Tài liệu Sức bền vật liệu- Chương 1 ppt

July 2009
Trần Minh Tú – University of Civil Engineering
E-mail: t
p
nt2002
@y
ahoo.com
11
SỨC BỀN
VẬT LIỆU
TrầnMinhTú
Đạihọc xây dựng
®¹i häc
Chương 1
NỘI LỰC TRONG BÀI TOÁN THANH
3(30)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
Chương 1.
N
ội lực trong bài toán thanh
NỘI DUNG
1.1. Các thành phần ứng lực trên mặt cắt ngang
1.2. Biểu đồ nội lực – Pp mặt cắt biến thiên
1.3. Liên hệ vi phân giữa mô men uốn, lực cắt và
tải trọng phân bố
1.4. Phương pháp vẽ biểu đồ nội lực theo điểm
đặc biệt
1.5. Biểu đồ nội lực của dầm tĩnh định nhiều nhịp
1.6. Biểu đồ nội lực của khung phẳ
ng
1.7. Biểu đồ nội lực của thanh cong

4(30)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
1.1. Các thành phần ứng lực trên mặt
cắt ngang (1)
• Trong trường hợp tổng quát trên mặt
cắt ngang của thanh chịu tác dụng của
ngoại lực có 6 thành phần ứng lực:
y
z
x
M
x
M
y
M
z
Q
x
N
Z
Q
y
5(30)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
1.1. Các thành phần ứng lực trên mặt
cắt ngang (2)
• Bài toán phẳng
: Ngoại lực nằm trong mặt
phẳng đi qua trục z (yOz) => Chỉ tồn tại
các thành phần ứng lực trong mặt phẳng

này: N
z
, M
x
, Q
y
• N
z
-lực dọc; Q
y
-lực cắt; M
x
–mô men uốn
y
z
x
M
x
N
Z
Q
y
6(30)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
1.1. Các thành phần ứng lực trên mặt
cắt ngang (2)
N
z
Q
Q

M
M
1
1
Để xác định các thành phần ứng lực trên mặt cắt ngang:
=> Phương pháp mặt cắt
7(30)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
1.1. Các thành phần ứng lực trên mặt
cắt ngang (3)
Qui ước dấu các thành phần ứng lực
 Lực dọc: N>0 khi có chiều đi ra khỏi mặt cắt
 Lực cắt: Q>0 khi có chiều đi vòng quanh phần
thanh đang xét theo chiều kim đồng hồ
 Mô men uốn: M>0 khi làm căng các thớ dưới
N
N
8(30)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
1.1. Các thành phần ứng lực trên mặt
cắt ngang (4)
Cách xác định các thành phần ứng lực
 Giả thiết chiều các thành phần M, N, Q theo chiều
dương qui ước
 Thiết lập phương trình hình chiếu lên các trục z, y
và phương trình cân bằng mô men với trọng tâm
O của mặt cắt ngang
0 => N= Z =
∑
0 => Q= Y =

∑
0 => M=
O
M =
∑
9(30)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
1.1. Các thành phần ứng lực trên mặt
cắt ngang (5)
Biểu thức quan hệ nội lực - ứng suất
 Vì là bài toán phẳng nên chỉ tồn tại các thành phần
ứng suất trong mặt phẳng zOy => ký hiệu
 Các thành phần ứng lực trên mặt cắt ngang
 dA(x,y) là phân tố diện tích của dt mặt cắt ngang A
,
zzy
σ
τ
(,)
σ
τ
⇒
()A
NdA
σ
=
∫
()A
QdA
τ

=
∫
()A
M
ydA
σ
=
∫
y
dA
x
y
z
σ
τ
x
10(30)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
1.2. Biểu đồ nội lực (2)
Khi tính toán => cần tìm vị trí mặt cắt
ngang có trị sốứng lực lớn nhất =>
biểu đồ
Biểu đồ nội lực - là đồ thị biểu diễn sự
biến thiên của các thành phần ứng lực
theo toạ độ mặt cắt ngang
Các bước vẽ biểu đồ nội lực
11(30)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
1.2. Biểu đồ nội lực (3)
a. Xác định phản lực tại các liên kết

b. Phân đoạn thanh sao cho biểu thức
của nội lực trên từng đoạn là liên tục
c. Viết biểu thức xác định các thành
phần ứng lực N, Q, M theo toạ độ trục
thanh bằng phương pháp mặt cắt
d. Vẽ biểu đồ cho từng đoạn căn cứ vào
phương trình nhận
được từ bước (c)
e. Kiểm tra biểu đồ nhờ vào các nhận
xét mang tính trực quan
12(30)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
1.2. Biểu đồ nội lực (4)
Biểu đồ lực dọc, lực cắt vẽ theo qui
ước và mang dấu
Biểu đồ mô men luôn vẽ về phía thớ
căng
N, Q
z
M
z
13(30)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
Ví dụ 1 (1)
Vẽ biểu đồ các thành phần
ứng lực trên các mặt cắt
ngang của thanh chịu tải
trọng như hình vẽ
GIẢI:
1. Xác định phản lực

V
A
V
B
F
ab
C
(
)
0
AB
MVabFa=+−=
∑
(
)
0
BA
MVabFb=+−=
∑
()
B
F
a
V
ab
⇒=
+
()
A
F

b
V
ab
⇒=
+
Thử lại:
0Y =
∑
14(30)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
Ví dụ 1 (2)
F
ab
V
A
V
B
C
1
1
Mặt cắt 1 – 1:
V
A
z
1
Q
M
N
0N =
1

0 za≤≤
()
0
AA
Fb
YQV QV
ab
=− =⇒= =
+
∑
Mặt cắt 2 – 2:
()
1
01 1
0
AA
F
bz
MMVz MVz
ab
=− =⇒= =
+
∑
0N =
2
0 zb≤≤
()
0
BB
F

a
YQV Q V
ab
=+ =⇒=−=−
+
∑
()
2
02 2
0
BB
F
az
MMVz MVz
ab
=− =⇒= =
+
∑
2
2
V
B
z
2
Q
M
N
Đoạn AC
Đoạn BC
AB

15(30)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
Ví dụ 1 (3)
Nhận xét 1
Tại mặt cắt có lực tập
trung => biểu đồ lực
cắt có bước nhảy, độ
lơn bước nhảy bằng
giá trị lực tập trung, xét
từ trái qua phải, chiều
bước nhảy cùng chiều
lực tập trung
F
ab
V
A
V
B
Fb
a+b
a+b
Fa
+
N
M
Q
M
Fab
a+b
F

C
()
:
Fb
AC Q
ab
=
+
()
:
F
a
BC Q
ab
=−
+
()
1
:
F
bz
AC M
ab
=
+
()
2
:
F
az

BC M
ab
=
+
16(30)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
Ví dụ 2 (1)
L
q
V
A
V
B
Vẽ biểu đồ các thành phần ứng lực
trên các mặt cắt ngang của thanh
chịu tải trọng như hình vẽ
GIẢI
1. Xác định các phản lực liên kết
2
.0
2
AB
ql
MVl=−=
∑
.
2
B
ql
V⇒=

2
.0
2
BA
ql
MVl=−=
∑
.
2
A
ql
V⇒=
Bài toán đối xứng:
.
2
AB
ql
VV⇒==
Hoặc:
2. Biểu thức nội lực
Xét mặt cắt 1-1
(0
≤
z
≤
L)
.
2
ql
Qqz⇒= −

2

22
ql q
M
zz⇒= −
1
1
Q
z
VA
M
N
q
0
A
YQqzV=+ − =
∑
2
1
01
0
2
A
qz
MMVz=− + =
∑
17(30)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
Ví dụ 2 (2)

 Nhận xét 2
Tại mặt cắt có
lực cắt bằng 0,
biểu đồ mô
men đạt cực trị
L
q
V
A
V
B
qL/2
qL/2
+
Q
L/2
qL
2
/8
M
18(30)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
Ví dụ 3 (1)
1. Xác định phảnlực:
.( ) 0
AB
MVabM=+−=
∑
.( ) 0
BA

MVabM=+−=
∑
B
M
V
ab
⇒=
+
A
M
V
ab
⇒=
+
2. Lập các biểuthức ứng lực:
AC: Xét mặtcắt1-1 ( 0 ≤ z
1
≤ a)
yA
M
QV
ab
=− =−
+
V
A
V
B
ab
C

M
.
xA
M
Vz=−
Q
VA
M
z
1
V
B
M
Q
z
2
1
1
2
2
Xét mặt cắt 2-2 ( 0 ≤ z
2
≤ b)
yA
M
QV
ab
=− =−
+
2

.
xB
M
Vz=
19(30)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
Ví dụ 3 (2)
ab
V
A
V
B
M
(a+b)
M
(a+b)
Ma
(a+b)
Mb
(a+b)
Q
M
Q
M
C
M
yA
M
QV
ab

=− =−
+
1
.
xA
M
Vz=−
AC: ( 0 ≤ z
1
≤ a)
yA
M
QV
ab
=− =−
+
BC: ( 0 ≤ z
2
≤ b)
2
.
xB
M
Vz=
Nhận xét 3
Tại mặt cắt có mô men tập trung,
biểu đồ mô men có bước nhảy,
độ lớn bước nhảy bằng giá trị mô
men tập trung, xét từ trái qua
phải, mômen tập trung quay

thuận chiều kim đồng hồ thì bước
nhảy đi xuống
20(30)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
1.3. Liên hệ vi phân giữa mô men
uốn, lực cắt và tải phân bố (1)
• Xét dầm chịu tải phân bố
q(z)>0: hướng lên
Tách đoạn thanh có chiều
dài dz giới hạn bởi 2 mặt
cắt ngang 1-1 và 2-2
q(z)
1
1
2
2
dz
Q
Q+dQ
M
M+dM
dz
Đạo hàm bậc hai của mô men uốn bằng đạo hàm bậc nhất của
lực cắt và bằng cường độ tải trọng phân bố
() 0YQdQQqzdz=+ −− =
∑
()
dQ
qz
dz

⇒=
() 0
22
dz dz
M M dM M Q dQ Q=+ −++ + =
∑
dM
Q
dz
⇒=
2
2
()
dM dQ
qz
dz dz
==
21(30)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
1.3. Liên hệ vi phân giữa mô men
uốn, lực cắt và tải phân bố (2)
Ứng dụng
 Nhận dạng các biểu đồ Q, M khi biết qui luật
phân bố của tải trọng q(z). Nếu trên một đoạn
thanh biểu thức của q(z) bậc n thì biểu thức
lực cắt Q bậc (n+1), biểu thức mô men M bậc
(n+2)
 Tại mặt cắt có Q=0 => M cực trị
 Tính các thành phần Q, M tại mặt cắt bắt kỳ
khi biết giá trị của chúng tại mặt cắt xác định

• Q
phải
= Q
trái
+ S
q
( S
q
– Dtích biểu đồ q)
• M
phải
= M
trái
+ S
Q
( S
Q
– Dtích biểu đồ Q)
22(30)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
q
z
q(z)
AB
()
B
A
QqzdzC=+
∫
B

Aq
QQS=+
S
q
Q
z
Q(z)
AB
S
Q
()
B
A
M
Q z dz C=+
∫
B
AQ
M
MS=+
23(30)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
1.4. Vẽ biểu đồ nội lực theo điểm
đặc biệt
Cơ sở: Dựa vào mối liên hệ vi phân
giữa Q, M và q(z)
Biết tải trọng phân bố =>nhận xét dạng
biểu đồ Q, M => xác định số điểm cần
thiết để vẽ được biểu đồ
 q=0 => Q=const => Q

A
=? (hoặc Q
B
)
M bậc 1 => M
A
=? và M
B
=?
 q=const => Q bậc 1 => Q
A
=? Q
B
=?
M bậc 2 => M
A
=?; M
B
=?; cực trị?
tính lồi, lõm, ?
24(30)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
1.4. Vẽ biểu đồ nội lực theo
điểm đặc biệt (tiếp)
 Các giá trị Q
A
, Q
B
, M
A

, M
B
, cực trị -làgiátrị các điểm
đặc biệt. Được xác định bởi:
 Quan hệ bước nhảy của biểu đồ
 Phương pháp mặt cắt
 Q
phải
= Q
trái
+ S
q
(S
q
-Dtích biểu đồ q)
 M
phải
= M
trái
+ S
Q
(S
Q
-Dtích biểu đồ Q)
Vídụ
25(30)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
Ví dụ 4 (1)
Xác định phản lực
q

F=qa
V
A
V
B
.3 2 .2 . 0
BA
MVaqaaFa
=
−−=
∑
5
3
A
Vqa=> =
.3 2 . .2 0
AB
MVaqaaFa=−−=
∑
4
3
B
Vqa=> =
Xét đoạn AC:
2a a
C
q=const Q bậc 1
Q
A
=V

A
Q
C
=V
A
+S
q
=5qa/3-2qa=-qa/3
M bậc 2:
M
A
=0
M
C
=M
A
+S
Q
=4qa
2
/3; Mmax=25qa
2
/18
5
3
qa
1
3
qa
+

5a/3
M
max
=25qa
2
/18
4qa
2
/3
26(30)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
Ví dụ 4 (2)
2a a
V
A
V
B
C
5
3
qa
4
3
qa
1
3
qa
+
5a/3
M

max
=25qa
2
/18
4qa
2
/3
Xét đoạn BC:
q
F=qa
q= 0
Q = const
Q
B
= - V
B
M bậc 1:
M
B
=0
M
C
=M
B
-S
Q
=4qa
2
/3
Q

M
27(30)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
4.5. Biểu đồ nội lực dầm tĩnh định
nhiều nhịp
Định nghĩa: Là hệ tĩnh định gồm tập hợp các dầm, nối với nhau bằng các
liên kết khớp
Cách vẽ biểu đồ:
- Phân biệt dầm chính và dầm phụ
-Dầm chính là dầm khi đứng độc lập vẫn chịu được tải trọng
-Dầm phụ là dầm khi đứng độc lập không chịu được tải
trọng, phải tựa lên dầm chính mới chịu được tải trọng
-Tải trọng đặt lên dầm chính không ảnh hưởng tới dầm
phụ, tải trọng đặt trên dầm phụ sẽ truyền tới dầm chính
thông qua phản lực liên kết
-Vẽ biểu đồ cho dầm phụ
trước rồi đến dầm chính, sau
đó ghép lại với nhau
28(30)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
4.6. Biểu đồ nội lực khung phẳng
 Khung là kết cấu gồm những thanh thẳng nối nhau
bằng các liên kết cứng (là liên kết mà góc giữa các
thanh tại điểm liên kết không thay đổi khi khung chịu
lực)
 Đối với các đoạn khung nằm ngang, biểu đồ các
thành phần ứng lực vẽ như qui ước với thanh thẳng
 Đối với các đoạn khung thẳng đứng, biểu đồ N, Q vẽ
về phía tùy ý và mang dấu. Biểu đồ mô men vẽ
về

phái thớ căng
 Để kiểm tra biểu đồ ta cần kiểm tra điều kiện cân
bằng các mắt khung: Tại mắt khung, nội lực và ngoại
lực thoả mãn điều kiện cân bằng tĩnh học.
29(30)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
Vídụ 5 (1)
K
a
a
a
a
M
F
q
A
D
B
C
Ví dụ 5:
Vẽ biểu đồ khung phẳng sau:
BiếtM=qa
2
, F=2qa
Bài giải:
1. Xác định các phảnlực:
Từ điềukiệncânbằng của khung ta có
0
A
M

=
∑
2
0
22 2
1
.2
2
1
.2 2 0
2
K
K
VaFaM qa
V a qa qa qa
=−−−
=−−−=
VK
VA
HA
7
4
K
Vqa⇒=
0
A
X
Hqa=⇒ =
∑
30(30)

Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
Vídụ 5 (2)
0
2222
3
.2 .2 .
2
3
.2 2 2 0
2
AA
A
a
VaHaqa M Fa
V a qa qa qa qa
=+ −+−
=+−+−=
0
K
M =
∑
A
1
4
Vqa⇒=
2. Nhậnxétdạng biểu đồ các thành
phần ứng lựctrêntừng đoạn:
+ Biểu đồ lựcdọc:
Bằng phương pháp mặtcắtdễ dàng xác định:
4

0
AB BC A
DK CD
qa
NN V
NN
==−=−
==
a
a
a
a
M
F
q
A
K
D
B
C
VK
VA
HA
1
4
qa
N(kN)
31(30)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
Vídụ 5 (3)

ĐoạnAB: q=const
ÖBiểu đồ Q bậcnhất
ÖCầnxácđịnh: Q
A
= H
A
= qa
ÖQ
B
= Q
A
+S
q
= qa+(-q).a = 0
ÖBiểu đồ M bậc hai
ÖCầnxácđịnh: M
A
= 0
ÖM
B
= M
A
+S
Q
= 0 + qa.a/2 = qa
2
/2;
Ötại B có Q = 0 => M
max
=qa

2
/2
a
a
a
a
M
F
q
A
K
D
B
C
VK
VA
HA
qa
Q(kN)
M(kNm)
2
2
qa
32(30)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
Vídụ 5 (4)
ĐoạnBC: q=0
ÖBiểu đồ Q=const
Ö Cầnxácđịnh Q
B

=0
()
2
/2;
AB
BB
MM qa==
22
/2 0 /2
CBQ
MMSqa qa=+= +=
ÖBiểu đồ M bậc nhất
Ö Cầnxácđịnh
a
a
a
a
M
F
q
A
K
D
B
C
VK
VA
HA
qa
Q(kN)

M(kNm)
2
1
2
qa
2
2
qa
33(30)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
Vídụ 5 (5)
Trên đoạnCD: q=0
ÖBiểu đồ Q=const => Cầnxácđịnh
71
2
44
DK
QFV qaqa qa=− = − =
2
7
4
DK
M
Va qa==
22
71 3
44 2
CDQ
M
M S qa qa a qa

⎛⎞
=−= − =
⎜⎟
⎝⎠
ÖBiểu đồ M bậcnhất => Cầnxácđịnh
a
a
a
a
M
F
q
A
K
D
B
C
VK
VA
HA
1
4
qa
qa
Q(kN)
2
7
4
qa
M(kNm)

2
3
2
qa
2
2
qa
2
2
qa
34(30)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
Vídụ 5 (6)
Trên đoạnDK: q=0
ÖBiểu đồ Q=const => Cầnxácđịnh
7
4
KK
QV qa=− =−
0
K
M =
() 2
7
4
CD
DD
M
Mqa==
a

a
a
a
M
F
q
A
K
D
B
C
VK
VA
HA
ÖBiểu đồ M bậcnhất => Cầnxácđịnh
1
4
qa
7
4
qa
qa
Q(kN)
2
7
4
qa
M(kNm)
2
3

2
qa
2
2
qa
2
2
qa
35(30)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
Vídụ 5 (7)
4. Xét cân bằng các mắt khung
TạimắtC, biểudiễn các ngoạilực, các thành phần ứng lực trên hai mặtcắt
ngay sát C thuộc đoạn BC và CD theo chiềuthực(căncứ vào các biểu đồ)
Kiểmtrađiềukiệncânbằng: Tạimắt khung tổng nội lực và ngoạilựcbằng không.
0; 0; 0
C
XYM∑=∑=∑ =
1
4
qa
2
3
2
qa
1
4
qa
2
2

qa
2
qa
36(30)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
1
4
qa
2
3
2
qa
1
4
qa
2
2
qa
2
qa
Biểu đồ nội lực của khung
1
4
qa
N
kN
1
4
qa
7

4
qa
qa
Q
kN
2
7
4
qa
2
3
2
qa
2
2
qa
2
2
qa
M
kNm
Vídụ 5 (8)
37(30)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
4.7. Biểu đồ nội lực thanh cong
Thanh cong: trục thanh là đường cong
phẳng, ngoại lực nằm trong mặt phẳng
chứa trục thanh
Dùng phương pháp mặt cắt để xác định
các thành phần ứng lực trên mặt cắt

ngang
38(30)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
Ví dụ 2: Vẽ biểu đồ nộilực cho thanh cong
như hình bên.Biết: R=2m, M
1
=5kNm
M
2
=10kNm, P
1
=15kN.
Bài giải:
1) Tính phảnlựctạigối A và E
Ta có:
1
015
A
XHPkN=⇒ = =
∑
VE
VA
HA
()
12
12
.4 0
10 5
1,875
48

AE
E
MMMVR
MM
VkN
R
=+− =
+
+
===
∑
1, 875
AE
VV kN==
M
2
M
1
2R
2R
D
B
E
C
1
2
P
1
A
1

2
3
3
4
4
Ví dụ 6 (1)
39(30)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
Ví dụ 6 (2)
1
ϕ
N
Q
M
V
A
H
A
1
ϕ
2) Chia thanh thành 4 đoạn
a. Xét đoạn AB:
Dùng mặt cắt 1 – 1, ta có:
1
0
2
π
ϕ
≤≤
11

11
.os .sin
= 1,875 os 15sin
AA
NVc H
c
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
=− +
−+
VE
VA
HA
M
2
M
1
2R
2R
D
B
E
C
1
2
P
1
A

1
2
3
3
4
4
11 11
.sin . os 1,875sin 15 os
AA
QV Hc c
ϕ
ϕϕϕ
=− − =− −
11
11
(1 os ) . .sin
3,75. os 30sin 3,75
AA
MVRc RH
Mc
ϕ
ϕ
ϕϕ
=− − −
⇒= − −
40(30)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
Ví dụ 6 (3)
Bảng biếnthiên:
1

ϕ
6
π
4
π
3
π
2
π
-33,75-27,86-22.31-15,500M[kNm]
-1,88-9,12-11,93-13,98-15Q[kN]
1512,059,285,88-1,88N [kN]
0[rad]
b,Xét đoạnBC:
Ta có (mặt cắt 2-2):
2
0
2
π
ϕ
≤≤
1
ϕ
N
Q
M
VA
H
A
1

ϕ
1
1
VA
H
A
2
ϕ
2
ϕ
N
Q
M
M
1
2
2
22 22
.sin . os 1,875.sin 15. os
AA
NV Hc c
ϕ
ϕϕϕ
=+ = +
22 22
os sin 1,875 os 15sin
AA
QVc H c
ϕ
ϕϕϕ

=− + =− +
0
2
07,13Q
ϕ
=⇒ =
()
21 2
22
1sin os
3,75 3,75sin 30 os 5
AA
MVR MHRc
Mc
ϕ
ϕ
ϕϕ
=− + + −
=− − − +
()
0
2
ax
7,13
29( )
m
M
MkNm
ϕ
=

==
41(30)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
Ví dụ 6 (4)
Bảng biếnthiên:
2
ϕ
6
π
4
π
3
π
2
π
-2,5-17,00-22,61-26,61-28,75M[kNm]
1512,059,285,88-1,88Q[kN]
1,889,1211,9313,9315,00N [kN]
0[rad]
c,Xét đoạnED:
Ta có:
3
0
2
π
ϕ
≤≤
31 3 3 3
. os .sin 1,875. os 15.sin
E

NVc P c
ϕ
ϕϕϕ
=− + =− +
E313 3 3
.sin . os 1,875.sin 15. osQV Pc c
ϕ
ϕϕϕ
=− − =− −
VA
H
A
2
ϕ
2
ϕ
N
Q
M
M
1
2
2
3
ϕ
M
Q
N
V
E

P
1
3
ϕ
3
3
313
33
(1 os ) sin
= 3,75. os 30.sin 3,75
E
MVRc RP
c
ϕ
ϕ
ϕϕ
=− − −
−−−
42(30)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
Ví dụ 6 (5)
Bảng biếnthiên:
3
ϕ
6
π
4
π
3
π

2
π
-33,75-27,86-22,31-15,50M[kNm]
-1,885,889,2812,0515,00Q[kN]
15,0012,059,285,88-1,88N [kN]
0[rad]
d,Xét đoạnCD:
Ta có:
4
0
2
π
ϕ
≤≤
V
E
P
1
M
2
M
Q
N
4
ϕ
4
ϕ
3
ϕ
M

Q
N
V
E
P
1
3
ϕ
3
3
41 4 4 4
.sin . os 1.875.sin 15. os
E
NV Pc c
ϕ
ϕϕϕ
=+= +
41 4 4 4
. os .sin 1,875. os 15. os
E
QVc P c c
ϕ
ϕϕϕ
=− + =− +
0
4
07,13Q
ϕ
=⇒ =
43(30)

Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
Ví dụ 6 (7)
421 4
44
(1sin ) os
3.75 3,75sin 30. os 10
E
MVR MPRc
c
ϕ
ϕ
ϕϕ
=− + + −
=− − − +
()
0
4
ax
7,13
24( )
m
M
MkNm
ϕ
=
==
Bảng biếnthiên:
4
ϕ
6

π
4
π
3
π
2
π
2,50-12,00-17,61-21,61-23,75M[kNm]
15,0012,059,285,88-1,88Q[kN]
1,889,1211,9313,9315,00N [kN]
0
[rad]
V
E
P
1
M
2
M
Q
N
4
ϕ
4
ϕ
3, Biểu đồ nội lực:
44(30)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
Ví dụ 6 (8)
15

13,98
11,93
9,12
1, 88
5,88
9,28
12,05
15
12,05
9,28
5,88
1, 88
5,88
9,28
12,05
15
7,13
o
13,93
1, 88
5,88
9,28
12,05
15
13,93
1, 88
5,88
9,28
12,05
15

11,93
9,12
1, 88
9,12
11,93
7,13
o
N
kN
Q
kN
45(30)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
ax
24
m
M =
2,5
12
17,61
21,61
23,75
33,75
27,86
22,31
15,5
15,05
23,31
27,86
26,61

33,75
28,75
ax
29
m
M =
22,26
17
M
kNm
Ví dụ 6 (9)
46(30)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
4. Câu hỏi???
47(30)
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
E- mail: