DE DAP AN THI VAO 10 MON TOAN SO GD HA NOI 2017

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NỘI
ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
Năm học: 2017 – 2018
Môn thi: TOÁN
Ngày thi: 09 tháng 6 năm 2017
Thời gian làm bài: 120 phút

Bài I (2,0 điểm)
A

x 2
3
20  2 x
B

x  25 với x 0; x 25
x  5 và
x 5

Cho hai biểu thức
1) Tính giá trị biểu thức A khi x = 9
2) Chứng minh

B

1
x5

A B. x  4
3) Tìm tất cả các giá trị của x để biểu thức
Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Một ơ tơ và một xe máy cùng khởi hành từ A để đi đến B với vận tốc của mỗi xe khơng
đổi trên tồn bộ quãng đường AB dài 120km. Do vận tốc của ô tô lớn hơn vận tốc của xe
máy là 10 km/h nên ô tô đến sớm hơn xe máy là 36 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.
Bài III (2,0 điểm)
 x  2 y  1 5

4 x  y  1 2
1) Giải hệ phương trình: 

2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = mx + 5
a) Chứng minh đường thẳng (d) luôn đi qua điểm A(0;5) với mọi giá trị của m
2
b) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P): y x tại hai điểm

x

x

phân biệt có hồnh độ giao điểm lần lượt là x1 ,x2 (với x1 < x2) sao cho 1 > 2
Bài IV (3,5điểm)
Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Gọi M và N lần lượt là điểm chính
giữa của cung nhỏ AB và cung nhỏ BC. Hai dây AN và CM cắt nhau tại điểm I. Dây MN
cắt các cạnh AB và BC lần lượt tại các điểm H và K.
1) Chứng minh bốn điểm C,N,K, I cùng thuộc một đường tròn.
2) Chứng minh NB2 =NK.NM
3) Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi.
4) Gọi P, Q lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam giác MCK

và điểm E là trung điểm của đoạn PQ. Vẽ đường kính ND của đường trịn (O). Chứng
minh ba điểm D, E, K thẳng hàng.
Bài V (0,5 điểm)
Cho các số thực a,b,c thay đổi luôn thỏa mãn a 1; b 1; c 1 và ab+bc+ca = 9. Tìm giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a2 + b2 + c2
--------------------------------Hết------------------------------Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.
Họ tên thí sinh................................................ ………..Số báo danh:.............................
Họ tên, chữ kí của cán bộ coi thi số 1;

Họ tên, chữ kí của cán bộ coi thi số 2


ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
Năm học: 2017 – 2018

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NỘI

Mơn thi: Tốn
Ngày thi: 09 tháng 6 năm 2017
Thời gian làm bài: 120 phút

Bài I: (2,0 điểm)
x 2
3
20  2 x
B

x  25 với x 0; x 25

x  5 và
x 5
Cho hai biểu thức
1
B
x5
1) Tính giá trị biểu thức A khi x = 9; 2) Chứng minh
A

A B. x  4

3) Tìm tất cả các giá trị của x để biểu thức
Bài I
Bài I.1
(0,5
điểm)

Hướng dẫn giải
- Ta có x = 25 (tmđk)
- Thay vào A ta được:
- Kết luận

A

9 2
5
.... 
2
9 5

3
20  2 x

x  25 với x 0; x 25
x 5
Ta có:
3
20  2 x
B

x  5 ( x  5)( x  5)

Điểm
0,25
0,25

B

Bài I.2.
(1,0 điểm)

0,25

B

3( x  5)  20  2 x
( x  5)( x  5)

0,25

B

x 5
1

( x  5)( x  5)
x5

0,25

Vậy với x 0; x 25 thì

B

1
x5

0,25

Bài I.3.
A B. x  4
Tìm
tất
cả
các
giá
trị
của
x
để

biểu
thức
(0,5 điểm)
với x 0; x 25 thì

B

1
x 2
A
x  5 và
x5

x 2
1
x  5 = x  5 x  4 suy ra

x 2 x 4
Khi đó
(*)
x

4;
x

25
+ Với
từ (*) tìm đc x = 9 (tm); x = 2 (ktm)
0


x
+ Với
<4 từ (*) tìm đc x = 1 (tm); x = -2 (ktm)
A B. x  4
x   1;9
- Kết luận: với
thì

0, 25

0, 25

Bài II (2,0 điểm) Giải bài tốn sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Một ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ A để đi đến B với vận tốc của mỗi xe khơng
đổi trên tồn bộ qng đường AB dài 120km. Do vận tốc của ô tô lớn hơn vận tốc của xe
máy là 10 km/h nên ô tô đến sớm hơn xe máy là 36 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.


Bài II

Bài II
(2,0 điểm)

Hướng dẫn giải

Điểm

Gọi vận tốc của xe ô tô là x (km/h, x > 10)

0,25

Thì vận tốc của xe máy là x -10 (km/h)

0,25

120
Thời gian đi hết quãng đường AB của ô tô là x (h);

0,25

120
( h)
Thời gian đi hết quãng đường AB của xe máy x  10
3
120 120 3


đổi 36’ = 5 (h); ta có phương trình: x  10 x 5

0,5

 x 2  10x  200 0

0,25

Giải phương trình tìm được x1 = 50 ; x2= -40

0,25

Với x1 = 50 (tmđk); x2= -40( không tmđk)

Vậy vận tốc của xe ô tô là 50 (km/h); vận tốc của xe máy là
50-10 =40(km/h)
(Bài II hs có thể giải cách 2: giải bằng cách lập hệ phương trình)
Bài III (2,0 điểm)

0,25

 x  2 y  1 5

4 x  y  1 2
1) Giải hệ phương trình: 

2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = mx + 5
a) Chứng minh đường thẳng (d) luôn đi qua điểm A(0;5) với mọi giá trị của m
2
b) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P): y x tại hai điểm

phân biệt có hồnh độ giao điểm lần lượt là x1 ,x2 (với x1 < x2) sao cho
Bài III

Hướng dẫn giải
ĐK: x 0; y 1

Bài III.1
(1,0
điểm)

 x  2 y  1 5



4 x  y  1 2 ……….

 x 1

Với  y 5 (tmđk)

 x 1

 y 5

x1

>

x2
Điểm
0,25
0,5
0,25

Kết luận: hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) =(1; 5)
(Hs có thể dùng pp khác để giải hệ phương trình này).
Bài III.2. a) Chứng minh đường thẳng (d) luôn đi qua điểm A(0;5) với mọi giá trị của
(1,0
m
điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, đường thẳng (d): y = mx + 5 đi qua
A(0;5)
0,5
- Thay x = 0; y = 5 vào (d) ta có 5 = m.0 + 5 ( tm với mọi m)

- Kết luận:
( hs có thể giải cách khác vẫn cho điểm đầy đủ)
2
b) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P): y x


tại hai điểm phân biệt có hồnh độ giao điểm lần lượt là x1 ; x2 (với x1 < x2)

x

x

sao cho 1 > 2
Ta thấy (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m
Khi đó hồnh độ giao điểm x1; x2 là nghiệm của phương trình:
x 2 mx  5 nên x 2  mx  5 0 (1)
2
Ta có  m  20  0; m

0,25

 x1  x 2 m

x .x  5
Theo hệ thức viet ta có :  1 2
(*)

Vì x1 . x2 = - 5 pt (1) có hai nghiệm trái dấu ;
0, 25
x

x
Mà x1 < x2 sao cho 1 > 2 nên x1  0  x2 nên x1  x2  0
x  x m
Kết hợp 1 2
suy ra m < 0
Bài IV (3,5điểm)
Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Gọi M và N lần lượt là điểm chính
giữa của cung nhỏ AB và cung nhỏ BC. Hai dây AN và CM cắt nhau tại điểm I. Dây MN
cắt các cạnh AB và BC lần lượt tại các điểm H và K.
1) Chứng minh bốn điểm C,N,K, I cùng thuộc một đường tròn.
2) Chứng minh NB2 =NK.NM
3) Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi.
4) Gọi P, Q lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam giác MCK
và điểm E là trung điểm của đoạn PQ. Vẽ đường kính ND của đường tròn (O). Chứng
minh ba điểm D, E, K thẳng hàng.
.Bài 4
Hướng dẫn giải
Điểm
1
(1,0
điểm)

0,25

- Vẽ đúng hình đến câu a
- Chỉ ra góc MCA = góc BCM ( lý do ...); MCA = góc BNM ( lý do ...)
- Chỉ ra góc KNI = góc KCI
Mà N; C là 2 đỉnh kề nhau nên tứ giác KNCI nội tiếp ( bài tốn cung
chứa góc ...). Kết luận: bốn điểm C,N,K, I cùng thuộc một đường trịn.
- Chỉ ra góc NAC = góc NBC ( lý do ….); góc BAN = góc NAC( do ….);

Góc BMN = góc BAN (do…)
2
suy ra góc BMN = góc NBC
(1 điểm) - Chỉ ra tam giác NBK đồng dạng tam giác NMB
Suy ra NB2 = NM.NK
- Gọi J là giao điểm của BC và AN

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25


3
(1,0
điểm)

AI CA

Ta có: +) CI là phân giác trong tại đỉnh C của tam giác ACJ nên IJ CJ
AN HA

+)NH là phân giác trong tại đỉnh N của tam giác ANB nên NB HB
AC NA

+) Chỉ ra tam giác ACJ đồng dạng ANB (g.g) nên CJ NB
AI HA


IJ
HB
Suy ra
AI HA

- xét tam giác BAJ có IJ HB (cmt) suy ra HI//BJ ( đl Ta lét …)

Hay HI//BK
- chứng minh tương tự ta có KI//BH
- chứng minh được tam giác NBK đồng dạng tam giác NMB; tam giác
MNB đồng dạng tam giác MBH suy ra được BH = BK
- chỉ ra tứ giác BKIH là hình thoi vì có HI//BK; KI//BH; BH = BK

0,25

0,25

0,25

0,25

4
(0,5
điểm)

- Chỉ ra B, D, P thẳng hàng; C, Q, D thẳng hàng
- tam giác PBK cân tại P và tam giác DBC cân tại D nên góc BPK = góc
BDC nên PK // DC hay PK // DQ
- Chứng minh tương tự ta có PD // KQ

- Chỉ ra tứ giác DQKP là hình bình hành
- mà E là trung điểm của PQ (gt) nên K, E, D thẳng hàng

0,25
0,25

Bài V (0,5 điểm)
Cho các số thực a,b,c thay đổi luôn thỏa mãn

a 1; b 1; c 1 và ab+bc+ca = 9. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a2 + b2

+ c2

Bài V

Hướng dẫn giải

(0,5 điểm)


2
2
2
2
2
2
Ta có: a  b 2ab ; c  b 2cb ; c  a 2ca
2
2
2

2(
c

b

a
) 2(ca  cb  ab)
Nên

0,25

2
2
2
Suy ra P c  b  a ca  cb  ab 9

(0,5
điểm)

ca  cb  ab 9
 a b c  3

a

b

c

1


Dấu “=” xảy ra

Vậy mimP = 9 khi a b c  3

Vì

a 1

b 1 
c 1


(a  1)(b  1) 0

(c  1)(b  1) 0 
( a  1)(c  1) 0


ab  a  b  1 0

cb  c  b  1 0
 ac  a  c  1 0


Nên ab  ac  bc  2(a  b  c )  3 0

0,25

ab  ac  bc
6

2
 (a  b  c)2 36  a 2  b 2  c 2  2(ab  ac  bc) 36
 P 36  2( ab  ac  bc) 18
 a b 1; c 4
  a c 1; b 4
 b c 1; a 4
 3 a  b  c 

Dấu “=” xảy ra

 a b 1; c 4
 a c 1; b 4

 b c 1; a 4

Vậy Max P = 18 khi
Lưu ý - Điểm toàn bài khơng được làm trịn, để điểm lẻ đến 0,25.
- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ,
hợp logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang
điểm tương ứng.
- Với bài 4, thí sinh vẽ hình sai phạm câu nào thì khơng chấm điểm ở câu đó,nếu học
sinh khơng vẽ hình thì khơng chấm.