Bài giảng Xử lý tín hiệu số: Chương 4 - ThS. Nguyễn Thị Phương Thảo

Chương 4
Biến đổi Fourier
Giảng viên: Nguyễn Thị Phương Thảo
Bộ môn: Kỹ thuật Máy tính và Mạng
Email:
Website: />

Giới thiệu
• Phép biến đổi Fourier đưa tín hiệu từ dạng biểu diễn
trong miền thời gian sang miền tần số bằng cách phân
tích tín hiệu thành các tín hiệu cơ bản có dạng sin
• Ví dụ: ánh sáng trong tự nhiên là tổng hợp của 7 ánh
sáng đơn sắc.
• Ánh sáng là 1 loại tín hiệu
• Mỗi ánh sáng đơn sắc là 1 tín hiệu cơ bản
• Mỗi ánh sáng đơn sắc có 1 bước sóng khác nhau  tần số khác
nhau
• Dải tần số của ánh sáng trắng được gọi là phổ của tín hiệu



Nội dung
1. Biến đổi Fourier
2. Tính chất của biến đổi Fourier
3. Hệ thống TTBB: Bộ lọc số


4.1 Biến đổi Fourier (FT – Fourier Transform)
1.

Định nghĩa

Biến đổi Fourier của tín hiệu được định nghĩa:
+∞

𝑥 𝑛 𝑒 −𝑗𝜔𝑛

𝑋 𝜔 =
𝑛=−∞

Ký hiệu: 𝐹𝑇[𝑥(𝑛)] = 𝑋(𝜔)
𝑋(𝜔) = 𝑋 𝜔 𝑒 𝑗𝑎𝑟𝑔 𝑋

𝜔

•

𝑋 𝜔 : phổ biên độ của tín hiệu

•

arg 𝑋 𝜔 : phổ pha của tín hiệu

 Sự tồn tại của BĐ F: Biến đổi Fourier chỉ tồn tại nếu:
+∞

𝑥(𝑛) < ∞
𝑛=−∞

 Tín hiệu năng lượng ln tồn tại biến đổi Fourier

4.1 Biến đổi Fourier (FT – Fourier Transform)
1.

Định nghĩa

Đặc tính phổ tần số của tín hiệu:
+∞

+∞

𝑥 𝑛 𝑒 −𝑗

𝑋 𝜔 + 𝑘2𝜋 =
𝑛=−∞

𝜔+𝑘2𝜋 𝑛

𝑥 𝑛 𝑒 −𝑗𝜔𝑛 = 𝑋 𝜔

=
𝑛=−∞

 Như vậy, 𝑋 𝜔 tuần hoàn với chu kỳ 2𝜋
 Với 𝑥(𝑛) là tín hiệu thực, 𝑋(𝜔) đối xứng qua trục tung

 Khi nghiên cứu phổ của tín hiệu, ta chỉ cần xét phổ đó trong
khoảng 𝜔 ∈ −𝜋, 𝜋 hoặc 𝜔 ∈ 0,2𝜋
 Biến đổi Fourier là công cụ nghiên cứu phổ của tín hiệu hoặc đặc
tính tần số của hệ thống:

 𝐹𝑇 𝑥(𝑛) = 𝑋 𝜔 : phổ của tín hiệu 𝑥(𝑛)
 𝐹𝑇 ℎ(𝑛) = 𝐻 𝜔 : đặc tính tần số của hệ thống


4.1 Biến đổi Fourier (FT – Fourier Transform)
2.

Các dạng biểu diễn của BĐ Fourier

a. Dạng phần thực và phần ảo
𝑋 𝜔 = 𝑋𝑅 𝜔 + 𝑗𝑋𝐼 (𝜔)
Từ công thức định nghĩa ta có:
+∞

+∞

𝑥 𝑛 𝑒 −𝑗𝜔𝑛 =

𝑋 𝜔 =
𝑛=−∞

𝑥 𝑛 cos 𝜔𝑛 − 𝑗 sin 𝜔𝑛
𝑛=−∞

Vậy:
 Phần thực: 𝑋𝑅 𝜔 =
 Phần thực: 𝑋𝐼 𝜔 =

+∞
𝑛=−∞ 𝑥 𝑛 cos 𝜔𝑛

− +∞
𝑛=−∞ 𝑥 𝑛 sin 𝜔𝑛


4.1 Biến đổi Fourier (FT – Fourier Transform)
2.

Các dạng biểu diễn của BĐ Fourier

b. Dạng module và argumen
𝑋 𝜔 = 𝑋(𝜔) 𝑒 𝑗𝜑

𝜔


4.1 Biến đổi Fourier (FT – Fourier Transform)
2.

Các dạng biểu diễn của BĐ Fourier

b. Dạng độ lớn và pha
𝑋 𝜔 = 𝑋(𝜔) 𝑒 𝑗𝜑

𝜔


4.1 Biến đổi Fourier (FT – Fourier Transform)
3.

Quan hệ giữa BĐ Fourier và BĐ Z

Biến đổi Z
+∞

𝑥 𝑛 𝑧 −𝑛

𝑋 𝑧 = 𝑍 𝑥(𝑛) =
𝑛=−∞

z là biến phức  𝑧 = 𝑟𝑒𝑗𝜔
+∞

𝑥 𝑛 𝑟 −𝑛 𝑒 −𝑗𝜔𝑛

𝑋 𝑧 =
𝑛=−∞

Nếu đánh giá 𝑋(𝑧) trên vòng tròn đơn vị  𝑟 = 1
+∞

𝑋 𝑧

𝑧=𝑒 𝑗𝜔

𝑥 𝑛 𝑒 −𝑗𝜔𝑛 = 𝑋(𝜔)

=
𝑛=−∞

Như vậy, BĐ Fourier chính là BĐ Z được đánh giá trên vịng
trịn đơn vị

4.1 Biến đổi Fourier (FT – Fourier Transform)
3.

Quan hệ giữa BĐ Fourier và BĐ Z

Biến đổi F chỉ tồn tại nếu MHT của BĐ Z chứa vòng tròn đơn vị


4.1 Biến đổi Fourier (FT – Fourier Transform)
4.

Biến đổi Fourier ngược
 Công thức
1
𝑥 𝑛 =
2𝜋

𝜋

𝑋 𝜔 𝑒 𝑗𝜔𝑛 𝑑𝜔
−𝜋

 Ký hiệu
𝐼𝐹𝑇 𝑋 𝜔

= 𝑥(𝑛)

Hoặc

𝑋(𝜔)

𝐼𝐹𝑇

𝑥(𝑛)


4.2 Tính chất của biến đổi Fourier
1.

Tính tuyến tính
 Có 2 tín hiệu 𝑥1 (𝑛) và 𝑥2 (𝑛):
𝐹𝑇[𝑥1 (𝑛)] = 𝑋1 (𝜔)
𝐹𝑇[𝑥2 (𝑛)] = 𝑋2 (𝜔)
𝑥(𝑛) = 𝑎1 𝑥1 (𝑛) + 𝑎2 𝑥2 (𝑛)
𝐹𝑇[𝑎1 𝑥1 (𝑛) + 𝑎2 𝑥2 (𝑛)] = 𝑎1 𝑋1 (𝜔) + 𝑎2 𝑋2 (𝜔)

Ý nghĩa: Đối với tín hiệu là tổng hợp của nhiều tín hiệu
thành phần, ta có thể sd BĐ F đối với từng thành phần sau đó
tổng hợp lại


4.2 Tính chất của biến đổi Fourier
2.

Tính chất trễ
• Tín hiệu 𝑥 𝑛
𝐹𝑇[𝑥 (𝑛)] = 𝑋(𝜔)

• Nếu tín hiệu 𝑥 ′ 𝑛 = 𝑥 𝑛 − 𝑘 thì

𝐹𝑇 𝑥 ′ 𝑛 = 𝑋 ′ 𝜔 = 𝑒 −𝑗𝜔𝑘 𝑋(𝜔)

3.

Tính chất đảo miền thời gian
• Tín hiệu 𝑥 𝑛
𝐹𝑇[𝑥 (𝑛)] = 𝑋(𝜔)

• Nếu tín hiệu 𝑥 ′ 𝑛 = 𝑥 −𝑛 thì
𝐹𝑇 𝑥 ′ 𝑛 = 𝑋 ′ 𝜔 = 𝑋(−𝜔)


4.2 Tính chất của biến đổi Fourier
4.

Tích chập trong miền tần số
• Tích chập miền thời gian sẽ trở thành tích nhân trong miền tần số:
𝐹𝑇[𝑥1 (𝑛) ∗ 𝑥2 (𝑛)] = 𝑋1 𝜔 𝑋2 (𝜔)

• Ý nghĩa: chuyển tín hiệu và hệ thống TTBB từ dạng biểu diễn trên
miền thời gian sang dạng biểu diễn trên miền tần số

𝐹𝑇

𝑥(𝑛)

𝑋(𝜔)

ℎ(𝑛)

𝐻(𝜔)

𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) ∗ ℎ(𝑛)

𝑌(𝜔) = 𝑋(𝜔). 𝐻(𝜔)


4.2 Tính chất của biến đổi Fourier
5.

Dịch chuyển trên miền tần số

• Tín hiệu 𝑥 𝑛
𝐹𝑇[𝑥 (𝑛)] = 𝑋(𝜔)

• Tín hiệu 𝑥 ′ 𝑛 = 𝑒 𝑗𝜔0𝑛 𝑥 𝑛 thì
𝐹𝑇 𝑥 ′ 𝑛 = 𝑋 ′ 𝜔 = 𝑋(𝜔 − 𝜔0 )


4.2 Tính chất của biến đổi Fourier
6.

Điều chế tín hiệu

• Trong truyền thơng, tín hiệu truyền dưới dạng tần số bình thường
khơng đi xa được
→ Khi truyền xa (truyền tín hiệu radio, truyền hình) người ta thường
đưa tín hiệu lên tần số cao bằng phương pháp điều chế (nhân tín hiệu
với 1 tín hiệu có tần số cao):
𝑥(𝑛)cos𝜔0𝑛

Trong đó:
• 𝑥 𝑛 : tín hiệu cần truyền dẫn

• cos𝜔0𝑛: thành phần mang thơng tin
• 𝜔0: tần số sóng mang
• Với phương pháp điều chế này, ta được phổ của tín hiệu truyền đi như
sau (với 𝑋 𝜔 là phổ của tín hiệu 𝑥(𝑛)
1
1
𝐹𝑇 𝑥(𝑛)cos𝜔0𝑛 = 𝑋𝑇𝐷 𝜔 = 𝑋 𝜔 + 𝜔0 + 𝑋(𝜔 − 𝜔0 )
2
2


4.2 Tính chất của biến đổi Fourier
7.

Vi phân trong miền tần số

• Tín hiệu 𝑥 𝑛
𝐹𝑇[𝑥 (𝑛)] = 𝑋(𝜔)

• Nếu tín hiệu 𝑥 ′ 𝑛 = 𝑛𝑥 𝑛 thì
𝐹𝑇

𝑥′

𝑛

=

𝑋′

𝑑𝑋(𝜔)
𝜔 =𝑗
𝑑𝜔


4.3 Hệ thống TTBB: Bộ lọc số
1.

Hệ thống TTBB trong miền tần số

• Hệ thống TTBB:
𝑥(𝑛)

ℎ(𝑛)

𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) ∗ ℎ(𝑛)

• Biểu diễn trong miền tần số

𝑋(𝜔)

𝐻(𝜔)

𝑌(𝜔) = 𝑋(𝜔). 𝐻(𝜔)

• Trong đó: 𝐻(𝜔) gọi là đáp ứng tần số
• Biểu diễn 𝐻(𝜔) dưới dạng module và argument

𝐻 𝜔 = 𝐻(𝜔) 𝑒 arg 𝐻(𝜔)
 𝐻(𝜔) : Đáp ứng tần số biên độ của hệ thống
 arg 𝐻(𝜔) : Đáp ứng tần số pha (đáp ứng pha) của hệ thống

• Cách xác định 𝐻(𝜔) của hệ thống được mô tả dưới dạng PT SP
TT HSH cũng tương tự như trong miền z


Ví dụ
• Tìm đáp ứng tần số của các hệ thống mô tả như sau:
a. 𝑦(𝑛) = 𝑎𝑦(𝑛 − 1) + 𝑏𝑥(𝑛)
b. 𝑦(𝑛) = 𝑦(𝑛 − 1) + 2𝑥(𝑛) + 𝑥(𝑛 − 1)
c.

d.

e.


4.3 Hệ thống TTBB: Bộ lọc số
2.

Bộ lọc số

• Một ứng dụng quan trọng nhất của Xử lý tín hiệu là lọc số
• Ứng dụng trong các hệ thống lọc nhiễu và tạp âm
• Ứng dụng trong xử lý hình ảnh:
• Lọc, trích đặc điểm đặc trưng của vân tay

• Xử lý tiếng nói:

• Tách âm thanh trong karaoke

• Dựa trên các nghiên cứu về phổ tần số của thông tin cần thu nhận
(VD: Karaoke: tần số tiếng hát của người phân biệt với tần số nhạc nền) 
xây dựng các bộ lọc để trích bỏ các tần số ko cần thiết.
• 4 loại bộ lọc số thơng thường
•
•
•
•

Bộ lọc thông thấp
Bộ lọc thông cao
Bộ lọc thông dải
Bộ lọc chắn dải


4.3 Hệ thống TTBB: Bộ lọc số
Bộ lọc số

2.
a.

Bộ lọc thơng thấp lý tưởng

• Định nghĩa: Bộ lọc thơng thấp là bộ lọc có đáp ứng tần số biên độ
• |𝐻(𝜔)| = 1 với −𝜔𝑐 ≤ 𝜔 ≤ 𝜔𝑐
• |𝐻(𝜔)| = 0 với 𝜔 còn lại

4.3 Hệ thống TTBB: Bộ lọc số
Bộ lọc số

2.
b.

Bộ lọc thơng cao lý tưởng

• Đáp ứng tần số biên độ:
• |𝐻(𝜔)| = 1 với – 𝜋 ≤ 𝜔 ≤ −𝜔𝑐 𝑣à 𝜔𝑐 ≤ 𝜔 ≤ +𝜋
• |𝐻(𝜔)| = 0 với 𝜔 còn lại


4.3 Hệ thống TTBB: Bộ lọc số
Bộ lọc số

2.
c.

Bộ lọc thơng dải lý tưởng

• Đáp ứng tần số biên độ:
• |𝐻(𝜔)| = 1 với – 𝜔𝑐2 ≤ 𝜔 ≤ −𝜔𝑐1 và 𝜔𝑐1 ≤ 𝜔 ≤ 𝜔𝑐2
• |𝐻(𝜔)| = 0 với 𝜔 còn lại


4.3 Hệ thống TTBB: Bộ lọc số
Bộ lọc số

2.

d.

Bộ lọc chắn dải lý tưởng

• Đáp ứng tần số biên độ:
• |𝐻(𝜔)| = 0 với −π ≤ 𝜔 ≤– 𝜔𝑐2 và – 𝜔𝑐1 ≤ 𝜔 ≤ 𝜔𝑐1 và 𝜔𝑐2 ≤ 𝜔 ≤ 𝜋
• |𝐻(𝜔)| = 1 với 𝜔 cịn lại