Cau 48 ma de 101

Câu 48 – Mã đề 101
2

2

2

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) : x + y + ( z + 2) = 3 . Có bao nhiêu điểm
A(a,b,c) ( a,b,c  Z) thuộc mp Oxy sao cho có ít nhất 2 tiếp tuyến của (S) qua A và 2 tiếp
tuyến đó vng góc với nhau?
A. 12
B. 8
C. 16
D.4
Giải:
A(a,b,c) ( a,b,c  Z) thuộc mp Oxy  A(a,b,0)
Giả sử qua A có ít nhất 2 tiếp tuyến AM, AN
của (S) vng góc với nhau. Khi đó mp (AMN)
cắt mặt cầu (S) theo đường trịn tâm H, bán
kính r.
Ta có AMHN là hình vng cạnh r.
AN  HN  AN  IN ( Định lí 3 đường vng
góc)
Tam giác AIN vng , ta có: AI2 = AN2+IN2
 a2+b2+2= r2+3 a2+b2 = r2+1 (*)
a,b  A  r2  Z , 0  r  3  r2 =0,1,2,3.
 r2 =0, (*)  a2+b2 = 1  a2=0, b2 = 1 hoặc a2=1,b2 = 0  có 4 điểm A.
Điểm A lúc này nằm trên (S) , qua A có ít nhất 2 tiếp tuyến của (S) , vng góc với nhau.
 r2 =1, (*)  a2+b2 = 1+1  a2=1,b2 = 1  có 4 điểm A.
 r2 =2, (*)  a2+b2 = 2+1 ( vô nghiệm )
 r2 =3, (*)  a2+b2 = 4  a2=0,b2 = 4 hoặc a2= 4,b2 = 0  có 4 điểm A.

Vậy có cả thảy 12 điểm A.
---------------------------------------------------------------------------------------------------