Bài giảng Xử lý tín hiệu số: Chương 5 - Lê Vũ Hà

XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ

Chương V:
BIẾN ĐỔI FOURIER
LIÊN TỤC

2008


Nội dung
Biến đổi Fourier của tín hiệu liên tục
 Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc
 Các tính chất của biến đổi Fourier
 Lấy mẫu tín hiệu



Chuỗi Fourier của tín hiệu liên tục
tuần hoàn


Một tín hiệu tuần hoàn x(t) sẽ biểu diễn
được một cách chính xác bởi một chuỗi
Fourier nếu x(t) thỏa mãn các điều kiện
Dirichlet sau đây:
1.
2.
3.

Số điểm không liên tục trong một chu kỳ của
x(t) phải hữu hạn.

Số điểm cực trị trong một chu kỳ của x(t)
phải hữu hạn.
Tích phân của |x(t)| trong một chu kỳ phải
hữu hạn.


Chuỗi Fourier của tín hiệu liên tục
tuần hoàn


Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu tuần
hoàn x(t) với chu kỳ T:


x (t ) 

c e

j 2kt
T

k

k  



Các hệ số {ck} được tính bằng công
thức:

1
ck   x (t )e
TT



j 2kt
T

dt


Phổ mật độ công suất của tín hiệu
liên tục tuần hoàn


Tín hiệu tuần hoàn có năng lượng vô hạn
nhưng luôn là tín hiệu công suất:

1
2
Px   | x (t ) | dt  
TT


Công thức Parseval cho tín hiệu công
suất:


Px 

| c

k

k  

2

|


Phổ mật độ công suất của tín hiệu
liên tục tuần hoàn




Giá trị |ck|2 có thể coi là đại diện cho
công suất của thành phần ej2kt/T (tín hiệu
dạng sin phức có tần số kF0 với F0 = 1/T)
trong tín hiệu x(t).
Đồ thị của |ck|2 theo các tần số kF0 (k =
0, 1, 2…) thể hiện phân bố công suất
của tín hiệu x(t) theo các tần số khác
nhau  phổ mật độ công suất.


Biến đổi Fourier của tín hiệu liên
tục không tuần hoàn



Định nghĩa: biến đổi Fourier của x(t)


F

[ x (t )]  X ( F ) 

 x (t )e

 j 2Ft

dt





Biến đổi Fourier ngược:


x (t ) 

F

1

[ X ( F )] 

 X ( F )e


j 2Ft

dF


Biến đổi Fourier của tín hiệu liên
tục không tuần hoàn


Quan hệ với biểu diễn chuỗi Fourier của
tín hiệu tuần hoàn

1 k
ck  X    F0 X ( kF0 ) (T  )
T T 


x (t )  lim

T 

c e

j 2kt
T

k



 lim

F0 0

k  





 X ( F )e


j 2Ft

dF

 X (kF )e
0

k  

j 2kF0t

F0

Biến đổi Fourier của tín hiệu liên
tục không tuần hoàn


Điều kiện cho sự tồn tại của biến đổi
Fourier (các điều kiện Dirichlet):
1.
2.
3.

Số điểm không liên tục của x(t) phải hữu
hạn.
Số điểm cực trị của x(t) phải hữu hạn.
Tích phân của |x(t)| trong khoảng (, +)
phải hữu hạn.


Phổ mật độ năng lượng của tín
hiệu liên tục không tuần hoàn


Xét tín hiệu năng lượng x(t):

2

E x   | x (t ) | dt  




Công thức Parseval cho tín hiệu không
tuần hoàn có năng lượng hữu hạn:



2

2

E x   | x (t ) | dt   | X ( F ) | dF





Phổ mật độ năng lượng của tín
hiệu liên tục không tuần hoàn




Giá trị |X(F)|2 có thể coi là đại diện cho
năng lượng của thành phần ej2Ft (tín
hiệu dạng sin phức có tần số F) trong tín
hiệu x(t).
Đồ thị của |X(F)|2 theo F thể hiện phân
bố năng lượng của tín hiệu x(t) theo tần
số  phổ mật độ năng lượng.

Chuỗi Fourier của tín hiệu rời rạc
tuần hoàn


Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu tuần
hoàn x(n) với chu kỳ N:
N 1

x ( n )   ck e

j 2kn
N

k 0



Các hệ số {ck} được tính bằng công
thức:

1
ck 
N

N 1

 x ( n )e
n 0



j 2kn
N


Phổ mật độ công suất của tín hiệu
rời rạc tuần hoàn


Công suất trung bình của tín hiệu rời rạc
x(n) tuần hoàn với chu kỳ N:

1
Px 
N


N 1
2

 | x(n ) |



n 0

Công thức Parseval cho tín hiệu công suất
rời rạc tuần hoàn:
N 1
2

Px   | ck |
k 0


Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc
không tuần hoàn


Định nghĩa: biến đổi Fourier của x(n)


F

[ x ( n )]  X ( ) 

 jn
x
(
n
)
e
(  [  ,  ])

n  



Biến đổi Fourier ngược:

x(n) 

F

1

1
[ X ( )] 
2



 X ( )e



jn

d


Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc
không tuần hoàn


Quan hệ với biểu diễn chuỗi Fourier của
tín hiệu rời rạc tuần hoàn

1  2k 
ck  X 

  F0 X ( 2kF0 ) ( N  )
N  N 
N /2

c e

x ( n )  lim

N 

1

2

j 2kn
N

k



 lim

F0 0

k  N / 2



 X ( )e



jn

d

 X (2kF )e
0

k  

j 2kF0 n

F0


Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc
không tuần hoàn


Điều kiện hội tụ:




 | x ( n )e

 jn

|  

n  

 | x(n) || e

 jn

n  


2





  | x ( n ) |      | x ( n ) |  
n  
n 





2



E x   | x ( n ) |    | x ( n ) |  
n  

n  

2

| 


Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc
không tuần hoàn


Quan hệ với biến đổi Z: thay z = |z|ej


X ( z) 

 x(n) z
n  


n



n

 x(n) | z |

e

 jn

n  

| z | 1  X ( z )  X ( )


Biến đổi Fourier chính là biến đổi Z trên
đường tròn đơn vị trong mặt phẳng Z 
biến đổi Fourier tồn tại nếu miền hội tụ của
biến đổi Z chứa đường tròn đơn vị.


Phổ mật độ năng lượng của tín
hiệu rời rạc không tuần hoàn


Xét tín hiệu năng lượng x(n):


Ex 

2

 | x(n) |



n  



Công thức Parseval cho tín hiệu rời rạc
không tuần hoàn có năng lượng hữu hạn:

1
Ex 
2


2

 | X ( ) |



d


Phổ mật độ năng lượng của tín
hiệu rời rạc không tuần hoàn




Giá trị |X()|2 có thể coi là đại diện cho
năng lượng của thành phần ejn (tín hiệu
dạng sin phức có tần số góc ) trong tín
hiệu x(n).
Đồ thị của |X()|2 theo  thể hiện phân

bố năng lượng của tín hiệu x(n) theo tần
số  phổ mật độ năng lượng.


Các tính chất của biến đổi Fourier


Tuyến tính:

F


Dịch thời gian:

F


[ax1 ( n )  bx2 ( n )]  aX 1 ( )  bX 2 ( )

[ x ( n  n0 )]  e

 jn0

Lật:

F

[ x (  n )]  X (  )

X ( )

Các tính chất của biến đổi Fourier


Biến đổi Fourier của tích chập:

F


[ x1 ( n )  x2 ( n )]  X 1 ( ) X 2 ( )

Biến đổi Fourier của tương quan:

F
F

[ rx1x2 ( n )]  X 1 ( ) X 2 (  )  S x1x2 ( )
2



[ rxx ( n )]  S xx ( ) | X ( ) | ( x ( n )  R )

Sx1x2() được gọi là phổ mật độ năng lượng
chéo của 2 tín hiệu x1(n) và x2(n).


Các tính chất của biến đổi Fourier


Dịch tần số:

F


x ( n )]  X (  0 )

Điều chế:

F


[e

j0n

1
[ x ( n ) cos 0n ]  [ X (  0 )  X (  0 )]
2

Đạo hàm trong miền Fourier:

F

dX ( )
[nx ( n )]   j
d

Lấy mẫu tín hiệu
Tín hiệu x(t) có năng lượng hữu hạn  bề
rộng phổ hữu hạn  tồn tại một tần số
cao nhất trong tín hiệu, Fa: F > Fa thì
X(F) = 0.
 Rời rạc hóa x(t) với tần số lấy mẫu Fs 
x(n). x(t) sẽ được khôi phục chính xác từ
x(n) theo công thức sau nếu Fs = 2Fa:




sin(2Fa t  n )
x (t )   x ( n )
2Fa t  n
n  


Lấy mẫu tín hiệu
Định lý lấy mẫu (Shannon): một tín hiệu
liên tục có bề rộng phổ hữu hạn với tần số
cao nhất (bề rộng phổ) Fa có thể được
khôi phục một cách chính xác từ các mẫu
của tín hiệu đó nếu tần số lấy mẫu thỏa
mãn điều kiện: Fs  2Fa.
 Tần số Fs = 2Fa được gọi là tần số
Nyquist.


Lấy mẫu tín hiệu


Quan hệ giữa tần số của tín hiệu liên tục
và tín hiệu lấy mẫu: xét tín hiệu liên tục
x(t) có bề rộng phổ là Fa
 Nếu

Fs = 2Fa: phổ của x(n) trong [,] có
dạng đúng như phổ của x(t) trong [Fa,Fa] và
lặp lại với chu kỳ 2.
 Nếu Fs > 2Fa: phổ của x(t) trong [Fa,Fa] được
nén vào 1 khoảng bên trong [,] và lặp lại
với chu kỳ 2.