HSG toan 8 Nghia Dan 2018 2019

PHỊNG GD&ĐT NGHĨA ĐÀN
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2018 – 2019
Mơn: Tốn 8
Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề)

(Đề thi có 01 trang)

Câu 1: ( 4,0 điểm)
a) Tìm cặp số nguyên dương x, y biết: x – xy = 4 – y
b) Chứng minh rằng với mọi n là số tự nhiên lẻ thì: n3 + 3n2 – n – 3  48.
Câu 2: ( 8,0 điểm)

x 1
5
12

 2
1
a) Giải phương trình: x  2 x  2 x  4
2
b) Giải phương trình: x  x  20 0

c) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = (a + b + c)(bc + ca + ab) – abc.

1 1 1
  4
x
y z
Câu 3: ( 2,0 điểm) Cho các số dương x, y, z thõa mãn

.
1
1
1


1
Chứng minh rằng: 2 x  y  z x  2 y  z x  y  2 z .

Câu 4: ( 5,0 điểm)
1) Cho hình vng ABCD, E là điểm nằm trên CD. Gọi F là giao điểm của
đường thẳng AE và BC. Qua A kẻ đường thẳng vng góc với AE cắt đường thẳng
CD tại K.
a) Chứng minh tam giác KAF vuông cân.
b) Chứng minh: AF.(CK - CF) = BD. FK.
2) Cho tam giác ABC và một điểm O nằm trong tam giác đó. Xác định vị trí
của điểm O để OA.BC + OB.CA + OC.AB đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 5: ( 1,0 điểm) Trong hình vng có cạnh bằng 32 cho 33 điểm bất kỳ. Chứng
minh rằng trong các điểm đã cho có thể tìm được 3 điểm lập thành tam giác có
diện tích khơng lớn hơn 32.
------------------HẾT-----------------

Họ và tên thí sinh:…………………………………………………SBD:…………