Hàm toàn phương lồi suy rộng và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

TRẦN VĂN THIỆN

HÀM TOÀN PHƯƠNG LỒI SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

TRẦN VĂN THIỆN

HÀM TOÀN PHƯƠNG LỒI SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG

Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH
Mã số:

60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. NGUYỄN NĂNG TÂM

Hà Nội – 2015


Mnc lnc
Mđt so kớ hiắu

2

1

Kien thẫc chuan b%

5

1.1 Khụng gian Ơclit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2 T¾p loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3 Hàm loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2

3

1.4

Hàm tna loi.................................................................................10

1.5

Hàm gia loi.................................................................................... 14

1.6

Moi quan hắ giua nhung hm loi suy rđng.................................16

Hm ton phng loi suy r®ng

18

2.1

Nhac lai m®t so đ%nh nghĩa............................................................. 18

2.2

M®t so tính chat cna hàm tồn phương loi suy r®ng.................19

2.3

Tiêu chuan kiem tra theo giá tr% riêng và véctơ riêng................23

2.4

Tiêu chuan kiem tra theo ma tr¾n Hessian tăng cưịng............32

2.5

Tiêu chuan kiem tra theo đ%nh thúc biên...................................33

2.6

Tiêu chuan xác đ%nh cho oc-tan khơng âm................................. 34

2.7

Tính gia loi trên oc - tan nua dương và oc - tan không âm

Úng dnng vào lý thuyet toi ưu

54

3.1

Úng dung vào bài tốn toi ưu vói ràng bu®c hình

3.2

Úng dung vào bài tốn toi ưu có rng buđc bat ang thỳc

Ti liắu tham khao

51

HQc..............54

57
64

1


Bang kí hi¾u
R

đưịng thang thnc

Rn
R = R ∪ {−∞, +∞}
f :X →R
int A
A
dom(f )
epi(f )
ϕJ (x)
∇f (x)
ϕJJ (x)
∇2f (x)

không gian Euclid n - chieu
tắp so thnc suy rđng
ỏnh xa i tù X vào R
phan trong cna A
bao đóng cna A

mien huu hi¾u cna f
trên đo th% cna f
đao hàm cna ϕ tai x
gradient cna f tai x
đao hàm b¾c hai cna ϕ tai x
ma tr¾n Hessian cna f tai x

(., .)

tích vơ hưóng trong Rn

||.||
chuan trong khơng gian Rn
|x|
tr% tuy¾t đoi cna so x
af (A)
bao loi affine cna A
coA
bao loi cna A
(x, y) = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ (0, 1)} đoan thang mo
noi x và y (x, y] = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ (0, 1]}
đoan
thang mo noi x và y [x, y] = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ [0,
1]}
đoan thang đóng noi x và
y L(f, α) = {x ∈ X | f (x) ™ α} t¾p múc dưói


Ma đau
Trong quy hoach phi tuyen và kinh te lưong, tính tna loi và gia

loi đưoc xem như là sn mo rđng quan

TRQNG

cna tớnh loi. Mđt tro

ngai khi lm viắc vúi nhung khỏi niắm loi suy rđng l chỳng khụng de
kiem tra. Vì v¾y, ngưịi ta mong muon đưa ra nhung tiêu chuan thnc tien
hơn đe kiem tra tính loi suy rđng.
Luắn vn ny trỡnh by mđt cỏch cú hắ thong nhung n®i dung cơ ban
nhat ve lóp hàm tồn phương loi suy r®ng và m®t so úng dung cna nó vào
lý thuyet toi ưu.
Lu¾n văn đưoc trình bày gom 3 chương.
Chương 1: Kien thúc cơ ban. Tác gia trình bày các kien thúc cơ ban
ve t¾p loi, hàm loi, hàm tna loi, hàm gia loi và moi quan h¾ giua các hàm
loi suy r®ng. Các kien thúc cơ ban đưoc su dung đe nghiên cúu các van đe
trong chương 2.
Chương 2: Hàm toàn phương tna loi và hàm toàn phng gia loi. Nđi
dung chớnh cna chng tắp trung trỡnh bày các tiêu chuan kiem tra tính
loi suy r®ng cna các hàm toàn phương. Các tiêu chuan đưoc nêu trong
chương gom: tiêu chuan kiem tra theo giá tr% riêng và véc tơ riêng, tiêu
chuan kiem tra theo ma tr¾n Hessian tăng cưòng, tiêu chuan kiem tra theo đ
%nh thúc biên, tiêu chuan kiem tra cho Oc-tan không âm và xét tính gia loi
cna m®t hàm tồn phương trên oc-tan nua dương và oc - tan không âm.
Chương 3: Úng dung vào bài tốn toi ưu. Lu¾n văn trình bày ve úng
dung cna hàm tồn phương loi suy r®ng vào nghiên cúu bài toán toi ưu

5

tồn phương vói ràng bu®c hình

HQ c

và bài tốn toi ưu vói ràng bu®c bat

đang thúc.
Nhân d%p này, tác gia lu¾n văn xin bày to lịng kính

TRQNG

và

biet ơn sâu sac tói PGS.TS. Nguyen Năng Tâm đã hưóng dan t¾n
tình tác gia hồn thành lu¾n văn này. Tác gia cũng xin bày to lòng biet
ơn chân thành đen các thay phan bi¾n đã dành thịi gian
góp nhieu ý kien q báu cho tác gia. Tác gia xin trân
ban lãnh đao khoa Tốn – Cơ – Tin

HQ c,

thay cơ giáo trưịng Đai HQc Khoa

Tn nhiên, Đai

HQ c

ĐQ c

và đóng

TRQNG

cam ơn

khoa Sau đai
HQ c

HQ c

và các

Quoc gia Hà

N®i đã trang b% kien thúc, tao đieu ki¾n thu¾n loi cho tác gia trong suot
thịi gian tác gia

HQ c

t¾p tai trưịng. Cuoi cùng, tác gia xin cam ơn gia

đình, ban bè và đong nghi¾p đã quan tâm, đ®ng viên và chia se đe tác
gia hồn thnh luắn vn cna mỡnh.

H Nđi, ngy 02 thỏng 10 năm 2015
Tác gia lu¾n văn

Tran Văn Thi¾n

Chương 1

Kien thÉc chuan b%
Chương này trình bày m®t so nđi dung kien thỳc c ban ve tắp
loi, hm loi, hàm tna loi, hàm gia loi và moi quan h¾ giua các hàm
loi suy r®ng. Nhung n®i dung đưoc trình bày trong chương này chn yeu
cHQN tù tài li¾u Mathematics of Optimization: Smooth and Nonsmooth
Case cna
G. Giorgi, A. Guerraggio and J. Thierfelder [17] và nhung tài li¾u trích
dan trong đó.

1.1

Khơng gian Ơclit

T¾p hop
Rn := {x = (x1, ..., xn) | x1, ..., xn ∈ R}
vói hai phép tốn
(x1, ..., xn) + (y1, ..., yn) := (x1 + y1, ..., xn + yn)
(x1, ..., xn) := (x1, ..., xn),

R

lắp thnh mđt không gian véc tơ Ơclit n−chieu.
Neu x = (x1 , ..., xn ) ∈ R thì xi GQI là thành phan ho¾c
x. Véc tơ khơng cna khơng gian này
đơn gian l 0, vắy 0 = (0, ..., 0).

GQI

TQA

đ thỳ i cna

là goc cna Rn và đưoc kí hi¾u


Trong Rn ta đ%nh nghĩa tích vơ hưóng chính tac (., .) như sau: vói
x = (x1, ..., xn), y = (y1, ..., yn) ∈ Rn,
n
Σ
(x, y) = xiyi.
i=1

Khi đó vói

MQI

x = (x1 , ..., xn ) ∈ Rn ta đ%nh nghĩa
√
ǁxǁ :
=

và

GQI

1.2

‚.Σn

(x, x) =
(xi)
2
,
i=
1

là chuan Euclid cna véc tơ x.

T¾p loi

Đ%nh nghĩa 1.1. T¾p C ⊂ Rn đưoc

GQi

là loi, neu

∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ R : 0 ≤ λ ≤ 1 ⇒ λx + (1 − λ) y ∈ C.
M¾nh đe 1.2. Cho Cα ⊂ Rn (α ∈ I) là các t¾p loi, vái I là t¾p chs so
T
bat kì. Khi đó C =
Cα cũng loi.
α∈I

M¾nh đe 1.3. Cho các t¾p Ci ⊂ Rn loi, λi ∈ R (i = 1, 2, ..., m). Khi đó
λ1C1 + ... + λmCm cũng là t¾p loi.
M¾nh đe 1.4. Cho các t¾p Ci ⊂ Rni loi, (i = 1, 2, . . . , m).
Khi đó tích Đe các C1 × ... ì Cm l tắp loi trong Rn1 ì ... × Rnm.
Đ%nh nghĩa 1.5. Véc tơ x ∈ Rn đưoc
x1, ..., xm

Rn

là tő hop loi cna các véctơ
Σ
m
thu®c , neu ∃λi ≥ 0(i = 1, 2,
λi = 1 sao cho
i=
..., m) ,
GQI

1

m
Σ
x = λix i.
i=1

Đ%nh lý 1.6. Cho t¾p C ⊂ Rn loi; x1, ..., xm ∈ C. Khi đó C chúa tat
ca các tő hap loi cua x1, ..., xm.


Đ%nh nghĩa 1.7. Cho C ⊂ Rn . Giao cna tat ca các t¾p loi chúa C
đưoc GQI là bao loi cna t¾p C, kí hi¾u là coC.
Đ%nh nghĩa 1.8. Gia su C ⊂ Rn. Giao cna tat ca các t¾p loi đóng chúa
C đưoc gQI là bao loi đóng cna t¾p C và kí hi¾u là coC.
M¾nh đe 1.9. Cho C ⊂ Rn loi. Khi đó,
i) Phan trong intC và bao đóng C cua C là các t¾p loi;
ii) Neu x1 ∈ intC, x2 ∈ C, thì
{λx1 + (1 − λ)x2 : 0 < λ ≤ 1} ⊂ intC.

1.3

Hàm loi

Đ%nh nghĩa 1.10. Cho hàm f : C → R, trong đó C ⊂ Rn, t¾p
epi(f ) = {(x, α) ∈ C × R | f (x) ≤ α} ,
đưoc gQI là trên đo th% cna f .
Đ%nh nghĩa 1.11. Cho C Rn l mđt tắp loi, f : C → R.
Hàm f đưoc GQI là loi trên C neu trờn o th% epi(f ) cna nú l mđt
tắp loi trong Rn × R.
Hàm f đưoc

GQi

là lõm trên C neu −f là hàm loi trên C.

Ta nhac lai m®t so ắc trng v tớnh chat cna hm loi mđt bien kha vi.
Đ%nh lý 1.12. Cho ϕ : (a, b) → R.
i) Neu ϕ kha vi trên (a, b) thì ϕ loi trên (a, b) khi và chs khi ϕJ khơng
giam trên (a, b).
ii) Neu ϕ có đao hàm b¾c hai trên (a, b) thì ϕ loi trên (a, b) khi và chs
khi ϕJJ(t) “ 0 vái MQI t ∈ (a, b).
iii) Neu ϕ loi trên [a, b] thì ϕ liên tnc trên (a, b).
Đ%nh lý 1.13. Cho C là t¾p loi trong khơng gian Rn và f : C → R.
Khi đó, các đieu ki¾n sau là tương đương:
a) f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) , ∀λ ∈ [0, 1] ,
∀x, y ∈ C.

b) f (λx + (1 − λ) y) “ λf (x) + (1 − λ) f (y) , ∀λ > 1,
∀x, y ∈ C sao cho
λx + (1 − λ) y ∈ C.
c) f (λx + (1 − λ) y) “ λf (x) + (1 − λ) f (y) , ∀λ < 0,
∀x, y ∈ C sao cho
λx + (1 − λ) y ∈ C.
d)(Bat đang thúc Jensen) Vái bat kì x1, . . . , xm ∈ C, i = 1, . . . ,
m và vái
Σm
bat kì λi ∈ [0, 1], i = 1, .
λi = 1 bat đang thúc sau
i=
đúng:
. . , m,
1
f (λ1 x1 + ... + λm xm ) ≤ λ1 f (x1 ) + ... + λm f (xm ) .
e) Vái MQI x ∈ C, vái MQI y ∈ Rn, hàm ϕx,y(t) = f (x + ty) là hàm loi
trên đoan Tx,y = {t ∈ R | x + ty ∈ C}.
f) Vái MQI x, y ∈ C, hàm ψx,y(λ) = f (λx + (1 − λ)y) loi trên đoan [0,
1].
g)Trên đo th% cua f là t¾p loi trong Rn+1.
Đ%nh lý 1.14. Gia su C Rn l mđt tắp loi mỏ, f : C → R. Khi đó, f
loi trên C khi và chs khi vái mQi x0 ∈ C, ton tai x∗ ∈ Rn sao cho
f (x) − f (x0 ) “ x∗ (x − x0 ),

x ∈ C.

Đ%nh lý 1.15. Cho C Rn l mđt tắp loi v f : C → R. Khi đó, neu f
loi trên C thì, vái MQI α ∈ R t¾p múc dưái cua f
L(f, α) = {x ∈ C | f (x) ≤ α}

là t¾p loi.
Ví dn. Xét hàm so f : R → R xác đ%nh boi f (x) = x3 . Ta có f
khơng loi trên R, trong khi L(f, α) = {x ∈ R | x3 ≤ α} = {x ∈ R | x
≤ α1/3 } là t¾p loi vói MQI α ∈ R.
Đ%nh lý 1.16. Cho C ⊂ Rn l mđt tắp mỏ v f : C R kha vi trên C.
Khi đó các khang đ%nh sau tương đương:
a) f loi trên C


b) Vái MQI x ∈ C và vái MQI y ∈ Rn hàm
ϕJx,y (t) = (y, ∇f (x + ty)),
bien t, không giam trên đoan Tx,y = {t ∈ R | x + ty ∈ C}.
c) Vái MQI x, y ∈ C, hàm
ψxJ ,y (λ) = ((x − y), ∇f (λx + (1 − λ)y)),
bien λ, không giam trên đoan [0, 1] .
d) Vái MQI x, y ∈ C, f (x) − f (y) “ ((x − y), ∇f (y)).
e) Vái MQI x, y ∈ C, f (x) − f (y) ™ ((x − y), ∇f (x)).
f) Vái MQI x, y ∈ C, ((x − y), [∇f (x) − ∇f (y)]) “ 0.
Đ%nh lý 1.17. Cho f : C → R là hàm so kha vi liên tnc hai lan trên
t¾p loi má C ⊂ Rn. Khi đó, f loi trên C khi và chs khi ma tr¾n
Hessian
∇2 f (x) nua xác đ%nh dương vái MQI x ∈ C.
Đ%nh nghĩa 1.18. Cho C là t¾p loi trong khơng gian Rn, f : C → R. Ta
nói f loi ch¾t trên C neu
f (λx + (1 − λ) y) < λf (x)+(1 − λ) f (y) ∀λ ∈ (0, 1),
y ∈ C, x ƒ= y.

∀x,

Đ%nh lý 1.19. Cho C là t¾p loi trong không gian Rn và f : C → R.

Khi đó, các đieu ki¾n sau là tương đương:
a) f loi ch¾t trên C
b) Vái MQI x ∈ C, vái MQI y ∈ Rn, hàm ϕx,y(t) = f (x + ty) là hàm loi
ch¾t trên đoan Tx,y = {t ∈ R | x + ty ∈ C}.
c) Vái MQI x, y ∈ C, hàm ψx,y(λ) = f (λx + (1 − λ)y) loi trên đoan
[0, 1] .
Đ%nh lý 1.20. Cho C Rn l mđt tắp mỏ v f : C → R kha vi trên C.
Khi đó các khang đ%nh sau tương đương:
a)
b)
c)
d)

f loi ch¾t trên C
Vái MQI x, y ∈ C, x ƒ= y, f (x) − f (y) > ((x − y), ∇f (y)).
Vái MQI x, y ∈ C, x ƒ= y, f (x) − f (y) < ((x − y), ∇f (x)).
Vái MQI x, y ∈ C, ((x − y), [∇f (x) − ∇f (y)]) > 0.


Đ%nh lý 1.21. Cho f : C → R là hàm so kha vi liên tnc hai lan trên t¾p
loi má C ⊂ Rn . Khi đó, neu ma tr¾n Hessian ∇2 f (x) xác đ%nh dương
vái MQI x ∈ C, nghĩa là vái MQI x ∈ C, (y, ∇2 f (x)y) > 0 vái MQI
y ∈ Rn , y ƒ= 0, thì f loi ch¾t trên C.
Đieu ki¾n nêu trên chi đn chú khơng can đe f loi ch¾t. Ví du như,
f (x) = x4 loi ch¾t trên R, nhưng ∇2f (x) = 12x2 không xác đ%nh
dương trên R, vì ∇2f (0) = 0.
Đ%nh nghĩa 1.22. Hàm f : C → R xác đ%nh trên t¾p loi C ⊂ Rn
đưoc GQI là hàm aphin trên C neu có vùa loi vùa lõm trên C, nghĩa là
f (λx + (1 − λ) y) = λf (x) + (1 − λ) f (y) ∀λ ∈ [0, 1] ,
∀x, y ∈ C.

Đ%nh lý 1.23. Hàm f : Rn → R là hàm aphin khi và chs khi ton tai
c ∈ Rn và so α ∈ R sao cho f (x) = (c, x) + α.
Đ%nh lý 1.24. Gia su f là hàm loi trên Rn. Khi đó các khang đ%nh sau là
tương ng:
i) f b% chắn trong mđt lõn cắn cua x ;
ii) f liên tnc tai x ;
iii) int(epi(f )) ƒ= ∅.

1.4

Hàm tEa loi

Đ%nh nghĩa 1.25. Cho C ⊂ Rn là t¾p loi. Hàm f : C → R
hàm tna loi neu
f (λx + (1 − λ)y) ™ max{f (x), f (y)},
[0, 1].

GQI

l

x, y C,



Nhắn xột 1.26. Mđt %nh nghĩa tương đương cna hàm tna loi f : C
R, trong ú C Rn l mđt tắp loi, là:
x, y ∈ C, f (x) ™ f (y) =⇒ f (λx + (1 − λ)y) ™ f (y),
∈ [0, 1]

∀λ


Nh¾n xét 1.27. MQI hàm loi f : C → R đeu là hàm tna loi. Th¾t
v¾y, gia su f loi. Khi đó
f (λx + (1 − λ)y) ™ λf (x) + (1 − λ)f (y)
™ max{f (x), f (y)},

∀x, y ∈ C,

∀λ ∈ [0, 1].

Ví du sau chúng to rang, đieu ngưoc lai trong nh¾n xét trên khơng
đúng.
Ví dn. Lay C = {(x, y) ∈ R2 | x, y “ 0}, f : C → R; f (x, y) =
xy.
%nh lý 1.28. Cho C Rn l mđt tắp loi và f : C → R. Khi đó,
các đieu ki¾n sau đây là tương đương:
a) f là hàm tna loi trên C, nghĩa là
f (λx + (1 − λ)y) ™ max{f (x), f (y)},

∀x, y ∈ C,
∀λ ∈ [0, 1].

b) Vái MQI x ∈ C và vái MQI y ∈ Rn hàm so gx,y(t) = f (x + ty) là tna loi
trên đoan Tx,y = {t ∈ R | x + ty ∈ C}.
c) Vái MQI x, y ∈ C hàm hx,y(λ) = f (λx + (1 − λ)y) là tna loi trên
đoan
[0, 1].
d) Vái MQI α ∈ R t¾p múc dưái

L(f, α) = {x ∈ X | f (x) ™ α}
là loi (có the rőng).
e) Vái MQI α ∈ R, t¾p múc dưái ch¾t
SL(f, α) = {x ∈ C | f (x) < α}
là t¾p loi .
Đ%nh lý 1.29. Cho C Rn l mđt tắp loi mỏ, f : C → R là m®t hàm
kha vi trên C. Khi đó, f tna loi trên C khi và chs khi
x, y ∈ C,f (x) ™ f (y) ⇒ ((x − y), ∇f (y)) ™ 0.
Đ%nh lý 1.30. a) Cho f : C → R là m®t hàm liên tnc trên t¾p loi C ⊂ Rn.
Khi đó f tna loi trên C khi và chs khi
x, y ∈ C, f (x) < f (y) =⇒ f (λx + (1 − λ)y) ™ f (y),
∈ [0, 1]

∀λ


b) Cho f : C → R là m®t hàm kha vi trên t¾p loi má C ⊂ Rn. Khi đó f
tna loi trên C khi và chs khi
x, y ∈ C, f (x) < f (y) =⇒ ((x − y), ∇f (y)) ™ 0.
Đ%nh lý 1.31. Cho f : C → R là m®t hàm hai lan kha vi liên tnc trên
t¾p loi má C ⊂ Rn. Đieu ki¾n can đe f tna loi trên C là:
y ∈ Rn, x ∈ C, y∇f (x) = 0 =⇒ (y, ∇2f (x)y) “ 0.
Lưu ý rang, các đieu ki¾n nêu trong đ%nh lý trên khơng đn đe f
tna loi. Vói hàm f : R → R; f (x) = x4, các đieu ki¾n nêu trong đ
%nh lý trên đeu thoa mãn, nhưng f không tna loi trên R.
Đ%nh lý 1.32. Cho f : C → R là m®t hàm hai lan kha vi liên tnc
trên t¾p loi má C ⊂ Rn . Gia su rang, ∇f (x) ƒ= 0 vái MQI x ∈ C. Neu
y ∈ Rn, x ∈ C, y∇f (x) = 0 =⇒ (y, ∇2f (x)y) “ 0
thì f tna loi trên C.
Đ%nh lý 1.33. Cho f : C → R là m®t hàm hai lan kha vi liên tnc trên

t¾p loi má C ⊂ Rn. Khi đó, neu
y ∈ Rn, y ƒ= 0, x ∈ C, y∇f (x) = 0 =⇒ (y, ∇2f (x)y) > 0
thì f tna loi trên C.
Đ%nh nghĩa 1.34. Ta nói hàm f : C → R là tna tuyen tính trên t¾p
loi C ⊂ Rn neu f và −f đeu là tna loi trên C, nghĩa là vói bat kì x, y
∈ C, λ ∈ [0, 1] ta có
min{f (x), f (y)} ≤ f (λx + (1 − λ)y) ≤ max{f (x), f (y)}.
De dàng thay rang, f : C → R là tna tuyen tính trên t¾p loi C ⊂ Rn
khi và chi khi các t¾p múc dưói L(f, α) và các t¾p múc trên U (f, α) :=
{x ∈ C | f (x) “ α} loi vói MQI α ∈ R. Tù đây suy ra rang, neu f
tna loi trên C thì các t¾p múc
Y (f, α) = {x ∈ C | f (x) = α}


loi vói MQI α ∈ R. Tuy nhiên, đieu ngưoc lai không đúng.
Xét f : [0, 3] → R;

1, neu 1 ≤
≤ 2neu 2 < x ≤ 3
f (x) x 3,
=

2, neu 3 < x ≤ 4
Ta có Y (f, α) = ∅ vói α ƒ= 1, 2, 3 và Y (f, 1) = [1, 2], Y (f, 2) =
(3, 4],
Y (f, 3) = (2, 3]. Như v¾y, Y (f, α) loi vói MQI α ∈ R, nhưng f
khơng tna loi và do đó f khơng tna tuyen tính. Lưu ý rang f khơng liên
tuc.
Đ%nh lý 1.35. Neu các t¾p múc Y (f, α) = {x ∈ C | f (x) = α}
loi vái MQI α ∈ R và f liên tnc trên t¾p loi X ⊂ Rn thì f tna tuyen

tính trên C
Khi f là hàm kha vi, ta có các ket qua sau:
Đ%nh lý 1.36. Cho f kha vi trên t¾p loi má C ⊂ Rn. Khi đó, f tna
tuyen tính trên C khi và chs khi
x, y ∈ C, f (x) = f (y) =⇒ ((x − y), ∇f (y)) = 0.
Đ%nh nghĩa 1.37. Hàm f : C → R xác đ%nh trên t¾p loi X ⊂ Rn
đưoc GQI là tna loi ch¾t trên C neu vói x, y ∈ C, x ƒ= y, λ ∈ (0, 1)
tùy ý:
f (λx + (1 − λ)y) < max{f (x) f (y)}.
Đ%nh lý 1.38. Cho f kha vi trên t¾p loi má C ⊂ Rn. Khi đó, f tna loi
ch¾t trên C khi và chs khi
x ∈ C, y ∈ Rn, y ƒ= 0, (y, ∇f (x)) = 0 =⇒ gx,y(t) = f (x +
ty),
xác đ%nh vái t “ 0, không đat cnc đai đ%a phương tai t = 0.
Đ%nh nghĩa 1.39. Hàm f : C → R xác đ%nh trên t¾p loi C ⊂ Rn
đưoc GQI là tna loi nua ch¾t trên C neu vói x, y ∈ C,
f (x) < f (y), λ ∈ (0, 1) =⇒ f (λx + (1 − λ)y) < f (y)
hay m®t cách tương đương


f (x) ƒ= f (y), λ ∈ (0, 1), : f (λx + (1 − λ)y) < max{f (x) f
(y)}.


Ví dn: Hàm so f : R → R, f (0) = 1, f (x) = 0 vói
tna loi nua ch¾t, nhưng khơng tna loi.

MQI

x ƒ= 0, là

Đ%nh lý 1.40. Cho f nua liên tnc dưái trên t¾p loi C ⊂ Rn. Khi đó, neu
f tna loi nua ch¾t trên C thì f tna loi.
Ví du sau chi ra rang đieu ngưoc
lai trong đ%nh lý không đúng. Lay


f :R→
 x vói x ≤ 0
R,
0 vói 0 < x < 1
f (x) 
x − 1 vói
=
x “ 1.
Ta có f tna loi trên R, nhưng vói x = −1/2, y = 1/2, λ = 1/10 ta có
f (x) < f (y) và f (λx + (1 − λ)y) = f (y).

1.5

Hàm gia loi

Trong phan này chúng ta han che chi xét nhung hàm gia loi kha vi. Do
đó ta dùng đ%nh nghĩa sau:
Đ%nh nghĩa 1.41. Cho f : X → R là hàm kha vi trên t¾p mo X ⊂ Rn.
Ta nói f gia loi trên X neu
x, y ∈ X,

((x − y), ∇f (y)) “ 0 =⇒ f (x) “ f (y),

hoắc, mđt cỏch tng ng
x, y X, f (x) < f (y) =⇒ ((x − y), ∇f (y)) < 0.
Hàm f

GQI

là gia lõm neu −f gia loi.

Ví dn . Hàm f : R → R, f (x) = x3 − x gia loi trên R, nhưng không loi.
Lưu ý rang, đ%nh nghĩa hàm gia loi trong trưòng hop tőng quát như
sau (và tương đương vói đ%nh nghĩa trên trong trưòng hop hàm kha vi,
xem [11]):


Đ%nh nghĩa 1.42. Ta nói hàm f : C → R là gia loi trên t¾p loi C ⊂ Rn
neu ta có: vói x, y ∈ C, λ ∈ (0, 1)
f (x) < f (y) =⇒ f (λx + (1 − λ)y) ≤ f (y) − λ(1 − λ)β(x,
y),
trong đó β(x, y) là m®t so dương phu thu®c vào x và y.
Đ%nh lý 1.43. Cho f : C → R là hàm kha vi trên t¾p loi má C ⊂ Rn.
Khi đó, f gia loi trên C khi và chs khi
x ∈ C, y ƒ= 0, (y, ∇f (x)) = 0 =⇒ g(t) = f (x + ty),
xác đ%nh vái t “ 0, đat cnc tieu đ%a phương tai t = 0.
Đ%nh lý 1.44. Cho f : C → R là hàm kha vi liên tnc hai lan trên t¾p
loi má C ⊂ Rn . Khi đó, f gia loi trên C khi và chs khi vái MQI x ∈ C:
i) (∇f (x)) = 0 =⇒ (y, ∇2f (x)y) “ 0, và
ii) neu như ∇f (x) = 0 thì f có cnc tieu đ%a phương tai x.
Chúng minh. Xem [31].
Đ%nh nghĩa 1.45. Cho f : C → R xác đ%nh trên t¾p loi mo C ⊂ Rn. Neu
f và −f đeu gia loi thì ta nói f là hàm gia tuyen tính.

Đ%nh lý 1.46. Cho f : C → R, trong ú C Rn l mđt tắp loi mỏ.
Khi đó các m¾nh đe sau tương đương:
i) f là gia tuyen tính
ii) Vái tùy ý x, y ∈ C, ((x − y), ∇f (y)) = 0 khi và chs khi f (x) =
f (y)
Đ%nh nghĩa 1.47. Cho f : C → R là hàm kha vi trên t¾p mo C ⊂ Rn.
Ta nói f gia loi ch¾t trên C neu
x, y ∈ C, x ƒ= y f (x) “ f (y) =⇒ ((x − y), ∇f (y)) < 0 ,
ho¾c, m®t cách tương đương
x, y ∈ C,x ƒ= y ((x − y), ∇f (y)) “ 0 =⇒ f (x) > f (y).
De thay tính gia loi ch¾t suy ra tính gia loi.


Đ%nh lý 1.48. Cho f : C → R là hàm kha vi trên t¾p loi má C ⊂ Rn.
Khi đó f gia loi ch¾t trên C khi và chs khi
x ∈ C y ƒ= 0, (y, ∇f (x)) = 0 =⇒ g(t) = f (x + ty),
xác đ%nh vái t “ 0, đat cnc tieu đ%a phương ch¾t tai t = 0.
Đ%nh lý 1.49. Cho f : C → R là hàm kha vi liên tnc hai lan trên t¾p loi
má C ⊂ Rn. Khi đó, f gia loi ch¾t trên X khi và chs khi
x ∈ C y ƒ= 0, (y, ∇f (x)) = 0 =⇒ (y, ∇2f (x)y) > 0 ho¾c (y, ∇2f
(x)y) = 0
và g(t) = f (x + ty), xác đ%nh vái t “ 0, đat cnc tieu đ%a phương ch¾t
tai
t = 0.

1.6

Moi quan h¾ giEa nhEng hàm loi suy r®ng

Cho f : C → R.

Đ%nh lý 1.50. Xét
1) f loi ch¾t
2) f loi
3) f gia loi ch¾t
4) f gia loi
5) f tna loi ch¾t
6) f tna loi nua-ch¾t
7) f tna loi
Ta có: 1) −→ 2) −→ 4) −→ 6) (và f nua liên tnc dưái)−→ 7), 1)
−→ 3) −→ 4) và 5), 4) −→ 6), và 5) −→ 6).
Dưói đây là m®t so ví du.
Ví du. Các hàm sau đây đeu xét trên R:
f1 (x) = x + x3 ,
f2 (x) = x3 ,


f =

0 vói



x<0

3

 2x2 vói
−x
vói x
x“

<0

0
f4 = 0
vói
x ∈ [0, 1]

(x − 1)2
vói
x>1


Ta có: f1 gia loi nhưng khơng loi, f2 tna loi nua-ch¾t nhưng khơng gia loi,
f3 tna loi nua-ch¾t nhưng khơng tna loi ch¾t, f4 tna loi nhưng khụng tna
loi nua chắt.

Ket luắn
Nđi dung chớnh cna chng ó trỡnh by khỏi niắm v mđt so tớnh chat
cna mđt so lúp hm loi suy rđng, moi quan hắ giua các hàm loi suy r®ng.


Chương 2

Hàm tồn phương loi suy r®ng
Chương này trình bày t¾p trung trên tính tna loi và gia loi cna hàm
tồn phương vói ba khái ni¾m khác nhau cna tính loi suy r®ng, bao gom:
tính tna loi, tính gia loi, tớnh gia loi chắt.

2.1

Nhac lai mđt so %nh ngha

Xột

1
Q(x) = xT Ax + bT x,
2
trong đó A là ma tr¾n thnc đoi xúng n × n và b ∈ Rn. Hn nua,
ắt C Rn xỏc %nh mđt tắp loi đ¾c, túc là mien trong cna C khác rong.
Chúng ta se xem xét các hàm Q(x) tna loi, gia loi hoắc gia loi chắt trờn
C. Ta nhac lai mđt so đ%nh nghĩa.
Đ%nh nghĩa 2.1. Q(x) đưoc GQI là hàm tna loi trên C neu, vói MQI
x, y ∈ C,
Q(y) ≤ Q(x) suy ra (y − x)∇Q(x) ≤ 0.
(2.1)
M®t cách tương đương, đieu này nghĩa là các t¾p múc dưói.
{x ∈ C : Q(x) ≤ α}là t¾p loi vói
Đ%nh nghĩa 2.2. Q(x) đưoc

GQi

∀α ∈ R

là gia loi trên C neu, vói

C, y − x ≥ 0 suy ra Q(y) ≥ Q(x).

(2.2)
MQI

x, y ∈
(2.3)


Đ%nh nghĩa 2.3. Q(x) đưoc GQI là gia loi ch¾t trên C neu vói
C, x ƒ= y,
y − x ≥ 0 suy ra Q(y) > Q(x).

MQI

x, y ∈
(2.4)

Đ%nh nghĩa 2.4. Cho A = [aij] l ma trắn cap m ì n, Khi đó:
a) A đưoc GQI là xác đ%nh khơng âm neu aij ≥ 0, ∀i = 1, ..., m; j =
1, 2, ..., n.
b) A đưoc GQI là nua xác đ%nh dương neu aij ≥ 0 và ít nhat m®t phan tu aij >
0, i = 1, ..., m; j = 1, 2, ..., n
c) A đưoc GQI là xác đ%nh dương neu aij > 0, ∀i = 1, ..., m; j = 1, 2, ...,
n
Đ%nh nghĩa 2.5. Xét các t¾p con cna Rn. Khi đó:
a) R+n = {x ∈ Rn | ≥ 0, j = 1, · · · , n}, đưoc
cna Rn. xj

GQI

là oc-tan không âm

n

b) R+\{0} = {x = (x1, x2, ..., xn) | xi ∈ R, ∃xj > 0, xi ≥ 0, i = 1,
2..., n}
đưoc gQI là oc-tan nua dương cna Rn .
c) Rn+ = {x ∈ Rn | xj > 0, j = 1, · · · , n}, đưoc
cna
Rn.

GQI

là oc-tan dương

Hàm gia loi ch¾t Q(x) là gia loi và các hàm gia loi là tna loi. Tuy
nhiên đieu ngưoc lai chưa chac ỳng.
Mđt hm tna loi (gia loi, gia loi chắt) m khơng loi thì đưoc GQI là hàm
chi tna loi (tương ỳng, chi gia loi, chi gia loi chắt).

2.2

Mđt so tớnh chat cua hàm tồn phương loi suy
r®ng

1
Đ%nh lý 2.6. Cho Q (x) = xT Ax+cT x+α mà A ∈S Rn×n, c ∈ Rn, α ∈ R.
2
Neu A là m®t ma trắn nua xỏc %nh dng thỡ Q(x) l mđt hm tồn
phương loi.
Chúng minh. Vì x ›→ cT x + α là m®t hàm loi và tőng cna hai hàm loi là
m®t hàm loi, ta chi can chúng minh Q1 (x) := xT Ax là m®t hàm loi. Khi

A l mđt ma trắn nua xỏc %nh dng, vúi moi u ∈ Rn, v ∈ Rn ta có
0 ≤ (u − v)T A (u − v) = uT Au − 2vT Au + vT Av.
Đieu này suy ra rang
vT Av ≤ uT Au − 2vT A (u − v) .

(2.5)

Cho bat kì x ∈ Rn, y ∈ Rn và t ∈ (0, 1), ta đ¾t z = tx + (1 −
t) y. Theo (2.5) ta có
zT Az ≤ yT Ay − 2zT A (y − z) ,
zT Az ≤ xT Ax − 2zT A (x − z) .
Vì y − z = t (y − x) và x − z = (1 − t) (x − y), tù hai bat
đang thúc cuoi ta suy ra rang
(1 − t) zT Az + tzT Az ≤ (1 − t) yT Ay + txT Ax,
vì the Q1 (tx + (1 − t) y) = Q1 (z) ≤ tQ1 (x) + (1 − t) Q1 (y) .

Nh vắy Q1 l mđt hm loi.
Ket qua sau cna Cottle [17].
Đ%nh lý 2.7. Cho C ⊂ Rn l mđt tắp loi khỏc rng. Khi ú Q(x) loi trên
C khi và chs khi Q(x) loi trên mői t%nh tien C + α cua X
Ket qua sau cna Martos [17]
Đ%nh lý 2.8. Hàm toàn phương Q(x) tna loi trên Rn khi và chs khi nó loi
trên Rn.
Chúng minh. Lay y là véc tơ tùy ý cna Rn và α > 0 sao cho:
Q(αy) ™ Q(−αy).
(Đői dau cna y, dau α khơng đői, neu can). Khi đó
1 2 T
1
α y Ay + αbT y ™ α2yT Ay − αbT y,
2

2

(2.6)


nghĩa là 2αbT y ™ 0.
Song, neu như đieu này đúng vói m®t α > 0 thì nó se đúng
vói MQI α > 0. V¾y (2.6) đúng vói MQI α > 0. Bây giị, neu Q(x)
tna loi trên Rn thì tù (2.6) suy ra vói MQI α > 0 ta có
[αy − (−αy)]T [A(−αy) + b] = −2α2yT Ay + 2αbT y ™ 0,
nghĩa là bT y ™ αyT Ay.
Bat đang thúc trên đúng vói MQI α > 0 chi khi y T Ay “ 0
ho¾c (−y)T A(−y) “ 0 neu như dau cna y b% đői. Vì y đưoc lay
tùy ý, ta có Q(x) loi trên Rn . Chieu ngưoc lai là hien nhiên.
Đ%nh lý trên chi ra rang, khơng có lý do gì đe nghiên cúu tính loi suy
r®ng cna hàm tồn phương trên ca Rn. Tuy nhiên, có the hàm tồn phương
ho¾c dang tồn phương là gia loi hoắc tna loi trờn mđt tắp con loi cna
Rn, chang han như Rn+, nhưng khơng loi trên t¾p con đó. Ví du như hàm
2
f (x, y) = −xy tna loi trên
+ R , nhưng khơng loi trên đó.

Đ%nh nghĩa 2.9. Ma tr¾n vng đoi xúng A cap n và dang tồn
phương tương úng vói nó xT Ax đưoc GQI là dưói xác đ%nh dương
neu vói

MQI

x ∈ Rn ta có
xT Ax < 0 → Ax “ 0

và dưói xác đ%nh dương ch¾t neu vói

MQI

xT Ax < 0 → Ax > 0

ho¾c Ax ™ 0
x ∈ Rn ta có
ho¾c Ax < 0.

Ta lưu ý rang, neu A nua xác đ%nh dương thì nó dưói xác đ%nh dương
ch¾t và dưói xác đ%nh dương, nhưng đieu ngưoc lai không đúng.
Đ%nh nghĩa 2.10. Ma tr¾n vng đoi xúng A cap n và dang tồn
phương tương úng vói nó xT Ax đưoc GQI là chi dưói xác đ%nh
dương (ch¾t) neu nó dưói xác đ%nh dương (tng ỳng, chắt) nhng nú
khụng nua xỏc %nh dng.
Mđt hm so f đưoc GQI là chi tna loi (chi gia loi) trờn mđt tắp loi,
neu nú tna loi (tng ỳng, gia loi) nhưng nó khơng loi trên t¾p đó.


Đ%nh lý 2.11. Ma tr¾n đoi xúng A là chs dưái xác đ%nh dương khi và chs
khi
i) A có m®t giá tr% riêng (đơn) âm, và
ii) A ™ 0.
Đ%nh lý 2.12. Ma tr¾n đoi xúng A là chs dưái xác đ%nh dương khi và chs
khi
i) A ™ 0. và
ii) tat ca đ%nh thúc con chính cua A là khơng dương.
Chúng minh. Xem [7]

Đ%nh lý 2.13. Hàm toàn phương Q(x) =
n

1
2

xT Ax + bT x là tna loi trên

+

ortan không âm R khi và chs khi ma tr¾n biên
T
Σ là chs dưái xác đ%nh dương. Neu Q(x) là tna loi trên R+
A˜ Σb
=
A b
và b ƒ= 00 thì Q(x) là gia loi trên +
Rn .
Chúng minh. Xem [6],[7]

n

Vói dang tồn phương F (x) = xT Ax ta có ket qua sau cna Martos [12].
Đ%nh lý 2.14. Dang toàn phương xT Ax là tna loi trên Rn + khi và chs khi
khi
nó là dưái xác đ%nh dương. Dang toàn phương xT Ax là gia loi trên Rn
+

và chs khi nó là dưái xỏc %nh dng chắt.
Chỳng minh. Xem [6],[7]

Mđt cỏch n gian đe kiem tra có hay khơng m®t dang tồn phương
n

n

chi tna loi, tna loi trên R+ thì cũng gia loi trên R+ là ket qua đưoc xác
đ%nh sau đây ([22]):
Đ%nh lý 2.15. M®t dang tồn phương xT Ax chs tna loi trên
Rn
loi khi và chs khi A khơng chúa m®t dịng bang 0.

là chs gia
+

Sn suy r®ng cna ket qua trên vói t¾p loi đ¾c tùy ý đưoc cho boi ket qua
sau đây([5]):