Hoc sinh gioi cap tinh thanh hoa 20172018 pdf

Vu Ngoc Thanh Latex hoa

DE THI CHON HOC SINH GIOI CAP TINH THANH HOA 2017-2018
MON THI: TOAN 9

Thời gian làm bai: 180 phit, khong bể thời gian phát đề

VUNGOCTHANH1984.BLOGSPOT.COM
Câu 1. Rút gọn biểu thức P =

Ja+2018

/a—2018\

/a+1

œ+2va+1

a-1

2/a

Loi giai
¬

Điêu kiện:

œ>0
#1

Khi đó:

p-

Vø+2018
(/a+1U2

va-2018 | Vat+1
(Vœ-1(Vw+1)| 2vø

(Va + 2018)(,/a —1)-(/a-2018)./a+1)

(yz+1J(V#- 1)
220178

Vatil

øœ +1

| 2a

(fatly(ya-1) 2Va
2017
œ—]

VUNGOCTHANH1984.BLOGSPOT.COM

Câu 2. Cho ba số thực dương x, y, z théa man x+y =(Vx+ /¥—- vz), Vx+ y# v2
vày ⁄ z .Chứng minh đẳng thức
\..

Loi giai
Ta co:

x‡+(v*-vZ).
_= vx-vz

y+(vy-vz)Š

vY-vz

.


Vu Ngoc Thanh Latex hoa

VUNGOCTHANH1984.BLOGSPOT.COM
Câu 3. Tìm số tự nhiên øbcd sao cho abcd +abc+ab+a=4321.

Lời giải

Ta có: abcd +øbc+ab+a= 4321 © 1111ø+111b+11le+d=4321
(1)
Via,b,c,deN val<9 nén 3214 <111la
< 4321
=ø=3.

Thay vào (1) ta dude: 1115 +11¢+d = 988

Lập luận tương tự ta có: 880 < 1116 < 988 > b=8

(2)
.Thay vao (2) ta dude: 11c +d = 100

Ma 91<11lc<100 >c=9vad=1.
Vay abcd = 3891

Oo
VUNGOCTHANH1984.BLOGSPOT.COM

Câu 4. Cho hệ phương trình |

(m-l)x+y=2

(m là tham sơ và x,y la ẩn số)

x+2y=2

Tim tất cả các tham số nguyên m để hệ phương trình có nghiệm (+, y) trong đó z, y là các
số ngun.
Lời giải
Từ phương trình thứ hai ta có: x= 2— 2y thê vào phương trình thứ nhất được:
(Œm — 1)(2 — 2y) + y= 2 © (2m — 3)y = 2m

- 4(3)

Hệ có nghiệm x,y là các số nguyên e (3) có nghiệm y là số nguyên.
.
„
"

2m —4
VớI 7m c Z > 2m - 3 #0 > (3) có nghiệm y = li
=1—
yELo

2m-3=1
2m — 3= —1

©

2m — 3

m =2

2m — ä

m= Ì

Vay có 2 giá trị m thoả măn là 1; 2.

O

VUNGOCTHANH1984.BLOGSPOT.COM
Câu ð. Giải phương trình /1—-x+V4+x=3.
Lời giải
SA
ca.
oa.
Diéu kién xac dinh

1-x20
4+x>0

©-4
(*)

Với điều kiện (*), phương trình đă cho tương đương với:
5B+2vi-x.v4+xz=9<

v(I-x)(4+x)=2

©

(1-x)(44+x)=4

>

x? +3x=0

ÂẦ

x(x+3)=0

ÂẦ

x=0
x=-3

Vu Ngoc Thanh Latex hoa

Đối chiếu với điều kiện (*) ta dude x =0; x =-3

Oo
VUNGOCTHANH1984.BLOGSPOT.COM

Câu 6. Cho tam giác ABC vuong tai A, AB = 12cm, AC = 16cm. . Gọi ï là giao điểm các
đường phân giác trong của tam giác ABC, Mí là trung điểm của cạnh BC . Chứng minh

rằng đường thẳng BI vng góc với đường thẳng MI.
Lời giải
A

<
<>

E

U
B

Ta có BC = VAB2+ AC2
z

‘

`

«

t

=

C

=20em.. Gọi E là giao điểm của BI với AC.
A

cử

„

AE

Theo tinh chat đường phân giác ta có: AB
>EC=

†

M

EC
AE+EC
BC
ABABC

72

1

= 10cm

Ta có AICE = AICM(c — g— c) do:EC = MC = 10 ; ICE=ICM ; IC chung.
Suy ra: IEC =IMC
> IEA=IMB
Mat khac IBM = IBA = hai tam gidc IBM,ABE

> BIM = BAE = 90° > BI 1 MI

dong dang

L]

VUNGOCTHANH1984.BLOGSPOT.COM

Câu 7. Cho hình thoi ABCD c6 géc BAD = 50° , O 1a giao diém cia hai đường chéo. Goi
H là chân đường vng góc kẻ từ O đến đường thẳng AB. Trên tia đối của tia BC lay

điểm M ( điểm M không trùng với điểm B), trên tia đối của tia DC lây điểm N sao cho
đường thắng HM song song với đường thẳng AN.
1. Chứng minh rằng MB.DN =BH.AD.

Lời giải

`

r5

2. Tính số đo góc MON.


Vu Ngoc Thanh Latex hoa

_
Oo

Cc

D
N

1. Ta c6 MBH = ADN, MHB = AND
AMBH

AADN

= V8 _ BH
AD DN

=> MB.DN =BH.AD
oe

BH
OB
O == ——
DO = AD”
2. Taa có:AO
c6:AOHB ~ AAOD

—— > DO.OBon
Từ

Ta

(1)

(1)

= M
BH.AD (2)(2

và (2) ta có: MB.DN =DO.OB > —— =——

(1) va (2) ta có
lại có: MBO = 180°

~DO

DN

-CBD = 180°-CDB = ODN nén AMBO ~ AODN = OMB = NOD

Tix do suy ra: MON = 180°- (MOB +NOD] = 180°- (MOB +ØMB] = 180° -OBG= 115°
L

VUNGOCTHANH1984.BLOGSPOT.COM
Câu 8. Cho đường tròn (O) cố định và hai điểm phân biệt B, C cố định thuộc đường tròn

(O).. Gọi A là một điểm thay đổi trên đường trịn (Ĩ) ( A khơng trùng với B và C), M là

trung điểm của đoạn thẳng AC. Từ điểm M kẻ đường thẳng vng góc với đường thắng
AB, cắt đường thẳng AB tại điểm H. Chứng minh rằng khi điểm A thay đổi trên đường
tron (O) thi điểm H ln nằm trên một đường trịn cơ định.
\.

Lời giải

J


Vu Ngoc Thanh Latex hoa
Gọi D là trung điểm của đoạn BC, vì tam giác BOC, AOC

là các tam giác cân tại O nên

OD1LBC,OM LAC.

Ta co: ODC = OMC = 90° => Bốn điểm O, D, C, M cùng nằm trên đường trịn (7) có tâm Icố
định, đường kính OC cố định.
Gọi E là điểm đối xứng với D qua tâm I, khi đó E cố định và DE là đường kính của đường
tron (J).

Néu H4E,H#4B
- V6i M=E > BHE
= 90°

- VớiM
# E , do DM | BH > DMH
=

90°.
Khi d6 DME = DMH = 90° = H,M,E thang hang. Suy ra BHE = 90°
Vậy ta luôn co: BHE = 90° hoặc H = E hoặc H =B do đó H thuộc đường trịn đường kính BE
cơ định.

O

VUNGOCTHANH1984.BLOGSPOT.COM
.

x

1a.

lL

1

1

Câu 9. Cho ø,ư,ec là các sơ thực dương thoả măn điêu kiện — + 5 +—<2.
1

+

V5a2+2ab+2b2

V5b24+2bc4+2c2

1

+

V5c2+2ca+ 2a?

<

2

1

Cc

.

wl]

a

rang:

„

Chứng minh

Loi giai
Ae

„

L1

1

1

1

x
1/1

y
1

Z
1

xVzZ

O\x

y

z

Với Vx, y,z >0 ta có: zx+y+z>3‡/xyZ
và —+—+_—>3ÿ|—
1

1

x

Yy

1

>(x+y+z)|-+-+-]29>
Z

Đăng thức xảy ra khix
= y=z

<=|-+—+-|.

x+y+z

Ta có: 5z7+2øœb +2bÄ = (2a+b)2+(œT— b)Š > (2a+b)2 >
Dang thức xảy ra khia = ư
Tương tự:

1

1

V5b24+2bc+2c2

V5c24+2cat+2a2

Vậy

<

<

1

2c+ta

<—

1
V5a2+2ab+2b2

1

9\b

b0

1

1

c

a

© +242)

9\ìc
+

1

1

2

<

Vba2+2ab+2b2
2

<-|c-+-— +2} . Đẳng thức xây

2b+c

1/1

lí1

1

Cc

V5b24+2bce4+2c2

+

1
V5c24+2ca+ 2a?

<

<
3

1

|

ra khiư = c

1

=

9
1

3

2

5(=

<-|l-=+—+_—
b
2a+b

9 aa

. Đẳng thức xây ra khic =a

1

Đẳng thức xảy ra khi ø =b =c=

1

2
>:
3

°

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Oo


Vu Ngoc Thanh Latex hoa

VUNGOCTHANH1984.BLOGSPOT.COM
Câu 10. Cho hình vng ABCD và 2018 đường thẳng thỏa măn đồng thời hai điều kiện:

1. Mỗi đường thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vng.
~

3

`

n

\

1

2. Mơi đường thăng đêu chia hình vng thành hai phân có tỉ lệ diện tích băng 3

Chứng minh rằng trong 2018 đường thẳng đó có ít nhất 505 đường thẳng đồng
quy.

|

Lời giải

D
Giả sử hình vng ABCD

P

có cạnh là a ( a > 0). Gọi M.N,

C
P, Q lần lượt là trung điểm của

AB, BC, CD, DA. Gọi d là một đường thẳng bắt kỳ trong 2018 đường thẳng đă cho thỏa
măn u cầu bài tốn. Khơng mất tính tổng quát, giả sử d cắt các đoạn thẳng AD, MP, BC

lần lượt tại S, E, K sao cho Scpsx =3SApks
Từ Scpsg =3SApxs ta suy ra được:2S +CK =3(AS +BK)
©ada—ÄAS+dø—-BK=3(AS+BK)1

.

1
= 5%

.

Lay F, H trén doan NQ va G trén doan MP sao cho FN = GP = HQ =

| &

© EM = qo Suy ra E co dinh va d di qua E.

Lập luận tương tự như trên ta có các đường thẳng thỏa măn điều kiện của đề bài phải đi

qua một trong bốn điểm cô dinh E, F, G, H.
Theo nguyên lư Dirichlet từ 2018 đường thẳng thỏa măn
;,

nhat

| 2018

điều kiện của đề bài phải có ít

1 =505 đường thẳng đi qua một trong bốn điểm E, F, G, Hcé dinh, nghĩa là

505 đường thẳng đó đồng quy.

Oo