, 7; –0, 6  .

 17 7 
D.  ;  .
 23 23 

D. Vô nghiệm.

Lời giải
Chọn C.
Ta có : y 
Câu 5.

0,3 x  0,33
0,3 x  0,33
 1, 2 x  0, 4
 0, 6  0  x  0, 7  y  0, 6 .
0, 2
0, 2

x  2 y  1
Hệ phương trình: 
có bao nhiêu nghiệm ?
3 x  6 y  3
A. 0.
B. 1.
C. 2.
Lời giải
Chọn D.

D. Vô số nghiệm.

Trang 3/15


1 2 1

 
3 6 3
 Hệ phương trình có vơ số nghiệm.
2 x  y  4

Hệ phương trình :  x  2 z  1  2 2 có nghiệm là?

y  z  2 2

Ta có :

Câu 6.



A. 1; 2; 2 2





B. 2;0; 2









C. 1;6; 2 .



D. 1; 2; 2 .

Lời giải
Chọn D.
Ta có : Thế y  4  2 x vào phương trình y  z  2  2 ta được 2 x  z  2  2

2 x  z  2  2
Giải hệ 
ta được x  1; z  2  y  2 .
x

2
z

1

2
2

Câu 7.

 x 2  y 2  16
Cho hệ phương trình 
. Để giải hệ phương trình này ta dùng cách nào sau đây ?
x  y  8

A. Thay y  8  x vào phương trình thứ nhất. B. Đặt S  x  y, P  xy .
C. Trừ vế theo vế.

D. Một phương pháp khác.
Lời giải

Câu 8.

Chọn A.
Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai nên ta rút một ẩn từ phương
trình bậc nhất thế vào phương trình bậc hai.
x  y  9
Hệ phương trình 
có nghiệm là :
 x. y  90
A. 15;6  ,  6;15  .

B.  –15; –6  ,  –6; –15  .

C. 15; 6  ,  –6; –15  .

D. 15;6  ,  6;15  ,  –15; –6  ,  –6; –15  .

Lời giải
Chọn C.
Ta có : y  x  9  x  x  9   90  x 2  9 x  90  0  x  15; x  6

x  15  y  6
x  6  y  15 .
Câu 9.





 2  1 x  y  2  1
Nghiệm của hệ phương trình 
là:
2
x

2

1
y

2
2

1
1


A. 1;   .
B.  1;  .
C. 1; 2  .
2
2



Lời giải
Chọn D.

Ta có : y  2  1 







2 1 x  2x 







2 1

2 1



D. 1; 2  .



2 1 x  2 2

 x  1  y  2 .

3 x  my  1
Câu 10. Tìm điều kiện của tham số m để hệ phương trình sau có đúng một nghiệm: 
mx  3 y  m  4
A. m  3 hay m  3.
B. m  3 và m  3.
C. m  3.
D. m  3.
Trang 4/15


Lời giải
Chọn B.
Ta có : D 

3 m
 9  m2
m 3

Phương trình có đúng một nghiệm khi D  0  m  3 .
Câu 11.

Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng sau trùng nhau  d1  :  m 2 –1 x – y  2m  5  0 và

 d 2  : 3x – y  1  0
A. m  2.

B. m  2.

C. m  2 hay m  2. D. Khơng có giá trị m .
Lời giải

Chọn A.
Ta có : Hai đường thẳng d1 và d 2 trùng nhau khi

m 2  1 1 2m  5


3
1
1

m 2  1  3
m  2


 m  2 .
2m  5  1 m  2
x  y  S
Câu 12. Để hệ phương trình : 
có nghiệm , điều kiện cần và đủ là :
 x. y  P
A. S 2 – P  0.

B. S 2 – P  0.
C. S 2 – 4 P  0.
Lời giải

D. S 2 – 4 P  0.

Chọn D.
Ta có : x, y là nghiệm phương trình X 2  SX  P  0
Hệ phương trình có nghiệm khi   S 2  4 P  0 .
 x. y  x  y  11
Câu 13. Hệ phương trình  2
2
 x y  xy  30
A. có 2 nghiệm  2;3 và 1;5  .

B. có 2 nghiệm  2;1 và  3;5  .

C. có 1 nghiệm là  5;6  .

D. có 4 nghiệm  2;3 ,  3; 2  , 1;5  ,  5;1 .
Lời giải

Chọn D.
Đặt S  x  y, P  xy

S

2

 4P  0

 S  P  11
Hệ phương trình tương đương 
 S 11  S   30   S 2  11S  30  0

 SP  30
 S  5; S  6
Khi S  5 thì P  6 suy ra hệ có nghiệm  2;3 ,  3; 2 
Khi S  6 thì P  5 suy ra hệ có nghiệm 1;5  ,  5;1 .

 x2  y 2  1
Câu 14. Hệ phương trình 
có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi :
y  x  m
A. m  2.

B. m   2.

C. m  2 hoặc m   2.

D. m tùy ý.

Lời giải
Chọn C.
2
Ta có : x 2   x  m   1  2 x 2  2mx  m 2  1  0 *
Hệ phương trình có đúng 1 nghiệm khi phương trình * có đúng 1 nghiệm
  '  m2  2 m2  2  0  m   2.
Trang 5/15


2  x  y   3  x  y   4
Câu 15. Hệ phương trình : 
. Có nghiệm là
 x  y   2  x  y   5

 1 13 
A.  ;  .
2 2 

 1 13 
 13 1 
B.   ;   .
C.  ;  .
 2 2
 2 2
Lời giải

 13 1 
D.   ;   .
 2 2

Chọn B.
Đặt u  x  y, v  x  y

2u  3v  4
Ta có hệ 
 2  5  2v   3v  4  v  6  u  7
u

2
v

5

 x  y  7

1
13

 x  x  6  7  x    y   .
2
2
x  y  6
 x  1  y  0
Câu 16. Hệ phương trình: 
có nghiệm là ?
2 x  y  5
A. x  3; y  2.
B. x  2; y  1.
C. x  4; y  3.

D. x  4; y  3.

Lời giải
Chọn B.

 x 1  5  2x
Ta có : x  1  2 x  5  0  5  2 x  0  
 x  2  y  1 .
 x  1  5  2 x
mx  3 y  2m  1
Câu 17. Phương trình sau có nghiệm duy nhất với giá trị của m là : 
 x  (m  2) y  m  3
A. m  1.
B. m  3.
C. m  1 hoặc m  3.

D. m  1 và m  3.
Lời giải
Chọn D.
Ta có : D  m  m  2   3  m 2  2m  3
Phương trình có nghiệm duy nhất khi D  0  m  1 và m  3.

mx   m  4  y  2
Câu 18. Cho hệ phương trình : 
. Để hệ này vơ nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham
m  x  y   1  y
số m là :
A. m  0
B. m  1 hay m  2.
1
1
C. m  1 hay m  .
D. m   hay m  3.
2
2
Lời giải
Chọn A.
mx   m  4  y  2
Ta có : Hệ trở thành 
 D  m  m  1  m  m  4   3m
mx   m  1 y  1
Hệ vô nghiệm  D  0  m  0
Thử lại thấy m  0 thoả điều kiện.
 x2  y 2  6x  2 y  0
Câu 19. Cho hệ phương trình 
. Từ hệ phương trình này ta thu được phương trình

x

y

8

sau đây ?
A. x 2  10 x  24  0.
B. x 2  16 x  20  0. C. x 2  x – 4  0.
D. Một kết quá khác.
Trang 6/15


Lời giải
Chọn D.
2
Ta có : y  8  x  x 2   8  x   6 x  2  8  x   0  20 x  48  0 .

 x 2  3 xy  y 2  2 x  3 y  6  0
Câu 20. Hệ phương trình 
có nghiệm là :
2 x  y  3
A.  2;1 .

B.  3;3 .

C.  2;1 ,  3;3 .

D. Vơ nghiệm.

Lời giải
Chọn C.
2
Ta có : y  2 x  3  x 2  3 x  2 x  3   2 x  3  2 x  3  2 x  3  6  0

  x 2  5 x  6  0  x  2; x  3
x  2  y 1
x  3  y  3.

x  y  1
Câu 21. Hệ phương trình  2
có bao nhiêu nghiệm ?
2
x  y  5
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải
Chọn B.
2
Ta có : y  1  x  x 2  1  x   5  2 x 2  2 x  4  0  x  1; x  2
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm.
2 3
 x  y  13

Câu 22. Hệ phương trình 
có nghiệm là:
 3  2  12
 x y

1
1
A. x  ; y   .
2
3

Chọn B.
2
x 

Ta có : 
3 
 x

1
1
1
1
B. x  ; y  .
C. x   ; y  .
2
3
2
3
Lời giải

D. Hệ vô nghiệm.

3
1

 13
 x  2
y
1
1
 x ,y .

1
2
2
3
 3
 12
 y
y

 x  y  10
Câu 23. Hệ phương trình  2
có nghiệm là:
2
x

y

58

x  3
x  7
x  3 x  7
A. 

B. 
C. 
, 
.
.
.
y  7
y  3
y  7 y  3
Lời giải
Chọn C.
Đặt S  x  y, P  xy  S 2  4 P  0 

D. Một đáp số khác.

 S  10
Ta có :  2
 P  21 (nhận).
S

2
P

58

Khi đó : x, y là nghiệm của phương trình X 2  10 X  21  0  X  7; X  3
Trang 7/15


Vậy nghiệm của hệ là  7;3 ,  3;7  .

ax  y  a 2
Câu 24. Tìm a để hệ phương trình 
vơ nghiệm:
 x  ay  1
A. a  1.
B. a  1 hoặc a  1 . C. a  1.
Lời giải
Chọn C.
Ta có : D  a 2  1 , Dx  a 3  1 , Dy  a  a 2

D. Khơng có a .

Hệ phương trình vơ nghiệm  D  0  a  1
a  1  Dx  Dy  0  Hệ phương trình vơ số nghiệm.
a  1  Dx  2  Hệ phương trình vơ nghiệm.

x  y  z  9

1 1 1
Câu 25. Nghiệm của hệ phương trình :     1
x y z
 xy  yz  zx  27
A. 1;1;1 .

B. 1; 2;1 .

C.  2; 2;1 .

D.  3;3;3 .

Lời giải
Chọn D.
1 1 1
Ta có :    1  xy  yz  zx  xyz  xyz  27
x y z
 x, y, z là nghiệm của phương trình X 3  9 X 2  27 X  27  0  X  3

Vậy hệ phương trình có nghiệm  3;3;3 .
Câu 26.

 x  y  xy  5
Hệ phương trình  2
có nghiệm là :
2
x

y

5

A.  2;1 .

B. 1; 2  .

C.  2;1 , 1; 2  .

D. Vô nghiệm.

Lời giải

Chọn C.
Đặt S  x  y, P  xy  S 2  4 P  0 

S  P  5
Ta có :  2
 S 2  2  5  S   5  S 2  2 S  15  0  S  5; S  3
S  2P  5
S  5  P  10 (loại)
S  3  P  2 (nhận)
Khi đó : x, y là nghiệm của phương trình X 2  3 X  2  0  X  1; X  2
Vậy hệ có nghiệm

 2;1 , 1; 2  .

7

 x  y  xy  2
Câu 27. Hệ phương trình 
có nghiệm là :
 x 2 y  xy 2  5

2

A.  3; 2  ;  2;1 .

B.  0;1 , 1;0  .

C.  0; 2  ,  2;0  .

 1 1 

D.  2;  ;  ; 2  .
 2 2 

Lời giải
Chọn D.
Trang 8/15


Đặt S  x  y, P  xy  S 2  4 P  0 
7

 S  P  2
7
5
5
Ta có : 
 S , P là nghiệm của phương trình X 2  X   0  X  1; X 
2
2
2
 SP  5

2
5
Khi S  1; P  (loại)
2
5
5
1
Khi S  ; P  1 thì x, y là nghiệm của phương trình X 2  X  1  0  X  2; X 

2
2
2
 1 1 
Vậy hệ phương trình có nghiệm  2;  ;  ; 2  .
 2 2 

 x  y  xy  5
Câu 28. Hệ phương trình  2
có nghiệm là :
2
 x  y  xy  7
A.  2;3 hoặc  3; 2  .

B. 1; 2  hoặc  2;1 .

C.  2; 3 hoặc  3; 2  .

D.  1; 2  hoặc  2; 1 .
Lời giải

Chọn B.
Đặt S  x  y, P  xy  S 2  4 P  0 

S  P  5
Ta có :  2
 S 2   5  S   7  S 2  S  12  0  S  3; S  4
S  P  7
Khi S  3  P  2 thì x, y là nghiệm của phương trình X 2  3 X  2  0  X  1; X  2
Khi S  2  P  3 (loại)

Vậy hệ có nghiệm là 1; 2  hoặc  2;1 .

 x  y  xy  11
Câu 29. Hệ phương trình  2
có nghiệm là :
2
x

y

3(
x

y
)

28

A.  3; 2  ,  2;3 .

B.  3; 7  ,  7; 3 .

C.  3; 2  ;  3; 7  .

D.  3; 2  ,  2;3 ,  3; 7  ,  7; 3 .
Lời giải

Chọn D.
Đặt S  x  y, P  xy  S 2  4 P  0 

 S  P  11
Ta có :  2
 S 2  2 11  S   3S  28  S 2  5S  50  0  S  5; S  10
S

2
P

3
S

28

Khi S  5  P  6 thì x, y là nghiệm của phương trình X 2  5 X  6  0  X  2; X  3
Khi S  10  P  21 thì x, y là nghiệm của phương trình

X 2  10 X  21  0  X  3; X  7
Vậy hệ có nghiệm  3; 2  ,  2;3 ,  3; 7  ,  7; 3 .

 x3  3 x  8 y
Câu 30. Hệ phương trình  3
có nghiệm là  x; y  với x  0 và y  0 là :
 y  3 y  8 x





A.  11;  11 ;



11; 11 .





B. 0; 11 ;



11;0 .
Trang 9/15






C.  11;0 .

D.





11;0 .

Lời giải
Chọn A.
 x3  3 x  8 y
Ta có :  3
 x3  y 3  5 x  5 y   x  y   x 2  xy  y 2  5   0
 y  3 y  8 x

x  y
 2
2
 x  xy  y  5  0
Khi x  y thì x3  11x  0  x  0; x   11

1

Khi x  xy  y  5  0   x 
2

2

2





Vậy hệ có nghiệm  11;  11 ;

2

 3
y   y 2  5  0 (phương trình vơ nghiệm)
 4



11; 11 .

2
 x  5 x  2 y
Câu 31. Hãy chỉ ra các cặp nghiệm khác 0 của hệ phương trình:  2
 y  5 y  2 x

A.  3;3 .

B.  2; 2  ;  3;1 ;  3;6  .

C. 1;1 ,  2; 2  ,  3;3 .

D.  2; 2  , 1; 2  ,  6;3
Lời giải

Chọn A.
 x 2  5 x  2 y
Ta có :  2
 x 2  y 2  7 x  7 y   x  y  x  y  7   0
 y  5 y  2 x
Khi x  y thì x 2  3 x  0  x  0; x  3
Khi y  7  x thì x 2  7 x  14  0 (phương trình vơ nghiệm).
Vậy hệ phương trình có nghiệm  3;3 .

2
 x  y  6
Câu 32. Hệ phương trình  2
có bao nhiêu nghiệm ?
 y  x  6

A. 6.

B. 4.

C. 2.

D. 0.

Lời giải
Chọn C.
 x 2  y  6
Ta có :  2
 x 2  y 2  y  x  0   x  y  x  y  1  0
 y  x  6
Khi x  y thì x 2  x  6  0  x  3; x  2
Khi y  1  x thì x 2  x  7  0 (phương trình vơ nghiệm)
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm  3; 3 và  2; 2  .
2
 x  3 x  y
Câu 33. Hệ phương trình  2
có bao nhiêu cặp nghiệm  x; y  ?
 y  3 y  x
A. 1.
B. 2.

C. 3.
Lời giải
Chọn B.

D. 4.

Trang 10/15


2
 x  3 x  y
Ta có :  2
 x 2  y 2  4 x  4 yX   x  y  x  y  1  0
 y  3 y  x

Khi x  y thì x 2  2 x  0  x  0; x  2
Khi y  4  x thì x 2  4 x  4  0  x  2
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm  0;0  ,  2; 2  .

x  y  4
Câu 34. Cho hệ phương trình  2
. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
2
2
x  y  m
A. Hệ phương trình có nghiệm với mọi m .
B. Hệ phương trình có nghiệm  m  8 .
C. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất  m  2.
D. Hệ phương trình ln vô nghiệm.
Lời giải

Chọn B.
x  y  4
16  m 2
2
2
Ta có :  2
 4  2P  m  P 
2
2
2
x  y  m

 S 2  4 P  16  2 16  m 2   2m 2  16  0  m  8 .

3 x 2  4 xy  2 y 2  17
Câu 35. Cho hệ phương trình :  2
. Hệ thức biểu diễn x theo y rút ra từ hệ phương
2
 y  x  16
trình là ?
y2
y2
y 3
y3
A. x 
hay x 
.
B. x 
hay x 
.

2
2
2
2
y 1
y 1
5
3
C. x 
hay x 
.
D. x  y hay x  y
2
2
13
5
Lời giải
Chọn .
2
2
3 x  4 xy  2 y  17
   3 x 2  4 xy  2 y 2   17  y 2  x 2   65 x 2  64 xy  15 y 2  0
Ta có :  2
2
 y  x  16
5
3
 13 x  5 y  5 x  3 y   0  x  y hay x  y .
13
5

mx  y  3
Câu 36. Cho hệ phương trình : 
.Các giá trị thích hợp của tham số m để hệ phương
 x  my  2m  1
trình có nghiệm nguyên là :
A. m  0, m  –2.

B. m  1, m  2, m  3.

C. m  0, m  2.

D. m  1, m  –3, m  4.
Lời giải

Chọn A.
Ta có : D  m 2  1 , Dx  m  1 , Dy  2m 2  m  3
D
Dx
1
2m  1

,y y 
D m 1
D
m 1
Hệ phương trình có nghiệm nguyên khi m  0; m  2 .

Hệ phương trình có nghiệm x 

Trang 11/15

 x  2 y  3
Câu 37. Các cặp nghiệm  x; y  của hệ phương trình : 
là :
7 x  5 y  2
 11 23 
A. 1;1 hay  ;  .
 19 19 
 11 23 
C. 1; 1 hay   ;  .
 19 19 

 11 23 
B.  1; 1 hay   ;  .
 19 19 
 11 23 
D.  1;1 hay  ;  .
 19 19 

Lời giải
Chọn C.

x  2 y  3
11
19
Khi x, y  0 thì hệ trở thành 
(loại)
 x   ;y 
9

9
7 x  5 y  2
 x  2 y  3
19
23
Khi x, y  0 thì hệ trở thành 
(loại)
 x ,y
9
9
7 x  5 y  2
x  2 y  3
Khi x  0, y  0 thì hệ trở thành 
 x  1; y  1 (nhận)
7 x  5 y  2
 x  2 y  3
11
23
 x ;y
Khi x  0, y  0 thì hệ trở thành 
(nhận)
19
19
7 x  5 y  2
 xy  x  y  5
Câu 38. Nghiệm của hệ phương trình :  2
là:
2
x y  y x  6
A. 1; 2  ,  2;1 .

B.  0;1 , 1; 0  .

C.  0; 2  ,  2;0  .

 1 1 
D.  2;  ,  ; 2  .
 2 2 

Lời giải
Chọn A.
Đặt S  x  y, P  xy  S 2  4 P  0 

P  S  5
Ta có : 
 PS  6
 S , P là nghiệm của phương trình X 2  5 X  6  0  X  2; X  3
Khi S  2, P  3 (loại)
Khi S  3, P  2 thì x, y là nghiệm phương trình X 2  3 X  2  0  X  1; X  2
Vậy nghiệm của hệ là 1; 2  ,  2;1 .
2
2
2 x  y  3 xy  12
Câu 39. Cho hệ phương trình : 
. Các cặp nghiệm dương của hệ phương trình là:
2
2
2( x  y )  y  14

A. 1; 2  ,





2; 2 .

B.  2;1 ,





3; 3 .

2 
2  
C.  ;3  ,  3,

3
3  


1   2
D.  ;1 , 
; 3  .
2   3


Lời giải

Chọn A.
2 x 2  y 2  3 xy  12
2 x 2  y 2  3 xy  12
2
 xy  2  y 
Ta có : 
 2
2
2
2
x
2( x  y )  y  14
2 x  y  4 xy  14
 2x2 

 x2  1
4
4
2

6

12

2
x

6
x


4

0

 x  1; x   2
 2
x2
x  2

Trang 12/15


Vậy cặp nghiệm dương của hệ phương trình là 1; 2  ,





2; 2 .

 x3  3 x  y 3  3 y
Câu 40. Hệ phương trình  6
có bao nhiêu nghiệm ?
6
 x  y  27
A. 1.
B. 2.
C. 3.
Lời giải
Chọn .

Ta có : x3  3 x  y 3  3 y   x  y   x 2  xy  y 2   3  x  y   0

D. 4.

x  y
  x  y   x 2  xy  y 2  3  0   2
2
 x  xy  y  3  0
 27
27 
Khi x  y thì hệ có nghiệm   6
;6
.
2
2 

Khi x 2  xy  y 2  3  0  x 2  y 2  3  xy , ta có x 6  y 6  27
2
3
  x 2  y 2  x 4  x 2 y 2  y 4   27   3  xy   3  xy   3 x 2 y 2   27  3  xy   27 xy  0


 xy  0
(vô lí).

2
 xy   9
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm.
2 x  y  1  1
Câu 41. Hệ phương trình 

có bao nhiêu cặp nghiệm  x; y  ?
2 y  x  1  1
A. 1.
B. Vô nghiệm.
C. 2.
D. 3.
Lời giải
Chọn A.
Điều kiện : x, y  1

2 x  y  1  1
Ta có : 
 2x  2 y  y 1  x 1  0  2  x  y  
2 y  x  1  1

  x  y 2 



yx
y 1  x 1  0


1
0
y  1  x  1 

1

1


x 
x  2

Khi x  y thì 2 x  x  1  1  x  1  1  2 x  
 x0
2
2
2
4 x  5 x  0
 x  1  1  2 x 


1
1
3
thì 2 x  2 y   2  x  y  (vơ nghiệm vì x, y  1 )
2
2
4
Vậy hệ phương trình có nghiệm  0;0  .

Khi

y 1  x 1 

x  y  m 1
Câu 42. Cho hệ phương trình  2
và các mệnh đề :
2

2
 x y  y x  2m  m  3
(I) Hệ có vơ số nghiệm khi m  1 .
3
(II) Hệ có nghiệm khi m  .
2
(III) Hệ có nghiệm với mọi m .
Các mệnh đề nào đúng ?
A. Chỉ (I).
B. Chỉ (II).
C. Chỉ (III) .

D. Chỉ (I) và (III).
Trang 13/15


Lời giải
Chọn D.

x  y  0
Khi m  1 thì hệ trở thành  2
 hệ có vơ số nghiệm  ( I ) đúng.
2
x y  y x  0
x  y  m 1
Ta có:  2
 xy  m  1  2m 2  m  3  xy  2m  3
2
2
 x y  y x  2m  m  3

 S 2  4 P   m  1  4  2m  3  m 2  6m  13  0, m đúng.
2

2 xy  y 2  4 x  3 y  2  0
Câu 43. Hệ phương trình 
có nghiệm là :
2
 xy  3 y  2 x  14 y  16  0
A. x bất kỳ, y  2 ; x  1 , y  3
1
B. x  3, y  2; x  3, y  –1; x  2, y  – .
2
1
C. x  5, y  2; x  1, y  3; x  , y  2.
2
1
D. x  4, y  2; x  3, y  1; x  2, y  .
2
Lời giải
Chọn A.
2 xy  y 2  4 x  3 y  2  0
2 xy  y 2  4 x  3 y  2  0
Ta có : 

 5 y 2  25 y  30  0
2
2
 xy  3 y  2 x  14 y  16  0 2 xy  6 y  4 x  28 y  32  0
 y  3; y  2

Khi y  3 thì x  1 .
Khi y  2 thì x tuỳ ý.

 x  y  2a  1
Câu 44. Cho hệ phương trình  2
. Giá trị thích hợp của tham số a sao cho hệ có
2
2
 x  y  a  2a  3
nghiệm  x; y  và tích x. y nhỏ nhất là :
A. a  1.

B. a  1.

C. a  2.

D. a  2.

Lời giải
Chọn B.
Đặt S  x  y, P  xy  S 2  4 P  0 

 S  2a  1
3a 2  6a  2
Ta có :  2
P
2
2
 S  2 P  a  2a  3

Hệ phương trình có nghiệm khi S 2  4 P  0   2a  1  2  3a 2  6a  2   0
2

 5a 2  8a  2  0
3
1 3
1
3
2
P   a 2  2a      a  1    
2
2 2
2
4
Đẳng thức xảy ra khi a  1 (nhận).
 a  b  x   a  b  y  2
Câu 45. Cho hệ phương trình :  3 3
3
3
2
2
 a  b  x   a  b  y  2  a  b )
Trang 14/15


Với a  b , a.b  0 , hệ có nghiệm duy nhất bằng :
1
1
,y
.

ab
a b
a
b
,y
.
D. x 
a b
a b

B. x 

A. x  a  b, y  a – b.
C. x 

a
b
,y
.
ab
ab

Lời giải
Chọn B.
Ta có : D   a  b   a 3  b3    a 3  b3   a  b   2ab  a 2  b 2 
Dx  2  a 3  b3   2  a 2  b 2   a  b   2ab  a  b 
Dy   a  b  2  a 2  b 2   2  a 3  b3   2ab  a  b 

D
Dx

1
1

;y y 
.
D ab
D a b
2 x  y  2  a
Câu 46. Cho hệ phương trình : 
. Các giá trị thích hợp của tham số a để tổng bình
x  2 y  a 1

Hệ có nghiệm x 

phương hai nghiệm của hệ phương trình đạt giá trị nhỏ nhất :
1
A. a  1.
B. a  1.
C. a  .
2
Lời giải
Chọn C.
5a

x

 4 x  2 y  4  2a
2 x  y  2  a

5


Ta có : 

3
a
x

2
y

a

1
x

2
y

a

1


y 

5

1
D. a   .
2

2
2
2
10a 2  10a  25 1
1 
1  9 9
 5  a  9a
2
 x  y 

  2a  2a  5     2 a 
 
  
25
25
5
5  
2  2  10
 5 
2

2

1
.
2
mx  (m  1) y  3m

Câu 47. Cho hệ phương trình :  x  2my  m  2 . Để hệ phương trình có nghiệm, giá trị thích hợp

x  2 y  4


Đẳng thức xảy ra khi a 

của tham số m là
5
A. m  .
2

5
B. m   .
2

2
C. m  .
5

2
D. m   .
5

Lời giải
Chọn C.
Ta có : D  2m 2  m  1 , Dx  5m 2  3m  2 , Dy  m 2  m
Hệ phương trình có nghiệm khi D  0  m  1; m  

1
2

D
Dx 5m  2
m

;y y 
D 2m  1
D 2m  1
5m  2
2m
2

4 m .
Thế vào phương trình x  2 y  4 ta được
2m  1 2m  1
5

Nghiệm của hệ là x 

Trang 15/15


mx  (m  2) y  5
Câu 48. Cho hệ phương trình : 
. Để hệ phương trình có nghiệm âm, giá trị cần tìm
 x  my  2m  3
của tham số m là :
5
5
A. m  2 hay m  .
B. 2  m  .

2
2
5
5
C. m   hay m  2.
D.   m  1.
2
2
Lời giải
Chọn D.
Ta có : D  m 2  m  2 , Dx  2m 2  2m  6 , Dy  2m 2  3m  5
Hệ phương trình có nghiệm khi D  0  m  1; m  2
Hệ có nghiệm x 

2m 2  2m  6
2m 2  3m  5
,
y

m2  m  2
m2  m  2

m 2  m  2  0
 m  1
5
Hệ phương trình có nghiệm âm khi  2

  m 1
2
2m  3m  5  0

m  2
5
   m  1 .
2
2
2
2 x  xy  y  0
Câu 49. Cho hệ phương trình :  2
. Các cặp nghiệm  x; y  sao cho x, y đều
2
 x  xy  y  3 x  7 y  3  0
là các số nguyên là :
A.  2; 2  ,  3; 3 .
B.  2; 2  ,  3;3 .
C. 1; 1 ,  3; 3 .
D.  1;1 ,  4; 4  .

Lời giải
Chọn C

x   y
Phương trình 1   x  y  2 x  y   0  
.
2 x  y
x  1
Trường hợp 1: x   y thay vào  2  ta được x 2  4 x  3  0  
. Suy ra hệ phương trình
x  3
có hai nghiệm là 1; 1 ,  3; 3 .
Trường hợp 2: 2x  y thay vào  2  ta được 5 x 2  17 x  3  0 phương trình nay khơng có

nghiệm ngun.
Vậy các cặp nghiệm  x; y  sao cho x, y đều là các số nguyên là 1; 1 và  3; 3 .

 x 2  4 xy  y 2  1
Câu 50. Nếu  x; y  là nghiệm của hệ phương trình: 
. Thì xy bằng bao nhiêu ?
 y  4 xy  2
A. 4.
B. 4.
C. 1.
D. Không tồn tại giá trị của xy .
Lời giải
Chọn D.
 x  y 2  1  2 xy
Ta có : 1  x  4 xy  y  1  
.
2
 x  y   1  6 xy
2

2

Trang 16/15


 2   y  3xy  4   x  y    x  y   8 xy  4  0
2

2

1 
1 3

  x  y    x  y    x  y    x  y   2  0   x  y     x  y     0 khơng có
2 
2 2

giá trị của x , y thỏa nên không tồn tại xy .
2

2

Trang 17/15