4 bất ĐẲNG THỨC ngọc huyền LB image marked

Chủ đề 4: Bất đẳng thức

The Best or Nothing

Chủ đề 4

BẤT ĐẲNG THỨC
Vấn đề cần nắm:
1. Bất đẳng thức và giá
trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất
2. Các tính chất cơ bản
của bất đẳng thức
3. Một số phương pháp
chứng minh bất đẳng
thức

Bất đẳng thức là dạng toán thường gặp trong các kỳ thi, đòi hỏi mức độ tư
duy, sự sáng tạo của người học. Có nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng
thức nhưng trong khuôn khổ chủ đề này, tác giả chỉ giới thiệu một số phương
pháp thường gặp như biến đổi tương đương, sử dụng các bất đẳng thức kinh điển
(Cơ-si, Bunhi-a-cốp-xki), sử dụng tính chất hình học, sử dụng phản chứng, sử
dụng điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình hoặc miền giá trị của hàm số, sử
dụng tính chất của hàm số,…
Mỗi phương pháp được đề cập đều có những ví dụ điển hình và những lời
bàn để bạn đọc hiểu sâu sắc hơn về phương pháp, kỹ thuật được sử dụng trong
lời giải của ví dụ đó. Bên cạnh đó, có những ví dụ tác giả còn đề xuất thêm
những câu hỏi trắc nghiệm khách quan ở các mức độ khác nhau giúp cho các em
học sinh có cái nhìn tổng qt hơn trước mỗi câu hỏi trắc nghiệm. Từ đó, các em
có thể tự mình đề xuất, phát triển hoặc sáng tạo các câu hỏi trắc nghiệm từ một
câu hỏi tự luận hoặc câu hỏi trắc nghiệm khách quan khác.


A. Lý thuyết
I. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
1. Bất đẳng thức
Giả sử a và b là hai số thực. Các mệnh đề “ a  b ”, “ a  b ”, “ a  b ”, “ a  b ”
được gọi là những bất đẳng thức.

STUDY TIP
Đặc biệt, nếu hàm số
y  f  x  đạt giá trị lớn

nhất M trên tập D thì ta
ký hiệu M  max f  x 
D

hoặc M  max f  x  ; nếu
xD

hàm số y  f  x  đạt giá
trị nhỏ nhất m trên tập D
thì
ta
ký
hiệu

m  min f  x 
D

m  min f  x  .

xD

Một bất đẳng thức có thể đúng hoặc sai. Chứng minh một bất đẳng thức là chứng
minh bất đẳng thức đó đúng.
2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Cho f là biểu thức chứa biến (chứa một biến hoặc nhiều biến), và biến số thỏa
mãn điều kiện T.
a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của biểu thúc f, viết là M  max f , nếu:
(1) f  M với mọi giá trị của biến thỏa mãn điều kiện T.

hoặc

LOVEBOOK.VN | 1


Cơng Phá Tốn - Lớp 10

More than a book

(2) Tồn tại bộ giá trị của các biến số thỏa mãn điều kiện T sao cho f  M
b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của biểu thức f, viết là m  min f , nếu:
(1) f  m với mọi giá trị của biến thỏa mãn điều kiện T.
(2) Tồn tại bộ giá trị của các biến số thỏa mãn điều kiện T sao cho f  m
Như vậy: Để tìm giá trị lớn nhất (tương tự đối với giá trị nhỏ nhất) của biểu thức
f, ta có thể trình bày lời giải như sau:
- Bước 1: Chứng minh với mọi giá trị của biến số thỏa mãn điều kiện T đều xảy
ra bất đẳng thức f  M , trong đó M là một hằng số không phụ thuộc vào các
biến của f.
- Bước 2: Chứng minh hoặc chỉ ra tồn tại bộ giá trị của biến (khơng nhất thiết
phải tìm ra tất cả) thỏa mãn điều kiện T sao cho f  M .

- Bước 3: Kết luận max f  M .

II. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
Trong khi chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của biểu thúc chúng ta thường sử dụng các tính chất cơ bản sau đây của bất đẳng
thức:

LOVEBOOK.VN | 2


Chủ đề 4: Bất đẳng thức

The Best or Nothing

1. a  b và b  c  a  c .
2. a  b  a  c  b  c .
3. Nếu c  0 thì a  b  ac  bc .
4. Nếu c  0 thì a  b  ac  bc .
5. a  b và c  d  a  c  b  d .
6. a  b  0 và c  d  0  ac  bd .
7. a  b  0 và n  *  a n  b n .
8. a  b  0  a  b .
9. a  b  3 a  3 b .
10. a  0, b  0  a  b  a  b và
11. a  b  0 

3

a  3 b  3 ab .

1 1
 .
a b

12. a 2  0, a   . Đẳng thức xảy ra khi a  0 .
13.  a  a  a , với mọi a   .
14. Với a  0 thì x  a  a  x  a .
15. Với a  0 thì x  a  x  a hoặc x  a .
1

 2

16. Với mọi a, b   , ta có a  b  a  b  a  b .
Đẳng thức xảy ra ở (1) khi ab  0 ; đẳng thức xảy ra ở (2) khi ab  0 .
III. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
THƯỜNG GẶP
1. Sử dụng biến đổi tương đương và các bất đẳng thức đúng đã biết
a. Nội dung phương pháp
Để chứng minh bất đẳng thức A  B theo hướng này, chúng ta có thể làm theo
một trong các cách sau đây:
LOVEBOOK.VN | 3


Cơng Phá Tốn - Lớp 10

Có nhiều phương pháp,
kỹ thuật để chứng minh
bất đẳng thức. Trong
phần này, chúng tơi chỉ
trình bày một số phương

pháp chứng minh bất
đẳng thức thường gặp
trong các kỳ thi như thi
học kỳ, thi học sinh giỏi
cấp tỉnh, thi Trung học
phổ thơng quốc gia. Đó
là, phương pháp sử dụng
biến đổi tương đương
hoặc các bất đẳng thức đã
biết; sử dụng bất đẳng
thức Cô-si; sử dụng bất
đẳng thức Bu-nhi-a-cốpxki; sử dụng kiến thức
hình học; sử dụng miền
giá trị hoặc điều kiện tồn
tại nghiệm của phương
trình; sử dụng tính chất
của hàm số; sử dụng dồn
biến; sử dụng dấu tam
thức bậc hai; sử dụng
phản chứng.

More than a book

- Cách 1: Lập hiệu A  B . Sử dụng biến đổi tương đương, các tính chất cơ bản
của bất đẳng thức và các kết quả đã biết để chỉ ra A  B  0 .
- Cách 2: Bằng kiến thức đã biết và các tính chất cơ bản của bất đẳng thức,
chúng ta đánh giá vế trái để được A  B .
- Cách 3: Bằng kiến thức đã biết và các tính chất cơ bản của bất đẳng thức,
chúng ta đánh giá vế phải để được B  A .
Chứng minh bất đẳng thức theo các cách nêu trên, ngoài sử dụng các tính chất cơ

bản của bất đẳng thức, chúng ta thường sử dụng các kết quả sau:
(1): x   a; b   a  x  b   x  a  x  b   0 .
(2):  f  x    0, với mọi x sao cho f  x  xác định.
2

Đặc biệt, a 2  b 2  2ab; a 2  b 2  2ab .
(3): 3  ab  bc  ca    a  b  c   3  a 2  b 2  c 2  , với mọi a, b, c.
2

b. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x  

3x  1
trên
x2

đoạn  1;3 .
b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số g  x  

x2
trên đoạn
2x2  1

 1; 2 .
Lời giải
a) Ta có f  x  

3 x  2  7
7
 3

. ĐKXĐ: x  2
x2
x2

Với mọi x   1;3 , ta có: 1  x  2  5 

7
8
7
7
7

  7  
 .
1 x2 5
x2
5

8
Do đó 4  f  x   , x   1;3 .
5

LOVEBOOK.VN | 4


Chủ đề 4: Bất đẳng thức

The Best or Nothing

Ta có f  x   4  x  1   1;3 ; f  x  

8
 x  3   1;3 .
5

8
Vậy max f  x   f  1  4 và min f  x   f  3  .
 1;3
 1;3
5

b) Với x   1; 2 thì x 2   0; 4 .

x2
1  2 x  1  1 1 1
1
Ta có
.
 .
  . 2
2
2
2x 1 2
2x 1
2 2 2x 1
2

Với mọi x thuộc đoạn  1; 2 thì 1  2 x 2  1  9  1 
 1  

1
2x 1
2



1
9

1

1
1 1
1
4
 0  . 2
 .
2x 1
9
2 2 2x 1 9
2

Do đó 0  g  x  

2
, x   1; 2 .
3

Mặt khác g  x   0  x  0   1; 2 ; g  x  
Vậy max g  x   g  2  

 1;2

2
 x  2   1; 2 .
3

2
và min g  x   g  0   0 ./.
 1;2
3

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y   x 2  4 x  21   x 2  3 x  10 .
Lời giải

 x 2  4 x  21  0
Điều kiện:  2
 2  x  5 .
 x  3 x  10  0
Ta có   x 2  4 x  21    x 2  3 x  10   x  11  0 , suy ra y  0 .
y 2  2 x 2  7 x  31  2



 x  3 7  x  x  2  5  x 

 x  3 5  x    x  2  7  x  

2

 2  2 , suy ra y  2 .

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  x  3 5  x    x  2  7  x   x 

1
3

LOVEBOOK.VN | 5


Cơng Phá Tốn - Lớp 10

More than a book

1
2 khi x  ./.
3

Vậy, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng

x
18
3
 3 5

x .
Ví dụ 3: a) Chứng minh rằng với mọi x    ;  thì 2
x  1 25
50
 4 2

b) Cho a, b, c là ba số khơng nhỏ hơn 

3
và có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
4

a
b
c
9
 2
 2
 .
a  1 b  1 c  1 10
2

Lời giải

 3x  1  4 x  3  0, x    3 ; 5  .
x
18
3
a) Ta có 2
 x

 4 2 
x  1 25
50
50  x 2  1
2

Suy ra

STUDY TIP
Khi học về đạo hàm, chúng ta
có thể tìm ra biểu thức

18
3
một cách đơn giản
a
25
50
bằng phương pháp tiếp tuyến
như sau: Trước hết, chúng ta
dự đoán xem đẳng thức xảy ra
khi nào? Chúng ta dự đốn
được

a

abc

1
.
3

Với

1

a
3
thì
 . Sau
3
a 2  1 10

đó, chúng ta viết phương trình
tiếp tuyến của đồ thị hàm số

f  x 

x
x 1
2

tại

điểm

1 3 
M  ;  . Tiếp tuyến đó có
 3 10 

phương trình là y 

18
3
x
25

50

x
18
3
 3 5

x  , x    ;  .
x  1 25
50
 4 2
2

Dấu bằng xảy ra khi x 

1
3
hoặc x   .
3
4

3 3
5
b) Từ giả thiết, ta có 1  a  b  c  a    a  .
4 4
2

Tương tự, ta cũng có b 

5

5
và c  .
2
2

 3 5
Suy ra a, b, c đều thuộc đoạn   ;  .
 4 2

Áp dụng kết quả ở ý a), ta có:
a
18
3
b
18
3
c
18
3
 a ; 2
 b ; 2
 c .
a  1 25
50 b  1 25
50 c  1 25
50
2

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, kết hợp với giả thiết, ta được
a

b
c
18
9
9
 2
 2
 a  b  c 
 .
a  1 b  1 c  1 25
50 10
2

.

LOVEBOOK.VN | 6


Chủ đề 4: Bất đẳng thức

The Best or Nothing

1
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  ./.
3

Nhận xét: Để giải ý b) chúng ta đã sử dụng kết quả của ý a). Nếu không có ý a)
chúng ta tìm ra bất đẳng thức phụ bằng cách nào? Chúng ta có thể tìm ra bất
đẳng thức phụ bằng cách sau đây:
Thứ nhất, mỗi số hạng ở vế trái là biểu thức một biến, vì vậy chúng ta tìm cách

đánh giá từng số hạng đó nhỏ hơn hoặc bằng biểu thức một biến rồi cộng vế theo
vế và sử dụng giả thiết để chỉ ra điều phải chứng minh.
Thứ hai, giả thiết của bài toán là a  b  c  1 (các biến số a, b, c có bậc một,
độc lập với nhau) nên cần đánh giá

a
 ma  n , trong đó m, n là các hằng số
a 1
2

phải đi tìm.
Thứ ba, từ giả thiết và bất đẳng thức cần chứng minh, chúng ta dự đốn được
1
1
a
3
 , do đó ta cần đánh
đẳng thức xảy ra khi a  b  c  . Khi a  thì 2
3
3
a  1 10
a
3
  m  3a  1 . Lúc này, chúng ta cần tìm m để bất đẳng thức trên
a  1 10
xảy ra.

giá

2

 3a  1 3  a  10m  a 2  1
a
3
  m  3a  1 
Xét 2
a  1 10
10  a 2  1
Lúc này, ta cần chọn m để 3  a  10m  a 2  1  0 nhận a 

1
làm nghiệm (mục
3

tiêu là xuất hiện  3a  1 ). Giải điều kiện đó ta tìm được m 
2

6
. Khi đó ta có
25

 3a  1  4a  3  0 (do a   3 ).
a
3 6
   3a  1  
2
4
a  1 10 25
50  a 2  1
2

2. Sử dụng bất đẳng thức Cơ-si
(Augustin-Louis Cauchy, 1789 - 1857, nhà tốn học người Pháp)
a. Nội dung phương pháp

LOVEBOOK.VN | 7


Cơng Phá Tốn - Lớp 10

More than a book

(1) Với hai số không âm a, b bất kỳ, ta luôn có:

ab
 ab . Đẳng thức xảy ra
2

khi a  b .
- Các hình thức khác của bất đẳng thức này là:
1.

2.

a 2  b2
 ab .
2

a  b

2

4

 ab .

- Hệ quả:
+) Nếu a, b là các số không âm và a  b  S khơng đổi thì ab đạt giá trị lớn nhất
bằng

1 2
1
S khi và chỉ khi a  b  S .
4
2

+) Nếu a, b là các số không âm và ab  P không đổi thì a  b đạt giá trị nhỏ
nhất bằng 2 P khi và chỉ khi a  b  P .
+) Với a  0, b  0 thì

1 1
4
 
. Đẳng thức xảy ra khi a  b .
a b ab

(2) Với ba số không âm a, b, c bất kỳ, ta ln có:

abc 3
 abc . Đẳng thức

3

xảy ra khi a  b  c .
- Các hình thức khác của bất đẳng thức này là:
a 3  b3  c 3
 abc
1.
3

2.

a  b  c
27

3

 abc .

LOVEBOOK.VN | 8


Chủ đề 4: Bất đẳng thức

The Best or Nothing

- Hệ quả:
+) Nếu a, b, c là các số không âm và a  b  c  S không đổi thì abc đạt giá trị
lớn nhất bằng

1 3

1
S khi và chỉ khi a  b  c  S .
27
3

+) Nếu a, b, c là các số không âm và abc  P khơng đổi thì a  b  c đạt giá trị
nhỏ nhất bằng 3 3 P khi a  b  c  3 P .
+) Với a  0, b  0, c  0 thì

1 1 1
9
  
. Đẳng thức xảy ra khi a  b  c
a b c abc

.
b. Ví dụ minh họa
Ví dụ 4: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của f  x   x 

3
với x  0 .
x

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của g  x   x 

3
với x  1 .
x 1

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của h  x   x 

3
1
với x   .
2x 1
2

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của p  x   x 

3
với x  2 .
4x  7

Lời giải
a) Do x  0 nên ta có f  x   x 
Đẳng thức xảy ra khi x 

3
3
 2 x.  2 3 .
x
x

3
 x  3 (thỏa mãn điều kiện x  0 ).
x

Vậy, f  x  đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 3 khi x  3 .
b) Do x  1 nên ta có g  x   x  1 

3
1  2
x 1

 x  1 .

3
1  2 3 1.
x 1

LOVEBOOK.VN | 9


Cơng Phá Tốn - Lớp 10

Đẳng thức xảy ra khi x  1 
c) Ta có h  x   x 
Do x  

More than a book

3
 x  1  3 (thỏa mãn).
x 1

3
6
6
 2h  x   2 x 
 2x 1

1 .
2x 1
2x 1
2x 1

1
nên ta có 2h  x   2
2

 h  x 

 2 x  1 .

2 6 1
.
2

Đẳng thức xảy ra khi 2 x  1 

6
6 1
x
(thỏa mãn).
2x 1
2
2 6 1
6 1
khi x 
.
2

2

Vậy, h  x  đạt giá trị nhỏ nhất bằng
d) p  x   x 
STUDY TIP
Ngồi lời giải trình bày ở
bên, chúng ta có thể sử
dụng một cách chung
nhất để tìm giá trị lớn
nhất hoặc giá trị nhỏ nhất
đối với hàm số, đó là sử
dụng đạo hàm. Về kiến
thức này sẽ được nghiên
cứu ở chương trình Giải
tích 12 và bạn đọc có thể
tham khảo trong cuốn
sách Cơng phá Tốn 3.

6
1  2 6 1
2x 1

 4 p  x 

3
12
 4 p  x  4x 
4x  7
4x  7

4
12
71
  4x  7  7 .
 4x  7 
75
4 x  7 75

Từ giả thiết ta có 4 x  7  15 . Do đó
4 p  x  2

4
12
71
44
11
 .15  7 
 p  x  .
 4x  7.
75
4 x  7 75
5
5

12
4
  4x  7 
Đẳng thức xảy ra khi  75
4 x  7  x  2 (thỏa mãn).
 x  2

Vậy p  x  đạt giá trị nhỏ nhất bằng

11
khi x  2 ./.
5

LOVEBOOK.VN | 10


Chủ đề 4: Bất đẳng thức

The Best or Nothing

Nhận xét: Về hình thức thì các biểu thức f  x  , g  x  , h  x  , p  x  tương tự như
nhau nhưng để tìm được giá trị nhỏ nhất của các biểu thức đó thì chúng ta quan
tâm đến điều kiện của biến số và mục tiêu tìm giá trị nhỏ nhất. Cụ thể cả bốn
biểu thức cần phải tìm cách đánh giá f  x   m1 ; g  x   m2 ; h  x   m3 ; p  x   m4
.
- Việc đánh giá f  x   m1 thì chúng ta dễ dàng làm được khi áp dụng ngay bất
đẳng thức Cơ-si mà khơng cần có sự điều chỉnh gì về hình thức của biểu thức

f  x .
- Việc đánh giá g  x   m2 ; h  x   m3 thì chúng ta khơng thể áp dụng ngay bất
đẳng thức Cơ-si, do nếu áp dụng thì vế phải vẫn cịn biến số. Vì vậy chúng ta cần
điều chỉnh hình thức của biểu thức g  x   x 

3
3
1
thành g  x   x  1 

x 1
x 1

3
6
 1 (nhằm khi đánh giá thì
thành 2h  x   2 x  1 
2x 1
2x 1
về phải khơng cịn biến số).

, cịn h  x   x 

- Việc đánh giá p  x   m4 chúng ta cũng không thể áp dụng ngay bất đẳng thức
Cơ-si được mà cần có sự điều chỉnh về hình thức của p  x  để đạt được mục
tiêu. Ngay cả khi viết 4 p  x   4 x  7 

12
 7 thì chúng ta cũng khơng thể áp
4x  7

dụng luôn bất đẳng thức Cô-si 4 p  x   2

 4x  7.

12
 4 3 7 .
4x  7

12

2 3 7
x
2 ,
4x  7
4
trong khi điều kiện của biến là x  2 . Một câu hỏi đặt ra là tại sao lại viết

Vì lúc này đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 4 x  7 

4 p  x  thành
4 p  x 

Và số

4
12
71
  4x  7  7 ?
 4x  7 
75
4 x  7 45

4
được tìm ra như thế nào? Có thể lý giải điều này như sau:
75

LOVEBOOK.VN | 11


Cơng Phá Tốn - Lớp 10

Chúng ta để ý khi x  2 thì

More than a book

3
1
12
4
 và
 , trong khi chúng ta đang
4x  7 5
4x  7 5

12
, với
4x  7
m  0 để áp dụng bất đẳng thức Cô-si nhằm triệt tiêu 4 x  7 ở mẫu thức nhưng

cần đánh giá p  x   m4 nên ta phải tìm cách ghép m  4 x  7  

cũng phải chú ý đến điều kiện đẳng thức xảy ra. Vì vậy, ta cần tìm m để khi x  2
thì m  4 x  7  

12
4
. Dễ dàng tìm được m 
và chúng ta có lời giải như
4x  7
75

trên.

Ví dụ 5: a) Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn x  y  5 . Chứng minh rằng
16 1 81


.
x 4 y 20

b) Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn

16 1 81


. Chứng minh rằng
x 4 y 20

x y 5.

Lời giải

 16 1  65 16 y x 65
16 y x
65
81
Ta có  x  y   




2
.

4 .

x
4y 4
x 4y
4
4
 x 4y  4
a) Khi x  y  5 thì

16 1 81


.
x 4 y 20

x  y  5
 40 5 
Đẳng thức xảy ra khi  2
  x; y    ;  .
2
 9 9
 x  64 y
b) Khi

16 1 81



thì x  y  5 .
x 4 y 20

x  y  5
 40 5 
Đẳng thức xảy ra khi  2
  x; y    ;  ./.
2
 9 9
 x  64 y
3. Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki
LOVEBOOK.VN | 12


Chủ đề 4: Bất đẳng thức

The Best or Nothing

(Viktor Yakovlevich Bunyakovsky, 1804 - 1889, nhà toán học người Nga)
a. Nội dung phương pháp
(1) Với bốn số thực a, b, x, y tùy ý, ta ln có

 ax  by 
Dấu bằng xảy ra khi ay  bx hoặc

2

  a 2  b 2  x 2  y 2  .

a b
 (nếu xy  0 ).
x y

- Hình thức khác của bất đẳng thức này là: ax  by 

a

2

 b 2  x 2  y 2  .

Nhận xét: Bất đẳng thức này cũng là một dạng bất đẳng thức hình học. Cụ thể


trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu hai vectơ u   a; b  và v   x; y  thì do ta ln
  
có u.v  u . v nên ax  by   a 2  b 2  x 2  y 2  .
(2) Với sáu số a, b, c, x, y, z tùy ý, ta ln có

 ax  by  cz 

2

  a 2  b 2  c 2  x 2  y 2  z 2 

ay  bx
a b c
Dấu bằng xảy ra khi 
hoặc   (nếu xyz  0 ).

x y z
az  cx
- Hình thức khác của bất đẳng thức này là

ax  by  cz 

a

2

 b 2  c 2  x 2  y 2  z 2  .

STUDY TIP
Liên quan đến Phương
pháp tọa độ trong khơng
gian bạn đọc có thể tham
khảo trong cuốn Cơng
phá Tốn 3.

Nhận xét: Bất đẳng thức này cũng là một dạng bất đẳng thức hình học. Cụ thể

trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, nếu xét hai vectơ u   a; b; c  và

  
thì
do
ta
ln
có
nên

v   x; y; z 
u.v  u . v

ax  by  cz 

a

2

 b 2  c 2  x 2  y 2  z 2  .

b. Ví dụ minh họa
Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A 

3x  1
x2  3

.

Lời giải
LOVEBOOK.VN | 13


Cơng Phá Tốn - Lớp 10

More than a book

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có:

2

1

  2
 3x  1   3.x  . 3    3 
3

 

2

 3x  1 


 x2 
2 
3 


1

 



 3    283 . x
2

2

 3 .

2 21
3 x  1 2 21
.
. x2  3 

3
3
x2  3

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

x
3

 x 9.
3 1

Vậy, A đạt giá trị lớn nhất bằng

2 21
khi x  9 ./.
3

Ví dụ 7: a) Chứng minh rằng

x  3  5  x  4, x   3;5 .

 5 4
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A  2 x  5  4  3 x , với x    ;  .

 2 3

Lời giải
a) Đặt F  x  3  5  x , với x   3;5 .
Cách 1: (Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si).
Với mọi x   3;5 , ta ln có F  0 .
Có F 2  8  2

 x  3 5  x   8   x  3  5  x   16  F  4 .

Dấu bằng xảy ra khi x  3  5  x  x  1   3;5 .
Vậy, F  4, x   3;5 .
Cách 2: (Áp dụng bất đẳng thức Cô-si).
Ta có 2 F  2 x  3  2 5  x 

43 x 45 x

 8  F  4.
2
2

 x  3  2
Dấu bằng xảy ra khi 
 x  1   3;5 .
 5  x  2
LOVEBOOK.VN | 14


Chủ đề 4: Bất đẳng thức

The Best or Nothing

Vậy, F  4, x   3;5 .
Cách 3: (Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki).





Ta có F  1. x  3  1. 5  x  12  12 . x  3  5  x  2. 8  4 .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
STUDY TIP
Ngồi các cách trình bày
ở bên, ví dụ này cịn có
thể giải theo cách lập
bảng biến thiên của hàm
số (có sử dụng cơng cụ
đạo hàm - sử dụng kiến
thức lớp 12). Bạn đọc có
thể tham khảo trong cuốn
sách Cơng phá Toán 3.

x3 5 x

 x  1   3;5 .
1
1

Vậy, F  4, x   3;5 .
b) (Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki).

Ta có A  2. x 

5
4
 3.  x 
2
3
x

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

Vậy, A đạt giá trị lớn nhất bằng

2

 2    3 .
2

5
2 

2

5 4
115
x  x 
.
2 3
6

4
x
29
3
x .
30
3

115
29
khi x   ./.
6
30

LOVEBOOK.VN | 15


Cơng Phá Tốn - Lớp 10

More than a book

Nhận xét:
1. Trong ý a) chúng ta có thể áp dụng được cả hai bất đẳng thức Cô-si và Bunhi-a-cốp-xki để giải thì trong ý b) việc sử dụng bất đẳng thức Cơ-si sẽ gặp nhiều
khó khăn vì rất khó để chọn điểm rơi (tức là điều kiện để dấu bằng xảy ra). Tuy
nhiên, nếu để nguyên biểu thức A  2 x  5  4  3 x và áp dụng bất đẳng thức
Bu-nhi-a-cốp-xki thì khơng khử được biến x. Do đó, chúng ta cần biết đổi để hệ
số của biến x trong hai số hạng phải đối nhau. Có hai cách để làm điều này, đó
là đặt hệ số của biến x làm nhân tử chung trong từng số hạng (như lời giải trên)
hoặc nhân và chia mỗi số hạng cho một số nào đó, ví dụ
A

1
1
. 6 x  15 
. 8  6x .
3
2

2. Từ bất đẳng thức, người ta có thể đề xuất một số phương trình hoặc hệ phương
trình giải được bằng cách sử dụng các bất đẳng thức. Chẳng hạn, từ kết quả của
ý a) và lưu ý đến điều kiện để đẳng thức xảy ra, chúng ta có thể đề xuất các bài
tốn sau đây:
Bài 1. Giải phương trình

x3  5 x  4.

Bài 2. Giải phương trình

x  3  5  x  x2  2x  5 .

 x  3  5  y  4
Bài 3. Giải hệ phương trình 
.
 y  3  5  x  4
 x  3  5  y  x 2  2 y  5
Bài 4. Giải hệ phương trình 
.
2
 y  3  5  x  y  2 x  5
 x3  5 y  4


Bài 5. Giải hệ phương trình  y  3  5  z  4 .

 z  3  5  x  4
 x  3  5  y  z2  2z  5

Bài 6. Giải hệ phương trình  y  3  5  z  x 2  2 x  5 .

2
 z  3  5  x  y  2 y  5

LOVEBOOK.VN | 16


Chủ đề 4: Bất đẳng thức

The Best or Nothing

x2 y 2

 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất và
Ví dụ 8: a) Cho các số thực x, y thỏa mãn
25 16
giá trị lớn nhất của biểu thức S  x  3 y  4 .

b) Cho các số thực x, y thỏa mãn x  2 y  2 z  5  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P  x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  11 .
Lời giải
a) Ta có  S  4 

2

2





2
y
y2 
2  x
 x
  5.  12.   52   12      169
4
 5
 25 16 

 S  4  13  9  S  17 .
x
y

x
y

12.  5.

12.

5.



5
4

5
4

Dấu bằng xảy ra khi  2

2
2
 x  y 1
 x 2    12  x 2  25



 25 16
 5
 25 48 
 25 48 
  x; y    ;   hoặc  x; y     ;  .
 13 13 
 13 13 
 25 48 
Vậy, S đạt giá trị nhỏ nhất bằng 9 khi  x; y     ;  ; đạt giá trị lớn nhất
 13 13 
 25 48 
bằng 17 khi  x; y    ;   .
 13 13 

b) Ta có P  3   x  1   y  2    z  3 .
2

2

2

x  2 y  2 z  5  0   x  1  2  y  2   2  z  3  6 .
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có

 6 

2
2
2
2
2
  x  1  2  y  2   2  z  3   12   2   22   x  1   y  2    z  3 



 36  9.  P  3  P  1 .
2

LOVEBOOK.VN | 17


Cơng Phá Tốn - Lớp 10

More than a book

 x 1 y  2 z  3



1 2 5
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  1
2
2   x; y; z    ;  ;  .
3 3 3
 x  2 y  2 z  5  0

1 2 5
Vậy, P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi  x; y; z    ;  ;  ./.
3 3 3

4. Sử dụng kiến thức hình học
a. Nội dung phương pháp
Để chứng minh một bất đẳng thức theo cách này, chúng ta phải phát hiện được
bản chất hình học của bất đẳng thức cần chứng minh. Sau đó dựa vào tính chất
hình học, các bất đẳng thức đã biết và các mối liên hệ hình học để rút ra kết luận.
Một số kết quả hình học thường dùng để chứng minh bất đẳng thức.
- Kết quả 1: Với ba điểm tùy ý M, A, B, ta ln có

MA  MB  AB .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn thẳng AB (viết là M   AB  ).




- Kết quả 2: Với hai vectơ tùy ý a   a1 ; a2  , b   b1 ; b2  , ta ln có

  
a.b  a . b .

 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a, b cùng phương  a1b2  a2b1 .


- Kết quả 3: Với hai vectơ tùy ý a   a1 ; a2  , b   b1 ; b2  , ta ln có
  1    2  
a  b  ab  a  b .

 
Dấu bằng xảy ra ở (1) khi và chỉ khi a, b ngược hướng
a b  a2b1
a b  a2b1
hoặc  1 2
.
 1 2
a1b1  0
a2b2  0
 
Dấu bằng xảy ra ở (2) khi và chỉ khi a, b cùng hướng
a b  a2b1
a b  a2b1
hoặc  1 2
.
 1 2
a1b1  0

a2b2  0
LOVEBOOK.VN | 18


Chủ đề 4: Bất đẳng thức

The Best or Nothing

- Kết quả 4: Cho đường tròn  I ; R  và điểm A nằm ngoài  I ; R  . Gọi M là điểm
1

 2

tùy ý thuộc đường tròn  I ; R  . Khi đó ta ln có: IA  R  MA  IA  R .
Dấu bằng xảy ra ở (1) khi và chỉ khi M là giao điểm của đường thẳng IA với
đường tròn  I ; R  , trong đó M thuộc đoạn IA, tức là M được xác định bởi hệ thức
 R 
IM  .IA .
IA

Dấu bằng xảy ra ở (2) khi và chỉ khi M là giao điểm của đường thẳng IA với
đường tròn  I ; R  , trong đó M nằm ngồi đoạn IA, tức là M được xác định bởi hệ

R 
thức IM   .IA .
IA

- Kết quả 5: Cho hai đường tròn

 I1; R1 

và

 I 2 ; R2 

ngoài nhau (tức là

I1 I 2  R1  R2 ). Gọi M, N là hai điểm tùy ý lần lượt thuộc  I1 ; R1  và  I 2 ; R2  .
1

 2

Khi đó ta ln có: I1 I 2  R1  R2  MN  I1 I 2  R1  R2 .
Dấu bằng xảy ra ở (1) khi và chỉ khi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng

I1 I 2 với hai đường tròn  I1 ; R1  và  I 2 ; R2  , trong đó M, N thuộc đoạn I1 I 2 , tức
 R 
là M được xác định bởi hệ thức I1M  1 .I1 I 2 và N được xác định bởi hệ thức
I1 I 2
 R 
I 2 N  2 .I 2 I1 .
I1 I 2

Dấu bằng xảy ra ở (2) khi và chỉ khi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng

I1 I 2 với hai đường tròn  I1 ; R1  và  I 2 ; R2  , trong đó M, N nằm ngoài đoạn I1 I 2 ,

R 
tức là M được xác định bởi hệ thức I1M   1 .I1 I 2 và N được xác định bởi hệ
I1 I 2


R 
thức I 2 N   2 .I 2 I1 .
I1 I 2

LOVEBOOK.VN | 19


Cơng Phá Tốn - Lớp 10

More than a book

- Kết quả 6: Cho đường tròn  I ; R  và đường thẳng  khơng cắt đường trịn.
Gọi M, N là hai điểm tùy ý lần lượt thuộc đường tròn  I ; R  và đường thẳng  .
Khi đó ta ln có: MN  d  I ,    R .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi N là hình chiếu vng góc của I trên đường thẳng

 và M là giao điểm của đoạn IN với đường tròn  I ; R  , tức là M thỏa mãn hệ

thức IM 

STUDY TIP
Khi sử dụng một kết quả
nào đó trong các kết quả
nên trên vào việc tìm giá
trị lớn nhất hoặc giá trị
nhỏ nhất chúng ta lưu ý
đến điều kiện để đẳng
thức xảy ra để có sự điều
chỉnh hình thức tọa độ

của điểm, tọa độ của
vectơ một cách phù hợp.


R
.IN .
d  I, 

* Chú ý: Trong thực hành giải toán bằng phương pháp này, chúng ta cần lưu ý
đến việc chuyển đổi ngôn ngữ cho các biểu thức đại số sang ngôn ngữ hình học
để vận dụng phương pháp hoặc kỹ thuật giải cho phù hợp. Chẳng hạn:
Biểu thức đại số

ax  by  c  0

 x  a   y  b
2

2

Phương trình đường thẳng  : ax  by  c  0 .

 R2

 x  a   y  b
2

Ngơn ngữ hình học

Phương trình đường trịn có tâm I  a; b  và bán kính R

( R  0 ).

2


Độ dài vectơ u   x  a; y  b  hoặc khoảng cách giữa
hai điểm M  x; y  và A  a; b  .

b. Ví dụ minh họa
Ví dụ 9: a) Chứng minh rằng với mọi x   , ta có

x 2  4 x  13  x 2  10 x  41  7 2 .
b) Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, ta ln có
x 2  y 2  4 x  6 x  13  x 2  y 2  10 x  8 y  41  7 2 .

c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M 

4 x 2  4 x  5  4 x 2  12 x  25 .

Lời giải
a) Ta có A  x 2  4 x  13  x 2  10 x  41 

2  x

2

 32 

5  x 

2

 42 .

LOVEBOOK.VN | 20


Chủ đề 4: Bất đẳng thức

The Best or Nothing



Xét hai vectơ a   2  x;3 và b   5  x; 4  . Khi đó

 
 
A  a  b và a  b  7 2  7 2  7 2 .
   
Mặt khác, ta ln có a  b  a  b nên A  7 2 .

 
2 x 5 x

 x  1 .
Dấu bằng xảy ra khi a, b cùng hướng 
3
4



b) Cách 1: Xét hai vectơ u   2  x; y  3 và v   x  5; 4  y  .
 
 
Suy ra u  v   7;7  và u  v  7 2  7 2  7 2 .
 
Ta có B  x 2  y 2  4 x  6 x  13  x 2  y 2  10 x  8 y  41  u  v .

   
Mặt khác, ta ln có u  v  u  v nên B  7 2 .

 
Dấu bằng xảy ra khi u , v cùng hướng
 2  x  4  y    x  5  y  3
x  y 1  0
.


5  x  2
 2  x  x  5   0
Cách 2: Xét ba điểm M  x; y  , E  2; 3 , F  5; 4  .
Khi đó EF  7 2 và đường thẳng EF có phương trình là x  y  1  0 .
Ta có B  x 2  y 2  4 x  6 x  13  x 2  y 2  10 x  8 y  41  ME  MF .
Vì ta ln có ME  MF  EF nên B  7 2 .

x  y 1  0
Dấu bằng xảy ra khi M thuộc đoạn EF hay 
.
5  x  2



c) Xét hai vectơ u  1  2 x; 2  và v   2 x  3; 4  .
 
 
2
Suy ra u  v   4; 2  và u  v  42   2   2 5 .

Ta có M 

1  2 x 

2

 22 

 2 x  3   4 
2

2

 
 uv .

LOVEBOOK.VN | 21


Cơng Phá Tốn - Lớp 10

More than a book

 

 
Mặt khác, ta ln có u  v  u  v nên M  2 5 .
 
1 2x
2
5

x .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi u , v ngược hướng 
2 x  3 4
2
Vậy, M đạt giá trị lớn nhất bằng 2 5 khi x 

5
./.
2

Ví dụ 10: Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn các điều kiện

a 2  b 2  2a  4b  4  0 và 3c  4d  9  0
Chứng minh rằng 1  2  ac  bd   a 2  b 2  c 2  d 2 .
Lời giải
Ta có a 2  b 2  2a  4b  4  0   a  1   b  2   9 .
2

2

Xét điểm M  a; b  và điểm N  c; d  thì M và N lần lượt thuộc đường trịn

 C  :  x  1   y  2 

2

2

 9 và đường thẳng d : 3 x  4 y  9  0 .

Đường tròn  C  có tâm I 1; 2  và bán kính R  3 .
Ta có d  I , d  

3.1  4.  2   9
3   4 
2

2

 4  R  3.

Mặt khác với mọi điểm X   C  , Y  d thì XY  d  I , d   R . Do đó MN  1 .
Ta lại có MN 2   a  c    b  d   a 2  b 2  c 2  d 2  2  ac  bd  .
2

STUDY TIP
Chứng minh bất đẳng
thức hoặc tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất theo
cách này chúng ta không
cần phải chỉ ra giá trị cụ
thể của x để đẳng thức
xảy ra nữa (vì chúng ta đã
có điều kiện tồn tại x để

đẳng thức xảy ra rồi).

2

Vậy, a 2  b 2  c 2  d 2  2  ac  bd   1 hay 1  2  ac  bd   a 2  b 2  c 2  d 2 ./.
5. Sử dụng miền giá trị hoặc điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình
a. Nội dung phương pháp
Sử dụng miền giá trị hoặc điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình trong chứng
minh bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, chúng ta thường sử
dụng các kết quả sau đây:

LOVEBOOK.VN | 22


Chủ đề 4: Bất đẳng thức

The Best or Nothing

(1) Phương trình ax 2  bx  c  0 , a  0 có nghiệm khi và chỉ khi   0 .

u  v  S
(2) Điều kiện để tồn tại hai số u, v sao cho 
là S 2  4 P  0 .
uv

P

u  v  S
(3) Điều kiện để tồn tại hai số không âm u, v sao cho 
là

uv  P
S  0

.
P  0
S 2  4P  0


Chú ý: Để tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f  x  theo
cách này, chúng ta có thể tiến hành như sau:
- Bước 1: Gọi y0 là một giá trị bất kỳ thuộc miền giá trị của hàm số. Khi đó
phương trình f  x   y0 có nghiệm.
- Bước 2: Biến đổi đưa phương trình f  x   y0 về dạng ax 2  bx  c  0 . Sau đó
tìm điều kiện để phương trình này có nghiệm (điều kiện này dẫn đến giải bất
phương trình ẩn y0 ).
- Bước 3: Từ kết quả của bước 2, chúng ta kết luận về giá trị lớn nhất hoặc giá trị
nhỏ nhất của hàm số y  f  x  .
b. Ví dụ minh họa
Ví dụ 11: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 

2x 1
.
x x4
2

Lời giải
2

1  15


Vì x 2  x  4   x     0 với mọi x   nên hàm số xác định trên  .
2
4

Gọi y0 là một giá trị thuộc miền giá trị của hàm số đã cho. Khi đó phương trình
y0 

2x 1
có nghiệm
x x4
2

LOVEBOOK.VN | 23


Cơng Phá Tốn - Lớp 10

More than a book

 y0  x 2  x  4   2 x  1 có nghiệm

 y0 x 2   y0  2  x  4 y0  1  0 (1) có nghiệm.
Trường hợp 1: y0  0 .
Khi đó (1) trở thành 2 x  1  0  x 

1
.
2

Trường hợp 2: y0  0 .

Khi đó phương trình (1) có nghiệm
    y0  2   4 y0  4 y0  1  0  15 y02  8 y0  4  0
2



4  2 19
4  2 19
 y0 
.
15
15

Kết hợp hai trường hợp ta có

4  2 19
4  2 19
 y0 
15
15

Với y01 

y 2
4  2 19
ta tìm được x   01
.
15
2 y01

Với y02 

y 2
4  2 19
ta tìm được x   02
.
15
2 y02

Vậy, max y 


4  2 19
4  2 19
và min y  
./.

15
15

LOVEBOOK.VN | 24


Chủ đề 4: Bất đẳng thức

STUDY TIP
Ngoài cách giải này,
chúng ta có thể sử dụng
cơng cụ đạo hàm để tìm
được giá trị lớn nhất và

giá trị nhỏ nhất của hàm
số (đây là cách làm có tư
tưởng rõ ràng, dễ hiểu đối
với mọi đối tượng học
sinh) mà chúng ta sẽ được
nghiên cứu ở chương
trình Giải tích 12.

The Best or Nothing

Nhận xét:
1. Qua cách làm của ví dụ này, bạn đọc có thể tự mình đưa ra hướng giải cho bài
tốn tổng quát: Tìm giá trị lớn nhất và gnn của hàm số y 

a1 x 2  b1 x  c1
, trong
a2 x 2  b2 x  c2

đó a2  0 và b22  4a2 c2  0 .
2. Từ kết quả của ví dụ này, chúng ta có thể phát biểu lại bài tốn dưới hình thức
khác như sau:
a) Trong các cặp số (x; y) thỏa mãn phương trình x 2 y  xy  2 x  4 y  1  0 , hãy
tìm cặp số sao cho y đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
b) Hàm số y 

2x 1
nhận giá trị nguyên khi nào?
x x4
2

a  b  c  4
Ví dụ 12: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện 
. Chứng
ab  bc  ca  4
minh rằng 0  a, b, c 

8
.
3

Lời giải

a  b  4  c
a  b  4  c
Hệ điều kiện đã cho được viết lại là 

(*).
2
ab  c  4c  4
ab  4  c  a  b 
Do tồn tại a, b đã cho nên hệ phương trình (*) có nghiệm, a, b hay

4  c

2

8
 4  c 2  4c  4   0  3c 2  8c  0  0  c  .
3

Vai trò của a, b, c trong hệ điều kiện đã cho là như nhau nên chứng minh tương
8
8
8
tự ta cũng có 0  a  , 0  b  . Vậy, 0  a, b, c  ./.
3
3
3

LOVEBOOK.VN | 25