HÀM số hàm số bậc NHẤT (lý thuyết + bài tập có lời giải) file word image marked

§2: HÀM SỐ BẬC NHẤT
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng y = ax + b ( a ¹ 0) .
2. Sự biến thiên

· TXĐ: D = 
· Hàm số số đồng biến khi a > 0 và nghịch biến khi a < 0
Bảng biến thiên

-¥

x

y = ax + b

+¥

x

-¥

+¥

y = ax + b

+¥

(a>0 )

+¥

(a<0 )

-¥

-¥

3. Đồ thị.
Đồ thị của hàm số y = ax + b ( a ¹ 0) là một đường thẳng có hệ số góc bằng a , ct trc

ổ b ử
honh ti A ỗỗ- ; 0ữữữ v trc tung ti B (0; b)
ỗố a ứ
Chỳ ý:

à Nếu a = 0 Þ y = b là hàm số hằng, đồ thị là đường thẳng song song hoặc trùng với
trục hồnh.

·

Phương trình x = a cũng là một đường thẳng(nhưng khơng phải là một hàm số) vng

góc với trục tọa độ và cắt tại điểm có hồnh độ bằng a.

· Cho đường thẳng d có hệ số góc k , d đi qua điểm M ( x0 ; y0 ) , khi đó phương trình

của đường thẳng d là: y - y0 = a ( x - x0 ) .

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
 DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ SỰ TƯƠNG GIAO
GIỮA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ .

1. Phương pháp giải.
55

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải


· Để xác định hàm số bậc nhất ta là như sau
Gọi hàm số cần tìm là y = ax + b , a ¹ 0 . Căn cứ theo giả thiết bài toán để thiết lập và giải
hệ phương trình với ẩn a , b , từ đó suy ra hàm số cần tìm.

· Cho hai đường thẳng d1 : y = a1 x + b1 và d2 : y = a2 x + b2 . Khi đó:

ïìa = a2
a) d1 và d2 trùng nhau Û ïí 1
;
ïïỵb1 = b2
ìïa = a2
b) d1 và d2 song song nhau Û ùớ 1
;
ùùợb1 ạ b2
c) d1 v d2 ct nhau a1 ¹ a2 . Và tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình

ïìï y = a1 x + b1
í
ïïỵ y = a2 x + b2

d) d1 và d2 vng góc nhau Û a1 .a2 = -1.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d . Tìm hàm số đó biết:
a) d đi qua A(1; 3), B(2; -1)

A. y = -4 x + 2

B. y = -2 x + 3

C. y = -4 x + 5

D. y = -4 x + 7

b) d đi qua C(3; -2) và song song với D : 3 x - 2 y + 1 = 0
A. y =

1
3
x2
2

B. y =

3
13
x2
2

C. y =

3
3
x2
2

D. y =

3
3
x+
2
2

c) d đi qua M(1; 2) và cắt hai tia Ox , Oy tại P , Q sao cho SDOPQ nhỏ nhất.
A. y = -2 x + 2

B. y = -2 x + 3

C. y = -2 x + 4

D. y = 2 x - 1

d) d đi qua N (2; -1) và d ^ d ' với d ' : y = 4 x + 3 .
1
1
A. y = - x 4
2

1
1
B. y = - x 4
3

1
1

C. y = - x +
4
2

D. y =

1
1
x4
2

Lời giải:
Gọi hàm số cần tìm là y = ax + b , a ¹ 0
a) Vì A Ỵ d và B Ỵ d nên ta có hệ phương trình
56
– Website chun đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải


ìï 3 = a + b
ìïa = -4
ïí
Û ïí
ïïỵ-1 = 2 a + b ïïỵ b = 7
Vậy hàm số cần tìm là y = -4 x + 7
ì
3
ï
ï
a=
ï

3
1
ï
2 (1)
b) Ta có D : y = x + . Vì d / /D nờn ớ
ù
1
2
2
ù
bạ
ù
ù
2
ù
ợ

Mt khỏc C ẻ d ị -2 = 3a + b (2)
ì
3
ï
ï
a=
ï
ï
2
Từ (1) và (2) suy ra í
ï
13
ï

b=ï
ï
2
ï
ỵ

Vậy hàm số cần tìm là y =

3
13
x2
2

ỉ b ử
c) ng thng d ct trc Ox ti P ỗỗ- ; 0÷÷ và cắt Oy tại Q (0; b) với a < 0, b > 0
ỗố a ữứ
1
1
b
b2
Suy ra SDOPQ = OP.OQ = . - . b = (3)
2
2
a
2a
Ta có M ẻ d ị 2 = a + b ị b = 2 - a thay vào (3) ta được

(2 - a)

2

SDOPQ = -

2a

2 a
=- - +2
a 2

Áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có

2 a
- - ³2
a 2

ỉ 2 ửữ ổ a ửữ
ỗỗ- ữ .ỗỗ- ữ = 2 ị S
4
DOPQ
ỗố a ữứ ỗố 2 ứữ

ỡù 2
ùù- = - a
ng thức xảy ra khi và chỉ khi í a
2 Û a = -2 ị b = 4
ùù
ùợ a < 0
Vy hàm số cần tìm là y = -2 x + 4 .
d) Đường thẳng d đi qua N (2; -1) nên -1 = 2a + b (4)
Và d ^ d ' Þ 4.a = -1 Û a = 57

1
1
thay vào (4) ta được b = - .
4
2

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải


1
1
Vậy hàm số cần tìm là y = - x - .
4
2

Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng d : y = x + 2 m , d ' : y = 3 x + 2 ( m là tham số)
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng d , d ' cắt nhau và tìm tọa độ giao điểm của chúng
A. M (2 m - 1; 3m - 1) B. M (m - 2; 3m - 2)
C. M (m + 1; 3m + 1)

D. M (m - 1; 3m - 1)

b) Tìm m để ba đường thẳng d , d ' và d " : y = -mx + 2 phân biệt đồng quy.
A. m = -1

B. m = 3

C. m = 1

D. m = 2

Lời giải:
a) Ta có ad = 1 ¹ ad ' = 3 suy ra hai đường thẳng d , d ' cắt nhau.
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d , d ' là nghiệm của hệ phương trình

ìï y = x + 2 m ìï x = m - 1
ïí
Û ïí
suy ra d , d ' cắt nhau tại M (m - 1; 3m - 1)
ïïỵ y = 3 x + 2
ïïỵ y = 3m - 1
b) Vì ba đường thẳng d , d ', d " đồng quy nên M Ỵ d " ta có

é m=1
3m - 1 = -m (m - 1) + 2 Û m2 + 2 m - 3 = 0 Û ê
ê m = -3
ë

· Với m = 1 ta có ba đường thẳng là d : y = x + 2, d ' : y = 3 x + 2, d " : y = -x + 2, phân

biệt và đồng quy tại M (0; 2) .

· Với m = -3 ta có d ' º d " suy ra m = -3 không thỏa mãn
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 3: Cho đường thẳng d : y = (m - 1) x + m và d ' : y = (m2 - 1) x + 6
a) Tìm m để hai đường thẳng d , d ' song song với nhau
A. m = 0 và m = 3

B. m = 0 và m = 2

C. m = 0 và m = 1 D. m = 0 và m = 4

b) Tìm m để đường thẳng d cắt trục tung tại A , d ' cắt trục hoành tại B sao cho tam
giác OAB cân tại O
A. m = ±4
58

B. m = ±2

C. m = ±3

D. m = ±1

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải


Lời giải:
a) Với m = 1 ta có d : y = 1, d ' : y = 6 do đó hai đường thẳng này song song với nhau
Với m = -1 ta có d : y = -2 x - 1, d ' : y = 6 suy ra hai ng thng ny ct nhau ti

ổ 7 ử
M ỗỗ- ; 6ữữữ
ốỗ 2 ứ

Vi m ạ 1 khi ú hai đường thẳng trên là đồ thị của hàm số bậc nhất nên song song
ìïé m = 1
ém = 1
ïìïm - 1 = m2 - 1 ïïïê
Û íêë m = 0 ờ

vi nhau khi v ch khi ớ
ờm = 0
ùù
ùù
mạ6
ở
ợ
ùùợ m ¹ 6
Đối chiếu với điều kiện m ¹ ±1 suy ra m = 0 .
Vậy m = 0 và m = 1 là giá trị cần tìm.

ì
ìx=0
ï y = (m - 1) x + m ï
b) Ta có tọa độ điểm A là nghiệm của hệ ï
Ûï
Þ A (0; m)
í
í
ï
ï
x=0
ï
ï
ỵy = m
ỵ
ì
ï y = (m2 - 1) x + 6 ì
ï(m2 - 1) x + 6 = 0
ï

Û
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ ï
(*)
í
í
ï
ï
y
=
0
y
=
0
ï
ï
ï
ï
ỵ
ỵ

Rõ ràng m = ±1 hệ phương trình (*) vơ nghiệm

ìï
ïïx = 6
ỉ 6
ư÷
;
0
Với m ạ 1 ta cú (*) ớ
ữ

1 - m2 ị B ỗỗỗ
ùù
ố 1 - m2 ữứ
ùợ y = 0
Do đó tam giác OAB cân tại O Û m =

6
1 - m2

é m - m3 = 6
Û m - m3 = 6 Û êê
3
êë m - m = -6
é m 3 - m + 6 = 0 é m = -2
Û êê 3
Ûê
(thỏa mãn)
ê m=2
m
m
6
=
0
ë
ëê
Vậy m = ±2 là giá trị cần tìm.
3. Bài tập luyện tập.
Bài 2.16: Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d . Tìm hàm số đó biết:
59

– Website chun đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải


a) d đi qua A(1;1), B(3; -2)
2
5
A. y = - x 3
3

2
5
B. y = - x +
3
3

2
2
C. y = - x +
3
3

2
5
D. y = - x +
5
3

b) d đi qua C(2; -2) và song song với D : x - y + 1 = 0
A. y = -x - 1

B. y = x - 4

C. y = x - 1

D. y = x - 2

c) d đi qua M(1; 2) và cắt hai tia Ox , Oy tại P , Q sao cho DOPQ cân tại O.
A. y = x + 13

B. y = x + 3

C. y = -x + 3

D. y = -x + 2

d) d đi qua N (1; -1) và d ^ d ' với d ' : y = -x + 3 .
A. y = x - 3

B. y = 2 x - 2

C. y = 2 x - 3

D. y = x - 2

Lời giải:
Bài 2.16: Gọi hàm số cần tìm là y = ax + b , a ạ 0
a) Vỡ A ẻ d và B Ỵ d nên ta có hệ phương trình
ìï
ïïa = - 2
ìï 1 = a + b

ï
3 Þ y =-2 x+ 5
ïí
Ûí
ïỵï3 = -2 a + b ïï
5
3
3
ïï b =
3
ïỵ

ìïa = 1
b) Ta có D : y = x + 1 . Vì d / /D nên ïí
ïïỵb ạ 1
Mt khỏc C ẻ d ị -2 = 2 a + b Þ b = -4
Vậy hàm số cần tìm là y = x - 4

ỉ b ư
c) Đường thng d ct trc Ox ti P ỗỗ- ; 0ữữữ và cắt Oy tại Q (0; b) với a < 0, b > 0
ỗố a ứ
ộ b = 0(l)
b
Ta cú OP = OQ Û - = b Û b (a + 1) = 0 Û ê
ê a = -1
a
ë
Ta có M ẻ d ị 2 = a + b ị b = 3
Vậy hàm số cần tìm là y = -x + 3 .
60

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải


d) Đường thẳng d đi qua N (1; -1) nên -1 = a + b
Và d ^ d ' Þ a = 1 suy ra b = -2 .
Vậy hàm số cần tìm là y = x - 2 .
Bài 2.17: Tìm m để ba đường thẳng d : y = 2 x , d ' : y = -x + 6, d '' : y = m2 x + 5m + 3 phân
biệt đồng quy.
A. m =

-5 ± 3
4

B. m =

-5 ± 23
4

C. m =

-5 ± 33
4

D. m =

5 ± 33
2

Lời giải:

Bài 2.17: Tọa độ giao điểm(nếu có) của hai đường thẳng d , d ' là nghiệm của hệ phương

ì
ì
ï y = 2x
ïx = 2
Ûï
trình ï
suy ra d , d ' cắt nhau tại M (2; 4)
í
í
ï
ï y = -x + 6 ï
ïy = 4
ỵ
ỵ
Vì ba đường thẳng d , d ', d " đồng quy nên M Î d " ta có
4 = 2 m 2 + 5m + 3 Þ 2 m 2 + 5m - 1 = 0 Û m =

Dễ thấy với m =
Vậy m =

-5 ± 33
4

-5 ± 33
ba đường thẳng đó phân biệt và đồng quy
4

-5 ± 33

là giá trị cần tìm..
4

 DẠNG TOÁN 2: XÉT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SƠ BẬC
NHẤT.
1. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau
a) y = 3 x + 6
1
3
b) y = - x +
2
2

Lời giải:
a) TXĐ: D =  , a = 3 > 0 suy ra hàm số đồng biến trên 
Bảng biến thiên

61

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải


y

-¥

x

+¥

+¥

3

y = 3x + 6

-¥

x

1

-2 -1 O

Đồ thị hàm số y = 3 x + 6 đi qua A (-2; 0) , B (-1; 3)
1
b) TXĐ: D =  , a = - < 0 suy ra hàm số nghịch biến trên 
2

y

Bảng biến thiên
x

-¥

1
3
y =- x+
2

2

+¥

3/2

+¥
O

1

3

x

-¥

1
3
Đồ thị hàm số y = - x + đi qua A (3; 0) ,
2
2

ổ 3ử
B ỗỗ0; ữữữ
ỗố 2 ứ

Vớ d 2. Cho cỏc hàm số : y = 2 x - 3, y = -x - 3, y = -2 .
a) Vẽ đồ thị các hàm số trên
b) Dựa vào đồ thị hãy xác định giao điểm của các đồ thị hàm số đó

Lời giải:
a) Đường thẳng y = 2 x - 3 i qua cỏc im

y

ổ3 ử
A (0; -3) , B ỗỗ ; 0ữữữ
ốỗ 2 ứ

ng thng y = -x - 3 đi qua các điểm
A (0; -3) , C (-3; 0)

Đường thẳng y = -2 song song với trục hoành và cắt
trục tung tại điểm có tung độ bằng -2
62

3
2

-3

-1 O

1

-2
-3

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

x


b) Đường thẳng y = 2 x - 3, y = -x - 3 cắt nhau tại A (0; -3) , Đường thẳng

y = -x - 3, y = -2 cắt nhau tại A ' (-1; -2) , Đường thẳng y = 2 x - 3, y = -2 cắt nhau

ổ1
ử
ti A " ỗỗ ; -2ữữữ .
ỗố 2
ứ

Vớ d 3: Cho đồ thị hàm số có đồ thị (C ) (hình

y

vẽ)

3

a) Hãy lập bảng biến thiên của hàm số trên
é-3; 3ù
ë
û

2
1

b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

trên éë-4; 2ùû

-4 -3 -2 -1 O
-1

1

2

3 4 x

-2

Lời giải:

-3

a) Bảng biến thiên của hàm số trên éë-3; 3ùû

x

-3

-2

2

1

3

2

y

b) Dựa vào đồ thị hàm số đã cho ta có

max = 3 khi và chỉ khi x = -4
é-4;2ù
ë
û

1
-2

min
= 0 khi và chỉ khi x = 2
é
ù
ë-4;2û

2. Bài tập luyện tập.
Bài 2.18: Cho các hàm số : y = -2 x + 3, y = x + 2, y =

3
.
2

a) Vẽ đồ thị các hàm số trên
b) Dựa vào đồ thị hãy xác định giao điểm của các đồ thị hàm số đó

Lời giải:

63

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải


Bài 2.18: a) Đồ thị hàm số y = -2 x + 3 đi qua

ỉ3 ư
A (0; 3) , B çç ; 0÷÷÷
çè 2 ø

y
3
2

Đồ thị hàm số y = x + 2 đi qua A ' (0; 2) , B ' (-2; 0)
Đồ thị hàm số y =

ỉ 3ư
3
đi qua M ỗỗ0; ữữữ v song song vi trc
ỗố 2 ø
2

-2

O

x

hồnh

ỉ1 7ư
b) Giao điểm của hai đồ thị hàm số y = -2 x + 3, y = x + 2 l M1 ỗỗ ; ữữ
ỗố 3 3 ữứ
Giao im của hai đồ thị hàm số y = -2 x + 3, y =
Giao điểm của hai đồ thị hàm số y = x + 2, y =

ỉ 3 3ư
3
là M 2 ỗỗ ; ữữ
ỗố 4 2 ữứ
2

ổ 1 3ử
3
l M 2 ỗỗ- ; ữữữ
ỗố 2 2 ứ
2

Bi 2.19: Cho đồ thị hàm số có đồ thị (C ) (hình vẽ)

y

a) Hãy lập bảng biến thiên của hàm số trên éë-3; 3ùû

3
2

b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên éë-2; 2ùû

-3 -2 -1 O

1

2

x

3

Lời giải:
Bài 2.19:
a) Bảng biến thiên của hàm số
trên éë-3; 3ùû

-3

x

-3

-1

2

0

3
2

2

0

y

0

64

3

-3

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải


b) Dựa vào đồ thị hàm số đã cho ta có

max = 2 khi và chỉ khi x = 0
é-2;2ù
ë
û

min = -2 khi và chỉ khi x = 2
é
ù

ë-2;2û

 DẠNG TOÁN 3: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI
y = ax + b .
1. Phương pháp giải.
Vẽ đồ thị (C ) của hàm số y = ax + b ta làm như sau
Cách 1: Vẽ (C1 ) là đường thẳng y = ax + b với phần đồ thị sao cho hoành độ x thỏa mãn
x ³-

b
b
, Vẽ (C2 ) là đường thẳng y = -ax - b lấy phần đồ thị sao cho x < - . Khi đó
a
a

(C ) là hợp của hai đồ thị (C1 ) và (C2 ) .

Cách 2: Vẽ đường thẳng y = ax + b và y = -ax - b rồi xóa đi phần đường thẳng nằm
dưới trục hồnh. Phần đường thẳng nằm trên trục hồnh chính là (C ) .
Chú ý:

· Biết trước đồ thị (C ) : y = f ( x) khi đó đồ thị (C1 ) : y = f ( x ) là gồm phần :
- Giữ nguyên đồ thị (C ) ở bên phải trục tung;
- Lấy đối xứng đồ thị (C ) ở bên phải trục tung qua trục tung.
65

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải


· Biết trước đồ thị (C ) : y = f ( x) khi đó đồ thị (C2 ) : y = f ( x) là gồm phần:

- Giữ nguyên đồ thị (C ) ở phía trên trục hồnh
- Lấy đối xứng đồ thị (C ) ở trên dưới trục hồnh và lấy đối xứng qua trục hồnh.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. Vẽ đồ thị của các hàm số sau

ïì2 x khi x ³ 0
a) y = ï
.
í
ïïỵ-x khi x < 0

b) y = -3 x + 3 .

Lời giải:

y

y

a) Với x ³ 0 đồ thị hàm số y = 2 x là

2

phần đường thẳng đi qua hai điểm

O (0; 0) , A (1; 2) nằm bên phải của đường

thẳng x = 0 .

-2

O

x

1

O

x

1

Với x < 0 đồ thị hàm số y = -x là phần đường thẳng đi qua hai điểm
B (-1;1) , C (-2; 2) nằm bên trái của đường thẳng x = 0 .

b) Vẽ hai đường thẳng y = -3 x + 3 và y = 3 x - 3 và lấy phần đường thẳng nằm trên
trục hồnh
Ví dụ 2: Vẽ đồ thị của các hàm số sau
a) y = x - 2

b) yy = x - 2
Lời giải:

ì
ï x - 2 khi x ³ 0
a) Cách 1: Ta có y = ï
í
ï
ï

ỵ-x - 2 khi x < 0
Vẽ đường thẳng y = x - 2 đi qua hai điểm

A (0; -2) , B (2; 0) và lấy phần đường thẳng bên

phải của trục tung

-2

O

1

2

-2

Vẽ đường thẳng y = -x - 2 đi qua hai điểm A (0; -2) , C (-2; 0) và lấy phần đường
thẳng bên trái của trục tung.
66

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

x


Cách 2: Đường thẳng d : y = x - 2 đi qua
A (0; -2) , B (2; 0) .

y

Khi đó đồ thị của hàm số y = x - 2 là phần
đường thẳng d nằm bên phải của trục tung và

2

phần đối xứng của nó qua trục tung
b) Đồ thị y = x - 2 là gồm phần:
- Giữ nguyên đồ thị hàm số y = x - 2 ở phía trên

-2

O

1

x

2

trục hồnh
- Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y = x - 2 ở phía dưới trục hồnh và lấy đối xứng
qua trục hồnh.
Ví dụ 3: Cho đồ thị (C ) : y = 3 x - 2 - 2 x - 6
a) Vẽ (C )
b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên với x Ỵ éë-3; 4ùû
A. max y = 4
é-3;4ù
ë
û

B. min y = -2
é-3;4ù
ë
û

C.Cả A, B đều đúng

D.Cả A, B

đều sai
Lời giải:
ì
x
khi x ³ 3
ï
ï
ï
ï
a) Ta có y = í5 x - 12 khi 2 < x < 3
ï
ï
khi x £ 2
ï
ï
ỵ-x

Vẽ đường thẳng y = x đi qua hai điểm O (0; 0) , A (1;1)
và lấy phần đường thẳng bên phải của đường thẳng
x=3

Vẽ đường thẳng y = 5 x - 12 đi qua hai điểm

B (3; 3) , C (2; -2) và lấy phần đường thẳng nằm giữa

của hai đường thẳng x = 2, x = 3 .

y

3
2
1
-3 -2 -1 O
-1

1

2

3

-2
-3

Vẽ đường thẳng y = -x đi qua hai điểm O (0; 0) , D (-1; -1) và lấy phần đường thẳng
bên trái của đường thẳng x = 2
67

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

x


b) Dựa vào đồ thị hàm số ta có

max y = 4 khi và chỉ khi x = 4
é-3;4ù
ë
û

min y = -2 khi và chỉ khi x = 2
é-3;4ù
ë
û

Ví dụ 4: Lập bảng biến thiên của các hàm số sau
a) y = x 2 + x 2 - 2 x + 1 .
b) y = x 2 + 4 x + 4 - x + 1 .
Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các hàm số đó trên éë-2; 2ùû
Lời giải:
ì
2 x - 1 khi x ³ 1
ï
ï
ï
ï
khi 0 < x < 1
a) Ta có y = x + x - 1 = í1
ï
ï

ï
ï
ỵ1 - 2 x khi x £ 0

Bảng biến thiên
x

-¥

0

1

+¥

+¥
+¥

y

1

1

Ta có y (-2) = 5, y (2) = 3
Dựa vào bảng biến thiên ta có

max y = 5 khi và chỉ khi x = -2
é-2;2ù
ë

û

min y = 1 khi và chỉ khi x Î éë 0;1ùû
é-2;2ù
ë
û

68

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải


khi x ³ -1
ïìï1
ïï
b) Ta có y = x + 2 - x + 1 = í2 x + 3 khi - 2 < x < -1
ïï
khi x £ -2
ïïỵ-1

Bảng biến thiên
x

-2

-¥
+¥

-1
1

1

y

-1

-1

Ta có y (-2) = -1, y (2) = 1
Dựa vào bảng biến thiên ta có

max y = 1 khi và chỉ khi x £ -2
é-2;2ù
ë
û

min y = 1 khi và chỉ khi x ³ -1
é-2;2ù
ë
û

3. Bài tập luyện tập
Bài 2.20: Vẽ đồ thị hàm số y = 2 x - 3. Từ đó suy ra đồ thị của:

(C1 ) : y = 2 x - 3,

(C2 ) : y = 2 x - 3 ,

(C3 ) : y = 2 x - 3

Lời giải:
Bài 2.20: Đồ thị hàm số y = 2 x - 3 đi qua A (0; -3) , B (2;1) ta gọi là (C )

· Khi đó đồ thị hàm số (C1 ) : y = 2 x - 3 là phần được xác định như sau
Ta giữ nguyên đồ thị (C ) ở bên phải trục tung; lấy đối xứng đồ thị (C ) ở phần bên phải
trục tung qua trục tung.

· (C2 ) : y = 2 x - 3 là phần đồ thị (C ) nằm phái trên trục hoành và đồ thị lấy đối xứng

qua trục hoành của phần nằm trên trục hoành của (C ) .

69

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải


· (C3 ) : y = 2 x - 3 là phần đồ thị (C1 ) nằm phái trên trục hoành và đồ thị lấy đối xứng

qua trục hoành của phần nằm trên trục hoành của (C1 ) .

y

y

y

1

1

3

O

2
(C)

x

O

2

x
-2 -1 O

1

2

x

-3

Bài 2.21: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau
y = x2 - 4x + 4 - 3 x2 - 2x + 1

Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các hàm số đó trên éë 0; 2ùû .
A.

B.

C.

D.

Lời giải:
Bài 2.21: Ta có y = x - 2 - 3 x - 1
ì-2 x + 1 Khi x ³ 2
ï
ï
ï
=ï
í-4 x + 5 Khi 1 £ x < 2
ï
ï
ï
ï
ỵ2 x - 1 Khi x < 1

y

Bảng biến thiên

O
-1

x

-¥

1

1

2

+¥

1
y

2

-3

-3

-¥
70

1

-¥

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

x

max y = 1 khi và chỉ khi x = 1
é0;2ù
ë û

min y = -3 khi và chỉ khi x = 2 .
é0;2ù
ë û

Bài 2.22: a) Lập bảng biến thiên của hàm số y =

x2 + 4x + 4
- x-2
x+2

b) Biện luận số giao điểm của đồ thị hàm số trên với đường thẳng y = m theo m.
A.

B.

C.

D.

Lời giải:
ì
-x + 3 Khi x ³ 2
ï
ï
ï

ï
- x - 2 = íx - 1 Khi - 2 < x < 2
Bài 2.22: a) Ta có y =
ï
x+2
ï
ï
ï
ỵx - 3 Khi x < -2
x+2

Bảng biến thiên
x

-2

-¥

2

+¥

+¥
y

1

-¥

-¥

b) Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y =
nó với đường thẳng y = m như sau:

-¥

x2 + 4x + 4
- x - 2 ta có số giao điểm của
x+2

Với m > 1 thì có 1 giao điểm
Với m = 1 thì có hai giao điểm
Với m < 1 thì có ba giao điểm

71

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải


 DẠNG TOÁN 4: ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ BẬC NHẤT TRONG CHỨNG
MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT.
1. Phương pháp giải.
Cho hàm số f ( x) = ax + b và đoạn éëa ; b ùû Ì  . Khi đó, đồ thị của

y

hàm số y = f(x) trên [a ; b ] là một đoạn thẳng nên ta có một số

f()

tính chất:
 max f(x) = max{f(); f(},
éa ,b ù
ë
û

f()

 min f(x) = min{f(); f(},
éa ,b ù
ë
û



O

 max f ( x) = max { f (a ) ; f (b ) } .
éa ,b ù
ë
û

Áp dụng các tính chất đơn giản này cho chúng ta
cách giải nhiều bài toán một cách thú vị, ngắn gọn, hiệu quả.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Cho hàm số f ( x) = 2 x - m . Tìm m để giá trị lớn nhất của f ( x) trên éë1; 2ùû đạt
giá trị nhỏ
nhất.
A. m = -3

B. m = 2

C. m = 3

D. m = -2

Lời giải:
Dựa vào các nhận xét trên ta thấy max f ( x) chỉ có thể đạt được tại x = 1 hoặc x = 2 .
[1; 2]

Như vậy nếu đặt M = max f ( x) thì M ³ f (1) = 2 - m và M ³ f (2) = 4 - m .
[1; 2]

Ta có
M³

(2 - m) + ( m - 4)
f (1) + f (2) 2 - m + 4 - m
=
³
=1.
2
2
2

ì
ï 2-m = 4-m
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ï
Û m=3.
í

ï
(2
m
)(
m
4)
³
0
ï
ỵ
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 1, đạt được chỉ khi m = 3.

72

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải



x


Ví dụ 2: Cho hàm số y =

2 x - x 2 - 3m + 4 . Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số y là

nhỏ nhất.
A. m = -3

B. m = -

3
2

D. m =

C. m = 3

3
2

Lời giải:
Gọi A = max y . Ta đặt t = 2 x - x 2 Þ t = 1 - ( x - 1) do đó 0 £ t £ 1
2

Khi đó hàm số được viết lại là y = t - 3m + 4 với t Ỵ éë 0;1ùû suy ra
A = max t - 3m + 4 = max { -3m + 4 , 5 - 3m + } ³
[0 ,1]

-3 m + 4 + 5 - 3 m
2

Áp dụng BĐT trị tuyệt đối ta có
-3 m + 4 + 5 - 3 m = 3 m - 4 + 5 - 3 m ³ 1
1
3
Do đó A ³ . Đẳng thức xảy ra m = .
2
2

Vậy giá trị cần tìm là m =

3
.
2

Ví dụ 3: Cho a , b , c thuộc éë 0; 2ùû . Chứng minh rằng: 2 (a + b + c) - (ab + bc + ca) £ 4
Lời giải:
Viết bất đẳng thức lại thành (2 - b - c) a + 2 (b + c) - bc - 4 £ 0
Xét hàm số bậc nhất f (a) = (2 - b - c) a + 2 (b + c) - bc - 4 với ẩn a Ỵ éë 0; 2ùû
Ta có: f (0) = 2 (b + c) - bc - 4 = -(2 - b)(2 - c) £ 0
f (2) = (2 - b - c) 2 + 2 (b + c) - bc - 4 = -bc £ 0

Suy ra f (a) £ max { f (0) ; f (2)} £ 0 đpcm.
Ví dụ 4: Cho các số thực không âm x , y , z thoả mãn x + y + z = 3 .
Chứng minh rằng x 2 + y 2 + z 2 + xyz ³ 4 .
Lời giải:
73

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải


Bất đẳng thức t\ưng đương với ( y + z)2 - 2 yz + x 2 + xyz ³ 4
Û (3 - x)2 + x 2 + yz ( x - 2) - 4 ³ 0 Û yz( x - 2) + 2 x 2 - 6 x + 5 ³ 0
2
é (3 - x)2 ù
ỉ y + z ư÷
(3 - x)2
ú.
÷÷ =
Đặt t = yz , do yz ³ 0 v yz ỗỗ

nờn t ẻ ờ 0;
ờ
ỳ
ỗố 2 ÷ø
4
4
ë
û

khi đó VT(2) là hàm số bậc nhất của biến t , f (t ) = ( x - 2)t + 2 x 2 - 6 x + 5 .
2ử
ổ
ỗỗ(3 - x) ÷÷
÷÷ ³ 0 .
Để chứng minh bất đẳng thức (2) ta sẽ chứng minh f (0) ³ 0 v f ỗỗ
ỗỗố 4 ữữứ

ổ
3ử
1
Tht vy, ta cú f (0) = 2 x - 6 x + 5 = 2 çç x - ÷÷÷ + ³ 0 và
çè
2ø
5
2

2

2ư
ỉ

çç(3 - x) ÷÷ 1
2
÷÷ = ( x - 1) ( x + 2) ³ 0 nên bất đẳng thức được chứng minh.
f çç
ççè 4 ÷÷ø 4

Đẳng thức xảy ra Û x = y = z = 1 .
3. Bài tập luyện tập.

ìx , y , z ³ 0
ï
7
Bài 2.23: Cho ï
. Chứng minh 0 £ xy + yz + zx - 2 xyz £
.
í
ï
27
ï
ỵx + y + z = 1
Lời giải:
Bài 2.23: Từ giả thiết ta có x , y , z Î éë 0; 1ùû
Þ xy + yz + zx - 2 xyz = xy + yz(1 - x) + zx(1 - y ) ³ 0 .

Củng từ giả thiết ta suy ra yz £
xy + yz + zx - 2 xyz £

( y + z)2 (1 - x)2
=
. Mặt khác ta lại có

4
4

7
7
Û f ( yz) = (1 - 2 x) yz + x(1 - x) - £ 0 (2).
27
27

Khi đó ta thấy rằng
Nếu x =

74

1
1
khi đó BĐT (2) thành £ 0 (hiển nhiên đúng).
2
108

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải


Nếu x ¹

1
thì f ( yz) là hàm số bậc nhất. Do đó để chứng minh f ( yz) £ 0 ta ch cn
2

ỡ f (0) Ê 0

ù
ù
2
ù
ổ
2ự
ù
1 ửữ
1
7
ộ
ù
ỗ
< 0 và
chứng minh í ê (1 - x) ú
. Dễ thấy f (0) = x(1 - x) - = -ỗ x - ữữ ù
fờ
2 ứ 108
27
ốỗ
ỳ Ê0
ù
ù
ờ 4 ỳ
ù
ỳỷ
ù
ợ ờở
2ự
2

ộ
(1 - x)
2
7
1
ê (1 - x) ú
fê
+ x(1 - x) - = (6 x + 1)(3x - 1) £ 0 . Vậy là trong hai
ú = (1 - 2 x).
4
27
108
ê 4 ú
ëê
ûú

trường hợp ta kết luận f ( yz) £ 0 . Ta đã giải xong bài tốn.

ïìx , y , z ³ 0
Bài 2.24: Cho ï
. Chứng minh x 2 + y 2 + z 2 + xyz ³ 4 .
í
ïïỵx + y + z = 3
Lời giải:
( y + z)
(3 - x)
=
Bài 2.24: Từ giả thiết ta có x , y , z Ỵ éë 0; 3ùû và yz £
. Mặt khác ta thấy
4

4
2

2

x 2 + y 2 + z 2 + xyz ³ 4 Û x 2 + ( y + z) - 2 yz + xyz - 4 ³ 0 Û x 2 + (3 - x) - 2 yz + xyz - 4 ³ 0
2

2

Û f ( yz) = ( x - 2) yz + 2 x 2 - 6 x + 5 ³ 0 (3).

Nếu x = 2 thì BĐT (3) sẻ thành 1 ³ 0 (hiển nhiên đúng).
Nếu x ¹ 2 thì f ( yz) là hàm số bậc nhất. Do đó để chứng minh f ( yz) ³ 0 ta chỉ cần
ì
f (0) ³ 0
ù
ù
2
ù
ổ
2ự
ù
3 ửữ
1
ộ
2
ù
ỗ
chng minh ớ ờ (3 - x) ỳ

. D thấy f (0) = 2 x - 6 x + 5 = 2 ỗ x - ữ + > 0 v
ỗ
ữ
ù
fờ
2ứ
2
ố
ỳ 0
ù
ù
4
ờ
ỳ
ù
ỳỷ
ù
ợ ờở
2ự
2
ộ
( 3 - x)
2
1
ờ ( 3 - x) ú
fê
+ 2 x 2 - 6 x + 5 = ( x + 2) ( x - 1) ³ 0 . Vậy là trong hai trường
ú = ( x - 2).
4
4

ê 4 ú
êë
úû

hợp ta kết luận f ( yz) ³ 0 .

ìx , y , z ³ 0
ï
1
Bài 2.25: Cho ï
. Chứng minh x 3 + y 3 + z 3 + 6 xyz ³ .
í
ï
4
ï
ỵx + y + z = 1
Lời giải:
75

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải


Bài 2.25: Từ giả thiết ta có x , y , z Ỵ éë 0; 1ùû và yz £

( y + z)2 (1 - x)2
=
. Mặt khác ta thấy
4
4

1
1
Û x 3 + ( y + z)3 - 3 yz( y + z) + 6 xyz - ³ 0
4
4
1
Û x 3 + (1 - x)3 - 3 yz(1 - x) + +6 xyz - ³ 0
4
x 3 + y 3 + z 3 + 6 xyz ³

1
Û f ( yz) = (3 x - 1) yz + x 2 - x + ³ 0 (4).
4

Nếu x =

1
1
thì BĐT (4) sẻ thành
³ 0 (hiển nhiên đúng).
3
36

Nếu x ¹

1
thì f ( yz) là hàm số bậc nhất. Theo TC2 thì để chứng minh f ( yz) ³ 0 ta chỉ
3

ì f (0) ³ 0

ù
ù
2
ù
2ự
ù
1 ửữ
1 ổỗ
ộ
2
ù
cn chng minh cho ớ ờ (1 - x) ú
. Dễ thấy f (0) = x - x + = ỗ x - ữữ 0 v
ù
fờ
2ứ
4 ốỗ
ỳ ³0
ï
ï
4
ê
ú
ï
úû
ï
ỵ êë
2ù
2
é

(1 - x)
1 3 ỉ
1ư
ê (1 - x) ú
fê
+ x 2 - x + = x ỗỗ x 2 - x + ÷÷ ³ 0 (đúng vì 0 £ x £ 1 và
ú = (3 x - 1).
4
4 4 çè
3 ø÷
ê 4 ú
ëê
ûú

1 ỉ
1ư
1
x - x + = çç x - ÷÷ + > 0 ). Vậy là trong hai trường hợp ta kết luận f ( yz) ³ 0 .
ỗ
ữ
3 ố
2 ứ 12
2

2

Bi 2.26: Cho 0 Ê a , b , c £ 1 . Chứng minh a 2 + b2 + c 2 £ a 2 b + b2 c + c 2 a + 1 .
Lời giải:
Bài 2.26: Ta có a 2 + b2 + c 2 £ a 2 b + b2 c + c 2 a + 1 Û (b - 1)a 2 + b2 c + c 2 a + 1 - b2 - c 2 ³ 0 .
Vì 0 £ a £ 1 Þ a ³ a 2 Þ

(b - 1)a 2 + b2 c + c 2 a + 1 - b2 - c 2 ³ (b - 1)a 2 + b2 c + c 2 a 2 + 1 - b2 - c 2 =
= (c 2 + b - 1) a 2 + b2 c + 1 - b2 - c 2 = f ( a 2 ) . Ta chỉ cần chứng minh f ( a 2 ) ³ 0 (5) là được.
Nếu c 2 + b - 1 = 0 Þ c 2 = 1 - b khi đó BĐT sẻ trở thành b2 c + (b - b2 ) ³ 0 (đúng vì
0 £ b , c £ 1 ).

76

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải


Nếu c 2 + b - 1 ¹ 0 thì ta có f ( a 2 ) là hàm số bậc nhất. Do đó để chứng minh

ìï f (0) ³ 0
f ( a 2 ) ³ 0 ta chỉ cần chứng minh cho ïí
. Dễ thấy f (0) = b2 c + 1 - b2 - c 2
ïïỵ f (1) ³ 0

= (1 - c) (1 + c - b2 ) = (1 - c ) éê c + (1 - b2 )ùú ³ 0 (đúng vì 0 £ b , c £ 1 ) và
ë
û

f (1) = b2 c + (b - b2 ) ³ 0 (đúng vì 0 £ b , c £ 1 ). Vậy là trong hai trường hợp ta kết luận

f ( a 2 ) ³ 0 . Ta đã giải xong bài tốn.

ìx , y , z ³ 0
ï
4
Bài 2.27: Cho ï

. Chứng minh x 2 y + y 2 z + z 2 x £
.
í
ï
x
+
y
+
z
=
1
27
ï
ỵ
Lời giải:
Bài 2.27: Giả sử x = min {x , y , z} thì từ giả thiết của bài toán ta suy ra 0 £ x £
khác ta lại có x 2 y + y 2 z + z 2 x £

Þ yx 2 + y 2 z + z 2 x -

1
. Mặt
3

4
4
1
1
Û yx 2 + y 2 z + z 2 x - £ 0 . Vì 0 £ x £ Þ x 2 £ x
27

27
3
3

ư
4
1
4 ỉ1
4
£ yx + y 2 z + z 2 x - = ỗỗ y + z 2 ữữ x + y 2 z - = f ( x) . Bây giờ ta
ỗ
ữ
27 3
27 ố 3
27
ứ

s chng minh f ( x) Ê 0 (6) là được.
Nếu

1
4
y + z 2 = 0 Þ y = z = 0 thì BĐT (6) thành - £ 0 (hiển nhiên đúng).
3
27

Nếu

1
y + z 2 ¹ 0 thì f ( x) là hàm số bậc nhất . Theo TC2 thì để chứng minh f ( x) £ 0 ta

3

ìï f (0) £ 0
ïï
4
chỉ cần chứng minh cho ùớ ổỗ 1 ửữ
. D thy f (0) = y 2 z - ; vì x = 0 nên từ gi thit
ùù f ỗ ữữ Ê 0
27
ùùợ ỗố 3 ứ
1
1 é 2 ( y + z) ùú
4
Þ y + z = 1 . Theo BĐT Cơsi ta có y 2 z = .y.y.(2 z) £ . êê
=
ú
2
2 ê
3
27
úû
ë
3

Þ y2 z -

77

ỉ 1ư
1

1
4
4
1
£ 0 Þ f (0) £ 0 và f çç ÷÷÷ = y 2 z + y + z 2 - ; vì x = nên từ giả thiết ta
ỗố 3 ứ
9
3
27
27
3

Website chuyờn thi, ti liu file word mới nhất có lời giải


2
2
suy ra y + z = Þ z = - y ị
3
3

ổ 1ử
ổ2
ử 1
ử
1ổ2
4
1
f ỗỗ ữữ = y 2 ỗỗ - yữữ + y + ỗỗ - yữữ - = -y 3 + y 2 - y =
ỗố 3 ữứ

ỗố 3
ỗ
ữứ 9
ữ
3ố3
3
ứ 27
2

2
ộổ
ổ 2
1 ửữ
1 ửữ
1ự
ờ
ỗ
ỗ
= -y ỗ y - y + ữữ = -y ờỗ y - ữữ + úú £ 0 (đúng vì y ³ 0 ). Vậy l trong hai trng hp ta
ỗố
3ứ
2 ứ 12 ỳ
ờởỗố
ỷ

kt lun f ( x) £ 0 . Ta đã giải xong bài toán.
Bài 2.28: Chứng minh rằng với "m £ 1 thì x 2 - 2(3m - 1)x + m + 3 0 vi "x ẻ ộở1; + Ơ) .
Li giải:
Bài 2.28: Ta có x 2 - 2(3m - 1)x + m + 3 ³ 0 Û f ( m) = (-6 x + 1)m + x 2 + 2 x + 3 ³ 0 . Ta thấy
f ( m) là hàm số bậc nhất có hệ số của m là -6 x + 1 < 0 (do x Ỵ éë1; + ¥) ). Theo TC1 thì

f ( m) là hàm nghịch biến Þ f ( m) ³ f (1) với "m £ 1 . Tức là ta có

x 2 - 2(3m - 1)x + m + 3 ³ ( x - 2)2 ³ 0 (đúng với "x Ỵ éë1; + Ơ) ).
Vy l ta gii quyt xong bi toỏn.
Đ3: HÀM SỐ BẬC HAI
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Định nghĩa: Hàm số bậc hai là hàm số có dạng y = ax 2 + bx + c (a ¹ 0) .
2. Sự biến thiên

· TXĐ: D = 

ỉ b
ư
ỉ
bư
· Khi a > 0 hm s ng bin trờn ỗỗ- ; +Ơữữ , nghch bin trờn ỗỗ-Ơ; - ữữ v cú giỏ
ỗố 2 a
ỗố
2 a ữứ
ứữ
tr nh nht l -

D
b
khi x = - . Khi a < 0 hàm số đồng bin trờn
4a
2a

ổ b
ử

D
b
bin trờn ỗỗ- ; +Ơữữữ v cú giỏ tr ln nht l khi x = - .
4a
2a
ốỗ 2 a
ứ

ổ
ử
ỗỗ-Ơ; - b ữữ , nghch
ỗố
2 a ữứ

Bng bin thiờn
x

78

-Ơ

-

b
2a

+Ơ

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

y = ax 2 + bx + c

+¥

+¥

(a>0 )

x

-¥

y = ax 2 + bx + c

D
4a

-

(a<0 )

b
2a

+¥

D
4a

-¥

-¥

3. Đồ thị.
Khi a > 0 đồ thị hàm số bậc hai bề lõm hướng lên trên và có tọa độ đỉnh là
ỉ b
Dư
I çç- ; - ÷÷÷
çè 2 a 4 a ø
Khi a < 0 đồ thị hàm số bậc hai bề lõm hướng lên trên và có tọa độ đỉnh là
ỉ b
Dư
I çç- ; - ÷÷÷
çè 2 a 4 a ø
Đồ thị nhận đường thẳng x = -

b
làm trục đối xứng.
2a

y

y



O

b

2a

1



x

a0

O

b
2a

1

x

a0

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
 DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH HÀM SỐ BẬC HAI .
1. Phương pháp giải.
Để xác định hàm số bậc hai ta là như sau
Gọi hàm số cần tìm là y = ax 2 + bx + c , a ¹ 0 . Căn cứ theo giả thiết bài toán để thiết lập
và giải hệ phương trình với ẩn a , b , c , từ đó suy ra hàm số cần tìm.
79

– Website chun đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải