Một số phương pháp cơ bản giải bài toán cân bằng

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

Vũ Th% Vân

M®T SO PHƯƠNG PHÁP CƠ BAN
GIAI BÀI TON CN BANG

LUắN VN THAC S KHOA HOC

H Nđi - Năm 2017


ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

Vũ Th% Vân

M®T SO PHƯƠNG PHÁP CƠ BAN
GIAI BÀI TỐN CÂN BANG

Chun ngành:

Tốn giai tích

Mã so:

60 46 01 02

LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC

NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC
GS. TSKH. LÊ DŨNG MƯU


LèI CAM ƠN

Trưóc khi trình bày n®i dung chính cna lu¾n văn, em xin bày to lịng biet
ơn sâu sac tói GS. TSKH. Lê Dũng Mưu, ngưịi đã t¾n tình hưóng dan đe em
có the hồn thành lu¾n văn này.
Em cũng xin bày to lịng biet ơn chân thành tói tồn the các thay cơ giáo
trong khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, Đai HQc Khoa HQc tn nhiên, Đai HQc Quoc gia
H Nđi ó day bao em tắn tỡnh trong suot q trình HQc t¾p tai khoa.
Nhân d%p này em cũng xin gui lịi cam ơn chân thành tói gia đình, ban bè
và các thành viên trong lóp Cao HQc tốn 2015-2017 đã ln quan tâm, đ®ng
viên, giúp đõ em trong thịi gian HQc t¾p và q trình làm luắn vn.
H Nđi, ngy 21 thỏng 11 nm 2017
HQc viờn

V Th% Vân

i


Mnc lnc
Li cam n

i

Li núi au

1

Mđt so kớ hiắu v chE viet tat

3

Chng 1. Tong quan

4

1.1 Mđt so khỏi niắm cơ ban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Sn ton tai nghi¾m và các tính chat cơ ban cna bài tốn cân bang 11

1.3

Các trưịng hop riêng cna bài toán cân bang......................................19
1.3.1

Bài toán toi ưu..........................................................................20

1.3.2

Bài tốn điem n ngna...........................................................20

1.3.3

Bài tốn điem bat đ®ng Kakutani...........................................21

1.3.4

Cân bang Nash trong trị chơi khơng hop tác......................21

1.3.5

Bat đang thúc bien phân.......................................................22

Chương 2. Hai phương pháp cơ ban giai bài toán cân bang

25

2.1

Các dang tương đương......................................................................... 25

2.2

Phương pháp điem bat đ®ng và hàm đánh giá...................................28

2.3

2.2.1

Phương pháp điem bat đ®ng.................................................. 28

2.2.2

Phương pháp hàm đánh giá.....................................................37

Ví du.........................................................................................................41

Ket lu¾n

43

Tài li¾u tham khao

44


Lài nói đau
Cho H là m®t khơng gian Hilbert thnc vói tích vơ hưóng (., .) và chuan
||.|| tương úng. Cho C l mđt tắp loi, úng, khỏc rong trong H và f là
song hàm tù C × C vào R sao cho f (x, x) = 0 vói MQI x ∈ C. Trong ban
lu¾n văn này ta se xét bài tốn cân bang sau đây, đưoc ký hi¾u là EP(C, f):
Tìm x∗ ∈ C sao cho f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C. Bài tốn EP(C,f) cịn đưoc GQI
là bat đang thúc Ky Fan đe ghi nh¾n sn đóng góp cna ơng trong lĩnh vnc
này. Bài tốn cân bang đơn đi¾u có liên quan ch¾t che vói bài tốn tính điem
bat đ®ng cna m®t ánh xa khơng giãn. Ve m¾t lý thuyet bài tốn cân bang đơn
đi¾u và bài tốn điem bat đ®ng cna ánh xa khơng giãn có moi quan h¾
tương ho lan nhau, theo nghĩa, vói m®t vài gia thiet tn nhiên, bài tốn này
có the mơ ta dưói dang bài tốn kia và ngưoc lai.
Ve m¾t hình thúc bài tốn cân bang khá đơn gian, tuy nhiên nó bao hàm
đưoc nhieu lóp bài tốn quan TRQNG khác nhau thu®c nhieu lĩnh vnc.
M®t so trưịng hop riêng cna bài toán cân bang là bài toán toi ưu, bài tốn
điem bat đ®ng Kakutani, bat đang thúc bien phân, cân bang Nash trong trị

chơi khơng hop tác, bài tốn điem n ngna. Như v¾y, nhieu bài tốn quan
TRQNG,

nhieu mơ hình thnc te, trong đó có các bài tốn rat khó ve m¾t tính

tốn, ví du như bài tốn tính điem bat đ®ng Kakutani, ... đeu có the quy ve
dang bài tốn cân bang. Do đó, van đe giai bài tốn cân bang là m®t đe tài
hap dan, thu hút sn quan tâm cna nhieu ngưịi.
Lu¾n văn này se trỡnh by mđt vi cỏch tiep cắn c ban giai bài tốn cân
bang. Đó là cách tiep c¾n dna trờn phng phỏp iem bat đng, cỏch tiep cắn
theo nguyờn lý bài tốn phu, tiep c¾n theo toi ưu hóa dna trên kĩ thu¾t hàm
đánh giá. Cơ so đe xây dnng các phương pháp giai là dna trên các dang tương
1


đương cna bài tốn cân bang.
Bo cuc lu¾n văn gom phan mo đau, hai chương, phan ket lu¾n và danh muc
ti liắu tham khao.
Chng 1. Trỡnh by mđt so khỏi ni¾m cơ ban liên quan đen bài tốn cân
bang, sn ton tai nghi¾m, các tính chat cơ ban và các trưịng hop riêng cna bài
tốn cân bang.
Chương 2. Trình bày cơ so đe xây dnng các phương pháp giai bài toỏn cõn
bang. Tự ú giúi thiắu mđt vi thuắt toỏn đe giai bài tốn cân bang, đ¾c bi¾t
đi sâu vào phương pháp điem bat đ®ng và phương pháp hàm đánh giỏ. Sn hđi
tu cna tựng thuắt toỏn cng oc trỡnh bày cu the trong chương này.
Hà N®i, ngày 21 tháng 11 năm 2017
HQc viên

Vũ Th% Vân

Mđt so kớ hiắu v chE viet tat
H: Khụng gian Hilbert thnc;
X: Khơng gian Banach thnc;
R: T¾p các so thnc;
∅: T¾p rong;
(a, b) = Tích vơ hưóng cna 2 véc-tơ a và b;
ǁxǁ = Chuan cna x;
∂f (x): Dưói vi phân cna hàm f tai x;
∀x: Vói MQI x;
xn → x: Dãy {xn} h®i tu manh tói
x; xn ~ x: Dãy {xn} h®i tu yeu
tói x;
x := y: Nghĩa là, x đưoc đ%nh nghĩa bang y.


Chương 1 Tong
quan
Chương này trình bày các khái ni¾m liên quan đen bài tốn cân
bang, sn ton tai nghi¾m, các tính chat cơ ban và các trưịng hop riêng quan
TRQNG

cna bài toán cân bang. Các kien thúc trong chương đưoc trớch tự ti liắu

[1-5], [12].

1.1

Mđt so khỏi niắm c ban

%nh nghĩa 1.1.1. Khơng gian đ%nh chuan thnc là m®t khơng gian tuyen tính
thnc X trong đó úng vái mői phan tu x ∈ X ta có m®t so ǁxǁ GQI là chuan
cua x, thóa mãn các đieu ki¾n sau:
1. ǁxǁ > 0, ∀x ƒ= 0; ǁxǁ = 0 ⇔ x = 0;
2. ǁx + yǁ ≤ ǁxǁ + ǁyǁ , ∀x, y ∈ X;
3. ǁαxǁ = |α| . ǁxǁ , ∀x ∈ X, α ∈ R.
Đ%nh nghĩa 1.1.2. C¾p (H,(, )) trong đó H là m®t khơng gian tuyen tính
thnc và
(, ) : H × H → R
(x, y) ›→ (x, y)
thóa mãn các đieu ki¾n:
1. (x, x) ≥ 0, ∀x ∈ H; (x, x) = 0 ⇔ x = 0;
2. (x, y) = (y, x) , ∀x, y ∈ H;
3. (λx, y) = λ(x, y) , ∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ H;
4. (x + y, z) = (x, z) + (y, z) , ∀x, y, z ∈ H.


đưac GQI là không gian tien Hilbert.
Không gian tien Hilbert đay đu đưac GQI là khơng gian Hilbert.
Ví dn 1.1.1. L2[a,b] là khơng gian các hàm bình phương kha tích trên [a, b] vái
∫ b
f ∈ [a,
b]
sao cho a f 2 (x) dx < +∞ là m®t khơng gian Hilbert vái tích
2
L
vơ
hưáng
∫
(f, g) = a

b

f (x) g (x) dx;

và chuan
=

.∫

ǁf
ǁ
Trên H có hai kieu h®i tu chính sau:
L2[a,b]

b 2
a f

(x)

Σ 21
.

Đ%nh nghĩa 1.1.3. Xét dãy {xn}n≥0 và x thu®c khơng gian Hilbert thnc H.
Khi đó:
• Dãy {xn} đưac GQI là hđi tn manh tỏi x, ký hiắu {xn} x, neu như
lim ǁxn − xǁ = 0.

n→+
∞

• Dãy {xn} đưac GQI l hđi tn yeu tỏi x, ký hiắu {xn} ~ x, neu như
lim (ω, xn) = (ω, x) , ∀ω ∈ H.

n→+
∞

Ta nhac lai các ket qua trong giai tích hàm (xem [2]) liên quan đen hai loai
h®i tu ny.
Mắnh e 1.1.1. Ta cú cỏc khang %nh sau õy:
ã Neu {xn} h®i tn manh đen x thì cũng h®i tn yeu en x.
ã MQI dóy hđi tn manh (yeu) eu b% chắn v giỏi han theo sn hđi tn manh
(yeu) neu ton tai là duy nhat.
• Neu khơng gian Hilbert thnc H là khơng gian huu han chieu thì sn h®i tn
manh và sn h®i tn yeu là tương ng.
ã Neu {xn}n0 l mđt dóy b% chắn trong khụng gian Hilbert thnc H thì ta
trích ra đưac m®t dãy con h®i tn yeu.


ã Neu {xn}n0 l mđt dóy b% chắn trong khụng gian Hilbert thnc huu han
chieu H thì ta trích ra đưac m®t dãy con h®i tn manh.


Tiep theo, ta se nêu m®t so đ%nh nghĩa và ket qua cơ ban cna giai tích loi
đưoc phát bieu trong [1], [12].
Xét C là t¾p con khác rong trong không gian Hilbert thnc H.
Đ%nh nghĩa 1.1.4. Tâp C trong khụng gian Hilbert thnc H ac GQi l
mđt tắp loi neu
∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ) y ∈ C.
Đ%nh nghĩa 1.1.5. Điem a đưac GQI là điem biên cua C neu MQI lõn cắn cua

a eu cú iem thuđc C v iem khụng thuđc C;
Tắp C ac GQI l tắp úng neu C chúa MQI điem biên cua nó;
T¾p C đưac GQI l mđt tắp compact yeu neu C l mđt tắp úng v b% chắn.
%nh ngha 1.1.6. Cho C l mđt t¾p loi và x ∈ C. Ký hi¾u:
NC (x) := {w| (w, y − x) ≤ 0, ∀y ∈ C}.
Nón này đưac GQI là nón pháp tuyen ngồi cua C tai x.
Đ%nh nghĩa 1.1.7. Xét hàm f : H → R ∪ {+∞}. Khi đó:
(i) Hàm f đưac GQI là hàm loi trên H neu
f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) , ∀x, y ∈ H, ∀λ ∈
(0, 1);
(ii) Hàm f đưac GQI là hàm loi ch¾t trên H neu
f (λx + (1 − λ) y) < λf (x) + (1 − λ) f (y) , ∀x ƒ= y ∈ H, ∀λ
∈ (0, 1);
(iii) Hàm f đưac GQI là hàm loi manh trên H vái h¾ so η > 0 neú
2

f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f 2(y) − ηλ(1−λ) ǁx − yǁ ,
∀x, y ∈ H, ∀λ ∈ (0, 1) .
Dưói đây là m®t so ví du quen thu®c ve hàm loi.
Ví dn 1.1.2. Xét các ví dn sau:
1. Hàm affine. f (x) = aT x + b, trong đó a ∈ Rn, b ∈ R là hàm loi. Nó
thóa mãn đang thúc
f (λx + (1 − λ) y) = λf (x) + (1 − λ) f (y), ∀x, y ∈ H,
∀λ ∈ (0, 1) .


Do đó nó khơng loi ch¾t.



Cho C ƒ= ∅ là mđt tắp



:=

loi.

0 khi x C

+khi x / C

2. Hàm chs. Đ¾t
δC

Ta nói δC là hàm chs cua C. Do C loi nên δC là hàm loi.
3. Hàm khoang cỏch. Gia su C l mđt tắp úng, khỏc rng. Hàm khoang cách
dC (y) đưac đ%nh nghĩa như sau:
dC (y) = inf ǁ −x ǁy .
x∈C

Khi đó, neu C là t¾p loi thì dC là hàm loi.
Th¾t v¾y, xét x, y ∈ H và λ ∈ (0, 1) bat kỳ. Đ¾t z = λx + (1 − λ)
y . Theo đ%nh nghĩa ton tai các dãy {xk}, {yk} trong C sao cho
lim ǁx − xkǁ = dC (x) và lim ǁy − ykǁ = dC (y).
k→∞

k→∞

Do C loi nên zk := λxk + (1 − λ) yk ∈ C. Ta có

dC (z) ≤ ǁz − zkǁ
= ǁλ (x − xk) + (1 − λ) (y − yk)ǁ
≤ λǁx − xkǁ + (1 − λ) ǁy − ykǁ .
Cho k → ∞ ta có dC (z) ≤ λdC (x) + (1 − λ) dC
(y). V¾y dC là hàm loi.
Neu ton tai π ∈ C sao cho ǁπ − yǁ = dC (y) thì π đưoc GQI là hình
chieu
khoang cách cna y trên C. Khi đó, π là nghi¾m cna bài tốn toi ưu
min
y∈C

ǁ x− yǁ 2
.
2

Đ%nh nghĩa 1.1.8. Cho f : H → R ∪ {+∞}. Ta nói x∗ ∈ H là dưái đao hàm
cua f tai x neu
(x∗ , z − x) + f (x) ≤ f (z) , ∀z.


Ký hi¾u t¾p tat ca các dưói đao hàm cna f tai x là ∂f (x).
Khi ∂f (x) ƒ= ∅ thì ta nói hàm f kha dưói vi phân tai điem
x.


f đưoc GQI là kha dưói vi phân trên m®t t¾p neu f kha dưói vi phân tai MQI
điem trên t¾p đó.
Ví dn 1.1.3. Xét các ví dn sau:
1. f (x) = ǁxǁ , x ∈ Rn. Tai điem x = 0 hàm này khơng kha vi, nhưng
nó kha dưái vi phân và

∂f (0) = {x∗ | (x∗ , x) ≤ ǁxǁ , ∀x};
2. f = δC là hàm chs cua mđt tắp loi C = . Khi ú, vỏi x0 ∈ C,
∂δC (x0 ) = {x∗ | (x∗ , x − x0 ) ≤ δC (x) , ∀x}.
Vái x ∈/ C thì δC (x) = +∞, nên bat đang thúc này ln đúng. V¾y
∂δC (x0 ) = {x∗ | (x∗ , x − x0 ) ≤ 0, ∀x ∈ C} = NC (x0 ).
Ta có m¾nh đe sau nói lên tính kha dưói vi phân cna hàm loi.
M¾nh đe 1.1.2. Neu f : H → R là hàm loi thì ∂f (x) ƒ= ∅ vái MQI x ∈ X
hay
f kha dưái vi phân khap nơi.
M¾nh đe này là trưịng hop riêng cna Đ%nh lý 23.4, trang 217 trong tài li¾u
[12].
Đ%nh nghĩa 1.1.9. Hàm f : H → R đưac GQI là nua liên tnc dưái đoi vái E
.
tai m®t điem x, neu như vái MQi dãy {xk } ⊂ E; xk → x ta có lim inf f xk
Σ
≥f
(x); Hàm f đưac GQI là nua liên tnc trên đoi vái E tai m®t điem x, neu −f
.
nua liên tnc dưái đoi vái E tai điem x. Hay là vái MQI dãy {xk } ⊂ E; xk
Σ
→ x thì
lim sup f xk ≤ f (x);
Hàm f đưac GQI là liên tnc đoi vái E tai m®t điem x neu như nó vùa
nua liên tnc trên và vùa nua liên tnc dưái đoi vái E tai x.
Khi E là tồn khơng gian, ta nói đơn gian là nua liên tnc dưái, nua liên tnc
trên hay liên tnc.


Đ%nh nghĩa 1.1.10. M®t hàm so thnc ϕ đưac GQI là tna loi trên t¾p loi C, neu
vái MQI so thnc γ t¾p múc dưái

{x ∈ C|ϕ (x) ≤ γ}
loi.
Tương tn, m®t hàm ϕ đưac GQI là tna lõm trên C, neu −ϕ là hàm tna loi trên
C.
Neu ϕ là hàm tna loi trên C thì ∀x, y ∈ C và λ ∈ [0, 1] ta có
ϕ (λx + (1 − λ) y) ≤ max (ϕ (x) , ϕ (y));
Tương tn, neu ϕ là hàm tna lõm trên C thì ∀x, y ∈ C và λ ∈ [0, 1] ta
có
ϕ (λx + (1 − λ) y) ≥ min (ϕ (x) , ϕ (y)).
Các đ%nh nghĩa ve tính đơn đi¾u cna song hàm và ánh xa đưoc su dung
trong vi¾c trình bày tính duy nhat nghiêm cna bài tốn cân bang. Trong các đ
%nh nghĩa sau xét C là t¾p khác rong, đóng, loi trong khơng gian Hilbert thnc
H.
Đ%nh nghĩa 1.1.11. Gia su f : C × C → R. Ta nói
(i) f đơn đi¾u manh trên C vái h¾ so τ > 0, neu
2

f (x, y) + f (y, x) ≤ −τ ǁx − yǁ , ∀x, y ∈ C;
(ii) f đơn đi¾u ch¾t trên C, neu
f (x, y) + f (y, x) < 0, ∀x, y ∈ C, x ƒ= y;
(iii) f đơn đi¾u trên C, neu
f (x, y) + f (y, x) ≤ 0, ∀x, y ∈ C;
(iv) f gia đơn đi¾u trên C, neu
f (x, y) ≥ 0 ⇒ f (y, x) ≤ 0, ∀x, y ∈ C;
(v) f liên tnc có tính chat kieu Lipschitz trên C vái hang so c1 > 0
và c2 > 0, neu
2

2

f (x, y) + f (y, z) ≥ f (x, z) − c1 ǁx − yǁ − c2 ǁy − zǁ ,
∀x, y ∈ C.
Tù đ%nh nghĩa ta có (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv). Tuy nhiên, đieu ngưoc lai
khơng đúng. Ta xét ví du sau:


Ví dn 1.1.4. Xét hàm h : H → R. Khi đó:


1. f (x, y) := h (x) − h (y) là đơn đi¾u nhưng khơng đơn đi¾u ch¾t.
2. g (x, y) := h (x) − h (y) − 1 là đơn đi¾u ch¾t nhưng khơng đơn đi¾u
manh.
Th¾t v¾y, xét g (x, y) + g (y, x) = −2 < 0 vói MQI x, y ∈ H nên
g đơn đi¾u ch¾t.
Gia su ton tai h¾ so τ > 0 thoa mãn đieu ki¾n đơn đi¾u manh, suy ra
2

τ ǁx − yǁ ≤ 2, ∀x, y ∈ H.
CHQN x = 0 và y = tv vói v là m®t véc-tơ khác 0 trong H, ta đưoc
τ ≤ 2 , ∀ t∈ R .
|t|·ǁvǁ

Cho t → ∞ thì đieu ki¾n trên chi xay ra khi τ ≤ 0 (mâu thuan).
Các khái ni¾m ve đơn đi¾u đoi vói song hàm có liên quan ch¾t che vói các
khái ni¾m ve đơn đi¾u cna ánh xa (tốn tu), rat quen thu®c trong giai tích phi
tuyen.
Đ%nh nghĩa 1.1.12. Ánh xa F : C → R đưac GQI là
(i) đơn đi¾u manh trên C vái h¾ so τ > 0, neu
2

(F (x) − F (y) , x − y) ≥ τ ǁx − yǁ , ∀x, y ∈ C;
(ii) đơn đi¾u ch¾t trên C, neu
(F (x) − F (y) , x − y) > 0, ∀x, y ∈ C;
(iii) đơn đi¾u trên C, neu
(F (x) − F (y) , x − y) ≥ 0, ∀x, y ∈ C;
(iv) gia đơn đi¾u trên C, neu
(F (y) , x − y) ≥ 0 ⇒ (F (x) , x − y) ≥ 0, ∀x, y ∈
C;
(v) liên tnc L−Lipschitz trên C, neu
ǁF (x) − F (y)ǁ ≤ Lǁx − yǁ , ∀x, y ∈ C.
Tù đ%nh nghĩa ta có (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv).
Ví dn 1.1.5. Cho C là tắp loi, hm f : C R. Khi ú:
ã ∂f là đơn đi¾u trên C.


Th¾t v¾y, lay tùy ý x, y ∈ C và do f là hàm loi nên
f (x) ≥ f (y) + (v, x − y) , ∀v ∈ ∂f (y),
f (y) ≥ f (x) + (u, y − x) , ∀u ∈ ∂f (x).
C®ng hai bat đang thúc trên vói nhau, suy ra
(v − u, y − x) ≥ 0, x, y
C. Vắy f l n iắu trờn C.
ã Neu f là hàm kha vi, loi manh trên C thỡ ao hm cua f l n iắu
manh trờn C.
ã Neu f là hàm kha vi, loi ch¾t trên C thì đao hàm cua f là đơn đi¾u ch¾t
trên C.
Nh¾n xét 1.1.1. Neu F là L− Lipschitz trên C thì vái mői x, y ∈ C, f (x, y)
=
L

(F (x) , y − x) có tính chat liên tnc kieu Lipschitz vái hang so c1 = c2 =

trên

2

C.
Th¾t v¾y,
f (x, y) + f (y, z) − f (x, z) = (F (x) , y − x) + (F (y) , z − y)
− (F (x) , z − x)
= − (F (y) − F (x) , y − x)
≥ − ǁF (x) − F (y)ǁ ǁy − zǁ
≥ −Lǁx − yǁ ǁy − zǁ
L
L
2
2
≥ − ǁx − yǁ − ǁy − zǁ
2
2
2
2
= c1 ǁx − yǁ − c2 ǁy − zǁ .
Do v¾y, f là liên tuc có tính chat kieu Lipschitz trên C.

1.2

SE ton tai nghi¾m và các tính chat cơ ban cua
bài toán cân bang

Trong phan này ta nhac lai m®t so đ%nh lý quen thu®c trong giai tích phi
tuyen. Các đ%nh lý này là cơng cu sac bén đe nghiên cúu, đ¾c bi¾t là đe chúng

minh sn ton tai nghi¾m cna bài tốn cân bang.
Bài tốn cân bang
Ta nhac lai bài tốn cân bang (cịn đưoc GQI là bat đang thúc Ky
Fan): Xét H là khơng gian Hilbert thnc, C là t¾p loi, đóng, khác rong
cna H và f : C × C → R ∪ {+∞}. Khi đó, bài tốn cân bang là bài
tốn:
Tìm x ∈ C sao cho f (x, y) ≥ 0, ∀y ∈ C .
(EP)
T¾p nghi¾m cna bài tốn cân bang đưoc ký hi¾u là Sol (C, f ).
Dưói đây ta se ln gia thiet f (x, x) = 0 vói MQI x C. Mđt
song hm thoa món ieu kiắn này đưoc GQI là song hàm cân bang. C đưoc GQI
là t¾p chap nh¾n đưac hay t¾p chien lưac và f là hàm cân bang cna bài toán
(EP).
Tiep theo, ta xét sn ton tai nghi¾m và các tính chat cơ ban cna bài
toán cân bang. Đe chúng minh ket qua ve sn ton tai nghi¾m cna bài tốn ta su
dung đ%nh lý minimax quan TRQNG sau đây:
Đ%nh lý 1.2.1. Cho C

⊆ H, D ⊆ H là các t¾p loi, đóng, khác rőng

và f : C × D → R. Gia su vái MQI y ∈ D, hàm f (., y) tna loi, nua liên
tnc dưái trên C và vái MQI x ∈ C, hàm f (x, .) tna lõm, nua liên tnc
trên trên D. Khi đó, neu có m®t trong hai ieu kiắn sau:
(A) Cú mđt tắp huu han N D và m®t so η > γ = sup inf f (x, y)
sao
∗
y∈D x∈C

cho t¾p

C (N∗ ) := .x ∈ C| max f (x, y) ≤ η∗ Σ

compact
;

y∈N
∗

(B) Có m®t tắp huu han M C v mđt so < η := inf sup f (x, y)
sao
∗
x∈C y∈D

cho t¾p
compact. Thì
x∈M
∗


D (M∗ )
:= .y ∈
D| min
f (x,
y) ≥ γ∗ Σ


sup inf f (x, y) = inf sup f (x, y);
y∈D x∈C

Cn the hơn, ta có
sup

x∈C y∈D

f (x, y) = inf sup f (x, y);

min
y∈D x∈C(N∗)

x∈C y∈D

neu có (A) và
inf sup f (x, y) =
neu có (B).

x∈C
y∈D

max

y∈D(M∗) x∈C

inf f (x, y).

Dưói đây ta se chúng minh m®t ket qua ve sn ton tai nghi¾m cna bài tốn
cân bang (EP) dna trên Đ%nh lý minimax 1.2.1.
M¾nh đe 1.2.1. Cho C ⊆ H là t¾p loi, đóng, khác rőng và song hàm cân
bang f có tính chat: hàm f (x, .) tna loi, nua liên tnc dưái trên C, hàm f

(., y) tna lõm, nua liên tnc trên trên C. Gia su:
(A1) Cú mđt tắp huu han N. C sao cho t¾p
Σ
C (N∗)
compact, ho¾c
∈ |
:=
≥
x C min f (x, y) 0
y∈N∗


(B1) Cú mđt tắp huu han M. C sao cho t¾p
Σ
y ∈ C| max f (x, y)
D (M∗)
0≤
compact. Khi đó bài :=
tốn (EP) có nghi¾m.
x∈M∗
ChÉng minh:
Đ¾t φ (x, y) := −f (x, y) và D ≡ C. Khi đó hàm φ thoa mãn MQI đieu ki¾n
cna
Đ%nh lý 1.2.1. Do đó, ta có
sup inf φ (x, y) = inf sup φ (x, y) .
y∈C x∈C

(1.1)

x∈C y∈C

Ta se chúng minh
inf sup φ (x, y) = 0.

(1.2)

x∈C y∈C

Th¾t v¾y, ta có:
inf sup φ (x, y) ≥ inf φ (x, x) = 0;
x∈C y∈C

x∈C

(1.3)


đang thúc cuoi là do φ (x, x) = 0.
M¾t khác, ta lai có:
sup inf φ (x, y) ≤ sup φ (y, y) = 0.
y∈C x∈C

(1.4)

y∈C

đang thúc cuoi là do φ (y, y) =
0. Tù (1.1), (1.3), (1.4) ta suy ra:
sup inf φ (x, y) = inf sup φ (x, y) = 0.
y∈C x∈C

(1.5)

x∈C y∈C

Gia su đieu ki¾n (A1) đưoc thoa mãn, theo Đ%nh lý 1.2.1 ton tai x thu®c
C (N∗) ⊂ C sao cho
min sup φ (x, y) = 0.
x∈C(N∗) y∈C

Đ¾t s := sup φ (x, y). Do φ (., y) nua liên tuc dưói trên C, nên s cũng
nua
y∈C

liên tuc dưói trên C. Do C (N∗) là t¾p compact, nên ton tai x∗ ∈ C (N∗), sao
cho
s (x∗ ) = min s (x) = 0.
x∈C(N∗
)

Hay

s (x∗ ) = sup φ (x∗ , y) = 0.
y∈C

Suy ra φ (x , y) ≤ 0 vói MQI y ∈ C.
∗

V¾y f (x∗ , y) = −φ (x∗ , y) ≥ 0 vói MQI y ∈ C. Chúng to x∗ là nghi¾m
cna bài tốn cân bang (EP).

M¾nh đe đã đưoc chúng minh.
Trong m¾nh đe trên, ta địi hoi tính tna lõm trên C cna hàm f (., y) vói
MQi

y ∈ C. Trên thnc te, đieu này có the loai bo. Đe chúng minh sn ton tai

nghi¾m cna bài tốn cân bang, khi song hàm cân bang không can tna
lõm theo bien thú nhat, ta can đen các đ%nh lý điem bat đ®ng trong giai tích
hàm là Đ%nh lý Kakutani và m®t trưịng hop riêng quan TRQNG cna nó là Đ%nh
lý Brouwer. Đe ti¾n theo dõi, ta nhac lai các đ%nh lý này trong khơng
gian Euclide huu han chieu, m¾c dù các đ%nh lý này đã đưoc chúng minh
trong không gian vô han


chieu.
Đ%nh lý 1.2.2. (điem bat đ®ng Kakutani). Cho C là mđt tắp loi, compact
trong khụng gian Rn v F : C → 2C là m®t ánh xa đa tr%, nua liên tnc trên
và F (x) loi, đóng, khác rőng vái MQI x ∈ C. Khi đó, F có điem bat đ®ng,
túc là ton tai x∗ ∈ C, thóa mãn x∗ ∈ F (x).
M®t trưịng hop riêng quan TRQNG cna đ%nh lý trên là Đ%nh lý điem bat đ®ng
Brouwer như sau:
Đ%nh lý 1.2.3. (điem bat đ®ng Brouwer). Cho C là m®t tắp loi, compact trong
khụng gian Rn v F l mđt ánh xa (đơn tr%) liên tnc tù C vào C. Khi đó, ton tai x∗
∈ C, thóa mãn x∗ = F (x).
Ta cũng se su dung đ%nh lý quen thu®c sau, là Đ%nh lý cnc đai Berge.
Đ%nh lý 1.2.4. Cho X, Y là các không gian tô-pô, F : X → 2Y là ánh xa
nua liên tnc trên trên X sao cho F (x) compact, hơn nua F (X) compact.
Gia su f : X × X → R là hàm so nua liên tnc trên trên X. Khi đó hàm giá
tr% toi ưu g (x) := max {f (x, y) : y ∈ F (x)}
nua liên tnc trên và ánh xa t¾p nghi¾m toi ưu

S (x) := {y ∈ F (x) : f (x, y) = g (x)}
nua liên tnc trên.
Dna vào Đ%nh lý điem bat đ®ng Kakutani và Đ%nh lý cnc đai Berge, ta có
m¾nh đe sau nói ve sn ton tai nghi¾m cna bài tốn cân bang.
M¾nh đe 1.2.2. Cho C l mđt tắp loi, compact, khỏc rng và song hàm cân
bang f : C × C → R ∪ {+∞} có các tính chat:
(i) f (., y) nua liên tnc trên vái MQI y ∈ C;
(ii) f (x, .) loi, nua liên tnc dưái và kha dưái vi phân trên C vái MQI x ∈
C. Khi đó, bài tốn (EP) có nghi¾m.


ChÉng minh:
Vói moi x ∈ C, ta GQi S (x) là t¾p nghi¾m cna bài tốn
min {f (x, y) : y ∈ C} .

(CO)

Do C compact và f (x, .) nua liên tuc dưói nên theo Đ%nh lý Weistrass, bài
tốn này ton tai nghi¾m. Hơn nua, do C loi, compact, f (x, .) loi, nên S (x) loi,
compact. Theo Đ%nh lý cnc đai Berge, ánh xa S nua liên tuc trên, vói S là m®t ánh
xa tù C vào C. Vắy theo %nh lý iem bat đng Kakutani, ton tai x∗ ∈ C
thoa mãn x∗ ∈ S (x∗ ).
Bây giò, ta se chi ra x∗ là nghi¾m cna bài tốn cân bang (EP).
Th¾t v¾y, do f (x, .) loi, kha dưói vi phân trên C, theo đieu ki¾n can và
đn toi ưu cna quy hoach loi, ta có:
0 ∈ ∂2 f (x∗ , x∗ ) + NC (x∗ ).
Theo đ%nh nghĩa cna dưói vi phân và nón pháp tuyen, tù đây ta có v∗ ∈
∂2 f (x∗ , x∗ ) thoa mãn:
(v ∗ , y − x∗ ) ≥ 0, ∀y ∈ C.
Do v ∗ ∈ ∂2 f (x∗ , x∗ ) nên

(v ∗ , y − x∗ ) ≤ f (x∗ , y) − f (x∗ , x∗ ) = f (x∗ , y) ,
∀y ∈ C. V¾y f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C. Đieu này chúng to x∗ là
nghi¾m cna (EP). M¾nh đe đã đưoc chỳng minh.
Hắ qua 1.2.1. Cho C l mđt tắp loi, đóng (khơng can compact) và song hàm
cân bang f như á m¾nh đe trên. Gia su đieu ki¾n (C1) sau đây đưac thóa
mãn: Ton tai t¾p compact B sao cho
C ∩ B ƒ= ∅, ∀x ∈ C\B, ∃y ∈ C : f (x, y) < 0.
Khi đó, bài tốn (EP) có nghi¾m.
ChÉng minh:
Theo m¾nh đe trên, bài tốn cân bang trên t¾p compact C ∩ B vói hàm cân bang
f có nghi¾m, túc là ton tai x∗ ∈ C ∩ B. Tù đieu ki¾n (C1) và tính loi cna