TỰ LUẬN đại số 10 đs10 CĐVI góc và CUNG LƯỢNG GIÁC image marked

CHUYÊN ĐỀ I. MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP

MỤC LỤC

MỤC LỤC
CHUYÊN ĐỀ VI. CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC. CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC .................................................2
CHỦ ĐỀ 1: GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC ...............................................................................................................2
DẠNG TOÁN: XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN ĐẾN CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC........................3
CHỦ ĐỀ 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GĨC (CUNG) LƯỢNG GIÁC..............................................................6
DẠNG TỐN 1: BIỂU DIỄN GĨC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC............................................................................8
DẠNG TOÁN 2: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC CHỨA GÓC ĐẶC BIỆT, GÓC LIÊN QUAN ĐẶC
BIỆT VÀ DẤU CỦA GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC..........................................................9
DẠNG TOÁN 3: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC, CHỨNG MINH BIỂU THỨC KHƠNG
PHỤ THUỘC GĨC, ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC...................................................................................................11
DẠNG TỐN 4: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC KHI BIẾT MỘT GIÁ TRỊ
LƯỢNG GIÁC ........................................................................................................................................................15
CHỦ ĐỀ 3: MỘT SỐ CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC ...............................................................................................18
DẠNG TỐN 1: TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC, BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC ............................................19
DẠNG TOÁN 2: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC CĨ ĐIỀU KIỆN...............24
DẠNG TỐN 3: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ CHỨNG
MINH BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC KHƠNG PHỤ THUỘC VÀO BIẾN........................................................27
DẠNG TỐN 4: BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC .......................................................................................................................33
DẠNG TOÁN 5: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC ........................35
CHỦ ĐỀ 4: ÔN TẬP...................................................................................................................................................42
HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ PHẦN BÀI TẬP LUYỆN TẬP ........................................................................44

-- 1 --


CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10

CHUYÊN ĐỀ VI. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC

CHUYÊN ĐỀ VI. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC. CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC
CHỦ ĐỀ 1: GĨC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC
A. TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1. Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròn
a) Đơn vị rađian: Cung trịn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 rađian, gọi tắt là cung 1 rađian.
Góc ở tâm chắn cung 1 rađian gọi là góc có số đo 1 rađian, gọi tắt là góc 1 rađian
1 rađian cịn viết tắt là 1 rad.
Vì tính thông dụng của đơn vị rađian người ta thường không viết rađian hay rad sau số đo của cung và góc.
b) Độ dài cung trịn. Quan hệ giữa độ và rađian:
Cung trịn bán kính R có số đo a ( 0 £ a £ 2p ) , có số đo a 0 ( 0 £ a £ 360 ) và có độ dài là l thì:
l = Ra =

pa
a
a
.R do đó =
180
p
180

ỉ 180 ư÷ 0
p
rad .
Đặc biệt: 1 rad = çç
÷÷ , 1 =
180
èç p ø

0

2. Góc và cung lượng giác
a) Đường tròn định hướng: Đường tròn định hướng là một đường trịn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển
động gọi là chiều dương, chiều ngược lại gọi là chiều âm. Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của
kim đồng hồ gọi là chiều dương(cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm).
b) Khái niệm góc, cung lượng giác và số đo của chúng.
v
Cho đường tròn định hướng tâm O và hai tia Ou,Ov lần lượt cắt
+
V
đường tròn tại U và V . Tia Om cắt đường tròn tại M , tia Om
chuyển động theo một chiều(âm hoặc dương) quay quanh O khi đó
điểm M cũng chuyển động theo một chiều trên đường tròn.
Tia Om chuyển động theo một chiều từ Ou đến trùng với tia Ov thì
ta nói tia Om đã quét được một góc lượng giác tia đầu là Ou , tia
cuối là Ov . Kí hiệu (Ou,Ov )

M

O
-

U

m
u

Điểm M chuyển động theo một từ điểm U đến trùng với điểm V thì ta nói điểm M ó vch nờn mt cung
ỵ

lng giỏc im u U , điểm cuối V . Kí hiệu là UV

Tia Om quay đúng một vịng theo chiều dương thì ta nói tia Om quay góc 3600 (hay 2p ), quay hai vịng

thì ta nói nó quay góc 2.3600 = 7200 (hay 4p ), quay theo chiều âm một phần tư vòng ta nói nó quay góc

p
25
25
-900 (hay - ), quay theo chiều âm ba vịng bốn phần bảy(
vịng) thì nói nó quay gúc - .3600 (hay
2
7
7
50p
)
7
ỵ

Ta coi s o ca gúc lượng giác (Ou,Ov ) là số đo của cung lượng giác UV
c) Hệ thức Sa-lơ
Với ba tia Ou, Ov, Ow tùy ý ta có:

Sđ (Ou,Ov ) + Sđ (Ov,Ow ) = Sđ (Ou,Ow ) + k 2p ( k Ỵ Z )

Sđ (Ou,Ov ) - Sđ (Ou,Ow ) = Sđ (Ow,Ov ) + k 2p ( k Ỵ Z )

Với ba điểm tùy ý U ,V ,W trên đường tròn định hướng ta có :

-- 2 --


CHUYấN T LUN I S 10
ỵ

ỵ

ỵ

ỵ

ỵ

ỵ

CHUYấN VI. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC

SđUV + SđVW = SđUW + k 2p ( k Ỵ Z )
SđUV - SđUW = SđWV + k 2p ( k Ỵ Z )
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
DẠNG TOÁN: XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN ĐẾN CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC
1. Phương pháp giải
Ngồi việc sử dụng định nghĩa góc và cung lượng giác, cơng thức tính độ dài cung trịn khi biết số
đo, mối liên hệ giữa đơn vị độ, rađian và hệ thức salơ chúng ta cần lưu ý đến kết quả sau:
Nếu một góc(cung) lượng giác có số đo a 0 (hay a rad ) thì mọi góc(cung) lượng giác cùng tia
đầu(điểm đầu), tia cuối(điểm cuối) với nó có số đo dạng dạng a 0 + k 3600 (hay a + k 2p rad , k Ỵ Z ), mỗi
góc(cung) ứng với mỗi giá trị của k . Từ đó hai góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối thì sai khác nhau
một bội của 2p
2. Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: a) Đổi số đo của các góc sau ra rađian: 720 , 6000 , - 37 0 45 ' 30 '' .
b) Đổi số đo của các góc sau ra độ:
Lời giải:
a) Vì 10 =

5p 3p
, ,- 4 .
18 5

p
p
2p
p
10p
rad nên 720 = 72.
=
, 6000 = 600.
=
,
180
180
5
180
3

ỉ 45 ư
ỉ 30 ÷ư
ỉ 4531 ư÷
4531 p
-37 0 45 ' 30 '' = -37 0 - ỗỗ ữữ - ỗỗ

.
ằ 0, 6587
ữ = ỗỗ
ữ =
ỗố 60 ữứ
ỗố 60.60 ữứ
ỗố 120 ữứ
120 180
0

0

0

ổ 180 ửữ
5p ổỗ 5p 180 ửữ
3p ổỗ 3p 180 ửữ
=ỗ .
=ỗ .
b) Vỡ 1rad = çç
÷÷ nên
÷ = 50o ,
÷ = 108o ,
çè p ø
çè 18 p ứữ
ỗố 5 p ứữ
18
5
0

0

0

ổ 180 ửữ
ổ 720 ửữ
-4 = - ỗỗ 4.
ữữ = - ỗỗ
ữ ằ -22600 48 ' .
ỗố p ữứ
ốỗ p ứ
0

0

Vớ d 2: Mt ng trịn có bán kính 36m . Tìm độ dài của cung trên đường trịn đó có số đo là
3p
4
Lời giải:

b) 510

a)

c)

1
3

Theo cơng thức tính độ dài cung trịn ta có l = Ra =

a) Ta có l = Ra = 36.
b) Ta có l =

3p
= 27 p » 84, 8m
4

pa
.R nên
180

pa
p51
51p
.R =
.36 =
» 32, 04m
180
180
5

1
c) Ta có l = Ra = 36. = 12m
3
Ví dụ 3: Cho hình vng A0A1A2A4 nội tiếp đường tròn tâm O (các đỉnh được

A1

O

sắp xếp theo chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ). Tính s o ca cỏc
ỵ

A0

ỵ

i, j = 0,1,2, 3, 4, i ¹ j ).
cung lượng giác A0Ai , AA
i j (
-- 3 --

A2

A3


CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10

CHUYÊN ĐỀ VI. CUNG V GểC LNG GIC

Li gii:
ỵ


Ta cú A0OA0 = 0 nờn s A0A0 = k 2p , k ẻ Z
ỵ

p
p

A0OA1 = nên sđ A0A1 = + k 2p , k Ỵ Z
2
2
ỵ


A0OA2 = p nờn s A0A1 = p + k 2p , k ẻ Z

ỵ

p
p
3p
A0OA3 = nờn s A0A3 = 2p - + k 2p =
+ k 2p , k ẻ Z
2
2
2
ỵ

Nh vy s A0Ai =

ip
+ k 2p , i = 0,1,2, 3 , k ẻ Z
2
ỵ

ỵ

ỵ

p
+ k 2p , k Ỵ Z .
2
Ví dụ 4: Tìm số đo a của góc lượng giác (Ou,Ov ) với 0 £ a £ 2p , biết một góc lượng giác cùng tia đầu,

AA
Theo hệ thức salơ ta có sđ AA
i j =sđ 0 j - sđ A0Ai + k 2p = ( j - i ) .
tia cuối với góc đó có số đo là:
33p
4
Lời giải:

b) -

a)

291983p
3

a) Mọi góc lượng giác (Ou,Ov ) có số đo là
Vì 0 £ a £ 2p nên 0 £
Û-

c) 30
33p
+ k 2p, k Ỵ Z
4

33p
33
+ k 2p £ 2p, k Ỵ Z Û 0 £
+ k 2 £ 2, k Ỵ Z
4
4

33
25
£ k £ - , k Ỵ Z Û k = -4
8
8

Suy ra a =

33p
p
+ ( -4 ) .2p =
4
4

b) Mọi góc lượng giác (Ou,Ov ) có số đo là Vì 0 £ a £ 2p nên 0 £ Û

291983p
+ k 2p, k Ỵ Z
3

291983p
291983
+ k 2p £ 2p, k Ỵ Z Û 0 £ + k 2 £ 2, k Ỵ Z

3
3

291983
291989
£k £
,k ỴZ Ûk =
6
6

291983p
p
+ 48664.2p =
3
3
c) Mọi góc lượng giác (Ou,Ov ) có số đo là 30 + k 2p, k Ỵ Z

Suy ra a = -

Vì 0 £ a £ 2p nên 0 £ 30 + k 2p £ 2p, k Î Z Û 0 £
15
p - 15
£k £
, k Î Z Û k = -4
p
p
Suy ra a = 30 + ( -4 ) .2p = 30 - 8p » 4, 867 .
Û-

-- 4 --

15
+ k £ 1, k Ỵ Z
p


CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10

CHUYÊN ĐỀ VI. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC

p
29p
22 6p 41p
; - ;
;
Vi dụ 5: Cho góc lượng giác (Ou,Ov ) có số đo - . Trong các số , những số nào
7
7
7
7
7
là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho?
Lời giải:
Hai góc có cùng tia đầu, tia cuối thì sai khác nhau một bội của 2p do ú
29p ổỗ p ửữ
22 ổỗ p ửữ
6p ổỗ p ửữ
41p ổỗ p ửữ
Vỡ - ỗ - ữữ = ( -2 ) .2p , - ỗ - ữữ = -3p ,
- ỗ - ữữ = p v

- ỗ - ữữ = 3.2p nờn
ỗố 7 ứ
7
7 ốỗ 7 ứ
7
7
ốỗ 7 ứ
ốỗ 7 ứ

cỏc s -

29p 41p
;
l s o ca mt góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho.
7
7

Ví dụ 6: Cho sđ (Ou, Ov ) = a và sđ (Ou ', Ov ' ) = b . Chứng minh rằng hai góc hình học uOv, u 'Ov '
bằng nhau khi và chỉ khi hoặc b - a = k 2p hoặc b + a = k 2p với k Ỵ Z .
Lời giải:

Ta có sđ (Ou, Ov ) = a và sđ (Ou ', Ov ' ) = b suy ra tồn tại a0 , p < a0 £ p , f0 , p < b0 £ p và số
nguyên k 0 , l 0 sao cho a = a 0 + k 0 2p, b = b0 + l 0 2p .



Khi đó a0 là số đo của uOv và b0 là số đo của u 'Ov ' .

é a0 = b0
Hai góc hình học uOv, u 'Ov ' bằng nhau khi và chỉ khi a0 = b0 Û êê

êë a0 = -b0
Û b - a = k 2p hoặc b + a = k 2p với k Ỵ Z .
3. Bài tập luyện tập
Bài 6.0: a) Đổi số đo của các góc sau ra rađian: 200 , 40025 ', - 27 0 .( chính xác đến 0, 001 )
b) Đổi số đo của các góc sau ra độ:

p
2p
,- ,- 5 .
17
7

Bài 6.1: Hai góc lượng giác có số đo

39p
mp
và
( m là số nguyên ) có thể cùng tia đầu, tia cuối được
7
9

khơng?
Bài 6.2: Một đường trịn có bán kính 25m . Tìm độ dài của cung trên đường trịn đó có số đo là
a)

3p
7

b) 490

c)

4
3

Bài 6.3: Tìm số đo a 0 của góc lượng giác (Ou,Ov ) với 0 £ a £ 360 , biết một góc lượng giác cùng tia
đầu, tia cuối với góc đó có số đo là:
a) 3950

b) -10520

c) ( 20p )

0

Bài 6.4: Cho lục giác đều A0A1A2A4A5A6 nội tiếp đường tròn tâm O (các đỉnh được sắp xếp theo chiu ngc
ỵ

ỵ

i, j = 0,1,2, 3, 4, 5, i ạ j ).
chiều quay của kim đồng hồ). Tính số đo ca cỏc cung lng giỏc A0Ai , AA
i j (
ỵ

ỵ

p
p
Bi 6.5: Trên đường tròn lượng giác gốc A . Cho điểm M , N sao cho sđ AM = , s AN = - . Cỏc

5
5
ỵ

ỵ

im M ', N ' lần lượt là các điểm đối xứng của M , N qua tâm đường trịn. Tìm số đo của cung AM ', AN '
ỵ

v M ' N ' .
-- 5 --


CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10

CHUYÊN ĐỀ VI. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC

CHỦ ĐỀ 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC (CUNG) LƯỢNG GIÁC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Giá trị lượng giác của góc(cung) lượng giác
a) Đường trịn lượng giác: Đường tròn lượng giác là đường tròn
đơn vị, định hướng và trên đó chọn điểm A làm gốc.
y
b) Tương ứng giữa số thực và điểm trên đường tròn lượng giác
B
Điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA,OM ) = a gọi là
điểm xác định bởi số a (hay bởi cung a , hay bởi góc a ). Điểm M
còn được gọi là điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung(góc)
lượng giác có số đo a .
Nhận xét: Ứng với mỗi số thực a có một điểm nằm trên đường trịn

lượng(điểm xác định bởi số đó) tương tự như trên trục số. Tuy nhiên,
mỗi điểm trên đường trịn lượng giác ứng với vơ số thực. Các số thực
có dạng là a + k 2p, k Ỵ Z .

H

O

t
T
S s
M(x;y)

K

A x

d) Giá trị lượng giác sin, côsin, tang và côtang: Cho hệ trục tọa độ gắn với đường trịn lượng giác. Với
mỗi góc lượng giác (Ou,Ov ) có số đo a , xác định điểm M ( x ; y ) trên đường tròn lượng giác sao cho sđ...
Khi đó ta định nghĩa
cos a = x , sin a = y

tan a =

ử
sin a ổỗ
p
ỗỗ a ạ + k p ữữữ
cos a ố
2

ứ

cos a
(a ạ kp )
sin a
í nghĩa hình học: Gọi K , H lần lượt là hình chiếu của M lên trục Ox ,Oy . Vẽ trục số At gốc A cùng
cot a =

hướng với trục Oy và vẽ trục số Bs gốc B cùng hướng với trục Ox , gọi T , S lần lượt là giao điểm của
đường thẳng OM cắt với các trục sơ At, Bs . Khi đó ta có:

sin a = OH , cos a = OK , tan a = AT , cot a = BS
e) Tính chất:
sin a, cos a xác định với mọi giá trị của a và -1 £ sin a £ 1, - 1 £ cos a £ 1 .
p
+ k p , cot a xác định khi a ¹ k p
2
sin a = sin ( a + k 2p ), cos a = cos ( a + k 2p )

tan a được xác định khi a ¹

tan a = tan ( a + k p ), cot a = cot ( a + k p )

f) Dấu của các giá trị lượng giác:
Dấu của các giá trị lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm M nằm trên đường tròn lượng giác.
Bảng xét dấu
Phần tư
I
II
III

IV
Giá trị lượng giác
+
–
–
+
cos
+
+
–
–
sin
+
–
+
–
tan
+
–
+
–
cot
-- 6 --


CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10

CHUYÊN ĐỀ VI. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC

g) Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt.

Góc a

sin a

cosa
tan a
cot a

0
00
0

p
6
300

p
4
450

p
3
600

1
2

2
2

3
2

1

3
2

0

3
3

1

||

3

1

1
2

2
2

2. Các hệ thức lượng giác cơ bản

p

2
900

2p
3
1200

3p
4
1350

3
2

2
2

1

1800

3p
2
2700

3600

0

–1

0

–1

0

1

p

2p

0

-

1
2

-

3

||

- 3

–1

0

||

0

3
3

0

-

3
3

–1

||

0

||

2
2

1) sin2 a + cos2 a = 1
1
p

2) 1 + tan2 a =
(a ¹ + k p)
2
2
cos a
1
3) 1 + cot2 a =
(a ¹ k p)
sin2 a
kp
4) tan a.cot a = 1 (a ¹
)
2
3. Giá trị lượng giác của góc(cung) có liên quan đặc biệt.

Góc đối nhau ( a và -a )

Góc bù nhau( a và p - a )

Góc phụ nhau( a và

cos(-a) = cos a

sin(p - a) = sin a

ổp
ử
sin ỗỗ - a ữữữ = cos a
ỗố 2
ứ

sin(-a) = - sin a

cos(p - a) = - cos a

tan(-a) = - tan a

tan(p - a) = - tan a

cot(-a) = - cot a

cot(p - a) = - cot a

ổp
ử
cos ỗỗ - a ữữ = sin a
ữứ
ỗố 2

ổp
ử
tan ỗỗ - a ữữ = cot a
ữứ
ỗố 2

ổp
ử
cot çç - a ÷÷÷ = tan a
çè 2
ø

p
p
( a và + a )
2
2

Góc hơn kém p ( a và p + a )

Góc hơn kém

sin(p + a) = - sin a

ổp
ử
sin ỗỗ + a ữữ = cos a
ỗố 2
ứữ

cos(p + a) = - cos a
tan(p + a) = tan a
cot(p + a) = cot a

ổp
ử
cos ỗỗ + a ữữữ = - sin a
ỗố 2
ứ

ổp
ử

tan ỗỗ + a ữữữ = - cot a
ỗố 2
ứ

ổp
ử
cot ỗỗ + a ữữ = - tan a
ữứ
ỗố 2
-- 7 --

p
-a)
2


CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10

CHUYÊN ĐỀ VI. CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC

Chú ý: Để nhớ nhanh các cơng thức trên ta nhớ câu: " cos đối sin bù phụ chéo hơn kém p tang côtang, hơn
p
chéo sin". Với ngun tắc nhắc đến giá trị nào thì nó bằng cịn khơng nhắc thì đối.
2
B. CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
DẠNG TỐN 1: BIỂU DIỄN GĨC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC
1. Phương pháp giải
Để biểu diễn các góc lượng giác trên đường tròn lượng giác ta thường sử dụng các kết quả sau
Góc a và góc a + k 2p, k Ỵ Z có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.

kém

k 2p
( với k là số nguyên và m là số
m
nguyên dương) là m. Từ đó để biểu diễn các góc lượng giác đó ta lần lượt cho k từ 0 tới ( m - 1 ) rồi biểu

Số điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn bởi số đo có dạng a +

diễn các góc đó.
2. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Biểu diễn các góc(cung) lượng giác trên đường trịn lượng giác có số đo sau:
p
4
Lời giải

b) -

a)

11p
2

c) 1200

d) -7650

y

p

1
a) Ta có 4 = . Ta chia đường trịn thành tám phần bằng
2p
8
nhau.

Khi đó điểm M 1 là điểm biểu diễn bởi góc có số đo

p
.
4

13p
p
= - + ( -3 ) .2p do đó điểm biểu diễn bởi
b) Ta có 2
2

góc -

A'

11p
p
trùng với góc - và là điểm B ' .
2
2

c) Ta có

B

M2

M1
A

O

x

M3
B'

120
1
= . Ta chia đường trịn thành ba phần bằng nhau.
360
3

Khi đó điểm M 2 là điểm biểu diễn bởi góc có số đo 1200 .

d) Ta có -7650 = -450 + ( -2 ) .3600 do đó điểm biểu diễn bởi góc -7650 trùng với góc -450 .
45
1
= . Ta chia đường trịn làm tám phần bằng nhau (chú ý góc âm )
360
8
' ) là điểm biểu diễn bởi góc có số đo -7650 .
Khi đó điểm M 3 (điểm chính giữa cung nhỏ AB

Ví dụ 2 : Trên đường trịn lượng giác gốc A . Biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau (với k là số nguyên
tùy ý).
p
+ kp ;
3
Các góc lượng giác trên có thể viết dưới dạng công thức duy nhất nào?
Lời giải

x 1 = kp ;

x2 =

k 2p
do đó có hai điểm biểu diễn bởi góc có số đo dạng x 1 = kp
2
Với k = 0 Þ x 1 = 0 được biểu diễn bởi điêm A

Ta có x 1 =

-- 8 --

x3 = -

p
+ kp
3


CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10

CHUYÊN ĐỀ VI. CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC

k = 1 Þ x 1 = p được biểu diễn bởi A '
x2 =

y

p 2k p
+
do đó có hai điểm biểu diễn bởi góc có số
3
2

đo dạng x 2 =

M1

p
+ kp
3

k = 0 Þ x2 =

p
được biểu diễn bởi M 1
3

A'

A

O

x

4p
được biểu diễn bởi M 2
3

k =1Þx =
x3 = -

B

M4

p k 2p
+
do đó có hai điểm biểu diễn bởi góc có số
3
2

đo dạng x 3 = -

M2

B'

M3

p
+ kp
3

k = 0 Þ x3 = -

p
được biểu diễn bởi M 3
3

2p
được biểu diễn bởi M 4 .
3
Do các góc lượng giác x 1, x 2 , x 3 được biểu diễn bởi đỉnh của đa giác đều AM 1M 4A ' M 2M 3 nên các góc
k = 1 Þ x6 =

kp
.
3

lượng giác đó có thể viết dưới dạng một công thức duy nhất là x =

3. Bài tập luyện tập
Bài 6.6: Biểu diễn các góc(cung) lượng giác trên đường trịn lượng giác có số đo sau:
a)

p
3

b) -

17 p
4

c) -450

d) 7650

Bài 6.7: Trên đường tròn lượng giác gốc A . Biểu diễn các góc lượng giác có số đo là x =

p
p
+ k ( k là số
4
2

nguyên tùy ý).
Bài 6.8: Trên đường tròn lượng giác gốc A . Biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau (với k là số nguyên
p
+ kp
2
Các góc lượng giác trên có thể viết dưới dạng cơng thức duy nhất nào?
DẠNG TOÁN 2: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC CHỨA GÓC ĐẶC BIỆT, GÓC LIÊN
QUAN ĐẶC BIỆT VÀ DẤU CỦA GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC
1. Phương pháp giải
Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác
Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt
Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản và giá trị lượng giác của góc liên quan đặc biệt
Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm ngọn của cung (tia cuối của

góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các giá trị lượng giác.
2. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau:

tùy ý).

a) A = sin

x 1 = kp ;

x2 =

7p
5p
7p
+ cos 9p + tan(- ) + cot
6
4
2

b) B =

1
2 sin 2550° cos(-188°)
+
tan 368°
2 cos 638° + cos 98°

d) D = tan2

c) C = sin2 25° + sin2 45° + sin2 60° + sin2 65°
-- 9 --

p
3p
5p
. tan . tan
8
8
8


CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10

CHUYÊN ĐỀ VI. CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC

Lời giải:

ỉ
ỉ
ỉp
ư
pư
pư
a) Ta có A = sin çç p + ÷÷÷ + cos ( p + 4.2p ) - tan ỗỗ p + ữữữ + cot ỗỗ + 3p ữữữ
6ứ
4ứ
ốỗ
ốỗ
ốỗ 2

ứ
ị A = - sin

p
p
p
1
5
+ cos p - tan + cot = - - 1 - 1 + 0 = 6
4
2
2
2

2 sin ( 300 + 7.360° ) cos(8 0 + 180°)
1
+
b) Ta có B =
tan ( 8 0 + 360° ) 2 cos ( -900 + 8 0 + 2.360° ) + cos ( 900 + 8° )
1
( - cos 80 )
1
1
2
B =
+
=
+
=
tan 8 0 2 cos ( 8 0 - 900 ) - sin 8 0

tan 8 0 2 cos ( 900 - 8 0 ) - sin 8 0
1
cos 8 0
1
cos 8 0
=
=
=0
tan 8 0 2 sin 8 0 - sin 8 0
tan 8 0 sin 8 0
2 sin 300 ( - cos 8 0 )

2.

c) Vì 250 + 650 = 900 Þ sin 650 = cos 250 do đó

C = ( sin 25° + cos 25 )
2

2

Suy ra C =

0

2
ổ 2 ửữ
ổ 1 ữử
ỗ
ỗ

ữ +ỗ ữ
+ sin 45 + sin 60 = 1 + çç
çè 2 ÷ø
çè 2 ÷÷ø
2

2

2

7
.
4

ỉ
ỉ pư
p
3p ư é
5p ù
d) D = - ỗỗ tan . tan ữữữ . ờ tan çç - ÷÷÷ tan ú
8
8 ø êë
8 úû
èç
èç 8 ø
Mà

ỉ pư
p 3p
p

p 5p
p
3p
p
5p
+
= ,- +
= Þ tan
= cot , tan
= cot ỗỗ - ữữữ
ỗố 8 ứ
8
8
2
8
8
2
8
8
8

ổ
ổ p ử ổ p ửự
p
pử ộ
Nờn D = - ỗỗ tan .cot ữữữ . ờ tan ỗỗ - ữữữ cot ỗỗ - ữữữ ỳ = -1 .
8
8 ứ ờở
ốỗ
ốỗ 8 ứ ốỗ 8 ứ úû

p
< a < p . Xác định dấu của các biu thc sau:
2
ổp
ử
ổ 3p
ử
a) sin ỗỗ + a ữữữ
b) tan çç
- a ÷÷÷
çè 2
çè 2
ø
ø

Ví dụ 2: Cho

ỉ p
ư
c) cos çç - + a ÷÷÷ . tan ( p - a )
ỗố 2
ứ
Li gii:
a) Ta cú

14p
.cot ( p + a )
9

ỉp
ư
p
p
3p
suy ra sin çç + a ÷÷÷ < 0
çè 2
2
2
2
ø

b) Ta có c) Ta có

d) sin

ỉ 3p
ư
p
3p
p
> -a > -p Þ 0 >
- a > - suy ra tan ỗỗ
- a ữữ < 0
2
2
2
ốỗ 2
ứữ

ổ p
ử
p
p
p
< a < p ị 0 < - + a < suy ra cos ỗỗ - + a ữữ > 0
ữứ
ỗố 2
2
2
2

p
suy ra tan ( p + a ) > 0
2
ổ p
ử
Vy cos ỗỗ - + a ữữữ . tan ( p + a ) > 0 .
ỗố 2
ø

Và 0 < p - a <

-- 10 --


CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10
d) Ta có

CHUYÊN ĐỀ VI. CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC

3p 14p
14p
<
< 2p Þ sin
< 0.
2
9
9

p
3p
< p + a < 2p suy ra cot ( p + a ) < 0 .
2
2

14p
.cot ( p + a ) > 0 .
9
3. Bài tập luyện tập
Các bài tập sau đây đều khơng sử dụng máy tính bỏ túi
Bài 6.9: Tính giá trị các biểu thức sau:

Vậy sin

sin 405° + sin 495°
cos1830° + cos 3660°

a) A =
b) B =

1 + cos1800° tan(-390°)
tan(-420°)

c) D = cos 00 + cos 200 + cos 400 + ... + cos1600 + cos1800
d) E = tan 50 tan100 tan150... tan 800 tan 850

e) F = cos2 15° + cos2 35° + cos2 55° + cos2 75°
Bài 6.10: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = 5 sin2
b) B = cos2

151p
85p
193p
37 p
+ 3 cos2
- 4 tan2
+ 7 cot2
.
6
3
6
3

p
2p
p

3p
+ cos2
+ cos2
+ cos2
.
5
5
10
10

p
2p
5p
7p
tan tan
tan
9
9
18
18
Bài 6.11: Xác định dấu của các biểu thức sau:

c) C = tan

a) A = sin 500.cos(-3000 )

b) B = sin 2150. tan

22p
7

c) C = cot

Bài 6.12: Cho 00 < a < 900 . Xét dấu của các biểu thức sau:
a) sin(a + 900 )

b) cot(a - 900 )

c) tan(2700 - a)
Bài 6.13: Cho 0 < a <
a) cos(a + p)

ỉ
2p ư÷
c) sin ỗỗ a +
ữ
ố
5 ữứ

ổ 2p ử
3p
.sin ỗỗ - ữữữ
ố 3 ø
5

d) cos(2a + 900 )

p
. Xét dấu của các biu thc sau:
2

b) tan(a - p)

ổ
3p ữử
d) cos ỗỗ a ÷
è
8 ÷ø

Bài 6.14: Cho tam giác ABC có góc A tù. Xét dấu của các biểu thức sau:
a) M = sin A + sin B + sin C
b) N = cos A.cos B.cosC

A
B
C
.sin .cot
d) Q = cot A tan B cotC
2
2
2
DẠNG TOÁN 3: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC, CHỨNG MINH BIỂU THỨC
KHƠNG PHỤ THUỘC GĨC, ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC
1. Phương pháp giải
Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản, các hằng đẳng thức đáng nhớ và sử dụng tính chất của giá trị lượng
giác để biến đổi

c) P = cos

-- 11 --

CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10

CHUYÊN ĐỀ VI. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC

+ Khi chứng minh một đẳng thức ta có thể biến đổi vế này thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai
vế cùng bằng một đại lượng khác.
+ Chứng minh biểu thức không phụ thuộc góc x hay đơn giản biểu thức ta cố gắng làm xuất hiện nhân tử
chung ở tử và mẫu để rút gọn hoặc làm xuất hiện các hạng tử trái dấu để rút gọn cho nhau.
2. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)
a) cos4 x + 2 sin2 x = 1 + sin 4 x

sin x + cos x
= cot3 x + cot2 x + cot x + 1
3
sin x
2
cot x - cot2 y
cos2 x - cos2 y
c)
=
cot2 x .cot2 y
cos2 x .cos2 y

b)

d)

ỉ

ỉp
ư
pư
cos4 x + 4 sin2 x = 3 tan ỗỗ x + ữữ tan ỗỗ - x ữữ
ữứ
ỗố
ỗố 6
3 ữứ

sin 4 x + 4 cos2 x +

Lời giải:
a) Đẳng thức tương đương với cos4 x = 1 - 2 sin2 x + ( sin2 x )

2

Û cos4 x = ( 1 - sin2 x ) (*)
2

Mà sin2 x + cos2 x = 1 Þ cos2 x = 1 - sin2 x

Do đó (*) Û cos4 x = ( cos2 x ) (đúng) ĐPCM.
2

sin x + cos x
1
cos x
=
+
3

2
sin x
sin x sin 3 x
1
sin x
Mà cot2 x + 1 =
và tan x =
nên
2
cos x
sin x

b) Ta có VT =

VT = cot2 x + 1 + cot x ( cot2 x + 1 ) = cot3 x + cot2 x + cot x + 1 = VP ĐPCM.
c) Ta có VT =

cot2 x - cot2 y
1
1
=
= tan2 y - tan2 x
2
2
2
cot x .cot y
cot y cot2 x

ổ 1
ử ổ 1

ử
1
1
cos2 x - cos2 y
= ỗỗ 2 - 1 ữữữ - ỗỗ 2 - 1 ữữữ =
=
= VP PCM.
ỗố cos y
ứ ỗố cos x
ứ cos2 y cos2 x
cos2 x .cos2 y

d) VT =
=

sin 4 x + 4 ( 1 - sin2 x ) +

( sin2 x )

2

- 4 sin2 x + 4 +

cos4 x + 4 ( 1 - cos2 x )

( cos2 x )

2

- 4 cos2 x + 4 =

= ( 2 - sin2 x ) + ( 2 - cos2 x ) = 4 - ( sin2 x + cos2 x ) = 3

( sin2 x - 2 )

ổ
ử p
ổp
ử
ổ
pử ổp
pử
Mt khỏc vỡ ỗỗ x + ữữữ + ỗỗ - x ữữữ = ị tan ỗỗ - x ữữữ = cot ỗỗ x + ữữữ nờn
ỗố
ỗố 6
ỗố
3 ứ ỗố 6
3ứ
ứ 2
ứ

ổ
pử ổ
pử
VP = 3 tan ỗỗ x + ữữ cot ỗỗ x + ữữ = 3 ị VT = VP PCM.
ỗố
3 ữứ ỗố
3 ữứ
Vớ dụ 2: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng

B
B
cos3
2
2
= tan A.cot(B + C )
æ A + 2B + C ửữ
ổ A + 2B + C ửữ
ỗ
ỗ
cos ỗ
ữữ sin ỗ
ữữ
2
2
ốỗ
ứ
ốỗ
ứ
sin 3

Lời giải:
-- 12 --

2

+

( cos2 x - 2 )

2


CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10
Vì A + B + C = p nờn

B
B
cos3
2 2 = - ổỗ sin2 B + cos2 B ữữử = -1
VT =
=
ỗỗ
ổ p B ửữ
ổ p B ửữ
B
B
2
2 ữứ
ố
ỗ
ỗ
cos ỗ + ữữ sin ỗ + ữữ - sin
cos
2ứ
2ứ
2
2
ốỗ 2
ốỗ 2

sin 3

B
2

cos3

B
2

CHUYấN VI. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC

sin 3

VP = tan A.cot ( p - A ) = tan A. ( - cot A ) = -1

Suy ra VT = VP . ĐPCM
Ví dụ 3: Đơn giản các biểu thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)
ỉ 3p
ư
ỉ 3p
ư
+ x ÷÷÷ + tan ỗỗ
- x ữữữ + cot(3p - x )
a) A = cos(5p - x ) - sin ỗỗ
ố 2
ứ
ố 2
ứ
b) B =

sin(900° + x ) - cos(450° - x ) + cot(1080° - x ) + tan(630° - x )
cos(450° - x ) + sin(x - 630°) - tan(810° + x ) - tan(810° - x )

c) C =

2-

1
1
1
.
+
với p < x < 2p
sin ( x + 2013p ) 1 + cos x 1 - cos x

Lời giải:
a) Ta có cos(5p - x ) = cos ( p - x + 2.2p ) = cos ( p - x ) = - cos x
ổ 3p
ử
ổ
ử
ổp
ử
p
sin ỗỗ
+ x ữữữ = sin çç p + + x ÷÷÷ = - sin çç + x ữữữ = - cos x
ố 2
ứ
ố

ứ
ố2
ứ
2
ổ 3p
ử
ổ
ử
ổp
ử
p
tan ỗỗ
- x ữữữ = tan ỗỗ p + - x ữữữ = tan ỗỗ - x ữữữ = cot x
ố 2
ứ
ố
ứ
ố2
ứ
2

cot(3p - x ) = cot ( -x ) = - cot x

Suy ra A = - cos x - ( - cos x ) + cot x + ( - cot x ) = 0

b) Ta có sin(900° + x ) = sin ( 1800 + 2.3600 + x ) = sin ( 1800 + x ) = - sin x

cos ( 4500 - x ) = cos ( 900 + 3600 - x ) = cos ( 900 - x ) = sin x

cot(1080° - x ) = cot(3.360° - x ) = cot ( -x ) = - cot x

tan(630° - x ) = tan(3.180° + 900 - x ) = tan(900 - x ) = cot x

sin(x - 630°) = sin ( x - 2.3600 + 900 ) = sin ( x + 900 ) = cos x

tan(810° + x ) = tan(4.180° + 900 + x ) = tan(900 + x ) = - cot x
tan(810° - x ) = tan(4.180° + 900 - x ) = tan(90° - x ) = cot x
Vậy B =

- sin x - sin x - cot x + cot x
-2 sin x
=
sin x + cos x - ( - cot x ) - cot x
sin x + cos x

c) Ta có sin ( x + 2013p ) = sin ( x + p + 1006.2p ) = sin ( x + p ) = - sin x nên

C =

2+
=

1
1 - cos x + 1 + cos x
.
sin x ( 1 - cos x )( 1 + cos x )

2+

1

2
1
2
.
= 2+
.
=
2
sin x 1 - cos x
sin x sin2 x

Vì p < x < 2p Þ sin x < 0 nên
ỉ
1 ửữ
C = 2 ỗỗ 1 ữữ = - 2 cot2 x
2
ỗố
sin x ứ
-- 13 --

ổ
1
2 ỗỗỗ 1 +
ỗố
sin x sin x

ư÷
÷÷
÷ø

CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10

CHUYÊN ĐỀ VI. CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC

Ví dụ 4: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x .
a) A =
b) B =

sin6 x + cos6 x + 2
sin 4 x + cos4 x + 1

1 + cot x
2 + 2 cot2 x
1 - cot x ( tan x - 1 ) ( tan2 x + 1 )

c) C =

sin 4 x + 6 cos2 x + 3 cos4 x + cos4 x + 6 sin2 x + 3 sin 4 x

Lời giải:
a) Ta có Ta có sin 4 a + cos4 a = ( sin2 a + cos2 a ) - 2 sin2 a cos2 a = 1 - 2 sin2 a cos2 a
2

sin6 a + cos6 a = ( sin2 a ) + ( cos2 a ) = ( sin2 a + cos2 a )( sin 4 a + cos4 a - sin2 a cos2 a )
3

3

= sin 4 a + cos4 a - sin2 a cos2 a = 1 - 2 sin2 a cos2 a - sin2 a cos2 a = 1 - 3 sin2 a cos2 a

3 ( 1 - sin2 a cos2 a ) 3
1 - 3 sin2 a cos2 a + 2
=
=
Do đó A =
1 - 2 sin2 a cos2 a + 1
2 ( 1 - sin2 a cos2 a ) 2
Vậy A không phụ thuộc vào x .

2 cos2 x
1
2+
tan x sin2 x
b) Ta có B =
1
1
1( tan x - 1 ) 2
tan x
sin x
2
2
tan x + 1 2 ( sin x + cos x )
tan x + 1 - 2
=
=
=1
tan x - 1
tan x - 1
tan x - 1

Vậy B không phụ thuộc vào x .
1+

c) C =

=
=

( 1 - cos2 x )

2

+ 6 cos2 x + 3 cos4 x +

4 cos4 x + 4 cos2 x + 1 +

( 2 cos2 x + 1 )

2

+

( 1 - sin2 x )

2

+ 6 sin2 x + 3 sin 4 x

4 sin 4 x + 4 sin2 x + 1

( 2 sin2 x + 1 )

2

= 2 cos2 x + 1 + 2 sin2 x + 1
=3

Vậy C không phụ thuộc vào x .
3. Bài tập luyên tập
Giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa.
Bài 6.15: Rút gọn các biểu thức sau:
ỉp
ư
a) A = cos çç + x ÷÷÷ + cos(2p - x ) + cos(3p + x )
è2
ø

ỉ 7p
ư
ỉ 3p
ư
- x ÷÷÷ + cot çç
- x ÷÷÷
b) B = 2 cos x - 3 cos(p - x ) + 5 sin ỗỗ
ố 2
ứ
ố 2
ứ

c) C = 2 sin ( 900 + x ) + sin(9000 - x ) + sin ( 2700 + x ) - cos ( 900 - x )

d) D =

sin(5p + x )cos(x -

9p
) tan(10p + x )
2
.

11
cos(5p - x )sin( p + x ) tan(7 p - x )
2
Bài 6.16: Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)
a) tan2 x - sin2 x = tan2 x .sin2 x
-- 14 --


CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10
b)

CHUYÊN ĐỀ VI. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC

tan 3 x
1
cot3 x
+
= tan 3 x + cot3 x
2
2
sin

x
cos
x
sin x
cos x

c) sin2 x - tan2 x = tan6 x (cos2 x - cot2 x )
tan2 a - tan2 b
sin2 a - sin2 b
=
tan2 a. tan2 b
sin2 a.sin2 b
Bài 6.17: Đơn giản các biểu thức sau

d)

a)
c)

1
- tan2 ( 1800 - x ) - cos2 ( 1800 - x )
cos2 x

b)

sin 3 x + cos3 x
cos2 x + sin x (sin x - cos x )

e)

d)

cos2 x - sin2 x
- cos2 x
cot2 x - tan2 x

1 + sin x
1 - sin x
+
1 - sin x
1 + sin x

1
1
1
1
( 0 < x < p ).
+
.
+
1 + cos x 1 - cos x 1 + sin x 1 - sin x

1
1
1
1
1
1
+
)(

).
sin2 x cos2 x tan2 x cot2 x sin2 x cos2 x
Bài 6.18: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào a .

f) (

a) (tan a + cot a)2 - (tan a - cot a)2

b) 2(sin6 a + cos6 a) - 3(sin 4 a + cos4 a)

c) cot2 300 (sin 8 a - cos8 a) + 4 cos 600 (cos6 a - sin6 a) - sin6 (900 - a) ( tan2 a - 1 )

3

d) (sin 4 a + cos4 a - 1)(tan2 a + cot2 a + 2)

Bài 6.19: Cho tam giác ABC . Hãy rút gọn
ỉ
Bư
10800 + A + C
B
A +C
a) A = cos2 ỗỗ 5400 + ữữữ + cos2
+ tan tan
ỗố
2ứ
2
2
2

ổB
ử
ổB
ử
sin ỗỗ + 7200 ữữ cos çç - 9000 ÷÷
÷ø
÷ø cos ( A + C )
çè 2
ỗố 2
+
. tan B
b) B =
A +C
A +C
sin B
cos
sin
2
2
DNG TON 4: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC KHI BIẾT MỘT GIÁ TRỊ
LƯỢNG GIÁC
1. Phương pháp giải
Từ hệ thức lượng giác cơ bản là mối liên hệ giữa hai giá trị lượng giác, khi biết một giá trị lượng giác ta sẽ
suy ra được giá trị còn lại. Cần lưu ý tới dấu của giá trị lượng giác để chọn cho phù hợp.
Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ trong đại sơ.
2. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính giá trị lượng giác cịn lại của góc a biết:
1
2
3p

a) sin a = và 900 < a < 1800 .
b) cos a = - và p < a <
.
3
3
2
p
3p
c) tan a = -2 2 và 0 < a < p
d) cot a = - 2 và < a <
2
2
Lời giải:
a) Vì 900 < a < 1800 nên cos a < 0 mặt khác sin2 a + cos2 a = 1 suy ra
cos a = - 1 - sin2 a = - 1 -

1
2 2
=9
3

-- 15 --


CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10

CHUYÊN ĐỀ VI. CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC

1
sin a

1
Do đó tan a =
= 3 =cos a
2 2
2 2
3

b) Vì sin2 a + cos2 a = 1 nên sin a = ± 1 - cos2 a = ± 1 Mà p < a <

3p
5
Þ sin a < 0 suy ra sin a = 2
3

4
5
=±
9
3

5
2
sin a
3 = 5 và cot a = cos a =
3 = 2
Ta có tan a =
=
cos a
2
2

sin a
5
5
3
3
1
1
c) Vì tan a = -2 2 Þ cot a =
=tan a
2 2
-

Ta có tan2 a + 1 =

1
1
1
Þ cos2 a =
=
2
2
cos a
tan a + 1
-2 2

(

)

2

+1

=

1
1
Þ cos a = ± .
9
3

Vì 0 < a < p Þ sin a > 0 và tan a = -2 2 < 0 nên cos a < 0
Vì vậy cos a = Ta có tan a =

1
3

ỉ 1ư 2 2
sin a
.
Þ sin a = tan a.cos a = -2 2. ỗỗ - ữữữ =
ỗố 3 ứ
cos a
3

d) Vì cot a = - 2 nên tan a =
Ta có cot2 a + 1 =
Do

1

1
.
=cot a
2

1
1
1
1
1
Þ sin2 a =
=
= Þ sin a = ±
2
2
2
3
sin a
cot a + 1
3
- 2 +1

(

)

p
3p
Þ cos a < 0 và cot a = - 2 < 0 nên sin a > 0

2
2

Do đó sin a =
Ta có cot a =

3
.
3

cos a
3
6
Þ cos a = cot a.sin a = - 2.
=sin a
3
3

Ví dụ 2: a) Tính giá trị lượng giác cịn lại của góc a biết sin a =
b) Cho 3 sin 4 a - cos4 a =
Lời giải:
a) Ta có cot2 a + 1 =

1
. Tính A = 2 sin 4 a - cos4 a .
2

1
và tan a + cot a < 0
5

1
1
=
= 25 Þ cot2 a = 24 hay cot a = ±2 6
2
2
sin a
ổ 1 ữử
ỗỗ ữ
ỗố 5 ữứ

Vỡ tan a , cot a cùng dấu và tan a + cot a < 0 nên tan a < 0, cot a < 0

-- 16 --


CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10
Do đó cot a = -2 6 . Ta lại có tan a =
cot a =

CHUYÊN ĐỀ VI. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC
1
1
.
=cot a
2 6

cos a
1

-2 6
Þ cos a = cot a sin a = -2 6. =
sin a
5
5

b) Ta có 3 sin 4 a - cos4 a =

2
1
1
Û 3 sin 4 a - ( 1 - sin2 a ) =
2
2

Û 6 sin 4 a - 2 ( 1 - 2 sin2 a + sin 4 a ) = 1 Û 4 sin 4 a + 4 sin2 a - 3 = 0

Û ( 2 sin2 a - 1 )( 2 sin2 a + 3 ) = 0 Û 2 sin2 a - 1 = 0 (Do 2 sin2 a + 3 > 0 )

Suy ra sin2 a =

1
.
2

Ta lại có cos2 a = 1 - sin2 a = 1 ỉ1ư
ỉ1ư
1
Suy ra A = 2 ỗỗ ữữ - ỗỗ ữữ =
ỗố 2 ữứ

ỗố 2 ÷ø
4
2

2

Ví dụ 3: a) Cho cos a =

tan a + 3 cot a
2
. Tính A =
.
tan a + cot a
3

b) Cho tan a = 3 . Tính B =
c) Cho cot a =
Lời giải:

1
1
=
2
2

sin a - cos a
sin a + 3 cos3 a + 2 sin a
3

5 . Tính C = sin2 a - sin a cos a + cos2 a

1
1
+2
2
2
tan
a
+
3
tan
a
cos
a
=
=
= 1 + 2 cos2 a
a) Ta có A =
1
1
tan2 a + 1
tan a +
tan a
cos2 a
tan a + 3

Suy ra A = 1 + 2.

4
17

=
9
9

sin a
cos a
tan a ( tan2 a + 1 ) - ( tan2 a + 1 )
3
cos a cos3 a
=
b) B =
sin 3 a 3 cos3 a 2 sin a
tan 3 a + 3 + 2 tan a ( tan2 a + 1 )
+
+
cos3 a
cos3 a
cos3 a
Suy ra B =

3 ( 9 + 1) - ( 9 + 1)

27 + 3 + 2.3 ( 9 + 1 )

c) Ta có C = sin2 a.
=

=

2

9

2
ỉ
ư
sin2 a - sin a cos a + cos2 a
2
ỗỗ 1 - cos a + cos a ữữ
=
sin
a
2
2
ỗố
sin a
sin a
sin a ữứ

1
1
( 1 - cot a + cot2 a ) =
2
1 + cot a
1+ 5

Ví dụ 4: Biết sin x + cos x = m

( )

2

(1 -

a) Tìm sin x cos x và sin 4 x - cos4 x
b) Chứng minh rằng m £

)

5+5 =

2

Lời giải:
-- 17 --

6- 5
6


CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10

CHUYÊN ĐỀ VI. CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC

a) Ta có ( sin x + cos x ) = sin2 x + 2 sin x cos x + cos2 x = 1 + 2 sin x cos x (*)
2

Mặt khác sin x + cos x = m nên m 2 = 1 + 2 sin a cos a hay sin a cos a =
Đặt A = sin 4 x - cos4 x . Ta có

A=

( sin2 x + cos2 x )( sin2 x - cos2 x )

=

m2 - 1
2

( sin x + cos x )( sin x - cos x )

Þ A2 = ( sin x + cos x ) ( sin x - cos x ) = ( 1 + 2 sin x cos x )( 1 - 2 sin x cos x )
2

2

2
2
4
æ
m 2 - 1 ửổ
ữữ ỗỗ 1 - m - 1 ửữữ = 3 + 2m - m
ị A2 = ỗỗ 1 +
ỗố
2 ữứốỗ
2 ữứ
4

Vy A =

3 + 2m 2 - m 4

2

b) Ta có 2 sin x cos x £ sin2 x + cos2 x = 1 kết hợp với (*) suy ra

( sin x + cos x )

2

Vậy m £

£ 2 Þ sin x + cos x £

2

2

3. Bài tập luyện tập
Bài 6.20: Tính các giá trị lượng giác còn lại, biết
a) sin a =

3
với 00 < a < 900
5

1
với 0 < a < p
5
c) tan a = 2 và p < a < 2p
d) cos a = 0, 8 và tan a + cot a > 0

b) cos b =

Bài 6.21: a) Cho cos a =
b) Cho sin a =

cot a + 3 tan a
2
. Tính A =
2 cot a + tan a
3

3 cot a + 2 tan a + 1
1
. Tính B =
cot a + tan a
3

c) Cho tan a = 2 . Tính C =

2 sin a + 3 cos a
;
sin a + cos a

d) Cho cot a = 5 . Tính D = 2 cos2 a + 5 sin a cos a + 1
Bài 6.22: Biết tan x + cot x = m .
a) Tìm tan2 x + cot2 x

b)

tan6 x + cot6 x

tan 4 x + cot4 x

c) Chứng minh m ³ 2

12
. Tính sin 3 a + cos3 a
25
Bài 6.24: Cho tan a - cot a = 3 . Tính giá trị các biểu thức sau:

Bài 6.23: Cho sin a cos a =

a) A = tan2 a + cot2 a

b) B = tan a + cot a

c) C = tan 4 a - cot4 a

3
. Tính A = sin 4 x + 3 cos4 x .
4
CHỦ ĐỀ 3: MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
A. TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1. Cơng thức cộng

Bài 6.25: Cho 3 sin 4 x + cos4 x =

-- 18 --


CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10

CHUYÊN ĐỀ VI. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC

sin(a + b) = sin a.cos b + sin b.cos a
sin(a - b) = sin a.cos b - sin b.cos a
cos(a + b) = cos a.cos b - sin a.sin b
cos(a - b) = cos a.cos b + sin a.sin b
tan a + tan b
tan(a + b) =
1 - tan a. tan b
tan a - tan b
tan(a - b) =
1 + tan a. tan b
2. Công thức nhân đôi, hạ bậc
a) Công thức nhân đôi.
sin 2a = 2 sin a.cos a
cos 2a = cos2 a - sin2 a = 2 cos2 a - 1 = 1 - 2 sin2 a

tan 2a =

b) Công thức hạ bậc.

2 tan a
1 - tan2 a

1 - cos 2a
2
1 + cos 2a
2
cos a =

2
1
cos
2a
tan2 a =
1 + cos 2a
3. Công thức biến đổi tích thành tổng.
sin2 a =

1é
cos(a + b) + cos(a - b) ùû
2ë
1
sin a sin b = - éë cos(a + b) - cos(a - b) ùû
2
1é
sin a cos b = ë sin(a + b) + sin(a - b) ùû
2
4. Cơng thức biển đổi tổng thành tích.
cos a cos b =

cos a + cos b = 2 cos

tan a + tan b =

a +b
a -b
.cos
2
2

tan a - tan b =

sin(a + b)
cos a.cos b

sin(a - b)
cos a.cos b

a +b
a -b
sin(a + b)
.sin
cot a + cot b =
2
2
sin a.sin b
a +b
a -b
sin(b - a )
sin a + sin b = 2 sin
.cos
cot a - cot b =
2
2
sin a.sin b
a +b
a -b
sin a - sin b = 2 cos
.sin

2
2
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
DẠNG TỐN 1: TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC, BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Phương pháp giải
Sử dụng công thức lượng giác một cách linh hoạt để biến đổi biểu thức lượng giác nhằm triệt tiêu các giá
trị lượng giác của góc khơng đặc biệt và đưa về giá trị lượng giác đặc biệt.
2. Các ví dụ minh họa
cos a - cos b = - 2 sin

-- 19 --


CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10

CHUYÊN ĐỀ VI. CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC

Ví dụ 1: Tính các giá trị lượng giác sau: cos 7950 , sin 18 0 , tan
Lời giải:

7p
5p
, cot
.
12
8

Vì 7950 = 750 + 2.3600 = 300 + 450 + 2.3600 nên
6- 2
4

3 2 1 2
.
- .
=
2 2
2 2

cos 7950 = cos 750 = cos 300 cos 450 - sin 300 sin 450 =

Vì 54 0 + 360 = 900 nên sin 54 0 = cos 360
Mà cos 360 = cos ( 2.18 0 ) = 1 - 2 sin2 18 0

sin 54 0 = sin ( 18 0 + 360 ) = sin18 0 cos 360 + sin 360 cos18 0

= sin18 0. ( 1 - 2 sin2 18 0 ) + 2 sin18 0 cos2 18 0 = sin18 0. ( 1 - 2 sin2 18 0 ) + 2 sin18 0 ( 1 - sin2 18 0 )

= 3 sin18 0 - 4 sin 3 18 0
Do đó 3 sin18 0 - 4 sin 3 18 0 = 1 - 2 sin2 18 0 Û ( sin18 0 - 1 )( 4 sin2 18 0 + 2 sin18 0 - 1 ) = 0
Û sin 18 0 = 1 hoặc sin 18 0 =

5 -1
hoặc sin 18 0 =
2

Vì 0 < sin 18 0 < 1 nên sin 18 0 =

5 -1
.
2

5 +1
2

p
p
tan + tan
ỉ
ư
7p
p p
3
4 = 3 + 1 = -2 - 3
tan
= tan ỗỗ + ữữữ =
ỗ
12
p
p
ố3 4ứ
1- 3
1 - tan tan
3
4
ổp pử
5p
p
cot
= cot ỗỗ + ữữữ = - tan
ỗ

8
8
ố2 8ứ
ổ pử
p
Ta li cú 1 = tan = tan ỗỗ 2. ữữữ =
ỗố 8 ứ
4
1 - tan2
tan

Do tan

2 tan

p
8

p
1 - tan
8

suy ra

2

p
p
p
p

= 2 tan Û tan2 + 2 tan - 1 = 0
8
8
8
8

p
p
= -1 - 2 hoặc tan = -1 + 2
8
8
p
p
> 0 nên tan = -1 + 2
8
8

5p
= 1- 2
8
Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau:

Vậy cot

a) A = sin 220 30 ' cos 2020 30 '

b) B = 4 sin 4

p
2p

- sin
5
15
c) C =
p
2p
cos - cos
5
15
Lời giải:
sin

d) D = sin

-- 20 --

p
p
+ 2 cos
16
8

p
5p
7p
- sin
+ sin
9
9
9

CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10

CHUYÊN ĐỀ VI. CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC

a) Cách 1: Ta có cos 2020 30 ' = cos ( 1800 + 220 30 ' ) = - cos 220 30 '
1
2
Do đó A = - sin 220 30 ' cos 220 30 ' = - sin 450 = 2
4
1
1
Cách 2: A = éë sin ( 220 30 '+ 2020 30 ' ) + sin ( 220 30 '- 2020 30 ' ) ùû = éë sin 2250 + sin ( -1800 ) ùû
2
2
=

1é
1
2
sin ( 1800 + 450 ) - sin 1800 ùû = - sin 450 = ở
2
2
4

ổ
ộ
ổ p ửự
pử

p
p
b) B = ỗỗ 2 sin2 ÷÷÷ + 2 cos = ê 1 - cos çç 2. ÷÷÷ ú + 2 cos
êë
16 ø
8
8
èç
èç 16 ø úû
2

2

p
2
1 + cos
1+
p
p
p
4 = 1+
2 = 6+ 2
= 1 - 2 cos + cos2 + 2 cos = 1 +
8
8
8
2
2
4
1 ổ p 2p ửữ

1 ổ p 2p ử
p
2p
p
2 cos ỗỗ +
ữữ sin ỗỗ - ữữữ
sin - sin
cos
ỗ
ỗ
2 ố 5 15 ø 2 è 5 15 ø
5
15 =
6 = - cot p = - 3
=c) C =
ỉ
ư
ỉ
ư
p
2p
1 p 2p ÷
1 p 2p
p
6
cos - cos
-2 sin ỗỗ +
sin
ữữ sin ỗỗ - ữữữ
ỗ

ỗ
5
15
2 è 5 15 ø 2 è 5 15 ø
6
ỉ
p
7p ư
5p
4p
p
5p
4p
5p
d) D = ỗỗ sin + sin ữữữ - sin
= 2 sin .cos - sin
= sin
- sin
=0
ỗố
9
9 ứ
9
9
3
9
9
9
Vớ d 3: Tớnh giá trị biểu thức lượng giác sau:
1

1
a) A =
+
0
cos 290
3 sin 2500

b) B = ( 1 + tan 200 )( 1 + tan 250 )
d) D = sin2

c) C = tan 90 - tan 27 0 - tan 630 + tan 810
Lời giải:

p
2p
p
2p
+ sin2
+ sin sin
9
9
9
9

a) Ta có cos 2900 = cos ( 1800 + 900 + 200 ) = - cos ( 900 + 200 ) = sin 200

sin 2500 = sin ( 1800 + 900 - 200 ) = - sin ( 900 - 200 ) = - cos 200

C =

1
sin 200

=4

1

3 cos 200

=

3
1
cos 200 - sin 200
3 sin 20 - sin 20
2
=4 2
0
0
0
3 sin 20 .cos 20
3.2.sin 20 .cos 200

sin 600 cos 200 - cos 600 sin 200

0

=

0

4 sin 400

=

4 3
3

3 sin 400
3 sin 400
0
0
0
0
0
ỉ
sin 200 ưỉ
÷÷ çç 1 + sin 25 ư÷÷ = sin 20 + cos 20 . sin 25 + cos 25
b) Cách 1: Ta cú B = ỗỗ 1 +
ỗố
cos 200 ữứốỗ
cos 250 ÷ø
cos 200
cos 250
sin 200 cos 450 + cos 200 sin 450
sin 250 cos 450 + cos 250 sin 450
.
2.
cos 200
cos 250

sin 650 sin 700
=2
=2
cos 200 cos 250
tan 200 + tan 250
Cách 2: Ta có tan 450 = tan ( 200 + 500 ) =
1 - tan 200 tan 250
tan 200 + tan 250
Û tan 200 + tan 250 + tan 200 tan 250 = 1
Suy ra 1 =
0
0
1 - tan 20 tan 25
=

2.

-- 21 --


CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10

CHUYÊN ĐỀ VI. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC

Û ( 1 + tan 200 )( 1 + tan 250 ) = 2 .

Vậy B = 2

c) C = tan 90 + tan 810 - ( tan 27 0 + tan 630 )

sin 90 cos 810 + sin 810 cos 90 sin 27 0 cos 630 + sin 630 cos 27 0
cos 90 cos 810
cos 27 0 cos 630
2 ( sin 54 0 - sin 18 0 )
1
1
2
2
=
=
=
cos 90 sin 90 cos 27 0 sin 27 0
sin 18 0 sin 54 0
sin 18 0 sin 54 0
4 cos 360.sin 18 0
=
=4
sin 18 0.sin 54 0
=

p
2p
p
2p ổỗ
p
2p ử
p
2p
+ sin2
+ sin sin

= ỗ sin + sin ữữữ - sin sin
d) D = sin
9
9
9
9
9
9 ứ
9
9
ốỗ
2

2

ổ
p
pử
1ổ
p
pử
p
1ổ1
pử
= ỗỗ 2 sin cos ữữ + ỗỗ cos - cos ữữ = cos2
+ ỗỗ - cos ữữ
ỗố
6
18 ữứ
2 ỗố

3
9 ữứ
18 2 ỗố 2
9 ữứ
p
1 + cos
9 + 1 ổỗ 1 - cos p ửữữ = 3
=
ỗ
2
2 ỗố 2
9 ữứ 4
2

Lu ý: Bin i sau thường xuyên được sử dụng
é1
ù
3
p
sin x ± 3 cos x = 2 êê sin x ±
cos x úú = 2 sin(x ± )
2
3
ëê 2
ûú

é 3
ù
1
p

3 sin x ± cos x = 2 êê
sin x ± cos x úú = 2 sin(x ± )
2
6
ëê 2
ûú

é 1
ù
1
p
2ê
sin x ±
cos x ú = 2 sin(x ± ) .
êë 2
ú
4
2
û
Ví dụ 4: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau:
sin x ± cos x =

a) A = sin

p
p
p
p
cos .cos .cos
32

32
16
8

b) B = sin 10o.sin 30o.sin 50o.sin 70o

c) C = cos

p
3p
+ cos
5
5

d) D = cos2

Lời gii:

p
2p
3p
+ cos2
+ cos2
7
7
7

1ổ
p
pử

p
p
1
p
p
p
1
p
p
1
p
2
a) A = ỗỗ 2 sin cos ữữữ .cos .cos = sin .cos .cos = sin .cos = sin =
2 ỗố
32
32 ứ
16
8
2
16
16
8
4
8
8
8
4
16

b) Ta cú B =

1
cos 200 cos 400 cos 80o do đó
2

16 sin 200.B = 8 sin 200 cos 200 cos 400 cos 80o
= 4 sin 400 cos 400 cos 80o
= 2 sin 800 cos 800 = sin1600
sin 1600
1
=
Suy ra B =
.
0
16
16 sin 20
p
2p
p
c) Ta có C = 2 cos cos . Vì sin ¹ 0 nên
5
5
5
-- 22 --


CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10

CHUYÊN ĐỀ VI. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC

p
p
p
2p
2p
2p
4p
2 sin .C = 4 sin cos cos
= 2 sin cos
= sin
5
5
5
5
5
5
5

Suy ra C =
c) D =

1
2

2p
4p
6p
1 + cos
1 + cos
7 +

7 +
7 = 3 + 1 ổỗ cos 2p + cos 4p + cos 6p ữữử
ỗ
2
2
2
2 2 ỗố
7
7
7 ữứ

1 + cos

Xột T = cos

2p
4p
6p
p
+ cos
+ cos
, vì sin ¹ 0 nên
7
7
7
7

p
p
2p

p
4p
p
6p
2 sin T = 2 sin cos
+ 2 sin cos
+ 2 sin cos
7
7
7
7
7
7
7
ỉ
ư÷ ỉ
ư÷ ỉ
3
p
p
5
p
3
p
5p ư
= çç sin
- sin ÷ + çç sin
- sin ÷ + çç sin p - sin ÷÷
çè
7

7 ÷ø çè
7
7 ÷ø çè
7 ÷ø
p
= - sin
7
1
Suy ra T = - .
2
3 1 æ 1ử 5
Vy D = + . ỗỗ - ữữữ = .
2 2 ỗố 2 ứ 4
Vớ d 5: Cho a, b thoả mãn sin a + sin b =
sin ( a + b ) .

2
6
và cos a + cos b =
. Tính cos ( a - b ) và
2
2

Lời giải:
Ta có sin a + sin b =

2
1
Û sin2 a + sin2 b + 2 sin a sin b = (1)
2

2

6
3
Û cos2 a + cos2 b + 2 cos a cos b = (2)
2
2
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được
cos a + cos b =

sin2 a + sin2 b + cos2 a + cos2 b + 2 sin a sin b + 2 cos a cos b = 2
Û 2 + 2 ( sin a sin b + cos a cos b ) = 2 Û 2 cos ( a - b ) = 0

Vậy cos ( a - b ) = 0

Từ giả thiết ta có ( sin a + sin b )( cos a + cos b ) =

2 6
.
2 2

Û sin a cos a + sin a cos b + sin b cos a + sin b cos b =

3
2

1
3
( sin 2a + sin 2b ) + sin ( a + b ) =
2

2
Mặt khác sin 2a + sin 2b = 2 sin ( a + b ) cos ( a - b ) = 0 (Do cos ( a - b ) = 0 )
Û

Suy ra sin ( a + b ) =
3. Bài tập rèn luyện

3
2

p
p
11p
Bài 6.26: Tính các giá trị lượng giác sau sin , sin , cot
8
16
12

-- 23 --


CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10

CHUYÊN ĐỀ VI. CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC

Bài 6.27: Tính giá trị của biểu thức sau:

b) B = ( 1 - cot230 )( 1 - cot220 )

a) A = 4 sin 450 cos120 cos 30 - sin 54 0 - sin 360

p
p
+ 2 sin
5
20
d) D =
p
p
2 cos - 2 sin
5
20
2 sin

p
5p
7p
+ cos
+ cos
9
9
9

c) C = cos

Bài 6.28: Tính:
a) Tính giá trị lượng giác của góc

p
12

b) cos4

p
p
- sin 4
24
24

c) cos 360 - cos 720
Bài 6.29: Tính giá trị của các biểu thức sau:

d) sin 100 sin 500 sin 700

a) A = cos2 730 + cos2 47 0 + cos 730 cos 47 0

b) B = sin 60 sin 420 sin 660 sin 78 0

p
4p
5p
1
cos
cos
- 4 sin 700
d) D =
7
7
7
sin 100

Bài 6.30: Cho a, b thoả mãn sin a + sin b = m và cos a + cos b = n , mn ¹ 0 .

c) C = cos

Tính cos ( a - b ), cos ( a + b ) và sin ( a + b ) .
Bài 6.31: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) A = sin

p
7p
13p
19p
25p
sin
sin
sin
sin
30
30
30
30
30

b) cos 24o + cos 48o - cos 84o - cos12o
p
2p
3p
- cos
+ cos
7

7
7
Bài 6.32: Tính giá trị của biểu thức sau:

c) cos

p
4p
5p
a) A = cos .cos .cos
7
7
7

b) B = cos100.cos 500.cos 700

c) C = sin 6o.sin 42o.sin 66o.sin 78o
d) E = cos

2p
4p
8p
16p
32p
.cos .cos .cos
.cos
31
31
31
31

31

e) F = sin 5o.sin 15o.sin 25o.... sin 75o.sin 85o

Bài 6.33: Tính A = ( 1 + tan10 )( 1 + tan 20 ) ... ( 1 + tan 450 )

2p
1999
DẠNG TOÁN 2: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC CĨ ĐIỀU KIỆN
1. Các ví dụ minh họa
ỉ
ỉ
4
p
p
pư
pư
Ví dụ 1: Cho cos 2x = - , với < x < . Tính sin x , cos x , sin çç x + ÷÷÷, cos çç 2x - ÷÷÷ .
5
4
2
3ø
4ø
èç
èç

Bài 6.34: Tính A = cos a cos 2a cos 3a...cos 999a với a =

Lời giải:
p

p
< x < nên sin x > 0, cos x > 0 .
4
2
Áp dụng công thức hạ bậc, ta có :

Vì

-- 24 --


CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10
sin2 x =

1 - cos 2x
9
=
Þ sin x =
2
10

1 + cos 2x
1
=
Þ cos x =
2
10
Theo cơng thức cộng, ta có

CHUN ĐỀ VI. CUNG VÀ GểC LNG GIC

3

10

cos2 x =

1

10

ổ
pử
p
p
sin ỗỗ x + ữữữ = sin x cos + cos x sin =
ỗố
3ứ
3
3

1
1
3
3+ 3
. +
.
=
10 2
10 2

2 10

3

ổ
pử
p
p
4 2
2
3
1
2
cos ỗỗ 2x - ữữữ = cos 2x sin + cos sin 2x = - .
+
.2.
.
=ỗố
4ứ
4
4
5 2
2
10
10 10

Ví dụ 2: Cho cos 4a + 2 = 6 sin2 a với
Lời giải:

p

< a < p . Tính tan 2a .
2

Ta có cos 4a + 2 = 6 sin2 a Û 2 cos2 2a - 1 + 2 = 3 ( 1 - cos 2a )
Û 2 cos2 2a + 3 cos 2a - 2 = 0 Û ( 2 cos 2a - 1 )( cos 2a + 2 ) = 0 Û cos 2a =
1
1
Þ tan2 2a =
-1 = 3
2
cos 2a
cos2 2a

Ta có 1 + tan2 2a =
Vì

p
< a < p Þ p < a < 2p nên sin 2a < 0 . Mặt khác cos 2a > 0 do đó tan 2a < 0
2

Vậy tan 2a = - 3
Ví dụ 3: Cho
Lời giải:
Ta có
Û
Û

1
(Vì cos 2a + 2 > 0 )
2

1
1
1
1
+
+
+
= 7 . Tính cos 4a .
2
2
2
tan a cot a sin a cos2 a

1
1
1
1
+
+
+
=7
2
2
2
tan a cot a sin a cos2 a

sin2 a + 1 cos2 a + 1
+
=7

cos2 a
sin2 a
sin2 a ( sin2 a + 1 ) + cos2 a ( cos2 a + 1 )

sin2 a cos2 a
4
4
Û sin a + cos a + 1 = 7 sin2 a cos2 a

=7

Û ( sin2 a + cos2 a ) - 2 sin2 a cos2 a + 1 = 7 sin2 a cos2 a
2

Û 2 = 9 sin2 a cos2 a

Û 8 = 9 ( 2 sin a cos a )

2

Û 8 = 9 sin2 2a
Û 16 = 9 ( 1 - cos 4a )
7
Û cos 4a = 9
7
Vậy cos 4a = 9

Ví dụ 4: Cho sin a + cos a = cot

ỉ a + 2013p ư÷

a
với 0 < a < p . Tớnh tan ỗỗ
ữữ .
ỗố
2
2
ứ

Li gii:

-- 25 --