Bài giảng Phương pháp số trong tính toán cơ khí - Bài 7: Phương trình vi phân thường bậc I

Trường Đại học Cơng nghiệp thành phố Hồ Chí Minh
Khoa Cơng nghệ Cơ khí
Bộ mơn Cơ sở - Thiết kế

Bài 7:
Phương trình trình vi phân thường bậc I
Thời lượng: 3 tiết

1


Nội dung bài học

9
phương
pháp

2


Phân loại đạo hàm (vi phân)
Đạo hàm

Đạo hàm

dv
dt
v là 1 hàm của biến
độc lập t

Đạo hàm riêng

u
y

u là hàm của hơn 1
biến độc lập (x,y,z,t,…)

3


Phân loại phương trình vi phân
Phương trình
vi phân

Phương trình vi phân thường

2

d v
 6tv  1
2
dt
Gồm một hay nhiều đạo hàm
của các hàm ẩn số theo một biến độc lập

Phương trình đạo hàm riêng

u u
 2 0
2

y
x
2

2

Gồm 1 hoặc nhiều đạo
hàm toàn phần của
các hàm ẩn số theo nhiều biến độc lập

4


Khái niệm phương trình vi phân
- Phương trình vi phân (PTVP) là một phương trình mà chứa đạo hàm của
một hàm số chưa biết. Nghiệm của PTVP chính là hàm số mà thỏa mãn
PTVP đó.
- PTVP mà chỉ có một biến số thì được gọi là Phương trình vi phân thường
(Ordinary Differential Equation - ODE)
x là biến độc lập; y là biến phụ thuộc
dy 

 Phương trình có chứa x, y, dy/dx
(1)
f
x
,
y
,


0


 PTVP thường bậc 1 là phương trình chứa
dx 

hàm x, hàm y và dy/dx
dy
 ax 2  by  0
PTVP thường bậc 1 (dy/dx), tuyến tính (đối với y)
- Ví dụ 1:
dx
- Ví dụ 2:

dy
 a yxb y  0
dx

PTVP thường bậc 1 (dy/dx), phi tuyến (đối với y)

5


Phương trình vi phân đầy đủ
- Ví dụ 1:

- Ví dụ 2:

d
2

y  x   ax  b  y  x   0
dx
d
y  x  a  y  x  x  b y  x  0
dx
y(x) là hàm ẩn
x – biến độc lập

6


Bậc của phương trình vi phân

d x t 
 x  t   et
dt

PTVP bậc 1

d 2 x t 
d x t 
5
 2 x  t   cos  t 
2
dt
dt

PTVP bậc 2

d 3 x t  d x t 

4


2
x
t   1
3
dt
dt

PTVP bậc 3

7


Phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến
Một PTVP là tuyến tính nếu hàm ẩn số và đạo hàm của nó xuất hiện
với lũy thừa bằng 1. Khơng có tích của hàm số và/hoặc đạo hàm của
nó.
- Ví dụ 1:

d x t 
t
 x t   e
dt

- Ví dụ 2:

d 2 x t 
d x t 

2
- PTVP phi tuyến

5

2
t
x
t

cos
t




dt 2
dt

- Ví dụ 3:

 d x t  
2

  2t x  t   cos  t 
 dt 

- PTVP tuyến tính

2

- PTVP phi tuyến

8


Phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến
Một PTVP là phi tuyến nếu hàm ẩn số và đạo hàm của nó xuất hiện
với lũy thừa khác 1. Ngồi ra có thể có tích của hàm số và/hoặc đạo
hàm của nó.
- Ví dụ 4:

d x t 
t
 cos  x  t    e
dt

- PTVP phi tuyến

- Ví dụ 5:

d 2 x t 
d x t 
5
 x t   2
2
dt
dt

- PTVP phi tuyến

- Ví dụ 6:

d x t 
d x t 
5
 x t   1
2
dt
dt

- PTVP phi tuyến

2

9


Điều kiện phụ để giải PTVP

10

Nghiệm của phương trình vi phân:

d x t 
 4 x  t   0  x  t   c1 sin  2t   c2 cos  2t 
2
dt
2

Tất cả các hàm số trên là nghiệm của PTVP, chúng khác nhau ở các hằng
số c1, c2. Để xác định chính xác c1, c2 cần có thêm các điều kiện phụ:
 d 2 x t 
 4x t   0

2
 dt
 x  0   a; x  0   b


- PTVP bậc 2
2 điều kiện phụ

b
 x  t   sin  2t   a cos  2t 
2

Để giải PTVP bậc n
ta cần n điều kiện
phụ


Phân loại PTVP theo điều kiện phụ
Bài toán giá trị ban đầu
(Initial Value Problem)
Tất cả điều kiện là ở 1
điểm của biến độc lập

x  2 x  x  e 2t
x(0)  1, x(0)  2.5

Giống
nhau

Bài toán giá trị biên
(Boundary Value Problem)
• Các điều kiện thì khơng ở 1
điểm của biến độc lập
• Giải bài tốn này khó hơn bài
toán giá trị ban đầu

x  2 x  x  e 2t
x(0)  1, x(2)  1.5
Khác
nhau

11


12

Phương trình vi phân bậc I
dy
 f  x, y  với điều kiện ban đầu: y  x0   y0
dx

dy
 f  x, y   1.2 y  7e 0.3 x
dx

- Trường hướng

- Các họ đường cong

(2)


Phương trình vi phân bậc I
 dy
0.3 x
  f  x, y   1.2 y  7e
 dx
0  x  4; 2  y  6

13

Tại mỗi điểm có toạ độ (x,y), ta tính được
f(x,y), và nó chính là độ dốc (Slope) dy/dx
của hàm y(x). Độ nghiêng của các véctơ vẽ
tại mỗi điểm chính là độ dốc. Tập hợp các
véctơ đó trong khoảng x Є [0; 4]; y Є [2; 6]
Với mỗi một điều kiện ban đầu ta có một
họ đường cong lời giải:

y  2  6

y  0  3
y 1.5   2


Phương trình vi phân bậc I
 dy

  f  x, y 
 dx
 y  x0   y0


14

(2)

 Lời giải số của PTVP bậc I (2) là một tập hợp các điểm rời rạc mà xấp xỉ được hàm số
y(x). Khi PTVP được giải bằng phương pháp số thì đề bài phải giới hạn miền lời giải. Ví
dụ x Є [a; b]. Tùy thuộc vào phương pháp số được dùng để giải phương trình, số điểm
giữa khoảng a và b có thể được xác định.
 Ví dụ miền lời giải [a; b] có thể được chia ra làm n khoảng nhỏ đều nhau của biến độc
lập từ x0 = a cho đến xn = b.
 Các lời giải bao gồm các giá trị của biến phụ thuộc được xác định tại mỗi giá trị của biến
độc lập
  Lời giải sẽ là tập hợp các điểm (x0, y0), (x1, y1),…,(xn, yn)


Phân loại phương pháp giải PTVP thường bậc I

15

Phương pháp số cho
PTVP
Phương pháp đơn bước
(Single-step Method)

Phương pháp đa bước

(Multiple-step Method)

Ước tính nghiệm ở một bước
cụ thể dựa trên các thơng tin
của một bước trước

Ước tính nghiệm ở một bước
cụ thể dựa trên các thông tin
của nhiều hơn một bước
trước

Lời giải số là một quy trình hoặc tính tốn ước tính nghiệm của lời giải chính xác tại một tập
hợp các điểm rời rạc. Quá trình giải tăng dần theo từng bước. Bắt đầu từ điểm mà giá trị ban
đầu được đưa ra. Sau đó sử dụng lời giải tại điểm đầu tiên để tính được lời giải tại điểm thứ
hai gần đó. Tiếp theo là lời giải tại điểm thứ ba, thứ tư, v.v…Ý tưởng sử dụng giá trị hàm số tại
một vài điểm trước có thể đem đến một ước tính tốt hơn cho việc tìm lời giải.


Phân loại phương pháp giải PTVP thường bậc I
Phương pháp số cho
PTVP
Phương pháp tường minh
(Explicit Method)

yi 1  F  xi , xi 1 , yi 

Trong công thức tường minh, vế
phải của phương trình chỉ chứa
những giá trị đã biết:
 xi, xi+1, yi đều đã biết

Phương pháp ẩn tàng
(Implicit Method)

(3)

yi 1  F  xi , yi , xi 1 , yi 1  (4)
yi+1 chưa biết và xuất hiện ở cả 2 vế. Nếu F là
hàm tuyến tính của yi+1 thì có thể đưa (4) về (3).
Cịn nếu là phi tuyến thì phải sử dụng kiến thức
giải phương trình phi tuyến để tìm yi+1. Các
phương pháp ẩn ngầm đưa đến kết quả chính
xác hơn so với các phương pháp tường minh
nhưng địi hỏi nhiều nỗ lực tính tốn hơn.

16


17

Phương pháp đơn bước – tường minh
dy
 y  f  x, y  ; y  a   y0 ; x0  a  x  b  xn
dx
x1  x0  h; x2  x0  2h; ; xn  x0  nh

Trong phương pháp đơn bước – tường minh,
ước tính nghiệm của lời giải số (xi+1,yi+1)
được tính từ lời giải đã biết (xi,yi).

Lời giải số

Độ dốc = ϕi
Đường cong
của lời giải
chính xác

Lời giải
chính xác

 xi 1  xi  h

 yi 1  yi  i  h

(5)

Trong đó:
h – cỡ bước
ϕi=độ dốc – hằng số ước tính giá trị của dy/dx
trong khoảng từ xi đến xi+1.

Các phương pháp khác nhau ở
chỗ cách tính độ dốc ϕ


18

Phương pháp Euler tường minh
dy
Độ dốc = i 

dx

 f  xi , yi 

(6)

x  xi

1. B1: Xác định hàm f(x,y)
2. B2: Nhập số liệu điều kiện ban đầu x0, y0
3. B3: Xác định cỡ bước h, số bước n
4. B4: Cho i từ 0 đến n-1, thực hiện bước 5 và
6
5. B5: Tính: i  f  xi , yi 

Lời giải
chính xác
Lời giải số

yi 1  yi  h  i

(7)

xi 1  xi  h
6.B6: Xuất kết quả tập hợp
(x1,y1),…,(xn,yn)
 Chính là lời giải số của PTVP

(x0,y0),

Phương pháp Euler tường minh

19

 dy
0.3 x

f
x
,
y


1.2
y

7
e
 

 dx
 y  0   3;0  x  4.

g  x   1; f1  x   1.2; f 0  x   7e 0.3 x
f1  x 

1.2
6
dx  

dx  1.2 x   x
F  x   
g  x
1
5


9
x
f
x


70

F
x
1.2 x
0.3 x
0.9 x
 e  0
10
dx   e   7e
dx  7  e dx  e


g  x
9

6

9

 x 
x
70
5
10
6
9
 x  70
x
 y  x  e  C  e 
43
43 
5
10
9


  C    y  x  e  e  
9
9 
 9

 y  0  3


20

Phương pháp Euler tường minh

 dy
0.3 x

f
x
,
y


1.2
y

7
e
 

 dx
 y  0   3; 0  x  4


3. i=2:
2  f  x2 , y2   1.2  4.892477918  7e 0.31.0  0.685245956
y3  y2  h  2  4.892477918  0.5   0.685245956 
 4.54985494
x3  x2  h  1.0  0.5  1.5

ba 40
h  0.5  n 

8

h
0.5
1. i=0:

0  f  x0 , y0   1.2  3  7e

0.30

 3.4

y1  y0  h  0  3  0.5  3.4  4.7

2. i=1:

x1  x0  h  0  0.5  0.5

1  f  x1 , y1   1.2  4.7  7e 0.30.5  0.384955835
y2  y1  h  1  4.7  0.5  0.384955835  4.892477918
x2  x1  h  0.5  0.5  1.0

4. i=3:

3  f  x3 , y3   1.2  4.54985494  7e 0.31.5  0.996428866
y4  y3  h  3  4.54985494  0.5   0.996428866 
 4.051640507
x4  x3  h  1.5  0.5  2.0

5. i=4:
4  f  x4 , y4   1.2  4.051640507  7e 0.32.0  1.020287156
y5  y4  h  4  4.051640507  0.5   1.020287156 

 3.541496929
x5  x4  h  2.0  0.5  2.5


Phương pháp Euler tường minh
6. i=5:

5  f  x5 , y5   1.2  3.541496929  7e 0.32.5  0.943230445
y6  y5  h  5  3.541496929  0.5   0.943230445 
 3.069881706
x6  x5  h  2.5  0.5  3.0

7. i=6:

6  f  x6 , y6   1.2  3.069881706  7e 0.33.0  0.837870429
y7  y6  h  6  3.069881706  0.5   0.837870429 
 2.650946492
x7  x6  h  3.0  0.5  3.5

8. i=7:

7  f  x7 , y7   1.2  2.650946492  7e 0.33.5  0.731571546
y8  y7  h  7  2.650946492  0.5   0.731571546 
 2.285160719
x8  x7  h  3.5  0.5  4.0

21


22

Phương pháp Euler tường minh
y  x  e

6
 x
5

 70 109 x 43 
 e  
9 
 9

Phương pháp
Euler tường
minh (h=0.5)

Lời giải
chính xác


23

Phương pháp Euler ẩn tàng
dy
Độ dốc = i 1 
dx

x  xi1

 f  xi 1 , yi 1  (8)
1. B1: Xác định hàm f(x,y)
2. B2: Nhập số liệu điều kiện ban đầu x0, y0
3. B3: Xác định cỡ bước h, số bước n
4. B4: Cho i từ 0 đến n-1, thực hiện bước 5÷7
5. B5: Tính:

Lời giải số

xi 1  xi  h
Lời giải
chính xác

yi 1  yi  h  f  xi 1 , yi 1 

(9)

6. B6: Giải (9) để tìm yi+1 bằng các pp số
7. B7: Xuất kết quả tập hợp (x0,y0),
(x1,y1),…,(xn,yn)
 Chính là lời giải số của PTVP


Phương pháp Euler ẩn tàng
 dy
0.3 x

f
x
,

y


1.2
y

7
e
 

 dx
 y  0   3; 0  x  4

ba 40
h  0.5  n 

8
h
0.5
1. i=0:

 x  x  h  0  0.5  0.5
0
 1
0.30.5

 y1  y0  h  f  x1 , y1   3  0.5   1.2  y1  7e

0.30.5
 y  3  3.5e

 3.757798698
1

1.6

24

2. i=1:

 x  x  h  0.5  0.5  1.0
1
 2
0.31.0

 y2  y1  h  f  x2 , y2   3.757798698  0.5   1.2  y2  7e

0.31.0
 y  3.757798698  3.5e
 3.969164044
2

1.6

3. i=2:

 x  x  h  1.0  0.5  1.5
2
 3
0.31.5


 y3  y2  h  f  x3 , y3   3.969164044  0.5   1.2  y3  7e

0.31.5
 y  3.969164044  3.5e
 3.875539109
3

1.6


Phương pháp Euler ẩn tàng
4. i=3:

 x  x  h  1.5  0.5  2.0
3
 4
0.32.0

 y4  y3  h  f  x4 , y4   3.875539109  0.5   1.2  y4  7e

0.32.0
3.875539109

3.5
e
 y 
 3.622737397
4

1.6

5. i=4:

 x  x  h  2.0  0.5  2.5
4
 5
0.32.5

 y5  y4  h  f  x5 , y5   3.622737397  0.5   1.2  y5  7e

0.32.5
 y  3.622737397  3.5e
 3.297512707
5

1.6

6. i=5:

25


 x  x  h  2.5  0.5  3.0
5
 6
0.33.0

 y6  y5  h  f  x6 , y6   3.297512707  0.5   1.2  y6  7e

0.33.0

 y  3.297512707  3.5e
 2.950316572
6

1.6

7. i=6:

 x  x  h  3.0  0.5  3.5
6
 7
0.33.5

 y7  y6  h  f  x7 , y7   2.950316572  0.5   1.2  y7  7e

0.33.5
 y  2.950316572  3.5e
 2.609436684
7

1.6

8. i=7:

 x  x  h  3.5  0.5  4.0
7
 8
0.34.0

 y8  y7  h  f  x8 , y8   2.609436684  0.5   1.2  y8  7e


0.34.0
 y  2.609436684  3.5e
 2.289760266
8

1.6