07 một số bđt khác đặng việt hùng image marked

07. MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC KHÁC

Câu 1 [Svip]. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
735
, với 2a  3b  7
47

b) 3a 2  5b 2 

a) 3a 2  4b 2  7 , với 3a  4b  7

Câu 2 [Svip]. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
2464
4
a) 7 a 2  11b 2 
, với 3a  5b  8
b) a 2  b 2  , với a  2b  2
137
5
Câu 3 [Svip]. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
b) ( x  2 y  1) 2  (2 x  4 y  5) 2 

a) 2a 2  3b 2  5 , với 2a  3b  5

9
5

Câu 4 [Svip]. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1
1
a) a 2  b 2  , với a  b  1 .

b) a 3  b3  , với a  b  1 .
2
4
Hướng dẫn:
2
2
2
2
2
a) 1  (1a  1b)  (1  1 )(a  b )  đpcm.
2

1 1 1

b) a  b  1  b  1  a  b  (1  a )  1  3a  3a  a  b  a  3  a     .
2 4 4

3

3

2

3

3

3

Câu 5 [Svip]. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

1
a) a 4  b 4  , với a  b  1 .
b) a 4  b 4  2 , với a  b  2 .
8
Hướng dẫn:
1
a) (12  12 )(a 4  b 4 )  (a 2  b 2 ) 2   đpcm.
4
2
2
2
2
2
b) (1  1 )(a  b )  (a  b)  4  a 2  b 2  2 .

(12  12 )(a 4  b 4 )  (a 2  b 2 ) 2  4  a 4  b 4  2
Câu 6 [Svip]. Cho x, y, z là ba số dương và x  y  z  1 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  1  x  1  y  1  z .
Hướng dẫn:
Ta có P  1  1  1. (1  x)  (1  y )  (1  z )  6
1
Dấu "=" xảy ra  1  x  1  y  1  z  x  y  z  .
3
1
Vậy Max P = 6 khi x  y  z  .
3
Câu 7 [Svip]. Cho x, y, z là ba số dương và x  y  z  1 .
Chứng minh rằng:

x2 

1
1
1
 y 2  2  z 2  2  82
2
x
y
z
Hướng dẫn:
2

Áp dụng BĐT (B.C.S), ta có:
Tương tự ta có:

y2 

9
 2 1  2 2 
 x  2  (1  9 )   x   
x

x 


1
1 
9

y 


2
y
y
82 

(2),

z2 

x2 

1
1 
9

 x   (1)
2
x
x
82 

1
1 
9

 z   (3)
2
z
z

82 


Từ (1), (2), (3) suy ra:
1 
1 
1  1 1 1  80  1 1 1  
 1 1 1 
P
( x  y  z )  9  x  y  z   =
( x  y  z )  9  x  y  z   9  x  y  z  
82 
82 







1 2
9
 1 1 1  80

 ( x  y  z)      .
  82 .
82  3
 x y z  9 x  y  z 
1
Dấu "=" xảy ra  x  y  z  .

3
Câu 8 [Svip]. Cho a, b, c  

1
thoả a  b  c  1 .
4

(1)

(2)

Chứng minh: 7  4a  1  4b  1  4c  1  21 .
Hướng dẫn:
Áp dụng BĐT (B.C.S) cho 6 số: 1;1;1; 4a  1; 4b  1; 4c  1  (2).
Chú ý:

x  y  z  x  y  z . Dấu "=" xảy ra  x = y = z = 0. Từ đó  (1)

Câu 9 [Svip]. Cho x, y > 0. Tìm GTNN của các biểu thức sau:
4 1
a) A  
, với x + y = 1
x 4y
2 3
b) B  x  y , với   6
x y
Hướng dẫn:
2

2

 2   1 
a) Chú ý: A = 
 
 .
 x  2 y 
Áp dụng BĐT (B.C.S) với 4 số:

x;

2
1
; y;
ta được:
x
2 y
2

25 
2
1 
4 1 
  x.
 y.
 ( x  y)  


4 
x
2 y

 x 4y 
4
1
25
4
1
Dấu "=" xảy ra  x  ; y  . Vậy minA =
khi x  ; y  .
5
5
4
5
5
2

2

2 3  2  3
b) Chú ý:   
 
 .
x y  x  y
Áp dụng BĐT (B.C.S) với 4 số:

x;

y;

2
;

x

3
ta được:
y

2
 2  3
2
3
2 3 
.
( x  y)      x .
 y.
   2  3  x  y 
6
x
y
x y 
2

2

2 3 3 2
2 3 3 2
Dấu "=" xảy ra  x 
. Vậy minB =
; y
6 3
6 2



2  3
6

2

.

Câu 10 [Svip]. Tìm GTLN của các biểu thức A  x 1  y  y 1  x , với mọi x, y thoả x 2  y 2  1 .
Hướng dẫn:
Chú ý: x  y  2( x 2  y 2 )  2 .
Ta có A 

( x 2  y 2 )(1  y  1  x)  x  y  2 

Dấu "=" xảy ra  x  y 

2
2

2 2 .


.
Câu 11 [Svip]. Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức sau:
a) A  7  x  2  x , với –2  x  7
b) B  6 x  1  8 3  x , với 1  x  3
Hướng dẫn:

5
.
2
 A  (7  x)  ( x  2)  3 . Dấu "=" xảy ra  x = –2 hoặc x = 7.
5
 maxA = 3 2 khi x  ;
minA = 3 khi x = –2 hoặc x = 7.
2
43
b) B  (62  82 )( x  1  3  x)  10 2 . Dấu "=" xảy ra  x =
.
25
 B  6 ( x  1)  (3  x)  2 3  x  6 2 . Dấu "=" xảy ra  x = 3.
43
 maxB = 10 2 khi x =
;
minB = 6 2 khi x = 3.
25

a)  A 

(12  12 )(7  x  x  2)  3 2 . Dấu "=" xảy ra  x 

Câu 12 [Svip]. Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức sau:
a) C  y  2 x  5 , với 36 x 2  16 y 2  9
x2 y 2

1
b) D  2 x  y  2 , với
4

9

Hướng dẫn:
1
1
a) Chú ý: 36 x 2  16 y 2  (6 x) 2  (4 y ) 2 . Từ đó: y  2 x  .4 y  .6 x .
4
3

1
1
5
 1 1
.4 y  .6 x     16 y 2  36 x 2  
4
3
4
 16 9 
5
5
15
25
 C  y  2x  5 
   y  2x  
.
4
4
4
4
15

2
9
25
2
9
 minC =
khi x  , y   ; maxC =
khi x   , y 
.
4
5
20
4
5
20
x2 y 2 1
2
1

  (3 x) 2  (2 y ) 2  . Từ đó: 2 x  y  .3 x  .2 y .
b) Chú ý:
4
9 36
3
2

 y  2x 

2
1

4 1
.3 x  .2 y      9 x 2  4 y 2   5
3
2
9 4
 5  2 x  y  5  7  D  2 x  y  2  3 .
8
9
8
9
 minD = –7 khi x   , y  ;
maxD = 3 khi x  , y   .
5
5
5
5

 2x  y 