06 luyện tập về bđt cô si đặng việt hùng image marked

06. LUYỆN TẬP VỀ BĐT CÔ-SI

Câu 1 [Svip]: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x 2  y 2  xy  3. Tập giá trị của biểu thức S  x  y là:
A.  0;3 .

B.  0; 2 .

C.  2; 2 .

D. 2; 2 .

Câu 2 [Svip]: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x 2  y 2  xy  1. Tập giá trị của biểu thức P  xy là:
 1
A. 0;  .
 3

B.  1;1 .

1 
C.  ;1 .
3 

 1
D.  1;  .
 3

Câu 3 [Svip]: Cho hai số thực x, y thỏa mãn  x  y   4 xy  2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3

S  x  y là:
3

A.

2.

B. 1.

D.  3 2.

C. 8.

Câu 4 [Svip]: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x 2  y 2  x  y  xy. Tập giá trị của biểu thức S  x  y
là:
A.  0;   .

B.  ;0 .

C.  4;   .

D.  0; 4 .

Câu 5 [Svip]: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x 2  y 2  3  x  y   4  0. Tập giá trị của biểu thức

S  x  y là:
A. 2; 4 .

B.  0; 4 .

C.  0; 2 .

D.  2; 4 .

1 4
 là:
x y
A. 4.
B. 2.
C. 9.
D. 2.
2
2
Câu 7 [Svip]: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x y  xy  x  y  3 xy. Giá trị nhỏ

Câu 6 [Svip]: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x  y  1. Giá trị nhỏ nhất của S 

nhất của biểu thức S  x  y là:
A. 1.

B. 2.

C. 3.

Câu 8 [Svip]: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x 4  y 4 

D. 4.
1
 xy  2. Giá trị nhỏ nhất
xy

và giá trị lớn nhất của biểu thức P  xy lần lượt là:

1
1
và 1.
B. 0 và 1.
C.
và 1.
2
4
Câu 9 [Svip]: Cho hai số thực a, b thuộc khoảng  0;1 và thỏa mãn

A.

a

3

D. 1 và 2.

 b3   a  b   ab  a  1 b  1  0. Giá trị lớn nhất của biểu thức P  ab bằng:

1
1
1
.
B. .
C. .
D. 1.
9
4
3

Câu 10 [Svip]: Cho hai số thực x, y thuộc đoạn  0;1 và thỏa mãn x  y  4 xy. Tập giá trị của biểu

A.

thức P  xy là:
 1
 1
1 1
B. 0;  .
C. 0;  .
D.  ;  .
 4
 3
 4 3
Câu 11 [Svip]: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x  2 y  xy  0. Giá trị nhỏ nhất của S  x  2 y

A.  0;1 .

là:
A. 2.

B. 4.

C. 8.

D.

1
.
4

Câu 12 [Svip]: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x  y  xy  7. Giá trị nhỏ nhất của S  x  2 y
là:
A. 8.
B. 5.
C. 7.
D. 11.
Câu 13 [Svip]: Cho hai số thực x, y thỏa mãn 2 x  3 y  7. Giá trị lớn nhất của biểu thức

P  x  y  xy là:
A. 3.

B. 5.

C. 6.

D. 2.

Câu 14 [Svip]: Cho hai số thực x, y không âm và thỏa mãn x 2  2 y  12. Giá trị lớn nhất của P  xy
là:
A.

13
.
4

B. 4.

C. 8.

D. 13.

Câu 15 [Svip]: Cho x, y là hai số thực thỏa mãn x  y và xy  1000. Biết biểu thức F 

x2  y 2
đạt
x y

x  a
a 2  b2
.
giá trị nhỏ nhất khi 
. Tính P 
1000
y  b
A. P  2.
B. P  3.
C. P  4.
D. P  5.
Câu 16 [Svip]: Cho x, y là các số thực dương và thỏa mãn x  y  3. Tìm giá trị nhỏ nhất f min của
biểu thức F  x  y 
1
A. f min  4 .
2

1 2
 .
2x y

1
C. f min  4 .
3

B. f min  3 2.

Câu 17 [Svip]: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x  y  1  2





2
D. f min  4 .
3

x  2  y  3 . Tập giá trị của biểu

thức S  x  y là:
A.  1;7  .

B. 3;7  .

C. 3;7   1 .

D.  7;7  .

Câu 18 [Svip]: Cho ba số thực a, b, c không âm và thỏa mãn a 2  b 2  c 2  abc  4. Giá trị nhỏ nhất
và giá trị lớn nhất của biểu thức S  a 2  b 2  c 2 lần lượt là
A. 1 và 3.

B. 2 và 4.
C. 2 và 3.
D. 3 và 4.
1
x
y
z
Câu 19 [Svip]: Cho ba số thực dương x, y, z. Biểu thức P   x 2  y 2  z 2    
có giá trị
2
yz zx xy
nhỏ nhất bằng
11
5
9
A. .
B. .
C. .
D. 9.
2
2
2
Câu 20 [Svip]: Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x  y  z  3. Giá trị lớn nhất của
biểu thức P  x3  y 3  z 3  3





x  3 y  3 z bằng

3

11
.
2
Câu 21 [Svip]: Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x  y  z  2. Giá trị lớn nhất của

A. 12.

B. 3.

C. 5.

D.

C. 2 3.

D. 1.

biểu thức P  x  y  y  z  z  x bằng
A.

3.

B.

3
.
3

Câu 22 [Svip]: Cho ba số x, y, z là các số dương thỏa mãn
thức F 

1
1
1


là
2x  y  z x  2 y  z x  y  2z

1 1 1
   4. Giá trị lớn nhất của biểu
x y z


A. 2.

B. 1.

C. 4.

D. 3.

06. LUYỆN TẬP VỀ BĐT CÔ-SI

Câu 1 [Svip]: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x 2  y 2  xy  3. Tập giá trị của biểu thức S  x  y là:
A.  0;3 .

B.  0; 2 .

HD: Ta có x  y  xy  3   x  y 
2

2

C.  2; 2 .
2

 x  y
 3  xy  3 
4

2

D. 2; 2 .

  x  y   4  S    2; 2 .
2

Chọn C.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 2 [Svip]: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x 2  y 2  xy  1. Tập giá trị của biểu thức P  xy là:
 1
A. 0;  .
 3

1 

C.  ;1 .
3 

B.  1;1 .

 1
D.  1;  .
 3

1  3 xy   x  y 2  0
1
 1  xy  . Chọn D.
HD: Ta có x  y  xy  1  
2
3
1  xy   x  y   0
2

2

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 3 [Svip]: Cho hai số thực x, y thỏa mãn  x  y   4 xy  2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3

S  x  y là:
A.

3

2.

B. 1.

D.  3 2.

C. 8.

HD: Ta có 4xy   x  y  nên  x  y   4 xy   x  y    x  y 
2

3

3

2

Do đó  x  y   4 xy  2   x  y    x  y   2  x  y  1. Chọn B.
3

3

2

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 4 [Svip]: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x 2  y 2  x  y  xy. Tập giá trị của biểu thức S  x  y
là:
A.  0;   .

B.  ;0 .

C.  4;   .

D.  0; 4 .

HD: Ta có x 2  y 2  x  y  xy  x  y  x 2  y 2  xy   x  y   3 xy
2

Mà

 x  y
xy 

Suy ra

4

2

  3 xy  

 x  y
x y 
4

2

3
3

2
2
2
 x  y  nên x  y   x  y    x  y 
4
4

  x  y   4  x  y   0  0  x  y  4. Chọn D.
2

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 5 [Svip]: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x 2  y 2  3  x  y   4  0. Tập giá trị của biểu thức

S  x  y là:
B.  0; 4 .

A. 2; 4 .

C.  0; 2 .

HD: Ta có x  y  3  x  y   4 mà x  y
2

2

2

2

 x  y

2

2

D.  2; 4 .


Do đó

 x  y

2

2

 3  x  y   4   x  y   6  x  y   8  0  2  x  y  4. Chọn D.
2

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 6 [Svip]: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x  y  1. Giá trị nhỏ nhất của S 
A. 4.

B. 2.

C. 9.

1 4

 là:
x y
D. 2.

1 4
1 4
4x y
4x y
   x  y  .    5 
  5 2
.  5 2 4  9
x y
y x
y x
x y
4x y
1
2
 ; x  y  1 
Dấu bằng xảy ra khi
 x  ; y  . Chọn C.
y
x
3
3
HD: Ta có S 

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 7 [Svip]: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x 2 y  xy 2  x  y  3 xy. Giá trị nhỏ

nhất của biểu thức S  x  y là:
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.
1 1
4
3
HD: Ta có x 2 y  xy 2  x  y  3 xy  xy.  x  y   x  y  3 xy  x  y    3 
x y
x y

x  y  4
2
mà x, y  0 nên x  y  4. Chọn D.
  x  y   3 x  y   4  0  
 x  y  1
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 8 [Svip]: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x 4  y 4 

1
 xy  2. Giá trị nhỏ nhất
xy

và giá trị lớn nhất của biểu thức P  xy lần lượt là:
1

và 1.
2

A.

B. 0 và 1.

HD: Ta có xy 

C.

1
và 1.
4

1
2
 2  x 4  y 4  2 x 4 . y 4  2.  xy 
xy

Suy ra 2  xy    xy   2 xy  1  0   xy  1 .  xy  1 .  2 xy  1  0 
3

D. 1 và 2.

2

1
 xy  1. Chọn A.
2

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 9 [Svip]: Cho hai số thực a, b thuộc khoảng  0;1 và thỏa mãn

a
A.

3

 b3   a  b   ab  a  1 b  1  0. Giá trị lớn nhất của biểu thức P  ab bằng:

1
.
9

B.

a
HD: Giả thiết trở thành:
a
Ta có

3

 b3   a  b 
ab

3

1
.
4

 b3   a  b 
ab

C.

1
.
3

D. 1.

 1  a 1  b 

 a 2 b2 
a 2 b2
    . a  b   2
. .2 ab  4ab
b a
 b a

Lại có 1  a 1  b   1   a  b   ab  1  2 ab  ab
1
Do đó 4ab  1  2 ab  ab  3ab  2 ab  1  0  0  ab  . Chọn A.
9
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 10 [Svip]: Cho hai số thực x, y thuộc đoạn  0;1 và thỏa mãn x  y  4 xy. Tập giá trị của biểu
thức P  xy là:


 1
B. 0;  .
 4

 1
C. 0;  .
 3
1
1
HD: Ta có 4 xy  x  y  2 xy  2 xy  xy  xy   xy  .
2
4

A.  0;1 .

1 1
D.  ;  .
 4 3

1
Lại có x, y   0;1  1  x 1  y   0  1   x  y   xy  0  1  4 xy  xy  0  xy  .
3
1 1
Vậy xy   ;  . Chọn D.
 4 3
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 11 [Svip]: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x  2 y  xy  0. Giá trị nhỏ nhất của S  x  2 y
là:
A. 2.

B. 4.

C. 8.

D.

1
.
4

x.2 y  x  2 y 
2
HD: Ta có x  2 y  xy  0  x  2 y 

  x  2 y   8  x  2 y   0  x  2 y  8.
2
8
Chọn C.
2

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 12 [Svip]: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x  y  xy  7. Giá trị nhỏ nhất của S  x  2 y
là:
A. 8.

B. 5.

D. 11.

C. 7.

HD: Ta có x  y  xy  7  x  y  xy  1  8   x  1 y  1  8
Lại có 16  2  x  1 y  1   x  1 2 y  2 

 x  1  2 y  2


2

4

  x  2 y  3  64  x  2 y  3  8  x  2 y  5 (vì x  2 y  0 ). Chọn B.
2

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 13 [Svip]: Cho hai số thực x, y thỏa mãn 2 x  3 y  7. Giá trị lớn nhất của biểu thức

P  x  y  xy là:
A. 3.

B. 5.

HD: Ta có 6 P  6  x  1 y  1   2 x  2  3 y  3 

C. 6.

 2 x  3 y  5
4

D. 2.
2



122
 P  6. Chọn C.
4

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 14 [Svip]: Cho hai số thực x, y không âm và thỏa mãn x 2  2 y  12. Giá trị lớn nhất của P  xy
là:
A.

13
.
4

B. 4.

C. 8.

D. 13.

HD: Ta có 16  x 2  4  2 y  2 x 2 .4  2 y  4 x  2 y  2 4 x.2 y  4 2 xy  2 xy  4  xy  8
Dấu bằng xảy ra khi: x  2; y  2 x  4. Vậy giá trị lớn nhất của P là 8. Chọn C.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 15 [Svip]: Cho x, y là hai số thực thỏa mãn x  y và xy  1000. Biết biểu thức F 

x  a
a 2  b2
.
giá trị nhỏ nhất khi 
. Tính P 
1000
y  b
A. P  2.
B. P  3.

C. P  4.

D. P  5.

x2  y 2
đạt
x y


x 2  y 2 x 2  2 xy  y 2  2 xy  x  y   2000
2000
HD: Ta có F 



 x y
x y
x y
x y
x y
2

2000
Lại có x  y 
2
x y

2000
 40 5. Dấu bằng xảy ra khi:
 x  y .
x y

 xy  1000

2000

x  y  x  y


 xy  1000
2
ab  1000
Suy ra 
nên 

 a 2  b 2   a  b   2ab  4000  P  4. Chọn C.
 x  y  20 5
a  b  20 5
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 16 [Svip]: Cho x, y là các số thực dương và thỏa mãn x  y  3. Tìm giá trị nhỏ nhất f min của
biểu thức F  x  y 

1 2
 .
2x y

1
A. f min  4 .
2

HD: Ta có

1
C. f min  4 .
3

B. f min  3 2.

2
D. f min  4 .
3

x 1
x 1

y 2
y 2

2 .
 1;   2 .  2
2 2x
2 2x
2 y
2 y

3 9
 x 1   y 2 x y
Suy ra F         
 1 2  
2
2 2
 2 2x   2 y 
y 2
x 1
1
  y  2. Vậy f min  4 . Chọn A.
 x  1;
Dấu bằng xảy ra khi: 
2 y
2 2x
2
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 17 [Svip]: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x  y  1  2





x  2  y  3 . Tập giá trị của biểu

thức S  x  y là:
A.  1;7  .

B. 3;7  .

C. 3;7   1 .

D.  7;7  .

x  2  0
x  2
HD: Điều kiện: 

 x  y  1
y 3  0
y  3
4 x2 4 y3 x y9


Ta có x  y  1  2 x  2  2 y  3 
 x y 7
2
2
2

Lại có x  y  1  2









x  2  y  3   x  y  1  4 x  y  1  2 x  2. y  3  4  x  y  1
2

x  y 1  4
x  y  3
x  y  3
2
mà x  y  1 nên 
  x  y  1  4  x  y  1  

.
x  y 1  0
 x  y  1
 x  y  1
Chọn C.
Câu 18 [Svip]: Cho ba số thực a, b, c không âm và thỏa mãn a 2  b 2  c 2  abc  4. Giá trị nhỏ nhất
và giá trị lớn nhất của biểu thức S  a 2  b 2  c 2 lần lượt là
A. 1 và 3.
B. 2 và 4.
C. 2 và 3.

2
2
2
HD: Ta có a  b  c  4  abc  4 (do abc  0 )
Lại có 4  a 2  b 2  c 2  a 2b 2 c 2 mà a 2  b 2  c 2  3 3 a 2b 2 c 2  a 2b 2 c 2
Suy ra 4  a 2  b 2  c 2 

a

2

 b2  c2 
27

3



D. 3 và 4.

a


2

 b2  c2 

3

27

S3
 4  S  S  3. Chọn D.
27

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Câu 19 [Svip]: Cho ba số thực dương x, y, z. Biểu thức P 
nhỏ nhất bằng
11
A. .
2

5
.
2
2x 2 y 2z


HD: Ta có 2 P  x 2  y 2  z 2 
yz zx xy

B.

C.

1 2
x
y

z
x  y2  z2    
có giá trị

2
yz zx xy

9
.
2

D. 9.

Mà x 2 

z
y
z y
z
x
z x
  3 3 x 2 . .  3; y 2  
 3 3 y 2 . .  3;
xy zx
xy zx
xy yz
xy yz

Và z 2 

9
x
y
x y
  3 3 z 2 . .  3 suy ra 2 P  3  3  3  9  P  . Chọn C.
2
yz zx
yz zx

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 20 [Svip]: Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x  y  z  3. Giá trị lớn nhất của
biểu thức P  x3  y 3  z 3  3
A. 12.





x  3 y  3 z bằng

3

B. 3.

C. 5.

11
.
2

 x   4x
y  y  4 y . y   4 y
z  4 z . z   4 z

HD: Ta có x3  3 3 x  x3  3 x  3 x  3 x  4 4 x3 .
Lại có y 3  3 3 y  y 3  3 y  3

D.

3

Và z 3  3 3 z  z 3  3 z  3 z  3

3

4

4

3

3

3

3

3

3

3

Suy ra P  4  x  y  z   4.3  12.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: x  y  z  1. Chọn A.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 21 [Svip]: Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x  y  z  2. Giá trị lớn nhất của
biểu thức P  x  y  y  z  z  x bằng
A.

B.

3.

HD: Ta có x  y 
Tương tự: y  z 
Suy ra

4
2
3

3
.
3

 x  y .

C. 2 3.

D. 1.

4 4 3

. x  y 
3
3

4 4 3
4 4 3

. y  z  ; z  x  
 z  x
3
3
3
3

4 3
4
P  2  x  y  z   .3  8  P  2 3. Chọn C.
3
3

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 22 [Svip]: Cho ba số x, y, z là các số dương thỏa mãn
1

1
1


là
2x  y  z x  2 y  z x  y  2z
A. 2.
B. 1.
1 1
2
HD: Ta có x  y  2 xy ,  
x y
xy

1 1 1
   4. Giá trị lớn nhất của biểu
x y z

thức F 

C. 4.

D. 3.


1 1
2
1 1
4
Suy ra  x  y  .     2 xy .

4  
x y x y
xy
x y
Do đó

1
1
1 1
1  1 1 1 1 1

 

     
2 x  y  z x  y  x  z 4  x  y x  z  16  x y x z 

Tương tự:

1
1 1 1 1 1
1
1 1 1 1 1
     ;
     
x  2 y  z 16  x y y z  x  y  2 z 16  x z y z 

Suy ra P 

1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1
           .      .4  1

16  x y z x y z x y z  4  x y z  4

3
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: x  y  z  . Chọn B.
4