Giải bài tập SGK Toán lớp 7

Giải bài tập SGK Tốn lớp 7: Ơn tập chương I: Số hữu tỉ. Số thực - Giải

toán 7 Bài 9: Tính chất ba đường cao của tam giác
Câu hỏi ôn tập chương 1 Đại Số (trang 46 SGK Toán 7 tập 1): 1. Nêu ba
3
5

cách viết của số hữu tỉ − và biểu diễn số hữu tỉ đó trên trục số.
Lời giải
- Ba cách viết số hữu tỉ −
- Biểu diễn số hữu tỉ −

3
− 6 − 9 12
;
;
là:
5
10 15 − 20

3
trên trục số:
5

Chia đoạn thẳng đơn vị (đoạn từ điểm 0 đến điểm –1) thành năm phần bằng
nhau, lấy một đoạn làm đơn vị mới thì đơn vị mới bằng 1/5 đơn vị cũ.
⇒ Số hữu tỉ −

3
được biểu diễn bởi điểm M nằm bên trái điểm 0 và cách điểm
5

0 một đoạn bằng 3 đơn vị mới.

Câu hỏi ôn tập chương 1 Đại Số (trang 46 SGK Toán 7 tập 1): 2. Thế nào
là số hữu tỉ dương? Số hữu tỉ âm?
Số hữu tỉ nào không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm?
Lời giải
- Số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỉ dương
Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 gọi là số hữu tỉ âm
- Số 0 không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm
Câu hỏi ôn tập chương 1 Đại Số (trang 46 SGK Toán 7 tập 1): 3. Giá trị
tuyệt đối của số hữu tỉ x được xác định như thế nào?
Lời giải
Giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ x, kí hiệu |x|, là khoảng cách từ điểm x tới điểm


0 trên trục số.
Câu hỏi ôn tập chương 1 Đại Số (trang 46 SGK Toán 7 tập 1): 4. Định
nghĩa lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ.
Lời giải
Lũy thừa bậc n của một số hữu tỉ x, kí hiệu xn, là tích của n thừa số x (n là một
số tự nhiên lớn hơn 1)
Câu hỏi ôn tập chương 1 Đại Số (trang 46 SGK Tốn 7 tập 1): 5. Viết cơng
thức :
- Nhân hai lũy thừa cùng cơ số.
- Chia hai lũy thừa cùng cơ số khác 0.
- Lũy thừa của một lũy thừa.
- Lũy thừa của một tích.
- Lũy thừa của một thương.
Lời giải

- Nhân hai lũy thừa cùng cơ số: xm . xn = x(m+n)
- Chia hai lũy thừa cùng cơ số khác 0: xm : xn = x(m-n) (x ≠ 0; m ≥ n)
- Lũy thừa của một lũy thừa: (xm)n = x(m.n)
- Lũy thừa của một tích: (x.y)n = xn . yn
n

 x
xn
- Lũy thừa của một thương:   = n ( y ≠ 0 )
y
 y

Câu hỏi ôn tập chương 1 Đại Số (trang 46 SGK Toán 7 tập 1): 6. Thế nào
là tỉ số của hai số hữu tỉ? Cho ví dụ.
Lời giải
Thương của phép chia số hữu tỉ x cho số hữu tỉ y (y ≠ 0) gọi là tỉ số của hai số
x và y, kí hiệu là

x
hay x : y
y

Ví dụ:
Câu hỏi ơn tập chương 1 Đại Số (trang 46 SGK Toán 7 tập 1): 7. Tỉ lệ thức


là gì? Phát biểu tính chất cơ bản của tỉ lệ thức. Viết cơng thức thể hiện tính
chất của dãy tỉ số bằng nhau.
Lời giải
- Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số:

- Tính chất cơ bản của tỉ lệ thức:
Nếu

thì ad = bc

- Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Câu hỏi ôn tập chương 1 Đại Số (trang 46 SGK Tốn 7 tập 1): 8. Thế nào
là số vơ tỉ? Cho ví dụ.
Lời giải
Số vơ tỉ là số được viết dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hồn.
Ví dụ: x = 1,4142135623730950…….
Câu hỏi ơn tập chương 1 Đại Số (trang 46 SGK Toán 7 tập 1): 9. Thế nào
là số thực? Trục số thực?
Lời giải
- Số hữu tỉ và số vô tỉ được gọi chung là số thực.
- Các điểm biểu diễn số thực đã lấp đầy trục số.
⇒ Trục số còn được gọi là trục số thực:

Câu hỏi ôn tập chương 1 Đại Số (trang 46 SGK Toán 7 tập 1): 10. Định
nghĩa căn bậc hai của một số không âm.


Lời giải
Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 = a
Bài 96 (trang 48 SGK Tốn 7 Tập 1): Thực hiện phép tính (bằng cách hợp lí
nếu có thể)

Bài 97 (trang 49 SGK Tốn 7 Tập 1): Tính nhanh

a) (-6,37 . 0,4) . 2,5
b) (-0,125 ) . (-5,3 ) . 8
c) (-2,5 ) . (-4) . (-7,9)


Lời giải:
Lời giải:
a) (-6,37 . 0,4) . 2,5 = -6,37 . (0,4 . 25)
= -6,37 . 1 = -6,37
b) (-0,125 ) . (-5,3 ) . 8 = (-5,3) . (-0,125 . 8)
= -1 . (-5,3) = 5,3
c) (-2,5 ) (-4) . (-7,9) = [(-2,5) . (-4) ] . (-7,9)
= 10 . (-7,9) = -79

Bài 98 (trang 49 SGK Toán 7 Tập 1): Tìm y biết:

Lời giải:


Bài 99 (trang 49 SGK Tốn 7 Tập 1): Tính giá trị biểu thức

Lời giải:


Bài 101 (trang 49 SGK Tốn 7 Tập 1): Tìm x biết:
a) |x| = 2,5
b) |x| = -1,2
c) |x| + 0,573 = 2

Lời giải:

a) |x| = 2,5 => x = ±2,5
b) |x| = -1,2
Vì |x| ≥ 0 nên khơng tồn tại giá trị nào của x để |x| = -1,2
c) |x| + 0,573 = 2
⇔ |x| = 2 - 0,573
⇔ |x| = 1,427
⇔ x = ±1,427

Bài 102 (trang 50 SGK Toán 7 Tập 1): Từ tỉ lệ thức


(a, b, c, d ≠ 0, a ≠ ±b; c ≠ ±d) hãy suy ra các tỉ lệ thức sau

Lời giải:

Bài 103 (trang 50 SGK Toán 7 Tập 1): Theo hợp đồng hai tổ sản xuất chia
lãi với nhau theo tỉ lệ 3 : 5. Hỏi mỗi tổ được chia bao nhiêu nếu tổng số lãi là
1280000 đồng?
Lời giải:
Gọi số tiền lãi mỗi tổ được chia là x, y.
Theo đề bài ta có:


Do đó:
x = 1600000.3 = 4800000 (đ)
y = 1600000.5 = 8000000 (đ)
Bài 104 (trang 50 SGK Toán 7 Tập 1): Một cửa hàng có ba tấm vải dài tổng
cộng 108m. Sau khi bán đi

thì số mét vải cịn lại ở ba tấm bằng nhau. Tính chiều dài mỗi tấm vải lúc đầu?

Lời giải:
Gọi chiều dài của mỗi tấm vải lần lượt là x (m), y (m), z (m).
Theo đề bài ta có:

Vậy:
Tấm vải 1 dài 24 mét
Tấm vải 2 dài 36 mét
Tấm vải 3 dài 48 mét
Bài 105 (trang 50 SGK Tốn 7 Tập 1): Tính giá trị của các biểu thức sau:


Lời giải:

Giải tốn 7 Bài 9: Tính chất ba đường cao của
tam giác
Trả lời câu hỏi Toán 7 Tập 2 Bài 9 trang 81: Dùng eke vẽ 3 đường cao của
tam giác ABC.
Hãy cho biết ba đường cao của tam giác đó có cùng đi qua một điểm hay
khơng.
Lời giải

Ta vẽ đường ba đường cao của tam giác ABC như hình vẽ
Ba đường cao đó là : AH, BI, CK


Dựa vào hình vẽ ta thấy ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm
Trả lời câu hỏi Toán 7 Tập 2 Bài 9 trang 82: Hãy phát biểu và chứng minh
các trường hợp còn lại của nhận xét trên (xem như những bài tập).
Lời giải

- Bài tập 1: Nếu một tam giác có một đường trung trực đồng thời là đường
phân giác thì tam giác đó là một tam giác cân
Xét ΔABC có AI vừa là đường trung trực vừa là đường phân giác
AI là đường trung trực ⇒ AI ⊥ BC và I là trung điểm BC
Xét hai tam giác vng ΔABI và ΔACI có:
AI chung
∠(BAI) = ∠(CAI) (do AI là phân giác góc BAC)
⇒ ΔABI = ΔACI (góc nhọn – cạnh góc vng)
⇒ AB = AC (hai cạnh tương ứng)
⇒ ΔABC cân tại A
- Bài tập 2: Nếu một tam giác có một đường trung trực đồng thời là đường
cao thì tam giác đó là một tam giác cân


Xét ΔABC có AI vừa là đường trung trực vừa là đường cao
⇒ AI ⊥ BC và I là trung điểm BC
Xét hai tam giác vng ΔABI và ΔACI có:
AI chung
IB = IC ( do I là trung điểm BC)
⇒ ΔABI = ΔACI (hai cạnh góc vng)
⇒ AB = AC (hai cạnh tương ứng)
⇒ ΔABC cân tại A
- Bài tập 3: Nếu một tam giác có một đường phân giác đồng thời là đường
cao thì tam giác đó là một tam giác cân
Xét ΔABC có AI vừa là đường phân giác vừa là đường cao
AI là đường cao ⇒ AI ⊥ BC
Xét hai tam giác vng ΔABI và ΔACI có:
AI chung
∠(BAI) = ∠(CAI) (do AI là phân giác góc BAC)
⇒ ΔABI = ΔACI (góc nhọn – cạnh góc vng)

⇒ AB = AC (hai cạnh tương ứng)
⇒ ΔABC cân tại A
- Bài tập 4: Nếu một tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường
cao thì tam giác đó là một tam giác cân
Xét ΔABC có AI vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao
AI là đường cao ⇒ AI ⊥ BC
AI là đường trung tuyến ⇒ I là trung điểm BC
Xét hai tam giác vuông ΔABI và ΔACI có:


AI chung
IB = IC ( do I là trung điểm BC)
⇒ ΔABI = ΔACI (hai cạnh góc vng)
⇒ AB = AC (hai cạnh tương ứng)
⇒ ΔABC cân tại A
Bài 58 (trang 83 SGK Tốn 7 tập 2): Hãy giải thích tại sao trực tâm của tam
giác vuông trùng với đỉnh góc vng và trực tâm của tam giác tù nằm ở bên
ngồi tam giác.
Lời giải:
+ Xét ΔABC vng tại A

AB ⏊AC ⇒ AB là đường cao ứng với cạnh AC và AC là đường cao ứng với
cạnh AB
hay AB, AC là hai đường cao của tam giác ABC.
Mà AB cắt AC tại A
⇒ A là trực tâm của tam giác vuông ABC.
Vậy: trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vng
+ Xét ΔABC tù có góc A tù, các đường cao CE, BF (E thuộc AB, F thuộc AC),
trực tâm H.

+ Giả sử E nằm giữa A và B, khi đó

Vậy E nằm ngồi A và B
⇒ tia CE nằm ngoài tia CA và tia CB ⇒ tia CE nằm bên ngồi ΔABC.
+ Tương tự ta có tia BF nằm bên ngoài ΔABC.
+ Trực tâm H là giao của BF và CE ⇒ H nằm bên ngoài ΔABC.
Vậy : trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.
Kiến thức áp dụng
+ Ba đường cao trong tam giác đồng quy tại một điểm. Do đó khi xác định
trực tâm ta chỉ cần xác định giao của hai đường cao.
+ Định lý tổng ba góc trong một tam giác : Trong một tam giác, tổng ba góc
bằng 180o.
Bài 59 (trang 83 SGK Tốn 7 tập 2): Cho hình 57.
a) Chứng minh NS ⊥ LM
b) Khi góc LNP = 50o, hãy tính góc MSP và góc PSQ.


Hình 57
Lời giải:
a) Trong ΔMNL có:
LP ⊥ MN nên LP là đường cao của ΔMNL.
MQ ⊥ NL nên MQ là đường cao của ΔMNL.
Mà LP, MQ cắt nhau tại điểm S
Nên: theo tính chất ba đường cao của một tam giác, S là trực tâm của tam
giác.
⇒ đường thẳng SN là đường cao của ΔMNL.
hay SN ⊥ ML.
b)
+ Ta có : trong tam giác vng, hai góc nhọn phụ nhau nên :

ΔNMQ vng tại Q có:


Bài 60 (trang 83 SGK Toán 7 tập 2): Trên đường thẳng d, lấy ba điểm phân
biệt I, J, K (J ở giữa I và K).
Kẻ đường thẳng l vuông góc với d tại J. Trên l lấy điểm M khác với điểm J.
Đường thẳng qua I vng góc với MK cắt l tại N.
Chứng minh KN ⊥ IM.
Lời giải:

l ⊥ d tại J, và M, J ∈ l ⇒ MJ ⏊ IK ⇒ MJ là đường cao của ΔMKI.
N nằm trên đường thẳng qua I và vng góc với MK ⇒ IN ⏊ MK ⇒ IN là
đường cao của ΔMKI.
IN và MJ cắt nhau tại N .
Theo tính chất ba đường cao của ta giác ⇒ N là trực tâm của ΔMKI.
⇒ KN cũng là đường cao của ΔMKI ⇒ KN ⏊ MI.


Vậy KN ⏊ IM
Kiến thức áp dụng
Trong một tam giác, ba đường cao đồng quy tại một điểm là trực tâm của
tam giác đó.
Bài 61 (trang 83 SGK Tốn 7 tập 2): Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H
là trực tâm của nó.
a) Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ra trực tâm
của tam giác đó.
b) Tương tự, hãy lần lượt chỉ ra trực tâm của các tam giác HAB và HAC.
Lời giải:

Gọi D, E, F là chân các đường vng góc kẻ từ A, B, C của ΔABC.

⇒ AD ⏊ BC, BE ⏊ AC, CF ⏊ AB.
a) ΔHBC có :
AD ⊥ BC nên AD là đường cao từ H đến BC.
BA ⊥ HC tại F nên BA là đường cao từ B đến HC
CA ⊥ BH tại E nên CA là đường cao từ C đến HB.
AD, BA, CA cắt nhau tại A nên A là trực tâm của ΔHCB.


b) Tương tự :
+ Trực tâm của ΔHAB là C (C là giao điểm của ba đường cao : CF, AC, BC)
+ Trực tâm của ΔHAC là B (B là giao điểm của ba đường cao : BE, AB, CB)
Kiến thức áp dụng
Dựa vào định lí : Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm.
Bài 62 (trang 83 SGK Toán 7 tập 2): Chứng minh rằng một tam giác có hai
đường cao (xuất phát từ các đỉnh của hai góc nhọn) bằng nhau thì tam giác
đó là tam giác cân. Từ đó suy ra một tam giác có ba đường cao bằng nhau
thì tam giác đó là tam giác đều.
Lời giải:
+ TH1: Xét ΔABC vuông tại A có các đường cao AD, BA, CA.

BA, CA là hai đường cao xuất phát từ hai góc nhọn B và C của ΔABC.
AB = AC ⇒ ΔABC cân tại A (đpcm).
+ TH2: Xét ΔABC khơng có góc nào vng, hai đường cao BD = CE (như
hình vẽ minh họa)


Xét hai tam giác vng EBC và DCB có :
BC (cạnh chung)
CE = BD (giả thiết)
⇒ ∆EBC = ∆DCB (cạnh huyền - cạnh góc vng)

+ Xét ΔABC ba đường cao BD = CE = AF (như hình vẽ minh họa)
CE = BD ⇒ ΔABC cân tại A (như cmt) ⇒ AB = AC.
CE = AF ⇒ ΔABC cân tại B (như cmt) ⇒ AB = BC:
⇒ AB = AC = BC
⇒ ΔABC đều.