Chuong V 1 Dinh nghia va y nghia cua dao ham

Giáo án Đại số và Giải tích 11
Ngày soạn: 12/10/2018
Ngày dạy : 05/11/2018

Chương V: ĐẠO HÀM

§ : KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM (tiết 1)
I. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức và kĩ năng: Giúp học sinh:
- Nắm vững được định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm .
- Biết cách tính đạo hàm của hàm số tại một điểm bằng định nghĩa.
- Hiểu rõ mối quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số tại
một điểm.
2. Về tư duy :
- Tư duy các vấn đề một cách logic và hệ thống.
- Khả năng vận dụng kiến thức, biết liên hệ với các kiến thức đã học.
3.Về thái độ:
- Có thái độ nghiêm túc trong học tập.
- Tự giác, tự giải quyết vấn đề.
- Cẩn thận, chính xác trong tính tốn.
- Hứng thú trong việc tiếp thu kiến thức mới, tích cực phát biểu đóng góp ý kiến
trong tiết học.

II. CHUẨN BỊ
1. Giáo viên:
- Chuẩn bị giáo án, SGK, hệ thống câu hỏi, bài tập.
2. Học sinh:
- Làm các bài tập đã cho ở tiết trước, đọc trước bài mới SGK.
- Ôn lại các kiến thức ở chương trước về giới hạn của hàm số và hàm số liên tục.

III. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

1


- Thuyết trình.
- Nêu vấn đề và giải quyết vấn đề.
- Gợi mở vấn đáp.

IV. ĐỊNH HƯỚNG HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC
-Năng lực tính tốn, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực sáng tạo.
V. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC
1.Ổn định tổ chức lớp.
2.Bài mới.
Hoạt đợng 1: Tìm hiểu bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Nội Dung
-GV giới thiệu cho học sinh Bài -HS đọc bài tốn tìm vận 1. Bài tốn dẫn đến
tốc tức thời của chuyển
toán về vận tốc tức thời:
khái niệm đạo hàm:
Xét sự chuyển động của một chất động.
Bài toán về vận tốc
điểm trên trục s’Os. Giả sử quãng
tức thời :
đường đi được của nó là một hàm số
Xét sự chuyển động
theo thời gian t : s=s(t) như hình vẽ.
của một chất điểm.
Giả sử quãng đường đi
được của nó là một

hàm số s=s(t) theo
(+)
thời gian t.
Hãy tìm một đại lượng đặc trưng
cho mức độ nhanh chậm của chất
diểm tại thời điểm to .
-HS suy nghĩ và trả lời
-GV yêu cầu học sinh trả lời các các câu hỏi:
câu hỏi sau:
H1: Trong khoảng thời gian từ t o đến TL1: quãng đường đi
được là: s-so =s(t)-s(to)
t, chất điểm đi được quãng đường là
bao nhiêu ?
H2: Nếu chất điểm chuyển động TL2:Vận tốc chuyển
2


thẳng đều thì vận tốc chuyển động động của chất điểm là :
s (t )  s (t0 )
của chất điểm được tính như thế nào?
v
t  t0

H3: Nếu chất điểm chuyển động

TL3: vận tốc trung bình
s (t )  s(t0 )
của chất điểm trong
t  t0
khơng đều thì tỉ số

biểu khoảng thời gian từ to
đến t.
diễn cho đại lượng nào ?
s (t )  s (t0 )
vtb 
t  t0
-GV dẫn dắt để đưa đến khái niệm
vận tốc tức thời
- Khi t càng gần to , tức là | t -to| càng + HS lắng nghe và tiếp
nhỏ, thì vận tốc trung bình càng thể
thu.
hiện chính xác hơn mức độ nhanh
chậm của chuyển động tại thời điểm
to .
Từ đó người ta xem giới hạn của tỉ
s (t )  s (t0 )
t  t0
số
khi t dần đến t là vận
o

-GV dẫn dắt đến khái niệm đạo
hàm :gv nhận xét : nhiều bài tốn
thực tế vật lí , hóa học,… dẫn đến
x  x0

v(t0 ) lim
t  t0

tốc tức thời tại thời điểm to của chất

điểm. Kí hiệu là v(to).
Nói cách khác:
s (t )  s (to )
v(to ) lim
t  to
t  to
là đại lượng đặc trưng cho mức độ
nhanh chậm của chất điểm tại t0.

lim

- Vận tốc tức thời của
chất điểm tại thời điểm
to là:

f  x   f  x0 
x  x0

việc tìm giới hạn:
với y = f (x) là một hàm số đã cho
Giới hạn này nếu có và hữu hạn thì
đgl đạo hàm của hàm số y=f(x) tại
điểm x0.

3

s (t )  s ( t0 )
t  t0

Hoạt động 2: Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một diểm
Hoạt động của GV
+ GV nêu định nghĩa đạo hàm
của hàm số tại một điểm .

Hoạt động của HS
HS đọc định nghĩa
trong SGK và ghi
nhớ.

+ Tóm tắt lại định nghĩa .

Nội Dung
2. Đạo hàm của hàm số tại một
điểm
a) Khái niệm đạo hàm của hàm số
tại một điểm:
Cho hàm số y=f(x) xác định trên
khoảng (a;b) và điểm xo thuộc
khoảng đó.
Định nghĩa:
Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số
f  x   f  x0 
x  x0
khi x dần đến xo được

gọi là đạo hàm của hàm số đã cho
tại điểm xo, kí hiệu là
y '  x0 

hoặc

, nghĩa là:
f '  x0   lim

+Giới thiệu cho hs các khái
niệm số gia của biến số, số gia
của hàm số ( x, y ) và viết lại
cơng thức tính đạo hàm của
hàm số tại một điểm theo
x, y .

f '  x0 

x  x0

f  x   f  x0 
x  x0

Đặt : x x  x0 gọi là số gia của biến
số tại x0 .
y  f  x   f  x0   f  x0  x   f  x0 

gọi là số gia của hàm số tương ứng
với số gia x tại điểm x0 .
Như vậy, ta có cách viết khác :
f '  xo   lim

x  0

4

f ( xo  x)  f ( xo )
y
 lim

x

0
x
x


Hoạt đợng 3: Cách tính đạo hàm của hàm số tại một diểm bằng định
nghĩa:
Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

HĐTP 1: Hình thành quy
tắc tính đạo hàm theo định
nghĩa
+ Hỏi: từ định nghĩa trên
+ HS dựa vào định nghĩa
em hãy thử rút ra các
trả lời.
bước tính đạo hàm của
một hàm số tại một điểm
bằng định nghĩa?
+GV nhận xét và chính

xác hố câu trả lời.

Nội Dung
b) Quy tắc tính đạo hàm theo
định nghĩa
Cách 1:
Bước 1: tính f ( x0 )
Bước 2: tính giới hạn
lim

x  x0

f  x   f  x0 
x  x0

Cách 2:
Bước 1: Giả sử x là số gia của
biến số tại x0 , tính
y  f ( x0  x)  f ( x0 ).

Bước 2: Lập tỉ số

y
x

Bước 2: Tìm giới hạn
HĐTP 2: Củng cố quy tắc
tính đạo hàm
+GV ra bài tập ví dụ tính
đạo hàm của hàm số tại

một diểm để củng cố quy
tắc vừa học.

lim

x  0

y
x

-Hs theo dõi , tiếp thu và
ghi chép vào vở.
Ví dụ 1: Cho hàm số:
y  f ( x)  x 2  3 . Tính đạo hàm của

hàm số tại xo=2.

- GV sẽ trình bày mẫu ví
dụ 1 để học sinh quan sát

Giải:
y  f (2  x)  f (2)

5


+Gv mời học sinh lên
bảng để làm ví dụ 2 và 3

+HS áp dụng quy tắc đã

học để làm vd2 và vd3.
Tương tự như ví dụ 1 trên
hs thực hiện theo các
bước.

(2  x )2  3  (22  3)

x(4  x)
y x (4  x)

4  x
x
x

lim

x  0

y
 lim (4  x) 4
x x 0

Vậy
+ HS làm vào vở và quan
sát bài làm trên bảng để
đưa ra nhận xét.

f (2) 4

y  f ( x) 

1
x .

Cho hàm số:
Ví dụ 2:
Tính đạo hàm của hàm số tại xo=2.
y  f  2  x   f  2  

1
1

2  x 2

 x
2(2  x)
y
 x
1


x 2(2  x )x 2(2  x )
y
1
1
lim
 lim

x  0 x
x  0 2(2  x )

4
1
f '  2 
4 .
Vậy


y  f ( x)  x

Ví dụ 3: Cho hàm số:
.
Tính đạo hàm của hàm số tại xo=0
f (0) 0
lim

x
f ( x )  f (0)
lim
x 0 x
x 0

lim

x
x
 lim 1
x x 0 x

lim

x
x
 lim
 1
x x 0 x

x 0

+Sau khi HS giải xong,
GV mời hs ở dưới lớp
nhận xét . Sau đó giáo
viên chính xác hóa nhận
xét và giảng lại cho hs.

- HS ở dưới nhận xét 2 bài
làm trên bảng.

x 0

x 0

6


 lim
x 0



lim

x 0

x
x
 lim
x x 0 x
x
x không tồn tại

Do đó hàm số y  f ( x)  x khơng
có đạo hàm tại xo=0.

Hoạt đợng 4: Tìm hiểu mối quan hệ giữa sự tồn tại đạo hàm và tính
liên tục của hàm số tại mợt điểm:
Hoạt động của GV
+ GV phát biểu và
chứng minh định lí về
mối quan hệ giữa sự
tồn tại của đạo hàm và
tính liên tục của hàm số
tại một diểm.

Hoạt động của
HS
- HS theo dõi và
tiếp thu.

Nội Dung
4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và
tính liên tục của hàm số:

Định lí : Nếu hàm số y  f ( x) có đạo hàm tại
một điểm thì nó liên tục tại điểm đó.
Chứng minh: Ta có
lim  f ( x )  f ( xo )   lim

x  xo

 lim

x  xo

x  xo

f ( x)  f ( xo )
( x  xo )
x  xo

f ( x )  f ( xo )
lim( x  xo )  f ( xo ).0 0.
x  xo
x  xo

Suy ra

lim f ( x)  f ( xo ).

x  xo

* Chú ý:
a)Nếu hàm số y  f ( x) gián đoạn tại điểm

x0 thì nó khơng có đạo hàm tại điểm đó.
+GV hỏi HS liệu chiều
ngược lại của định lí có
đúng hay khơng?
-HS suy nghĩ trả
lời câu hỏi của
Nếu khơng thì GV chỉ

Ví dụ : Hàm số

y  f ( x) 

1
x gián đoạn tại

điểm x=0 nên khơng có đạo hàm tại điểm
đó.
7


ra một ví dụ về một
hàm số số liên tục tại 1
điểm có nhưng khơng
có đạo hàm tại điểm
đó.
thể là hàm số
Cụ

gv.

b) Môt hàm số liên tục tại một điểm có thể
khơng có đạo hàm tại điểm đó.
Ví

dụ : Hàm số

y  f ( x)  x

liên tục tại x=0 nhưng khơng tồn tại đạo hàm
tại điểm đó (như đã làm ở vd3)

y  f ( x)  x

VI. CỦNG CỚ:
- Định nghĩa và cách tính đạo hàm của hàm số tại một điểm.
- Mối quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số.

VII . DẶN DÒ :
- Xem lại bài học và ghi nhớ các kiến thức.
- Làm bài tập: 1,2,3 (tr192) trong SGK.
-Chuẩn bi trước bài mới :Đạo hàm(tiết 2) (ý nghĩa hình học , ý nghĩa cơ học của đạo
hàm, đạo hàm của hàm số trong một khoảng).

 

8