02 góc và cung lượng giác p2 đặng việt hùng image marked

02. GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC (P2)

Câu 1. Cho điểm B trên đường tròn lượng giác với gốc là điểm A 1;0  sao cho  OA, OB   60.
Tìm thêm 3 góc lượng giác  OA, OB  có giá trị dương và 3 góc lượng giác  OA, OB  có giá trị âm.
Câu 2. Trên đường trịn lượng giác có điểm gốc A các cung lượng giác có số đo

37 m
,
có điểm
4
3

cuối trùng nhau hay khơng?
Câu 3. Cho sđ  Ox, Oy  


8

 k  k   

a) Tính k để sđ  Ox, Oy   
b) Giá trị 

63
.
8

65
có phải là một số đo của  Ox, Oy  không? Tại sao?
8

Câu 4. Cho sđ  Ox, Oy   33  k 360 với k   .
a) Định k để sđ  Ox, Oy  lần lượt là 1113 và 686
b) Giá trị 946 có phải sđ  Ox, Oy  là không? Tại sao?
Câu 5. Cho x 




5

 k 2  k    . Tìm các góc (cung) x thỏa một các điều kiện sau:





 x  4
c) 2  x  3
2
4
2
Câu 6. Trên đường tròn lượng giác có gốc A . Hãy xác định các điểm M biết cung lượng giác AM

a) 

x

b)

k k 

2
; ; k
 k   .
2 4 3
3
Câu 7. Biểu diễn các cung lượng giác có số đo trên đường trịn lượng giác, từ đó tìm cơng thức số đo

có số đo: k ;







 k , l , m   .
2
4
2
Câu 8. Tìm cơng thức tính số đo của các cung lượng giác, biết số đo của chúng thỏa mãn các điều
kiện sau, với:
chung của các cung đó:




x   k
a) 
3
3

 x  m

k, m  

 k ; l ;

m




x  k

b)
3
3

x

m



k, m  

Câu 9. Trên đường tròn lượng giác gốc A , dựng điểm cuối các cung lượng giác có số đo  k    :
a) AM 
d) AM 



4


4

k
k

2
3


3

b) AM    k


4

e) AM  150  k .90

c) AM  60  k120
f) AM 


6

k



2


Câu 10. Trên đường tròn lượng giác, biểu diễn các cung có số đo:

3
5 11
;  60 ; 
;
.
4
4 3

Tìm các ngọn cung trùng nhau, tại sao?


2
AM  , sđ 
AN 
.
Câu 11. Trên đường tròn định hướng, cho ba điểm A , M , N sao cho sđ 
4
3
Gọi P là điểm thuộc đường trịn đó để tam giác MNP là tam giác cân tại P. Hãy tìm sđ 
AP.
Câu 12. Tìm cơng thức tính số đo của các cung lượng giác, biết số đo của chúng thỏa mãn các điều
kiện sau, với  k , m    :

 x  k
b) 

x  m 
3


 x  k
a) 
 x    m

2

 x  k
c) 
x  m 
3


02. GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC (P2)

Câu 1. Cho điểm B trên đường tròn lượng giác với gốc là điểm A 1;0  sao cho  OA, OB   60.
Tìm thêm 3 góc lượng giác  OA, OB  có giá trị dương và 3 góc lượng giác  OA, OB  có giá trị âm.
Lời giải:
 3 góc lượng giác  OA, OB  có giá trị dương là:  78; 114.
 3 góc lượng giác  OA, OB  có giá trị âm là:   66;  102.
Câu 2. Trên đường tròn lượng giác có điểm gốc A các cung lượng giác có số đo

37 m
,
có điểm
4
3

cuối trùng nhau hay khơng?
Lời giải:
Trên đường trịn lượng giác có điểm gốc A các cung lượng giác có số đo
cuối cùng nhau.
Câu 3. Cho sđ  Ox, Oy  


8

 k  k   

a) Tính k để sđ  Ox, Oy   

63
.
8

65
có phải là một số đo của  Ox, Oy  không? Tại sao?
8
Lời giải:

63
 k  8  k  8.
a) Ta có: sđ  Ox, Oy    k  
8
8
65
b) Giả sử 

là sđ  Ox, Oy  .
8

65
.
Khi đó, phải tồn tại k nguyên thỏa mãn sđ  Ox, Oy    k  
8
8
33
65
Dễ dàng, ta suy ra: k    . Vậy 
không là sđ  Ox, Oy  .
4
8

b) Giá trị 

Câu 4. Cho sđ  Ox, Oy   33  k 360 với k   .

37 m
,
không có điểm
4
3


a) Định k để sđ  Ox, Oy  lần lượt là 1113 và 686
b) Giá trị 946 có phải sđ  Ox, Oy  là không? Tại sao?
Lời giải:
a) Ta có: sđ  Ox, Oy   33  k 360  1113  k 360  1080  k  3.

sđ  Ox, Oy   33  k 360  686  k 360  720  k  2.
b) Giả sử 946 là sđ  Ox, Oy  .
Khi đó, phải tồn tại k nguyên thỏa mãn sđ  Ox, Oy   33  k 360  946
Dễ dàng, ta suy ra: k 

Câu 5. Cho x 
a) 


2

x




5

137
 . Vậy 946 không là sđ  Ox, Oy  .
54

 k 2  k    . Tìm các góc (cung) x thỏa một các điều kiện sau:

b)

4


2

 x  4

c) 2  x  3

Lời giải:


 

7
1
a) Ta có:   x      k 2     k  .
2
4
2 5
4
20
40
Mà k nguyên nên k  0. Khi đó, cung thỏa mãn là: x 



.
5

 
3
19
k .

b) Ta có:  x  4    k 2  4 
2
2 5
20
10
11
.
Mà k nguyên nên k  1. Khi đó, cung thỏa mãn là: x 
5

c) Ta có: 2  x  3  2 



5

 k 2  3  0, 418  k  0,377.

Mà k nguyên nên k  0. Khi đó, cung thỏa mãn là: x 


5

.

Câu 6. Trên đường tròn lượng giác có gốc A . Hãy xác định các điểm M biết cung lượng giác AM
k k 
2
có số đo: k ; ; ;  k
 k   .

2 4 3
3
Lời giải:

Cung: k  k    .
Cung: k  k    .
2

Cung: k


4

 k  .

Cung:


3

k

2
 k  .
3


Câu 7. Biểu diễn các cung lượng giác có số đo trên đường trịn lượng giác, từ đó tìm cơng thức số đo
chung của các cung đó:



2

 k ; l ;



4

m



2

 k , l , m   .
Lời giải:

Công thức số đo chung:

k 2

 k , k  .
8
4

Câu 8. Tìm cơng thức tính số đo của các cung lượng giác, biết số đo của chúng thỏa mãn các điều
kiện sau, với:







x  k
x   k

a) 
b)
3
3 k, m  
3
3 k, m  

 x  m
 x  m
Lời giải:




x   l


x


k


3
, l  .
a) Ta có: 
3
3 k, m    
 x  2  l
 x  m

3




x   l


x   k
3
, l  .
b) Ta có: 
3
3 k, m    
2
 x    l
 x  m

3


Câu 9. Trên đường tròn lượng giác gốc A , dựng điểm cuối các cung lượng giác có số đo  k    :

a) AM 
d) AM 



4



4

k
k

2
3



3

b) AM    k



4

e) AM  150  k .90

c) AM  60  k120

f) AM 


6

k


2

Lời giải:
a)

b)

c)

d)

e)

f)

Câu 10. Trên đường trịn lượng giác, biểu diễn các cung có số đo:

3
5 11
;  60 ; 
;
. Tìm

4
4 3

các ngọn cung trùng nhau, tại sao?
Lời giải:
60

315
7
Ta có 60 
 rad     rad  ;  315 
 rad     rad  .
180
3
180
4
11

11
   2 nên cung 60 và
Ta có:
có ngọn trùng nhau.
3
3
3
3
5
3
5


 2 nên cung
và 
có ngọn trùng nhau.
4
4
4
4
AM 
Câu 11. Trên đường tròn định hướng, cho ba điểm A , M , N sao cho sđ 



, sđ 
AN 

2
. Gọi
3

4
P là điểm thuộc đường trịn đó để tam giác MNP là tam giác cân tại P. Hãy tìm sđ 
AP.
Lời giải:
Với ba điểm phân biệt M , N , P trên đường tròn định hướng tâm O, gốc A. Dễ thấy PM  PN khi
  PON
 , do M  N , ta có sđ  OP, OM  + sđ  OP, ON   k 2 , k  , tức là sđ
và chỉ khi POM

 OA, OM  

sđ  OA, OP  + sđ  OA, ON   sđ  OA, OP   k 2 , k  .

AP 
Vậy PM  PN  sđ 

1
AM + sđ 
(sđ 
AN ) + k , k  .
2

11
AP 
 k , k   (có 2 điểm P như thế ứng với k chẵn và k lẻ).
Từ đó suy ra: sđ 
24


Câu 12. Tìm cơng thức tính số đo của các cung lượng giác, biết số đo của chúng thỏa mãn các điều
kiện sau, với  k , m    :
 x  k
a) 
 x    m

2

 x  k
b) 
x  m 
3



 x  k

a) Ta có: 
 x  l , l  .

 x   m
2

2
 x  k

 x  m , m  .
b) Ta có: 

x  m
3
3

 x  k

 x  m , m  .
c) Ta có: 

x  m
3
3


 x  k
c) 
x  m 
3

Lời giải: