Gui Nguyen Van A bai hinh

Bài tốn : Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC . Gọi D, E, F lần lượt là chân đường cao
kẻ từ A, B, C của tam giác , P là giao điểm của đường thẳng BC và EF. Đường thẳng qua
D và song song với EF lần lượt cắt các đường thẳng AB, AC, CF tại Q, R, S
1/ Chứng minh tứ giác BQCR là tứ giác nội tiếp.
PB DB

2/ Chứng minh PC DC và D là trung điểm của đoạn thẳng QS.

3/ Khi B, C cố định, điểm A thay đổi nhưng vẫn thỏa mãn điều kiện trên, chứng minh
đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR ln đi qua một điểm cố định.

o


a, Ta có : BFC BEC 90  BFEC nội tiếp



Suy ra BQR AFE BCR nên tứ giác BQCR nội tiếp.

b, Ta có :




PFB
AFE
BFD
nên FB và FC là phân giác góc trong và ngồi của PFD
BD DC
BD PB




BP
CP
DC
PC (đpcm)
Áp dụng tính chất tia phân giác ta có :
DQ BD DC DS



 DQ DS
PF
PB
PC
PF
Ta có :
c, Gọi M là trung điểm BC. Ta đi chứng minh : PQMR nội tiếp
2
2
QD.DR

BD.DC

(BM

DM)(CM

DM)


EM

DM
Ta có : BQCR nội tiếp nên
(1)
(do BM=MC=EM)



Ta lại có : EDM PEM BAC (tự chứng minh)
2
2
2
Suy ra : MDE ∽ MEP  ME MD.MP  MD.DP EM  DM (2)
Từ (1) và (2) ta có : DM.DP DQ.DE  PQMR nội tiếp
Suy ra (PQR) đi qua M cố định khi A thay đổi.

Nguyễn Đăng Khoa – HS THCS Lâm Thao khóa 2014-2018 – Lâm Thao – Phú Thọ