06tachbatdangthuckieungan

Câul.

Cho

a,b,c

—=+

lựa?

là

;

Vite

ba

số

thực

dương

thoa

man:

ab+bce+ca=1.

Ching

minh

rang:

+———< 3

Vite 2

Câu 2.

¬
.
.
.
“+4x+l
Tìm giá trị nhỏ nhât, lớn nhât của hàm sô ƒ(x) = “—

Câu 3.

Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn: 3ø+2b+c =6. Chứng minh rằng: ø`+”+c>3.

x

+

Câu 4. _ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thite: P= J2x+1+/3y+1+V4z+1@/Ttong dé
*,y,z>0

thỏa mãn

x+ y+z=4.

Câu 5.

Cho AABC có góc BAC =90°. Duong cao AH . Ching minh rang:

Câu6.

Cho cho z,b,c>0

Cau 7.

Cho

(ý2-1)(AB+AC+ BC)>2AH.

x, y, z

và a+b~+c =1. Chứng minh:

là các số thực lớn hơn

`

a

1 và thỏa mãn;

A=(x-!)(y-!(z-1).

Câu 8.

[1+

AS

SẼ: >2.

Tìm gia tri lon nhất của

QS

Cho cặp số thực (x;y) thỏa mãn điều kiệm

+4=0. Tim giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Pax ty? —6x-12y 445 +f? xế? —
Câu 9.

Cau 10.

Cho ba số dương x, y, z thỏa

+3ÿ+5z <3. Chứng minh rằng:

3xyA|625z°+4+15yzx|x?

ly*+4 >45N5xyz.

Cho 3 số thực dươnế

ab+bc+ca>

Câu 11.

C

^

x, y,

Nea

ỏa mãn điều kiện ø+~+c=1.
ra")

Câu 14.

Chứng minh rằng:

+Sabe-

thực dương. Chứng minh bắt đăng thức:

~ ek
,
cà
CÀ
o a, b,c lacac sé thuc duong. Chitng minh rang:

Cau 13.

^

Cho

“ở,

a’
b°
Cc
_atbte
+
+
>
.
b+c
c+a
atb
2

.
`
b
1
1 lo, |,
Cho 3 sé duong a, b, c. Chttng minh rang: O42
4
fs 4-4 . Dau đăng thức xảy ra khi
be
ac

ab
a be
nao?
k

„

.

*

be

Cho 3 sô dương a, b, c. Chứng minh răng: +
a
nao?

ac

+

ab

Cc

>a+b+c.

kK

Z

„

3

Dâu đăng thức xảy ra khi

0937351107- Chuyén cung cấp tài liệu Word môn Tốn Lý Hóa Tiếng Anh từ Lớp 6 tới Lớp 12

.


Câu 15.

Cho tam giác ABC

biểu thức P=

có góc khơng nhon va AB=c, BC =a, CA=Db. Tim giá trị nhỏ nhất của

(a+b)(b+c)(c+a)
abc

Hướng dẫn giải

Do tam giác ABC

có góc khơng nhọn, khơng mắt tính tổng quát ta giả sử rằng C > 900.

Áp

định

dụng

C =a’ +b

lý

COSIn

trong

—2abcosC >a’? +b’ > 2ab >c>V2ab

tam

giác

ó

(dau bang xảy ra khi và chỉ khi

am giác

ABC vuông cân đỉnh C).

Ta có P= (2+P)(b+c)(c+a)— 2abc+a“b+a“e+b °e+b“a+c7a+cTb
abc
P= 2+[24 2}

b a
(

Ap

dung

ath

Cc

abc

[AP £45)
c
a b
k

b

c

OS

3

bat

,

dang

cic, gfetb ce

a

Ny

thức

_ aan
(a+b)c

Cauchy,

Ẳ©

`

^

a

0:

b

ab

—+—>2,J/——=2,

3/2

ab

—=>P>4+3⁄2.

ale

VY

ba

Dau “=” xay ra khi

2a

AABC vng can dinh C.
Cc

b
Vay P,=443
A
Cau 16.

Cho

1
l
l

,c>0thoa mãn: ——+——+——
=2. Chứng minh
a+l
b+l
ctl
`
.
inh rang neu a>b

Cau 17.

C là tam giác vuông cân đỉnh ŒC.

va ab>O

rằng: abc <—.
8

1
1
thi —>-.
a

6 a,b,c là những số dương. Chứng minh răng: (a+b)(b+c)(c+a) > Sabc.

Câu 19.

Chtmg minh rang: a*+b* > a°b+ab’;Va,beR.

Câu 20.

Chứng minh bat ding thitc: a+b+c>Vab+Vbc+Vca voi a,b, c>0.

Cau 21.

Cho

,
a, b,c la các sô dương thỏa mãn

1
1
2
`
—+— =—. Chứng minh răng:
ac
b

Hướng dẫn giải

a+b + c+p >4.
2a—b
2c-b

0937351107- Chuyên cung cấp tài liệu Word mơn Tốn Lý Hóa Tiếng Anh từ Lớp 6 tới Lớp 12


1

2

1

a

be

2c7b _2c7b

Theo gia thiét: — =—--— =
a+b

Tuong tu

Khi do

2a—b

=c|

c+b

ctb

bc

_

2c—b

a

1

1

bic

1
1
-—+—
a
b

242 5 4°

2a-b

bc

ctb_

=+(a+c)+

2c-b

b

c

-£-H/
a

1,1

2\a

(atc) +45

c

c oa

Ap dung BĐT Cơsi ta có

+ “2

+e}>4 "

`

a

—+—>2
c

6a

Đăng thức xảy ra khi a=b=c.
C4u 22.

Tam giác ABC

OS

có độ dài các cạnh là a, b, c và có diện tíếRbăng

Ì.

Chứng minh rằng: 2012ø? +20100? —1005c° “Oy

thức:

M

=

x, y,z
xe

dương thỏa mãn điều

+xyty*

NY

4yz+]l

Câu 24.

2

2

+ YZ + Z

kiệ

XY

Zz ==.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

+

4zx

Chứng minh bất đăng thức:

-

=

<

+X

—

Các số thực

Xx

+—

biét

x, y,z

la các sô

N

Câu 23.

thuc duong.

sả

Hướng dẫn giải
2

Ta có:

Lteil((]-¿Ï
—

xy

$ Nụ ‘(J]
y

Zz

2

y

(1)

2840-0]
Pax?

2|\z

x

ø về với về của (1), (2), (3) ta được đpem.
Câu 25.

Cho

ø,b,cclR,

Ee

và a+b+c=l.

Cau 26.

Chứng minh rằng:

Vatb+Vb+c+Vet+a

<6.

Câu 27. Chứng minh: (x? +ax+b) +(x? +ex+d) <(2x7+1) Voi moi a, b,c, d théa man diéu kién
a+b+c04+d’ =.
Cau 28.

Voi a, b, c>0

thoa mãn điều kiện abc =1. Chứng minh rằng:

0937351107- Chun cung cấp tài liệu Word mơn Tốn Lý Hóa Tiếng Anh từ Lớp 6 tới Lớp 12


a

b

C

3

>—.

+ø0+e) (0+e0+a) (+a)0+b)
Câu 29.

Cho az, b,c>0

4

thỏa mãn abc =1. Chứng minh rằng:

a’

p

c

3

+ø0+e) (+e0+a) (+a)(+ø)ˆ 4
Câu 30.

>

Chứng minh răng, trong mọi tam giác ta ln có:
sinA

:

—+—

snBt+sinC

sin B

—+-—

sinC+sinA

sinC

—

<2.

sinA+sinB

Câu 31.

Cho 3 số dương ø, b, c thỏa a+b+c =1. Chứng minh răng: (a+b)(b+c

Câu 32.

Cho x, y, z là số thực dương thỏa mãn điều kiện xy+ yz + zx= l1. Tì
thic:
tr

P=

+

dầytyc
Xx

+

đãcLkc
y

Aàyty
xj

Câu 33.

Cho x, y, z dương. Chứng minh rằng:

Câu 34.

Cho tam giác

ABC

.

*Š_+25_“
y+z
z+

DJ.

duong trung tuyén hatu A, B, C. Ching4ninb

s

a,b,c>0

va a+b~+c=I.

Câu 36.

Cho các số thực x, y thod Ma

Câu 37.

Chứng minh rằng: ò

Câu 38.

Cho hai số

Ọ

i/m,,m,, m, lan lượt là độ dài các

JA’

IB’

IC’

4

rang: —~+—~+—;<-.
mem

m
3

`

a

be

c

a

c

: —=+—+—+Äabc
b

10

>————————.
9(a° +b° +c’)

=10. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của: A= xÌ+ yỶ.

M3 +4|x?2+y?—xy3 +4|I6+ y?—4yAJ3 >5.

Ax?’ < 0 .

25

33

“
Cau 39.
^

ñhỏ nhât của biêu

thay đố và thỏa mãn điều kiện: 2(x* + y?) =1+xy. Chứng minh rằng:

18

Câu

S

yp

729

2.

+

a

Cho

trị

8
bc S—.

OS

có đường trịn nội tiếp tâ

Câu 35.

Pag

c+

,

,

dương
sự

.
`
a, b, c. Chứng minh răng:

AS

ho tứ giác lơi ABCD

z

a+b
a+b

có AB= BC=CD=a.

bˆ+c`

+

+

b+c
z

‹

cˆ+aˆ
cta
`

<

3(a° +b’ +c")
a+b+c
3a?^/3

Chứng minh răng: Š,,.„ S————

`

(Š„zep; là

diện tích tứ giác ABC).

Cau 41.

Cho a,b,ceR. Ching minh rằng: (a”+b?)(b° +c”)(c° +a?)>8a?b?c”. Dấu bằng xảy ra khi
nào?

Hướng dẫn giải

Bất đăng thức Côsi
0937351107- Chuyên cung cấp tài liệu Word mơn Tốn Lý Hóa Tiếng Anh từ Lớp 6 tới Lớp 12


a’+b*> 2|ab|
b? +c’ >
c+a

2|b‹|
?> 2|ca|

(z” + b)(b? + c)(c? + a’) > 8\ab|be| lca| = 8a”bŸc7

Dau bang xảy ra khivà chỉ khi |a| =|b|
= |c|

ẤÂ
ord. cta

a+b—

b+c

ÁN

Cho 4 số thực dương

Câu 43.

Cho ba số thực dương z, b,c thoa min a+b+c =3.Chtmg minh rằng: aN
a

+

a+bc
Câu 44.

b

+

b+ca

a, b, c, đ. Chứng minh rằng:

atc

Câu 42.

c

Crd

d+

3

c+ab

>=,
2

te

Cho phuong trinh x*+ ax’ +bx* +cx+1=0

`

là ấn và“w,b,c

giả sử phương trình có

nghiệm thực. Chimg minh rang a? +b? +c’ >S=
Câu 45.

Cho

các

số thực

x,y,z

thỏa mãn

eevee

RY

1
1
1
-=+=>+>I
và tầm giá trị . nhỏ nhất.

Câu 46.

po Patt
ot

Cho z, ø, c là 3 số thực dương. Chứng

minh
+€
b

Cau 47.

6

^

.

Cau 48.
«

Câu 49.

th

z7

Chtmg
—

x

minh

rang

et

rang:
+

aad

Cc

.

thoa man abc =1. Chimg minh rang:

x

k

~

2k

inh rang néu x, y là các sô thực dương thì

'Wiệt

Zz

y

&

Y

x

x>l,y>1z>1.

2

`

l

(I+x)

2

s+

1

(1+ y)

x>

1

l+xy

.

,

phương trình của đường thăng d di qua diém M(4;6) cat truc Ox, Oy theo tht tu tai
0), B (0;b) (với z>0, b>0) và sao cho diện tích tam giác AB bé nhất.

Hướng dẫn giải

Ta có AB có dạng: ~+-- =1
a

b

M(6)<AB=>
+2 =1
Mà:

—=456> 2C

(Theo Cosi)

0937351107- Chuyén cung cấp tài liệu Word mơn Tốn Lý Hóa Tiếng Anh từ Lớp 6 tới Lớp 12


Nén:

1>2

=
Va

72

ab296

ab

Do do: dtAOAB > 48

4_6

Dau “ = “ xay ra khi:

a

a= —8(loai)

Dién tich tam gidc AOAB
^

Câu 50.

~

X

y

Với a,b,c
a+2b

+

2

!

lt+af(b+c)

dương, và thỏa man:
8bc

2b+4c

+

4ac
4c+a

+

!

2

Vab+c

+

b+c


+

a+2b+4c

5

Os

312.

abc

minh rang:

eye

= 1. Chứng minh rằng:

c+a

ca

Go

NA

* Tu

=
a,b,c

1

<<6.

* Biên đội

Do

+

l+bP(c+a)

Cho øz,b,c là các số đương thỏa nin
a+b

«

OS

Cho các số dương a,b,c:ab+be+ca =3.

2ab

Câu 52.

bé nhất là 48 khi a=8,b=12

la: —+—=1
3175

AB

Chứng minh rằng:

Câu 51.

2

a=8

Suy ra

Vaydy pt
p

34

b

Hướng dẫn giải

_

l-c

Vab+1-b-a_
l-c

Vd-ad-b)

+

1-—b

J(-a)(1-b)

jd-ed-a)

duong va a+b+c=1

l-c

+

l-a

jd-e)d-b)

nén a,b,c thudc khoang

(0:1)

=>1-a,

1-b,

l-c

* Áp dụng bắt đắng thức Côsi cho ba số dương ta được

r>9

l=c

1—b

,
Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi a==c=
Cau 53.

I—

Tan

an

=3 (đpcm)

l
3

Cho a,b,c labas6 thuc duong thỏa mãn: zbc =1. Chứng minh răng:

0937351107- Chuyén cung cấp tài liệu Word môn Tốn Lý Hóa Tiếng Anh từ Lớp 6 tới Lớp 12


1
2

1
2

a+2b

Tac6

+

+3

2

1

2

2

c+2a

b° +1>2b=>

1T

T1

+3

Sz.

2

Hướng dẫn giải
|

ad +2b +3

|

=

Ị

1

+

_ 2\ab+b+l

1

T1

+

be+c+l

1

1

1

ab

2\ab+b+]

khi a=b=c=1. Vay max P=—

"baltab-

_i
l+ab+b
=Q

khi a=b=c=1.

Cho các số thực a và b thỏa mãn: (2+a)(1+b) = =

P-

Ị

2cat+atl

_1

catatl

et

a +b +b +1+2 2ab+b+l

bˆ+2c+3_ 2bc+c+l c2+2a?+3_`

p<1

pas

+

b+2c+3

a’ +b’ >2ab,

Tuong tu:

Câu 54.

1

2

. Tìm giá trị nhỏ

~~

16+a* +4V14D" .
Hướng dẫn giải

A

Đặt 2ø = x. Điều kiện bài toán trở thành: (2+a)(2+x)=
P=16+a

+416+ x1. Theo bất đăng Cosi:

I+a?>2aˆ

và 2+2a” >4a =16+a*>5+4|(a

Vi6+at+V16+x°

cà
theo Cosi

(5+

> 22|d6+a*)46+x°

Diu" =" xay ra 2"

Min của

7c

b

|a+2|)(Š5+4|x+
2|) =
1
1
2

Cau 55.

Cho a,b,c>0

Câu 56.

Cho

tho

>

ere

P=

+€

+€” =1. Chứng minh rang:

ương

+€7 tạ

thỏa mãn

at+b+c=3.

atb
Tương tự:

afi
À4

<_
+e

Hướng dẫn giải

|

9

„l†+b+ba

b`+c+a-

<(a° rb 4e)[ Ll +c

_ltatac

9
b

giá trị lớn nhất của biểu thức:

Ct+a +b.

5 9K (atb+c) =[aW.T~+»a+VEvE]
a

Tim

ˆ s+ _. s+ — cà,
b+c
c+a
a +b
2

Cc

9

+a

„lt†c+cb
+b

9

Suy ra:
pe Sash)

(ab tiered

=5 +2 (4b+bc +)

We |

wile

+ 1 .0=]
393
9.
0937351107- Chuyên cung cấp tài li ệu Word mơn Tốn Lý Hóa Tiếng Anh từ Lớp 6 tới Lớp 12

<^+, 2(a+b+e} =


Dâu
A

66

xảy ra khi ø=b=c=l

29

Vay max P=1 dat duoc khi a=b=c=1

Câu 57.

Cho các số thực x,y thoa min x? +xy+y? <3. Chimg minh rang:

-ÄAA3—3Hướng dẫn giải
+ Đặt P=x”-xy—3y”

và Q=x

+xy+ y”. Khi đó 0<(Q<3

+ Nếu y=0 thì 0<@=x?<3

và khi đó -4V/3—3<0<(@=x?<3<4N3—3

bất đẳng thức

cần chứng minh đúng.
,
+Nêu

P
x —xy-3y°
thì P=@.—=@Q.——————

yz0

Q

x+Ay+y

Chia ca tr va mau cho y* 40 va dat—*=t
y
°

2

2

`

“\

x

x

~

^`
thi P= ot
t+t+l

+ Để ý rằng 0< Ø <3, nên cần ching minh:

/?—t—3

+ Ta có R=

—t-3

—.

—


= (R-1)t? +(R+1)t+R+3=0

Câu 58.

+ Từ (1), (2), (3) suy ra điều phải SÁ

S2

Cho các số thực dương ø,b,c
ab
a+ab+tbc


(3)

id tr†Íớn nhất của biểu thức

+

bˆ+

2

+ca+abˆ

a

Hướng dẫn giải

1

ẻ

ry

a

1

y+xz+l

a

eae

“4142
+

| eee

|

b

ae

c

Cc

1

|

Cc

a

voi x,y,z duong va xyz =1.

gty +l

(x+ y)((x— yy’ +xy) 2 (xt yay

xv ty? +1 214064 yay

+1> (xt y)xy + xyz = xy(xt+ y+z)
1

x+y tl
Tuong tu

P<

Re-1)(R+3)20

bc

2

x+y

3 3

>,

+ Voi R#1, do (1) ln có nghiệm /, nên A= (

4

2

`

t+t+l
+ Néu R=1 thi (1) la phuong trinh bac nhat, có n

+ Giải bất phương trình này thu được

=!

<

1
xy(x+y+z)

TT

y+z+l

1

Xy(x+y+z)

+

<

1
yz(X+y+z)

1

ÿyZ(X+y+Z)

+

:

1
TT

z+x

+Ì

1

ZXX†y+†Z)

<

1
xz(x+y+z)

1

=— =]

xyz

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=l©a=b=c.

Vậy giá trị lớn nhất của P là 1.
Câu 59.

Tìm giá trị lớn nhất của số thực k sao cho bất đăng thức sau:

0937351107- Chun cung cấp tài liệu Word mơn Tốn Lý Hóa Tiếng Anh từ Lớp 6 tới Lớp 12


24|(I+z?)(+9?)(1+c?)+24/(I+b?)(+c?)(+4?)+2j(+c?)(+4?)(1+z?)
+2„j(I+2?)(I+z?)(I+ø°) > k(ab+be+cd +ac+bd +da-2) ding v6i mọi số thực a,b,c,d
thay đổi tùy ý.
Hướng dân giải

Điều kiên cần. Bat đắng thức đúng với bộ a=b=ec=đ =^A/3
thay vào BĐT ta được 4.2.8>&(6.3—2)=k <4
Điều kiện đủ. Ta chứng minh BĐT đúng với k =4

`

bả +cả —2)
ab+ae+
ad+be+
©2 3 0J+2) (I+?”)(I+c?})>4(

= > y(i+e’) (1+b°)(1+c?)
> 2(ab+ac+ad +be+bd + ed -2)
a,b,c,

Ta có J+z°)(+92)01+e°)=/(+e)|(6c- I) +(b+e)| x
(be—1)+a(b+c)=ab+be+ca—].
& 2

+2)

Tương tự trên ta được

(I+ø”)(I+c' )>2(

ire

Dau bang xay ra khi a=b=c=d= +/3

SO

Vậy giá trị lớn nhất của k bằng 4. Khi đó BĐ
thuc a,b,c,d

Câu 60.

Ø

VỚI mỌI

thay đơi tùy ý.

Cho x, y, z 1a những số thực khơng âm, chửđg
(y+z-x}

xà

+

(z+x-y}

(y+z}+x)

(z+x) +y

(y + Z— x)

(z + x—

mính rằng:

+

2

> 3 (1)

(y+z)
(y+z)2 LÀN

z),(z+x) ty Ì-2y(z+x)
:

x

(<+x)

(x+y) +z-2z(x+y),

(c+x) +y°

+y°

(xty)

(xty) +2

+2

3
5

5

a x+y+z=1, khi đó (2) trở thành

2x

111(=3)
„ 3=»),
z=z)
6
-2x+l

2y

-2y+l

2z

-2z+l

S5

Sử dụng bất đăng thức AM-GM, ta có:
> 2x7 -2x4+12>1(I-x)+
2x —-2x+l

Tương tự ta có:

<

4(I-x)x

_

(I-x)(x+3)

»=y)

(I+x}
4

=

(I-x)(x+3)
4

4x
x+3

„ 4y,

z-z)

„ 4

2y -2y+l y+3 2z-2z+1
z+3

0937351107- Chuyên cung cấp tài liệu Word mơn Tốn Lý Hóa Tiếng Anh từ Lớp 6 tới Lớp 12


x{ I— x)

Do đó:

+

> I— y)

2xX-2x+l

2y

+

2 I— z)

-2y+l

Ta chỉ cần chứng minh:

4y

+

x†+3

2z

+

y+3

<

-2zr†tl[
4z

4x
x+3

+ 4z

y+3

_6

1

5

x+3

<-o

z+3

+ 4y

z+3
1

+

y+3

1

+

z+3

>—

9

10

Sử dụng bất đăng thức AM-GM dạng cộng mẫu số, ta được:
l
l
l
9
9
x†+3

+

+

y+3

>

z+3

=—

x+y+z+9

10

Vậy bất đăng thức (2) đúng nên bất đắng thức (1) được chứng minh. Đăng thức xảy ra khi và

Câu 61.

chỉ khi x= y=z>0.

A

Cho các số thực a, b,c khơng âm và khơng có hai số nào cùng băng 0. Chứng mát

hg

„?+16pc
5

bˆ+c
- Dat

5

⁄\

+

b? +16ca
5

5

c +a

a,b,c)=
)

2

a

+

+l6bc

bˆ+c7

cô +16ab
2

a’ +b

2

>

10.

Hướng dẫn giải

2

+

b°+16ca_
C+a’

2

c’ +l6ab

+

C+a’

.

OS

- Do vai trị ø, b,c bình đăng nên có thể giả sử a>b>ec.
- Xét
/\

a,b,c)— f

)

⁄\

a +1l6bc

(a,b,0

Fee

)

bˆ+c?

16óbc—a c7”

=

a’

b*+16ca

bˆ

C+a

FT

yy
b (b +€ )

oy

lốc

207

c

:

(1).

+C

>IỂN

a+b?

2
2
a+b

a

2
16(b? +bc
Néu a> 4b => SO > ( Mo
Nếu a < 4b > 16B° “ốc

?

WN

>0;

16ca*—b*c? >0=> f (a,b,c) > f (a,b,0)

(2)

Xét bất đắng thức
I

ú

a,b,0)>10

)

=

Ƒ

ab

Rt

a’ +b°

>10

ab
—+-—-- 2+

ba’

*+~24?b?+b*_16ab—8a?—8b?
27.2

ab

+

2

a+b

2

l6ab

a’ +b?

202

—8>0

(a—b) (a+b)

8(a-by

ab

a+b

27.2

<= (a-b)'| (a? +b*)(a+b) -8a°b* |>0 @)

2

2

>0

có we +b’ > 2ab; (a+b) >4ab=>(a?+b?)(a + b}' >8a?b” — (3) đúng.
(1), (2) va (3) suy ra dpcm.
u bang xay ra khi (a, b,c) 1a hoán vị ctia (a, a,0).

Câu 62.

Cho các số dương ø,b,c thoả mãn abc =1.

Chimg minh ring: (a+b+c) +a+b+c>4(ab+bce+ca) (1). Dang thức xảy ra khi nào?
Hướng dẫn giải
Bất đăng thức (1)

a? +b? +c? +a+b+c= 2(ab +be+ca)

Theo nguyén li Dirichlet: (a—1)(b-1)= 0=> ab-a-—b+1=0

(2)
—abc>ac+bc—c

0937351107- Chuyén cung cấp tài liệu Word môn Tốn Lý Hóa Tiếng Anh từ Lớp 6 tới Lớp 12


Theo BDT Cauchy: a+b+c > 3¥abe =3

BĐT (1) được chứng minh nếu ta chứng minh được:
a’ +b? +c? +3>2(ab+be+ca)
Tac6

(3)

a+b? +c°4+3=a +b +c 4+14+2abe >a? +b? +c° +1+2(ac+be—c)

> 2ab+2c+2(ac+bc)—2c =2(ab+bc+ca)

(dpcm)

Dang thie xay rakhi a=b=c=1.

Câu 63.

Cho ba số dương a, b, c thay đổi và thỏa mãn a+b+c=abce.
Chứng minh rằng:

Câu 64.

Tan
a
b

2

in
abe

c¢

ÁN

+43.

\

Q)

Cho cdc s6 duong a, b,c thoa man a? +b? +c =2.
4

Chứng minh rằng:

bt

+

b+c

ct+a

+

4

>I.

atb

Hướng dẫn giải
a’

Dat P=

+

b+c

Ap dung BDT
4

c
đó

poe

+

+

cta

c
atb

“Joe

4

R
Do

p

ta được:

4

~
+ < le *(b+c) +b
cta
a

P>

(c+a

(a 4B

(a Pape +

= a’ (b+c)+b°

Chung minh 2(a° +

:

(a +b +c")

(c+

*(b+c)+b? (c+a)+c* (a+b)

>

ma

ˆ(b+e)+(c-a} (c+a)>0

Câu 63,

C

ực dương
hra

z, 5, c thoả mãn

inh rang:

T

+8)

tyes

ln đúng

abc =1.

Feo

1

3

2

Il+c

Hướng dẫn giải

Do vai trị của z, b, c là như nhau nên có thê giả sử a>b>c.
Vi abc =1 nén bce <1

1

mm
—

4

l+bc_

1

+ —| |

2

va a=1. Taco:

| 1
1
1-b’c?
1-b’c?
<2|——+——|=2Ìl+———Ì|<2!+——

14?

1+?

)

(I+ø”)(t+c”)

(I+be}

đa

l+a

0937351107- Chun cung cấp tài liệu Word mơn Tốn Lý Hóa Tiếng Anh từ Lớp 6 tới Lớp 12


Suy ra:

1

1

+

Vit+e?

Mặt khác ta có:

a
<2,/—

Vite

2 @)
<™?

1
Vi+a’

Ta sẽ chứng minh:

(1)

l+a

_l+a

2 ca

V2

Vita

3)

lta

(3)

2

That vay, (3) <> 1+3a-2,/2a(I+a)>0 © (2z -MI+a} >0 (ln đúng).

ẤÂ

Từ (1), (2) và (3) suy ra đpem. Đăng thức xảy ra =ø=b=c=I.
Câu 66.

Giả sử x, y là các số thực dương thỏa mãn x+ y = 1. Chứng minh rằng:

V2 ,_ v5 _. 362+104N5

xy

3x +3yÌ

`

aN

81

Hướng dẫn giải
1

+

B8xy

1

1

x+y

3xy(x+y)

+

1

4

Pty

Mat khac, (x+y>4w=-—>

4xy

we 43xy(xty
!

(x+y)

1

Từ (1) va (2) ta có:

2,

xy

Câu 67.

J5

_9j5-5, JB( N

3x7 43y>

pt)

4(0v2-V5)
av _ 362 +104v5

3+vŸ” 3xy

Oxy

Cho z,b,c là các sốt

ơng.

S1

ứng minh rang

3

2b

oy

a+b

b+c

+

2c

c+a

81

<3.

Hướng dẫn giải
la
„
‹
—,fq có: x,y,z
>0 và xyz =Ì
Cc
ức đã cho trở thành:

Ta

2+

l+x

“<3

l+y

l+z

<1l>z21

.

›

a chứng minh đăng thức sau:

1

Itxz”

+

1

It+ty”

<

2

l+xy

(1)

Thật vậy, (1) =©(2+z +>y?)(I+xy) < 2(1+x°)(1+y’)
& (I-xy)(x- y) > 0 (dung)
* Ta có: Theo bất đăng thức Bunhiacopski
2

limoy

l+y—

<2

“+
I+rx

l+y—

=4

Irxˆ:

yt

l+y

2

0937351107- Chuyên cung cấp tài liệu Word môn Tốn Lý Hóa Tiếng Anh từ Lớp 6 tới Lớp 12


Theo bất đắng thức (1) suy ra:
Ạ

+

I

I+rx

<

I+y

Suy ra |—

7+}

2
l+x

s+

_

ŠZ

l+xy

l+z
¬=2%
l+z

l+y

Mặt khác, ta lại 06}
Suyra |

8

I+z”

2

<2.

l+z

2

+ y

l+y

l+z

Do vậy, ta sẽ chứng minh: 2J=
a,

A

,

2z



+ <3

l+z

Tht vy, ta cú: 2

2
2
=..
l+z
l+z

<2

`

ẽl+z

2

=+-<3â2/2z(I+z)
\2z(I+z)
I+z)+2<3(I+
XI

l+z

l+z

<â2z 2j2z(I+z)+(I+z)>0 <= (V2z- viƠz)

7

Vy bât đăng thức đã được chứng minh.
Dâu
A

xảy ra khi x= y=z=].

29

Bất đăng thức đã ch rô
Giasu x

ah:

1+x°

+ fe <
2a +
a+b
b+c
c+a -

à
răng:

Cho z, b, c là các số thực dương, chứng miĐđ
Ne

to»

Câu 68.

66

tị

=

ˆ
I+z

on

—

oa

i

<2

Al 14 1- xy?

(I+~xzy}
|

Suy ra:

2
l+x

s+

l+x°

8

2

2T

142

2

|

„<2

l+z

2
<——

l+z

2

(1+2°)(1+
7)

=4

l—

TS.
l+z

l+z

2

2

v2.2

ŠZ

_l+xy

l+y

1+y

[2
Do vậy ta sẽ chứng minh: 2 -“ “+
Vi

<3

2

l+z

„<3

nén ta can chimg minh 2

23
*

l+z

7

l+z

<3,

0937351107- Chuyén cung cấp tài liệu Word mơn Tốn Lý Hóa Tiếng Anh từ Lớp 6 tới Lớp 12


2z
2
Ta aco có: 2,|— — Vo +—lez <3<2,]2
=> \ z(z +1)4+2<3(1+
)
(
z)

©2z~2.J2z(z+1)+(z+I)>0(2z~z+1} >0 ln đúng.
Câu 69.

Cho ba số dương ø, 0,c thay déi va thoa man a+b+c=abc.
2

Chứng minh rằng:

3+ +
a

^ >[

25° 95

e¢

*z+c]

y=7,

Ộ
Ta cân chứng minh

y

x
y?
z?
5
3-J3+— 4-2-4
>(x+y+z) .

y

Zz

2

?_
IV

z

Xx

Thật vậy, ta có: setmerear
cyc

(
2

y

M

cye

y

Zz

xX

Z

seo

x

Cộng theo về ba B

Tu (1) su

OYA

QQ.

y

sym

3

ei

ty

tw

Theo bất đăng thức AM - GM

Vay BDT (1)

(1)

xy+ yZ+

3

xz

`

(x+y+z)(x+y?+

ertypeoterzteytyxt p>
ep ey

`

x

2

y

3

ẤÂ

z=—. Taco x, y, z la cc sO duong va xy + ye + ex=I.

Cc

Trước hết ta chimg
minh 2 +242

3

+3.

abe

Hướng dẫn giải

ch

1

Dat x=—,
a

b

ên

duto

3

te

x

uy fấ BĐT (2) được chứng minh.
inh.

2

2

2

+T—+—+—>3-X3+(x+y+z)(x°+

y

Zz

x

y?+z?).

chứng minh: 3-x3+(x+y+z)(x°+y?+z)>(x+y+z}

+z)(x +y°+z?)>a?+y°+z”+v3—1
—

x+y?+z?](x+y+z—I)>v3-—I

Do x+y7+z”>xy+yz+zx=l

(3)

và x+y+z>

3(xy+ yz+ zx) =3

nên ta có BĐT

(3) được

chứng minh. Từ đó ta có đpcm.
,

ge

Dâu đăng
Câu 70.

Cho bas6

1

thức xảy ra khi và chỉ khi x= y= z==—=

3

hay a=b=c=xA.

a,b,c >1 thoả 32abc—18(a+b+c)= 27.

Ching minh rang: beVa? —1+acVb’ -1+abVc? -1< VSabc.
0937351107- Chuyén cung cấp tài liệu Word mơn Tốn Lý Hóa Tiếng Anh từ Lớp 6 tới Lớp 12


Hướng dẫn giải

+ Với x,y,z>0 ta ln có Ax+xjy+xs <.|3(x+ y+z)
+ Từ bất đắng thức đã cho ta có:
VT
1
1
1
—=,/l-— +, l|-— +,}l-— <,)3)
abc

\

a’

\

bŸ

\

c

1
1
1

—~+—+—

3-|

|

(4

b

|/=,/9-3)

Ì

\

1
1
1
=+5+ 4

l2

b?

=|

2

Suy ra: MT <

abc

9-(242+2]
a be

Tw gia thiét 32abe -18(a+b+c)
= 27 oie t tt)
ab

11,1

‘(2

1

3\a

be

Ta có:. —+——+—<-|—+—+—|
ca

bce

ab

ty

be

ca

1

ae

1

)

abc

27\a

b

c

và ——<—_|—-+-—+—

Q)

aN

\

=[24542]

Dat

=32 (*)

b

abe

3

2

Tw (*) ta suy ra: {)#(Đ)Ê*et+ôGễW

_

VWI

11

Vy <,|9-|++
a
be

1í

5

=9-2=

VT

at

3

me2

<^|5abc

Dau = xay ra khi chi khi a=b = AY
Cau 71.

Cho

a,b,c >Ova thoa: ab+bNeỘ

a

. Chứng minh rằng:

b

bo +042

„33

C+

749°

8

Hướng dẫn giải
°+c°+2(ab+be+ca)=(a+b+c} —dŸ =x

Cs

x

-a

a

Cs

x

-a

5+

x

>7

x

5

5

-b

b
-b

5+

5

cx?

x_-C

+

5

c

72

3.43
8

x

2

3.3

2

5 tx 2——x

x-C

_-a'

8

Ap dung bat đăng thức Cauchy — Schwarz, ta c6:
a

3

x ca

+

b

3

x —b

+

C

3

x -c

=

a

4

a(x’ -a’)

+

b

4

b(x* -’)

+

C

4

c(x°-c’)

>

0937351107- Chuyén cung cấp tài liệu Word môn Tốn Lý Hóa Tiếng Anh từ Lớp 6 tới Lớp 12

(a”+bˆ+c?

_

(a2°+ø°+c°}

~ (atb+ce).x° —(a +b? +c’) "
x(a2+b?+c?)

`

_

Vi:

(z” +b? +e)

-(a’ +b +c’)

x.(x*-2)

x" -(a+b+c)(aÌ +b

+c°)

7

_ x(x? -2)

4(x*-1)

7

_ x'-(x°—2)

_ vi -(@ +h? +0)

x(a? +b? +07)

= (Vaava+Vbbvb

+VeeVe)

< (a+b+c)(a’ +b

+c')

= Tu do, ta can chứng minh:
2
.|xˆ—2

x2}
A(x°-1)

2

“\
2

3 2
8

ln đúng, Vx>

—2

2

mm.
4-1)
—-

—3N3x?+3v/3>0:

3 .

+33 =x+x

thức

+33 >3 x`.x.3/3

oe

= 33x?

Vậy bất đăng thức đã cho được chứng minh. Đăng eo
Câu 72.

,

aN

Thật vậy, vì theo bất đăng thức AM — GM thi:
2x

là

b=c=

y1

Cho các số thực dương x, y,z. Chứng minh r ng:

z+l

as

yo

a+

‹

x

.

giải
Bất đăng thức đã cho được biến đổi

ạng:

x+l x ytl yi zt

PX

STV

Không mất tổng quát

{x; y; z}
x(x+1)

Z—

—<

z(ztl)
Sen

y

+

X-Z

x(xtl)

<

Xe

x(x+1)

z(z+])

y(y+])

z

ztl

y

y+l

Z—

x

y(ytl)

x-y

y(y+l)

Ae)

y-x

Z—y

y(y+l)

z(+0

._

*—Z

x(x+l)

y-x

vG@+D

+

<

Z—

Suy ra
X—z

x(a+1)

X-Z

(y+)

zŒ+J)

+

<0 (đpcm).

. Suy ra

X-Z

x(6x+D

<0

(d

(dpem)

.

Vậy bất đăng thức đã cho được chứng minh.
Câu 73.

Cho ba số thực

z,b,c

khơng âm và a+b+c=l.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P=42a(a—1)+b+ec+4|2b(b—1)+c+a +42c(c—l)+a+b.

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết ta có P= Đ2a?—3a+1+Ä[2b?—3b+1+Ä[2c?—3c+1.
0937351107- Chun cung cấp tài liệu Word mơn Tốn Lý Hóa Tiếng Anh từ Lớp 6 tới Lớp 12


Ta chứng minh: 42a? —3a+1<1-—a
Thật

vậy:

2a’ -3a+1 <1-a ©

voi moi ae [0:1]:
2a’? -3at1<(l-a)

@a’(a-l)<0,

ln

đúng

với

mọi

Do

đó:

a[0;1].

Đăng thirc xay ra khi a=0

Tương

tự

hoac a=1.

Ÿ22”-3b+1
Ä2c-3c+l
với

mọi

b,ce[0:1].

P<3-(a+b+c)=2.

P=2<

Vậy

Câu 74.

(a,b,c) = (1, 0, 0) va các hoán vi.

max P=2

đạt tại (a,b,c) = (1. 0, 0)

`

và các hoán vỊ.

Cho số nguyên >2. Chứng minh rằng với ø số a,,dø,....,đ, tùy ý
»


k=l

.

xu

thì ta ln có

aa,.

I

Hướng dẫn giải Oy
Ta chứng minh bằng quy nạp

Voi n=2ta co 0<(l-a,)(1-a,)=1-a,-a,-a,

Gia str bat đắng thức đã cho đúng với n> 2
Lay n+1

86 a,,d,,...4,.4,,,€ [0;1].

ta

Zfà.chứng

ét hàmàsé

nh nó cũng đúng với n+1

f(t) -(1-Sa,
k=l

là hàm bậc nhất hoặc hàm hăn
A)

a, +a, <1l+aa,

ro{ Sa
k=l

—

Ss)

l
¬

đây

gia thiét quy nap)

Osi< j
Osi< j
LVte [0:1] . Đặc biệt ƒ (2„..) <1, tức là ta có

[Se
“\

Câ

Ss)

ua, fs

hay Sa, <1+

k=l

a

S|

aa,

k=l

thie P(x)=x°
+a +b c6 nim nghiém x„.x,.x;.x;,x;. Đặt ƒ(x)=+x2—3. Chứng

nh rang: f (x,)- f (2%): f (a): f (%)- f(a) 2-243.

Hướng dẫn giải

Vì x,,x;,x;,x„+, là nghiệm của P(x) nên
P&)=(~x,)(x~x;)(x—x;)(x—x,)(x—x;)

F(x) F(a) Fs) FQ) F Os)

=(x-xB)(x +8)(x~3)(s.+x8)..(s
—5)(x +)
0937351107- Chuyên cung cấp tài liệu Word mơn Tốn Lý Hóa Tiếng Anh từ Lớp 6 tới Lớp 12


=(x=.8)...(%=8)(x+43)...(x +43)
+3a+b)(9V3 +3a+b)

= P(V3)- P(—V3) =(-9V3

=(3a+b} -243>~243
Câu 76.

Cho ø,b,c là các số thực dương thỏa mãn: z+~+c =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P

_ (ab+1)(be+1)(ca+1) |
abc

Hướng dẫn giải
Ta có:

P=|a+j [x2

|[c+2]=esc+-C+xTz+eel

€

nén ttt BDT CauChy cho 3 sé duong ta có:

T_ atte.

Sibe = abe< 4

3

abc

¢ aN

\

27

27—ab

Do đó: abe+—L —2y—_L -

S

abc
a be

a

Vi a+b+c=1

3

ẤÂ

(I- 27

bc)

fT~abc)—274bc) ,

7

27abc

Suy ra: abc+——>21+ L_39
abc

27

27

Mặt khác ta lại có:

)
oreo
a

Câu 77.

a

—

Cho a,b,c

lấ

e

)

aR

a

73

tac

86 duong thỏa mãn z+~+c =3. Chứng minh răng:

1+b) (1+c) ,0+©) (I+a}
I+a7

1+b°

> 24.

Hướng dẫn giải
Yen

Su

bát đăng thức AM-GM ta có

(1+b) =[(1+ab)+(a+b)| >4(1+ab)(a+b)=4| a(1+6*)+b(1+a’) |

Vebtes a(tvb')+o(ea’)

_ltre’)re(tee")

l+c

Sử dụng bđt AM-GM
v1

l+a

+

TC

1+b

một lần nữa, ta có

=)

et
2

clea )raltre) >6 @

oe

c su

Itc

2

oe

te

l+c

6= yp

oye

Dang thirc xay ra khi chi khi a=b=c=1.
0937351107- Chuyén cung cấp tài liệu Word mơn Tốn Lý Hóa Tiếng Anh từ Lớp 6 tới Lớp 12


Cau 78.

Cho a,b,c 1a céc sé thuc duong thoa man: a? +b* +c? =3. Chứng minh răng:
1

4—-Jab

+

1

4-Albc

+

1

4-^ca

<

Hướng dẫn giải
Ta có

2-Vab_,

tab eb ates)
2

4—ab

<|-

9

4—ab

[vi 0<(24Vab)(4—Vab)
<9 <> (Jab -1)'= 0}

S

a

:

2
Ta

l

_ “4 - đạp

5
ab+bc+ca
< =+
9
3
<1

=

2

a+b? +c

+.————

3

9

`
2

=2

(dpcm)

`
OS

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1.

¬À

VY

O

0937351107- Chuyén cung cấp tài liệu Word mơn Tốn Lý Hóa Tiếng Anh từ Lớp 6 tới Lớp 12