Hệ phương trình đi ô phăng tuyến tính

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN
- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

VŨ TUAN ANH

Hfi PHƯƠNG TRÌNH ĐI-Ơ-PHĂNG
TUYEN TÍNH

LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC

Hà N®i −
2014


VŨ TUAN ANH

Hfi PHƯƠNG TRÌNH ĐI-Ơ-PHĂNG
TUYEN TÍNH

Chun ngành: TỐN GIAI TÍCH
Mã so:
60460102

LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC

NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC:
GS.TS. TRAN VŨ THIfiU


Mnc lnc

Ma đau

2

1 Kien thÉc chuan b%

5

1.1 Dang chuan Hecmit................................................................. 5
1.2 Ma tr¾n đơn mơđula............................................................. 10
2 Phương trình Đi-ơ-phăng tuyen tớnh

14

2.1 úc chung lún nhat...............................................................14
2.2 Thuắt toỏn -clớt mo rđng....................................................17
2.3 Phương trình Đi-ơ-phăng tuyen tính...................................... 23
2.4 M®t so úng dung cna phương trình Đi-ơ-phăng....................29
3 H¾ phương trình Đi-ơ-phăng tuyen tính

32

3.1 H¾ phương trình Đi-ơ-phăng tuyen tính................................32
3.2 Đieu ki¾n ton tai nghi¾m ngun......................................... 34
3.3 Thu¾t tốn Hecmit................................................................ 36
3.4 Nghi¾m ngun dương cna h¾ phương trình Đi-ơ-phăng. . .38
3.5 Quy hoach tuyen tính Đi-ơ-phăng..........................................41
Ket lu¾n

44

Tài li¾u tham khao

45

3


Ma đau
Phương trình Đi-ơ-phăng tuyen tính (Linear Diophantine Equations)
mang tên nhà tốn HQc cő Hy Lap Đi-ơ-phăng o xú Alexandria vào khoang
The ky thú 3 sau Công nguyên. Đi-ô-phăng đã viet mđt chuyờn luắn cú
tờn Arithmetica, ú l cuon sỏch sóm nhat đưoc biet ve lý thuyet so và
đai so.
Phương trình Đi-ơ-phăng là phương trình đai so địi hoi tìm
nghi¾m huu ti ho¾c ngun. Phương trình đai so là phương trình chi
bao gom các bieu thúc đa thúc cna m®t ho¾c nhieu bien. Tính “Đi-ơphăng” cna phương trình là o cho các h¾ so cna đa thúc phai là các
so huu ti (ho¾c so ngun) và nghi¾m cũng chi có the là so huu ti
(ho¾c so ngun).
Hai phương trình quen biet tù lý thuyet so sơ khai, có tù trưóc thịi
Đi-ơ-phăng là nhung ví du ve phương trình Đi-ơ-phăng. Ca hai loai
phương trình này đeu đã đưoc ngưịi Babylon biet đen. Đó là
1. Phương trình b¾c nhat (tuyen tính), hai bien
ax + by = c.
2. Phương trình b¾c hai (phi tuyen), ba bien

x2 + y 2 = z 2 .
Lu¾n văn này có muc đích tìm hieu và trình bày thu¾t tốn Ơ-clít tìm
các nghi¾m ngun cna phương trình Đi-ơ-phăng tuyen tính n bien có dang

4


a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b,

5


trong
a1, a2, ...,
an, bcna
là các
huu ti và
thu¾t
tốn Hecmit
tìmtính
tat
ca
ngun
h¾so
phương
trình
Đi-ơ-phăng
tuyen
Ax các
= đó
b nghi¾m
vói ma tr¾n A và véctơ b huu ti.
Lu¾n văn đưoc chia thành ba chương.
Chương 1 "Kien thúc chuan b%" nhac lai các khái ni¾m cna đai so ve

dang chuan Hecmit và ma tr¾n đơn mơđula, liên quan tói vi¾c giai
h¾ phương trình Đi-ơ-phăng tuyen tính. Đáng chú ý là

MQI

ma tr¾n vói

các phan tu huu ti và có hang bang so hàng cna ma tr¾n đeu đưa đưoc ve
dang chuan Hecmit nhũ cỏc phộp bien i cđt trờn ma trắn, dang chuan
này là duy nhat. Dang chuan Hecmit lai có quan h¾ vói các ma tr¾n đơn
mơđula (ma tr¾n ngun, khơng suy bien và có đ%nh thúc bang +1 hay
−1). Vói ma tr¾n huu ti A có hang bang so hàng ln ton tai ma tr¾n
đơn mơđula U sao cho AU là dang chuan Hecmit cna A. Nêu cách đưa
m®t ma tr¾n ve dang chuan Hecmit, cách tìm ma tr¾n đơn mơđula
tương úng và đưa ra các ví du so minh HQA cách làm.
Chương 2 "Phương trình Đi-ơ-phăng tuyen tính" đe c¾p tói
phương trình Đi-ơ-phăng tuyen tính cna hai hay nhieu bien so.
Chương này trình bày nhieu đ%nh nghĩa và đ%nh lý can thiet cho
vi¾c tìm tat ca các nghi¾m ngun cna phương trình Đi-ơ-phăng
tuyen tính. Đó là khái ni¾m ưóc chung lón nhat, thu¾t tốn Ơ-clít,
thu¾t tốn Ơ-clít mo r®ng. Đưa ra các ví du so và các tính toán chi tiet
giúp hieu rõ hơn các đ%nh nghĩa và %nh lý. Cuoi chng e cắp
en mđt so vớ du úng dung thnc te cna phương trình Đi-ơ-phăng tuyen
tính.
Chương 3 "H¾ phương trình Đi-ơ-phăng tuyen tính" đe c¾p tói h¾
phương trình Đi-ơ-phăng tuyen tính và các đieu ki¾n can và đn đe h¾
có nghi¾m ngun, dna trên các ket qua lý thuyet ve dang chuan
Hecmit và ma tr¾n đơn mơđula đã nêu o Chương 1. Sau đó, trình bày
thu¾t tốn Hecmit tìm tat ca các nghi¾m ngun cna h¾ phương trình
Đi-ơ-phăng tuyen tính. Cuoi chương đe c¾p tói nghi¾m ngun dương

cna h¾ phương trình Đi-ơ-phăng tuyen tính và bài tốn qui hoach tuyen
tính Đi-ơ-phăng. Các thu¾t tốn tìm nghi¾m ngun hay nguyên
dương đeu có kèm theo
6


các ví du so đe minh

HQA.

M¾c dù đã có nhieu co gang, nhưng do thòi gian và kien thúc còn
han che nên có the lu¾n văn này cịn có nhung thieu sót nhat đ%nh.
Vì v¾y, tác gia mong muon đưoc tiep thu và chân thành cám ơn nhung
ý kien đóng góp cna các thay cơ và các ban đe lu¾n văn đưoc hồn
thi¾n hơn.
Nhân d%p này, tác gia lu¾n văn xin bày to lịng kính

TRQNG

và biet ơn

sâu sac tói GS.TS. Tran Vũ Thi¾u đã hưóng dan t¾n tình tác gia hồn
thành lu¾n văn này. Tác gia cũng xin bày to lịng biet ơn chân thành
đen các thay phan bi¾n đã dành thịi gian ĐQc và đóng góp nhieu ý kien
q báu cho tác gia. Tác gia cũng xin trân TRQNG cam ơn ban lãnh đao
khoa Toán – Cơ – Tin HQc, khoa Sau đai HQc và các thay cô giáo trưòng
Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên, Đai HQc Quoc gia H Nđi ó trang b% kien
thỳc, tao ieu kiắn thuắn loi cho tác gia trong suot nhung năm tháng
tác gia hQc t¾p tai trưịng. Cuoi cùng, tác gia xin cam ơn gia đình, ban
bè và đong nghi¾p đã quan tâm, đng viờn v chia se e tỏc gia hon

thnh luắn văn cna mình.
Hà N®i, ngày 20 tháng 11 năm
2014 Tác gia lu¾n văn

Vũ Tuan Anh

7


Chương 1

Kien thÉc chuan b%
Chương này nhac lai khái ni¾m ve dang chuan Hecmit và ma tr¾n đơn
mơđula có liên quan tói vi¾c giai h¾ phương trình Đi-ơ-phăng tuyen tính.
Muc 1.1 nói ve dang chuan Hecmit: MQI ma tr¾n vói các phan tu huu ti và
có hang bang so hàng cna ma tr¾n đeu đưa đưoc ve dang chuan Hecmit,
dang chuan này là duy nhat. Muc 1.2 nói tói ma tr¾n đơn mơđula: vói ma
tr¾n huu ti A có hang bang so hàng ln ton tai ma tr¾n đơn mơđula U
sao cho AU là dang chuan Hecmit cna A. N®i dung cna chương đưoc
tham khao tù các tài li¾u [3] v [4].

1.1

Dang chuan Hecmit

%nh ngha 1.1. Mđt ma trắn cap m ì n cú hang bang so hng cna
ma trắn đưoc GQI là o dang chuan Hecmit (Hecmit normal form) neu:
ã Ma trắn cú dang [BO], trong ú B l ma trắn cap m ì m cú
ngh%ch ao;
ã B cú dang tam giác dưói;

• Các phan tu đưịng chéo cna B dương;
• MQI phan tu khác cna B khơng âm;
8


Chương 1. Kien thúc chuan b%
• Phan tu lón nhat o moi hàng cna B là duy nhat và nam trên
đưịng chéo chính cna B, cịn O là ma tr¾n khụng cap m ì (n
m).
Sau õy l mđt vớ du ve ma tr¾n o dang chuan Hecmit:
.
Σ
2 0 0 0 0
3 4 0 0
.
0
1 0 3 0
Đ%nh nghĩa 1.2. Các phép tốn sau ve ma tr¾n đưoc GQI là phép tốn c®t
sơ cap (elementary column operations):
a) Đői cho hai c®t;
b) Nhân m®t c®t vói −1 (túc đői dau m®t c®t);
c) Thêm m®t b®i nguyên cna m®t c®t vào m®t c®t khác.
Đ%nh lý 1.1. (Dang chuan Hecmit, [4] Đ%nh lý 4.1, tr. 45). MQI ma
tr¾n vái các phan tu huu ts có hang bang so hàng cua ma tr¾n có
the đưa ve dang chuan Hecmit bang cách thnc hi¾n các phép tốn c®t sơ
cap.
Chúng minh. Gia su A là m®t ma tr¾n huu ti vói hang bang so hàng.
Khơng giam tőng qt, có the xem A là ma tr¾n vói các phan tu
nguyên. Gia su ta đã bien đői A (bang cỏch thnc hiắn cỏc phộp toỏn
cđt s cap) ve dang

.
Σ,
BO
C
trong đó B có dang tam giác dưói và MQI phan tu o trên đưịng chéo là so
hàng
đau
cna
d12có
...d
] khơng
âmgia
vàtốn
saoHơn
cho
tőng
d≥11 ...
+
d12
+
11
1kcó
...
+
dd
Bây
giị
dùng
cácD
phép

c®t
sơ
có
1kDdương.
bien
đői
đe0D[d
cho
nho
nhat
the.
Ta
thiet
dcap,
≥
dthe
11
12neu
1k
Khi
đó
>
(do
A
hang
bang
so
nua,
d12
>

0.
11
thì
bang
cách
lay
c®t
thú
nhat
cna
trùhàng).
c®t
thúd
hai≥
cna
D, ta
hàng
thú
nhat
se
có
tőng
nho
hơn,
trái
vói
gia
thiet
vùa
nêu.

Do
đó
d
=
...
=
d
=
0
và
ta
nh¾n
đưoc
ma
12
1k
tr¾n tam giác dưói lón hơn.

9


Bang cách l¾p lai thao tác này, cuoi cùng ma tr¾n A se đưoc bien
đői thành [BO] vói B = (bij) là ma tr¾n tam giác dưói vói đưịng chéo
dương.
Tiep theo, ta bien đői ma tr¾n B như sau. Vói moi hàng i = 2, ..., m
(m × m là cap cna B), thnc hiắn đng tỏc sau vúi moi c®t j = 1, ...,
i − 1: thêm m®t b®i nguyên cna c®t i vào c®t j sao cho phan tu (i, j)
khơng âm và nho hơn bii.
Như v¾y, thao tác trên đây đưoc áp dung theo thú tn: (i, j) = (2, 1),
(3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), ... Có the thay rang sau m®t so

phộp bien i cđt s cap ny, ma trắn A se đưa đưoc ve dang chuan
Hecmit.
Ví dn 1.1. Đưa ma tr¾n sau ve dang chuan Hecmit
A=

. 2 1 4Σ

.

−5 2 6
Ta có B = ∅, D = A. Ta bien đői D như sau: c®t 3 trù hai lan c®t
1, c®t 1 trù hai lan c®t 2 và đői cho hai cđt 1 v 2 ta lan lot nhắn
oc cỏc ma tr¾n
.
Σ
.
Σ
.
Σ
21 0
0 1
0
1 0
0
A→
→
.
−5 →
2 16
−9 2 16

2 −9 16
Tiep đó, nhân c®t 2 vói −1, c®t 3 trù c®t 2, c®t 2 trù c®t 3 và c®t 3
trù ba lan cđt 2, ta nhắn oc cỏc ma trắn
.1 0 0 Σ
.1 0 0Σ
.1 0 0Σ
.1 0 0Σ
→
→
→
→
.
2 9 16
297
227
221
Tiep theo, c®t 2 trù hai lan c®t 3 và i cho hai cđt 2, 3 ta oc ma
trắn
.

1 0 0
1 0 0
1 0
Σ→ .
Σ⇒B = .
Σ , (C = D = ∅).
201
210
21

Cuoi cùng, ta bien đői B như sau: vói i = 2, lay c®t j = i − 1 = 1
trù hai lan c®t i = 2, ta đưoc ma tr¾n B khơng âm, dang tam giác
dưói, khơng suy bien và moi hàng cna B có duy nhat m®t phan tu lón
nhat nam trên


đưịng chéo chính. Tù đó nh¾n đưoc dang chuan Hecmit duy nhat [BO]
cna ma tr¾n A ban đau:
.1 0Σ
.1 0 0
Σ và [BO] =
B =
.
01
010
Trưóc khi nêu h¾ qua cna Đ%nh lý 1.1, ta hãy nhac lai các khái ni¾m
nhóm (group) và dàn (lattice).
Đ%nh nghĩa 1.3. T¾p hop G ⊂ Rn

GQI

là m®t nhóm (c®ng tính) neu có

(i) θ ∈ G (nhóm chúa phan tu khơng);
(ii) Neu x, y ∈ G thì x + y ∈ G và −x ∈ G (tőng các phan tu thu®c
nhóm và phan tu đoi cna m®t phan tu thu®c nhóm phai là m®t
phan tu thu®c nhóm).
Ta nói nhóm sinh boi các véctơ a1, a2, ..., am ∈ Rn neu
G = {λ1a1 + ... + λmam|λ1, ..., λm ∈ Z}.
Đ%nh nghĩa 1.4. Nhóm G đưoc GQI l mđt dn neu G sinh boi cỏc vộct

đc lắp tuyen tính. Khi đó, t¾p hop các véctơ này đưoc GQI l mđt c sỏ
(basic) cna dn.
Nhắn xột 1.1. Neu ma tr¾n B nh¾n đưoc tù ma tr¾n A bang các phép
tốn c®t sơ cap thì các c®t cna B và các c®t cna A sinh ra cùng m®t
nhóm.
Sau đây l mđt hắ qua ỏng chỳ ý cna %nh lý 1.1.
1
2
m
H¾
qua
1.1. aNeu
, a2dàn,
, ...,nghĩa
am làlà các
véctơ
huu bái
ts thì
sinh l¾p
bái
a 1, a
, ...,
là am®t
nhóm
đó sinh
các nhóm
véctơ đ®c
tuyen
tính.
n có the gia thiet rang a1, a2, ..., am sinh ra tồn b®

Chúng
minh.
khơng
RTa
, có
vì so
neuchieu
trỏi lai
ta hn.
cú the
bienvúii
tuyen
vúi
khụng
gian
thap
Giaỏpsudung
A l phộp
ma trắn
cỏc
cđt
tớnh
oigian

a1, a2, ..., am, do dó A có hang bang so hàng cna A. Gia su [BO] là dang


mNhắn xột 1.1, cỏc vộct ny sinh ra cựng mđt nhúm nh a1, a2,
Theo
...,

a
.nhúm
chuan
Hecmit
KhiBú,
cđt
cna tớnh
B l nờn
cỏc theo
vộct%nh
đc
lắp
tuyen
tớnh.
Do
cđtA.cna
đccỏc
lắp
tuyen
ngha,
ny
l cỏccna
mđt dn.

21 a2 , ...,
Như
v¾y
neu
am làlý
các

huu duy
ti
thì
ta có
nói
tói
dàn
sinh
boibang
a1, aa
..., amcó
. Đ%nh
sauvéctơ
cho
thay
rang
MQI
mathe
tr¾n
ti vói
hang
so,,hàng
dang
chuan
Hecmit
nhat.
Vì
the,
tahuu
có

the
nói
ve dang chuan Hecmit cna mđt ma trắn.

%nh lý 1.2. ([4] Đ%nh lý 4.2, tr. 48). Gia su A và A’ là hai ma tr¾n huu
ts vái hang bang so hàng và có dang chuan Hecmit tương úng là
[BO] và [B J O]. Khi đó, các c®t cua A và các c®t cua A’ sinh ra cùng
m®t dàn như nhau khi và chs khi B = B J .
Chúng minh. Đieu kiắn n l hien nhiờn, boi vỡ cỏc cđt cna B và A
sinh ra cùng m®t dàn và cũng như v¾y đoi vói B J và AJ .
Đe chúng minh ieu kiắn can, ta gia su cỏc cđt cna A và các c®t cna
AJ cùng sinh ra dàn L. Khi đó, các c®t cna B và các c®t cna B J cũng
sinh ra dàn L, boi vì B và B J nh¾n đưoc tù A và AJ bang các phép tốn
c®t sơ
cap. Chang han, B = (bij ) và B J = (bJij ). Gia su B B J . Ta cHQN bij ƒ= bJij
vói i nho nhat có the. Khơng giam tőng qt có the xem như bij ≥ bJij . Ký
hiắu bj v bJj lan lot l cđt j cna B và B J . Khi đó, bj ∈ L và bJj ∈ L, do
đó
bj − bJj ∈ L. Đieu này chúng to bj − bJj là m®t tő hop tuyen tính ngun
cna các c®t cna B. Theo cách cHQN hàng i, véctơ bj − bJj có i − 1 thành
phan đau bang 0. Vì the, do B có dang tam giác dưói nên bj − bJj là tő hop
tuyen tính ngun cna các c®t vói chi so i, ..., n. Vì the, bij − bJij là
b®i ngun cna bii . Nhưng đieu này mâu thuan vói 0 < |bij − bJij | < bii
(vì neu j = i
thì 0 < bJii < bii và neu j < i thì 0 ≤ bij < bii và 0 ≤ bJij < bJii ≤ bii ).
H¾ qua 1.2. MQI ma tr¾n huu ts vái hang bang so hàng có duy nhat
m®t dang chuan Hecmit.
Chúng minh. Áp dung Đ%nh lý 1.2 vói A = AJ .

Nhắn
xộtcna
1.2.
b11lún
,A...,nhat
lMQI
cỏc
chộo
dang
chuan
Hecmit
[BO]
cna
thỡbmm
vúicna
j phan
=
1,tuthỳc
...,ũng
mcon
tớch
so cna
ì
...j
ì bjj au
bang
úc
chung
cỏc
%nh

cap
jb11cna
hng
A Neu
(do úc ny bat bien đoi vói các phép tốn c®t sơ cap). Đieu này cho
m®t cách khác đe thay rang đưịng chéo chính trong dang chuan
Hecmit là duy nhat.

1.2

Ma tr¾n đơn mơđula

Các phép tốn cđt s cap cna ma trắn cũn cú the oc mơ ta boi cái
GQI là các ma tr¾n đơn mơđula. Trưóc het, ta chú ý là ([3], tr.17) moi
phép tốn cđt s cap trờn ma trắn A cap m ì n đeu có the thnc hi¾n
đưoc bang cách nhân bên phai A vúi mđt ma trắn s cap tng ỳng E
cap n ì n, cu the E l ma trắn thu đưoc bang cách áp dung cùng phép
tốn đó trên ma trắn n v% cap n ì n.
Cho A l ma trắn m hng, n cđt (m n) v In l ma trắn n v% cap
n ì n. Khi đó:
a) Phép đői cho hai c®t i và j cna A tương đương vói phép nhân A vói
ma tr¾n nh¾n đưoc tù In bang cách đői cho hai c®t i và j.
Ví dn 1.2. Phép đői cho hai c®t 2 và 3 cna ma tr¾n A như sau:
.
1
2
3
.
.1 3 2
.

100
A=
123
4 5
Σ0 0 1 .
→ 4 6 5
4 5 6
Σ
Σ
Σ
010
6
=
×
b) Phép nhân c®t j cna A vói −1 tương đương vói phép nhân A vói ma
tr¾n nh¾n đưoc tù In bang cách đői dau c®t j.
Ví dn 1.3. Phép nhân c®t 2 cna ma tr¾n A vói −1 như sau:
.
.
.
.
1 2 3
1 0 0
123
1 2
A=
0 1 0 .
=
4 5
Σ

Σ3 −
Σ 4 5 6
0 0 1
4 5
ì
6
6
c) Thờm bđi nguyên k cna c®t i vào c®t j cna A tương đương vói nhân
A vói ma tr¾n nh¾n đưoc tù In bang cách thêm b®i nguyên k cna c®t
i vào c®t j.


Ví dn 1.4. Thêm b®i −3 cna c®t 1 vào cđt 3 cna ma trắn A nh sau:
.
1 2 3
A=
4 5
Σ
6

.
1 2
→ 45
Σ
−6

0

.
.

1 0
123
Σ
0 1
=
−
Σ 4 5 6
0
0
×

3
0 .
1

Đ%nh nghĩa 1.5. Cho U l mđt ma trắn vuụng khụng suy bien. Khi
đó, U đưoc GQI là ma tr¾n đơn mơđula (unimodular matrix) neu U
nguyên và có đ%nh thúc bang ±1.
Cũng cú the mo rđng khỏi niắm n mụula cho ca các ma tr¾n suy
bien. Các ma tr¾n đơn mơđula đã đưoc các nhà toán HQc Smith (1861),
Frobenius (1879-1880), Veblen và Franklin (1921-1922) nghiên cúu.
Sau đây là m®t so tính chat đáng chú ý cna ma tr¾n đơn mơđula.
Đ%nh lý 1.3. ([4] Đ%nh lý 4.3, tr. 49). Các đieu sau tương đương đoi
vái MQI ma tr¾n huu ts khơng suy bien U cap n × n:
(i) U là đơn mơđula;

(ii) U −1 là đơn mơđula;
(iii) Dàn sinh bái các c®t cua U là Zn (không gian véctơ nguyên n chieu);
(iv) Ma tr¾n đơn v% là dang chuan Hecmit cua U;
(v) U nh¾n đưac tù ma tr¾n đơn v% bang các phép tốn c®t sơ cap.

−1
Chúng
(i) ⇒ m®t
(ii) :đ%nh
do det(U
) = cna
(detU
)−1 =
và do moi
phan
tu
U −1 bang
thúc con
U nên
là ±1
so nguyên.
Tương
tn,
(ii) cna
⇒ minh.
(i).
Sn tương đương cna (iii), (iv) và (v) đưoc suy ra trnc tiep tù Đ
%nh lý 1.2. Quan h¾ (v) ⇒ (i) là hien nhiên, boi vì các phép tốn c®t
sơ cap khơng làm thay đői tính ngun và giá tr% đ%nh thúc (khơng
ke sai khác dau) cna ma tr¾n. Cũng v¾y, de dàng thay (i) ⇒ (v): neu
B là dang chuan Hecmit cna U thì B nguyên và |detB| = |detU| = 1.
Vì the B = I.


H¾ qua 1.3. Cho A và AJ là hai ma tr¾n khơng suy bien (cùng cap). Khi

đó, các đieu sau tương đương:
(i) Các c®t cua A và các c®t cua A sinh ra cựng mđt dn;
(ii) AJ nhắn ac tự A bang các phép tốn c®t sơ cap;
J
−1 J
(iii) A
= AU
vái Trnc
ma tr¾n
nào đó
A đơn mơđula).
Chúng
minh.
tiepđơn
suymơđula
tù các U
Đ%nh
lý (túc
1.2 A
và 1.3.

H¾ qua 1.4. Vái

MQI

ma tr¾n huu ts A có hang bang so hàng, ton tai

ma tr¾n đơn mơđula U sao cho AU là dang chuan Hecmit cua A. Neu A
không suy bien thì U là duy nhat.
Chúng minh. Trnc tiep suy tù H¾ qua 1.2 và Đ%nh lý 1.3.

Ma tr¾n U nêu trong H¾ qua 1.4 se đưoc su dung o Chương 3 đe
tìm nghi¾m ngun cna h¾ phương trình Đi-ơ-phăng tuyen tính. Đe
tìm U , ta xuat phát tù ma trắn n v% In cap n ì n (n so cđt cna A)
v thnc hiắn cỏc phộp toỏn cđt sơ cap giong h¾t các phép tốn đã
dùng đe đưa A ve dang chuan Hecmit.
Ví dn 1.5. Xét ma tr¾n A cho o Ví du 1.1.
Khi đưa A ve dang chuan Hecmit ta đã thnc hi¾n lan lưot các phép
tốn c®t sơ cap sau:
+ C®t 3 trù hai lan c®t 1, c®t 1 trù hai lan c®t 2 và đői cho hai c®t
1, 2.
+ Đői dau c®t 2, c®t 3 trù c®t 2, c®t 2 trù c®t 3 và c®t 3 trù ba lan
c®t 2.
+ C®t 2 trù hai lan c®t 3 và đői cho hai c®t 2, 3.
+ Cuoi cùng, lay c®t 1 trù hai lan c®t 2.


Thnc hi¾n dãy phép tốn ke trên, bat đau tù ma tr¾n đơn v% In.
Ket qua ta se nh¾n đưoc ma tr¾n đơn mơđula U và AU là dang chuan
Hecmit cna A:
.1 0 2
1 0
1 0
.
.
In = 0
2 −
→ Σ0 1 0 →
−
0 0 1
0 1

2 1 0
Σ0
Σ−
0 0 1
0 0
1
.
.0 1
0 1
0 0 −1
Σ
.
−
1 4 −2
→
2
−1
Σ
0 −1 1
→ 1 2 −0 → Σ1 2 −
.
2
0 0 1
.
0 0 1
Σ
.
0 2 −1
0
−1

2
2
Σ
1
32
−14
→
→ Σ1 −14 32 →
29
0 −9 4
0 4 −9
32
−8

.0 1
−2
1
2
0 ,
→Σ −
0 0 1

.0 0 −1
→ 1 4 −14 ,
Σ
0 −1 4

−1 2
−14

= U.

4
−9

Có the thay U nguyên, |U| = 1 và dang chuan Hecmit cna A là
.2 1 4
AU =
−5 2 6
Σ
×

.2 −1 2 Σ
29 −14 32
=
−8 4 −9

.1 0 0
.
0 1 0
Σ


Chương 2

Phương trình
Đi-ơ-phăng tuyen tính
Chương này trình bày thu¾t tốn Ơ-clít tìm ưóc chung lón nhat cna
các so ngun dương và đe c¾p tói phương trình Đi-ơ-phăng tuyen
tính hai hay nhieu bien. Nêu đieu ki¾n (can và đn) ton tai nghi¾m

ngun và thu¾t tốn tìm nghi¾m ngun cna phương trình. Cuoi
chương, xét m®t so ví du áp dung. N®i dung cna chương đưoc tham
khao chn yeu tù các tài li¾u [3], [4] và [5].

2.1

Ưác chung lán nhat

Ta nhac lai khái ni¾m ưóc chung lón nhat cna hai so ngun
dương và m®t so tính chat cơ ban.
Đ%nh nghĩa 2.1. Cho hai so nguyên a, b > 0. Ta đ%nh nghĩa ưác
chung lán nhat (greatest common divisor) cna a và b là so nguyên
dương lón nhat c mà ca a và b đeu chia het cho c. Ưóc chung lón
nhat đưoc ký hi¾u là (a, b) = c ho¾c gcd(a, b) = c. Ta se su dung
(a, b) đe chi ưóc chung lón nhat cna a và b.
Ta cũng dùng ký hi¾u a|b đe chi a là ưóc so cna b hay b chia het
cho a. Ví du, 2|6 và 3|6 có nghĩa là 2 và 3 là ưóc cna 6 hay 6 chia het
cho 2 và 3.
Ví dn 2.1. Hãy tìm ưóc chung lón nhat cna 8 và 20.
17


Chương 2. Phương trình Đi-ơ-phăng tuyen tính
Ta thay các ưóc cna 8 là ±1, ±2, ±4, ±8 và các ưóc cna 20 là ±1, ±2,
±4, ±5, ±10. Tù đó, ưóc chung cna 8 và 20 là ±1, ±2, ±4. Vì the,
ưóc
chung lón nhat cna 8 và 20 là 4. Ta viet (8, 20) = 4.
Đ%nh nghĩa 2.2. Neu ưóc chung lón nhat (a, b) = 1 thì ta nói hai so
nguyên dương a và b là nguyên to cùng nhau (relatively prime).
a

Đ%nh lý 2.1. Neu a, b nguyên dương và (a, b) = d thì ( , b
d ) = 1.
d
Ví du sau minh HQA cho đ%nh lý trên.
Ví dn 2.2. Xét hai so 20 và 45.
Bang
rachung
thùa so
có 20
22và
× 45
5 và
45 =
32 ×
5. Tù
đó,cách
ta 5.
tìmphân
đưoctích
ưóc
lóntanhat
cna=20
bang
5, túc
là
(20,
45)
=
Ta thay
20

45 ) = (4, 9) = 1.
( ,
5 5
Đ%nh lý 2.2. Cho a, b, c là các so nguyên dương. Khi đó (a+cb, b) = (a,
b).
Ví dn 2.3. Xét ba so: a = 110, b = 44, c = 22.
Theo Đ%nh lý 2.2, ta se có
(110 + 22 × 44, 44) = (110, 44) hay (1078, 44) = (110, 44).
Đe kiem tra đang thúc này, ta can tính (1078, 44) và (110, 44). Ta thay
44 = 22 × 11, 110 = 2 × 5 × 11 và 1078 = 2 × 72 × 11.
Tù đó suy ra (1078, 44) = (110, 44) = 22. Ket qua kiem tra đúng.
Đ%nh nghĩa 2.3. Cho a và b là hai so nguyên dương. Tő hap tuyen tính
(linear combination) cna a và b là tőng có dang ax + by, trong đó x,
y là so nguyên.
Đ%nh lý 2.3. Neu a, b là các so nguyên dương và c là ưác so chung cua a
và b thì c cũng là ưác so cua ma + nb vái m, n là các so nguyên, nghĩa
là (c|a và c|b) ⇒ c|(ma + nb).

18


Ví dn 2.4. Gia su a = 21, b = 39, và c = 3.
Ta có 21 = 3 × 7 và 39 = 3 × 13. Vì the, 21 và 39 chia het cho
3. Gia su m = 7, n = −3. Khi đó
7 × 21 − 3 × 39 = 147 − 117 = 30.
Rõ ràng 3 là ưóc cna 30, vì 30 = 10 × 3.
Đ%nh lý 2.4. Cho hai so nguyên a, b > 0. Khi đó d = (a, b) là so nguyên
dương nhó nhat bieu dien đưac dưái dang ax + by vái x, y nguyên.
Ví dn 2.5. Gia su a = 51 và b = 187.
Ta thay 51 = 3 × 17 và 187 = 11 × 17. Tù đó (51, 187) = 17. Neu

cHQN
x = 4, y = −1, ta có
51 × 4 − 187 × 1 = 204 − 187 = 17 = (187, 51).
Đ%nh lý 2.5. Neu a, b là các so ngun dương thì t¾p hap các tő hap tuyen
tớnh cua a v b trựng vỏi tắp cỏc bđi nguyên cua (a, b).
Ví dn 2.6. Gia su a = 52, b = 117.
Ta thay 52 = 22 × 13 và 117 = 32 × 13.
Do đó (52, 117) = 13. Vói bat kỳ x, y ∈ Z tìm đưoc so ngun k
nghi¾m đúng phương trình 52x + 117y = 13k. Tìm x và y khi
k = 2, túc là x, y thoa mãn 52x + 117y = 13 × 2 = 26. Chia
ca hai ve cho 13, phương trình rút GQN cịn 4x + 9y = 2. Ta tìm đưoc
x = 5 và y = −2, vì 4 × 5 − 9 × 2 = 20 − 18 = 2.
Đ%nh nghĩa 2.4. Ta mo r®ng đ%nh nghĩa ưác chung lán nhat cho n so
nguyên dương vói n ≥ 2. Xét n so nguyên dương. Ta đ%nh nghĩa ưác
chung lán nhat cna chúng là so lón nhat trong các ưóc chung cna n so
đó và ký
hi¾u là (a1, a2, ..., an).
Ví dn 2.7. Có the thay (2, 6, 14) = 2 và (7, 21, 49) = 7.
Tuy nhiên, đôi khi ta g¾p nhieu hơn ba so nguyên dương ho¾c
nhieu so phúc tap mà ta khơng the de dàng tìm đưoc ưóc chung cna
chúng. Trong nhung trưịng hop như the, ta có the dùng đ%nh lý sau
đây.


Đ%nh lý 2.6. Neu a1, a2, ..., an là các so nguyên dương thì
(a1, a2, ..., an−1, an) = (a1, a2, ..., (an−1, an)).
Ví dn 2.8. Hãy tìm ưóc chung lón nhat cna 96, 405, 693 và 1989.
Phân tích các so nguyên ra thùa so và dùng Đ%nh lý 2.6, ta thay
96 = 25 × 3, 405 = 34 × 5, 693 = 32 × 7 × 11, 1989 = 32 ×

13 × 17.
(96, 405, 693, 1989) = (96, 405, (693, 1989))
= (96, 405, 9)
= (96, (405, 9))
= (96, 9) = 3.
Bo đe 2.1. Neu c và d là hai so nguyên dương và c = dq + r, vái q và r
ngun dương thì (c, d) = (r, d).
Ví dn 2.9. Xét đang thúc

48 = 9 × 5 + 3.

Neu phân tích đang thúc này theo Bő đe 2.1, ta thay
c = 48, d = 9, q = 5 và r = 3.
Ta có 48 = 24 × 3 và 9 = 32. Áp dung Bő đe 2.1 ta đưoc
(48, 9) = (3, 9) = 3.

2.2

Thu¾t tốn Ơ-clít ma rđng

Muc ny se e cắp túi thuắt toỏn clớt quen thu®c đe tìm ưóc
chung lón nhat cna hai so ngun dương. Đó là thu¾t tốn cnc kỳ
nhanh đe tìm ưóc chung lón nhat.
ngun
dương
a và b ta
đ¾tƠ-clít)
r−1 = Đe
a, rtìm
b, roi

tínhlán
liênnhat
tiep cua
thương
qi+1và
Đ
0 =ưác
%nh
tốn
chung
hai so
so dư rlý
theo(Thu¾t
i+1 2.7.
ri−1 = riqi+1 + ri+1


vái i = 0, 1, 2, ... cho tái khi g¾p so dư rn+1 = 0. Khi đó, so dư khác không
cuoi cùng rn se là ưác chung lán nhat cua a và b.
Chúng minh. Thu¾t tốn thnc hi¾n như sau:
arb=
q=
+
r13,qr+
0
≤
1 <
b,
=
+

0 r≤
r02
2, +
rb
=
r21 q
×
1, r
r<
,rr×
r1,2 ×
r23 q
×
21
4 r3,r0
4, ≤
≤3 r<
...
4 <
3
ri−1 = ri × qr+1 + ri+1, 0 ≤ ri+1 < ri,
...
rn−3
×rq
n−2=
n−1 +, nrn−1
rn−2=
, rrn−2
+ r,n,00≤≤rn−1
rn <<

n−1 r× q
n−1

rn−1 = rn × qn+1 + 0.
Tù đó suy ra rn > 0 là ưóc chung lón nhat cna a và b.
Ta se giai thích vì sao so dư khác khơng cuoi cùng rn là ưóc chung
lón nhat cna a và b?
Tù
thay
rrn 2.1,
là cho
ưóc
cna
do
đó
(rn−1
)vì
=
rrnlà
. Tiep
n,rn−2
theo,
tùdịng
dịng
trưóc
là
ưóc
ưóc
cna
rLai

và
rcuoi
Theo
Bő
rn−1
=
(rrnn−1
r,n−1
=cna
(r
,rn−1
r,e
).rnChuyen
n−1
n.Bő
n thay
n−2
lên
trưóc
đócho
tadịng
thay
,)vì
cna
và
n−2
rn−1.dịng
đe
2.1,
rcuoi

=làthe
(rưóc
, cna
rn−2
)n,rn−3
=
(r
).
dịng
giua,
nn
n−2r,n rlà
n−3ưóc
bang
l¾ptheo
lu¾n
tương
tn, đe
ta
có
thay
rn = (rn, rn−1) = (rn−1, rn−2) = (rn−2, rn−3) = ... = (ri−1, ri) = (ri, ri+1).
Chuyen lên trên tùng dịng m®t, khi tói dịng thú hai ta đã biet rn là
ưóc cna r2 và r1 và
rn = (rn, rn−1) = (rn−1, rn−2) = (rn−2, rn−3) = ... = (r3, r2) = (r2, r1).


Dịng thú hai b = r1 × q2 + r2 nên rn là ưóc cna b và theo Bő đe 2.1,
ta có
rn = (rn, rn−1) = (rn−1, rn−2) = (rn−2, rn−3) = ... = (r2, r1) = (r1, b).

Cuoi cùng do rn là ưóc cna r1 và b nên tù dịng đau a = b × q1 + r1
cho thay rn cũng là ưóc cna a và theo và Bő đe 2.1, ta có

rn = (rn, rn−1) = (rn−1, rn−2) = (rn−2, rn−3) = ... = (r2, r1) = (r1, b) = (a,

b).
Đen đây, ta biet đưoc rang so dư khác 0 cuoi cùng se là ưóc chung
lón nhat cna a và b, nhưng bây giò ta can tra lòi câu hoi làm sao ta
biet đưoc ln có m®t so dư bang 0. Khi tìm thương so, ta thnc hi¾n
phép chia a = b × q + r vói so dư r se o giua 0 và b − 1. Đieu này
là rõ ràng, boi vì neu r ≥ b thì ta có the thêm 1 vào thương q và bót b
tù r. Vì v¾y so dư se giam dan:
b = r0 > r1 > r2 > ...
Do MQI so dư đeu lón hơn ho¾c bang 0 nên ta có dãy so ngun khơng
âm giam dan. Rot cu®c ta có so dư bang 0. Rõ ràng, ta se g¾p so dư
0 sau nhieu nhat b lan thnc hi¾n phép chia. Đ%nh lý đưoc chúng
minh đay đn.
Ví dn 2.10. Ta minh

HQA

thu¾t tốn Ơ-clít qua vi¾c tìm (246, 699).

Lan lưot thnc hi¾n các phép chia sau:
699 = 246 × 2 + 207
246 = 207 × 1 + 39
207 = 39 × 5 + 12
39 = 12 × 3 + 3
12 = 3 × 4 + 0.

Thu¾t tốn Ơ-clít nói rang ưóc chung lón nhat cna hai so là so dư
khác 0 cuoi cùng. e ví du trên, so dư khác 0 cuoi cùng là 3 nên (246,
699) = 3.


Neu muon tìm ưóc chung lón nhat cna nhieu hơn hai so thì ta có the
su dung thu¾t tốn Ơ-clít, ket hop vói Đ%nh lý 2.6.
Ví dn 2.11. Su dung thuắt toỏn -clớt tỡm (33, 176, 275, 352, 539,
1331).
ã Trúc het tìm (539, 1331) bang cách su dung thu¾t tốn Ơ-clít.
Ta có
1331 = 539 × 2 + 253
539 = 253 × 2 + 33
253 = 33 × 7 + 22
33 = 22 × 1 + 11
22 = 11 × 2 + 0.
So dư khác 0 cuoi cùng là 11. Vì the, (539, 1331) = 11.
• Tiep theo là tìm (33, 176, 275, 352, 11) = (33, 176, 275, (352, 11)).
Ta có 352 = 11 × 32 + 0. So dư bang 0, vì the (352, 11) = 11.
• Tiep theo ta tìm (33, 176, 275, 11) = (33, 176, (275, 11)). Ta có
275 = 11 × 25 + 0, túc 275 l bđi cna 11 v (275, 11) = 11.
ã Tiep theo tìm (33, 176, 11) = (33, (176, 11)). Do 176 = 11 × 16 + 0
nên (176, 11) = 11.
ã Cuoi cựng, tỡm (33, 11) = (11 ì 3, 11) = 11. Ket qua là (33, 176,
275, 352, 539, 1331) = 11.
thuắt
toỏn
-clớt.
Gia

suchung
rn =
b),
a>
rn2
rn1dng
ì qdng
n + rn
v
Ta
tỡm
lún
nhat
cna
hai
so=nguyờn
bang
= rncỏch
ìviet
qn+1
+úc
0.
Khiró
ta biet
muon
úc
chung
lún(a,
nhat
cna

haib,so
nguyờn
dúi
n1
dang m®t tő hop tuyen tính cna nhung so ngun dương này, ta su
dung quy trình sau:


ang
thỳc
= rv
rn2
rang
qn cho
thayú
(a,rn3
b) =
l mđt
t
n =rn1
n1 ì thỳc
hop
tớnh
cna
. Tự
trúc
rn2 ×
q
+ rn−1
suy(a,

ra b)rn−2
n−1 tuyen
rn−1 = rn−3 − rn−2 × qn−1.
Vì v¾y, ta nh¾n đưoc
rn = rn−2 − (rn−3 − rn−2 × qn−1) × qn
= rn−2(1 + qn−1 × qn) − qn ì rn3.
Bieu thỳc cuoi cho thay rn l mđt tő hop tuyen tính cna rn−2 và rn−3.
q
"bieu
dien
(a,b)b)như
như
hop
tuyen
tính
cna
moib.
c¾pTasotiep
dư"tuc
cho
tóitrình
khi tìm
đưoc
(a,
tőtő
hop
tuyen
tính
cna
a và

Vói c¾p so dư ri và ri−1 ta có bieu dien (a, b) = k × ri + m × ri−1.
Do ri = ri−2 − ri−1 × qi nên ta có
(a, b) = k × (ri−2 − ri−1 × qi) + m × ri−1.
= k × ri−2 + (m − k × qi)ri−1.
Tiep tuc cho tói đang thúc đau a = b × q1 + r1, ta se tìm đưoc (a, b)
như m®t tő hop tuyen tính cna a và b. Đ%nh lý sau đưa ra phương pháp
quy nap đe tìm (a, b) dưói dang m®t tő hop tuyen tính cna a và b.
Đ%nh lý 2.8. Cho a, b là hai so ngun dương. Khi đó
(a, b) = kn × a + mn × b
vái kn và mn là so hang thú n cua dãy
so đưac xác đ%nh theo đ¾ quy bái
k−1 = 1, m−1 = 0, k0 = 0, m0 = 1 và
ki = ki−2 − ki−1 × qi, mi = mi−2 − mi−1 × qi vái i = 1, 2, ... , n;
trong đó qi là thương so cua các phép chia trong thu¾t tốn Ơ-clít, khi thu¾t
tốn đưac dùng đe tìm ưác chung lán nhat cua a và b.
Chúng minh. Dùng quy nap, ta se chúng minh rang
ri = ki × a + mi × b, i = −1, 0, 1, ..., n.

(2.1)