Luận văn thạc sĩ nghiên cứu bài toán polaron bằng phương pháp tích phân phiếm hàm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

Mai Thị Minh Ánh

NGHIÊN CỨU BÀI TOÁN POLARON
BẰNG PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

Mai Thị Minh Ánh

NGHIÊN CỨU BÀI TOÁN POLARON
BẰNG PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS. TSKH. Nguyễn Xuân Hãn

Hà Nội - 2014

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU

2

Chương 1 – Bài tốn Polaron trong khn khổ lý thuyết nhiễu loạn thông thường 6
1.1. Khái niệm Polaron................................................................................... 6
1.1.1. Polaron bán kính lớn..................................................................8
1.1.2. Polaron bán kính nhỏ.................................................................9
1.2. Hamiltonian của electron trong mạng tinh thể........................................11
1.3. Bài toán Polaron trong lý thuyết nhiễu loạn thơng thường.....................15
1.3.1 Tính hằng số nhiễu loạn bậc nhất.............................................17
1.3.1 Tính hằng số nhiễu loạn bậc hai...............................................17
1.3.3 Năng lượng trạng thái cơ bản và khối lượng hiệu dụng của
Polaron.................................................................................................................... 19
Chương 2 – Bài toán Polaron trong khn khổ phương pháp tích phân phiếm hàm22
Chương 3 – Năng lượng trạng thái cơ bản và các bổ chính bậc nhất. Khối lượng
hiệu dụng của Polaron

30

3.1. Giá trị trung bình hàm Green trong trạng thái chân khơng.....................30
3.2. Năng lương trạng thái cơ bản và khối lượng hiệu dụng của Polaron......35
3.3. Gần đúng bậc nhất cho phổ năng lượng..................................................39
KẾT LUẬN

44

TÀI LIỆU THAM KHẢO

45

3


MỞ ĐẦU
Khái niệm polaron đầu tiên được L.D. Landau giới thiệu trong một bài báo
rất ngắn /16/, sau đó được phát triển bởi S.I. Pekar/20/, ông đã nghiên cứu các tính
chất cơ bản nhất của polaron tĩnh trong trường hợp giới hạn của tương tác electronphonon rất mạnh, để hành vi của polaron có thể được phân tích trong gần đúng đoạn
nhiệt.
Nhiều nhà nghiên cứu nổi tiếng khác, trong đó cú H. Froăhlich/14/, R.
Feynman/11/ v N.N. Bogolyubov /8/, ó úng góp cho sự phát triển của lý thuyết
polaron sau này. Khái niệm polaron tiếp tục thu hút nhiều sự quan tâm trong thực
nghiệm cũng như lý thuyết: nó mơ tả các tính chất vật lý của các hạt mang điện
trong các tinh thể có cực và các bán dẫn ion và, cùng lúc đó, nó biểu hiện một mơ
hình đơn giản nhưng hiệu quả trong mơ hình lý thuyết trường của một hạt tương tác
với trường boson vơ hướng.
Mơ hình Polaron mô tả tương tác của hạt phi tương đối tính với trường lượng
tử vơ hướng là một trong những mơ hình cơ bản đơn giản, quan trọng trong việc
vận dụng các phương pháp của lý thuyết trường lượng tử vào chất rắn /11, 15, 17/.
Có rất nhiều phương pháp đã được phát triển để nghiên cứu mơ hình Polaron. Bằng
phương pháp nhiễu loạn thơng thường ta tính được năng lượng trạng thái cơ bản và
khối lượng hiệu dụng của Polaron/12, 14, 16/, tuy nhiên việc tính tốn các bổ chính
bậc cao gặp khó khăn. Trong rất nhiều phương pháp của lý thuyết trường lượng tử
cho bài toán này, phương pháp tích phân phiếm hàm tỏ ra là phương pháp hữu hiệu.
Einstein và Smolykhovski là những người đầu tiên đã đưa khái niệm tích
phân phiếm hàm (trong vật lý người ta gọi là tích phân đường hay tích phân theo
quỹ đạo) vào nghiên cứu lý thuyết chuyển động của hạt Brown, song cơ sở toán học
chặt chẽ của khái niệm này lại dựa vào các cơng trình nghiên cứu của Weiner (trong

tốn học người ta gọi là tích phân liên tục hay tích phân phiếm hàm)/7/.


Khái niệm tích phân qũy đạo là cơng cụ hữu hiệu để nghiên cứu các vấn đề
vật lý lý thuyết. Feynman là người đầu tiên đã sử dụng nó để xây dựng một cách
phát biểu mới cho cơ học lượng tử /3, 9/. Nền tảng chủ yếu của phương pháp này là
dựa vào nguyên lý: “Biên độ xác suất của phép dời chuyển lượng tử của hệ từ
trạng thái đầu |i〉 đến trạng thái cuối |f〉 được xác định bởi tổng hay tích phân)
i

theo tất cả các quỹ đạo khả dĩ trong không gian pha của biểu thức exp  S[x(t)]


trong đó



S[x(t)] là hàm tác dụng cổ điển”. Feynman cũng là người đầu tiên áp

dụng phương pháp này vào lý thuyết trường lượng tử tương đối tính. Thành tựu to
lớn của phương pháp tích phân phiếm hàm là phát triển kỹ thuật giản đồ Feynman
được sử dụng trong Điện động lực học lượng tử (QED) trước đây và việc lượng tử
hóa các lý thuyết trường chuẩn sau này.
Bài tốn Polaron đã được Feynman nghiên cứu đầu tiên /11/ bằng phương
pháp biến phân, trong đó mức năng lượng của trạng thái cơ bản đã được đánh giá
cho trường hợp liên kết yếu.
Mục đích của bản luận văn là phát triển nghiên cứu của Feynman, tính năng
lượng trạng thái cơ bản, và bổ chính năng lượng bậc nhất của nó, khối lượng hiệu
dụng của Polaron bằng phương pháp tích phân phiến hàm. Các tích phân phiếm
hàm được tính tốn nhờ phương pháp gần đúng quỹ đạo thẳng hay còn gọi là gần

đúng eikonal trong lý thuyết tán xạ lượng tử.
Nội dung của luận văn bao gồm ba chương, kết luận và tài liệu tham khảo.
Chương 1: Bài tốn Polaron trong khn khổ lý thuyết nhiễu loạn thơng
thƣờng
Mơ hình Polaron trong mạng tinh thể được trình bày trong mục (1.1). Từ
mơ hình đó chúng tôi xây dựng biểu thức cho Hamiltonian của hệ electron - phonon
trong mạng tinh thể (1.2). Sử dụng lý thuyết nhiễu loạn thơng thường ta tính được


năng lượng cơ bản, bổ chính của nó, và khối lượng hiệu dụng của Polaron trong
trường hợp liên kết yếu (1.3).
Chương 2: Bài tốn Polaron trong khn khổ phƣơng pháp tích phân
phiếm hàm.
Tích phân phiếm hàm trong luận văn được đưa vào giải bài tốn Polaron khi
tuyến tính hóa tốn tử Laplace :
1 = − 1 = −�
∆
∇2

∞

�

�� ��� 𝑖 𝑖𝑖 ∇2
�

0

0

Biến số s trong hàm mũ, được coi như chỉ số trật tự ( như thời gian trong T – tích ).
Thừa số mũ exp 𝑖 � 2
∇ được coi như T – tích hay T
exponent. Việc chuyển từ
0

�

s

T- tích sang N - tích khơng thể thực hiện được nêu không khai triển thành chuỗi của
lý thuyết nhiễu loạn, lý do trong thừa số hàm số mũ chứa toán tử phi tuyến
∇2𝑖.
Ta chỉ có thể thực hiện phép biến đổi
𝑖

exp 𝑖

0

2

∇∇ 𝑖 = 𝑖 𝑖 𝑖

( )𝑖
0=

−�

𝑖∗

0

𝑖 𝑖𝑖

…

Phương trình cho hàm Green tổng qt của mơ hình Polaron (cụ thể xét mơ hình
tương tác của hạt vơ hướng phi tương đối tính ( electron ) với trường ngồi – (nếu
trường ngồi lượng tử hóa, sẽ là tập hợp các phonon) được dẫn ra ở chương 2.
Chương 3: Năng lƣợng và bổ chính bậc nhất cho trạng thái cơ bản, và
khối lƣợng hiệu dụng của Polaron.
Sử dụng hàm Green thu được ở chương 2, ta tìm giá trị trung bình của hàm
Green trong trạng thái chân không trong gần đúng quỹ đạo thẳng ở mục (3.1). Sử
dụng kết quả này để tìm năng lượng trạng thái cơ bản và tính khối lượng hiệu dụng


của Polaron trong mục (3.2). Các bổ chính bậc nhất cho năng lượng trạng thái cơ
bản được trình bày trong mục (3.3).
Phần kết luận dành cho việc tổng hợp những kết quả chung thu được trong
luận văn và thảo luận.


Chƣơng 1 BÀI TỐN POLARON TRONG KHN KHỔ
LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN THÔNG THƢỜNG
1.1. Khái niệm Polaron
Electron trong vật rắn là chuẩn hạt và chiếm các tr ạng thái đơn electron
trong mơ hình vùng năng lượng. Phonon cũng là một chuẩn hạt mô tả các dao động


mạng. Số các Phonon của các trạng thái riêng biệt được đặc trưng bởi véctơ sóng q



và nhánh j của phổ tán sắc ω j (q ) .
Tương tác electron – Phonon thể hiện qua việc sinh (phát) hoặc huỷ (hấp thụ)
Phonon với sự biến đổi đồng thời trạng thái lượng tử
k ± q,σ

k,σ

sang trạng thái

. Trong mạng tinh thể phức tạp, các nguyên tử cơ sở có các điện tích khác

nhau như các tinh thể Ion thì sự phân cực sẽ liên kết với các dao động quang của
mạng và sự phân cực này dẫn đến tương tác mạnh của electron với các Phonon
quang. Trong tinh thể Ion do sự tương tác Coulomb mà electron phân cực mơi
trường xung quanh mình. Sự phân cực này làm biến dạng mạng, nghĩa là kích
thích các Phonon quang. Trong các tinh thể Ion, một số nguyên tử mang điện tích
dương trong khi một số khác lại mang điện tích âm. Một Phonon quang có các Ion
khác nhau dao động khác pha. Khi các Ion âm và các Ion dương dao động theo
hướng ngược nhau, chúng thiết lập một trường lưỡng cực phân cực. Sự phân cực
hoá gây ra trường điện làm tán xạ các electron. Trường điện đó là nguồn liên kết có
cực, electron và sự phân cực mạng (biến dạng mạng) liên kết với nhau tạo thành
một chuẩn hạt được gọi là Polaron. Mơ hình mơ tả Polaron phụ thuộc vào sự biến
dạng mạng truyền trong môi trường hoặc trực tiếp bao quanh electron với một
khoảng vài hằng số mạng (Polaron bán kính nhỏ) hay trên một số lớn hằng số mạng
(Polaron bán kính lớn) .
Khi có electron chen thêm vào giữa các nút mạng thì các Ion nằm ở các nút
mạng bị lệch khỏi vị trí cân bằng của mình do lực hút hoặc lực đẩy tĩnh điện. Từ

đây thấy rằng khi electron thêm vào này chuyển động thì các Ion nằm ở các nút
mạng cũng phải dao động theo một cách tương ứng làm xuất hiện các Phonon.
Polaron là khái niệm để chỉ electron nằm giữa các nút mạng cộng với đám
mây phonon (có thể gồm 1,2,3 hoặc nhiều Phonon) bao bọc xung quanh nó. Như
vậy có thể nói một cách đơn giản rằng Polaron là electron “Mặc áo” Phonon và
các tính chất của một electron khốc thêm áo như vậy trong nhiều trường hợp
khác hẳn với các tính chất của electron “Trần truị ” cụ thể là:
(1) Polaron được sinh ra do tương tác tĩnh điện giữa electron và mạng tinh thể, do đó
tinh thể phải là tinh thể Ion thì Polaron ở đó mới khác nhiều so với electron vì tương
tác này lúc đó maṇ h hơn nhi ều so với tinh thể đồng hoá trị hoặc
các loại tinh thể khác.
(2) Polaron xảy ra chủ yếu trong tinh thể Ion mà tinh thể Ion là chất cách điện, do đó về
cơ bản Polaron chỉ có mặt trong các tinh thể cách điện.
(3) Polaron xảy ra khơng phải chỉ với electron mà cịn có thể xảy ra với cả lỗ
trống.
(4) Để có Polaron xuất hiện các Ion của mạng tinh thể phải bị dịch chuyển, do đó so với
electron thì Polaron có độ ì (qn tính) hay nói cách khác là khối lượng hiệu dụng
lớn hơn nhiều. Polaron thậm chí có thể nặng đến mức bị bắt giữ (định xứ tại một vị
trí nào đó trong tinh thể) không chuyển động được. Về sự bắt giữ của Polaron có thể
nói thêm như sau:
- Sự bắt giữ Polaron thường xảy ra trong các tinh thể Ion phân cực mạnh, ví dụ như
các tinh thể kiềm – halogen, hoặc bạc – halogen.
- Lỗ trống hay bị bắt giữ hơn electron, hầu như trong tất cả các tinh thể kiềm
- halogen và bạc - halogen lỗ trống đều bị bắt giữ.


ÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
1. Nguyễn Quang Báu (2004), Vật lý thống kê, ĐHQG Hà Nội

2. Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lượng tử, ĐHQG Hà Nội.
3. Nguyễn Xuân Hãn (1998), Lý thuyết trường lượng tử, ĐHQG Hà Nội
4. Nguyễn Xuân Hãn (2002), Các bài giảng về tích phân quỹ đạo trong lý thuyết
trường lượng tử
5. Nguyễn Văn Hiệu (2000), Phương pháp lý thuyết trường lượng tử trong vật lý
chất rắn và vật lý thống kê, ĐHQG Hà Nội
6. Nguyễn Văn Hùng (2002), Lý thuyết chất rắn, ĐHQG Hà Nội
7. Nguyễn Như Xuân (2008), Một số vấn đề tái chuẩn hóa, tán xạ năng lượng cao
trong lý thuyết trường lượng tử và phương pháp tích phân phiếm hàm, Luận văn
thạc sỹ toán lý ĐHKHTN – ĐHQG Hà Nội
Tiếng Anh
8. Bogoliubov H.H.(1957), Introduction to Quantized Field Theory, Moscow.
9. Bogolubov N.N (1950), Ukrainian Math. J., 2.
10. Charles Kittel, “ Introduction to Solid State Physics” ; pp.99-112, 198-200,
pp.393-412.(xuất bản lần thứ 8)
11. Feynman R.P.(1948), “ Space – time Approach to non – relativistic Quantum
Mechanics”
12. Feynman R.P.(1951), “ An Operato Calculus Having Applications in Quantum”


13. Feynman R.P.(1955), “ Slow Electron in a Polar Crystal”, Phys.Rev.,97(3),pp.
660-665
14. Feynman R.P.(1972), “ Statistical Mechannics”, (Aset of lestures), pp. 252-267
15. Froăhlich H., Pelzer H., Zienau S., Philos. Mag (1950), 41, 419.
16. Kuleshov S.P and Smondyres M. A.(1977). “ Quantum Fluctuations and
Structure of Paticles”, Preprint, Dubna R2-10467
17. Landau L.D., Phys. Z. Sowietunion (1933), 3, 664. [English translation:
Collected Papers. Gordon and Breach, New York, p. 67- 68, 1965].
18. Lee T.D., Low F.E., and Pines D.(1953), “ Interation of a Nonrelativistic
Praticle with a Scalar Field with Application to slow Electron in Polar Crystal”,

Phys. Res., 92(4), pp.883-889.
19. Lee T.D, Low FE. ,and Pines D.(1953), “ Ther Motion of Slow Electron in a
Polar Crystal”, Phys. Rev., 90(2), pp(297-302).
20. Pekar S.I., Sov. Phys. JETP (1946), 16, 341; Pekar S.I. Research in Electron
Theory of Crystals.Gostekhizdat, Moscow, 1951. [English translation: Research
in Electron Theory of Crystals. US AECReport AEC-tr-5575].