1 bất đẳng thức 10tr đặng việt đông image marked

Chương 4

BẤT ĐẲNG THỨC
BẤT PHƯƠNG TRÌNH

§ 1. BẤT ĐẲNG THỨC


Điều kiện

Nội dung

Cộng hai vế với số bất kì

ab acbc

(1)

một số dương: c  0

a  b  ac  bc

(2a)

một số âm: c  0

a  b  ac  bc

(2b)

Cộng vế theo vế các BĐT cùng chiều

a  b
 ac bd

c  d

(3)

Nhân từng vế BĐT khi biết nó dương

a  b  0
 ac  bd

c  d  0

(4)

Mũ lẻ

a  b  a2 n1  b2 n1

(5a)

Mũ chẵn

0  a  b  a2 n  b2 n

(5b)

a0

ab a  b

(6a)

a bất kỳ

ab 3 a  3 b

(6b)

Nhân hai vế

Nâng lũy thừa với
n  

Lấy căn hai vế

Nếu a, b cùng dấu: ab  0

ab

1 1

a b

(7 a)

Nếu a, b trái dấu: ab  0

ab

1 1

a b

(7 b)

Nghịch đảo

BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (AM – GM)
ab
 ab . Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi a  b.
2
abc 3
a  0; b  0; c  0 thì ta có:
 abc . Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi a  b  c.
3

 a  0; b  0 thì ta có:


BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACƠPXKI (CAUCHY SCHWARZ)
( a.x  b.y)2  ( a2  b2 )( x 2  y 2 )
x y
 Dấu "  " xảy ra khi  , ( a; b  0).
2
2
2
2

a b
 a.x  b.y  ( a  b )( x  y )

 x; y; a; b   thì: 


( a.x  b.y  c.z)2  ( a2  b2  c 2 )( x 2  y 2  z 2 )

x; y; z; a; b; c   thì: 
2
2
2
2
2
2
 a.x  b.y  c.z  ( a  b  c )( x  y  z )

Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi
 x; y   và a  0, b  0 thì

x y z
  ( a; b; c  0).
a b c

x y
x 2 y 2 ( x  y )2


 Dấu "  " xảy ra khi  
a b

a
b
ab

 x; y; z   và a  0, b  0, c  0 thì
Câu 1.

x y z
x 2 y 2 z 2 ( x  y  z )2



 Dấu "  "    
a b c
a
b
c
abc

Cho bất đẳng thức a  b  a  b . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Trang 1/9


A. a  b .

Câu 2.

B. ab  0 .

C. ab  0 .

Hướng dẫn giải

D. ab  0 .

Chọn B.
Tính chất của bất đẳng thức.
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 2  3 x với x   là:
9
A.  .
4

3
B.  .
2

C. 0 .

3
D. .
2

Hướng dẫn giải
Chọn C.
x 2  0 
2
Ta có:
  x 3 x  0.
x  0 
Câu 3.

Cho biểu thức f  x   1  x 2 . Kết luận nào sau đây đúng?
A.Hàm số f  x  chỉ có giá trị lớn nhất, khơng có giá trị nhỏ nhất.
B.Hàm số f  x  chỉ có giá trị nhỏ nhất, khơng có giá trị lớn nhất.
C. Hàm số f  x  có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất.
D. Hàm số f  x  khơng có giá trị nhỏ nhất và khơng có giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có: f  x   0 và f 1  0 ; f  x   1 và f  0   1 .
Vậy hàm số f  x  có giá trị nhỏ nhất bằng 0 và giá trị lớn nhấtbằng 1.

Câu 4.

Cho hàm số f  x  

1
x2  1

. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. f  x  có giá trị nhỏ nhất là 0 , giá trị lớn nhất bằng 1.
B. f  x  khơng có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất bằng 1.
C. f  x  có giá trị nhỏ nhất là 1, giá trị lớn nhất bằng 2 .
D. f  x  khơng có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có: 0  f  x   1; x   và f  0   1 . Vậy f  x  khơng có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất
Câu 5.

Câu 6.

Câu 7.

bằng 1.
Cho biết hai số a và b có tổng bằng 3 . Khi đó, tích hai số a và b
9
9
A. có giá trị nhỏ nhất là .
B. có giá trị lớn nhất là .
4
4
3
C. có giá trị lớn nhất là .
D. khơng có giá trị lớn nhất.
2
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Vì a và b là hai số bất kì nên khơng xác định được giá trị lớn nhất của tích ab .
Cho ba số a ; b ; c thoả mãn đồng thời: a  b  c  0 ; b  c  a  0 ; c  a  b  0 . Để ba số a ;
b ; c là ba cạnh của một tam giác thì cần thêm đều kiện gì ?
A. Cần có cả a, b, c  0 .
B. Cần có cả a, b, c  0 .
C. Chỉ cần một trong ba số a, b, c dương
D. Khơng cần thêm điều kiện gì.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Trong các hình chữ nhật có cùng chi vi thì
Trang 2/9


Câu 8.

A. Hình vng có diện tích nhỏ nhất.
B. Hình vng có diện tích lớn nhất.
C. Khơng xác định được hình có diện tích lớn nhất.
D. Cả A, B, C đều sai.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ý nghĩa hình học của bất đẳng thức Cơ si.
Tìm mệnh đề đúng?
A. a  b  ac  bc .
C. a  b và c  d  ac  bd .

1 1
 .
a b
D. a  b  ac  bc,  c  0  .

B. a  b 
Hướng dẫn giải

Câu 9.

Câu 10.

Câu 11.

Câu 12.

Câu 13.

Chọn D.
Tính chất của bất đẳng thức.
Suy luận nào sau đây đúng?
a  b
 ac  bd .
A. 
c  d
a  b
 ac  bd .
C. 
c  d

a  b
a b
  .
B. 
c d
c  d
a  b  0
 ac  bd .
D. 
c  d  0
Hướng dẫn giải

Chọn D.
Tính chất của bất đẳng thức.
Trong các tính chất sau, tính chất nào sai?
a  b
0  a  b
a b

 ac bd .
  .
A. 
B. 
d c
c  d
0  c  d
0  a  b
a  b
 ac  bd .
 ac  bd .
C. 
D. 
0  c  d
c  d
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Tính chất của bất đẳng thức.
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
a  b
1 1
 ac  bd . D. Cả A, B, C đều sai.
A. a  b   .
B. a  b  ac  bc .
C. 
a b
c  d
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Tính chất của bất đẳng thức.

Mệnh đề nào sau đây sai?
a  b
a  b
 ac bd .
 ac  bd .
A. 
B. 
c  d
c  d
a  b
 ac  bd .
C. 
D. ac  bc  a  b .  c  0 
c  d
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Tính chất của bất đẳng thức.
Cho biểu thức P  a  a với a  0 . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
1
1
A.Giá trị nhỏ nhất của P là .
B.Giá trị lớn nhất của P là .
4
4

Trang 3/9


C.Giá trị lớn nhất của P là

1
.
2

D. P đạt giá trị lớn nhất tại a 

1
.
4

Hướng dẫn giải
Chọn B.

 

2

1 
1 1
Ta có: P  a  a   a  a    a    .
4 
2 4
2
Câu 14. Giá trị lớn nhất của hàm số f  x   2
bằng
x  5x  9
11
4
11
A. .

B. .
C. .
4
11
8
Hướng dẫn giải
Chọn D.
2

D.

8
.
11

2

5  11 11

Ta có: x  5 x  9   x     ; x   .
2
4 4

2
8
8
 . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng
Suy ra: f  x   2
.
x  5 x  9 11

11
Câu 15. Cho f  x   x  x 2 . Kết luận nào sau đây là đúng?
2

1
A. f  x  có giá trị nhỏ nhất bằng .
4
1
C. f  x  có giá trị nhỏ nhất bằng  .
4

1
.
2
1
D. f  x  có giá trị lớn nhất bằng .
4
Hướng dẫn giải

B. f  x  có giá trị lớn nhất bằng

Chọn D.
2

1 1 1 
1 1

1 1
f  x   x  x    x 2  x       x    và f    .
4 4 4 

2 4

2 4
2

Câu 16. Bất đẳng thức  m  n   4mn tương đương với bất đẳng thức nào sau đây?
2

A. n  m  1  m  n  1  0 .

B. m 2  n 2  2mn .

C.  m  n   m  n  0 .

D.  m  n   2mn .

2

2

2

2

Hướng dẫn giải
Chọn B.
2
 m  n   4mn  m2  2mn  n 2  4mn  m2  n 2  2mn .
Câu 17. Với mọi a, b  0 , ta có bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?
B. a 2  ab  b 2  0 .

C. a 2  ab  b 2  0 .
Hướng dẫn giải

A. a  b  0 .

D. a  b  0 .

Chọn C.
2

2

b  b  3b 2 
b  3b 2
a  ab  b  a  2a    
 a   
 0; b  0 .
2 2
4 
2
4
Câu 18. Với hai số x , y dương thoả xy  36 , bất đẳng thức nào sau đây đúng?
2

2

2

2

A. x  y  2 xy  12 .

B. x  y  2 xy  72 .

C. 4xy  x  y .
2

2

 x y
D. 
  xy  36 .
 2 

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x , y . Ta có: x  y  2 xy  2 36  12 .
Câu 19. Cho hai số x , y dương thoả x  y  12 , bất đẳng thức nào sau đây đúng?

Trang 4/9


2

 x y
B. xy  
  36 .
 2 
D. xy  6 .
Hướng dẫn giải

A. xy  6 .
C. 2xy  x 2  y 2 .
Chọn A.

x y
6.
2
Câu 20. Cho x , y là hai số thực bất kỳ thỏavà xy  2 . Giá trị nhỏ nhất của A  x 2  y 2 .

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số khơng âm x , y . Ta có:

B. 1.

A. 2 .

xy 

D. 4 .

C. 0 .
Hướng dẫn giải

Chọn D.
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x2 và y 2 . Ta có:
A  x2  y 2  2 x2 y 2  2

Câu 21. Cho a  b  0 và x 
A. x  y .
C. x  y .

 xy 

2

 4 . Đẳng thức xảy ra x  y  2 .

1 a
1 b
, y
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
2
1 a  a
1  b  b2
B. x  y .
D. Khơng so sánh được.
Hướng dẫn giải

Chọn B.
1
1
1
1
Ta có:  a 
và  b 
.
y
b 1
x
a 1

Suy ra:



1 1
1
   a  b  1 

x y
  a  1 b  1 

Do a  b  0 nên a  1  1 và b  1  1 suy ra:

1

 a  1 b  1

 1  1

1

 a  1 b  1

0.

1 1
1 1
1 1
  0   do x  0 và y  0 nên   x  y .
x y

x y
x y
Câu 22. Với a, b, c, d  0 . Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề sai?
Vậy

a
a ac
1 
.
b
b bc
a c
a ac c
 .
C.   
b d
b bd d

A.

B.

a
a ac
1 
.
b
b bc

D. Có ít nhất hai trong ba mệnh đề trên là sai.

Hướng dẫn giải
Chọn D.
a a  c a  b c
Ta có: 
suy ra A, B đúng.

b b  c b b  c 
2

a 2  b2  a  b 
Câu 23. Hai số a, b thoả bất đẳng thức

 thì
2
 2 
A. a  b .
B. a  b .
C. a  b .
Hướng dẫn giải
Chọn C.

D. a  b .

2

a 2  b2  a  b 
2
2
2

2

  2a  2b   a  b    a  b   0  a  b .
2
 2 
a b
Câu 24. Cho a, b  0 . Chứng minh   2 . Một học sinh làm như sau:
b a
Trang 5/9


a b
a 2  b2
 2 
 2 1
b a
ab
II) 1  a 2  b 2  2ab  a 2  b 2  2ab  0  (a  b) 2  0 .
a b
2
III) và  a  b   0 đúng a, b  0 nên   2 .
b a
Cách làm trên :
A. Sai từ I).
B. Sai từ II).
C. Sai ở III).
D. Cả I), II), III) đều đúng.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Câu 25. Cho a, b, c  0 . Xét các bất đẳng thức sau:

I)

a b
a b c
1 1
 2.
II)    3 .
III)  a  b      4 .
b a
b c a
a b
Bất đẳng thức nào đúng?
A. Chỉ I) đúng.
B. Chỉ II) đúng.
C. Chỉ III) đúng.
D. Cả ba đều đúng.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
a b
a b
a b c
a b c
Ta có:   2 .  2   I  đúng;    3 3 . .  3   II  đúng;
b a
b a
b c a
b c a
a  b  2 ab 
1 1


1 1
1    a  b   a  b   4  ( III ) đúng.


 2

a b
ab 
a b
a b c
1 1 1
9
  2 I  ,
   3  II  ,
  
Câu 26. Cho các bất đẳng thức:
 III  (với
b a
b c a
a b c abc
a, b, c  0 ). Bất đẳng thức nào trong các bất đẳng thức trên là đúng?

I)

A. chỉ I đúng.

B. chỉ II đúng.
C. chỉ III đúng.
Hướng dẫn giải

D. I , II , III đều đúng.

Chọn D.
a b
a b
a b c
a b c
Ta có:   2 .  2   I  đúng;    3 3 . .  3   II  đúng;
b a
b a
b c a
b c a
1 1 1
1
1 1 1
9
    33
1 1 1
  III  đúng.
abc   a  b  c       9    
a b c
a b c abc
a b c
a  b  c  3 3 abc

Câu 27. Cho a, b, c  0 . Xét các bất đẳng thức:
I) a  b  c  3 3 abc

1 1 1
II)  a  b  c       9

a b c

Bất đẳng thức nào đúng:
A. Chỉ I) và II) đúng.
C. Chỉ I) đúng.

III)  a  b  b  c  c  a   9 .

B. Chỉ I) và III) đúng.
D. Cả ba đều đúng.
Hướng dẫn giải

Chọn A.
 a  b  c  3 3 abc   I  đúng;


1 1 1
1
1 1 1
9
    33
1 1 1
  II  đúng;
abc   a  b  c       9    
a b c
a b c abc
a b c
a  b  c  3 3 abc


Trang 6/9




a  b  2 ab ; b  c  2 bc ; c  a  2 ca   a  b  b  c  c  a   8abc   III  sai.

Câu 28. Cho a, b, c  0 . Xét các bất đẳng thức:
 a  b  c 
2
 2
 2

I) 1   1   1    8 .
II)   b  c    c  a    a  b   64 .
 b  c  a 
a
 b
 c

III) a  b  c  abc . Bất đẳng thức nào đúng?
A. Chỉ I) đúng.
B. Chỉ II) đúng.
C. Chỉ I) và II) đúng.
D. Cả ba đều đúng.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
a
a
b

b
c
c
abc
 a  b  c 
1  2
; 1  2
; 1  2
 1   1   1    8
 8   I  đúng.
b
b
c
c
a
a
bca
 b  c  a 

2
bc
bc
1
b 1
c
  b  c  2 4 2  44 2 .
b  2
; c  2
a
a

a
a
a a
a
2
ac 2
ab
 c  a  44 2 ;  a  b  44 2 .
b
b
c
c
2
 2
 2

Suy ra:   b  c    c  a    a  b   64   II  đúng.
a
 b
 c

Tương tự:

Ta có: 3 3 abc  a  b  c  abc 

3

 abc 

2

 3  abc  3 3   III  sai.

Câu 29. Cho x, y, z  0 và xét ba bất đẳng thức(I) x3  y 3  z 3  3 xyz ; (II)

x y z
   3 . Bất đẳng thức nào là đúng?
y z x
A. Chỉ I đúng.
B. Chỉ I và III đúng. C. Chỉ III đúng.
Hướng dẫn giải
Chọn B.

1 1 1
9
  
; (III)
x y z x yz

D. Cả ba đều đúng.

x3  y 3  z 3  3 3 x3 y 3 z 3  3 xyz   I  đúng;
1 1 1
1
    33
1 1 1
1 1 1
9
xyz       x  y  z   9    
  II  sai;

x y z
x y z
x y z x yz


3
 x  y  z  3 xyz
x y z
x y z
   3 3 . .  3   III  đúng.
y z x
y z x
Câu 30. Cho a, b  0 và ab  a  b . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a  b  4 .

B. a  b  4 .

C. a  b  4 .
Hướng dẫn giải

D. a  b  4 .

Chọn B.
Áp dụng bất đẳng thức Cơ – si ta có:
Do đó:

a  b
ab  a  b 

2

a  b
ab 
4

2

.

 a  b   a  b   4  a  b   0   a  b  a  b  4   0
2

4
 a  b  4  0 (vì a  b  0 )  a  b  4 .
Câu 31. Cho a  b  c  d và x   a  b  c  d  , y   a  c  b  d  , z   a  d  b  c  . Mệnh đề nào
sau đây là đúng?
A. x  y  z .

B. y  x  z .

C. z  x  y .
Hướng dẫn giải

D. x  z  y .

Trang 7/9


Chọn A.
Ta có: x  y   a  b  c  d    a  c  b  d   a  c  d   b  c  d   a  b  d   c  b  d 

 a  c  b   bd  cd   d  a  b  c   0 .
Suy ra: x  y .
Tương tự: x  z   a  c  d  b   0  x  z ; y  z   a  b  d  c   0  y  z .
Câu 32. Với m , n  0 , bất đẳng thức: mn  m  n   m3  n3 tương đương với bất đẳng thức
A.  m  n   m 2  n 2   0 .

B.  m  n   m 2  n 2  mn   0 .

C.  m  n  m  n   0 .

D. Tất cả đều sai.

2

Hướng dẫn giải
Chọn C.
mn  m  n   m3  n3  m 2 n  m3  mn 2  n3  0

 m2  m  n   n 2  m  n   0   m  n   m  n   0 .
2

Câu 33. Bất đẳng thức: a 2  b 2  c 2  d 2  e 2  a  b  c  d  e  ,  a , b , c, d tương đương với bất
đẳng thức nào sau đây?
2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

b 
c 
d 
e

A.  a     a     a     a    0 .
2 
2 
2 
2

a 

a 
a 
a

B.  b     c     d     e    0 .
2 
2 
2 
2

a 
a 
a 
a

C.  b     c     d     e    0 .
2 
2 
2 
2

2
2
2
2
D.  a  b    a  c    a  d    a  d   0 .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
a 2  b2  c 2  d 2  e2  a  b  c  d  e 

2
2
2
 a2

2 a
2 a
2 a
   ab  b     ac  c     ad  d     ae  e 2   0
 4
  4
  4
  4

2

2

2

2

a 
a 
a 
a

 b    c    d    e    0 .
2 
2 

2 
2

Câu 34. Cho x, y  0 . Tìm bất đẳng thức sai?

1 1
4
B.  
.
x y x y

A.  x  y   4 xy .
2

C.

1
4
.

xy  x  y 2





D.  x  y   2 x 2  y 2 .
2

Hướng dẫn giải

Chọn B.
1 1
1 1
4
đẳng thức xảy ra  x  y .
 x  y    4   
x y x y
x y
Câu 35. Cho x 2  y 2  1 , gọi S  x  y . Khi đó ta có
A. S  2 .

B. S  2 .

C.  2  S  2 .
Hướng dẫn giải

D. 1  S  1 .

Chọn C.
Ta có: 1  x 2  y 2  2 xy  2 xy  1 .
Trang 8/9


Mặt khác: S 2   x  y   x 2  2 xy  y 2  2   2  S  2 .
2

Câu 36. Cho x, y là hai số thực thay đổi sao cho x  y  2 . Gọi m  x 2  y 2 . Khi đó ta có:
A. giá trị nhỏ nhất của m là 2 .
C. giá trị lớn nhất của m là 2 .

B.giá trị nhỏ nhất của m là 4 .
D.giá trị lớn nhất của m là 4 .
Hướng dẫn giải

Chọn A.
Ta có: x  y  2  y  2  x .
Do đó: m  x 2  y 2  x 2   2  x   2 x 2  4 x  4  2  x  1  2  2; x   .
2

Vậy giá trị nhỏ nhất của m là 2 .
Câu 37. Với mỗi x  2 , trong các biểu thức:
2
A. .
x

B.

2
.
x 1

2

2
2
2
x 1 x
,
,
,

, giá trị biểu thức nào là nhỏ nhất?
x x 1 x 1 2
2
2
x
C.
.
D. .
x 1
2
Hướng dẫn giải

Chọn B.

2
2
2
x x 1
 
và 
.
x 1 x x 1
2
2
x
2
x
2
x 2  x  4  x  2  x  2   x
Mặt khác: 

.


 0; x  2  
2 x 1
2 x  1 2  x  1
2  x  1

Ta có:

Câu 38. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x  
5
B. .
2

A. 2 .

x
2

với x 1 là
2 x 1

C. 2 2 .

D. 3.

Hướng dẫn giải
Chọn B.

x
2
x 1
2
1
x 1 2
1 5



 2
.
  .
2 x 1
2
x 1 2
2 x 1 2 2
5
Vậy hàm số f  x  có giá trị nhỏ nhất bằng .
2
x2
Câu 39. Cho x  2 . Giá trị lớn nhất của hàm số f  x  
bằng
x
Ta có: f  x  

A.

1
2 2

.

2
.
2

B.

2
.
2
Hướng dẫn giải

C.

D.

1
.
2

Chọn A.
2

x2 1 2 1
1
1 1 1
Ta có f  x   0 và  f  x    2   2   2      0  f  x  
.

x
x x
8
2 2
 x 4 8
1
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng
.
2 2
1
Câu 40. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x   2 x  với x  0 là
x
1
A. 2 .
B.
.
C. 2 .
D. 2 2 .
2
Hướng dẫn giải
Chọn D.
2

Trang 9/9


1
1
 2 2 x.  2 2 .
x

x
Vậy hàm số f  x  có giá trị nhỏ nhất bằng 2 2 .
Ta có: f  x   2 x 

a
b
c


. Mệnh đề nào sau đây đúng?
bc ca ab
3
4
3
B.  P .
C.  P .
D.  P .
2
3
2
Hướng dẫn giải

Câu 41. Với a, b, c  0 . Biểu thức P 
A. 0  P 

3
.
2

Chọn D.

1
1 
 1
Ta có: P  3   a  b  c  


.
bc ca ab
1 1 1
9
1
1
1
9



Áp dụng bất đẳng thức   
suy ra:
.
x y z x yz
b  c c  a a  b 2a  b  c

Do đó P  3 

9
3
 P  ; đẳng thức xảy ra khi a  b  c .
2
2

Trang 10/9