Hàm green của phương trình vi phân

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN
KHOA TỐN - CƠ - TIN HOC

CAO VĂN HỊA

HÀM GREEN CUA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC

Hà N®i - Năm 2016


ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN
KHOA TỐN - CƠ - TIN HOC

CAO VĂN HỊA

HÀM GREEN CUA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC
Chun ngành: TỐN

GIAI TÍCH

Mã so : 60 46 01 02

NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC
TS. LÊ HUY TIEN

Lài cam ơn
Lu¾n văn này đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan nhi¾t tình cna
TS. Lê Huy Tien. Thay đã dành nhieu thịi gian hưóng dan cũng như giai
đáp các thac mac cna tơi trong suot q trình làm lu¾n văn. Tơi muon
bày to lịng biet ơn sâu sac đen thay.
Qua đây, tơi xin gui tói q thay cơ Khoa Tốn - Cơ - Tin HQc,
Trưịng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên, Đai HQc Quoc gia Hà N®i, cũng như
các thay cơ đã tham gia giang day khóa cao HQc 2013 - 2015, lịi cam ơn sâu
sac nhat đoi vói cơng lao day do trong suot q trình HQc t¾p cna tơi tai
Trưịng.
Tơi cũng xin gui lịi cam ơn sâu sac tói Ban giám hi¾u Trưịng Cao đang
Dưoc Phú THQ đã tao đieu ki¾n thu¾n loi đe tơi tiep tuc HQc tắp nõng cao
trỡnh đ.
e hon thnh oc chng trỡnh đào tao và hồn thi¾n lu¾n văn
này, trong thịi gian vùa qua tơi đã nh¾n đưoc rat nhieu sn giúp đõ q
báu cna gia đình, thay cơ và ban bè. Đ¾c bi¾t, tơi xin gui lịi cam ơn tói
ban Lê Đúc Nhiên đã giúp đõ tơi rat nhieu trong vi¾c l¾p trình vói phan
mem Maple. Nhân d%p này, tơi cũng xin đưoc gui lịi cam ơn tói các thay
cơ và cỏc thnh viờn trong nhúm Semina Hắ đng lnc cna TS. Lê Huy
Tien.
Hà N®i, ngày 08 tháng 05 năm 2016.
HQc viên
Cao Văn Hòa


Mnc lnc
Ma đau

2

1 Hàm Green cua phương trình vi phân
3
1.1 Ví du cho hàm Green............................................................3
1.2 Đ%nh nghĩa hàm Green....................................................... 12
1.3 Sn ton tai và tính duy nhat cna hàm Green..........................13
2 Cơng thÉc hàm Green cho phương trình vi phân h¾ so hang 21
2.1 Hàm Green cho phương trình vi phân h¾ so hang...............21
2.2 Trưịng hop tuan hồn...........................................................27
2.3 Su dung Maple tính hàm Green............................................28
2.3.1 Cơng thúc hàm Green cho bài tốn biên cap 2..........30
2.3.2 Cơng thúc hàm Green cho bài tốn biên cap 3..........35
Ket lu¾n

40

Tài li¾u tham khao

41

1


Ma đau
Trong giai tích, lý thuyet ve phương trình vi phân chiem m®t v% trí rat
quan TRQNG. Vói lý thuyet đó, chun ngành giai tích ngày càng cuon
hút nhieu ngưịi đi sâu vào tìm hieu và nghiên cúu. M®t trong các bài toán
đưoc xét đen là bài toán giá tr% biên tuyen tính tai hai điem cnc a, b. Chúng
ta biet rang, sn ton tai nghi¾m cna bài tốn này nói chung khơng đưoc đam
bao. Vì v¾y, vi¾c phát trien các công cu đam bao sn ton tai và duy nhat

nghi¾m, hơn nua là tính tốn chính xác bieu thúc nghi¾m cna bài tốn giá tr
% biên tuyen tính hai điem là rat quan TRQNG.
Có m®t so phương pháp đe giai bài toán giá tr% biên như: phương
pháp khai trien chuoi, bien đői Laplace,..., nhưng theo chúng tôi phương
pháp phù hop nhat là tính tốn hàm Green: nói chung, neu bài tốn Lu =
σ vói các
−1
tốn
tu tuyen
tính
liên
ket
làphân
kha
vàđưoc
tốn
tu là
ngh%ch
đaoσL=
σ0 đưoc
đieu
ki¾n
biên
thuan
nhat,
duy ngh%ch
nhat
nghi¾m
tam
, đó,

thì
đ¾c trưng
boi hat
nhân
tíchcó
G(t, s),
GQI thưịng
hàm khi
Green.
Khi
nghi¾m cna bài tốn Lu = σ đưoc cho boi
∫b
σ(t) :
G(t, s)σ(s)ds, t ∈ [a, b].
U (t) =
a
=

L−1
Lý thuyet hàm Green là công cu cơ ban trong phân tích các phương trình
vi phân. Ưu điem chớnh cna hm Green l nú đc lắp vúi hm σ. Vói moi
σ, đe thu đưoc nghi¾m chính xác, chúng ta chi can tính tích phân tương
úng mà khơng can phát trien m®t tính tốn mói.
Tuy nhiên, bieu thúc chi tiet cna hàm Green nói chung rat phúc tap,
vi¾c tính tốn đưoc thnc hi¾n theo các ky thu¾t khó. Đây l lý do chớnh
m nđi dung cna luắn vn ngoi viắc trỡnh by lai bi bỏo [5] v a ra
mđt so ví du ve hàm Green, cịn bưóc đau su dung phan mem Maple đe
tính hàm Green trong m®t so trưòng hop.

Ngồi các phan mo đau, ket lu¾n và tài li¾u tham khao, lu¾n văn gom 2


chương:
Chương 1: Hàm Green cua phương trình vi phân
Trong chương này, chúng tơi trình bày m®t so ví du ve hàm Green cho
phương trình vi phân cap m®t và phương trình vi phân cap hai. Sau đó,
chúng tơi trình bày đ%nh nghĩa, sn ton tai và tính duy nhat cna hàm
Green đoi vói phương trình vi phân tuyen tính cap n và các đieu ki¾n
biên tuyen tính.
Chương 2: Cơng thÉc hàm Green cho phương trình vi phân h¾ so
hang
Muc đích cna chương 2 là xây dnng cơng thúc tính hàm Green cho
phương trình vi phân tuyen tính h¾ so hang, su dung phan mem Maple
đe tính hàm Green trong m®t so trưòng hop.

7


Chương 1
Hàm Green cua phương trình vi
phân
Trong chương này, chúng tơi trình bày m®t so ví du ve hàm Green cho
phương trình vi phân cap m®t và phương trình vi phân cap hai. Sau đó,
chúng tơi trình bày đ%nh nghĩa, sn ton tai và tính duy nhat cna hàm
Green đoi vói phương trình vi phân tuyen tính cap n và các đieu ki¾n
biên tuyen tính.

1.1

Ví dn cho hàm Green

Ví dn 1.1. Cho m ∈ R, f là m®t hàm liên tnc, xét phương trình:
uJ (t) + mu(t) = f (t), t ∈ [0, 1]
vái các đieu ki¾n biên là : u(0) − u(1) = 0.
Trưóc tiên, ta tìm nghi¾m cna phương trình (1.1).
Nhân hai ve cna phương trình (1.1) vói emt ta có
emt uJ (t) + memt u(t) = emt f (t)
Σ
d . mt
e u(t) = emt f (t), t ∈ [0, 1]
d
t
Tích phân hai ve, ta có

∫t
e u(t) − u(0) = emsf (s)ds, t ∈ [0, 1]
mt

0

(1.1)



u(t) = e−mt

ms
 , t ∈ [0, 1]
∫t e f (s)ds

u(t
 u(0) +
)
=−
e−m(t−s)f (s)ds
emt
0
u
(0
∫t
)
+

0

∫

Thay vào đieu ki¾n biên u(0) − u(1) =
0 , ta có:
1

u
u(
0
)0)
+
−
(
e

e f (s)ds) = 0
−
m(
1
−s
)

−

∫

0

m

1

(1 − e−m )
Do đó vói
m ƒ= 0 thì

e f (s)ds.
−
m(
1
−s
)

u(0
)=

0

u(0) =

∫

1 e−m
1

f (s)ds.

(1−s
)

1 − e−m 0
Thay vào bieu thúc cna u(t) ta đưoc
f (s)ds +
=
−m(t
∫ 1e
u
(
t
+1−s)
)
1


t

−

−

m(t

s)

e

∫

f
(s)
ds
1 − e−m

u 1
f
(1
−m
e (s)
t
ds
−
=1−m
∫
(t+1 +
e

∫0
1

∫

0

e

−χ(0,t)f
m
(
t
−
s
)

0
−s)

(s)ds

0

u 1 G(t, s)f (s)ds
(
)
=0
tron
g đó

e

−m(t−s)

G −m(t+1−s) + e
< s < t < 1
t,
s 1−e−m
= e0−m(t+1−s)
< t < s, < 1.

, vói 0

vói

1−e−m

Khi m = 0, đieu ki¾n 1 f0.(s)ds =
đe phương trình có
0
nghi¾m là
1
Xu(1)Σ.
=
∈
CĐ¾t
([0,
1]).u,
u(0)

=
Xét
tốn
tu
Bài
tốn
đưa
ra
trong
Ví
du
1.1
có
cách
khác
nhưnhìn
sau:
L : X → C([0, 1])

∫


xác đ%nh boi Lu(t) = uJ (t) + mu(t), t ∈ [0, 1].
Khi đó, phương trình (1.1) tương đương vói Lu = f . Neu u là nghi¾m duy
∫1 G(t, s)f (s)ds. Sn ton tai duy nhat nghi¾m cna
−1
nhat thì u = L f
0
=
phương trình (1.1) tương đương vói tính kha ngh%ch cna tốn tu L.

M®t câu hoi tn nhiên đ¾t ra là: hàm G(t, s) có nhung tính chat gì, sn
ton tai và tính duy nhat cna hàm này ra sao. Hơn nua, trong trưịng hop
tőng qt thì cơng thúc cna G(t, s) như the nào. Dưói đây ta tra lịi câu
hoi trên cho trưịng hop đ¾c bi¾t, hàm Green cho phương trình vi phân
cap hai.
Xét bài tốn giá tr% ban đau
L[y] = f (x), y(x0) = α, y J (x0) = β
Vói L là tốn tu vi phân

d 2y

(1.2)

dy

L[y] =
+ a1(x) + a0(x)y.
dx2
dx
Neu a1 và a0 là các hàm liên tuc thì (1.2) ton tai nghi¾m duy nhat.
Xét bài toán bài toán giá tr% biên tőng quát

(1.3)

L[y] = f (x), Ba(y) = 0, Bb(y) = 0,

(1.4)

Ba (y) = α1y(a) + β1 y J (a) và Bb (y) = α2 y(b) + β2y J (b).

(1.5)

trong
đó

J
J
Neu
cki¾n
HQN
β1 b.
=qt
β2 =cáp
0 đ¾t
vàαα
α
1vàthì
y là=y ytri¾t
1==
tiêu
tai
a tőng
và
Neu
HQN
β1đieu
=tói
βki¾n
= y1đoi
thìvói

(b) =
1tai
2 2==
2 ca
0. Các
đieu
aαvà
b 0liên
quan
và
yyJ .(a)
Khơng giong như bài toán giá tr% ban đau, các bài toán giá tr% biên có
the khơng ton tai nghi¾m, chang han xét phương trình

y JJ + y = f (x), y(0) = y(π) = 0.

(1.6)


Nhân phương trình vói sin x và lay tích phân, ta có
∫ π f (x) sin
∫ π (x) sin xdx ∫ π
xdx =
J
y(x) sin xdx
Jy
+
0

0

∫π

0

= y J (x) sin x |π
−

∫π
y(x) sin xdx

y J (x) cos xdx
+
0

π

0

π

= −y(x) cos x | ∫ y(x) sin xdx ∫ y(x) sin xdx (1.7)
+
0
π
−
0
0

= 0.

(1.8)

Do đó, đieu ki¾n can đe (1.6) có nghi¾m là
f (x) sin xdx = 0.
∫

(1.9)

π

Đieu ki¾n này khơng đưoc thoa mãn vói MQI f (x) (ví du: f (x) = x).
Bây giị, chúng ta se giai thích làm the nào đe tìm nghi¾m cna bài tốn
giá tr% ban đau khi chúng ton tai. Công cu chn yeu cna chúng ta l hm
Green.
Mđt hm Green oc xõy dnng trờn hai nghiắm đc lắp y1, y2 cna phng
trỡnh thuan nhat
L[y] = 0.
(1.10)
Chớnh xác hơn, y1 là nghi¾m duy nhat cna bài tốn giá tr% ban đau
L[y] = 0, y(a) = β1, y J (a) = −α1

(1.11)

và y2 là nghi¾m duy nhat cna bài toán
L[y] = 0, y(b) = β2, , y J (b) = −α2 .
Do đó các nghi¾m này thoa mãn

(1.12)

Ba[y1] = 0 và Bb[y2] = 0.
Bo đe 1.1. Hàm u thóa mãn

(1.13)


L[u] = 0 và Ba[u] = 0
khi và chs khi u = λy1, λ ∈ R.

(1.14)


Chúng minh.
Gia su u = λy1, λ ∈ R, ta có
L[u] = L[λy1] = λL[y1] = 0
Ba[u] = Ba[λy1] = λBa[y1] = 0
Do đó u = λy1, λ ∈ R thoa mãn L[u] = 0 và Ba[u] = 0.
Ta Gia
có su u thoa mãn (1.14), ta chúng minh u = λy1 vói λ ∈ R.
Ba[u] = 0
α1u(a) + β1uJ (a) = 0
− y1J (a)u(a) + y1 (a)uJ (a) = 0
W (y1, u)(a) = 0

(1.15)

vói W (y1, u) là đ%nh thúc Wronskian cna y1 và u. Do đó u là b®i cna y1
hay
u = λy1, λ ∈ R.
Tương tn có the chúng minh moi nghi¾m u cna phương trình

L[u] = 0, Bb(u) = 0 phai l bđi cna y2.
Hắ qua 1.1. Cỏc nghiắm y1 v y2 l đc lắp tuyen tớnh khi v chs khi
Ba(y2) = 0.
Viắc
xõy ta
dnng
ũiriờng
hoi ycna
y2 đc lắp
tuyen tớnh. Tiep
1 v phng
theo,
chỳng
canhm
mđtGreen
nghiắm
trỡnh
L[u] = f.
(1.16)
Su dung phng phỏp bien thiên hang so, ta tìm nghi¾m riêng yp dưói dang
yp(x) = c1(x)y1(x) + c2(x)y2(x).
Ta có
ypJ (x) =

+

c1(x)y1J

c2(x)y2J

+ cJ1(x)y1 + cJ2 (x)y2,

cHQN c1 (x), c2 (x) sao cho cJ1 (x)y1 + cJ2(x)y2 = 0, khi đó

(1.17)


ypJ (x) = c1(x)y1J + c2(x)y2J


và
ypJJ (x) = c1(x)y1JJ + c2 (x)y2JJ +

cJ1 (x)y1J

+ cJ2(x)y2J .
Th v vào phương trình (1.16)
ay à ta có
yp , y
ypJ p
JJ

c1 (x)(y1JJ + a1 y1J +

=f
(x)

a0y1) + c2 (x)(y2JJ +
a 1 y 2J + a 0 y 2 ) +
cJ1(x)y1J + cJ2 (x)y2J

⇔ cJ1(x)y1J +

= f (x)

cJ2
(x
)y
2

J

(do y1, y2 tương úng là
nghi¾m cna (1.11) và (1.12)).
V¾y đe yp(x) = c1(x)y1(x) +
c2(x)y2(x) là nghi¾m cna
(1.16) thì c1(x) và
c2(x) phai thoa mãn h¾
phương trình


.
cJ1(x)y1 + cJ2 (x)y2 = 0
cJ1(x)y J1 + cJ2(x)y J2 =
f (x).



x

s)f (s)

Vỡ
lắphắ
tuyen
nờn W (yduy
1, y0.
2 đc
1,
y2)y=
Tự ú
trờntớnh
cú nghiắm
nhat

cJ (x) =
yp(x) =
−
=

.0 y2
..
.
y J (x)
y2f(x)f

.= −
,
1 2
.
ds.y1(x) +

W ,
)(s)
(y y
.
1
W.(y1, y2)(x)
2

a

y1(
a

Do đó
ta có nghi¾m riêng
1 ∫
2 x
y2(s)f
ds.y
2(x)(s)
W ,
∫
x
)(s)
(y y
∫
x (s)
y1(s)f
ds.
(1.20)

(y
s)
1)(
y
(x
2
−
y
(x
1
)y
(
s)
2
)f
(s
)

y

W

a

1

(y1, y2)(s)

y
.y1J

.
2

c (x) =
J

2

. f. =
y .
y1(x)f
J
y(x)
1
J

2

.y1 0
. .
(1.18)

.
.
W (y.1, y2)(x)

y
1

y
T
ù
đ
ó

2

J

c1(x) =

a

.y1
∫ds,
x và c2(x) =
W2. 1, 2
y2(s)f (s)
)(s)
(y y

a

W
(y

1, 2)(s)
y

ds.

(1.19)


Đao hàm yp(x) ta có
yp(x)
=
(x)

∫

y1 (x)f
W 1, 2
(y y

J

x

y1(s)f (s)

J

.y2(x) + a W 1, 2
ds.y2(x)
)(x)
)(s)
∫ x (y y
− y2 (x)f (x)

y (s)f (s)
ds.y1J (x)
W 1, 2
.y1(x) − a W 2 1, 2
∫ x y )(x)J
y )(s)
(yf (s)ds.
y1 (s)y2 (x) − y1J
=

(1.21)

(x)y2(s)

Suy ra

W (y1, y2)(s)

a

yp (a) = ypJ (a) = 0 và Ba (yp ) = α1yp(a) + β1ypJ (a) = 0.
M¾t khác

(1.22)

Bb [yp] = α2 yp (b) + β2ypJ (b)
∫

f
y1(s)y2(b) − y1(b)y2(s)

(s)ds
,
W
1 2
a
(y y )(s)
∫ b
y1 (s)y2J (b) − y1J (b)y2f(s)ds
(s)
W 1, 2
a
∫ b
(y y )(s)
y1(s)(α2y2(b) + β2y2J (b)) − y2(s)(α2y1(b) +

=
α2
+
β2
=

b

f (s)ds

β2y1J (b))
a

∫
=

b

y1(s)Bb[y2] −

W (y1, y2)(s)
f (s)ds

y2(s)Bb[y1]
a

W (y1, y2)(s)

ds ƒ= 0.
(1.23)
∫ bW ,
1 2(s)
a
)(s)
y2(s)f
(y y
Như v¾y nghi¾m riêng yp thoa mãn đieu ki¾n biên tai a nhưng khơng thoa
=


mãn đieu ki¾n biên tai b. Đe đieu ki¾n biên tai b đưoc thoa mãn, chúng ta tro
lai nghi¾m tőng qt cna phương trình
L[y] = f (x).
Nghi¾m này có dang

y(x) = Ay1(x) + By2(x) + yp(x).

(1.24)


Chúng ta can xác đ%nh các h¾ so A, B đe các đieu ki¾n biên đưoc thoa mãn.
0, ta có:
Tù Ba[y1] = Ba[yp] = 0, và
Ba[y2]

Ba[y] = 0
=
0.
B
++
By=2 a0
+
AB
[y2y]p]+=B0a[yp] =
a[y1
1
0a[Ay
B.B
[y
a]
2] BB

(1.25)

Tương tn, tù Bb[y2] = 0, Bb[y1] ƒ= 0 và Bb[yp] ƒ= 0 ta có

ds.
(1.26)
Bb[y] = 0 ⇒ A ∫
b
)(s)
1, 2(s)
a W
=
y2(s)f
(y y
Thay A, B vào (1.24) và su dung bieu thúc (1.20) cho yp, ta có nghi¾m
ds ∫
∫b
x
y1(x)y2(s)f +
(y1(s)y2(x) − y1(x)y2(s))f (s)
y(x)
=
(s)
W (y1, y2)(s)

a

∫
=

x

W (y1, y2)(s)
ds.

∫b
y1(x)y2(s)f
a

ds
y1(s)y2(x)f +

(s)

d
s(1.27)

(s)

W (y1, y2)(s)
W (y1, y2)(s)
x
Đe viet nghi¾m này dưói dang thu¾n ti¾n hơn, ta xác đ%nh hàm Green
 y1(s)y2(x)
, neu a ≤ s ≤ x ≤ b
(1.28)
W (y1,y2)(s)

G(x, s) 
=
(x)y
Wy1(y
1,y 2)(s)



, neu a ≤ x ≤ s ≤ b.
(s)2
a

Khi đó (1.27) tro thành
y(x)
=

∫b
G(x, s)f (s)ds.

(1.29)

a

Như v¾y đe xác đ%nh hàm Green, chúng ta chi can xác đ%nh h¾ nghi¾m
cơ ban cna phương trình thuan nhat. Do đó đe giai bài tốn giá tr% biên
(1.4) nhanh nhat, ta thnc hi¾n theo 4 bưóc sau:


1. Tỡm mđt hắ nghiắm c ban u1, u2 cna L[y] = 0.
2.mãn
Ket hop
, u2]2 =
đe0.
tìm các nghi¾m y1, y2 cna L[y] = 0 thoa
Ba[y1tuyen
] = 0tính
và Bub1[y

Xỏc %nh

3.

hm Green

G theo

(1.28). 4.Tỡm nghiắm theo (1.29).
Ta xột mđt so ví du minh

HQA.

Ví dn 1.2. Tìm hàm Green cua bài toán giá tr% biên
y JJ (x) = f (x), y(0) = 0, y(1) = 0.

(1.30)

2

Giai
yx=(x)
=
ki¾n
biên
như
trên.
nhat
y0JJ y=

0Bx1có
các
nghi¾m
cơ
banđó
u1W
(x)
= 1
và =
u2Phương
(x)
=
ythuan
=
và
=vói
1 các
−
x đieu
đe 0.
thoa
mãn
các
biên
Btrình
[y]
2 (x)
0Lay
=1(x)
y(0)

và
[y]
=
y(1)
=
Do
(y
−1
và x.
ta
có
1 , yđieu
2 )(x)ki¾n
s(x − 1), neu 0 ≤ s ≤ x
(1.31)
G(x, s) = x(s − 1), neu x ≤ s ≤ 1.
JJ

Như v¾y giai (1.30) vói

.
∫x

y(x) = (x −
1).

sf
x. (s)ds + ∫ 1
(s − 1)f (s)ds.
x

(1.32)

0

Thay f (s) = s2, ta có
y(x) =

1
12

(x4 − x).

(1.33)

Ví dn 1.3. Tìm hàm Green cua bài tốn giá tr% biên
y JJ (x) + y(x) = f (x), y(0) = 0, y J (1) = 0.
Phương trình y JJ + y = 0 có h¾ nghi¾m cơ ban
u1(x) = sin x và u2(x) = cos x.
Đe thoa mãn B0[y] = y(0) = 0 ta lay y1(x) = sin
x.
Đe B
y J (1)tra=W
0 (y
đưoc
lay1yvà
= đưoc
cos(x −
1 [y]
2 (x)

1).
Sau
đó=kiem
)(x) mãn
= − ta
cos
tìm
1 , y2thoa
cos(x−1)
G(x, s) =
sins.cos
−
, neu 0 ≤ s
1


≤x

(1.34)


(1.35)



−

sinx.cos(s−1)

, neu x ≤ s ≤ 1.

Ví dn 1.4. Xét hàm Green tìm đưac trong Ví dn 1.2.
1. Chúng minh G đoi xúng theo nghĩa G(x, s) = G(s, x).
2. Chúng minh rang

∂2G
Ta có

(x, s) = δ(x − s).
∂s2
.
x(s − 1), neu 0 ≤ x ≤ s
G(s, x) = s(x − 1), neu s ≤ x ≤ 1
= G(x, s).

Do đó G đoi xúng theo nghĩa G(x, s) = G(s, x).
Đao hàm (1.31) ta đưoc
.
∂Gs ≤ x
≤
x − 1, neu 0
(x, s) =
x,
neu x ≤ s ≤ 1.
∂s

(1.36)

(1.37)

(1.38)

Ta có the bieu dien theo hàm bưóc đơn v% Heaviside như sau
∂G
(x, s) = x − 1 + ux(s).
(1.39)
Do hàm Delta Dirac đưoc∂sđ%nh nghĩa là đao hàm cna hàm Heaviside nên
∂2G

1.2

∂s2

(x, s) = δ(x − s).

Đ%nh nghĩa hàm Green

Xét các phương trình :
Ly(t) = 0, (t ∈ I), Ui(y) = 0, (i = 1, .., m)
Ly(t) = σ(t), (t ∈ I), Ui(y) = 0, (i = 1, .., m)
Ly(t) = σ(t), (t ∈ I), Ui(y) = γi, (i = 1, .., m)
trong đó
Ly(t) = a0(t)y(n)(t) + a1(t)y(n−1)(t) + ... + an(t)y(t), t ∈ I
Ui(y)
=

i (j)
i (j)
Σn α y (a) + β y

−1 .(b)
j
j

Σ,

i = 1, ..., m, m ≤ n

(H)
(SH)
(NH)


j=0