Một số phương pháp giải hệ phương trình

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU
NHIấN

NGUYEN TH KIM NGOC

MđT SO PHNG PHP GIAI
Hfi PHNG TRèNH

LUắN VĂN THAC SĨ TỐN HOC

HÀ N®I, NĂM 2013


ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU
NHIÊN

NGUYEN TH± KIM NGOC

M®T SO PHƯƠNG PHÁP GIAI
Hfi PHƯƠNG TRÌNH

Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CAP
Mã so: 60 46 01 13

LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC

Ngưèi hưéng dan khoa HQC:
TS. PHAM VĂN QUOC

Mnc lnc
LèI CAM ƠN

5

LèI NĨI ĐAU

6

1 M®T SO DANG Hfi VÀ PHƯƠNG PHÁP CƠ BAN

7

1.1 M®T SO DANG H› CƠ BAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.7

1.1.1 H› PHƯƠNG TRÌNH B¾C NHAT HAI AN . . . . . . . . . . . . . .7
1.1.2 H› PHƯƠNG TRÌNH ĐOI XÚNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
1.1.3 H› PHƯƠNG TRÌNH ĐANG CAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
1.1.4 H› PHƯƠNG TRÌNH DANG HỐN V± VỊNG QUANH . . . . . . .19
1.2 PHƯƠNG PHÁP CƠ BAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
1.2.1 PHƯƠNG PHÁP C®NG ĐAI SO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
1.2.2 PHƯƠNG PHÁP THE

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

2 M®T SO PHƯƠNG PHÁP GIAI Hfi PHƯƠNG TRÌNH
2.1 PHƯƠNG PHÁP Đ¾T AN PHU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32
.32

2.2 PHƯƠNG PHÁP BIEN ĐŐI VE PHƯƠNG TRÌNH TÍCH . . . . . . . . . .37
2.3 PHƯƠNG PHÁP DÙNG HANG ĐANG THÚC . . . . . . . . . . . . . . . . .43
2.4 PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH ĐƠN ĐI›U CUA HÀM SO . . . . . . . . . .46
2.5 PHƯƠNG PHÁP DÙNG BAT ĐANG THÚC . . . . . . . . . . . . . . . . . .51
2.6 PHƯƠNG PHÁP LƯeNG GIÁC HOÁ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54

2.7 PHƯƠNG PHÁP SU DUNG SO PHÚC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58

3


3 M®T VÀI ÚNG DUNG CUA Hfi PHƯƠNG TRÌNH
3.1 ÚNG DUNG TRONG XÉT TƯƠNG GIAO CUA HAI ĐO TH±.................. 62
3.2 ÚNG DUNG TRONG GIAI PHƯƠNG TRÌNH......................................... 63
3.3 ÚNG DUNG TRONG TÌM GTLN, GTNN................................................ 66
3.4

ÚNG DUNG TRONG GIAI BÀI TỐN KINH TE..................................... 68

KET LU¼N.................................................................................................................. 71
TÀI LIfiU THAM KHAO.....................................................................................72

62

LèI CAM ƠN
Hồn thành đưoc ban lu¾n văn này, ngồi sn no lnc cna ban thân, tơi đã
nh¾n đưoc sn chi bao, giúp đõ tù nhieu phía cna các thay, cơ giáo, gia đình và ban
bè.
Lịi đau tiên, tơi xin bày to lịng biet ơn sâu sac tói TS. Pham Văn Quoc, ngưịi
thay đã t¾n tình hưóng dan và chi bao tơi trong suot q trình làm lu¾n văn.
Tơi xin chân thành cam ơn các thay, cơ giáo khoa Tốn-Cơ-Tin HQc, Trưòng Đai HQc
Khoa HQc tn nhiên-Đai HQc Quoc gia Hà N®i, nhung ngưịi đã trnc tiep giang day và giúp
đõ tơi trong q trình HQc t¾p tai trưịng cùng tồn the ban bè và ngưịi thân đã đóng góp
ý kien, giúp đõ, đ®ng viên tơi trong q trình HQc t¾p, nghiên cúu và hồn thành lu¾n văn
này.
M¾c dù ban thân đã rat co gang và nghiêm túc trong HQc t¾p cũng như nghiên cúu
khoa HQc nhưng do thịi gian có han, kien thúc ban thân cịn han che nên trong q trình
thnc hi¾n khơng tránh khoi sơ suat. Kính mong nh¾n đưoc sn góp ý cna thay cơ và các ban.
Tôi xin trân tRQNG cam ơn!


LốI Me AU
Chuyờn e hắ phng trỡnh l mđt nđi dung quan TRQNG, can thiet, có the xem như
m®t trong nhung dang tốn cơ ban nhat cna chương trình đai so o b¾c trung HQc. Các bài
tốn ve giai h¾ phương trình xuat hi¾n o hau het các kì thi Đai HQc, Cao đang và các kì thi
HQc sinh gioi.
Đúng trúc mđt hắ phng trỡnh HQc sinh can phai biet phân tích, nh¾n dang và cHQN
lna phương pháp giai thích hop. Moi bài tốn đeu có the có nhieu cách giai. Tuy nhiên, vi¾c
h¾ thong hố các phương pháp giai se cho phộp nhỡn nhắn cỏc bi toỏn theo mđt h¾ thong
nhat qn. Do đó tơi đã lna cHQN nghiên cỳu e ti Mđt so phng phỏp giai hắ
phng trỡnh.
Ban luắn vn oc chia lm 3 chng:
Chng 1. Mđt so dang h¼ và phương pháp cơ ban.

Chương này nhac lai mđt so dang hắ c ban v phng phỏp giai như: H¾
phương trình b¾c nhat hai an, h¾ đoi xúng, đang cap, hốn v% vịng quanh cùng các
phương pháp cơ ban là c®ng và the.
Chương 2. M®t so phương phỏp giai hẳ phng trỡnh.
e chng ny, luắn vn nờu ra m®t so phương pháp giai có the nghĩ tói khi gắp
mđt hắ phng trỡnh m khụng su dung oc các dang cơ ban o chương 1.
Chương 3. M®t vài ẫng dnng cua hẳ phng trỡnh.
Luắn vn trỡnh by 4 úng dung thưịng g¾p cna h¾ phương trình là: Úng dung
trong vi¾c xét tương giao giua hai đo th%; trong giai phương trình; trong tìm GTLN,
GTNN và trong bài tốn kinh te.
H nđi, thỏng 12 nm 2013
Tỏc gia luắn vn

NGUYEN TH± KIM NGOC


Chương 1

M®T SO DANG Hfi VÀ PHƯƠNG
PHÁP CƠ BAN
1.1

M®T SO DANG Hfi CƠ BAN

1.1.1

Hfi PHƯƠNG TRÌNH B¾C NHAT HAI AN

*) Cơ sa phương pháp
a) Đ%nh nghĩa: H¾ phương trình b¾c nhat hai an là h¾ có dang


  a1 x + b 1 y = c 1



a 2 x + b 2 y = c2
b) Cách giai: Thơng thưịng su dung m®t trong ba cách sau:
Cách 1: Phương pháp the.
Cách 2: Phương pháp c®ng.
Cách 3: Phương pháp dùng đ%nh thúc.
Kí hi¾u:
a1 b1
D=.
.
b

. 2 2
a b
.

=a

1 2
1

−a b ,
D

c1 b1
=.

=c
x
.
b .

2

1

. c 2 b2 .




−c b ,
D

1 2

2

a1 c1
=.
c .

y

. a 2 c2
.

=a

1 2

−a c

2 1.


TH1: D ƒ= 0, h¾ có nghi¾m duy

x=

Dx
DDy .

nhat


y=

D

TH2: D = Dx = Dy = 0, h¾ có vơ so nghi¾m dang {(x0; y0)|a1x0 + b1y0 = c1}.






D =0


D ƒ= 0 , h¾
  x
 Dy =ƒ 0
*) Ví dn áp dnng
 8X + Y = 17
vơ nghi¾m.

Ví dn 1.1. Cho h¾ phương trình

 − 3X + 7Y = 1
Su dung m®t trong các phương pháp trên de dàng tìm đưoc nghi¾m (2;1).
Bang cách thay X, Y boi các bieu thúc khác cna an ta se sáng tác ra vơ so h¾ mói.
Ví8du:1
1
 X =
 + = 17
TH3:

Thay

x

x y
ta đưoc
˙



1 h¾
7x − 3y = xy

.
Y = ta đưoc h¾ 
 √ 2 √8x +

7 y 1 −
3x2 3x = 1

y
 x4 + 4x
−2 + y 2 − 4y = 2

 2
X

Y =

√
y−1
Ví dn 1.2. Giai h¾ phương
trình



Giai.




Đ¾t t = y2 h¾ tro

y−1=

x2 y + 2x2 + 6y = 23
. Ta có

t − 4y = 2 − x

4

− 4x2


thành

−

8x +

0t + (x2 + 6)y =

23 − 2x2

D = x2 + 6; Dt = −x6 − 10x4 − 30x2 + 104; Dy = 23 − 2x2.

Dt

−x6 − 10x4 − 30x2 +
⇒ t

104
D
=
D =
x +6
y

2


2

Do t = y suy



y=
ra

D

=

23 − 2x


x2 + 6
(x2 + 6)(−x6 − 10x4 − 30x2 + 104) = (23 −
2

2x2)
2 x
⇔ (1 − x)(1 + x)(1 +
)(x
Dy
 x=1
⇔

⇒y=

 x = −1

D
V¾y h¾ đã cho có hai nghi¾m (1;3), (-1;3).

4+

16x2

= 3.

+ 95) = 0


1.1.2

Hfi PHƯƠNG TRÌNH ĐOI XÚNG

*) Cơ sa phương pháp
1) H¼ phương trình đoi xÉng loai 1


F (x; y) = 0
a) Đ%nh nghĩa: H¾ phương trình đoi xúng loai 1 là h¾ có 
dang


G(x; y) = 0

Trong đó F (x; y), G(x; y) là các đa thúc đoi xúng vói x, y.
(S;
b) Cách giai: Đ¾t S = x + y; P = x.y (đieu ki¾n SF2 ≥
4P) ).
tính đoi xúng ta đưa h¾ ve dang
1
= Dùng
0
P


G1(S; P ) = 0
Giai h¾ trên tìm đưoc S, P tù đó theo
đ%nh lý Viet đao, x, y là nghi¾m phương trình:

X2 − SX + P = 0.
-M®t so bieu dien bieu thúc đoi xúng qua S, P :
+) x2 + y2 = (x + y)2 − 2xy = S2 − 2P.
+) x3 + y3 = (x + y)3 − 3xy(x + y) = S3 − 3PS.
+) x2y + xy2 = PS.
+) x4 + y4 = (x + y)4 + 2x2y2 − 4xy(x + y)2 = S4 + 2P 2 − 4PS2.
2) H¼ phương trình đoi xÉng loai 2


F (x; y) = 0
a) Đ%nh nghĩa: H¾ phương trình đoi xúng loai 2 là h¾ có dang 
Trong đó F (x; y) là đa thúc khơng đoi xúng. 
F (y;
b) Cách giai: Trù hai phương trình ve theo ve ta đưoc F (x; y) − 
F (y;
x) = 0 (*)
Coi x là an so, y là tham so và đ¾t F (x; y) := f (x) + g(y), g(y) đc lắp vúi x thỡ
F (y; x) = f (y) + g(x). Khi đó
(∗) ⇔ G(x) := f (x) + g(y) − f (y) − g(x) = 0
Ta có G(y) = f (y) + g(y) − f (y) − g(y) = 0.
Suy ra y là nghi¾m cna phương trình G(x) = 0. Chúng to G(x) có chúa nhân tu (x − y)
theo
đ%nh lý Bezout.
Như v¾y ta có cách giai h¾ đoi úng loai 2 là: trù hai phương trình ve theo ve đe đưoc
G(x; y) = (x − y).M (x; y) = 0. Sau đó giai h¾ trong tùng trưòng hop x = y và M (x; y) =

0.


*) Ví dn áp dnng
Loai 1: H¾ phương trình đoi xÚng loai 1


Ví dn 1.3. Giai h¾ phương trình 

a+ b= 4



Giai.











a+b=4

a2 + b 2 = 8


⇔

⇔



a+b=4

⇔




a=2

a+b=4

a2 +



b2 = 8
V¾y h¾ có nghi¾m a = b =
2.



(a + b)2 −

2ab = 8



b=2

ab = 4

√
√
√
Thay a = 2 xy; b = x + y ta đưoc h¾:
2 xy + x + y = 4


Ví dn 1.4. Giai h¾ phương trình √
√
√

√

x + y + 4xy + 2 xy = 8
Nh¾n xét: Đây đã là h¾ phương trình đoi xúng loai 1 nhưng ta khơng đ¾t S, P ngay (vì
√
√
chúa x + y). Ta theo cách đã tao ra h¾ này:
Giai.
a+b=4
√
 √
√
H¾ Đieu
tro thành

 a =
= 2b = x + y ⇒ x + y = b2
ki¾n: x ≥ 0; y ≥ 0. Đ¾t
2 axy;
 2
⇔ 
a +
b=2
2 xy = 2
b2 = 8
Thay vào bưóc đ¾t ta đưoc 

 √ √
√
√

− a.
x + ⇔ x = y = 1 ⇔ x = y = 1 (tmk).

y=2
Vắy hắ ó cho cú mđt nghiắm duy nhat (1;1).
Tương tn trên xét các h¾:
Ví dn 1.5. Giai h¾ phương
trình







Giai.

9y3 (3x3 − 1) = −125 (1)

45x2 y + 75x = 6y 2 (2)

Nh¾n xét y = 0 khơng thoa mãn h¾ phương trình suy ra y ƒ= 0.
Chia 2 ve phương trình (1) cho y3 và phương trình (2) cho y2 thu đưoc h¾





 9(3x3 − 1) = −

125


x

3
+5( ) =
9



x

(3x)3

 u = 3x

5
y3

5

y
2

⇔

. Đ¾t 


5 Có h¾


45

y

+ 75



y2



 v =
.
Đ¾t

⇔
=

3x. (3x + ) = 6

y



S

= u +v
= uv P

6


y
y

u3 + v 3


=9 
(u + v)3 − 3uv(u
uv(u + v)
=6

+ v) =
 9uv(u + v) = 6

H¾ tro

(S2 ≥ 4P )

PS =

6

⇔

⇒



u



⇔

∨




thành










S3 −



+v=3

S=3



uv

=2

u=2





P =2

v=1

3P S = 9

+

u

=2


  
+



v=1



u=1

u=1

v=2

.




⇒

3x =
5

 3x = 1

 = 2


y

2
2




3 x=
3⇔
5


y=5
⇒  =


1
y
x= .

3
y=
1
2⇔
2
V¾y h¾ đã cho có 2 nghi¾m ( ; 5) 1 55
và
( ; ).


 3 2

x(1 + x) 1( 1 + 1) =
Ví dn 1.6. Giai h¾ phương
y y4
+

trình
Giai.
 3 3
x y + x2 y2 + xy + 1 = 4y 3
v=2

ĐK y ƒ=
0.

 x + x2 +

1

+

1

=4


1

 (x +
H¾ tương đương

2

3

xy


y
x
+ 2


u
y
=
x
+

1

) + (x2 +

)=4
⇔

y
1



+ 3= 4
y ⇔




 (x
+

y
1
y

).(x2 +


1

y2

)=4

y2
Đ¾t 

y


 v =
x2 +

H¾
 tro


thành

u+v=4

y
⇒






1
⇔

y2
x+

1

=2



 u = v = 2.

uv = 4
1
x+ =2

y

2

x+

1

=2


y
⇔

⇔

1
 x = 1

x2 +

1

x

2
(x +
y2

)

⇔ x = y = 1.

 x.

y

=

1

−2

y

=2

y

=1




y

=1


2

⇔



Qua các ví du trên ta thay đơi khi h¾ ban đau chưa phai là h¾ đoi xúng loai 1 nhưng


qua bien đői ho¾c đ¾t an phu ta đưa ve h¾ đoi xúng loai 1.


Loai 2: H¾ phương trình đoi xÚng loai 2


Đoi vói h¾ phương trình đoi xúng loai 2, neu f (x, y) là đa thúc ta thưòng trù ve vói