HSGTP2018

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ VŨNG TÀU

KỲ THI OLYMPIC 27/4 – NĂM HỌC 2017- 2018
MƠN: TỐN 8
(Thời gian làm bài : 120 phút)

Bài 1:(2 điểm)
Cho biểu thức sau :
x 6
x 2 
2x  7
7
 x2

A  2
 2
 2
: 2
 x 0; x 2; x  
2
 x  2x x  4 x  2x  x  4x  4 
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x nguyên để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
Bài 2: (5 điểm)
1) Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số lẻ bất kỳ không phải là một số
chính phương.
3
3
2) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a  b  6ab  8
3) Cho x,y, z thoả mãn: x  y  z 0 và xy  yz  xz 0 . Tính giá trị của biểu thức:

Q ( x  1) 2016  ( y  1) 2017  ( z  1) 2018
Bài 3:(5 điểm)
2
3
3
2
3
1) Gỉai phương trình: (2 x  1)  (2  5 x) (2 x  5 x  3)
a
b
c


0
b

c
c

a
a

b
2) Cho 3 số thực a, b, c đôi một khác nhau thoả mãn :
a
b
c



0
2
2
2
(
b

c
)
(
c

a
)
(
a

b
)
Chứng minh rằng:
2
2
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M  x  5 y  4 xy  2 x  8 y  2018

Bài 4:(3,5 điểm)
Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, AB < CD. Kẻ AH  CD tại H. Gọi M là
trung điểm của BC, E và F lần lượt là trung điểm của AM và DM; AF cắt DE tại K. Lấy
điểm N đối xứng với A qua M.
a) Chứng minh: DN = AB + CD.
MK 2


b) Chứng minh: CH 3
Bài 5:(4,5 điểm)
Cho  ABC nhọn có ba đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. Gọi I là giao điểm
của ba đường trung trực của  ABC. Kẻ IM  BC tại M. Lấy điểm K đối xứng với A qua I
0

a) Chứng minh ACK 90
a) Chứng minh: AH = 2.IM
AH BH CH


2
AD
BE
CF
c) Chứng minh:
-------------HẾT-------------


Họ và tên thí sinh:………………………………………. Số báo danh:………….
HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI OLYMPIC CẤP THÀNH PHỐ – NĂM HỌC 2017- 2018
MƠN: TỐN 8
Bài

Nội dung

Câu

Điểm

x 6
x 2 
2x  7
 x2
A  2
 2
 2
:
 2
 x  2x x  4 x  2x  x  4x  4

1a

1
2.0 đ

 x2
x 6
x  2  2x  7



:
2
 x( x  2) ( x  2)( x  2) x( x  2)  ( x  2)
( x  2) 2  x ( x  6)  ( x  2) 2 ( x  2) 2

.
x( x  2)( x  2)

2x  7

0,25

x 2  4 x  4  x 2  6 x  x 2  4 x  4 ( x  2) 2

.
x( x  2)( x  2)
2x  7

0,25

x2  2 x
( x  2) 2

.
x( x  2)( x  2) 2 x  7

0,25

x( x  2)
( x  2) 2
x 2

.

x( x  2)( x  2) 2 x  7 2 x  7

0,25

x 2
2x  4  2x  7  3
3
 2A 

1 
2x  7
2x  7
2x  7
2x  7
3
A Z  2A Z 
 Z  2 x  7  U (3)
2x  7
 2 x  7   1;  1;3;  3
A

1b

 2 x   8; 6;10; 4  x   4;3;5; 2
Mà

x 0; x 2; x 

0,25
0,25

7
2  x   4;3;5

0,25

 Kiểm tra với x để 2A ngun thì A có nguyên không

x   3;4;5  A  1;2;1  Z

.
0,25

x   3;4;5

2
5.0 đ

Vậy
thì A có giá trị ngun.
2.1 Gọi hai số lẻ là a và b.
Vì a và b lẻ nên a = 2k+1, b = 2m+1 (Với k, m
⇒

N)

0.25

a2 + b2 = (2k+1)2 + (2m+1)2 = 4k2 + 4k + 1 + 4m2 + 4m +

1

0,75
2

2

= 4(k + k + m + m) + 2


Bài

Nội dung

Câu
2

Điểm

2

a + b chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4.
Vậy a2 + b2 không thể là số chính phương.

0.5

a 3  b3  6ab  8
(a  b)3  8  3ab(a  b)  6ab
2.2

(a  b  2)(a 2  b 2  2ab  2a  2b  4)  3ab(a  b  2)
(a  b  2)(a 2  b 2  ab  2a  2b  4)

2.3

0,25
0,75
0,5

x  y  z 0  ( x  y  z ) 2 0

0,25

 x 2  y 2  z 2  2( xy  yz  xz ) 0
 x 2  y 2  z 2 0 (Vi xy  yz  xz 0)

0,25
0,25

 x  y  z 0

0,5

 Q ( x  1) 2016  ( y  1) 2017  ( z  1) 2018
( 1) 2016  (  1) 2017  ( 1) 2018 1

0,75

(2 x 2  1)3  (2  5 x)3 (2 x 2  5 x  3)3

3.1

3
5đ

3.2

 (2 x 2  5 x  3)3  3(2 x 2  1)(2  5 x)(2 x 2  5 x  3) (2 x 2  5 x  3)

0,5

  3(2 x 2  1)(2  5 x)(2 x 2  5 x  3) 0
 (2  5 x)( x  1)(2 x  3) 0

0,5

2

x

 2  5 x 0
5


  x  1 0   x 1
 2 x  3 0 
3
x
2


0,5x2

a
b

c


0
b c c a a b
a
b
c
b 2  ab  ac  c 2




b c a c b a
(a  c)(b  a )
a
b 2  ab  ac  c 2


(b  c ) 2 (a  b)(b  c )(c  a )

0,5

Chứng minh tương tự ta được:

0,25

b
c 2  bc  ab  a 2


(c  a ) 2 (a  b)(b  c )(c  a )

0,25


Bài

Nội dung

Câu
2

Điểm

2

c
a  ac  bc  b

(a  b) 2 (a  b)(b  c)(c  a )
a
b
c



(b  c) 2 (c  a ) 2 (a  b) 2

0,5

b 2  ab  ac  c 2  c 2  bc  ab  a 2  a 2  ac  bc  b 2

0
(a  b)(b  c)(c  a)

M x 2  5 y 2  4 xy  2 x  8 y  2022
 x 2  4 xy  4 y 2  2 x  4 y  y 2  4 y  4  2018
2

0,25

2

( x  2 y )  2( x  2 y )  1  ( y  2)  2017
2

3.3

0,25

2

( x  2 y  1)  ( y  2)  2017 2017
 x  2 y  1 0


y

2


0
Dấu “=” xảy ra khi 
 x 3

Vậy M = 2017 khi  y 2

0,25

 x 3

 y 2

0,25x2
0,25

min

A

B
E
K

Q

M
F

D
4

3.5 đ

4a
4b

H

C

N

0,5

Chứng minh được CN // AB và CN = AB

0,25x2

từ đó suy ra 3 điểm D, C, N thẳng hàng và DN = DC + AB

0,25x2

Chứng minh được K là trọng tâm của  ADM từ đó suy ra MK đi
2
 MK  MQ
3
qua trung điểm Q của AD

0,5

 AHD vuông tại H có HQ là đường trung tuyến ứng với cạnh

1
 QH QD  AD
  QHD cân tại Q
2
huyền AD



 QHD
BCD
( QDH
) mà 2 góc này ở vị trí đồng vị  QH // BC

0,5
0,25
0,25


Bài

Nội dung

Câu

Điểm

QM là đường trung bình của hình thang ABCD  QM // HC


Tứ giác MQHC là hình bình hành  MQ CH

2
MK  CH
3
Suy ra

0,25
0,25

A
E
F

5
4,5 đ

H
I
B

C

D M

0,5

K
I là giao điểm của ba đường trung trực của  ABC  IA = IB = IC
K đối xứng với A qua I  I là trung điểm của AK
5a

1
 IC = IA = 2 AK mà CI là đường trung tuyến của  ACK
0
  ACK vuông tại C  ACK 90

0,25
0,25
0,25
0,25

5b

I là giao điểm của 3 đường trung trực của  ABC, IM  BC tại M
 M là trung điểm của BC

Ta có: CK // BH (  AC)

ABK 900  BK / /CH ( AB)
Chứng minh tương tự câu a ta có

0,25
0,25
0,25

 Tứ giác BHCK là hình bình hành mà M là trung điểm của BC
 M là trung điểm của HK

I là trung điểm của AK
 IM là đường trung bình của  AHK  AH = 2IM

0,25
0,25
0,25


Bài

Nội dung

Câu

AH S AHB S AHC


AD
S
S ADC
ADB
Chứng minh được :

Điểm

0,25

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

AH S AHB S AHC S AHB  S AHC S AHB  S AHC





AD S ADB S ADC S ADB  S ADC
S ABC
5c

0,25

Chứng minh tương tự ta có

BH S AHB S BHC S AHB  S BHC S AHB  S BHC




BE S BEA S BEC S BEA  S BEC
S ABC

0,25

CH SCHB S AHC SCHB  S AHC SCHB  S AHC




CF SCFB SCFA SCFB  SCFA
S ABC

0,25

AH BH CH 2S ABC



2
AD
BE
CF
S
ABC
Từ đó suy ra:

0,5

Chú ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn đạt điểm tối đa