De 7

TRƯỜNG THCS

KÌ THI VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2017 - 2018
Mơn thi: TỐN
Thời gian làm bài: 120 phút

ĐỀ NGUỒN

Câu 1 (2.0 điểm):Rút gọn biểu thức:

a) P =

b)

1
2 2
3 2

1  x 2
 1


.
x

2
x

2
x



A=

Câu 2 (2.5 điểm):
a)Giải phương trình: x2 - 3x – 4=0
 x  2y 6

3x  2y 2

b) Giải hệ phương trình:
c) Cho Parabol (P): y= x2 và đường thẳng (d): y= 2(m+1)x - m + 2 = 0
Chứng minh rằng (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
Câu 3 (1,5 điểm):
Quãng đường AB dài 120 km. Hai xe máy khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B. Vận
tốc của xe máy thứ nhất lớn hơn vận tốc của xe máy thứ hai là 10 km/h nên xe máy thứ
nhất đến B trước xe máy thứ hai 1 giờ. Tính vận tóc của mỗi xe ?
Câu 4: (3,5 điểm)
Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến
ADE tới đường tròn (B, C là hai tiếp điểm; D nằm giữa A và E). Gọi H là giao điểm
của AO và BC.
a) Chứng minh rằng ABOC là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh rằng AH.AO = AD.AE
c) Tiếp tuyến tại D của đường tròn (O) cắt AB, AC theo thứ tự tại I và K. Qua
điểm O kẻ đường thẳng vng góc với OA cắt tia AB tại P và cắt tia AC tại Q.
Chứng minh rằng IP + KQ
PQ.
Câu 5(0,5 điểm):
Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng

1 1
  4
 a b

 a  b  . 


HƯỚNG DẪN CHẤM – ĐỀ NGUỒN THI VÀO 10– MÔN TOÁN
NĂM HỌC 2017-2018

1a

3 2
1
 2
 2
2
2
(
3)

(
2)
3 2
 3 2 2

(1.0đ)

 3

0.25
0.25
0.25
0.25

2 2

 3

 x  0


x  2 0


ĐKXĐ :

1b
(1.0đ) A =



x  0

 x 4

1  x2
 1




.
x

2
x

2
x



0.25
x  2 x 2



x 2



x 2



.

x2
x

0.25

2 x
x



x 2

0.25



2
x 2

0,25

Giải phương trình: x4 - 3x2 – 4=0
Ta có a-b+c = 1-(-3)+(-4) = 0
2a
(1.0đ)
 X1= -1
X2 = 4
Giải hệ phương trình:
2b
(0.75đ)

2c
(0.75đ)

3
(1.5đ)

0.5
0.25
0.25
0.5

 x  2y 6
 4x 8


3x  2y 2
 x  2y 6
 x 2

 y 2

0.25

Phương trình hồnh độ giao điểm:
x2 – 2(m+1)x + m – 2 = 0
2

2

2

 (–2 m  1 ) -4.1.( m – 2) 4 m  8 m  4  4 m  8 4 m  4 m 12



+Tính:
2
+ Có 4 m  4 m 12 = (2m+1)2 +11 >0 với mọi m. nên PT ln có 2 nghiệm
phân biệt.
x km / h , x  0


Gọi vận tốc của xe máy thứ hai là 
Vận tốc của xe máy thứ nhất là x  10
thời gian xe máy thứ hai đi hết QĐ AB là: 120/x

0.25
0.25
0.25

0.25


thời gian xe máy thứ nhất đi hết QĐ AB là :120/x+10
 x 30
120 120

1  x 2  10 x  1200 0   x  40

Theo bài ra ta có phương trình: x x  10

Đối chiếu điều kiện ta có x = 30.

Vậy vận tốc của xe thứ nhất là 40 (km/h)
và vận tốc của xe thứ hai là30(km/h)
-Vẽ hình
a) Vì AB, AC là tiếp tuyến của
(O) nên

0.25
0.25
0.5
0,25
0,25
0.5

P
B
I

E

1
2

0.25

D

4a
(1.5đ)

0.25

ABO  ACO 90

A

1

O
2

1

0.25
0.25

2




Suy ra ABO  ACO 180

K

1

Vậy tứ giác ABOC nội tiếp.

4b
(1.0đ)

3

H

C

Q

b) Ta có Δ ABO vng tại B có đường cao BH, ta có : AH.AO = AB2
(1)
Lại có Δ ABD  Δ AEB (g.g)
⇒

AB AE
=
AD AB

⇒

AB2 = AD.AE (2)

0.25
0.25
0.25
0.25

Từ (1), (2) suy ra: AH.AO = AD.AE
c) Xét tam giác OIP và KOQ









 
Ta có P Q (Vì tam giác APQ cân tại A) O1  A1 90  Q và O2 O3 90  K2






Ta có: KOQ O1  O2  A1  90  K2

0.25

(3)



 180  1 BOC

 180  1 180  A  K

OIP
I 1 I 2 180  IOK
 K

 K
2
2
2
2
2
Lại có:


OIP
90  A  K



4c
(1.0đ)

Suy ra

1



0.25

(4)

2




Từ (3), (4) suy ra : KOP OIP . Do đó OIP  KOQ (g.g)
IP OQ
=
OP KQ

Từ đó suy ra

⇒

PQ
4

IP.KQ = OP.OQ =

2

hay PQ2 =

0.25

4.IP.KQ
Mặt khác ta có: 4.IP.KQ
Vậy
5
(0,5đ)

PQ 2  IP  KQ 

2

2

(IP + KQ) (Vì

2

0

)

0.25

 IP  KQ PQ .

Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng
1 1
a b
  2  
b a
 a b

 a  b  . 

 IP  KQ 

1 1
  4
 a b

 a  b  . 

- Ta có
- Vì a,b >0.nên áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương

0.25


a b
a b
 2 . 2
b a
b a
1 1
 a  b  .    4
 a b
- Do đó

0.25