HÀM số hàm số bậc NHẤT và bậc HAI (lý thuyết + bài tập có lời giải) file word image marked

CHƯƠNG II: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI
§1: ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Định nghĩa
 Cho D è , D ạ ặ . Hm số f xác định trên D là một qui tắc đặt tương ứng mỗi số x Ỵ D với
một và chỉ một số y Ỵ  .

 x được gọi là biến số (đối số), y được gọi là giá trị của hàm số f tại x .
Kí hiệu: y = f ( x) .

 D được gọi là tập xác định của hàm số f .
2. Cách cho hàm số
 Cho bằng bảng

 Cho bằng biểu đồ

 Cho bằng công thức y = f ( x) .

Tập xác định của hàm số y = f ( x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f ( x) có nghĩa.
3. Đồ thị của hàm số
Đồ thị của hàm số y = f ( x) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm M ( x; f ( x)) trên mặt

phẳng toạ độ với mọi x Ỵ D .
Chú ý: Ta thường gặp đồ thị của hàm số y = f ( x) là một đường. Khi đó ta nói y = f ( x) là phương
trình của đường đó.
4. Sư biến thiên của hàm số
Cho hàm số f xác định trên K .

 Hàm số y = f ( x) đồng biến (tăng) trên K nếu "x1 , x2 Ỵ K : x1 < x2 Þ f ( x1 ) < f ( x2 )

 Hàm số y = f ( x) nghịch biến (giảm) trên K nếu "x1 , x2 ẻ K : x1 < x2 ị f ( x1 ) > f ( x2 )

5. Tính chẵn lẻ của hàm số
Cho hàm số y = f ( x) có tập xác định D .

 Hàm số f được gọi là hàm số chẵn nếu với "x Ỵ D thì -x Ỵ D và f ( – x) = f ( x) .
 Hàm số f được gọi là hàm số lẻ nếu với "x Ỵ D thì -x Î D và f ( – x) = - f ( x) .
Chú ý:

+ Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
+ Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.
6: Tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ
Định lý: Cho (G) là đồ thị của y = f ( x) và p > 0, q > 0 ; ta có
Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị thì được đồ thị y = f ( x) + q
Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị y = f ( x) – q
Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị thì được đồ thị y = f ( x + p)

42

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải


Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị thì được đồ thị y = f ( x – p)
B. CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
 DẠNG TỐN 1: TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH.
1. Phương pháp giải.
Tập xác định của hàm số y = f ( x) là tập các giá trị của x sao cho biểu thức f ( x) có nghĩa
Chú ý : Nếu P( x) là một đa thức thì:
*
*
*

1
có nghĩa Û P( x) ¹ 0
P( x)

P( x) có nghĩa Û P( x) ³ 0
1

có nghĩa Û P( x) > 0

P( x)

2. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau
a) y =

x2 + 1
x2 + 3x - 4

A. D = 
b) y =

D. D =  \{1; 4}

B. D = {-1}

C. D =  \{-1}

D. D = 

( x + 1)( x2 + 3x + 4)

2x2 + x + 1
x3 + x2 - 5x - 2

ìï -3 - 5 -3 + 5 ỹù
ù
A. D = ùớ2;
;
ý
ùù
ùù
2
2
ợ
ỵ

ỡù
-3 - 2 5 -3 + 2 5 ỹùù
B. D = \ùớ-2;
;
ý
ùù
ùù
2
2
ợ
ỵ

C. D = 

ïì -3 - 5 -3 + 5 ïüï
D. D = \ùớ2;
;
ý
ùù
ùù
2
2
ợ
ỵ

d) y =

43

C. D = \{1; -4}

x +1

A. D =  \{1}
c) y =

B. D = {1; -4}

(x

x

2

- 1) - 2 x 2
2

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải


ïì 2 2 - 7 2 2 + 7 - 2 - 7 - 2 + 7 ïüï
A. D = \ù
;
;
;
ớ
ý
ùù
ùù
2
2
2
2
ợ
ỵ
ùỡ 2 - 7 2 + 7 -2 2 - 7 -2 2 + 7 ïüï
B. D =  \ù
;
;
;
ớ
ý
ùù
ùù

2
2
2
2
ợ
ỵ
ỡ
ù 2- 7 2+ 7 - 2- 7 - 2+ 7ỹ
ù
ù
C. D = \ù
;
;
;
ớ
ý
ù
ù
2
2
2
2
ù
ù
ợ
ỵ
ùỡ 2 - 7 2 + 7 - 2 - 7 - 2 + 7 ïüï
D. D = ù
;
;

;
ớ
ý
ùù
ùù
2
2
2
2
ợ
ỵ
Li gii:

ỡ
ù xạ1
a) KX: x 2 + 3 x - 4 ạ 0 ù
ớ
ù
ù
ợ x ạ -4
Suy ra tập xác định của hàm số là D =  \{1; -4} .
b) ĐKXĐ: ( x + 1)( x 2 + 3 x + 4) ¹ 0 Û x ¹ -1
Suy ra tập xác định của hàm số là D =  \{-1} .
ìï
x¹2
ïï
3
2
c) ĐKXĐ: x + x - 5 x - 2 ¹ 0 Û í
ïïx ¹ -3 ± 5

ïïỵ
2

ìï -3 - 5 -3 + 5 üï
ï.
Suy ra tập xác định của hàm số là D =  \ùớ2;
;
ý
ùù
ùù
2
2
ợ
ỵ

(

)(

)

d) KX: ( x 2 - 1) - 2 x 2 ¹ 0 Û x 2 - 2 x - 1 x 2 + 2 x - 1 ¹ 0
2

ì
ï
2± 7
ï
x¹
ï

2
ì
ï
ï
x
2
x
1
¹
0
ï
2
Ûí
Ûï
í
2
ï
ï
- 2± 7
ïx + 2 x - 1 ¹ 0 ù
ù
ợ
ù
xạ
ù
ù
2
ợ

Suy ra tp xỏc nh ca hm s l

ỡ 2- 7 2+ 7 - 2- 7 - 2+ 7ï
ü
ï
ï.
D = \ù
;
;
;
ớ
ý
ù
ù
2
2
2
2
ù
ù
ợ
ỵ

44

Website chuyờn thi, ti liu file word mới nhất có lời giải


Ví dụ 2: Tìm tập xác định của các hàm số sau
a) y =

x +1

( x - 3) 2 x - 1

A. D = \{3}

ổ 1
ử
B. D = ỗỗ- ; +Ơữữ\{3}
ỗố 2
ứữ

ộ1
ử
C. D = ờ ; +Ơữữữ\{3}
ờở 2
ứ

ổ1
ử
D. D = ỗỗ ; +Ơữữữ\{3}
ốỗ 2
ứ

b) y =

x+2

x x - 4x + 4
2

A. D =  \{0; 2}

B. D = éë-2; +¥)

C. D = (-2; +¥)\{0; 2}

D. D = éë-2; +¥)\{0; 2}

c) y =

5-3 x

x2 + 4x + 3

A. D = \{-1}

ổ 5 5ử
B. D = ỗỗ- ; ữữ\{-1}
ỗố 3 3 ÷ø

é 5 5ù
C. D = ê- ; ú
êë 3 3 úû

é 5 5ù
D. D = ê- ; ú \{-1}
êë 3 3 úû

d) y =

x+4

x 2 - 16

A. D = (-¥; -2) È (2; +¥)

B. D =  \{-4; 4}

C. D= (-4; 4)

D. D = (-¥; -4) È (4; +¥)
Lời gii:

ùỡù x ạ 3
ỡù x ạ 3
ù
ùớ
a) KX: ớ
ùùợ2 x - 1 > 0 ïïx > 1
2
ỵï
ỉ1
ư
Suy ra tập xỏc nh ca hm s l D = ỗỗ ; +Ơữữữ\{3} .
ỗố 2
ứ

45

Website chuyờn thi, ti liu file word mới nhất có lời giải


ïìï x ¹ 0
ìï
x¹0
ïìï x ¹ 0
ïï
ïï
ï
2
ï
2
b) ĐKXĐ: íx - 4 x + 4 > 0 Û í( x - 2) > 0 ùớx ạ 2
ùù
ùù
ùù
ùùợx + 2 0
ïïỵx ³ -2
ïỵïx ³ -2

Suy ra tập xác định của hàm số là D = éë-2; +¥)\{0; 2} .

ìï 5
ïï- £ x £ 5
5
ïìï
x
£
ïï 3

5
ïï
3 ìïï 5
ìï 5 - 3 x ³ 0
3
- £x£
ï
ï
ï
c) ĐKXĐ: í 2
Û íì
Û í x ¹ -1
Û ïí 3
3
ïïx + 4 x + 3 ¹ 0 ùùùù x ạ -1 ùù
ùù
ợ
x
ạ
1
ùùớù
ùùx ạ -3
ùợ
ợùùợx ạ -3 ïïï
ỵ
é 5 5ù
Suy ra tập xác định của hàm số là D = ê- ; ú \{-1} .
êë 3 3 úû
é x>4
d) ĐKXĐ: x 2 - 16 > 0 Û x > 4 Û ê

ê x < -4
ë
Suy ra tập xác định của hàm số là D = (-¥; -4) È (4; +¥) .
Ví dụ 3: Tìm tập xác định của các hàm số sau
a) y =

x2 - 1
x2 + 2x + 3
3

A. D = (1; +¥)
b) y =

B. D = 

C. D = {1; 3}

D. D =  \{1; 3}

x
x- x -6

A. D = éë 0; +¥)

B. D = éë 0; +¥)\{9} C. D = {9}

D. D =  \{9}

B. D = éë-2; +¥)

C. D = 

D. D = éë 2; +¥)

B. D = 

C. D = éë-1; +¥)

D. D = éë-1;1)

c) y = x + 2 - x + 3
A. D = éë-3; +¥)
ìï 1
ïï
khi x ³ 1
d) y = í x
ïï
ïïỵ x + 1 khi x < 1

A. D = {-1}

Lời giải:

46

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải


a) ĐKXĐ: x 2 + 2 x + 3 ¹ 0 đúng với mọi x
Suy ra tập xác định của hàm số là D =  .

ìx ³ 0
ï
ï
ì
x
³
0
ï
ï
x³0
ï
ï x ¹ -2 Û ì
ï
ï
Ûí
b) ĐKXĐ: í
í
ï
ï
ï
ï
ï
ỵx ¹ 9
ỵx - x - 6 ạ 0 ù
ù
x
ạ
3
ù
ợ

Suy ra tp xỏc nh ca hàm số là D = éë 0; +¥)\{9} .

ïìx + 2 ³ 0 ïìïx ³ -2
c) ĐKXĐ: ï
Ûí
Û x ³ -2
í
ïỵïx + 3 ³ 0 ïỵïx ³ -3
Suy ra tập xác định của hàm số là D = éë-2; +¥) .
d) Khi x ³ 1 thì hàm số là y =

1
luôn xác định với x ³ 1 .
x

Khi x < 1 thì hàm số là y = x + 1 xác định khi

ìï x < 1
ìï x < 1
ïí
Û ïí
Û -1 £ x < 1
ïỵïx + 1 ³ 0 ïỵïx ³ -1
Do đó hàm số đã cho xác định khi x ³ -1
Suy ra tập xác định của hàm số là D = éë-1; +¥) .
Ví dụ 4: Cho hàm số: y =

mx
x - m + 2 -1

với m là tham số

a) Tìm tập xác định của hàm số theo tham số m
A. D = éë m + 2; +¥)\{m - 1}

B. D = éë m - 2; +¥)\{m}

C. D = éë 2 m - 2; +¥)\{2 m - 1}

D. D = éë m - 2; +¥)\{m - 1}

b) Tìm m để hàm số xác định trên (0;1)

47

ỉ
3ù
A. m Ỵ ỗỗ-Ơ; ỳ ẩ {2}
ỗố
2 ỳỷ

B. m ẻ (-Ơ; -1ựỷ ẩ {2}

C. m ẻ (-Ơ;1ựỷ ẩ {3}

D. m ẻ (-Ơ;1ựỷ ẩ {2}

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

Lời giải:

ìï x - m + 2 ³ 0
ìïx ³ m - 2
ïí
a) ĐKXĐ ï
Û
í
ïï x - m + 2 ¹ 1 ïïỵ x ¹ m - 1
ỵ
Suy ra tập xác định của hàm số là D = éë m - 2; +¥)\{m - 1} .
b) Hàm số xác định trên (0;1) Û (0;1) Ì éë m - 2; m - 1) È (m - 1; +¥)

é(0;1) Ì é m - 2; m - 1) é m = 2
ém = 2
ë
ê
ê
ê
Û
Û
ê 0;1 Ì m - 1; +¥
ê
êm£1
m
1
£
0
) ë

êë ( ) (
ở
Vy m ẻ (-Ơ;1ựỷ ẩ {2} l giỏ tr cn tìm.
Ví dụ 5: Cho hàm số y = 2 x - 3m + 4 +

x
với m là tham số.
x + m -1

a) Tìm tập xác định của hàm số khi m = 1

ộ 1
ử
A. D = ờ- ; +Ơữữữ
ờở 2
ứ

ộ1
ử
ộ 1
ử
C. D = ờ ; +Ơữữữ\{0} D. D = ờ- ; +Ơữữữ\{0}
ờở 2
ờở 2
ứ
ứ

B. D = \{0}

b) Tỡm m để hàm số có tập xác định là éë 0; +¥)

A. m =

1
3

B. m =

2
3

C. m =

4
3

D. m = 1

Lời giải:

ì
3m - 4
ï
ì
2 x - 3m + 4 ³ 0 ù
ù
x
ù
ù
ớ
KX: ớ

2
ù
ù
ù x + m -1 ạ 0
ù
ợ
ù
ợ x ạ 1- m
ìï
ïïx ³ - 1
a) Khi m = 1 ta cú KX : ớ
2
ùù
ùợ x ạ 0
ộ 1
ử
Suy ra tp xác định của hàm số là D = ê- ; +Ơữữữ\{0} .
ờở 2
ứ
b) Vi 1 - m
mÊ

48

ộ 3m - 4
ử
3m - 4
6
; +Ơữữữ\{1 - m} . Do ú
m £ khi đó tập xác định của hàm số là D = ê

êë 2
2
5
ø

6
khơng thỏa mãn u cầu bài tốn.
5

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải


é 3m - 4
ư
6
khi đó tập xác định của hàm s l D = ờ
; +Ơữữữ .
ờở 2
5
ứ

Vi m >

3m - 4
4
Do đó để hàm số có tập xác định là éë 0; +¥) Û
= 0 Û m = (thỏa mãn)
2
3

Vậy m =

4
là giá trị cần tìm.
3

3. Bài tập luyện tập :
Bài 2.0. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) y =

2 x -1
.
x -2

A. D = éë1; +¥)
b) y = x + 2 -

2
x -1

A. D = (1; +¥)
c) y =

C. D = éë1; +¥)\{2} D. D = {2}

B. D = (-2; +¥)

C. D = 

D. D = (2; +¥)

B. D = {1}

C. D = 

D. D = (-1; ¥)

C. D =  \{3}

D. D = éë-1; +¥)

C. D = (-¥; 2)

D. D =  \{2}

.

x -1
.
x + x +1
3

2

A. D = (1; +¥)
e) y =

B. D =  \{2}

x +1

.
x - x-6
2

A. D = éë-1; +¥)\{3} B. D = {3}
ì
1
ï
ï
khi x ³ 1
ï
f) y = f ( x) = í 2 - x
ï
ï
ï
ï
ỵ 2 - x khi x < 1

A. D = 

B. D= (2; +¥)

Lời giải:

ìï x ³ 1
ìï x ³ 1
ìï x ³ 1
Bài 2.0: a) ĐKXĐ: ïí
Û ïí
Û ïí

Þ TXĐ: D = éë1; +Ơ)\{2}
ùù x ạ 2 ùùợx ạ 2 ùùợx ạ 2
ợ

49

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải


ïìx + 2 ³ 0 ïìïx ³ -2
b) ĐKXĐ: ïí
Ûí
Û x > 1 ị TX: D = (1; +Ơ)
ùợù x - 1 > 0 ïỵï x > 1
ỉ
1ư
3
c) ĐKXĐ: x + x + 1 ạ 0 ỗỗ x + ữữữ + ạ 0 (ỳng "x ) ị TX: D =
ỗố
2ứ
4
2

2

ỡ
x -1
ù
ù
ỡ x +1 0

ỡ x -1
ù
ù
ù
ù
ù
e) KX: ớ 2
ớ x ạ -2 ù
ị TX: D = ộở-1; +Ơ)\{3} .
ớ
ù
ù
ù
x
x
6
ạ
0
x
ạ
3
ù
ù
ù
ợ
ợ
ù
ù
ợx ạ 3
f) TX: D =  \{2}

Bài 2.1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) y = 6 - 3 x - x - 1
A. D = (1; 2)
b) y =

B. D = éë1; 2ùû

C. D = éë1; 3ùû

D. D = éë-1; 2ùû

C. D = éë-2; 2ùû \{0}

D. D =  \{0}

é 1 4ư
B. D = ê ; ÷÷÷
êë 3 3 ø

é 1 2ư
C. D = ê ; ÷÷÷
êë 3 3 ø

ỉ
4ư
D. D = ỗỗ-Ơ; ữữữ
ỗố
3ứ

B. D = ộở1; 6ựỷ

C. D = \ éë1; 6ùû

D. D = (-¥; 6)

B. D = (-3; +¥)

C. D = 

D. D = (-2; +¥)

2-x + x+ 2
x

A. D = (-2; 2)\{0} B. D = éë-2; 2ùû

c) y =

3x - 2 + 6 x
4 - 3x

é 2 4ư
A. D = ê ; ÷÷÷
êë 3 3 ø
d) y = 6 - x +

2x + 1

1+ x -1

A. D = (1; +¥)
e) y =

2x + 9

( x + 4)

x+3

A. D =  \{-4}
f) y =

50

x2 - 2x + 3

x-3 x + 2

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải


A. D = 
g) f ( x) =

C. D =  \{1; 4}

D. D =  \{-1; 4}

é 1 ö
B. D = ê- ;1÷÷÷

êë 4 ø

C. D = 

é 1 ö
D. D = ê- ; 0÷÷÷
êë 4 ø

1
1- 1 + 4x

é 1 ư
A. D = ê- ; 0÷÷÷
êë 2 ø
h) y =

B. D = (0; +¥)

2x2
x2 - 3x + 2

A. D = (-¥;1)

B. D = (2; +¥)

C. D = (-¥;1) È (2; +¥)

D. D = (1; 2)
Lời giải:

Bài 2.1: a) D = éë1; 2ùû b) D = éë-2; 2ùû \{0}

é 2 4ư
c) D = ê ; ÷÷÷ d) D = éë1; 6ùû
êë 3 3 ø

ìï
ïì x 2 - 2 x + 3 ³ 0
ï
ï
Û ïí
f) ĐKXĐ: í
ïïx - 3 x + 2 ạ 0 ùù
ợ
ùợ

e) D = (-3; +Ơ)

(

( x - 1)

2

)(

x -1

+2³0

ìï x ¹ 1
Û ïí
x - 2 ¹ 0 ùùợx ạ 4

)

Suy ra D = \{1; 4}

ỡù1 - 1 + 4 x > 0 ïìï1 > 1 + 4x
é 1 ư
1
Û ïí
Û - £ x < 0 Þ D = ê- ; 0÷÷÷
g) ĐKXĐ: ïí
1
êë 4 ø
ïï 1 + 4 x ³ 0
ïï x ³ 4
ỵ
ïỵ
4
h) TXĐ: D = (-¥;1) È (2; +¥)

Bài 2.2: Tìm giá trị của tham số m để:
a) Hàm số y =

x + 2m + 2
xác định trên (-1; 0)
x-m

é m>0
A. ê
ê m < -1
ë
b) Hàm số y =

51

B. m £ -1

x
x-m +1

é m³0
C. ê
ê m £ -1
ë

D. m ³ 0

có tập xác định là éë 0; +¥)

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải


A. m > 0

C. m £ 0

B. m < 0

D. m ³ 0

Lời giải:
Bài 2.2: a) ĐKXĐ: x ¹ m

é m³0
Hàm số xác định trên (-1; 0) Û m Ï (-1; 0) Û ê
ê m £ -1
ë
ìï x ³ 0
b) ĐKXĐ: ï
(*)
í
ïïỵx ³ m
Nếu m > 0 thì (*) Û x m ị D = ộở m; +Ơ) nờn m > 0 khơng thỏa mãn
Nếu m £ 0 thì (*) Û x ³ 0 Þ D = éë 0; +¥)
Vậy m £ 0 là giá trị cần tìm.
Bài 2.3: Tìm giá trị của tham số m để:
a) Hàm số y = x - m + 1 +
A. m ³ 4

2x
-x + 2 m

B. m ³ 2

xác định trên (-1; 3) .
C. m ³ 3

D. m ³ 1

b) Hàm số y = x + m + 2 x - m + 1 xỏc nh trờn (0; +Ơ) .
A. m ẻ éë 0; 3ùû

B. m Ỵ éë1; 2ùû

c) Hàm số y = -x - 2 m + 6 A. m Ỵ éë1; 2ùû

1
x+m

B. m Ỵ éë 0; 2ùû

C. m Ỵ éë 0;1ùû

D. m Ỵ éë 0; 2ùû

xác định trên (-1; 0) .
C. m Ỵ éë1; 3ùû

D. m Ỵ éë1; 4ùû

Lời giải:
Bài 2.3: a) m ³ 2 ,

b) m Ỵ éë 0;1ùû

c) m Ỵ éë1; 3ùû

DẠNG TỐN 2: XÉT TÍNH CHẴN, LẺ CỦA HÀM SỐ
1. Phương pháp giải.
* Sử dụng định nghĩa
Hàm số y = f ( x) xác định trên D :

52

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải


ỡ"x ẻ D ị -x ẻ D
ù
à Hm s chn ù
.
ớ
ù
ù
ợ f (-x) = f ( x)
ỡ
ù"x ẻ D ị -x ẻ D
à Hm s l ù
.
ớ
ù
f
(
x
)
=
f

(
x
)
ù
ợ
Chỳ ý : Một hàm số có thể khơng chẵn cũng khơng lẻ
Đồ thị hàm số chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng
Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng
* Quy trình xét hàm số chẵn, lẻ.
B1: Tìm tập xác định của hàm số.
B2: Kiểm tra
Nu "x ẻ D ị -x ẻ D Chuyn qua bc ba
Nu $x0 ẻ D ị -x0 ẽ D kt luận hàm không chẵn cũng không lẻ.
B3: xác định f (-x) và so sánh với f ( x) .
Nếu bằng nhau thì kết luận hàm số là chẵn
Nếu đối nhau thì kết luận hàm số là lẻ
Nếu tồn tại một giỏ tr $x0 ẻ D m f (-x0 ) ạ f ( x0 ) , f (-x0 ) ¹ - f ( x0 ) kết luận hàm số không chẵn
cũng khơng lẻ.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a) f ( x) = 3 x 3 + 2 3 x
A. hàm số lẻ

B.hàm số chẳn

C.hàm số vừa chẳn vừa lẻ

D.hàm số không chẳn, không lẻ

b) f ( x) = x 4 + x 2 + 1

53

A. hàm số lẻ

B.hàm số chẳn

C.hàm số vừa chẳn vừa lẻ

D.hàm số không chẳn, không lẻ

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải


c) f ( x) = x + 5 + 5 - x
A. hàm số lẻ

B.hàm số chẳn

C.hàm số vừa chẳn vừa lẻ

D.hàm số không chẳn, không lẻ

d) f ( x) = 2 + x +

1
2-x

A. hàm số lẻ

B.hàm số chẳn

C.hàm số vừa chẳn vừa lẻ

D.hàm số không chẳn, không lẻ
Lời giải:

a) Ta có TXĐ: D = 

(

)

Với mọi x Ỵ  ta có -x Ỵ  và f (-x) = 3 (-x) + 2 3 -x = - 3 x 3 + 2 3 x = - f ( x)
3

Do đó f ( x) = 3 x 3 + 2 3 x là hàm số lẻ
b) Ta có TXĐ: D = 
Với mọi x Ỵ  ta có -x Ỵ  và f (-x) = (-x) +
4

(-x)

2

+ 1 = x 4 + x 2 + 1 = f ( x)

Do đó f ( x) = x 4 + x 2 + 1 là hàm số chẵn

ïìx + 5 ³ 0 ïìïx ³ -5

c) ĐKXĐ: ïí
Ûí
Û -5 £ x £ 5
ïỵï 5 - x ³ 0 ïỵï x £ 5
Suy ra TXĐ: D = éë-5; 5ùû
Với mọi x Ỵ éë-5; 5ùû ta có -x Ỵ éë-5; 5ùû và f (-x) =

(-x) + 5 +

5 - (-x) = x + 5 + 5 - x = f ( x)

Do đó f ( x) = x + 5 + 5 - x là hàm số chẵn

ïì2 + x ³ 0 ïìïx ³ -2
d) ĐKXĐ: ïí
Ûí
Û -2 £ x < 2
ïỵï 2 - x > 0 ïỵï x < 2
Suy ra TXĐ: D = éë-2; 2)
Ta có x0 = -2 Ỵ éë-2; 2) nhưng -x0 = 2 Ï éë-2; 2)

54

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải


Vậy hàm số f ( x) = 2 + x +

1
2-x

khơng chẵn và khơng lẻ.

Ví dụ 2: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a) f ( x) = x 4 - 4 x + 2
A. hàm số lẻ

B.hàm số chẳn

C.hàm số vừa chẳn vừa lẻ

D.hàm số không chẳn, không lẻ

b) f ( x) = x + 2 - x - 2
A. hàm số lẻ

B.hàm số chẳn

C.hàm số vừa chẳn vừa lẻ

D.hàm số không chẳn, không lẻ

c) f ( x) =

x + x2 + 1
x +1- x
2

- 2x2 - 1

A. hàm số lẻ

B.hàm số chẳn

C.hàm số vừa chẳn vừa lẻ

D.hàm số khơng chẳn, khơng lẻ

ì
-1 Khi x < 0
ï
ï
ï
ï
d) f ( x) = í 0 Khi x = 0
ï
ï
ï
ï
ỵ 1 Khi x > 0

A. hàm số lẻ

B.hàm số chẳn

C.hàm số vừa chẳn vừa lẻ

D.hàm số không chẳn, không lẻ
Lời giải:

a) Ta có TXĐ: D = 

ì
ï f (-1) ¹ f (1)
Ta có f (-1) = 7, f (1) = -1 ị ù
ớ
ù
f -1 ạ - f (1)
ù
ù
ợ ( )
Vy hàm số khơng chẵn và khơng lẻ
b) Ta có TXĐ: D = 
Với mọi x Ỵ  ta có -x Î  và f (-x) = (-x) + 2 - (-x) - 2 = x - 2 - x + 2

55

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải


Suy ra f (-x) = f ( x)
Do đó f ( x) = x + 2 - x - 2 là hàm số chẵn.

x 2 + 1 > x 2 = x ³ x Þ x 2 + 1 - x ¹ 0 với mọi x .

c) Ta có

Suy ra TXĐ: D = 

x 2 + 1 > x 2 = x ³ -x Þ x 2 + 1 + x ¹ 0 do đó

Mặt khác

f ( x) =

(

(x +

x +1 + x
2

x2 + 1

)(

)

2

x +1- x
2

)

- 2x2 - 1 = 2x x2 + 1

Với mọi x Ỵ  ta có -x Ỵ  và f (-x) = 2 (-x)
Do đó f ( x) =

x + x2 + 1
x +1- x
2

(-x)

2

+ 1 = -2 x x 2 + 1 = - f ( x )

- 2 x 2 - 1 là hàm số lẻ.

d) Ta có TXĐ: D = 
Dễ thấy mọi x Ỵ  ta có -x Ỵ 
Với mọi x > 0 ta có -x < 0 suy ra f (-x) = -1, f ( x) = 1 Þ f (-x) = - f ( x)
Với mọi x < 0 ta có -x > 0 suy ra f (-x) = 1, f ( x) = -1 Þ f (-x) = - f ( x)
Và f (-0) = - f (0) = 0
Do đó với mọi x Ỵ  ta có f (-x) = - f ( x)
ì-1 Khi x < 0
ï
ï
ï
Vậy hàm số f ( x) = ï
í 0 Khi x = 0 là hàm số lẻ.
ï
ï
ï
ï
ỵ 1 Khi x > 0

Ví dụ 3: Tìm m để hàm số: f ( x) =
A. m = 0

56

x 2 ( x 2 - 2) + ( 2 m 2 - 2) x

B. m = ±3

x2 + 1 - m

C. m = ±1

là hàm số chẵn.
D. m = ±2

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải


Lời giải:
ĐKXĐ:

x 2 + 1 ¹ m (*)

Giả sử hàm số chẵn suy ra f (-x) = f ( x) với mọi x thỏa mãn điều kiện (*)
Ta có f (-x) =

x 2 ( x 2 - 2) - ( 2 m 2 - 2) x
x2 + 1 - m

Suy ra f (-x) = f ( x) với mọi x thỏa mãn điều kiện (*)
Û

x 2 ( x 2 - 2) - ( 2 m 2 - 2) x
x2 + 1 - m

=

x 2 ( x 2 - 2) + ( 2 m 2 - 2) x
x2 + 1 - m

với mọi x thỏa mãn điều kiện (*)

Û 2 (2 m2 - 2) x = 0 với mọi x thỏa mãn điều kiện (*)
Û 2 m 2 - 2 = 0 Û m = ±1

* Với m = 1 ta có hàm số là f ( x) =
ĐKXĐ :

x 2 ( x 2 - 2)

x2 + 1 - 1

x2 + 1 ¹ 1 Û x ¹ 0

Suy ra TXĐ: D =  \{0}
Dễ thấy với mọi x Ỵ  \{0} ta có -x Ỵ  \{0} và f (-x) = f ( x)
Do đó f ( x) =

x 2 ( x 2 - 2)

x2 + 1 - 1

là hàm số chẵn

* Với m = -1 ta có hàm số là f ( x) =

x 2 ( x 2 - 2)

x2 + 1 + 1

TXĐ: D = 
Dễ thấy với mọi x Ỵ  ta có -x Ỵ  và f (-x) = f ( x)
Do đó f ( x) =

x 2 ( x 2 - 2)

x2 + 1 + 1

là hàm số chẵn.

Vậy m = ±1 là giá trị cần tìm.

57

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải


3. Bài tập luyện tập.
Bài 2.4:: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) f ( x) =

x3 + 5x
x2 + 4

A. hàm số lẻ

B.hàm số chẳn

C.hàm số vừa chẳn vừa lẻ

D.hàm số không chẳn, không lẻ

b) f ( x) =

x2 + 5
x2 - 1

A. hàm số lẻ

B.hàm số chẳn

C.hàm số vừa chẳn vừa lẻ

D.hàm số không chẳn, không lẻ

c) f ( x) = x + 1 - 1 - x
A. hàm số lẻ

B.hàm số chẳn

C.hàm số vừa chẳn vừa lẻ

D.hàm số không chẳn, không lẻ

d) f ( x) =

x-5
x -1

A. hàm số lẻ

B.hàm số chẳn

C.hàm số vừa chẳn vừa lẻ

D.hàm số không chẳn, không lẻ

e) f ( x) = 3 x 2 - 2 x + 1
A. hàm số lẻ

B.hàm số chẳn

C.hàm số vừa chẳn vừa lẻ

D.hàm số không chẳn, không lẻ

f) f ( x) =

58

x3
x -1

A. hàm số lẻ

B.hàm số chẳn

C.hàm số vừa chẳn vừa lẻ

D.hàm số không chẳn, không lẻ

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải


g) f ( x) =

x -1 + x + 1

2x - 1 + 2x + 1

A. hàm số lẻ

B.hàm số chẳn

C.hàm số vừa chẳn vừa lẻ

D.hàm số không chẳn, không lẻ

h) f ( x) =

x+ 2 + x-2
x -1 - x + 1

A. hàm số lẻ

B.hàm số chẳn

C.hàm số vừa chẳn vừa lẻ

D.hàm số không chẳn, không lẻ
Lời giải:

Bài 2.4: a) Hàm số lẻ

b) Hàm số chẵn

c) TXĐ: D = ộở-1;1ựỷ nờn "x ẻ D ị -x ẻ D
f (-x) = 1 - x - 1 + x = - f ( x) , "x Ỵ D

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
d) TXĐ: D =  \{1}
Ta có x = -1 Ỵ D nhưng -x = 1 Ï D
Do đó hàm số khơng chẵn và khơng lẻ
e) TXĐ: D =  . Ta có f (1) = 2, f (-1) = 6
Suy ra f (-1) ¹ f (1) , f (-1) ¹ - f (1)
Do đó hàm số khơng chẵn và khơng lẻ.
f) TXĐ: D = (-¥- 1) ẩ (-1;1) ẩ (1; +Ơ) nờn "x ẻ D Þ -x Ỵ D
f (-x) =

59

(-x)

3

-x - 1

=-

x3
= - f ( x) , "x Ỵ D
x -1

– Website chun đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải


Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
g) TXĐ: D = ị "x ẻ D ị -x ẻ D .

f (-x) =

-x - 1 + -x + 1

-2 x - 1 + -2 x + 1

= f ( x) , "x Ỵ D

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

ìï x - 1 ¹ x + 1
h) ĐKXĐ: x - 1 ¹ x + 1 Û ïí
Û xạ0
ùùx - 1 ạ -( x + 1)
ợ
TX: D = \{0} ị "x ẻ D ị -x ẻ D

f (-x) =

-x + 2 + -x - 2
-x - 1 - -x + 1

= - f ( x) , "x Î D

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
Bài 2.5: Tìm m để hàm số: y = f ( x) =
A. m =

1
3

B. m =

1
2

x ( x 2 - 2) + 2 m - 1
x - 2m + 1

là hàm số chẵn.

C. m = 1

D. m = -

1
2

Lời giải:
Bài 2.5: m =

1
2

Bài 2.6: Cho hàm số y = f ( x) , y = g ( x) có cùng tập xác định D. Chứng minh rằng
a) Nếu hai hàm số trên lẻ thì hàm số y = f ( x) + g ( x) là hàm số lẻ
b) Nếu hai hàm số trên một chẵn một lẻ thì hàm số y = f ( x) g ( x) là hàm số lẻ
Lời giải:

60

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải


Bài 2.6: a) Ta có hàm số y = f ( x) + g ( x) có tập xác định D . Do hàm số y = f ( x) , y = g ( x) lẻ nên
"x Ỵ D Þ -x Ỵ D và f (-x) = - f ( x) , g (-x) = -g ( x) suy ra

y (-x) = f (-x) + g (-x) = - éê f ( x) + g ( x)ùú = -y ( x)
ë
û

Suy ra hàm số y = f ( x) + g ( x) là hàm số lẻ.
b) Giả sử hàm số y = f ( x) chẵn, y = g ( x) lẻ
Khi đó hàm số y = f ( x) g ( x) có tập xác định là D nờn "x ẻ D ị -x ẻ D
Ta cú y (-x) = f (-x) g (-x) = f ( x) éê-g ( x)ùú = - f ( x) g ( x) = -y ( x)
ë
û
Do đó hàm số y = f ( x) g ( x) lẻ.
Bài 2.7: a) Tìm m để đồ thị hàm số sau nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

y = x 3 - ( m2 - 9)x 2 + ( m + 3)x + m - 3 .
A. m = 3

B. m = 4

C. m = 1

D. m = 2

b) Tìm m để đồ thị hàm số sau nhận trục tung làm trục đối xứng

y = x 4 - ( m2 - 3m + 2)x 3 + m2 - 1 .
A. m = 3

B. m = 4, m = 3

C. m = 1, m = 2

D. m = 2

Lời giải:
Bài 2.7: a) Ta cú TX: D = ị "x ẻ D Þ -x Ỵ D
Đồ thị hàm số đã cho nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng khi và chỉ khi nó là hàm số lẻ
Û f (-x) = - f ( x) , "x Ỵ  Û (-x) - ( m2 - 9) (-x) + ( m + 3) (-x) + m - 3
3

2

= - éê x 3 - ( m2 - 9)x 2 + ( m + 3)x + m - 3ùú , "x Ỵ 
ë
û
2
2
Û 2( m - 9)x - 2 (m - 3) = 0, "x Ỵ 
ìïm2 - 9 = 0
Û ïí
Û m=3
ïï m - 3 = 0
ỵ

b) Ta có TXĐ: D =  Þ "x Ỵ D Þ -x Ỵ D
Đồ thị hàm số đã cho nhận trục tung làm trục đối xứng khi và chỉ khi nó là hàm số chẵn

61

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải


Û f (-x) = f ( x) , "x Ỵ 
Û (-x) - ( m2 - 3m + 2) (-x) + m2 - 1 = x 4 - ( m2 - 3m + 2)x 3 + m2 - 1, "x Î 

4

3

ém = 1
Û 2( m2 - 3m + 2)x 3 = 0, "x Ỵ  Û m2 - 3m + 2 = 0 Û ê
êm = 2
ë
 DẠNG TOÁN 3. XÉT TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN(ĐƠN ĐIỆU) CỦA HÀM SỐ
TRÊN MỘT KHOẢNG
1. Phương pháp giải.
C1: Cho hàm số y = f ( x) xác định trên K. Lấy x1 , x2 Ỵ K ; x1 < x2 , đặt T = f ( x2 ) - f ( x1 )

· Hàm số đồng biến trên K Û T > 0 .
· Hàm số nghịch biến trên K Û T < 0 .
C2: Cho hàm số y = f ( x) xác định trên K. Lấy x1 , x2 Ỵ K ; x1 ¹ x2 , đặt T =

f ( x2 ) - f ( x1 )
x2 - x1

· Hàm số đồng biến trên K Û T > 0 .
· Hàm số nghịch biến trên K Û T < 0 .
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Xét sự biến thiên của hàm số sau trên khoảng (1; +¥)
a) y =

3
x -1

A.Đồng biến

B.Nghịch biến

C.Vừa đồng biến, vừa nghịch biến

D.Không đồng biến, cũng không nghịch biến

b) y = x +

1
x

A.Đồng biến

B.Nghịch biến

C.Vừa đồng biến, vừa nghịch biến

D.Không đồng biến, cũng khơng nghịch biến
Lời giải:

a) Với mọi x1 , x2 Ỵ (1; +Ơ) , x1 ạ x2 ta cú f ( x2 ) - f ( x1 ) =

62

3 ( x1 - x2 )
3
3
=
x2 - 1 x1 - 1 ( x2 - 1)( x1 - 1)

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải


Suy ra

f ( x2 ) - f ( x1 )
x2 - x1

Vì x1 > 1, x2 > 1 Þ

=-

3

( x2 - 1)( x1 - 1)

f ( x2 ) - f ( x1 )
x2 - x1

< 0 nên hàm số y =

3
nghịch biến trên khoảng (1; +¥) .
x -1

b) Với mọi x1 , x2 ẻ (1; +Ơ) , x1 ạ x2 ta có

ỉ
ỉ

1ư ỉ
1ư
1 ư÷
÷÷
f ( x2 ) - f ( x1 ) = ỗỗỗ x2 + ữữữ - ỗỗỗ x1 + ữữữ = ( x2 - x1 )ỗỗỗ1 ỗố
ỗố
x2 ữứ çè
x1 ÷ø
x1 x2 ÷ø
Suy ra

f ( x2 ) - f ( x1 )
x2 - x1

Vì x1 > 1, x2 > 1 Þ

= 1-

1
x1 x2

f ( x2 ) - f ( x1 )
x2 - x1

> 0 nên hàm số y = x +

1
đồng biến trên khoảng (1; +¥) .
x

Ví dụ 2: Cho hàm số y = x 2 - 4
a) Xét chiều biến thiên cuả hàm số trên (-¥; 0) và trên (0; +¥)
A. hàm số y = f ( x) nghịch biến trên (-¥; 0) .
B. hàm số y = f ( x) đồng biến trên (0; +¥) .
C.Cả A, B đều đúng
D.Cả A, B đều sai
b) Lập bảng biến thiên của hàm số trên éë-1; 3ùû từ đó xác định giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
trên éë-1; 3ùû .
A. max y = 5
é-1;3ù
ë
û

B. min y = -4
é-1;3ù
ë
û

C.Cả A, B đều đúng D.Cả A, B đều sai
Lời giải:

TXĐ: D = R
a) "x1 , x2 Ỵ  , x1 < x2 Þ x2 - x1 > 0
Ta có T = f ( x2 ) - f ( x1 ) = ( x22 - 4) - ( x12 - 4) = x22 - x12 = ( x2 - x1 ) .( x1 + x2 )

63

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

Nu x1 , x2 ẻ (-Ơ; 0) ị T < 0 . Vậy hàm số y = f ( x) nghch bin trờn (-Ơ; 0) .
Nu x1 , x2 ẻ (0; +Ơ) ị T > 0 . Vy hm s y = f ( x) đồng biến trên (0; +¥) .
b) Bảng biến thiên của hàm số y = x 2 - 4 trên éë-1; 3ùû
x

-1

0

3

-3

5

y = x2 - 4

-4

Dựa vào bảng biến thiên ta có

max y = 5 khi và chỉ khi x = 3 , min
y = -4 khi và chỉ khi x = 0 .
é
ù
é-1;3ù
ë
û

ë-1;3û

Ví dụ 3: Xét sự biến thiên của hàm số y = 4 x + 5 + x - 1 trên tập xác định của nó.
Áp dụng tìm số nghiệm
a)

4x + 5 + x - 1 = 3
A.1 nghiệm duy nhất

b)

B. 2 nghiệm

C.3 nghiệm D.Vô nghiệm

B. 2 nghiệm

C.3 nghiệm D.Vô nghiệm

4x + 5 + x - 1 = 4x2 + 9 + x
A.1 nghiệm duy nhất

Lời giải:

ì
ìï4 x + 5 ³ 0 ïïïx ³ - 5
ï
Ûí
* ĐKXĐ: í
4 Û x ³1
ïỵï x - 1 ³ 0

ïï
ỵï x ³ 1
Suy ra TXĐ: D = ộở1; +Ơ)
Vi mi x1 , x2 ẻ ộở1; +Ơ) , x1 ¹ x2 ta có

64

– Website chun đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải


f ( x2 ) - f ( x1 ) = 4 x2 + 5 + x2 - 1 - 4 x1 + 5 - x1 - 1
=

4 ( x2 - x1 )

x2 - x1

+

4 x2 + 5 + 4 x1 + 5
x2 - 1 + x1 - 1
ổ
ửữ
4
1
ỗ
ữữ
= ( x2 - x1 )ỗỗ
+
ữ

ỗỗ 4 x + 5 + 4 x + 5
x2 - 1 + x1 - 1 ÷ø
è
2
1

Suy ra

f ( x2 ) - f ( x1 )
x2 - x1

=

4
4 x2 + 5 + 4 x1 + 5

+

1
x2 - 1 + x1 - 1

>0

Nên hàm số y = 4 x + 5 + x - 1 đồng biến trên khoảng éë1; +¥) .
a) Vì hàm số đã cho đồng biến trờn ộở1; +Ơ) nờn
Nu x > 1 ị f ( x) > f (1) hay
Suy ra phương trình

4 x + 5 + x - 1 = 3 vô nghiệm

Nếu x < 1 Þ f ( x) < f (1) hay
Suy ra phương trình

4x + 5 + x - 1 > 3

4x + 5 + x - 1 < 3

4 x + 5 + x - 1 = 3 vô nghiệm

Với x = 1 dễ thấy nó là nghiệm của phương trình đã cho
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 .
b) ĐKXĐ: x ³ 1 .
Đặt x 2 + 1 = t , t ³ 1 Þ x 2 = t - 1 phương trình trở thành
4 x + 5 + x - 1 = 4t + 5 + t - 1 Û f ( x) = f (t )

Nếu x > t Þ f ( x) > f (t ) hay

4 x + 5 + x - 1 > 4t + 5 + t - 1

Suy ra phương trình đã cho vơ nghiệm
Nếu x < t Þ f ( x) < f (t ) hay

4 x + 5 + x - 1 < 4t + 5 + t - 1

Suy ra phương trình đã cho vơ nghiệm
Vậy f ( x) = f (t ) Û x = t hay x 2 + 1 = x Û x 2 - x + 1 = 0 (vô nghiệm)
Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm.

65

– Website chun đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải


Nhận xét: · Hàm số y = f ( x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì phương trình f ( x) = 0 có tối đa
một nghiệm.

· Nếu hàm số y = f ( x) đồng biến (nghịch biến) trên D thì f ( x) > f ( y ) Û x > y ( x < y ) và
f ( x) = f ( y ) Û x = y "x , y Ỵ D . Tính chất này được sử dụng nhiều trong các bài toán đại số như giải

phương trình , bất phương trình , hệ phương trình và các bài tốn cực trị.
3. Bài tập luyện tập.
Bài 2.9: Xét sự biến thiên của các hàm số sau:
a) y = 4 - 3 x

ỉ
4ư
A. Hàm số đồng bin trờn ỗỗ-Ơ; ữữ
ỗố
3 ữứ
ổ4
ử
B. Nghch bin trờn khong ỗỗ ; +Ơữữ
ỗố 3
ữứ
C.C A, B u ỳng
D.C A, B u sai
b) y = x 2 + 4 x - 5 .
A. hàm số nghịch biến trên (-¥; -2)
B. hàm số đồng biến trên (-2; +¥)
C.Cả A, B đều đúng

D.Cả A, B đều sai

c) y =

2
trên (-¥; 2) và trên (2; +¥)
x-2

A. hàm số đồng biến trên (-¥; 2)
B. hàm số nghịch biến trên (2; +¥)
C.Cả A, B đều đúng

66

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải