01 mở đầu về bất đẳng thức đặng việt hùng image marked

01. MỞ ĐẦU VỀ BẤT ĐẲNG THỨC (Full)

Ví dụ 1 [Svip]. Cho các số thực a, b, c . Chứng minh các bất đẳng thức sau:
b) a 2  b 2  1  ab  a  b

a) a 2  b 2  c 2  3  2(a  b  c)

Lời giải
2

2

2

a) BDT  (a  1)  (b  1)  (c  1)  0
b) BDT  (a  b) 2  (a  1) 2  (b  1) 2  0
Ví dụ 2 [Svip]. Cho các số thực a, b, c . Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) a 2  b 2  c 2  2(ab  bc  ca )

b) a 4  b 4  c 2  1  2a (ab 2  a  c  1)
Lời giải

2

a) BDT  (a  b  c)  0
b) BDT  (a 2  b 2 ) 2  (a  c) 2  (a  1) 2  0
Ví dụ 3 [Svip]. Cho các số thực a, b, c, d , e . Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)

a2
 b 2  c 2  ab  ac  2bc

4

b) a 2  b 2  c 2  d 2  e2  a (b  c  d  e)
Lời giải

2

a

a) BDT    (b  c)   0
2

2

2

2

2

a
 a
 a
 a

b) BDT    b     c     d     e   0
2
 2
 2
 2


Ví dụ 4 [Svip]. Cho các số thực a, b, c . Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1 1 1
1
1
1


a)   
b) a  b  c  ab  bc  ca với a, b, c  0
a b c
ab
bc
ca
Lời giải
2

2

2

1   1
1   1
1 
 1
a) BDT  



 

 
 0
b  b
c  c
a
 a
b) BDT   a  b    b  c    c  a   0
2

2

2

Ví dụ 5 [Svip]. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
3

a)

a 3  b3  a  b 

 ; với a, b  0
2
 2 

b) a 3  b3  c3  3abc , với a, b, c > 0.
Lời giải

3
a) BDT  (a  b)(a  b) 2  0
8

b) Sử dụng hằng đẳng thức a 3  b3  (a  b)3  3a 2b  3ab 2 .
Khi đó, BĐT  (a  b  c)  a 2  b 2  c 2  (ab  bc  ca )   0 .


Ví dụ 6 [Svip]. Cho các số thực a, b . Chứng minh các bất đẳng thức sau:
b) a 4  b 4 

a) a 4  3  4a

a 6 b6

; với a, b  0.
b2 a 2

Lời giải
2

2

a) BDT  (a  1) (a  2a  3)  0
b) BDT  (a 2  b 2 ) 2 (a 4  a 2b 2  b 4 )  0
Ví dụ 7 [Svip]. Cho các số thực a, b, c, d , e . Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)

a2  3
2

a 2

b) (a 5  b5 )(a  b)  (a 4  b 4 )(a 2  b 2 ); ab  0

2

Lời giải
2

2

a) BDT  (a  1)  0
b) BDT  ab(a  b)(a 3  b3 )  0
Ví dụ 8 [Svip]. Cho a, b, c, d  R. Chứng minh rằng a 2  b 2  2ab (1).
Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau:
a) a 4  b 4  c 4  d 4  4abcd
b) (a 2  1)(b 2  1)(c 2  1)  8abc
c) (a 2  4)(b 2  4)(c 2  4)(d 2  4)  256abcd
Lời giải
a) a  b  2a b ; c  d  2c d ; a b  c d 2  2abcd
4

4

2 2

2

2

2

2

2 2

2

b) a 2  1  2a; b 2  1  2b; c 2  1  2c
c) a 2  4  4a; b 2  4  4b; c 2  4  4c; d 2  4  4d
Ví dụ 9 [Svip]. Cho a, b, c  R. Chứng minh bất đẳng thức: a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca (1).
Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau:

a 2  b2  c2  a  b  c 


3
3



2

a) (a  b  c) 2  3(a 2  b 2  c 2 )

b)

c) (a  b  c) 2  3(ab  bc  ca )

d) a 4  b 4  c 4  abc(a  b  c)

e)

abc
ab  bc  ca

với a, b, c > 0.
3
3

f) a 4  b 4  c 4  abc nếu a  b  c  1
Lời giải

Ta có bất đẳng thức





a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca  2 a 2  b 2  c 2  2  ab  bc  ca 





 2 a 2  b 2  c 2  2  ab  bc  ca   0
 a 2  2ab  b 2  b 2  2bc  c 2  c 2  2ca  a 2  0   a  b    b  c    c  a   0 (Đúng với mọi
2

2

2

a,b,c)
Dấu bằng xảy ra khi a  b  c
Vậy ta có đpcm.
a) Theo chứng minh ở trên ta đã có a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca
Nhân 2 vế với 2 rồi cộng 2 vế với a 2  b 2  c 2 ta được









2 a 2  b 2  c 2  a 2  b 2  c 2  2  ab  bc  ca   a 2  b 2  c 2  3 a 2  b 2  c 2   a  b  c  (đpcm)
2


Dấu bằng xảy ra khi a  b  c





b) Theo câu a ta đã có 3 a 2  b 2  c 2   a  b  c  .
2

a 2  b2  c2  a  b  c 
 abc 

Chia 2 vế của bất đẳng thức cho 9 ta được



3
9
3


Dấu bằng xảy ra khi a  b  c
2

2

(đpcm)

c) Theo chứng minh ở trên ta đã có a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca
Cộng 2 vế với 2  ab  bc  ca  ta được
a 2  b 2  c 2  2  ab  bc  ca   3  ab  bc  ca    a  b  c   3  ab  bc  ca 
2

Dấu bằng xảy ra khi a  b  c
d) Sử dụng bất đẳng thức x 2  y 2  z 2  xy  yz  xz ta có:
a 4  b 4  c 4  a 2b 2  b 2 c 2  c 2 a 2   ab    bc    bc 
2

2

2

Lại có  ab    bc    bc   ab.bc  bc.ca  ca.ab  ab 2 c  bc 2 a  ca 2b  abc  a  b  c 
2

2

2

Từ đó suy ra a 4  b 4  c 4  abc  a  b  c  (tính chất bắc cầu)
Dấu bằng xảy ra khi a  b  c
e) Theo câu c ta có  a  b  c   3  ab  bc  ca  . Với a, b, c  0 thì a  b  c  0, ab  bc  ca  0
2

Ta có

a  b  c
9

2



 ab  bc  ca   a  b  c 
3

ab  bc  ca
3

3

f) Theo câu d ta có a 4  b 4  c 4  abc  a  b  c   abc do a  b  c  1

Nên ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi a  b  c 

1
.
3

Ví dụ 10 [Svip]. Cho a, b  0 . Chứng minh bất đẳng thức: a 3  b3  a 2b  b 2 a  ab(a  b) (1).
Áp dụng chứng minh các bất đẳng thức sau:
1
1
1
1
a) 3 3
; với a, b, c > 0.
 3 3
 3

3
a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc
1
1
1
b) 3 3
với a, b, c > 0 và abc = 1.
 3 3
 3
1;
a  b  1 b  c  1 c  a3  1
1
1

1


 1;
c)
với a, b, c > 0 và abc = 1.
a  b 1 b  c 1 c  a 1
d)

3

4(a 3  b3 )  3 4(b3  c3 )  3 4(c3  a 3 )  2(a  b  c) ;

với a, b, c  0 .

Lời giải
a) Ta có bổ đề a 3  b3  a 2b  b 2 a  ab(a  b) .

 a  b   a  b   0   a 2  2ab  b2   a  b   0
2

 a 3  a 2b  2a 2b  2ab 2  b 2 a  a 2b  b3  0
 a 3  b3  a 2b  b 2 a  ab  a  b 

Dấu đẳng thức xảy ra khi hai số a và b bằng nhau.
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có


1
1

1


3
a  b  abc ab  a  b   abc ab  a  b  c 
3

1
3

3

b  c  abc
1
3

3

c  a  abc



1
1

bc  b  c   abc bc  a  b  c 



1

1

ca  c  a   abc ca  a  b  c 

Dẫn đến
1
1
1
1
1
1 
1
abc
1
 1
.
 3 3
 3

.

   
3
3
3
abc
a  b  abc b  c  abc c  a  abc  a  b  c   ab bc ca  a  b  c abc
Dấu bằng xảy ra khi ba số a, b, c bằng nhau.
b) Áp dụng bất đẳng thức câu a ta có
1

1
1
1
1
1
1
 3 3
 3
 3 3
 3 3
 3

 1.
3
3
3
3
a  b  1 b  c  1 c  a  1 a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc
Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số đều bằng 1.
c) Đặt a  x3 ; b  y 3 ; c  z 3 ; abc  1  xyz  1 . Bài toán trở thành chứng minh
1
1
1
1
1
1


1 3
 3 3

 3 3
 1.
3
a  b 1 b  c 1 c  a 1
x  y 1 y  z 1 z  x 1
Thay câu b bởi các biến x, y, z ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi ba số cùng bằng 1.
d) Dễ thấy
a 3  b3  ab  a  b   3a 3  3b3  3ab  a  b 
 4a 3  4b3  a 3  b3  3ab  a  b    a  b   3 4(a 3  b3 )  a  b
3

Tương tự ta có
Dẫn đến

3

3

4(b3  c3 )  b  c; 3 4(c3  a 3 )  c  a .

4(a 3  b3 )  3 4(b3  c3 )  3 4(c3  a 3 )  2(a  b  c) .

Dấu bằng xảy ra khi ba số a, b, c bằng nhau.


BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1 [Svip]: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây đúng?

a  b
A. 

 a  c  b  d.
c  d

a  b
B. 
 a  c  b  d.
c  d

a  b
a  b  0
C. 
D. 
 a  d  b  c.
 a  c  b  d.
c  d
c  d  0
Câu 2 [Svip]: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây sai?
a  b
a  b
bc
A. 
B. 
a
.
 a  c  b  a.
2
a  c
a  c
C. a  b  a  c  b  c.
D. a  b  c  a  c  b.

Câu 3 [Svip]: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
a  b
A. 
 ac  bd .
c  d

a  b
B. 
 ac  bd .
c  d

0  a  b
a  b
C. 
D. 
 ac  bd .
 ac  bd .
0  c  d
c  d
Câu 4 [Svip]: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây đúng?
A. a  b  ac  bc.
B. a  b  ac  bc.
a  b
D. 
 ac  bc.
c  0
Câu 5 [Svip]: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây đúng?
C. c  a  b  ac  bc.

0  a  b

a b
A. 
  .
c d
0  c  d

a  b  0
a b
B. 
  .
c d
c  d  0

a  b
a  b  0
a b
a d
C. 
D. 
  .
  .
c d
c  d
c  d  0 b c
Câu 6 [Svip]: Nếu a  2c  b  2c thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?
B. a 2  b 2 .

A. 3a  3b.

C. 2a  2b.

Câu 7 [Svip]: Nếu a  b  a và b  a  b thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?
A. ab  0.
B. b  a.
C. a  b  0.
Câu 8 [Svip]: Nếu 0  a  1 thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?
1
1
A.  a .
B. a  .
C. a  a .
a
a

D.

1 1
 .
a b

D. a  0 và b  0.
D. a 3  a 2 .

Câu 9 [Svip]: Bất đẳng thức  m  n   3mn tương đương với bất đẳng thức nào sau đây.
2

A. n  m  1  m  n  1  0.

B. m 2  n 2  2mn.

C.  m  n   m  n  0.

D.  m  n   2mn.

2

2

2

2

Câu 10 [Svip]: Với mọi a, b  0, ta có bất đẳng thức nào sau đây ln đúng?
A. a  b  0.

B. a 2  ab  b 2  0.

C. a 2  ab  b 2  0.

D. a  b  0.


Câu 11 [Svip]: Cho hai số x, y dương thỏa x  y  12, bất đẳng thức nào sau đây không đúng?
2

 x y
A. xy  6.
B. xy  
C. 2 xy  x 2  y 2 .
D. xy  6.

  36.
2


Câu 12 [Svip]: Cho ab  0 và ab  a  b. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a  b  4.
B. a  b  4.
C. a  b  4.
D. a  b  4.
Câu 13 [Svip]: Với a, b, c, d  0. Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào sai?
a
a ac
1 
.
b
b bc
a c
a ac c
 .
C.   
b d
b bc d

A.

B.

a
a ac
1 

.
b
b bc

D. Có ít nhất hai trong ba mệnh đề trên là sai.

Câu 14 [Svip]: Bất đẳng thức (m  n) 2  4mn tương đương với bất đẳng thức nào sau đây ?
A. (m–n)2 + m + n  0

B. (m + n)2 + m + n  0

C. n(m–1)2 + m(n–1)2  0

D. (m  n) 2  0

Câu 15 [Svip]: Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng ?
A. Nếu a  0 thì a 2  a

B. Nếu a 2  a thì a > 0

C. Nếu a 2  a thì a < 0

D. Nếu a 2  0 thì a > 0

Câu 16 [Svip]: Cho a > b > 0. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:
a a 1
a b
a a 1
a a 1
A. 

B. 
C. 
D. 
b b 1
b a
b b 1
b b 1
1 a
1 b
,y
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Câu 17 [Svip]: Cho a  b  0 và x 
2
1 a  a
1  b  b2
A. Không so sánh được.
B. x  y.
C. x  y.

D. x  y.

01. MỞ ĐẦU VỀ BẤT ĐẲNG THỨC (Full)

Câu 1 [Svip]: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây đúng?
a  b
a  b
A. 
B. 
 a  c  b  d.
 a  c  b  d.

c  d
c  d
a  b
a  b  0
C. 
D. 
 a  d  b  c.
 a  c  b  d.
c  d
c  d  0
a  b
a  b
HD: Ta có: 

 a  d  b  c. Chọn C.
c  d
  d  c
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 2 [Svip]: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây sai?
a  b
a  b
bc
A. 
B. 
a
.
 a  c  b  a.
2
a  c

a  c
C. a  b  a  c  b  c.
D. a  b  c  a  c  b.
a  b
bc
HD: Ta có: 
 2a  b  c  a 
 (1) đúng.
2
a  c


a  b
 2a  b  c  a  c  b  a   2  đúng.

a  c
a  b  a  c  b  c   3 đúng.

a  b  a  c  b  c  c  a  c  b   4  sai. Chọn D.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 3 [Svip]: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
a  b
a  b
A. 
B. 
 ac  bd .
 ac  bd .
c  d
c  d

0  a  b
a  b
C. 
D. 
 ac  bd .
 ac  bd .
0  c  d
c  d
0  a  b
HD: Ta có 
 ac  bd . Chọn C.
0  c  d
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 4 [Svip]: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây đúng?
A. a  b  ac  bc.
B. a  b  ac  bc.
a  b
C. c  a  b  ac  bc.
D. 
 ac  bc.
c  0
a  b
HD: Với 
 ac  bc   4  đúng. Chọn D.
c  0
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 5 [Svip]: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây đúng?
0  a  b

a  b  0
a b
a b
A. 
B. 
  .
  .
c d
c d
0  c  d
c  d  0
a  b
a  b  0
a b
a d
C. 
D. 
  .
  .
c d
c  d
c  d  0 b c
a  b  0
a d
HD: Ta có: 
 ac  bd   . Chọn D.
b c
c  d  0
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 6 [Svip]: Nếu a  2c  b  2c thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?
A. 3a  3b.

B. a 2  b 2 .

C. 2a  2b.

HD: Ta có: a  2c  b  2c  a  b  2a  2b. Chọn C.

D.

1 1
 .
a b

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 7 [Svip]: Nếu a  b  a và b  a  b thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?
A. ab  0.
B. b  a.
C. a  b  0.
HD: Ta có: a  b  a  b  0 và b  a  b  0  a
a  0
Do đó 
 ab  0. Chọn A.
b  0

D. a  0 và b  0.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 8 [Svip]: Nếu 0  a  1 thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?
1
1
A.  a .
B. a  .
C. a  a .
a
a
1
HD: Ta có:  a  1  a a  0 (với mọi 0  a  1 nên A đúng)
a
1
Với a  0 thì a   a 2  1  a  1 nên B sai.
a
Tương tự dễ thấy đáp án C và D sai. Chọn A.

D. a 3  a 2 .

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Câu 9 [Svip]: Bất đẳng thức  m  n   3mn tương đương với bất đẳng thức nào sau đây.
2

A. n  m  1  m  n  1  0.

B. m 2  n 2  2mn.

C.  m  n   m  n  0.

D.  m  n   2mn.

2

2

2

2

2

n  3n 2
2

HD :  m  n   3mn  m 2  n 2  2mn  3mn  m 2  n 2  mn  0   m   
0
2
4

Đúng với mọi m, n   . Do đó cần tìm bất đẳng thức luôn đúng với mọi m, n  
A: không đúng với m  2, n  3
B: m 2  n 2  2mn.   m  n   0 đúng với mọi m, n  
2

1
2
D: không đúng với m  n  1 . Chọn B.

C: không đúng với m  0, n  

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 10 [Svip]: Với mọi a, b  0, ta có bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?
B. a 2  ab  b 2  0.

A. a  b  0.

C. a 2  ab  b 2  0.

D. a  b  0.

2

b  3b 2

HD : a 2  ab  b 2   a   
 0. Chọn C.
2
4

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 11 [Svip]: Cho hai số x, y dương thỏa x  y  12, bất đẳng thức nào sau đây không đúng?
2

A.

 x y

B. xy  
  36.
 2 

xy  6.

C. 2 xy  x 2  y 2 .

xy  6.

D.

 x  y   36. , 2 xy  x 2  y 2  0  x  y 2 . Chọn D.
x y
xy 
 6 , xy 


2
4
2

HD :

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 12 [Svip]: Cho ab  0 và ab  a  b. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a  b  4.
B. a  b  4.
C. a  b  4.

HD : a  b  ab 

a  b
4

2

D. a  b  4.

 4  a  b    a  b   4  a  b . Chọn B.
2

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 13 [Svip]: Với a, b, c, d  0. Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào sai?
a
a ac
a
a ac
.
.
A.  1  
B.  1  
b
b bc
b
b bc
a c
a ac c
 .

C.   
D. Có ít nhất hai trong ba mệnh đề trên là sai.
b d
b bc d
a c
a c
HD : Dễ thấy C sai rõ ràng vì ban đầu là  nhưng vế sau lại là  . Chọn C.
b d
b d
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 14 [Svip]: Bất đẳng thức (m  n) 2  4mn tương đương với bất đẳng thức nào sau đây ?
A. (m–n)2 + m + n  0
B. (m + n)2 + m + n  0
C. n(m–1)2 + m(n–1)2  0
D. (m  n) 2  0
HD: Ta có  m  n   4mn  m 2  2mn  n 2  4mn  m 2  2mn  n 2  0   m  n   0 . Chọn D.
2

2

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 15 [Svip]: Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng ?
A. Nếu a  0 thì a 2  a
B. Nếu a 2  a thì a > 0
C. Nếu a 2  a thì a < 0
D. Nếu a 2  0 thì a > 0

a  1
HD: Ta có a 2  a  a  a  1  0  
và a 2  0; a  0 . Chọn A.
a  0
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 16 [Svip]: Cho a > b > 0. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:
a a 1
a b
a a 1
a a 1
A. 
B. 
C. 
D. 
b b 1
b a
b b 1
b b 1
a a 1
HD: Ta có a  b  0  a  ab  b  ab  a 1  b   b 1  a   
. Chọn C.
b b 1
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 a
1 b
,y
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
2

1 a  a
1  b  b2
A. Không so sánh được.
B. x  y.
C. x  y.
D. x  y.
2
2
2
 b  a  b  a  ab   0 . Chọn B.
1 a
1 b
b  ab  a  ba 2



HD : x  y 
2
2
2
2
1 a  a 1 b  b
1  a  a 1  b  b  1  a  a 2 1  b  b2 

Câu 17 [Svip]: Cho a  b  0 và x 