BD TOAN 45 PHAN III
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (647.21 KB, 25 trang )
Ngô Hữu Kim (Sưu tầm biên soạn)
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG TỐN HSG LỚP 4 & 5
PHẦN BA:
HÌNH HỌC
CHƯƠNG I: CÁC BÀI TỐN VỀ NHẬN DẠNG CÁC HÌNH
1. Các kiến thức cần nhớ :
A
- Nối hai điểm A, B ta được đoạn thẳng AB
|
A
- Hình tam giác có 3 đỉnh, 3 cạnh và 3 góc.
. Hình tam giác ABC có 3 đỉnh là A, B, C ;
Có 3 cạnh là AB, BC và CA; Có 3 góc là góc A,
góc B và góc C.
B
- Hình tứ giác có 4 đỉnh, 4 cạnh và 4 góc.
B
Tứ giác ABCD có 4 đỉnh là A, B, C và D ;
Có 4 cạnh là AB, BC, CD và DA ; Có 4 góc là
góc A, góc B và góc D
- Hình vng có 4 góc vng và có 4 cạnh bằng A
nhau.
D
- Hình chữ nhật ABCD có 4 góc
vng ; Hai cạnh AD và BC là
B
chiều dài, hai cạnh AB và CD
là chiều rộng.
A
B
|
C
C
C
D
2. Bài tập vận dụng
Bài 1 : Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC ta lấy 6 điểm. Nối đỉnh A với mỗi điểm
vừa chọn. Hỏi đếm được bao nhiêu hình tam giác.
Giải :
A
1
B
A
2
1
C
Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán lớp 4&5
B
2
D
3
E
C
7
Ngô Hữu Kim (Sưu tầm biên soạn)
A
1
2
3
4
5
6
7
B
D
E
P
G
H
I
C
Ta nhận xét :
- khi lấy 1 điểm thì tạo thành 2 tam giác đơn ABD và ADC. Số tam giác đếm được là
3 : ABC, ADB và ADC. Ta có :
1 + 2 = 3 (tam giác)
- khi lấy 2 điểm thì tạo thành 3 tam giác đơn và số tam giác đếm được là 6 :
ABC, ABD, ADE, ABE, ADC và AEC. Ta có : 1+ 2 + 3 = 6 (tam giác)
Vậy khi lấy 6 điểm ta sẽ có 7 tam giác đơn được tạo thành và số tam giác đếm
được là :
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 (tam giác)
Cách 2 :- Nối A với mỗi điểm D, E, …, C ta được một tam giác có cạnh AD. Có 6
điểm như vậy nên có 6 tam giác chung cạnh AD (khơng kể tam giác ADB vì đã tính
rồi)
Lập luận tương tự như trên theo thứ tự ta có 5, 4, 3, 2, 1 tam giác chung cạnh
AE, AP, …, AI.
Vậy số tam giác tạo thành là :
7 + 6 + 5 + 4 +3 +2 + 1 = 28 (tam giác).
Bài 2 : Cho hình chữ nhật ABCD. Chia mỗi cạnh AD và BC thành 4 phần bằng nhau,
AB và CD thành 3 phần bằng nhau, rồi nối các điểm chia như hình vẽ.
Ta đếm được bao nhiêu hình chữ nhật trên hình vẽ?
B
C
M
N
E
P
A
D
Giải :
Trước hết Ta xét các hình chữ nhật tạo bởi hai đoạn AD, EP và các đoạn nối
các điểm trên hai cạnh AD và BC. Bằng cách tương tự như trong ví dụ 1 ta tính được
10 hình.
Tài liệu bồi dưỡng HSG Tốn lớp 4&5
7
Ngơ Hữu Kim (Sưu tầm biên soạn)
Tương tự ta tính được số hình chữ nhật tạo thành do hai đoạn EP và MN, do
MN và BC đều bằng 10.
Tiếp theo ta tính số hình chữ nhật tạo thành do hai đoạn AD và MN, EP và BC
với các đoạn nối các điểm trên hai cạnh AD và BC đều bằng 10.
Vì vậy :
Số hình chữ nhật đếm được trên hình vẽ là :
10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 60 (hình)
Đáp số 60 hình.
Bài 3 :Cần ít nhất bao nhiêu điểm để khi nối lại ta được 5 hình tứ giác ?
Giải :
E
Nếu ta chỉ có 4 điểm ( trong đó khơng có
*
3 điểm nào cùng nằm trên 1 đoạn thẳng)
A
B
thì nối lại chỉ được 1 hình tứ giác.
*
*
- Nếu ta chọn 5 điểm, chẳng hạn
A, B, C, D, E (trong đó khơng có 3 điểm
nào nằm trên cùng một đoạn thẳng) thì :
- Nếu ta chọn A là 1 đỉnh thì khi
*
*
chọn thêm 3 trong số 4 điểm còn lại
D
C
B, C, D, E và nối lại ta sẽ được một tứ giác
có một đỉnh là A. Có 4 cách chọn 3 điểm trong số 4 điểm B, C, D, E để ghép với A.
Vậy có 4 tứ giác đỉnh A.
- Có 1 tứ giác khơng nhận A làm đỉnh, dó là BCDE. Từ kết quả trên đây ta suy
ra
Khi có 5 điểm ta được 5 tứ giác.
Vậy để có 5 hình tứ giác ta cần ít nhất 5 điểm khác nhau (trong đó khơng có 3
điểm nào nằm trên cùng một đoạn thẳng)
Bài 4 : Cho 5 điểm A, B, C, D, E trong đó khơng có 3 điểm nào nằm trên cùng một
đoạn thẳng. Hỏi khi nối các điểm trên ta được bao nhiêu đoạn thẳng?
Cũng hỏi như thế khi có 6 điểm, 10 điểm.
Bài 5 : Để có 10 đoạn thẳng ta cần ít nhất bao nhiêu điểm ?
3. Bài tập về nhà
Bài 1 : Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC ta lấy :
a) 5 điểm ;
b) 10 điểm ;
c) 100 điểm .
Hỏi có bao nhiêu tam giác được hình thành ?
Bài 2 : Cần ít nhất bao nhiêu điểm để nối lại ta được :
a) 4 hình tam giác ?
b) 5 hình tam giác ?
Tài liệu bồi dưỡng HSG Tốn lớp 4&5
7
Ngô Hữu Kim (Sưu tầm biên soạn)
Bài 3 : cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh AB lấy 5 điểm và trên cạnh CD lấy 6
điểm. Nối đỉnh C và đỉnh D với mỗi điểm thuộc cạnh AB. Nối đỉnh A và đỉnh B với
mỗi điểm thuộc cạnh CD. Hỏi có bao nhiêu tam giác có các đỉnh nằm trên các cạnh
của hình chữ nhật được tạo thành ?
Bài 4 : Cho hình thang ABCD.
Chia cạnh đáy AB và CD thành
A C
3 phần bằng nhau và các cạnh
bên AB, CD thành 4 phần bằng
nhau như hình vẽ.
Ta đếm được bao nhiêu hình
thang trên hình vẽ ?
A
D
Bài 5 : Cho tam giác ABC. Trên mỗi
cạnh của tam giác ta lấy một điểm rồi nối 3 điểm đó với nhau. Trên các cạnh của mỗi
tam giác vừa tạo thành ta lại lấy một điểm rồi nối 3 điểm đó với nhau. Tiếp tục như
thế 3 lần thì dừng lại. Hỏi khi đó ta đếm được tất cả bao nhiêu tam giác ?
CHƯƠNG II: TÍNH CHU VI VÀ DIỆN TÍCH CÁC HÌNH
I. HÌNH VNG VÀ HÌNH CHỮ NHẬT:
1. HÌNH VNG:
- Muốn tính chu vi hình vng ta lấy cạnh nhân với 4.
P=ax4
- Muốn tính diện tích hình vng ta lấy cạnh nhân với cạnh. S = a x a
- Muốn tính cạnh hình vuông ta lấy chu vi chia cho 4.
a=P:4
(P: chu vi ; S: diện tích ; a: cạnh)
Một số điều cần lưu ý:
- Hai đường chéo hình vng cắt nhau tại điểm chính giữa mỗi đường và tạo
thành 4 góc vng. Chia hình vng đó thành 4 hình tam giác có diện tích bằng
nhau.
- Mỗi đường chéo chia hình vng thành 2 hình tam giác có diện tích bằng
nhau.
2. HÌNH CHỮ NHẬT:
- Muốn tính chu vi hình chữ nhật ta lấy số đo chiều dài cộng số đo chiều rộng
rồi nhân tổng đó với 2.
P = (a + b) 2
- Muốn tính diện tích hình chữ nhật ta lấy số đo chiều dài nhân với số đo chiều
rộng.
S = a b.
- Muốn tính chiều dài ta lấy nửa chu vi trừ đi chiều rộng. a = P : 2 – b
- Muốn tính chiều rộng ta lấy nửa chu vi trừ đi chiều dài. b = P : 2 – a
- Muốn tính chiều dài ta lấy diện tích chia cho chiều rộng. a = S : b
- Muốn tính chiều rộng ta lấy diện tích chia cho chiều dài b = S : a
(P: chu vi ; S: diện tích ; a: chiều dài ; b: chiều rộng)
Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán lớp 4&5
7
Ngô Hữu Kim (Sưu tầm biên soạn)
Một số điều cần lưu ý:
- Hai đường chéo hình chữ nhật cắt nhau tại điểm chính giữa mỗi đường và
chia hình chữ nhật thành 4 hình tam giác có diện tích bằng nhau.
- Mỗi đường chéo chia hình chữ nhật thành 2 hình tam giác có diện tích bằng
nhau.
3. BÀI TẬP:
Bài 1: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài 60m, chiều rộng bằng
3
5
chiều
dài. Tính diện tích mảnh vườn đó.
Chiều rộng mảnh vườn là: 60 x
3
5
Giải
= 36 (m)
Diện tích mảnh vườn là: 60 x 36 = 2160 (m2)
+ Từ bài toán 1, hướng dẫn học sinh giải một số bài toán được phát triển, nâng
cao hơn nhằm rèn luyện năng lực tư duy như sau:
1. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài 60m, chiều rộng bằng
3
8
nửa
chu vi. Tính diện tích mảnh vườn đó.
Vì chiều rộng bằng
3
8
Giải
nửa chu vi nên nếu coi nửa chu vi là 8 phần bằng nhau thì
chiều rộng chiếm 3 phần. Suy ra chiều dài mảnh vườn có số phần là: 8 – 3 = 5 (phần)
Chiều rộng mảnh vườn là: 60 : 5 x 3 = 36 (m)
Diện tích mảnh vườn là:
60 x 36 = 2160 (m2)
2. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài 60m, chiều rộng bằng
3
2
hiệu
của chiều dài và chiều rộng. Tính diện tích mảnh vườn đó.
Giải
Vì chiều rộng bằng
3
2
hiệu của chiều dài và chiều rộng nên nếu coi hiệu của chiều
dài và chiều rộng là 2 phần thì chiều rộng là 3 phần. Suy ra chiều dài mảnh vườn có
số phần là: 2 + 3 = 5 (phần).
Chiều rộng mảnh vườn là: 60 : 5 x 3 = 36 (m)
Diện tích mảnh vườn là: 60 x 36 = 2160 (m2)
3. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài 60m, chiều rộng lớn hơn
3
8
nửa
chu vi là 5m. Tính diện tích mảnh vườn đó.
Giải
Tài liệu bồi dưỡng HSG Tốn lớp 4&5
7
Ngơ Hữu Kim (Sưu tầm biên soạn)
Vì chiều rộng lớn hơn
3
8
nửa chu vi là 5m nên nếu coi nửa chu vi là 8 phần bằng
nhau thì chiều rộng là 3 phần cộng thêm 5m. Suy ra chiều dài mảnh vườn là 5 phần
bớt đi 5m.
Khi đó 1 phần có số đo là: (60 + 5) : 5 = 13 (m).
Chiều rộng mảnh vườn là: 3 x 13 + 5 = 44 (m)
Diện tích mảnh vườn là: 60 x 44 = 2640 (m2)
4. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài 60m, chiều rộng nhỏ hơn
3
8
nửa chu vi là 5m. Tính diện tích mảnh vườn đó.
Giải
3
Vì chiều rộng nhỏ hơn 8 nửa chu vi là 5m nên nếu coi nửa là 8 phần bằng nhau thì
chiều rộng là 3 phần trừ đi 5m. Suy ra chiều dài mảnh vườn là 5 phần cộng thêm 5m.
Một phần ứng với số đo là: (60 – 5) : 5 = 11 (m)
Chiều rộng mảnh vườn là: 3 x 11 – 5 = 28 (m)
Diện tích mảnh vườn là: 60 x 28 = 1680 (m2)
5. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài 60m, chiều rộng lớn hơn
3
2
hiệu của chiều dài và chiều rộng là 5m. Tính diện tích mảnh vườn đó.
Giải
Vì chiều rộng lớn hơn
3
2
hiệu của chiều dài và chiều rộng là 5m nên nếu coi hiệu
của chiều dài và chiều rộng là 2 phần thì chiều rộng là 3 phần cộng thêm 5m.
Suy ra chiều dài mảnh vườn là 5 phần cộng thêm 5m.
Một phần ứng với số đo là: (60 – 5) : 5 = 11 (m)
Chiều rộng mảnh vườn là: 3 x 11 + 5 = 38 (m)
Diện tích mảnh vườn là:
60 x 38 = 2280 (m2)
Bài 2: Một miếng đất hình vng khi mở rộng chiều dài thêm 6m thì được miếng đất
hình chữ nhật có chu vi 112m. Tìm diện tích miếng đất sau khi mở rộng.
Giải
6m
Khi mở rộng chiều dài thêm 6m thì chu vi tăng thêm
6 x 2 = 12 (m)
Chu vi hình vng: 112 – 12 = 100 (m)
Cạnh của hình vng cũng là chiều rộng của miếng đất sau khi
mở rộng:
100 : 4 = 25 (m)
Chiều dài miếng đất sau khi mở rộng: 25 + 6 = 31 (m)
Diện tích miếng đất sau khi mở rộng: 31 x 25 = 775 (m2)
Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán lớp 4&5
8
Ngô Hữu Kim (Sưu tầm biên soạn)
Bài 3: Người ta chia một thửa vườn hình vng thành hai thửa nhỏ hơn hình chữ
nhật. Như vậy, tổng chu vi hai hình chữ nhật hơn chu vi thửa hình vng là 50m.
Tính: a/ Chu vi thửa hình vng.
b/ Diện tích thửa hình vng.
Giải
A
M B
Quan sát hình vẽ ta thấy:
Tổng chu vi hai hình chữ nhật hơn chu vi thửa hình vng 2
lần đoạn MN.
Vậy đoạn MN hay cạnh thửa vườn là: 50 : 2 = 25 (m)
a/ Chu vi thửa vườn là: 25 x 4 = 100 (m)
b/ Diện tích thửa vườn là: 25 x 25 = 625 (m2)
D
N C
Bài 4: Một hình vng có chu vi 20m. Người ta mở rộng mỗi cạnh thêm 2m. Tính
diện tích tăng thêm.
Giải
Cạnh hình vng: 20 : 4 = 5 (m)
Cạnh hình vng khi mở rộng: 5 + 2 = 7 (m)
Diện tích hình vng lúc đầu: 5 x 5 = 25 (m2)
Diện tích hình vuông kgi mở rộng: 7 x 7 = 49 (m2)
Diện tích tăng thêm: 49 – 25 = 24 (m2)
Bài 5: Người ta mở rộng một thửa ruộng hình vng về bốn phía như hình vẽ. Sau
khi mở rộng, diện tích thửa ruộng tăng thêm 540m 2. Tính diện tích thửa ruộng ban
đầu ?
Giải
3m
3m
3m
3m
Chia phần diện tích mở rộng thành 4 phần có diện tích bằng nhau như hình vẽ.
Diện tích của một phần là: 540 : 4 = 135 (m2)
Cạnh của thửa ruộng lúc đầu là: 135 : 3 – 3 = 42 (m)
Diện tích của thửa ruộng lúc đầu là: 42 x 42 = 1764 (m2)
Bài 6: Vườn trường hình chữ nhật có chiều rộng bằng cạnh sân trường hình vng.
Diện tích vườn trường lớn hơn diện tích sân trường là 350m2. Chu vi sân trường kém
chu vi vường trường là 20m. Tính diện tích vườn trường.
Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán lớp 4&5
8
Ngô Hữu Kim (Sưu tầm biên soạn)
A
M
Sân
D
B
350m2
N
C
Giải
Chu vi sân trường kém chu vi vườn trường 20m, chính
là 2 đoạn MB và NC.
Vậy chiều rộng hình chữ nhật nhỏ là: 20 : 2 = 10 (m)
Chiều dài hình chữ nhật nhỏ cũng chính là cạnh sân
trường hình vng:
350 : 10 = 35 (m)
Chiều dài vườn trường là: 35 + 10 = 45 (m)
Diện tích vườn trường là: 45 x 35 = 1575 (m2)
Bài 7: Một vườn hình chữ nhật có chu vi 84m. Hãy tính diện tích của vườn đó, biết
rằng nếu tăng chiều rộng của vườn thêm 3m và giảm chiều dài của vườn đi 3m thì
vườn đó trở thành vườn hình vng.
Giải
3m
Khi tăng chiều rộng 3m và giảm chiều dài 3m thì lúc
đó chiều dài bằng chiều rộng.
Vậy chiều dài hơn chiều rộng: 3 + 3 = 6 (m)
Nửa chu vi vườn hình chữ nhật: 84 : 2 = 42 (m)
Chiều rộng vườn hình chữ nhật: (42 – 6) : 2 = 18 (m)
Chiều dài vườn hình chữ nhật: 42 – 18 = 24 (m)
3m
3m
Diện tích vườn hình chữ nhật: 24 x 18 = 432 (m2)
Bài 8: Một cái sân hình chữ nhật có chu vi 216m. Nếu tăng chiều rộng 14m và giảm
chiều dài 10m, thì cái sân thành hình vng. Tính diện tích hình chữ nhật.
Giải
10m
Khi tăng chiều rộng 14m và giảm chiều dài 10m thì
sân thành hình vng.
Vậy chiều dài hơn chiều rộng: 14 + 10 = 24 (m)
Nửa chu vi cái sân là: 216 : 2 = 108 (m)
Chiều rộng cái sân là: (108 – 24) : 2 = 42 (m)
Chiều dài cái sân là: 42 + 24 = 66 (m)
14m
Diện tích cái sân hình chữ nhật là:
66 x 42 = 2772 (m2)
Bài 9: Một cái sân hình vng, nếu tăng một cạnh 3m và bớt cạnh kề nó 3m thì được
một hình chữ nhật có chu vi 60m. Tính diện tích sân hình vng.
Giải
Khi tăng một cạnh hình vng 3m và giảm cạnh kề nó 3m thì cạnh tăng hơn cạnh
giảm: 3 + 3 = 6 (m)
Nửa chu vi hình chữ nhật: 60 : 2 = 30 (m)
Chiều rộng hình chữ nhật: (30 – 6) : 2 = 12 (m)
Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán lớp 4&5
8
Ngơ Hữu Kim (Sưu tầm biên soạn)
Cạnh cái sân hình vng: 12 + 3 = 15 (m)
Diện tích cái sân hình vng: 15 x 15 = 225 (m2)
Bài 10: Một cái hồ hình vng được mở rộng sang bên phải 8m và phía trên thêm 5m
thì được một hình chữ nhật có diện tích hơn diện tích hồ hình vng là 404m 2. Tính
diện tích hồ hình vng lúc đầu.
Giải
8m
Ta chi phần đất mở rộng thành 3 hình chữ nhật 1,2,3 theo
1
2 5m hình vẽ.
Diện tích hình 2 là: 8 x 5 = 40 (m2)
3
Diện tích hình 1 và 3 là: 404 – 40 = 364 (m2)
Hai hình 1 và 3 có chiều dài là cạnh hình vng. Ta ghép
hình 1 và 3 thành hình chữ nhật có chiều dài là cạnh hình
vng, cịn chiều rộng bằng: 8 + 5 = 13 (m)
Cạnh hình vng là: 364 : 13 = 28 (m)
Diện tích hồ hình vng lúc đầu: 28 x 28 = 784 (m2)
Bài 11: Một cái sân hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Người ta giảm
chiều dài 2m và tăng chiều rộng 2m thì diện tích sân tăng thêm 20m 2. Tìm diện tích
sân lúc chưa mở rộng.
Giải
2m Phần diện tích tăng thêm là hình chữ nhật có chiều
rộng 2m, chiều dài bằng 2 lần chiều rộng của sân
trừ bớt đi 2m.
Chiều dài hình chữ nhật tăng thêm: 20 : 2 = 10 (m)
Hai lần chiều rộng của sân lúc chưa mở rộng:
2
2m
20m
2m
10 + 2 = 12 (m)
Chiều rộng của sân lúc chưa mở rộng:
12 : 2 = 6 (m)
Chiều dài của sân lúc chưa mở rộng: 6 x 3 = 18 (m)
Diện tích của sân lúc chưa mở rộng: 18 x 6 = 108 (m2)
Bài 12: Một hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng, nếu bớt chiều dài 15m
và tăng chiều rộng thêm 15m ta được hình chữ nhật mới có diện tích hơn hình chữ
nhật cũ là 1125m2. Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu.
Giải
15m Phần diện tích tăng thêm là hình chữ nhật nhỏ
có chiều rộng 15m, chiều dài bằng 2 lần chiều
rộng của hình chữ nhật ban đầu trừ bớt đi 15m.
Chiều dài hình chữ nhật tăng thêm:
1125: 15 = 75(m)
2
15m
1125m
15m Hai lần chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu:
Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán lớp 4&5
8
Ngô Hữu Kim (Sưu tầm biên soạn)
75 + 15 = 90 (m)
Chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu:
90 : 2 = 45 (m)
Chiều dài của hình chữ nhật ban đầu: 45 x 3 = 135 (m)
Diện tích của hình chữ nhật ban đầu: 135 x 45 = 6075 (m2)
Bài 13: Cho hình vng ABCD, nếu mở rộng về bên trái 4m và mở rộng về phía
dưới 4m thì diện tích sẽ tăng 160m2. Tính diện tích hình vng ABCD.
Giải
A
B Diện tích tăng thêm là diện tích của các hình 1, 2, 3.
Diện tích hình 2 là: 4 x 4 = 16 (m2)
Tổng diện tích hình 1 và hình 3 là: 160 – 16 = 144 (m2)
1
Diện tích hình chữ nhật 1: 144 : 2 = 72 (m2)
Chiều dài hình chữ nhật 1 cũng là cạnh của hình vng
ABCD: 72 : 4 = 18 (m)
4m 2 D
3
C Diện tích hình vuông ABCD:
4m
18 x 18 = 324 (m2)
Bài 14: Một thửa đất hình chữ nhật có chu vi là 180m. Nếu tăng chiều rộng 8m, giảm
chiều dài 8m thì diên tích thửa đất khơng thay đổi. Tính diện tích thửa đất đó.
Giải
8m
Để diện tích khơng đổi thì diện tích giảm phải bằng diện tích
tăng, mà diện tích giảm và diện tích tăng đều là hình chữ nhật
D
có chiều rộng bằng 8m nên chiều dài của chúng phải bằng
T
gi
nhau và bằng chiều rộng của thửa đất hình chữ nhật.
ả
Vậy chiều dài thửa đất hơn chiều rộng thửa đất là 8m.
8m DT tăng
Nửa chu vi thửa đất là: 180 : 2 = 90 (m)
Chiều rộng thửa đất là: (90 – 8) : 2 = 41 (m)
Chiều dài thửa đất: 41 + 8 = 49 (m)
Diện tích thửa đất là: 49 x 41 = 2009 (m2)
Bài 15: Một hình chữ nhật có chu vi 46cm. Sau khi tăng chiều rộng lên 3 lần và tăng
chiều dài lên 3 lần thì được hình chữ nhật mới có chiều dài hơn chiều rộng 15cm.
Tìm diện tích hình chữ nhật sau khi mở rộng.
Giải
Gọi a là chiều dài hình chữ nhật
b là chiều rộng hình chữ nhật.
Theo đề bài ta có: (a + b) x 2 = 46 (cm)
Hình chữ nhật sau khi mở rộng có chiều dài là a x 3 và chiều rộng là b x 3.
Chu vi hình chữ nhật sau khi mở rộng là:
(a x 3 + b x 3) x 2 = (a + b) x 3 x 2
Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán lớp 4&5
8
Ngô Hữu Kim (Sưu tầm biên soạn)
= (a + b) x 2 x 3
46 x 3 = 138 (cm)
Nửa chu vi của hình chữ nhật sau khi mở rộng:
138 : 2 = 69 (cm)
Chiều rộng hình chữ nhật sau khi mở rộng: (69 – 15) : 2 = 27 (cm)
Chiều dài hình chữ nhật sau khi mở rộng: 27 + 15 = 42 (cm)
Diện tích hình chữ nhật sau khi mở rộng: 27 x 42 = 1134 (cm2)
Bài 16: Một miếng đất hình chữ nhật có chiều dài 62m, chiều rộng 34m. Người ta
giảm chiều dài và tăng chiều rộng để miếng đất thành hình vng. Phần diện tích
giảm theo chiều dài là 272m2. Tìm diện tích tăng thêm theo chiều rộng.
Giải
Phần chiều dài đã giảm đi: 272 : 34 = 8 (m)
2
Cạnh hình vng: 62 – 8 = 54 (m)
7
Chiều rộng miếng đất phải tăng thêm:
2
54 – 34 = 20 (m)
m
Diện tích tăng theo chiều rộng:
20 x 54 = 1080 (m2)
Bài 17: Một miếng vườn hình chữ nhật có chu vi 140m. Người ta mở rộng về phía
trên thêm 9m, về bên phải 6m, về bên trái 3m. Tìm diện tích phần đất mở rộng thêm.
Giải
Phần diện tích mở rộng thêm bằng diện tích của 3 hình
1
9m
1, 2, 3 ghép lại thành một hình chữ nhật có chiều rộng
9m và chiều dài bằng nửa chu vi miếng đất cộng thêm
9m.
3
2
Nửa chu vi miếng đất: 140 : 2 = 70 (m)
Chiều dài của hình chữ nhật mở rộng thêm:
70 + 9 = 79 (m)
3m
6m
Diện tích phần đất mở rộng thêm:
79 x 9 = 711 (m2)
Bài 18: Một sân phơi hình chữ nhật có chu vi 82m, nếu giảm chiều dài 8m và giảm
chiều rộng 5m thì được một hình vng. Tìm diện tích sân phơi.
Giải
8m
Khi giảm chiều dài 8m và giảm chiều rộng 5m thì chu vi sân phơi
giảm: 8 x 2 + 5 x 2 = 26 (m)
Chu vi hình vng: 82 – 26 = 56 (m)
5m
Cạnh hình vng: 56 : 4 = 14 (m)
Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán lớp 4&5
8
Ngô Hữu Kim (Sưu tầm biên soạn)
Chiều rộng sân phơi: 14 + 5 = 19 (m)
Chiều dài sân phơi: 14 + 8 = 22 (m)
Diện tích sân phơi:
22 x 19 = 418 (m2)
1
Bài 19: Một hình chữ nhật có chiều rộng bằng 3 chiều dài. Nếu kéo dài mỗi chiều
thêm 4m thì được hình chữ nhật mới có chu vi bằng 128m. Tìm diện tích hình chữ
nhật ban đầu.
Giải
4m Khi mở rộng chiều rộng thêm 4m và mở rộng
chiều dài thêm 4m thì chu vi hình chữ nhật tăng
thêm 4 x 2 + 4 x 2 = 16 (m)
Chu vi hình chữ nhật ban đầu:
128 – 16 = 112 (m)
4m
Nửa chu vi hình chữ nhật ban đầu:
112 : 2 = 56 (m)
Coi chiều rộng hình chữ nhật ban đầu là 1 phần thì chiều dài gồm 3 phần.
Vậy 56 gồm 1 + 3 = 4 (phần)
Chiều rộng hình chữ nhật ban đầu: 56 : 4 = 14 (m)
Chiều dài hình chữ nhật ban đầu: 14 x 3 = 42 (m)
Diện tích hình chữ nhật ban đầu: 14 x 42 = 588 (m2)
Bài 20: Một bãi tập thể dục hình vng được mở rộng bên phải thêm 2m và phía
dưới thêm 4m để thành hình chữ nhật có chu vi 84m. Tính diện tích ban đầu của bãi
tập.
Giải
2m
Dựa vào hình vẽ, ta thấy chu vi hình chữ nhật hơn chu vi hình
vng là: 2 x 2 + 4 x 2 = 12 (m)
Chu vi bãi tập hình vng ban đầu:
84 – 12 = 72 (m)
4m
Cạnh bãi tập ban đầu:
72 : 4 = 18 (m)
Diện tích bãi tập ban đầu:
18 x 18 = 324 (m2)
II. HÌNH BÌNH HÀNH VÀ HÌNH THOI:
Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán lớp 4&5
8
Ngơ Hữu Kim (Sưu tầm biên soạn)
1. HÌNH BÌNH HÀNH:
- Hình bình hành có hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau.
- Muốn tính diện tích hình bình hành ta lấy đáy nhân với chiều cao.
S = a x h
(S: diện tích; a: độ dài đáy; h: chiều cao)
2. HÌNH THOI:
- Hình thoi có hai cặp cạnh đối diện song song và bốn cạnh bằng nhau.
- Muốn tính diện tích hình thoi ta lấy tích của độ dài hai đường chéo chia cho 2.
mXn
2
S =
(S là diện tích; m, n là độ dài của hai đường chéo)
3. BÀI TẬP:
Bài 1: Một hình bình hành có chiều cao 6cm, cạnh đáy bằng
5
3
chiều cao. Tính
diện tích hình bình hành đó.
Giải
Cạnh đáy của hình bình hành bằng: 6 x
5
3
= 10 (cm)
Diện tích hình bình hành bằng: 10 x 6 = 60 (cm2)
Bài 2: Cho M là trung điểm của cạnh AB, N là trung
A
M
B
điểm của cạnh DC, biết cạnh AB = 8cm, AD = 6cm.
Hãy tính tổng chu vi của tất cả các hình bình hành
có trong hình dưới đây:
Giải
D
N
C
Hình đã cho có 3 hình bình hành là: AMND; MBCN; ABCD
Độ dài cạnh AM = DN =MB = NC và bằng: 8 : 2 = 4 (cm)
Chu vi hình bình hành AMND (cũng chính là chu vi của hình bình hành MBCN) là:
(6 + 4) x 2 = 20 (cm)
Chu vi của hình bình hành ABCD là: (8 + 6) x 2 = 28 (cm)
Chu vi 3 hình bình hành là: 28 + 20 + 20 = 68 (cm)
Bài 3: Hình bình hành ABCD có chu vi 160cm, cạnh BC = 30cm và chiều cao AH =
25cm. Tính diện tích hình bình hành ABCD.
A
B
25cm
D H
30cm
C
Giải
Tài liệu bồi dưỡng HSG Tốn lớp 4&5
8
Ngơ Hữu Kim (Sưu tầm biên soạn)
Nửa chu vi hình bình hành ABCD: 160 : 2 = 80 (cm)
Độ dài cạnh AB bằng: 80 – 30 = 50 (cm)
Diện tích hình bình hành ABCD là: 50 x 25 = 1250 (cm2)
Bài 4: Có một miếng đất hình bình hành có cạnh đáy 24m, người ta mở rộng mỗi
cạnh đáy thành 28m thì diện tích miếng đất tăng thêm 60m2. Tìm diện tích miếng đất
lúc chưa mở rộng.
Giải
Người ta mở rộng cạnh đáy miếng đất thêm: 28 – 24 = 4 (m)
Phần mở rộng là một hình bình hành có cạnh đáy bằng 4 m chiều cao bằng chiều cao
miếng đất lúc chưa mở rộng và có diện tích bằng 60m2.
Chiều cao của miếng đất là: 60 : 4 = 15 (m)
Diện tích miếng đất lúc chưa mở rộng: 24 x 15 = 360 (m2)
Bài 5: Cho hình bình hành ABCD có chu vi bằng 70cm, có cạnh AB bằng
5
2
cạnh
AD và có chiều cao bằng 9cm. Tìm diện tích của hình bình hành ABCD.
A
B
D
H
C
Giải
Nửa chu vi hình bình hành ABCD là: 70 : 2 = 35 (cm)
Tổng số phần bằng nhau: 5 + 2 = 7 (phần)
Độ dài cạnh AB bằng: 35 : 7 x 5 = 25 (cm)
Diện tích hình bình hành ABCD bằng: 25 x 9 = 225 (cm2)
Bài 6: Tìm diện tích của hình thoi biết độ dài đường chéo thứ nhất bằng 15cm, đường
chéo thứ hai dài hơn đường chéo thứ nhất 3cm.
Giải
Độ dài đường chéo thứ hai bằng: 15 + 3 = 18 (cm)
Diện tích của hình thoi bằng: 18 x 15 : 2 = 135 (cm2)
Bài 7: Một mảnh đất hình bình hành ABCD có đáy AB là 45dm, chiều cao AH bằng
20dm. Đáy AD là 36dm. Tính chiều cao CK ?
Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán lớp 4&5
8
Ngơ Hữu Kim (Sưu tầm biên soạn)
Giải
A
45dm
B
K 20dm
36dm
D
H
Diện tích hình bình hành ABCD là:
45 x 20 = 900 (dm2)
Chiều cao CK là: 900 : 36 = 25 (dm)
C
Bài 8: Một mảnh đất hình bình hành có đáy lớn là 42m, diện tích bằng 756m 2. Kéo
dài mỗi đáy lớn thêm 5m ta được một hình bình hành mới. Tính diện tích phần đất
được tăng thêm ?
Giải
Vì diện tích hình bình hành ABCD bằng 756m2, đáy AB bằng 42m.
Chiều cao BH là: 756 : 42 = 18 (m)
Phần diện tích tăng thêm là hình bình hành BMNC. Ta thấy BH cũng là chiều cao của
hình bình hành BMNC. Vậy diện tích phần tăng thêm là: 18 x 5 = 90 (m2)
A
B
M
D
C
H N
Bài 9: Cho hình chữ nhật và hình bình hành như sau:
A
B
M
6cm
3cm
3cm
N
4cm
D
6cm
C
Q H
P
a) Tính và so sánh chu vi của hình chữ nhật ABCD và hình bình hành MNPQ.
b) Tính và so sánh diện tích của hình chữ nhật ABCD và hình bình hành MNPQ.
Giải
a/ Chu vi hình chữ nhật ABCD: (6 + 3) x 2 = 18 (cm)
Chu vi hình bình hành MNPQ: (6 + 4) x 2 = 20 (cm)
Ta có: 18cm < 20cm
Chu vi hình chữ nhật ABCD bé hơn chu vi hình bình hành MNPQ.
b/ Diện tích hình chữ nhật ABCD bằng: 6 x 3 = 18 (cm2)
diện tích hình bình hành MNPQ bằng: 6 x 3 = 18 (cm2)
diện tích hình chữ nhật ABCD bằng diện tích hình bình hành MNPQ.
Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán lớp 4&5
8
Ngơ Hữu Kim (Sưu tầm biên soạn)
Bài 10: Tìm tỉ số của diện tích hình chữ nhật ABCD và diện tích hình thoi MNPQ
dưới đây, biết AB = 7cm, BC = 4cm.
M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh DA, AB, BC, CD.
A
N
B
M
N
D
Q
C
Giải
Hình chữ nhật ABCD có diện tích: 7 x 4 = 28 (cm2)
Diện tích của hình thoi MNPQ bằng: 7 x 4 : 2 = 14 (cm2)
Tỉ số diện tích hình chữ nhật ABCD và diện tích hình thoi MNPQ bằng 28 : 14 hay
28
14
= 2 , hay hình chữ nhật ABCD có diện tích gấp đơi diện tích hình thoi MNPQ.
Bài 11: Biết hình chữ nhật ABCD có chu vi 20cm, chiều rộng AD bằng
2
3
chiều
dài AB. Tính diện tích của hình bình hành MNBA.
M
N
2cm
A
B
H
D
C
Giải
Nửa chu vi hình chữ nhật ABCD là: 20 : 2 = 10 (cm)
Tổng số phần bằng nhau: 2 + 3 = 5 (phần)
Độ dài của cạnh AB là: 10 : 5 x 3 = 6 (cm)
Diện tích hình bình hành MNBA là: 6 x 2 = 12 (cm2)
CHƯƠNG III: CÁC BÀI TỐN VỀ CẮT GHÉP HÌNH
Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán lớp 4&5
9
Ngơ Hữu Kim (Sưu tầm biên soạn)
Bài 1: Hình chữ nhật bên có bao nhiêu ơ vng? Hãy cắt hình chữ nhật thành hai
mảnh để ghép lại được một hình vng.
Mỗi hàng có 9 ơ vng, ta có 4 hàng
Vậy số ơ vng có tất cả là:
9 x 4 = 36 (ơ vng)
1
1
2
2
Cắt
Ghép
Bài 2: Cắt một hình như bên
thành 5 mảnh để ghép lại được
một hình vng.
1
4
5
2
4
1
5
3
3
Cắt
Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán lớp 4&5
2
Ghép
9
Ngô Hữu Kim (Sưu tầm biên soạn)
Bài 3: Hãy cắt một miếng bìa hình tam giác thành 3 phần rồi ghép lại để được một
hình chữ nhật. Vẽ hình minh họa các cách cắt, ghép.
Giải
Có 2 cách cắt ghép cơ bản, được minh họa như hình vẽ: Lưu ý các điểm lấy trên cạnh
tam giác là trung điểm của cạnh.
1 2
1
1
2
2
1
2
Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB = 16cm, chiều rộng AD = 9cm.
a/ Tính cạnh hình vng có diện tích bằng diện tích hình chữ nhật ABCD.
b/ Hãy cắt hình chữ nhật ABCD trên thành hai mảnh để ghép lại thành một hình
vng.
Giải
a/ Diện tích hình chữ nhật ABCD hay diện tích hình vng sau khi ghép là:
16 x 9 = 144 (cm2)
Vì 144 = 12 x 12 nên cạnh hình vng đó là 12 cm.
b/ Nếu chia chiều dài hình chữ nhật thành 4 phần bằng nhau, chiều rộng thành 3 phần
bằng nhau rồi nối các điểm chia ta được 12 hình chữ nhật nhỏ có chiều dài 4cm,
chiều rộng 3cm. Do đó cạnh hình vng bằng 3 lần chiều chiều dài hay 4 lần chiều
rộng.
Từ đó ta có cách cắt ghép sau:
Cắt
Ghép
Bài 5: Cho một mảnh bìa như hình vẽ. Hãy cắt mảnh bìa đó 4cm
thành 2 mảnh để ghép lại ta được một khung bìa hình vng,
cạnh của hình vng mép ngồi bằng 4cm.
2cm
2cm
4cm
Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán lớp 4&5
9
Ngơ Hữu Kim (Sưu tầm biên soạn)
Giải
Chia mảnh bìa thành 12 ô vuông bằng nhau, ta sẽ dễ dàng phát hiện cách cắt, ghép
thành khung hình vng.
Bài 6: Bằng 4 nhát cắt hãy chia một mảnh bìa hình vng thành các mảnh nhỏ để
ghép lại ta được 3 hình vng, trong đó 2 hình vng có diện tích bằng nhau.
Giải
Cách 1:
5
3
2
1
4
3
1
4
2
5
Cắt
Ghép
Cách 2:
2
4
3
1
3
5
4
1
2
5
Cắt
Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán lớp 4&5
Ghép
9
Ngô Hữu Kim (Sưu tầm biên soạn)
Bài 7: Cắt một hình như hình bên thành 5 mảnh để ghép lại được một hình vng.
Giải
2
2
3
4
5
1
5
1
3
4
Cắt
Ghép
Bài 8: Hãy cắt một hình vng thành 4 mảnh và ghép lại thành một hình thang cân.
Giải
C/1:
1
2
2
4
1
3
4
3
Cắt
Ghép
C/2:
2
4
2
1
1
4
3
3
Cắt
Ghép
Bài 9: Hãy cắt miếng bìa hình vng có cạnh 9cm thành 4 mảnh rồi ghép không
chồng lên nhau để được 3 hình vng, trong đó có 2 hình vng to diện tích bằng
1
nhau, 1 hình vng nhỏ có diện tích bằng 4 diện tích hình vng to.
Giải
2
Diện tích miếng bìa là: 9 x 9 = 81 (cm )
Tài liệu bồi dưỡng HSG Toán lớp 4&5
9
