Hàm riêng của toán tử sturm liouville trên khoảng hữu hạn và trên khoảng vô hạn

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN
——————-

Nguyen Viet Đai

HÀM RIÊNG CÚA TOÁN TÚ
STURM-LIOUVILLE TRÊN KHOÁNG HUU
HAN V TRấN KHONG Vễ HAN

LUắN VN THAC S

H Nđi - 2019



ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN
——————-

Nguyen Viet Đai

HÀM RIÊNG CÚA TOÁN TÚ
STURM-LIOUVILLE TRÊN KHOÁNG HUU HAN
VÀ TRÊN KHỐNG VƠ HAN

Chun ngành: Tốn giãi tích
Mã so: 8460101.02

LUắN VN THAC S KHOA HOC

Cỏn bđ hỏng dan: TS. ắng Anh Tuan

H Nđi - 2019



2

LèI CÁM ƠN
Trưác khi trình bày n®i dung chính cua khóa lu¾n, em xin bày tõ lịng
biet ơn tái thay Đ¾ng Anh Tuan . Thay đã t¾n tình hưáng dan đe em có the
hồn thành lu¾n văn này. Thay khơng chi hưáng dan em ve m¾t
chun mơn tốn, thay cịn day em nhieu đieu trong cu®c song. Nhung lài
day bão cua thay giúp em nhìn đúng ve MQI chuy¾n, giúp em vưat quá
nhung khúc mac, nhung yeu đuoi ve m¾t tâm lý mà tưãng chùng như
không the vưat qua đưac. Em cũng xin lői thay vì nhieu khi yeu đuoi
muon bõ cu®c, em đã ngat MQI liên lac vái thay, neu thay không bao dung
và van luôn quan tâm đen em thì em đã khơng the tiep tnc đưac.
Em cũng xin bày tõ lịng biet ơn chân thành tái tồn the các thay cơ giáo
trong khoa Tốn - Cơ - Tin HQC, Đai HQC Khoa HQC Tn Nhiên, Đai HQC Quoc
Gia H Nđi ó day bóo em tắn tỡnh trong suot q trình HQC t¾p tai khoa.
Nhân d%p này em cũng xin cám ơn tái ơng n®i , ơng bà ngoai, bo me và
c¾u ma cua em nhung ngưài đã luôn thương yêu , quan tâm và che chã cho
em. Ngoài ra em cũng xin cãm ơn trung tâm anh ngu ViViAn đã t¾n tình
chi day cho em đe thi đưac bang tieng anh B1. Em xin cãm ơn anh Đő Duy
Hieu đã nh¾n em vào làm ã trung tâm cua anh đe có tien trang trãi cu®c
song trong suot thài gian ã Hà N®i, em xin lői vì đã bõ đi mà khơng nói lài
nào. Em xin cãm ơn Vi¾n Tốn đã kí hap đong vái em trong 3 tháng, neu
khơng có bãn hap đong đó làm đ®ng lnc đe quay lai thì em se khơng the
nào vưat qua đưac tieng anh B1. Cuoi cùng em xin cãm ơn ban Tô Th% Vân

Anh và ban Nguyen Đúc Ngà, ban Vân Anh đã liên lac GQI em lai HQC tieng
anh chuyên ngành, còn ban Ngà đã hưáng dan em các bỏc lm thu tnc
bóo vắ.
H Nđi, ngy 8 thỏng 12 năm 2018
HQC VIÊN

Nguyen Viet Đai


3

LèI Mé ĐAU
Tù đai so tuyen tính huu han chieu, cho bat k mđt ma trắn oi xỳng
ta eu tỡm thay m®t cơ sã trnc chuan cua khơng gian gom tồn các vectơ
riêng cua ma tr¾n. Khi đó ta có khai trien duy nhat
v=

n

∑ ( v,

vk) vk

k=1

vái vk là vectơ riêng đưac chuan hóa cua ma tr¾n A. Ngồi ra ta có đang
n
|(v, vk)|2. Tù lý thuyet ve chuői Fourier bat kì
thúc Pythagoras |v|2 = ∑k=
m®t hàm f tuan hồn chu kì 2π và khã vi liên tnc trên R đeu có khai trien

+∞

∑

f (x) = k=− ( f , vk)vk(x)

√

∞

trong đó vk(x) = eikx / 2π là hàm riêng đưac chuan hóa úng vái giá tr%
riêng k2 cua tốn tu vi phân
d2
−
. Ngồi ra ta có đang thúc Parseval
thưàng
dx2 xuat hi¾n khi ta giãi các phương trình
|| f ||2 = ∑+∞ |( f , vk)|2. Chuői Fourier
2

−∞

truyen nhi¾t, dao đ®ng sai dây, dao đ®ng màng mõng,... bang phương
pháp tách bien. Sn tương tn giua các van đe cua đai so tuyen tính và lý
thuyet các phương trình đã đưac các nhà toán HQC thay tù rat lâu trưác.
Tuy nhiên D.Hilbert là ngưài đau tiên h¾ thong lai nhung tương tn này
trong vi¾c làm ve lý thuyet các phương trình tớch phõn, xem [5]. Mđt
trong cỏc ket quó
cua viắc lm này làm nãy sinh ra không gian Hilbert l2 và sau đó là khơng
gian Hilbert tőng qt. Xây dnng tốn HQC CHO không gian l2 và không gian

Hilbert trùu tưang dan đưàng cho sn phát trien manh me ve lý thuyet phő
cua các tốn tu tn liên hap trong khơng gian Hilbert. Lý thuyet phő trùu
tưang này ve cơ bãn l hon thiắn, %nh lý c só cua ton bđ lý thuyet là
đ%nh lý khai trien phő. M®t tốn tu tn liên hap trong không gian Hilbert se
đưac khai trien thơng qua các phép chieu phő Eλ (cịn GQI là HQ phő ho¾c
giãi thúc đơn v%). Tuy nhiên trong trưàng hap tốn tu cn the thơng tin ve
ti¾m c¾n giá tr% riêng, hàm riêng và HQ phő là rat ít.
Trong lu¾n văn này em ĐQC hieu và trình bày chi tiet lai các ket quã ve
khai trien hàm riêng cua tốn tu Sturm-Liouville cho hai trưàng hap là
khỗng huu han v nua ng thang. Nđi dung cua luắn vn gom 3
chương
1.Chương 1: các kien thúc chuan b%


4
2.Chương 2: khai trien trên khoãng huu han
3.Chương 3: khai trien trên nua đưàng thang.
N®i dung chương 2 trình bày cơng thúc ti¾m c¾n ve giá tr% riêng và hàm
riêng cua tốn tu Sturm-Liouville, chúng minh sn ton tai m®t dãy đem
đưac các giá tr% riêng bang các cách khác nhau: su dnng đ%nh lý Rouche,
lý thuyet dao đ®ng Sturm, phương pháp phương trình tích phân. Ngồi ra
trong chương 2 có các cách chúng minh khác nhau cho đ%nh lý khai trien
hàm riêng : phương pháp phương trình tích phân, phương pháp th¾ng dư
Cauchy. e cuoi chương chi ra đ%nh lý căn bãn , h®i tn điem cua khai trien
hàm riêng Sturm-Liouville là giong như h®i tn điem cua chuői Fourier
thơng thưàng.
N®i dung chương 3, xây dnng hàm phő ρ(λ) (cịn GQI là đ® đo phő) tù đó
đ%nh nghĩa bien đői Fourier tőng quát và thu đưac đang thúc Parseval và
đ%nh lý khai trien ã dang tương tn chương 2. Đong thài chương 3
trình bày phân loai giái han điem, giái han trịn cua tốn tu SturmLiouville tuy nhiên em chưa tìm hieu ve xuat phát điem v¾t lý cua khái

ni¾m này. Ngồi ra chương 3 trình bày bieu dien tích phân cua giãi thúc,
chi rõ HQ phő Eλ
cua tốn tu Sturm-Liouville . e cuoi chương chi ra ánh xa f (x) ›→ F(λ)
đ¾t tương úng hàm f (x) ∈ L2(0, ∞) vái bien đői Fourier tőng quát cua nó
2
F(λ) ∈ Lρ(λ
(−∞, +∞) là ánh xa Unitary ( song ánh bão toàn chuan).
Các ket quã mnc 2.2 tham khão trong [7] và [9], mnc 2.3 tham khão [4] và
[11], mnc 2.4 và 2.5 tham khão [4] và [9], mnc 2.6 tham khão [8] và
[9], chương 3 tham khão [9], HQ phő Eλ trình bày trùu tưang có the tìm
ĐQC trong [6] hoắc phn lnc [9].

H Nđi, ngy 8 thỏng 12 năm 2018
HQC VIÊN

Nguyen Viet Đai


Mnc lnc
Lài má đau

3

1 Kien thúc chuan b%

6

1.1

Tính trù m¾t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.6

1.2 M®t so đ%nh lý cua phương trình vi phân thưàng . . . . . . .7
.
1.3 M®t so đ%nh lý cua giãi tích phúc . . . . . . . . . . . . . . . .
.8
1.4

M®t so ket quã ve tích phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Khai trien trên khoáng huu han
2.1

.8
11

Giái thiắu v mđt so tớnh chat . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.11

2.2 Cơng thúc ti¾m c¾n cho các giá tr% riêng và hàm riêng . . . .

.14

2.3 Phân bo không điem cua các hàm riêng . . . . . . . . . . . .

.24

2.4 Hàm Green, toán tu compact đoi xúng . . . . . . . . . . . . .

.30

2.5 Đ%nh lý khai trien và đang thúc Parseval . . . . . . . . . . . .

.37

2.6 Chúng minh đ%nh lý khai trien bang tích phân Cauchy . . . .41
2.7 H®i tn điem cua khai trien hàm riêng . . . . . . . . . . . . . .
3 Khai trien trên núa đưàng thang

57

3.1 Đang thúc Parseval vái nua đưàng thang . . . . . . . . . . .
3.2 Giái han điem, giái han tròn

.52

.57

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .65

3.3 Bieu dien tích phân cua giãi thúc . . . . . . . . . . . . . . . .

.73

3.4

.79

Tính trnc giao cua khai trien . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Tài li¾u tham kháo

93


Chương 1
Kien thúc chuan b%
1.1

Tính trù m¾t

Ký hi¾u
C[a,
gianphãi
cáctai
hàm
giáliên
tr%tnc
phúc,
liênb.tnc
trên
khỗng
mã huu
hanb(]a,làb)khơng
, liên tnc
a và
trái tai
Khơng

gian C[a, b] có tích vơ hưáng cho bãi:

( f , g) = ∫ b f (x )g ∗(x )dx,f , g ∈ C[a, b],
a

ãđ%nh
đó g∗
(x) là liên hap phúc cua g(x). Cho D(L) là t¾p con cua C[a, b] xác
bãi
D(L) = {y(x) ∈ C2[a, b] : BCa(y) = BCb(y) = 0},
BCa (y) = y( a)cos(α) + yJ ( a)sin(α) = 0,
BCb (y) = y(b)cos( β) + yJ (b)sin( β) = 0

(α, β ∈ R),

trong
đó C(2a,
[a,b)b, ]khã
là khơng
giá tr%
vi liên
hai trong
vi liêngian
tnc các
cap hàm
hai bên
phãiphúc,
tai akhã
và bên
tráitnc

taicap
b.
Khi đó ta có khang đ%nh sau:
Bo
D(L) là trù m¾t trong khơng gian C[a, b] vái chuan cãm
sinhđe
tn 1.1.1.
tích vơ([2])
hưáng.


1.2. M®t so đ%nh lý cua phương trình vi phân thưàng

1.2

7

M®t so đ%nh lý cúa phương trình vi phân
thưàng

Bo đe 1.2.1 (Cơng thúc Liouville). ([4]) Xét phương trình
yJJ ( x ) + p( x )yJ ( x ) + q( x )y( x ) = 0,
vái p(x), q(x) ∈ C[a, b]. Giã su y1(x) và y2(x) là hai nghi¾m cua phương
trình.
Khi đó đ%nh thnc W {y1 , y2 }( x ) = y1 ( x )yJ ( x ) − yJ ( x )y2 ( x ) Wronskian cua
2

1

y1(x) và y2(x) đưac cho bãi công thnc Liouville:

W {y1 , y2 }( x ) = c.exp .∫x p(t)dtΣ ∀ x ∈ [ a, b],

(1.2.1)

a

vái c là hang so.
Bo
1.2.2âm,
(Batliên
đang
vi phân).
([4])
Cho
η(.) là m®t
hàmđekhơng
tncthúc
trênGronwall-dang
[0, T] thõa mãn
bat đang
thnc
vi phân
η j (t) ≤ φ(t)η (t) + ψ(t), ∀t ∈ [0, T ],
trong đó φ(t), ψ(t) là các hàm không âm và liên tnc trên [0, T]. Khi đó:
η(t) ≤ e∫ t φ(r)dr
[η(0) + ∫ 0t ψ(s)ds], ∀t ∈ [0, T].
0
Bo
đe khơng
1.2.3 (bat

thúc
Gronwall-dang
tíchmãn
phân).
ξ(thnc
t) làtích
m®t
hàm
âm, đang
liên tnc
trên
[0, T] và thõa
theo([4])
t batCho
đang
phân:
1

ξ(t) ≤ C ∫ t 0ξ(s)ds + C ,
vái các hang so C1, C2 ≥ 0. Khi đó:
ξ(t) ≤ C2(1 + C1teC1 t), 0 ≤ t ≤ T.
Đ%nh
1.2.1
ton αtai∈duy
([9])
). Neu q(x) là m®t hàm
liên tnc lý
trên
[a,(đ%nh
b], váilýmői

R, nhat
λ ∈nghi¾m
C bài tốn
Cauchy:
(1.2.2)

yJJ ( x ) + (λ − q( x ))y( x ) = 0,
ϕ(x0, λ) = sin(α), ϕ x( x0, λ) = −cos(α),

(x0 ∈ [a,

b] co đ%nh )
cú
nhathm
(x,
), xcua
[,a,tnc
b]l
. Vỏi
x co
%nh
[a,
b] mđt
hm nghiắm
(x, ) duy
l mđt
nguyờn
hmmi
chinh
hỡnh

trờn thuđc
ton mắt
phang phnc C.


1.3. M®t so đ%nh lý cua giãi tích phnc

1.3

8

M®t so đ%nh lý cúa giái tích phúc

ftiêu
(z)Đ%nh
thu®c lý
H(Ω
) là m®t
hàm lý
chinh
trongcua
mienhàm
Ω chinh
C. Neuhỡnh).
f (z) triắt
1.3.1
(%nh
duyhỡnhnhat
([3])
Cho f

( z)
ong
nhat
bang
0
trong
. trờn mđt dóy cua các điem khác nhau mà dãy này có m®t điem giỏi han trong
thỡ
Hắ quỏ 1.3.2. Mđt hm nguyờn (hm chinh hình trên C) khơng đong nhat bang 0
chi có nhieu nhat đem đưac không điem.
Bo
đe không
1.3.1. điem
([3]) cap
Giãm
sucua
hàmf phnc
f (zú
) lf Jhm
iem
z0
l mđt
(z). Khi
/ f chinh
l hmhỡnh
phõntaihỡnh
taizz0 ,0 ,vỏi
nhắn
z0 làm cnc điem đơn và th¾ng dư cua f J / f tai điem z0 là Res ( f J / f , z0 ) =
m.

Hắ
Argument).
([3])
Cho
f (zn,
) thuđc
() khỳc,
l hm
chinh
hỡnh quá
trong1.3.3
mien(Nguyên
Ω ⊂ C.lýCho
γ là đưàng
cong
đóng,
trơnHtnng
đ%nh
hưáng dương sao cho phan trong cua nó nam hồn tồn trong Ω. Giã su f khơng
có khơng điem nam trên γ, khi đó so khơng điem cua f (tính cã b®i) bên trong γ
cho bãi
∫ f J (z )
1
dz.
2π
γ f ( z)
i
Đ%nh lý 1.3.4 (đ%nh lý Rouche). ([3]) Cho f , g ∈ H(Ω) và γ là m®t đưàng cong
đóng, đơn, trơn tnng khúc, đ%nh hưáng dương sao cho phan trong cua nó nam trong
Ω. Giã su rang

| f (z) − g(z)| < | f (z)| vái MQI z ∈ γ.
Khi đó f và g có cùng so khơng điem tính cã b®i bên trong γ.

1.4

M®t so ket q ve tích phân.

Bo đe 1.4.1. ([1]) Neu f (x) ∈ C[a, b], g(x) đơn đi¾u trên [a, b] Khi đó ton tai
ξ ∈ [a, b] sao cho
ξ(b) ∫ b f ( x )dx. (1.4.1)
∫ ba f ( x ) g ( x ) dx = g(aa) ∫ ξ f ( x)dx + g

H¾ quá 1.4.1 (đ%nh lý giá tr% trung bình dang Bonnet). ([1]) Cho

f (x) thu®c C[a, b].


1.4. M®t so ket q ve tích phân.

9

1.Neu g(x) ≥ 0 và g(x) đơn đi¾u tăng trên [a, b] thì ton tai ξ

[a, b] sao cho

∫ab

∫b
f (x)g(x)dx = g(bξ)

f (x)dx.
2.Neu g(x) ≤ 0 và g(x) đơn đi¾u tăng trên [a, b] thì ton tai ξ [a, b] sao cho
∫ab
∫ξ
f (x) g( x)dx = g(aa)
f (x)dx.
3.Neu g(x) ≤ 0 và g(x) đơn đi¾u giãm trên [a, b] thì ton tai ξ [a, b] sao cho
∫ab
∫b
f (x)g(x)dx = g(bξ)
f (x)dx.
4.Neu g(x) ≥ 0 và g(x) đơn đi¾u giãm trên [a, b] thì ton tai ξ [a, b] sao cho
∫ab
∫ξ
f (x) g( x)dx = g(aa)
f (x)dx.
Bo đe 1.4.2. ([12]) Giã su f ∈ L(R ). Khi đó vái MQI G > 0 ton tai δ > 0 sao cho
∫ | f | ≤ G neu m( E) ≤ δ.
E

1 ( λ ), σ2 ( λ ), · · · là m®t dãy vơ han cua các hàm đơn đi¾u khơng
giãmCho
Sauσđây
là các đ%nh lý lna CHQN Helly, chúng đưac dùng trong chương
3. xác đ%nh trên khỗng đóng huu han [ a, b]. Giã su rang, tat cã chúng
đeu liên tnc trái, túc là σn (λ − 0) = σn (λ).

đơn
không
σ

n (λ ) là b% chắn eu thỡ ta cú the tỡm mđt hm n iắu

(hm
)iắu
%nh
lý gióm
1.4.2
(%nh
Helly
(phnm
lnc[9])
dóy
v mđt
dóy con
nk (lý)lna
hđiCHQN
tn iem
tỏi thỳ
()nhat).
ó MQI iem
() Neu
liờn
tnc.
%nh
lý 1.4.3
lý lna
Helly
thú
phn
[9])suCho

[ a,
là
m®t khỗng
hđu(đ%nh
han và
f làCHQN
m®t hàm
liên
tnchai).
trên [(a,
b]lnc
. Giã
σn ( λ
) làb]dãy
hàm đơn đi¾u khơng giãm xác đ%nh trên [ a, b] hđi tn tỏi mđt hm n iắu khụng
gióm σ(λ), xác đ%nh trên [ a, b], tai tat cã nhñng điem liên tnc cua σ (λ). Neu,
giã thiet thêm
lim σn(a) = σ(a), lim σn(b) = σ(b)
thì

n→∞

n→
lim ∫ab
∞

n→∞

f

n

(λ) = ∫ab f (λ)dσ(λ).

(λ)dσ
Đ%nh lý lna CHQN Helly thú hai đưac tőng qt lên khỗng vơ han:
các
đơnlýđi¾u
khơng
giãm
n ( λ ) xác đ%nh trên (− ∞, + ∞ ) h®i tn điem tái
m®thàm
Đ%nh
1.4.4
(đ%nh
lý σlna
CHQN Helly thú ba). ( phn lnc [9]) Giã su
rang dãy hàm đơn đi¾u khơng giãm σ(λ), xác đ%nh trên (−∞, + ∞), ã tat cã
nhñng điem mà


1.4. M®t so ket q ve tích phân.

10

σ (λ) liên tnc và f (λ) là m®t hàm liên tnc trên (−∞, +∞). Neu vái bat kỳ G > 0
cho trưác có m®t so A = A(G) sao cho vái MQI a, b > A, vái MQI n ta có:
G

thì

λ

b

|

∫
−a

f (λ

−∞

)|

(λ)

,

∫ ∞ | f ( )|

dσn ≤
lim ∫ +∞ f ( )
d
n→∞ −∞

(λ ) ≤ G

dσn

( ) = ∫ +∞ f
(

λ σn
λ

−∞

)d ( ) .
λ σ λ


Chng 2
Khai trien trờn khoỏng huu han
2.1

Giỏi thiắu v mđt so tính chat

Tốn tu Sturm-Liouville là m®t tốn tu vi phân thưàng L có dang
d2
−
L=

dx2

+ q(x),

trong đó q(x) là hàm giá tr% thnc liên tnc trên đoan huu han [a, b]. Tốn tu
tuyen tính L tác đ®ng lên khơng gian hàm như sau

L : D(L) ⊂ C[a, b] → C[a, b]
y( x ) ›→ −yJJ ( x ) + q( x )y( x ).
Trong đó mien xác đ%nh cua tốn tu L là D(L) cho bãi:
D(L) = {y(x) ∈ C2[a, b] : BCa(y) = BCb(y) = 0},
BCa (y) = y( a)cos(α) + yJ ( a)sin(α) = 0,
BCb (y) = y(b)cos( β) + yJ (b)sin( β) = 0,
(α, β ∈ R).
Đ%nh
khácthìhàm
khơng
x ) tr%
∈ riêng
D ( L) cua
sao
cho Ly(nghĩa
x ) = 2.1.1.
λy( x )Neu
vái có
λ m®t
∈ C hàm
nào đó
ta nói
λ lày(giá
L và hàm y( x ) đưac GQI là hàm riêng nng vái giá tr% riêng λ. T¾p tat cã các giá
tr% riêng cua L đưac GQI là phő điem cua L kớ hiắu l p ( L). Mđt giỏ tr% riờng λ
đưac GQI là đơn neu hai hàm riêng bat kì tương nng vái nó là phn thu®c tuyen
tính.


2.1. Giỏi thiắu v mđt so tớnh chat

12

Bo
e 2.1.1 (cụng thúc Green). ([9]) Neu f , g ∈ C2[a, b] thì ta có cơng thnc
Green:
∫ b(L f )(x)g∗(x)dx = ∫ b f (x)(Lg)∗(x)dx + W{ f , g∗}(b) − W{ f , g∗}(a).
a

a

(2.1.1)

Chnng minh. Su dnng tích phân tùng phan hai lan ta đưac
∫

b

( L f )( x) g∗( x) dx

a

= ∫ ab(− f JJ ( x ) + q( x ) f ( x )) g∗ ( x )dx
= W { f , g∗ }(b) − W { f , g∗ }( a) a+ ∫ b f ( x )(− gJJ ( x ) + q( x ) g( x ))∗ dx
a

= W{ f , g }(b) − W{ f , g }(a) + ∫ b f (x)(Lg(x))∗dx.
MQI f , g ∈ D ( L) ta có
%nh lý 2.1.1. ([9]) L là toán tu đoi xnng , tnc là D(L) trù m¾t trong C[a,b] và Đ
vái

∗

∗

∗
∗
∫ b(L
a f )(x)g (x)dx = ∫ ab f (x)(Lg) (x)dx.

Chnng minh. Vì f , g ∈ D(L) nên W{f,g*}(a)=W{f,g*}(b)=0. Tù công thúc
Green ta có đieu phãi chúng minh.
tr%
riêngquá
khác
nhau
là trnc
vái riêng
nhau, cua
tnc L
là là
neu
y(x,
) vàriêng
y(x, nng
λ2) vái
là
các H¾
2.1.2.
([9])
Cácgiao

giá tr%
thnc.
Cácλ1hàm
các giá hàm riêng tương nng vái các giá tr% riêng khác nhau λ1 và λ2 thì
∫
b

y(x, 1)y(x,

λ

a

)∗dx = 0.

λ2

Chnng minh. Giã su y(x, λ) là m®t hàm riêng úng vái giá tr% riêng λ. Tù tính
đoi xúng cua L ta có:
∫ b λy( x, λ)y∗ ( x, λ)dx = ∫ b y( x, λ)λ∗ y∗ ( x, λ)dx.
a

∗
Vì
v¾ytùλtính
= λđoi
hay
λ ∈taR.có:
Cũng
xúng

λ ∫ b y(x, )y∗(x,

λ

λ

1
a

1
2

a

)dx = λ∗ ∫ b y( x, )y∗(x,
λ
λ
2
1

a

)dx
2

∫

b

y(x,

1

)y∗(x,

=
λ
a

λ2

λ2

)dx


2.1. Giỏi thiắu v mđt so tớnh chat

13


Vỡ vắy neu λ1 ƒ= λ2 thì ab y( x, λ1 )y( x, λ2 )∗ dx = 0.
Tùyđ%nh
) và
ψ( x, mãn
λ) làcác
haiđieu
nghi¾m
cùngnhư
phương

JJ
trình
( x ) lý
+ 1.2.1
(λ −taqGQI
( x ))ϕy((x,x )λ=
0 thõa
ki¾n cua
Cauchy
sau:
ϕ(0, λ) = sin(α), ϕj (0, λ) = − cos(α);
ψ(π, λ) = sin( β), ψj (π, λ) =
− cos( β).
(2.1.2)
Khi đó ϕ(x, λ) và ψ(x, λ) thõa mãn BC0(ϕ) = BCπ(ψ) = 0. Kí hi¾u
) =λ)ϕ(và
x, ψ
λ()x,
ψj (λx,). λTù
) −cơng
ψ( x,thúc
λ) ϕjcua
( x, Liouville
λ)
(2.1.3)
là Wronskian cuaWϕ(λ
( x,
ta có
Wron- skian cua ϕ( x, λ) và ψ( x, λ) khơng phn thu®c vào x chi phn
thu®c λ. Thay x = 0 và x = π vào phương trình (2.1.3) ta đưac:

W(λ) = −BC0(ψ) = BCπ(ϕ).
(2.1.4)
Vái
x co
đ%nh
(x, λ)đ%nh
và ψsau
(x, đây.
λ) là hàm nguyên theo λ do đó
W(λmői
) cũng
v¾y.
Ta cóϕkhang
∞
Đ%nh lý 2.1.3. ([7]) GQI {λn }n=
là t¾p các khơng điem cua hàm ngun W (λ).

∞
Khi đó t¾p các giá tr% riêng cua tốn tu Sturm-Liouville σp(L) = {λn}n=
. Hơn
nña,
vái
mői
λ
n các hàm ϕ(x, λn) và ψ(x, λn) là các hàm riêng nng vái giá tr%
riêng λn và có m®t dãy βn ƒ= 0 sao cho
ψ( x,khơng
λn ) = điem
β n ϕ( x,
λ nW

). (λ). Khi đó tù (2.1.2)
(2.1.5)
Chnng minh. Cho λ0 là m®t
cua
và (2.1.4), ton tai β 0 ƒ= 0 sao cho ψ( x, λ0 ) = β0 ϕ( x, λ0 ) vái MQI
x ∈ [ a, b]. Do đó các hàm ψ( x, λ0 ) và ϕ( x, λ0 ) là các hàm riêng úng vái
giá tr% riêng λ0 . hàm riêng tương úng vái λ0 . Khi đó BCa (y0 ) = BCb (y0 ) =
0.
Ngưac lai, cho λ0 là m®t giá tr% riêng cua tốn tu SturmLiouville,
0 là m®t
Xét trưàngyhap
sin(α) và cos(α) đeu khác 0. Ta có y (0) ƒ= 0, ngưac lai
0

y0 (0)su
= y0(0
thì
yJ (sin
0) ( =
theo
ton−tai
duy
đong
nhat
) 0=
α),0khi
đóđ%nh
yJ (0lý
) =
cos

(α)nhat
. Theonghi¾m
đ%nh lýy0ton
tai
0
duy nhat bang 0, mâu thuan vái y0 là hàm riêng. Do nhân vái hang so neu
can ta giã nghi¾m ta đưac y0 ( x ) = ϕ( x, λ0 ). Do đó
0

W(λ0) = BCb(ϕ(x, λ0)) = BCb(y0(x)) = 0.
Vái các đieu ki¾n biên khác l¾p lu¾n tương tn.


2.2. Cơng thnc ti¾m c¾n cho các giá tr% riêng và hàm
riêng
Đ%nh lý 2.1.4. ([7]) Ta
đ¾t
α := b ϕ2(x,

λn

14

)dx,

(2.1.6)

∫
n

a

vái λn là m®t giá tr% riêng cua tốn tu Sturm-Liouville. Khi đó vái mői n đang
thnc sau xãy ra
β n α n = −W J ( λ n ),

(2.1.7)

trong đó β n đ%nh nghĩa như trong (2.1.5) và W J (λ) =
d

d

W (λ). Khi đó ta

λ

thay

các khơng điem cua W(λ) là không điem đơn.
Chnng minh. Do

−ψjj ( x, λ) + q( x )ψ( x, λ) = λψ( x, λ), − ϕjj ( x, λn ) + q( x ) ϕ( x, λn ) = λn ϕ( x,

λ n ),
nên ta có:
dd
x W{ψ(x, λ), ϕ(x, λn)} = (λ − λn)ψ(x, λ)ϕ(x, λn).
Lay tích phân đang thúc
∫ trên ta đưac:

) λb)ψ
n
ϕ((x,
x, λ a

(λ −

)dx =

λn

W(λn

) − W(λ ).

Cho λ → λn ta thu đưac
∫ π
0

J

ψ(x, λn)ϕ(x, λn)dx = −W (λn).

J
Su
(2.1.5)
thu đơn
đưaccua
(2.1.7).
ƒ= dnng

0. Vì v¾y
λnvà
là (2.1.6)
khơng ta
điem
W (λTa
). có W (λn ) ƒ= 0 do αn , β n

2.2

Cơng thúc ti¾m c¾n cho các giá tr% riêng
và hàm riêng

L


2.2. Cơng thnc ti¾m c¾n cho các giá tr% riêng và hàm
riêng
d2

15
vái
x

Đ¾t cot(α) = −h, cot(β) = H, khi đó

=−

+

dx 2

q(x

∈

)

[0,

D(L) = {y(x) ∈ C2[0, π], BC0(y) = BCπ(y) = 0},

π].

(2.2.1)


trong đó
J
J
(2.2.2)
0 ( y) = y (0) − hy (0) và BCπ (y ) = y ( π ) + Hy( π ).
Đau tiênBC
giã
su h, H ƒ= ∞. GQI ϕ( x, λ) và ψ( x, λ) là các nghi¾m
cua
cùng phương trình:

yJJ ( x ) + (λ − q( x ))y( x ) = 0,
thõa mãn các đieu ki¾n ban đau

(2.2.3)

ϕ(0, λ) = 1, ϕj (0, λ) = h;

(2.2.4)

ψ(0, λ) = 0, ψj (0, λ) = 1.

(2.2.5)

Khi đó ϕ(x, λ) và ψ(x, λ) thõa mãn các ràng bu®c như trong bő đe dưái đây.
Bo đe 2.2.1. ([9]) Cho λ = s2. Khi đó
h
x
ϕ(x, λ) = cos(sx) + sin(sx) sin{s(x − τ )} q( τ) ϕ( τ, λ)dτ,
1
+ ∫
s
s
x

(2.2.6)

0

1
1
ψ(x, λ) = sin(sx) + ∫ sin{s(x − τ)}q(τ)ψ(τ, λ)dτ.
s

s

(2.2.7)

0

Chnng
đi chúng
phươngminh.
trình Ta
(2.2.3)
nên minh ràng bu®c (2.2.6). Do ϕ(x, λ) thõa mãn
x

∫

x

∫

sin{s(x − τ)}q(τ)ϕ(τ, λ)dτ = sin{s( x − τ )} ϕjj (τ, λ)dτ
0

0

+ s2

∫x
0

sin{s(x − τ)}ϕ(τ, λ)dτ.

Su dnng tích phân tùng phan hai lan ta có:
∫x
0

sin{s( x − τ )} ϕjj (τ, λ)dτ
∫x

= −h sin(sx) + sϕ(x, λ) − s cos(sx)
−s

ϕ(τ, λ) sin{s(x − τ)}dτ.

2

0

Tù đó ta thu đưac ràng bu®c (2.2.6). Ràng bu®c (2.2.7) đưac chúng minh
tương tn.


M¾nh
đeưác
2.2.1.
([9]) Cho s = σ + it. Khi đó có s0 > 0 sao cho vái |s| > s0
ta có các
lưang:
ϕ(x, λ) = O(e|t|x), ψ(x, λ) = O(|s|−1e|t|x),

(2.2.8)

chính xác hơn
ϕ(x, λ) = cos(sx) + O(|s|−1e|t|x),
sin(sx)
ψ(x, λ) =
+ O(|s|−2e|t|x),
các ưác lưang này xãy ra đeu theo x ∈ [0, π].
s

(2.2.9)
(2.2.10)

Chnng minh. Đ¾t ϕ(x, λ) = e|t|x F(x, λ). Khi đó tù (2.2.6) ta có:
h
s 0+ 1 ∫ x sin{s(x − τ)}e−|t|(x−τ) q(τ)F(τ,
F(x, λ) = {cos(sx)s+ sin(sx)}e−|t|x
λ)dτ.
.
Do cos
sx
.

(

−|t|x
.e

.

iσx−tx
+ e−iσx+tx
e−(t+|t|)x + e(t−|t|)x
.e
1,
e−|tx|.
≤
.
. ≤
2
2


)
tương tn ta có:

=

| sin(sx)e−|t|x| ≤ 1, | sin{s(x − τ)}e−|t|(x−τ)| ≤ 1( vái τ ≤ x).
Vì v¾y, ta đưac
|h|
1
|F(x, λ)| ≤ 1 +
+ ∫ x |q(τ)||F(τ, λ)|dτ
|s | | s | 0
| h|
su |q(τ) ∫ F(τ, λ)|dτ.
≤
+ p
1 1+

x
|s |

|s |

| |
0

τ∈[0,π]

Áp dnng bat đang thúc Gronwall dang tích phân ta có:

|F(x, λ)| ≤ C2(1 + C1xeC1 x ),
|h|
1
trong đó C2 = 1 +
, C1 =
sup
|q(τ)|.
|s |
τ∈[0,π]
|s|
Lay s0 = max{|h|, π supτ∈[0,π] |q(τ)|}, khi đó vái |s| > s0 ta có:

|F(x, λ)| ≤ 2(1 + e), ∀x ∈ [0, π] hay ϕ(x, λ) = O(e|t|x) đeu theo x.
Tiep theo ta đi chúng minh (2.2.8) vái hàm ψ(x, λ). Ta đ¾t

ψ(x, λ) = |s|−1e|t|x f (x, λ).

Tù (2.2.7) ta có:

|s|−1e|t|x f (x, λ) =
s

1

sin(sx) +
s

1

∫ x sin{s(x − τ)}q(τ)|s|

−1

e|t|τ f (τ, λ)dτ.

0

Vì v¾y, ta đưac
| s|
1
f (x, λ) =
sin(sx)e−|t|x + ∫ x sin{s(x − τ)}e−|t|(x−τ)q(τ ) f (τ, λ)dτ.
s
s 0
f (τ, λ)|dτ.
Do đó, ta
1

có:
|q(τ) ∫
p
| f (x, λ)| ≤ 1 + su
x

| |

|s| τ∈[0,π]

0

Áp dnng bat đang thúc Gronwall dang tích phân ta đưac:
1
π

|q(τ)|. exp(π( sup
| ( λ)| ≤ +
f x,
1
|
sup | τ∈[0,π]
s| τ∈[0,π] |q(τ)|)).
s|
Lay s0 = π supτ∈[0,π] |q(τ)|, vái |s| > s0 ta có: |−1
f (x, λ)| ≤ 1 + e. Do
đó ta đưac f (x, λ) = O(1), nên ψ(x, λ) = O(|s| e|t|x ).
Thay (2.2.8) vào (2.2.6) ta đưac (2.2.9). Th¾t v¾y, tù (2.2.6) ta có:

s h

s 0 1
ϕ
(x,(sx
λ))−
sin
(sx
)+
s(x − τ)}q(τ)ϕ(τ, λ)dτ.
(sx
) ∫ x sin{−1
sin
h/cos
s (sx) = h
sin
Vì .
≤ h, nên
= O(|s| e|t|x ).
.
Ngồi ra,
ta có:
s
|s|−1e|t|x
. 1 ∫x

−1 |t|x
∫ π | )|dτ.
τ)}q( ϕ(τ λ)d . ≤ |s| e

sin{s(x −

τ)

,

τ

q(

τ
. s0
.
0
Tóm
lai(2.2.8)
ϕ(x, λvào
) −(2.2.7)
cos(sx
)=O
(|s|−1e|t|x ) đeu theo x. M®t cách tương
tn thay
ta đưac
(2.2.10).
Sau đây là đ%nh lý chính cua mnc này, ta đưa ra cơng thúc ti¾m c¾n
cho các giá tr% riêng và hàm riêng cua tốn tu Sturm-Liouville.
Đ%nh lý 2.2.1 (Cơng thúc ti¾m c¾n). ([9]) Xét tốn tu Sturm-Liouville

L = −d2/dx2 + q(x) vái D(L) = {y ∈ C2[0, π] : BC0(y) = BCπ(y) = 0}


và

q(x ) =
là hàm thncλliên tnc trêngan
[0, π] vàn,h, H =chớnh
. Khi ú xỏc
(L,
D(Lgió
)) sthiet
n
n
hn cú mđt tắp em ac các giá tr% riêng {λn}n≥0 sao cho vái n đu lán có
đúng m®t
√
√
1
sn = λn = n + On. Σ
(2.2.11)
Neu
giã thnc
thiet ti¾m
manhc¾n
hơn,tot
q(hơn
x) là hàm thnc khã vi liên tnc cap m®t trên [0, π] ta
có cơng
√

c
1
π
λn = n +

+ On
.
Σ
(2.2.12)
2
n
1∫π
trong đó c = h + H + h1 vái h1 =2 0 q(τ)dτ. Ngồi ra, ta có cơng thnc ti¾m
c¾n cho các hàm riêng đã đưac chuan hóa như sau
sn =

vn ( x ) = .

2
π

.cos (nx ) +

β( x )si n( n x )

Σ+ O .

1

n2

n

Σ,

(2.2.13)

1∫x
2 0
trong đó β(x) = −cx + h +
q(τ)dτ.
Chnng
minh.
Nhac
ϕ(x,
) là
cuamãn
phương
mãn đieu
ki¾n
ban lai,
đauhàm
(2.2.4)
do λ
đó
ϕ(nghi¾m
x, λ) thõa
BC 0trình
(ϕ(x,(2.2.3)
λ)) =thõa
0.
Tù đ%nh lý 2.1.3 các giá tr% riêng cua tốn tu Sturm-Liouville là khơng điem
cua
W(λ) = BC π( ϕ( x, λ)) = ϕ x( π, λ) + H ϕ(π, λ) = 0.

(2.2.14)

Vái x = π, (2.2.9) trã thành:
ϕ(π, λ) = cos(sπ) + O(|s|−1e|t|π).
Đao hàm (2.2.6) theo x ta đưac:

(2.2.15)

ϕx(x, λ) = −s sin(sx) + h cos(sx) + ∫ x cos{s(x − τ)}q(τ)ϕ(τ, λ)dτ.
0

Thay (2.2.9) vào (2.2.16) và su dnng tích phân tùng phan ta đưac:

(2.2.16)

ϕx(x, λ) = − s sin(sx) + q1(x) cos(sx)+
2
1

0

∫ x q(τ) cos{s(x − 2τ)}dτ + O(| s|

−1

e|t|x),

(2.2.17)

1∫x
trong đó q1(x) = h + 0 q(τ)dτ.
2
The (2.2.15) và (2.2.17) (lay tai x = π) vào (2.2.14) ta đưac:
W(λ) = −s sin(sπ) + c cos(sπ) + κ(s),
trong đó
c=H+h+

κ(s ) =

1π

∫2

0

1
0

(2.2.18)

∫ π q( )d ,
−1 |t|
e
π

τ τ

)
.

q(τ) cos{s(π − 2τ)}dτ +

Ta
δ : = { s : | s − k | ≥ δ, k = 0, ±1, ±2, . . . }, vái 0 < δ <
1/4xét
co G
đ%nh.
Vái MQI s ∈ Gδ , s = σ + it, ta se chúng minh rang ton tai Cδ
> 0 sao cho
|e|t|π| ≤ C | sin(sπ)|.
(2.2.19)
Do | sin(sπ)| = | sin(s∗π)| và | sinδ(sπ)| = | sin{(s + 1)π}| nên ta chi
can chúng minh (2.2.19) trên t¾p
δ
1 1
D := {s : |s| ≥ δ, σ ∈ Σ− 2 , 2 Σ , t ≥ 0}.

Đ¾t
η(st¾p
) = compact
|e|t|π / sin
, vái strên
∈D
δ mà t ≤ 1 ta có η( s ) là hàm liên
tnc trên
nên(sπ
b%)|ch¾n
đó,
vì v¾y |η(s)| ≤ Cδ. Vái t ≥ 1 ta

có
|t|π
2
2
.= .
|η(s)| =. e
≤.
≤ 4.
2iσπ e−2tπ − 1. 1
−2tπ
.
.
sin
(
sπ
)
−
e
e
.
.
. .
.
sau
đây:
(vái minh
t0 (2.2.19).
∈ Tiep[0,
bat bat đang
kì thúc)

Như v¾y
ta đã chúng
theo ta deπ]thay các

| cos(sπ)| ≤ e|t|π và | cos{s(π − 2t0)}| ≤ e|t||π−2t0 | ≤ etπ.
Do đó vái s ∈ Gδ ta có:
| cos(sπ)| ≤ Cδ| sin(sπ)| và | cos{s(π − 2t0)}| ≤ Cδ| sin(sπ)|.
(2.2.20)
Như v¾y tù (2.2.18), (2.2.19), (2.2.20) vái s ∈ Gδ ta có:
1
.
W(λ) + s sin(sπ) = s sin(sπ)(1 (

+O

s

))

(2.2.21)


Trong
xét các
đưàng
trịn
γnW
:=(s{)s :=
: |sW
|=

+ 1/2
}. lán
Váivàδs <
1/4 tas-phang
có γn nam
trong
Gδ. Ta
đ¾t
(λ)n. Vái
n đu
∈
1
γn, tù (2.2.21)
ta có:

|W1(s) + s sin(sπ)| < |s sin(s)|.
Vỡ
vắy
theoso%nh
lý Rouche,
trong
n) so
cua W
1(s) (tớnh có
bđi)
bang
khụng
iem cuabờn
s sin
(s

l khụng
2n +điem
2. Như
v¾y
so khơng
điem cua W(λ) hay so các giá tr% riêng cua toán tu Sturm-Liouville bên
trong γn là n + 1. Cho n chay ra vô cùng ta thu đưac tốn tu SturmLiouville có m®t dãy vơ han các giá tr% riờng.
Vỏi
u lỏn%nh
chi cúlýduy
nhat mđt
khụng
sn(s
cua) W
1(s) gan n. Thắt vắy
ta ápn dnng
Rouche
cho W
(s),điem
s sin
trong
hình trịn |s − n|
≤ δ. Vái n đu lán đe |W1(s) + s1sin(sπ)| < | − s sin(sπ)| xãy ra trên
biên cua hình trịn. Khi đó ta thu đưac so không điem cua W1(s) bang so
không điem cua s sin(sπ) là bang 1. Do δ là bé tùy ý ta đưac:
sn = n + δn vái δn = o(1) khi n → ∞.
The (2.2.22) vào (2.2.18) ta đưac:

(2.2.22)

0 = W1(s) = −(n + δn) sin(n + δn)π + c cos(n + δn)π + κn,
và h¾ quã là −n sin(δnπ) + c cos(δnπ) + κn
= 0. Tù đó ta thu đưac
sin(δnπ) = O(1/n) hay δn = O(1/n). Do đó sn = n + O(1/n).
Tiep
theo,
thiet
q(x(2.2.14)
) khã vi
(2.2.16)
laytataigiã
x=
π vào
ta liên
đưac:tnc trên [0, π]. The (2.2.6) và

trong đó

(−s + B) sin(sπ) + A cos(sπ) = 0,
H
∫

A=h+H+ π

)−
s
τ

(2.2.23)
,

(2.2.24)

))q(τ ϕ(τ λ)d

sin(sτ

(cos(s
0

)

,

τ

hH
H
τ
τ
τϕ τλ τ
B = s + 0∫ π {s cos(s ) − sin(s )}q( ) ( , )d .
Bây già, xét vái s giá tr% thnc (2.2.9) trã thành

ϕ(x, λ) = cos(sx) + O(1/s).

(2.2.25)

(2.2.26)