BÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN (Số tín chỉ: 2) docx

- 1 -
Trường ĐHQN
Khoa Toán





BÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

(Số tín chỉ: 2)







Dành cho sinh viên : Khoa Hóa
Hệ : Tổng hợp
Khóa : 33
Năm học : 2011-2012
Giảng viên : Nguyễn Thị Phương Lan

- 2 -
Chương I: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT

§1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT

Trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật, vật lý, khoa học xã hội ta thường gặp các bài toán
dẫn đến việc xác định một hàm thỏa mãn phương trình có chứa một hay nhiều đạo hàm
của hàm đó. Các phương trình như vậy gọi là phương trình vi phân (PTVP).
PTVP là phương trình liên hệ giữa biến độc lập, hàm cần tìm và các đạo hàm của nó.
- Nếu hàm cần tìm chỉ phụ thuộc vào một biến độc lập thì ta có PTVP thường.
- Nếu hàm cần tìm phụ thuộc vào hai hoặc nhiều biến độc lập thì ta có phương
trình đạo hàm riêng.
- Cấp của PTVP là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phương trình đó.
- Nghiệm của PTVP là mọi hàm thỏa mãn phương trình ấy.
Trong học phần này ta chỉ xét đến PTVP thường (còn gọi là PTVP).
Ví dụ:
1
'0
yy
x
+=
là PTVP cấp một,
''cos
yx
=
là PTVP cấp hai.

0
uu
xy
xy
∂∂
+=
∂∂
là phương trình đạo hàm riêng cấp một.

22
22
0
uu
xy
∂∂
+=
∂∂
là phương trình đạo hàm riêng cấp hai.
1.1 Định nghĩa:
PTVP cấp một có dạng:
(
)
,,'0
Fxyy
=
(1)
Nếu giải được đối với
'
y
thì PTVP cấp một có dạng

(
)
',
yfxy
= hay
( )
,
dy
fxy
dx
= (2) (dạng chuẩn) hoặc

(
)
(
)
,,0
PxydxQxydy
+=
(3) ( dạng vi phân)
Ví dụ:
( )
22
'2,cos,0
x
dy
y
yexxydxxydy
x

dx
==++=
là các PTVP cấp một.
1.2 Nghiệm của PTVP cấp một: là hàm thỏa mãn phương trình ấy.
- Nghiệm tổng quát của PTVP cấp một là nghiệm có chứa một hằng số tùy ý.
(
)
,,
yxCCconst
ϕ==.
Ví dụ hàm
2
,
yCxCconst
== là nghiệm tổng quát của PT '2=
y
y
x
.
Về mặt hình học nghiệm tổng quát xác định một họ đường (cong) gọi là họ đường
tích phân.
- Nghiệm riêng của PTVP cấp một là nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát
bằng cách chọn hằng số phù hợp.

Chú ý: - Đôi khi giải PTVP ta không tìm được nghiệm tổng quát dưới dạng tường minh
- 3 -
(
)
,,
yxCCconst

ϕ==mà được một hệ thức dạng
(
)
,,0,
xyCCconst
Φ== nó xác định
nghiệm tổng quát dưới dạng ẩn. Hệ thức ấy được gọi là tích phân tổng quát. Hệ thức
(
)
0
,,0
xyC
Φ=
được gọi là tích phân riêng.
- PTVP có thể có một số nghiệm không nằm trong họ nghiệm tổng quát đó là
những nghiệm kỳ dị.
1.3 Bài toán Cauchy (bài toán đầu): PTVP dạng
(
)
',
yfxy
= cùng với điều kiện
(
)
00
yxy
=
lập nên bài toán Cauchy (bài toán đầu) của PTVP cấp một. Điều kiện
(
)

00
yxy
=
với
00
,
xy
là các hằng số cho trước được gọi là điều kiện đầu.
Ví dụ: Tìm nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện đầu
(
)
12
y
=
của phương trình '2=
y
y
x
.
1.4 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy:
Xét phương trình
(
)
',
yfxy
=
Định lý: Nếu các hàm
(
)
,

fxy
và
f
y
∂
∂
liên tục trong hình chữ nhật D có chứa điểm
(
)
00
,
xy
thì tồn tại một lân cận của điểm
0
x
sao cho PTVP
(
)
',
yfxy
= có một
nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện
(
)
00
yxy
=
, nghĩa là bài toán Cauchy
(
)

00
yxy
=
của PTVP
(
)
',
yfxy
= có một nghiệm duy nhất.

§2 CÁCH GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH CẤP MỘT

2.1 Phương trình phân ly biến số (tách biến)
1. Phương trình dạng:
(
)
(
)
AxdxBydy
= (1)
trong đó
(
)
Ax
là hàm số liên tục của biến x,
(
)
By
là hàm số liên tục của biến y được
gọi là phương trình tách biến.

Để giải (1) ta chỉ cần tích phân hai vế.
Ví dụ 1: a) Giải phương trình vi phân:
( ) ()
2
32*
dy
xy
dx
=+
b) Tìm nghiệm bài toán Cauchy
(
)
00
y
=
của (*) .
Ví dụ 2: Thực nghiệm chỉ ra các chất phóng xạ như uranium có tốc độ phóng xạ tỉ lệ
với khối lượng
(
)
Mt
tại thời điểm đang xét.
Ta có thể viết công thức để tính khối lượng tại bất kỳ thời điểm nào bằng cách
giải phương trình

dM
kM
dt
=− .

2. Phương trình dạng:
(
)
'
yfaxbyc
=++
(2)
được đưa về (1) bằng cách
(
)
,
zaxbyczzx
=++= .
- 4 -

2.2 Phương trình đẳng cấp và gần đẳng cấp:
2.2.1 Phương trình đẳng cấp:
Phương trình dạng:
',0
y
yfx
x

=≠


(3)
có thể đưa (3) về phương trình tách biến bằng cách đặt
,0
y

ux
x
=≠
,
(
)
uux
= ,'
du
yuxyxu
dx
⇒==+
.
Thay vào (3) ta được
()
du
xfuu
dx
=−
(4).
- Nếu
(
)
0
fuu
−≠
thì
()
() ()
()

4lnln,0
dxdudu
xuCC
xfuufuu
φ
⇔=⇔==+≠
−−
∫


(
)
,0
u
xCeC
φ
⇔=≠
.
Thay
,0
y
ux
x
=≠
ta được tích phân tổng quát của (1) là
,0
y
x
xCeC
φ




=≠
.
- Nếu
(
)
fuu
=
tại
0
uu
=
thì có thể kiểm tra hàm
0
yux
=
cũng là nghiệm của (3). Đó là
một nghiệm riêng.
- Nếu
(
)
fuu
≡
thì (3) có dạng
dyy
dxx
=
là phương trình tách biến. Nghiệm tổng quát của

nó là
,
yCxCconst
==
.
Ví dụ: Giải các phương trình:
a) '
xy
y
xy
+
=
−
b)
2
2
2
'
yxy
y
x
+
= .
2.2.2 Phương trình gần đẳng cấp:
Phương trình dạng:
111
'
axbyc
yf
axbyc


++
=

++

(5)
trong đó
111
,,,,,
abcabc
là các hằng số.
- Nếu
1
0
cc
==
thì (5) là phương trình đẳng cấp.
- Nếu ít nhất một trong các hằng số c hoặc
1
c
khác 0 thì
a) Nếu
11
11
0
ab
abab
ab
=−≠

thì (5) có thể đưa về phương trình đẳng cấp bằng
cách đặt:

xX
yY
α
β
=+


=+

, trong đó
,
αβ
là nghiệm của hệ
111
0
0
axbyc
axbyc
++=


++=

.
Khi đó
11
(5)

dYaXbY
f
dXaXbY

+
⇔=

+

là phương trình đẳng cấp.
- 5 -
b) Nếu
11
11
11
0,
ab
ab
aabb
ab
ab
λλλ
=⇔==⇒==
thì
()
( )
1
5
dyaxbyc
f

dxaxbyc
λ

++
⇔=

++

.
đặt
(
)
,
zaxbyzzx
=+= thì ta được phương trình tách biến.
Ví dụ: Giải phương trình:
(
)
(
)
2120
xydxxdy
+−−−=
.

2.3 Phương trình vi phân toàn phần, thừa số tích phân:
2.3.1 Phương trình vi phân toàn phần:
Phương trình dạng:
(
)

(
)
,,0
PxydxQxydy
+=
(6)
trong đó
(
)
(
)
,,,
PPxyQQxy
==là các hàm số liên tục và có các đạo hàm riêng liên
tục
trong miền mở, đơn liên
2
D
⊂
R
và thỏa mãn điều kiện
( )
,,
PQ
xyD
yx
∂∂
=∀∈
∂∂
thì (6)

được gọi là PTVP toàn phần.
Khi đó sẽ tồn tại hàm
(
)
,
UxyD
∈
sao cho: ,
UU
PQ
xy
∂∂
==
∂∂
và
PdxQdydU
+=
.
và
(
)
(1),0
dUxy
⇔=
. Vậy
(
)
,,
UxyCCconst
== là tích phân tổng quát của (6) .

Cách giải: Giả sử

(
)
00
,
xyD
∈
( )
( )
( )
( )
( )
0000
00
,,,,,
yy
xx
xyyx
UxyPxydxQxydyQxydyPxydx
⇒=+=+
∫∫∫∫
.
Ví dụ: Giải phương trình:
(
)
(
)
2223

36640
xxydxxyydy
+++=
.

2.3.3 Thừa số tích phân:
Xét PTVP
(
)
(
)
,,0
PxydxQxydy
+=
(6). Nếu
PQ
yx
∂∂
≠
∂∂
thì (6) không
phải là PTVP toàn phần. Tuy nhiên có thể tìm được hàm
(
)
,0
xyµµ
=≠
sao cho
phương trình
0

PdxQdy
µµ
+=
(7)
là PTVP toàn phần. Hàm
(
)
,
xy
µµ= được gọi là thừa số tích phân của (6).
Khi đó nếu
(
)
,,
UxyCCconst
== là tích phân tổng quát của (7) cũng đồng thời
là tích phân tổng quát của (6).


- 6 -
Cách tìm thừa số tích phân: Vì (7) là PTVP toàn phần nên:
( ) ( )
PQ
PQPQ
yxyyxx
µµ
µµµµ
∂∂∂∂∂∂
=⇔+=+
∂∂∂∂∂∂

a) Nếu
(
)
x
µµ= và
()
1
1 PQ
Fx
Qyx

∂∂
−=

∂∂

chỉ phụ thuộc vào x thì có thể tìm được
thừa số tích phân
()
1
Fxdx
eµ
∫
=.
b) Nếu
(
)
y
µµ= và

()
2
1 QP
Fy
Pxy

∂∂
−=

∂∂

chỉ phụ thuộc vào y thì có thể tìm được
thừa số tích phân
()
2
Fydy
eµ
∫
=.

Ví dụ: Giải các phương trình:
a)
( )
3
222
20
3
y
xyxydxxydy


++++=


b)
(
)
10
yxydxxdy
+−=
.

2.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một:
Định nghĩa: Phương trình dạng:
(
)
(
)
'
ypxyqx
+= (8)
trong đó
(
)
(
)
,
pxqx
là các hàm số liên tục.
- Nếu
(

)
0
qx
≡
thì (8) được gọi là PTVP tuyến tính thuần nhất.
- Nếu
(
)
0
qx
≠
thì (8) được gọi là PTVP tuyến tính không thuần nhất.

Cách giải 1: Phương pháp biến thiên hằng số
1) Xét phương trình thuần nhất tương ứng:
(
)
'0
ypxy
+=
(9)
-
0
y
=
là nghiệm của (9).
-
0
y
≠

thì (2)
()
()
,0
pxdx
dy
pxdxyCeC
y
−
∫
⇔=−⇔=≠
.
Ngoài ra nghiệm
0
y
=
cũng được ghép vào nghiệm tổng quát ứng với
0
C
=
. Vậy
nghiệm tổng quát của (9) là
()
,
pxdx
yCeCconst
−
∫
=∀= (10)
2) Để tìm nghiệm tổng quát của (8) ta dùng phương pháp biến thiên hằng số. Xem

(
)
CCx
= ta tìm
(
)
Cx
để (10) là nghiệm tổng quát của (8). Ta có

()
()
() ()
() ()
()
''
pxdxpxdxpxdx
dC
yCxeCxpxeepxy
dx
−−−
∫∫∫
=−=−
thay vào (8)

()
()
()
()
,
pxdxpxdx

dCqxedxCqxedxKKconst
∫∫
⇒=⇔=+=
∫
.


- 7 -
Vậy nghiệm tổng quát của (8) là
()
() () () ()
()
()
,
pxdxpxdxpxdxpxdxpxdx
yqxedxKeKeeqxedxKconst
−−−

∫∫∫∫∫
=+=+=


∫∫

Chú ý: Công thức nghiệm:
Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất = nghiệm tổng quát của
phương trình thuần nhất tương ứng + Nghiệm riêng của phương trình không thuần
nhất.

Cách giải 2: Ta tìm nghiệm tổng quát của (8) dưới dạng

.
yuv
=
trong đó
(
)
(
)
,
uuxvvx
== mà một trong hai hàm đó có thể chọn tùy ý. Thay vào (8) ta được
(
)
(
)
''.
vuvpxvuqx
++=


(11).
Tìm
(
)
vx
từ điều kiện
(
)
'0
vpxv

+=
. Thay vào (11) có thể tìm
(
)
ux
từ phương trình
(
)
'
vuqx
= . Vậy có thể tìm được nghiệm tổng quát của (8).
Ví dụ: 1) Giải bài toán Cauchy:
()
'24,12
y
yxy
x
+==
.
2) Giải phương trình:
(
)
10
yy
edxxedy
+−=
.

2.5 Phương trình Bernoulli:
Định nghĩa: Phương trình dạng:

(
)
(
)
'
ypxyyqx
α
+= (12)
trong đó
α
∈
R
,
(
)
(
)
,
pxqx
là các hàm số liên tục.
Nếu
0
α
=
hoặc
1
α
=
thì (12) là PTVP tuyến tính cấp một.
Nếu

0
α
≠
và
1
α
≠
thì (12) được gọi là phương trình Bernoulli.

Cách giải: -
0
y
=
là nghiệm của (12).
-
0
y
≠
thì (12)
(
)
(
)
1
'
yypxyqx
αα−−
⇔+= (13)
Đặt
() ( )

1
1
,'''1'
1
zyzzxyyzzyy
ααα
α
α
−−−
==⇒=⇒=−
−
. Thay vào (13) ta được

(
)
(
)
(
)
(
)
'11
zpxzqx
αα+−=− (14)
là PTVP tuyến tính cấp một.
Ví dụ: Giải phương trình:
2
'4
xyyxy
=+ .

2.6 Phương trình Clairaut:
Định nghĩa: Phương trình dạng:
(
)
''
yxyfy
=+ (15)
trong đó f là hàm số khả vi.

- 8 -
Cách giải: Đặt
'
yt
=
, ta có
(
)
yxtft
=+ . Lấy đạo hàm hai vế đối với x, ta được
()
''
dtdt
ytxftt
dxdx
=++=
hay
()
'0
dt

xft
dx
+=


.
- Nếu
0
dt
dx
=
thì t là hằng số, ta được họ đường thẳng
t
D
phụ thuộc tham số t có
phương trình
(
)
ytxft
=+ .
- Nếu
(
)
'
xft
=− thì
(
)
(
)

'
ytftft
=−+, đó là phương trình tham số của đường tích
phân kỳ dị E. Dễ thấy đường E tiếp xúc với mọi đường tích phân
t
D
.
Ví dụ: Giải phương trình:
2
1
''
4
yxyy
=− .

2.7 Phương trình Lagrange:
Định nghĩa: Phương trình dạng
(
)
(
)
''
yxgyfy
=+ (16)
trong đó f và g là các hàm số khả vi.

Cách giải: Đặt
'
yt
=

, ta có
(
)
(
)
yxgtft
=+ . Lấy đạo hàm hai vế đối với x, ta được
() () ()
'''
xx
dtdt
ygtxgtftt
dd
=++=
hay
() () ()
''0
dx
gttgtxft
dt
−++=


.
Đó là phương trình tuyến tính đối với
(
)
xt
. Nếu nghiệm tổng quát của nó là
(

)
(
)
xCtt
ϕψ=+, trong đó C là hằng số tùy ý thì
(
)
(
)
(
)
(
)
yCttgtft
ϕψ=++


. Ta
được phương trình tham số của các đường tích phân.

Ví dụ: Giải phương trình:
22
''
yxyy
=+.

§3 PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ PICARD (PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG
LIÊN TIẾP)

Phương pháp cho ta nghiệm gần đúng của bài toán đầu

(
)
(
)
00
',;
yfxyyxy
==

khi giả thiết bài toán có nghiệm duy nhất trong khoảng nào đấy có chứa
0
x
.
Sau khi tích phân bài toán trở thành

() ()
( )
0
0
,
x
x
yxyftytdt
=+
∫

xác định một dãy các hàm như sau:

() ( ) () ( ) () ( )

000
10020101
,,,, ,,
xxx
nn
xxx
yxyftydtyxyftydtyxyftydt
−
=+=+=+
∫∫∫
.
- 9 -
Từ đó ta xây dựng được
(
)
1
yx
từ
0
y
và
(
)
,
fxy
;
(
)
2
yx

từ
(
)
1
yx
và
(
)
,
fxy

xác định mỗi hàm từ hàm ngay trước nó và
(
)
,
fxy
. Ta đưa ra sơ đồ xấp xỉ Picard.

() ( )
0
01
,
x
nn
x
yxyftydt
−
=+
∫
.

Với các điều kiện đặt lên hàm
(
)
,
fxy
mà ta sẽ xét đến trong định lý tồn tại và
duy nhất nghiệm. Có thể chứng minh dãy
01
,, ,,
n
yyy
hội tụ về nghiệm thực
(
)
yx
.
Do đó sơ đồ Picard là một công cụ lý thuyết hữu hiệu để chứng minh định lý tồn tại và
duy nhất nghiệm của PTVP.

Ví dụ: Tìm nghiệm gần đúng của bài toán đầu sau:

(
)
2
'1,00
yyy
=+=
.
Giải: Áp dụng sơ đồ Picard ta tính được

( )
3
2
012
00
0;0;01;
3
xx
x
yydtxytdtx==+==++=+
∫∫


3357
3
0
2
01
331563
x
txxx
ytdtx


=+++=+++




∫

;
Để so sánh kết quả ta tìm nghiệm tổng quat của phương trình
2
'1
yy
=+
là
arctan
yxC
=+
. Với điều kiện đầu đã cho thì
0
C
=
và
tan
yx
=
là nghiệm của bài
toán đầu đã xét.
Khai triển Maclaurin của
tan
x
ở lân cận
0
x
=
có dạng

357

217
tan
315315
xxx
xx
=++++


§4 GIỚI THIỆU CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ

Phương pháp số để giải bài toán đầu là một cách xác định nghiệm gần đúng tại
các điểm riêng biệt nào đấy mà chỉ cần dùng đến các phép toán cộng, trừ, nhân, chia và
tính giá trị hàm.
Mọi phương pháp số đều dẫn đến tìm nghiệm gần đúng tại
01
,,
xx
, trong đó hiệu
giữa hai giá trị x bằng hằng số, tức là
1nn
xxh
+
−=
.
Ta mô tả ba phương pháp để tìm nghiệm gần đúng của bài toán đầu

(
)
(
)

00
',,
yfxyyxy
==
.
3.1 Phương pháp Euler.
Giả sử h nhỏ, ta dùng gần đúng

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
',
yxhyxhyxyxhfxy
+=+=+ .
Đặt
0i
xxih
=+
và tính

(
)
00

yyx
= ,
(
)
(
)
(
)
100021111
,,,, ,,
nnnn
yyhfxyyyhfxyyyhfxy
+
=+=+=+ .

- 10 -
Vậy bước thứ n của phương pháp Euler có dạng

(
)
1
,
nnnn
yyhfxy
+
=+ .
Về mặt hình học nghiệm gần đúng nhận được như một đường gấp khúc mà đoạn
đầu tiên là tiếp tuyến với đường cong nghiệm tại
0
x

.

Ví dụ: Xác định 5 xấp xỉ của phương pháp Euler giải bài toán đầu sau đây với
0,2
h
=


(
)
';00
yxyy
=+=
.
Nghiệm gần đúng
(
)
1
0,2
nnnn
yyxy
+
=++.
Nghiệm chính xác
1
x
yex
=−−
.

n
n
x

n
y

Giá trị y đúng
0 0,0 0,0 0,0
1 0,2 0,0 0,021
2 0,4 0,04 0,091
3 0,6 0,128 0,222
4 0,8 0,274 0,425
5 1,0 0,489 0,718

3.2 Phương pháp Euler cải tiến.

Đây là phương pháp biến thể của phương pháp Euler. Tại mỗi bước tính giá trị
phụ

(
)
*
1
,
nnnn
yyhfxy
+
=+
rồi tính giá trị mới

( )
( )
*
111
,,
2
nnnnnn
h
yyfxyfxy
+++

=++

.
Kết hợp hai biểu thức ta viết bước thứ n của phương pháp Euler cải tiến


( ) ( )
{ }
1
,,,
2
nnnnnnnn
h
yyfxyfxhyhfxy
+
=++++



.
Về mặt hình học, trong khoảng ,
2
nn
h
xx

+


ta gần đúng y theo đường thẳng qua
(
)
,
nn
xy
với hệ số góc
(
)
,
nn
fxy
rồi tiếp tục dọc theo đường thẳng với hệ số góc
(
)
*
11
,
nn
fxy

++
.

Ví dụ: Xác định 5 xấp xỉ của phương pháp Euler cải tiến của bài toán đầu nêu trên.
Nghiệm gần đúng
(
)
*
1
0,2
nnnn
yyxy
+
=++.

(
)
{
}
1
0,10,20,2
nnnnnnnn
yyxyxyxy
+
=+++++++



- 11 -
Do vậy

(
)
1
0,220,02
nnnn
yyxy
+
=+++

n
n
x

n
y

Giá trị y đúng
0 0,0 0,0 0,0
1 0,2 0,0200 0,0214
2 0,4 0,0884 0,0918
3 0,6 0,2158 0,2221
4 0,8 0,4153 0,4255
5 1,0 0,7027 0,7183

3.3 Phương pháp Runge-Kutta.
Phương pháp được thiết lập bằng cách lấy trung bình có trọng số của
(
)
,

fxy
tại
các điểm xác định trong khoảng
[
]
1
,
nn
xx
+
.

( )
1
22
6
nnnnnn
h
yyABCD
+
=++++
trong đó

( )
,,,,
22
nnnnnnn
hh
AfxyBfxyA


==++




( )
,,,
22
nnnnnnnn
hh
CfxyBDfxhyhC

=++=++



Ví dụ: Xác định 5 xấp xỉ của phương pháp Runge-Kutta của bài toán đầu nêu trên.

(
)
,1,10,1
nnnnnn
AxyBxy=+=++

(
)
(
)
1,110,11;1,2220,222
nnnnnn

CxyDxy=++=++

(
)
1
0,22140,0214
nnnn
yyxy
+
=+++

n
n
x

n
y

Giá trị y đúng
0 0,0 0,0 0,0
1 0,2 0,02140 0,02140
2 0,4 0,09181 0,09182
3 0,6 0,22210 0,22211
4 0,8 0,42552 0,42557
5 1,0 0,71825 0,71828

Cấp của phương pháp số.
Phương pháp số có cấp n với n nguyên dương, nếu phương pháp chính xác đến đa
thức cấp n của h. Phương pháp Euler là cấp một, phương pháp Euler cải tiến là cấp hai,
phương pháp Runge-Kutta là cấp bốn.

- 12 -
Chương II: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO VÀ
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

§1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO

1.1 Định nghĩa: PTVP cấp n là phương trình có dạng:
()
(
)
,,', ,0
n
Fxyyy
=

Nếu giải được đối với đạo hàm cấp n thì PTVP cấp n có dạng:

() ( )
(
)
1
,,', ,
nn
yfxyyy
−
= (1)

1.2 Bài toán Cauchy (bài toán đầu):
Bài toán Cauchy đối với phương trình (1) là bài toán tìm nghiệm

(
)
yyx
= của
phương trình (1) thỏa mãn các điều kiện đầu
(
)
(
)
(
)
00
,0,1
kk
yxykn
==−
, trong đó
(
)
1
'
0000
,,, ,
n
xyyy
−
là các hằng số cho trước và được gọi là các giá trị đầu.

Định lý (Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy):
Xét phương trình

() ( )
(
)
1
,,', ,
nn
yfxyyy
−
=
Nếu các hàm
( )
(
)
1
,,', ,
n
fxyyy
−
và
()
k
f
y
∂
∂
,
0,1
kn
=−
liên tục trong miền

1
n
D
+
⊂
R
có
chứa điểm
( )
(
)
1
'
0000
,,, ,
n
xyyy
−
thì tồn tại duy nhất một nghiệm
(
)
yyx
= của bài toán
Cauchy của phương trình (1) trong một lân cận nào đó của điểm
0
x
.

1.3 Nghiệm tổng quát:
Định nghĩa: Hàm số

(
)
1
,, ,,,1,
ni
yyxCCCconstin
=== phụ thuộc vào n hằng số tùy
ý được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1) nếu thỏa mãn
- Hàm
(
)
1
,, ,
n
yxCC
thỏa mãn (1) với mọi giá trị
1
, ,
n
CC
.
- Với mọi giá trị
( )
(
)
1
'
0000
,,, ,
n

xyyy
−
cho trước, bài toán Cauchy bao giờ cũng giải
được.
Các khái niệm khác như nghiệm riêng, nghiệm kỳ dị, tích phân tổng quát, tích phân
riêng được định nghĩa tương tự như đối với PTVP cấp một.




- 13 -
§2 HẠ THẤP CẤP PTVP CẤP CAO

2.1 Phương trình dạng:
()
(
)
,0
n
Fxy
=
.
Nếu giải được đối với
(
)
n
y
thì ta có phương trình

(

)
(
)
n
yfx
= (1)
Đặt
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
,2'à
n
zyzzxzfxvzxfxdxC
−
==⇒==+
∫
.
phương trình (2) có dạng như phương trình (1) nhưng cấp thấp hơn một đơn vị. Tích
phân n lần ta được kết quả.

Ví dụ: Giải phương trình:
2
'''
yx
=
.

2.2 Phương trình dạng:
( ) ()
(
)
1
,0
nn
Fyy
−
=
(3)
Đặt
(
)
(
)
1
,
n
zyzzx
−
== ta có

(
)
(
)
3,'0
Fzz
⇔=
là PTVP cấp một.
Giả sử phương trình này có nghiệm
(
)
(
)
(
)
1
11
,,
n
zfxCyfxC
−
=⇒= là phương
trình có dạng (1) nhưng cấp thấp hơn một đơn vị.

Ví dụ: Giải phương trình:
'''''1
yy
−=
.

2.3 Phương trình dạng:
( ) ()
(
)
1
,,0
nn
Fxyy
−
=
(4)
Đặt
(
)
(
)
1
,
n
zyzzx
−
== ta có
(
)
(
)
4,,'0
Fxzz
⇔=
là PTVP cấp một.

Ví dụ: Giải phương trình:
''
'''
y
yx
x
−=
.
Đặt
(
)
(
)
(
)
(
)
1
,4,,'0
n
zyzzxFxzz
−
==⇔=
là PTVP cấp một.

2.4 Phương trình dạng:
(
)
,',''0
Fyyy

=
hoặc
(
)
'','
yfyy
= (5)
Đặt
()
',
dy
zyzzx
dx
===, xem z là hàm của y . Ta có ''.
dzdzdydz
yz
dxdydxdy
===.
Thay vào (5) ta được
,,0
dz
Fyzz
dy

=


là PTVP cấp một, trong đó y được xem là biến
độc lập, z là hàm của y.

Ví dụ: Giải phương trình:
2
2'''0
yyy
+=
.


- 14 -
§3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI

3.1 Định nghĩa: Phương trình dạng:
(
)
(
)
(
)
(
)
'''1
ypxyqxyfx++=
trong đó
(
)
(
)
(
)
,à

pxqxvfx
là các hàm số liên tục.
- Nếu
(
)
0
fx
≡
thì (1) được gọi là PTVP tuyến tính cấp hai thuần nhất.
- Nếu
(
)
0
fx
≠
thì (1) được gọi là PTVP tuyến tính cấp hai không thuần nhất.
- Nếu
(
)
(
)
,
pxqx
là các hằng số thì (1) được gọi là PTVP tuyến tính cấp hai với hệ số
hằng.
Ví dụ:
2
'''0
x
yxyey

++=⇒
PTVP tuyến tính cấp hai thuần nhất.

1
''2'sin
x
yxyyex
x
++=⇒
PTVP tuyến tính cấp hai không thuần nhất.

2
''2'yyyx
−+=⇒
PTVP tuyến tính cấp hai với hệ số hằng.

3.2 PTVP tuyến tính cấp hai thuần nhất:
Phương trình dạng:
(
)
(
)
(
)
'''02
ypxyqxy++=
trong đó
(
)
(

)
,
pxqx
là các hàm số liên tục.

3.2.1 Định nghĩa: Hai hàm
(
)
(
)
12
,
yxyx
được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại
các hằng số
12
,
CC
không đồng thời bằng 0 sao cho
1122
0
CyCy
+=
. Trường hợp ngược
lại thì chúng được gọi là độc lập tuyến tính.
Nhận xét: Hai hàm
(
)
(
)

12
,
yxyx
là độc lập tuyến tính nếu
(
)
()
1
2
yx
Cconst
yx
≠= .
3.2.2 Định lý: Nếu các hàm
(
)
(
)
1122
,
yyxyyx
== là hai nghiệm riêng độc lập tuyến
tính của (2) thì hàm
1122
yCyCy
=+
, trong đó
12
,
CC

là các hằng số tùy ý là nghiệm tổng
quát của (2).

Chú ý: Nếu các hàm
(
)
(
)
1122
,
yyxyyx
== là hai nghiệm riêng phụ thuộc tuyến tính
của phương trình (2) thì
(
)
121122122
,
ykykconstyCyCykCCy
==⇒=+=+ thực chất
chỉ phụ thuộc vào một hằng số nên y không phải là nghiệm tổng quát của (2).
Nhận xét: - Từ định lý muốn tìm nghiệm tổng quát của (2) chỉ cần tìm hai nghiệm riêng
độc lập tuyến của nó (các nghiệm đó được gọi là hệ nghiệm cơ bản).

3.2.3 Công thức Liouville: Nếu đã biết một nghiệm riêng
(
)
11
yyx
= của (2) thì có thể
tìm nghiệm riêng độc lập tuyến tính

(
)
22
yyx
= của nó theo công thức Liouville:
21
.
yyu
=
, trong đó
()
()
()
2
1
1
pxdx
uuxedx
yx
−
∫
==


∫
.
- 15 -
Ví dụ: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình:

22

22
'''0
11
x
yyy
xx
+−=
−−

biết một nghiệm riêng
(
)
1
yxx
=
.

3.3 PTVP tuyến tính cấp hai không thuần nhất:
Phương trình dạng:
(
)
(
)
(
)
(
)
'''3
ypxyqxyfx++=
trong đó

(
)
(
)
(
)
,à
pxqxvfx
là các hàm liên tục,
(
)
0
fx
≠
.
Phương trình
(
)
(
)
(
)
'''02
ypxyqxy++= được gọi là phương trình
thuần nhất tương ứng của (3).

3.3.1 Công thức nghiệm:
Nếu gọi
y
là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (2),

Y
là nghiệm
riêng của phương trình không thuần nhất (3) thì
yyY
=+
là nghiệm tổng quát của (3).

3.3.2 Nguyên lý cộng nghiệm ( chồng chất nghiệm ):

Xét phương trình không thuần nhất
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
12
'''4
ypxyqxyfxfx++=+
Nếu
1
Y
là nghiệm riêng của phương trình
(
)
(

)
(
)
1
'''
ypxyqxyfx
++=,
2
Y
là
nghiệm riêng của phương trình
(
)
(
)
(
)
2
'''
ypxyqxyfx
++=thì
12
YYY
=+
là nghiệm
riêng của (4).
Kết quả này còn được mở rộng đối với vế phải của (4) là tổng của hữu hạn hàm.

3.3.3 Phương pháp biến thiên hằng số:
Giả sử

1122
yCyCy
=+
, trong đó
12
,
CC
là các hằng số là nghiệm tổng quát của
phương trình thuần nhất tương ứng (2). Khi đó nếu
(
)
(
)
1122
,
CCxCCx
==là những
hàm số thỏa mãn hệ phương trình:

()
''
1122
''''
1122
0
CyCy
CyCyfx

+=



+=



thì hàm
(
)
(
)
1122
yCxyCxy
=+ là nghiệm tổng quát của phương trình không thuần
nhất (3).

§4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI VỚI HỆ SỐ HẰNG

4.1 Phương trình tuyến tính thuần nhất:

Phương trình dạng:
(
)
'''01
ypyqy++= , trong đó p,q là các hằng số.
- 16 -
Cách giải: Ta tìm nghiệm riêng của (1) dưới dạng
kx
ye
=
, trong đó k là hằng số. Thay

,',''
yyy
vào (1) ta được phương trình đại số bậc hai
(
)
2
02
kpkq++=
và gọi là phương trình đặc trưng, nó có đúng hai nghiệm trong trường số phức
£
. Ta
có các khả năng xảy ra như sau:
- Nếu phương trình đặc trưng (2) có hai nghiệm thực
12
kk
≠
thì
12
12
,
kxkx
yeye
==là
hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính của (1). Do đó nghiệm tổng quát của (1)
là
12
12
kxkx
yCeCe
=+, trong đó

12
,
CC
là các hằng số.
- Nếu phương trình đặc trưng (2) có nghiệm thực kép
12
kkk
==
thì
1
kx
ye
=
là một
nghiệm riêng của (1). Nghiệm riêng
2
kx
yxe
= tìm được theo công thức Liouville.
Do đó nghiệm tổng quát của (1) là
(
)
12
kx
yCxCe
=+ , trong đó
12
,
CC
là các hằng

số.
- Nếu phương trình đặc trưng (2) có hai nghiệm phức liên hợp
1
,
ki
αβ
=+

2
ki
αβ
=−
thì
(
)
(
)
(
)
(
12
cossin,cossin
ixix
xixxxixx
yeeeexixyeeeexix
αβαβ
αβααβα
ββββ
+−
−

===+===−
là hai nghiệm riêng phức của (1). Ta có

1212
12
cos,sin
22
xx
yyyy
yexyex
i
αα
ββ
+−
====
là hai nghiệm riêng thực độc lập tuyến tính của (1). Do đó nghiệm tổng quát của
(1) là

(
)
12
cossin
x
yeCxCx
α
ββ
=+, trong đó
12
,
CC

là các hằng số.

Ví dụ : 1) Giải các phương trình:
a)
''3'20
yyy
−+=
, b)
''4'40
yyy
++=
.
2) Giải bài toán Cauchy:
(
)
(
)
''2'40;01,'01
yyyyy
++===
.

4.2 Phương trình tuyến tính không thuần nhất:
4.2.1 Phương trình dạng:
(
)
(
)
'''3
ypyqyfx++=

trong đó p,q là các hằng số,
(
)
fx
là hàm số liên tục.

Có thể tìm nghiệm của (3) bằng phương pháp biến thiên hằng số.
Ví dụ : Giải phương trình:
1
''
sin
yy
x
+= .

4.2.2 Phương pháp hệ số bất định (Phương pháp Lagrange):
Nếu vế phải
(
)
fx
của (3) có dạng đặc biệt thì có thể tìm nghiệm riêng của (3)
theo phương pháp hệ số bất định.
- 17 -
a) Trường hợp: Vế phải
(
)
(
)
x
n

fxePx
γ
= , trong đó
γ
∈
R
,
(
)
n
Px
là đa thức bậc n.
- Nếu
γ
không trùng với nghiệm của phương trình đặc trưng (2) thì nghiệm riêng
của (3) có dạng
(
)
x
n
YeQx
γ
= .
- Nếu
γ
trùng với nghiệm đơn của phương trình đặc trưng (2) thì nghiệm riêng
của (3) có dạng
(
)
x

n
YxeQx
γ
= .
- Nếu
γ
trùng với nghiệm kép của phương trình đặc trưng (2) thì nghiệm riêng
của (3) có dạng
(
)
2 x
n
YxeQx
γ
= .
trong đó
(
)
n
Qx
là đa thức bậc n mà hệ số của nó được xác định theo phương pháp hệ số
bất định.

b) Trường hợp: Vế phải
(
)
(
)
(
)

cossin
x
nm
fxePxxPxx
γ
θθ
=+


, trong đó
,
γθ
∈
R
;
(
)
(
)
,
nm
PxPx
là các đa thức bậc n,m ;
(
)
max,
lmn
=
- Nếu
i

γθ
±
không trùng với cặp nghiệm phức của phương trình đặc trưng (2) thì
nghiệm riêng của (3) có dạng
(
)
(
)
cossin
x
ll
YeQxxRxx
γ
θθ
=+


.
- Nếu
i
γθ
±
trùng với cặp nghiệm phức của phương trình đặc trưng (2) thì
nghiệm riêng của (3) có dạng
(
)
(
)
cossin
x

ll
YxeQxxRxx
γ
θθ
=+


.
trong đó
(
)
(
)
,
ll
QxRx
là các đa thức bậc l mà hệ số của chúng được xác định theo
phương pháp hệ số bất định.

Đặc biệt nếu
(
)
[
]
cossin
fxAxBx
θθ
=+, trong đó A,B là các hằng số.
- Nếu
i

θ
±
không trùng với cặp nghiệm phức của phương trình đặc trưng (2) thì
nghiệm riêng của (3) có dạng:
[
]
cossin
YMxNx
θθ
=+.
- Nếu
i
θ
±
trùng với cặp nghiệm phức của phương trình đặc trưng (2) thì
nghiệm riêng của (3) có dạng:

[
]
cossin
YxMxNx
θθ
=+.
trong đó M,N là các hằng số được xác định theo phương pháp hệ số bất định.

Ví dụ : Giải các phương trình: a)
(
)
''3'234
x

yyyex
−+=−
b)
''4sin2
yyxx
+=
c)
'''5cos
x
yyex
−=+ .

§5 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CAO

5.1 Định nghĩa: PTVP tuyến tính cấp n là phương trình có dạng:

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
110

'
nn
n
yaxyaxyaxyfx
−
−
++++= (1)
trong đó
(
)
(
)
(
)
(
)
011
,,, ,
n
fxaxaxax
−
là các hàm số liên tục .
- 18 -
- Nếu
(
)
0
fx
≡
thì (1) được gọi là PTVP tuyến tính cấp n thuần nhất.

- Nếu
(
)
0
fx
≠
thì (1) được gọi là PTVP tuyến tính cấp n không thuần nhất.
- Nếu
(
)
(
)
(
)
011
,, ,
n
axaxax
−
là các hằng số thì (1) được gọi là PTVP tuyến tính cấp n
với hệ số hằng.

5.2 Biểu diễn dưới dạng toán tử:
Nếu ký hiệu vế trái của (1) là
(
)
Ly
và gọi là toán tử vi phân tuyến tính cấp n thì
(1) có dạng
(

)
(
)
Lyfx
= .
Phương trình thuần nhất tương ứng là
(
)
0
Ly
=
(2).
Toán tử
(
)
Ly
có các tính chất:
-
(
)
(
)
,
LCyCLyCconst
==.
-
(
)
(
)

(
)
1212
LyyLyLy
+=+.
-
( )
11
,
mm
kkkkk
kk
LCyCLyCconst
==

==


∑∑
.
Từ các tính chất của toán tử
(
)
Ly
ta thấy nếu các hàm
12
,, ,
n
yyy
là các nghiệm

của phương trình thuần nhất (2) thì tổ hợp tuyến tính
1122

nn
yCyCyCy
=+++
, trong
đó
12
,, ,
n
CCC
là các hằng số cũng là nghiệm của (2).

5.3 Sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính - Định thức Wronski - Hệ nghiệm
cơ bản, nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất:

5.3.1 Sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính:
Định nghĩa: Hệ n hàm
(
)
(
)
(
)
(
)
1122
,, ,,,
nn

yyxyyxyyxxab
===∈ được gọi là phụ
thuộc tuyến tính nếu tồn tại các hằng số
12
,, ,
n
CCC
không đồng thời bằng 0 sao cho
1122
0
nn
CyCyCy
+++=
.
- Các hàm trên được gọi là độc lập tuyến tính nếu chúng không phụ thuộc tuyến
tính.

5.3.2 Định thức Wronski:
Giả sử các hàm
(
)
(
)
(
)
(
)
1122
,, ,,,
nn

yyxyyxyyxxab
===∈là các nghiệm của
phương trình thuần nhất (2). Định thức Wronski của các nghiệm này được xác định bởi:

()() ()
12
'''
12
111
12


W =


n
n
nnn
n
yyy
yyy
yyy
−−−

- 19 -
Định lý: Tập hợp n nghiệm
(
)
(
)

(
)
(
)
1122
,, ,,,
nn
yyxyyxyyxxab
===∈ của phương
trình thuần nhất (2) là độc lập tuyến tính trong khoảng
(
)
,
ab
(
)
0
,:W0
xab
⇔∃∈≠
.

5.3.3 Hệ nghiệm cơ bản, nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất:

Định nghĩa: Hệ gồm n nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình thuần nhất (2) được
gọi là hệ nghiệm cơ bản của phương trình ấy.

Định nghĩa: Nếu hệ n hàm
(
)

(
)
(
)
1122
,, ,
nn
yyxyyxyyx
===là hệ nghiệm cơ bản của
phương trình (2) thì hàm
1122

nn
yCyCyCy
=+++
,
trong đó
12
,, ,
n
CCC
là các hằng số là nghiệm tổng quát của (2).

Công thức nghiệm: Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (1) là
yyY
=+
, trong đó
y
là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng,
Y

là nghiệm riêng của (1).

5.4 Phương pháp biến thiên hằng số:
Giả sử
1122

nn
yCyCyCy
=+++
, trong đó
12
,, ,
n
CCC
là các hằng số là nghiệm
tổng quát của phương trình thuần nhất. Nếu
(
)
(
)
(
)
1122
,, ,
nn
CCxCCxCCx
=== là
những hàm số thỏa mãn hệ phương trình:

() () ()
()
'''
1122
''''''
1122
111
'''
1122
0
0



nn
nn
nnn
nn
CyCyCy
CyCyCy
CyCyCyfx
−−−

+++=

+++=





+++=


thì hàm
(
)
(
)
(
)
1122

nn
yCxyCxyCxy
=+++ là nghiệm tổng quát của phương trình
không thuần nhất.

5.5 PTVP tuyến tính cấp n với hệ số hằng:
PTVP tuyến tính cấp n với hệ số hằng là phương trình dạng:

(
)
(
)
(
)
1
110
'
nn

n
yayayayfx
−
−
++++=
trong đó
011
,, ,
n
aaa
−
là các hằng số,
(
)
fx
là hàm số liên tục.

5.5.1 Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp n:
Phương trình có dạng:

(
)
(
)
1
110
'0
nn
n
yayayay

−
−
++++=
(3)
trong đó
011
,, ,
n
aaa
−
là các hằng số.
- 20 -
Phương trình đặc trưng của (3) là:
1
110
0
nn
n
kakaka
−
−
++++=
(4)
(4) là phương trình đại số bậc n, nó có đúng n nghiệm trong trường số phức
£
.
Ta có:
- Nếu (4) có n nghiệm thực phân biệt thì nghiệm tổng quát của (3) là:
12
12

n
kx
kxkx
n
yCeCeCe
=+++ ;
12
,, ,
n
CCC
là các hằng số
- Nghiệm thực k bội m
(
)
mn
≤
của (4) cho nghiệm của (3) là:
(
)
1
12

kxm
m
eCxCxC
−
+++ ;
12
,, ,

m
CCC
là các hằng số.
- Cặp nghiệm phức liên hợp
i
αβ
±
của (4) cho nghiệm của (3) là:
(
)
12
cossin
x
eCxCx
α
ββ
+ ;
12
,
CC
là các hằng số.
- Cặp nghiệm phức liên hợp
i
αβ
±
bội m
(
)
mn
≤

của (4) cho nghiệm của (3) là:
(
)
1
12
cos
xm
m
exCxCxC
α
β
−
+++ ;
12
,, ,
m
CCC
là các hằng số.

(
)
1
12
sin
xm
m
exDxDxD
α
β
−

+++ ;
12
,, ,
m
DDD
là các hằng số.

Chú ý: Nghiệm tổng quát của (3) phải chứa đúng n hằng số.

Ví dụ : Giải các phương trình:
a)
(
)
4
3'''3'''0
yyyy
−+−=
b)
(
)
4
0
yy
−=
.

5.5.2 Phương trình tuyến tính không thuần nhất cấp n:
Giải tương tự như phương trình không thuần nhất cấp hai.
Ví dụ : Giải phương trình:
(

)
4
2''cos2
yyyx
++= .

$6 PHƯƠNG TRÌNH EULER

6.1 Phương trình Euler cấp hai thuần nhất:
Phương trình dạng:
(
)
2
'''01
xyAxyBy++=
trong đó A, B là các hằng số.

Cách giải:
Cách 1: Đặt
()
1
,,0ln
z
dz
xezzxxzx
dxx
==>⇒=⇒=
. Ta có:

1

'.
dydydzdy
y
dxdzdxxdz
===.
( )
22
222222
1111111
'''
dddydyddydydydzdydy
yy
dxdxxdzxdzxdxdzxdzxdzdxxdzxdz

===−+=−+=−+


.
- 21 -
Thay vào (1) ta được

( )
22
2
222
11
.010
dydydydydy
xAxByABy
xdzdzxdzdzdz



−++=⇔+−+=






là PTVP tuyến tính cấp hai với hệ số hằng, trong đó z được xem là biến độc lập,
(
)
yyz
=là hàm cần tìm.
Cách 2: Ta tìm nghiệm riêng của (1) dưới dạng:

(
)
12
,0,',''1
kkk
yxxkconstykxykkx
−−
=>=⇒==− .
Thay vào (1) ta được:

(
)
(
)

1010
k
xkkAkBkkAkB
−++=⇔−++=




(
)
2
10
kAkB
⇔+−+=
(2).
và gọi là đặc trưng của (1).
- Nếu (2) có hai nghiệm thực
12
kk
≠
thì
12
12
,
kk
yxyx
==là hai nghiệm riêng độc lập
tuyến tính của (1). Do đó nghiệm tổng quát của (1) là
12
12

kk
yCxCx
=+, trong đó
12
,
CC
là các hằng số.
- Nếu (2) có nghiệm thực kép
12
kkk
==
thì
1
k
yx
=
là một nghiệm riêng của (1).
Nghiệm riêng
2
ln
k
yxx
= tìm được theo công thức Liouville. Do đó nghiệm tổng
quát của (1) là
(
)
12
ln
k
yCCxx

=+ , trong đó
12
,
CC
là các hằng số.
- Nếu (2) có hai nghiệm phức liên hợp
12
,
kiki
αβαβ
=+=−
thì nghiệm tổng
quát của (1) là
(
)
(
)
12
coslnsinln
yxCxCx
α
ββ=+


, trong đó
12
,
CC
là các
hằng số.

Ví dụ : Giải phương trình:
2
''4'60
xyxyy
−+=
.

6.2 Phương trình Euler cấp hai không thuần nhất:
Phương trình dạng:
(
)
2
'''
xyAxyByfx
++=
trong đó A, B là các hằng số.
Để giải phương trình Euler-Cauchy cấp hai không thuần nhất có thể dùng phương
pháp biến thiên hằng số. Một số trường hợp đặc biệt có thể dùng phương pháp hệ số bất
định.
Ví dụ : Giải phương trình:
2
''5'12ln
xyxyyxx
+−= .
6.3 Phương trình Euler cấp cao: Có thể giải tương tự như phương trình Euler-Cauchy
cấp hai.
Phương trình thuần nhất có dạng:

(
)

(
)
1
1
110
'0
nn
nn
n
xyAxyAxyAy
−
−
−
++++=
(3)
trong đó
011
,, ,
n
AAA
−
là các hằng số.
- 22 -
Phương trình đặc trưng của (3) là một phương trình đại số bậc n, nó có đúng n
nghiệm trong trường số phức
£



(

)
(
)
(
)
(
)
110
1 11 2 0
n
kkknAkkknAkA
−
−−++−−++++=


Ví dụ : Giải phương trình:
32
'''5''18'260
xyxyxyy
−+−=
.

6.4 Phương trình dạng:

(
)
(
)
(
)

(
)
(
)
1
1
110
'0
nn
nn
n
axbyAaxbyAaxbyAy
−
−
−
+++++++=
(4)
trong đó
011
,, ,
n
AAA
−
là các hằng số.
Có thể đưa (4) về (3) bằng cách đặt
taxb
=+
hoặc giải (4) bằng cách đặt
(
)

,
z
axbezzx
+== .

§7 HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT

7.1 Hệ chuẩn tắc cấp một là hệ n PTVP cấp một dạng
( )
( )
( )
1
112
2
212
12
,,, ,
,,, ,

,,, ,
n
n
n
nn
dy
fxyyy
dx
dy
fxyyy
dx

dy
fxyyy
dx

=



=





=


(1)
trong đó
12
,, ,
n
fff
là các hàm số liên tục trong miền mở
1
,
n
Gx
+
⊂

R
là biến độc lập,
12
,, ,
n
yyy
là các hàm cần tìm,
12
,, ,
n
dydydy
dxdxdx
là các đạo hàm cấp một của chúng.

Ví dụ: Hệ phương trình:
cos
344cossin
dy
zx
dx
dz
yzxx
dx

=−+




=−+−



là hệ chuẩn tắc cấp một.

7.1.1 Định nghĩa: Tập hợp n hàm
(
)
(
)
(
)
12
,, ,
n
yxyxyx
khả vi, liên tục trong khoảng
(
)
,ab
⊂
R
sao cho điểm
(
)
(
)
(
)
(
)

1
12
,,, ,
n
n
xyxyxyxG
+
∈⊂
R
và
() () ()
( )
12
,,, ,,1,
i
in
dy
fxyxyxyxin
dx
==,
(
)
,
xab
∀∈ là nghiệm của hệ chuẩn tắc (1).

- 23 -
7.1.2 Bài toán Cauchy: là bài toán tìm nghiệm
(
)

(
)
(
)
12
,, ,
n
yxyxyx
của hệ (1) thỏa
mãn các điều kiện
(
)
0
0
,1,
ii
yxyin
== trong đó
00
01
,, ,
n
xyy
là những số cho trước.

7.1.3 Định lý: ( về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy)
Giả sử các hàm số
12
,, ,
n

fff
ở vế phải của các phương trình của hệ (1) liên tục
và có các đạo hàm riêng
12
,, ,,1,
iii
n
fff
in
yyy
∂∂∂
=
∂∂∂
liên tục trong miền
DG
⊂
. Khi đó tồn
tại duy nhất n hàm
(
)
(
)
(
)
12
,, ,
n
yxyxyx
là nghiệm của (1) trong một lân cận U nào đó
của điểm

0
x
thỏa mãn các điều kiện
(
)
0
0
,1,
ii
yxyin
== trong đó
(
)
00
01
,, ,
n
xyyD
∈
.

7.1.4 Nghiệm tổng quát:
Giả sử
DG
⊂
là miền thỏa mãn các điều kiện của định lý. Tập hợp n hàm
(
)
12
,,, ,,1,

iin
yyxCCCin
==
(2)
phụ thuộc vào n tham số
12
,, ,
n
CCC
được gọi là nghiệm tổng quát của hệ (1) nếu
1) Tập hợp các hàm (2) là nghiệm của hệ (1) với mọi hằng số
12
,, ,
n
CCC
.
2) Với mọi giá trị
(
)
00
01
,, ,
n
xyyD
∈
cho trước, bài toán Cauchy bao giờ cũng giải
được.

Các khái niệm khác như nghiệm riêng, nghiệm kỳ dị, tích phân tổng quát, tích phân
riêng được định nghĩa tương tự như đối với PTVP cấp một.

Ví dụ: 1) Chứng minh rằng hệ hàm:

(
)
()
3
112
3
212
3cos
xx
xx
yxCeCe
yxCeCex
−−
−−

=+


=++



là nghiệm tổng quát của hệ phương trình:

'
12
'

212
cos
4cossin34
yxy
yxxyy

=−

=−+−

(*)
2) Giải bài toán Cauchy đối với hệ (*) với điều kiện đầu

(
)
(
)
12
01,02
yy
=−=
.

7.2 Cách giải hệ chuẩn tắc cấp một:

7.2.1 Phương pháp đưa về phương trình vi phân cấp cao (phương pháp khử):
Là phương pháp đưa về một phương trình vi phân cấp cao đối với một hàm số
chưa biết bằng cách khử các hàm số chưa biết còn lại từ những phương trình của hệ.

- 24 -
Ví dụ: Giải các hệ phương trình:
a)
'
'
yz
zyx
=


=+

b)
'
'
yyz
zyzx
=+


=++

c)
2
'
1
'
2
y
y

z
zy

=




=




7.2.2 Phương pháp tổ hợp tích phân: là phương pháp tổ hợp một số phương trình vi
phân của hệ, sau đó qua một số phép biến đổi và lấy tích phân ta được nghiệm của hệ.

Ví dụ: a) Giải hệ phương trình:





b) Tìm nghiệm của bài toán Cauchy
(
)
(
)
01,02
yz
==

.
Ví dụ: Giải hệ phương trình:
2
2
'
'
yyyz
zzyz

=+

=+

.

§8 HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP MỘT VỚI
HỆ SỐ HẰNG

8.1 Định nghĩa: Hệ PTVP tuyến tính cấp một với hệ số hằng là hệ phương trình dạng:

()
()
()
1
11112211
2
21122222
1122

nn
nn
n
nnnnnn
dy
ayayayfx
dx
dy
ayayayfx
dx
dy
ayayayfx
dx

=++++



=++++





=++++



(1)
trong đó
,1,,1,
ij
ainjn
== là các hằng số,
(
)
,1,
i
fxin
= là các hàm số liên tục,
(
)
,1,
ii
yyxin
== là các hàm cần tìm.
Nếu các hàm số
(
)
0,1,
i
fxin
≡= thì hệ (1) được gọi là hệ thuần nhất.
Nếu ít nhất một trong các hàm số
(
)
0,1,
i

fxin
≠= thì hệ (1) được gọi là hệ không
thuần nhất.

23
23
dyy
dxyz
dzz
dxyz

=

+



=

+

- 25 -
8.2 Hệ thuần nhất (Phương pháp Euler):

Có thể giải hệ thuần nhất mà không cần đưa về PTVP cấp cao.

Để thuận tiện ta xét hệ gồm hai phương trình:
1112
2122
dy

ayaz
dx
dz
ayaz
dx

=+




=+


(2)
trong đó
;,1,2
ij
aij
=
là các hằng số,
(
)
(
)
,
yxzx
là các hàm cần tìm.
Cách giải:
Ta tìm nghiệm riêng của (2) dưới dạng

kx
kx
ye
ze
α
β

=

=

, trong đó
,,
k
αβ
∈
R
.
Thay vào (2) ta được
(
)
( )
1112
2122
0
0
aka
aak
αβ
αβ

−+=

+−=

(3)
(3) là hệ phương trình đại số tuyến tính thuần nhất. Nó có nghiệm khác 0 khi
( )( )
1112
11221221
2122
00
aka
akakaa
aak
−
=⇔−−−=
−
(4)

(4) là phương trình đại số bậc hai đối với k, nó có đúng hai nghiệm trong trường số phức
£
và được gọi là phương trình đặc trưng của (2).

- Nếu (4) có hai nghiệm thực
12
kk
≠
thì thay
1
k

vào (3) ta được các nghiệm
11
,
αβ
.
Khi đó
11
1111
,
kxkx
yeze
αβ==là hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính tương ứng với
1
k
. Tương tự thay
2
k
vào (3) ta được các nghiệm
22
,
αβ
. Khi đó
22
2222
,
kxkx
yeze
αβ== cũng là hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính tương ứng với
2
k

. Các nghiệm riêng độc lập tuyến tính
1212
,,,
yyzz
được gọi là hệ nghiệm cơ
bản. Do đó nghiệm tổng quát của (2) là:
12
12
1122
1122
1122
1122
kxkx
kxkx
yCyCy
yCeCe
zCzCz
zCeCe
αα
ββ
=+

=+

⇔

=+
=+



,
trong đó
12
,
CC
là các hằng số.

- Nếu (4) có nghiệm thực kép
12
kkk
==
. Khi đó ta tìm nghiệm riêng của (2) dưới
dạng
(
)
(
)
,
kxkx
yAxBezCxDe
=+=+ , trong đó A, B, C, D là các hằng số được
xác định theo phương pháp hệ số bất định.