Luận văn thạc sĩ nhóm tự đẳng cấu của miền với biên phẳng lêvi

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN DUY ĐẠT

NHÓM TỰ ĐẲNG CẤU CỦA MIỀN VỚI BIÊN
PHẲNG LÊVI

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - Năm 2014


NGUYỄN DUY ĐẠT

NHÓM TỰ ĐẲNG CẤU CỦA MIỀN VỚI BIÊN
PHẲNG LÊVI
Chun ngành: Tốn giải tích
Mã số

: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS. TSKH. Đỗ Đức Thái

Hà Nội - Năm 2014


1

LèI CÁM ƠN
Trưác tiên tơi xin đưac bày tõ lịng biet ơn đen các thay cô đã và đang
công tác tai khoa Toán - Cơ - Tin HQC trưàng Đai HQC Khoa HQC Tn nhiên
Hà N®i, nhung ngưài đã giãng day và cung cap nhung kien thúc khoa HQC
quý báu trong suot nhung năm HQC VÙA qua đe tơi có nen tãng kien thúc đe
thnc hi¾n lu¾n văn này.
Tiep theo tôi xin đưac gui lài cãm ơn tái thay giáo hưáng dan là GS.
TSKH Đő Đúc Thái, đong cãm ơn tái TS Ninh Văn Thu và TS Nguyen Thac
Dũng, nhung ngưài đã t¾n tình chi bão giúp đã và tao đieu ki¾n ve nhieu
m¾t đe tơi có the hồn thành lu¾n văn này.
Cuoi cùng xin cãm ơn gia đình, ban bè đã giúp đã, cő vũ đ®ng viên và
đóng góp cho tơi nhieu ý kien q báu trong cu®c song, cơng vi¾c và HQC
t¾p nói chung cũng như trong q trình thnc hi¾n lu¾n văn này.
Xin chúc MQI ngưài súc khõe, đat đưac nhieu thành tích cao trong cơng
tác, HQC t¾p và nghiên cúu khoa HQC Và g¾t hái thêm nhieu thành cơng trong
cu®c song.
HQC viên: Nguyen Duy Đat


DANH MUC CÁC KÝ HI›U
• Aut(Ω): nhóm tn đang cau cua mien Ω.
• Ck(Ω): khơng gian các hàm khã vi liờn tnc en cap k trờn .
ã H(, ) (hoắc Hol(ω, Ω)): t¾p các ánh xa chinh hình tù ω vào Ω.
• KΩ: giã metric Royden-Kobayashi trên mien Ω.
• FDK : metric Royden-Kobayashi trên mien D.
• FDC : metric Caratheodory trờn mien D.
ã MED : đ o Eisenman-Kobayashi trờn mien D.
ã MCD : đ o Caratheodory trờn mien D.

Mnc lnc
LèI CÁM ƠN

1

DANH MUC CÁC KÝ HI›U

2

1

6

2

Kien thúc chuan b%
1.1

Mđt so khỏi niắm c só.........................................................................6

1.2

Siờu mắt Levi-flat.................................................................................. 9

1.3

Metric v đ® đo bat bien...................................................................... 12

Nhóm tn đang cau khơng compact

15

2.1

Chúng minh đ%nh lý chính phan 1...................................................... 16

2.2

Chúng minh đ%nh lý chính phan 2...................................................... 20

3


Mé ĐAU
Cho D1 , D2 là hai t¾p mã trong khơng gian phúc n chieu Cn , m®t
ánh xa chinh hình tù D1 → D2 đưac GQI là song chinh hình neu nó có
ánh xa ngưac chinh hình. Hai t¾p mã D1 , D2 đưac GQI là song chinh hình
neu ton tai m®t ánh xa song chinh hình tù D1 vào D2 . Trong giãi tích
phúc, đ%nh lý ánh xa Riemann núi rang: Neu U l mđt tắp con mó,
n liên cua m¾t phang phúc mà khơng phãi là tồn b® C, khi đó U song
chinh hình vái đĩa đơn v% ∆ = {z

∈ C :

|z| <

1}. Vào năm 1907

Poincaré đã chúng minh rang hình cau đơn v% Bn = {z ∈ Cn : |z| < 1}
khơng song chinh hình vái đa đĩa Dn = {z = (z1 , z2 , ..., zn ) ∈ Cn : |z j | < 1,

j = 1, n} vái n > 1. Chúng minh cua ơng su dnng vi¾c mơ tã nhóm tn
đang cau cua hai mien Bn và Dn . Sau đó Cartan đã đưa ra bài tốn đó là xác
đ%nh nhóm tn đang cau cua m®t mien cho trưác trong Cn . Tù đó đen nay có
rat nhieu ket quã cua các nhà toán HQC liên quan đen bài toán mà Cartan đã
đ¾t ra. Mnc đích cua lu¾n văn này là trình bày lai ket quã cua Fu-Wong
(xem [FW1]) đưac đăng trên tap trí Complex Variables ve bài tốn xác đ%nh
láp cua nhung mien có biên trơn tùng khúc, generic, Levi-flat và có nhóm
tn đang cau khơng compact, tù đó xác đ%nh đưac nhóm tn đang cau cua
nhung mien đó.
Bo cnc cua lu¾n văn gom hai chương:

Chương I: Nhung kien thúc chuan b%.
4


5
N®i dung cua chương này là trình bày m®t so kien thúc cơ bãn cua giãi
tích phúc. Đong thài, trình by mđt so khỏi niắm, ket quó liờn quan en
metric Royden-Kobayashi và hai đ® đo bat bien Caratheodory và EisenmanKobayashi... Nhung kien thúc này se là cơ sã cho vi¾c nghiên cúu ã chương
sau.
Chương II: Nhóm tn đang cau khơng compact.
Trong chương này, trưác het se nhac lai m®t so ket q ve bài tốn xác đ
%nh nhóm tn đang cau cua m®t mien cho trưác và sau đó tim hieu ket quã
cua Fu-Wong ve bài toán xác đ%nh láp cua mien b% ch¾n trong C2 vái biên
trơn tùng khúc, generic, Levi-flat và có nhóm tn đang cau khơng compact.


Chng 1

Kien thỳc chuan b%

1.1 Mđt so khỏi niắm c sỏ
%nh ngha 1.1.1. Khó vi phnc:
Cho l mđt tắp mã trong Cn và f là m®t hàm bien phnc xác đ%nh trên Ω,
f : Ω → C. Chúng ta nói f khã vi phnc tai x0 ∈ Ω neu ton tai m®t ánh xa tuyen
tính λ: Cn → C sao cho:

| f (x0 + h) − f (x0) − λ(h)|
limh→0
= 0,
||h||
,,n
trong đó h ∈ Cn , h = (h1 , h2 , ..., hn ), ||h|| =i=
|hi |2 .
1

Hàm f đưac GQI là chinh hình tai x0 ∈ Ω neu ton tai mđt lõn cắn mó U
cua
x0 sao cho f khã vi phúc vái MQI x ∈ Ux0 .
Hàm f đưac GQI là chinh hình trên Ω neu f chinh hình tai MQI điem
thu®c
Ω.
Cho ánh xa f : Ω ⊂ Cn → Cm; có the viet dưái dang f = ( f1, ..., fm) trong
đó
f j = π j ◦ f : Ω → C vái j = 1, m là các hàm tQA đ®, và
π j : Cm → C

(z1, ..., zm) ›→ z j
6

7
Khi đó, f đưac GQI là hàm chinh hình trên Ω neu f j chinh hình trên Ω vái
j = 1, m.
Đ%nh nghĩa 1.1.2. Cho Ω1 , Ω2 là hai t¾p mã trong khơng gian phnc n chieu Cn .
Ánh xa f : Ω1 → Ω2 đưac GQI là song chinh hình neu f là song ánh, chinh hình
và f

−1

cũng là ánh xa chinh hình. Ω1 đưac GQI là song chinh hình vái Ω2 neu ton

tai m®t ánh xa song chinh hình f : Ω1 → Ω2 .
Cho Ω là m®t mien trong Cn . Ánh xa song chinh hình f : Ω → Ω đưac GQI
là m®t tn đang cau trên Ω.
Ký hi¾u Aut(Ω) là t¾p tat cã các tn đang cau trên Ω.
Ví dn 1.1.1.
Cho ∆ = {z ∈ C : |z| < 1}. Khi đó, Aut(∆) là t¾p tat cã các phép bien đői
phân
z−a
= ,
,
tuyen tính ϕ có dang: ϕ(z) = w1 − ¯ ã đó |w| 1 w ∈ C a ∈ .
∆
az
Ví dn 1.1.2.
Aut(C) là t¾p tat cã các ánh xa tuyen tính ϕ: ϕ(z) = az + b ã đó a, b ∈ C, a
Ç 0.
Ví dn 1.1.3.
Cho ∆2 = {(z1, z2) ∈ C2 : |z1| < 1, |z2| < 1}. Khi đó, Aut(∆2) là t¾p tat cã
các ánh xa có dang sau:

(z1 , ) ›→
z2 (w

zσ(2) − a2
zσ1(1) −
a1 1 − a 1 z 2
)
,w
1 − aσ2z (2)
(1)

σ

trong đó a1, a2 ∈ ∆, σ là phép the trên t¾p {1, 2}, w1, w2 ∈ C và |w1| = |
w2| = 1.
Đ%nh nghĩa 1.1.3. Cho X l mđt mắt liờn thụng, mđt bón o phnc U trờn X l mđt
HQ cỏc cắp (U j , z j ), U = {(U j , z j )} j∈J thõa mãn:


1) U j là các t¾p mã cua X,
S
2) j∈J U j = X,
3)z j : U j → W j là các đong phơi, ã đó W j là các t¾p mã cua m¾t phang phnc,
4)Hàm z j thõa mãn đieu ki¾n tương thích sau: Neu U j ∩ Uk Ç ∅, khi đó
zk ◦ z−j 1 : z j (U j ∩ Uk ) → zk (U j ∩ Uk ) là chinh hình.
Hàm z j đưac GQI là tQA đ® đ%a phương, phép bien đői zk ◦ z−j 1 đưac hieu như
phép chuyen bãn đo.
Đ%nh nghĩa 1.1.4. Hai bãn đo phnc U và V đưac GQI là tương đương hay tương
thích neu hap cua chúng là m®t bãn đo phnc,
M®t cau trúc phnc trên X là m®t lỏp tng ng cua cỏc bón o

phnc, Mđt mắt Riemann l mđt mắt liờn thụng vỏi mđt cau trỳc
phnc.
Vớ dn 1.1.4.
M¾t phang phúc C vái hàm đong nhat z ›→ z l mđt mắt Riemann.
a n v% = {z ∈ C : |z| < 1} và nua m¾t phang trên H = {z ∈ C :
Im z > 0}
là cỏc mắt Riemann.
%nh ngha 1.1.5. Cho D l mđt mien b% ch¾n trong Cn . Biên bD cua D đưac GQI l
trn tnng khỳc neu ton tai mđt lõn cắn U cua D¯ và ρk ∈ C∞ (U), 1 ≤ k ≤ m, sao
cho
T
D = {q ∈ U; ρkq < 0, 1 ≤ k ≤ m} và dρk1 ∧ ... dkl ầ 0 trờn
vỏi bat k bđ
l
j=
1

Sk

j

phõn biắt k1 , ..., kl ∈ {1, ..., m}, ã đó S j = {q ∈ U; ρ j (q) = 0}. Biên bD đưac GQI
là trơn
T
tnng khúc, generic neu ∂ρk1 ∧ ... ∧ ∂ρkl Ç 0 trên l Sk . Biên bD đưac GQI là trơn
j=
1

j

tnng khúc, Levi-flat neu mői Sj là Levi-flat (xem mnc 1.2).


1.2 Siờu mắt Levi-flat
%nh ngha 1.2.1. Cho S l mđt siêu m¾t trong Cn . Giã su ρ là hàm xỏc %nh
siờu mắt S, ngha l, ton tai mđt lõn c¾n U cua S sao cho ρ ∈ C∞ (U), S = {z ∈ U;
ρ(z) = 0}, và dρ(z) Ç 0 trên S. Siêu m¾t S đưac GQI là giã loi neu dang Levi
n

2

, ∂ρ
∂z j ∂z (z)XjXk ≥ 0
¯k
j,k=1

vái MQI z ∈ S và X ∈ Cn thõa mãn

,n
j=
1

(∂ρ/∂z j )(z)X j = 0. Và S đưac GQI là Levi-

flat
neu dau ” ≥ ” trong bat đang thnc trên đưac thay bãi dau ” = ”
Theo h¾ quã cua Freeman thỡ mđt siờu mắt Levi-flat ac phõn lỏ %a
phng bãi các đa tap phúc có đoi chieu 1 (xem [Fre, cf.]). Đ¾c bi¾t, trong
trưàng hap neu S là siêu m¾t Levi-flat trong C2 và p ∈ S, khi đó ton tai mđt
lõn cắn U cua p v mđt vi phơi gt(ζ) = g(t, ζ) : (−1, 1) × ∆ → S ∩ U

sao cho gt(ζ) chinh hình theo ζ. Mi mắt Riemann mó gt() l mđt lỏ cua
phõn lỏ. Bő đe sau đây se đưa ra ket quã phân lá trong trưàng hap S chúa đĩa
affine.
Bo đe 1.2.1. Cho M = ì {0} v cho S l mđt siêu m¾t Levi-flat chna M trong
C2 . Khi đó vái bat kỳ δ thõa mãn 0 < δ < 1 thỡ ton tai mđt lõn cắn N cua ì
{0} v mđt vi phụi (t, ) tn (1, 1) ì ∆δ lên S ∩ Nδ sao cho Φ(t, ζ) = (ζ, ϕ(t,
ζ)) trong đó ϕ(t, ζ) là chinh hình theo bien ζ và ϕ(0, ζ) = 0 vái MQI ζ ∈ ∆δ .
Chnng minh. Đe chúng minh bő đe trên ta se su dnng ket quã cua DiederichFornæss sau:
Đ%nh lý 1.2.2. [DF, Theorem 8] Cho D là m®t mien b% chắn trong C2 sao cho
M = ì 0 bD. Giã su rang bD là trơn và giã loi trong mđt lõn cắn cua M
vỏi hm xỏc %nh %a phương r = r(z, w). Hơn nña giã su rang véc tơ pháp
tuyen ngoài cua
bD tai goc là hưáng dương cua trnc thnc Re w. Đ¾t v(z) = arg(∂r/∂w)(z, 0).
Khi đó


v(z) xác đ%nh m®t hàm đieu hịa trên ∆. Hơn nđa, neu u(z) là m®t hàm liên hap
đieu


hịa cua v(z) và h(z) = exp(−u(z) + iv(z)), thì véc tơ pháp tuyen ngoài cua bD
là hang so trên M trong hắ tQA đ mỏi (zJ , wJ ) xác đ%nh bãi zJ = z và wJ = wh(z)).
Chúng minh b e (1.2.1):
Sau mđt phộp thay i hắ trnc tQA đ trong lõn cắn cua M chỳng ta cú the
giã su véc tá pháp tuyen thnc cua S tai (0, 0) là hưáng dương cua trnc
thnc Re- w. Do đó, theo đ%nh lý trên thì véc tơ pháp tuyen thnc cua S là
hang so trên M. Khi đó, giã su ρ là hàm xác đ%nh S thì trong lân cắn cua
ì {0} ta cú:
(z, w) = Re w + r(z, z¯, Im w)

(1.1)

Trong đó |r(z, z¯, Im w)| ≤ C| Im z|2 vái C là m®t hang so dương.
Th¾t v¾y, vái MQI z trong lân c¾n cua ∆δ ta có: ρ(z, 0) = 0. Do véc
tơ pháp tuyen thnc cua S trên M là hang so và là hưáng dương cua
trnc thnc Re w nên ρJIm

w

(z, 0) = 0 vái MQI z ∈ ∆, tù đó rJIm

w

(z,

z¯, 0) = 0 vái MQI z ∈ ∆. Khai trien r(z, z¯, Im w) theo Im w trong
lân c¾n cua (z, 0) ta thu đưac r(z, z¯, Im w) =
1
2
2
(2!) w(z, z¯, 0)(Im w) + o((Im w) ). Tù đó ton tai hang so C > 0 sao
r Im
cho vái
j

j

MQI

w trong lân c¾n đu bé cua 0 và z nam trong lân c¾n đu bé cua ∆δ

thì
|r(z, z¯, Im w)| ≤ C| Im w|2.
Theo giã thiet ta có S là siêu mắt Levi-flat trong C2 nờn vỏi mi (zj, 0)

ì {0} M S ton tai mđt lõn cắn mã U j ⊃ ∆(zj, r j ) × ∆εj và m®t vi
phơi gt(ζ) = g(t, ζ) : (−1, 1) × ∆ → S ∩ U sao cho gt(ζ) là chinh hình theo
S
ζ. Tù đó ∆δ ⊂ z j ∈∆δ ∆(z j , r j ), m¾t khác ∆δ là t¾p compact nên ton tai phu
huu han
∆δ ⊂ j= ∆(zj, rj). Nh vắy S cú mđt phõn lỏ bói cỏc mắt Riemann mó trong
0
S
mđt
m lõn cắn Uj cua (zj, rj) × {0}.
Khơng mat tính tőng qt, chúng ta có the giã su rang ∆(z0 , r0 ) chúa goc
tQA đ® (0, 0). Đ¾t g(t, ζ) = (g1 (t, ζ), g2 (t, ζ)) : (−1, 1) × ∆ → S ∩ U0 là
m®t phân lá cua S ∩ U0 . Sau m®t phép đői bien , chúng ta có the giã su rang
g(0, 0) = (0, 0). Do g(0, ζ) ∈ S ∩ U0 vái MQI z ∈ ∆ nên ρ(g1 (0, ζ), g2 (0,
ζ)) = 0 vái MQI ζ ∈ ∆. Tù đó


ket hap vái (1.1) ta suy ra rang | Re g2 (0, ζ)| ≤ C| Im g2 (0, ζ)|2 vái MQI ζ
∈ ∆. Ta có h(ζ) = g2 (0, ζ) : ∆ → C là m®t ánh xa chinh hình do v¾y theo
nguyên lý ánh xa mã kéo theo neu h(ζ) khơng là hang thì h(ζ) là ánh xa
mã. M¾t khác, có | Re h(ζ)| ≤ C| Im h(ζ)|2 và h(0) = 0 nên h khơng là xa
mã. Do đó h phãi là hang, khi đó g2 (0, ζ) ≡ 0 vái MQI ζ ∈ ∆ và g1 (0, ζ) l
mđt - mđt vỏi . Do vắy, cú the CHQN α ∈ (0, 1) và α đu gan 1 sao cho
∆(z0 , r0 ) « g1 (0∆α ). Theo đ%nh lý Rouché ta suy ra rang g1 (ζ) = g1 (t, ζ) là
m®t - m®t trên ∆α vái t đu nhõ.

Đ¾t Φ0(t, ζ) = (ζ, ϕ0(t, ζ)) : (−ε0, ε0)×∆(z0, r0) → S ã đó ϕ0(t, ζ) =
t
t
t
g2◦(g1)−1(ζ)
và ε0 đu nhõ sao cho g1 là m®t - m®t vái |t| < ε0. Sau m®t phép đői bien t,
t
chúng ta có the giã su rang Φ0(t, 0) = (0, −r(0, 0, t) + it). Φ0(t, ζ) cho m®t
phân lá cua S trong lõn cắn cua (z0, r0) ì {0}.
Tiep theo chúng ta se chi ra cách mã r®ng Φ0 (t, ζ) đe thu đưac phân lá
cua S trong m®t lõn cắn cua ì {0}. Gió su rang (z0 , r0 ) ∩ ∆(z1 , r1 )
Ç ∅. Lay p ∈ ∆(z0 , r0 ) ∩ ∆(z1 , r1 ). Xác đ%nh Φ1 (t, ζ) = (ζ, ϕ1 (t, ζ)) : (−ε,
ε) × ∆(z1 , r1 ) → S như cách xác đ%nh Φ0 ã trên sao cho Φ1 (t, p) = (p, ϕ0 (t,
p)). e đó ε1 là hang so dương đu bé. Do tính duy nhat cua phân lá nên ta có
Φ0 (t, ζ) = Φ1 (t, ζ) vái MQI t ∈ (−ε0 , ε0 ) ∩ (−ε1 , ε1 ) và ζ ∈ ∆(z0 , r0 ) ∩ ∆(z1 ,
r1 ). Dán Φ0 và Φ1 , chúng ta thu đưac phân lá cua S trong m®t lân c¾n cua
(∆(z0 , r0 ) ∩ ∆(z1 , r1 )) ì {0}. Bang cỏch nh vắy, chỳng ta ghộp cỏc phõn lỏ
cua S trong mđt lõn cắn cua (z j , r j ) × {0} vái 0 ≤ j ≤ m thu đưac m®t
phân lá trơn cua S trong lân c¾n cua ∆δ có dang sau:
Φ(t, ζ) = (ζ, ϕ(t, ζ)) : (−ε, ε) × ∆δ → S
, trong đó Φ(t, 0) = (0, −r(0, 0, t) + it) và ε là hang so dương đu bé. Sau
m®t phép đői bien t chúng ta có the giã su ε = 1.
□
Bo đe 1.2.3. Cho D là m®t mien b% ch¾n trong C2 vái biên trơn tnng khúc, Leviflat.
Giã su S l mđt siờu mắt xỏc %nh cua D. Cho Dˆ là m®t mien con cua D
→ bD
và g:Dˆ
là m®t hàm chinh hình. Khi đó neu g(Dˆ ) ∩ S Ç ∅ thì g(Dˆ ) ⊆ S.

Chnng minh. Chúng ta giã su rang g không là ánh xa hang. Đ¾t M = g(Dˆ )
∩ S. Khi đó M là t¾p con đóng cua g(Dˆ ). Bây già chúng ta chúng minh nó
cũng là
t¾p con mã cua g(Dˆ ). Lay p ∈ M bat kỳ khi đó ton tai q ∈ Dˆ sao cho
g(q) = p.
Sau m®t phộp bien i hắ tQA đ chỳng ta cú the giã su rang p = (0, 0), lá cua
S đi qua p đưac bieu dien bãi ζ ›→ (ζ, 0), và S đưac xác đ%nh đ%a phương bãi :
ρ(z, w) = Re w + Im w.r(z, z¯, Im w),
ã đó r(z, z¯, Im w) = O(|z| + | Im w|). Đ¾t g = (g1 , g2 ). Tù ρ(g1 , g2 )
≥ 0 suy ra Re g2 (z, w) ≥ | Im g2 (z, w)|2 vái (z, w) đu gan q. Tù đó do
g2 (q) = 0 nên theo nguyên lý ánh xa mã cua ánh xa chinh hình khác
hang ta có g2 (z, w) = 0 vái MQI (z, w) gan q. Do đó, M chúa t¾p {(g1 (z,
w), 0): vái MQI (z, w) gan q}. V¾y M là t¾p con mã cua g(Dˆ ). Do đó g(Dˆ
)
=
M
⊆
S.
□

1.3 Metric và đ® đo bat bien
Trong mnc này, chúng ta se tìm hieu ve metric, đ® đo bat bien và m®t so
tính chat liên quan đen chúng.
Cho D là m®t mien b% ch¾n trong C2. Ký hi¾u ∆ là đĩa đơn v% trong C và
∆n là đa đĩa đơn v%. Ký hi¾u H(D1 , D2 ) là HQ CÁC ánh xa chinh hình tù D1
vào D2 . T(D) là phân thá véc tơ tiep xúc chinh hình cua D. Chúng ta se đong
nhat T(D) vái D × Cn .
Mêtric Kobayashi-Royden FK
D

: T(D) → R+ ∪ {0} đưac xác đ%nh bãi

FK (z, ν) = inf{1/λ; ∃ f ∈ H(∆, D) sao cho f (0) = z, f J (0) = λν, λ >
D
0},
vái (z, ν) ∈ T(D).
Vái f (z) = ( f1 (z1 , ..., zn ), ..., fm (z1 , ..., zn )), chúng ta ký hi¾u f J (z) là
ma tr¾n


Jacobi ( fj/zk)mìn. đ o Kobayashi-Eisenman trờn D ac xỏc đ%nh bãi :
MED=

1
inf{ |det f
J
(0)|2

; f ∈ H(∆n, D), f (0) = z}.

Đ® đo Carathéodory trên D đưac xác đ%nh bãi
C

=Dsup{|det f J (z)|2 ; f ∈ H(D, ∆n ), f (z) = 0}.
M

Bő đe dưái đây là m®t so tính chat cua mêtric Kobayashi-Royden và hai
đ® đo bat bien trên:
Bo đe 1.3.1. Cho D, D1 và D2 là các mien b% ch¾n trong Cn.
(1) Neu f ∈ H(D1, D2), khi đó

(p, ν) ≥ ( f (p), f∗p (ν)) vái (p, ν) ∈ T(D).
D K
FK
F
1

D2

(2)

Neu f ∈ H(D1 , D2 ), khi đó MD1 (z) ≥ MD2 ( f (z))|det f J (z)|2 , ã đó M

là m®t trong hai đ® đo bat bien trên.
Cho π : D1 → D2 là m®t ánh xa phu. Khi đó FK (z, ν) =
D K
F
E
2
J
(z) = M (π(z))|detπ (z)| .

(3)

1

E
M D1

D2
E

(4)M D (z) ≥

khi đó

D2

(π(z), π∗ (ν))
và

MDC (z) vái ∀z ∈ D. Neu DME (z0) =D MC (z0) vái z0 ∈ D nào đó,

D song chinh hình vái ∆n.
Vái θ ∈ (0, π), đ¾t Γθ = {rei(π+α) ; r > 0, −θ < α < θ} là nón vái đinh tai
goc và góc giua đưàng sinh cua nó và hưáng âm cua trnc Re z là θ. Đ¾t ∆(a,
r) là đĩa
vái tâm là a và bán kính là r. Đ¾t ∆ε = ∆(0, ε) và = Γθ ∩ ∆ε.
θ
Γε
Bo đe 1.3.2. Cho θ1 và θ2 là hai so sao cho 0 < θ1 < θ2 < π. Cho z j =
rje1(αj+π), −θ1 < α j < θ1, là m®t dãy trong Γθ1 . Giã su rang r j → 0 và α j
→ α ∈ (θ1, θ1). Khi đó vái bat kỳ hai so dương ε1 và ε2,
M (z ) 
2

j
MΓε2
cos(απ/2θ
 )
(zj)

ε1

Γ
→∞
lim

1

θ

j

 θ2 cos(απ/2θ2)
1
=  θ1



Trong đó M là m®t trong hai đ® đo bat bien ã trên.


Chnng minh. Chú ý mien Γ xét ã trong bő đe trên đây là mien con trong m¾t
phang phúc C do đó MQI đ® đo bat bien trên mien là đong nhat và là bình
phương mêtric Poincare. Su dnng ánh xa bão giác

z ›→ f (z) =

 +

2

/ε π/ θ

 1 − i(−z/ε)π/2θ
 1 i(−z )

bien Γε lên nua m¾t phang trên. Ta có metric Poincare trên nua m¾t phang
2
θ
trên là: 1
, tù đó áp dnng bő đe (1.3.1) ta thu đưac đ® đo bat bien trên Γε
θ

2 Im z

là:

MΓ (z) =


| f J (z)|2
4| Im f (z)|2

Vắy đ o bat bien trên Γθε là:

MΓ θ (z) =
ε

1

(θ cos(πϕ/2θ))2

1
×
2
16r (1 −
(r/ε)π/2θ)2

.π2.1
+

(r/ε)π/θ − 2(r/ε)π/2θ sin(πϕ/2θ)Σ

× .1 + (r/ε)π/θ + 2(r/ε)π/2θ sin(πϕ/2θ)ΣΣ,

vái z = rei(π+φ) và −θ < φ < θ
Tù đó bő đe trên đưac chúng minh.

□


Chương 2

Nhóm tn đang cau khơng
compact
Trong chương hai, chúng ta se tìm hieu chúng minh ket q chính cua
Fu − Wong ve bài tốn xác đ%nh nhóm tn đang cau cua m®t mien cho trưác.
Ket q chính cua Fu − Wong đưac đưa ra trong đ%nh lý chính sau đây:
Đ%nh lý 2.0.3. Neu D là m®t mien đơn liên trong C2 vái biên trơn tnng khúc,
generic, Levi-flat và nhóm tn đang cau Aut(D) khơng compact, khi đó D song

chinh hình vái song đĩa.
Trong trưàng hap D là mien loi, ket quã trên đưac chúng minh bãi Kim
(xem [Kim]):
Đ%nh lý 2.0.4. Neu D l mđt mien b% chắn, loi trong C2 vái biên trơn tnng khúc,
Levi-flat và nhóm tn đang cau Aut(D) khơng compact, khi đó D song chinh hình
vái song đĩa trong C2.
M®t ket quã tương tn đưac chúng minh bãi Pinchuk (xem [P]) đó là khi D
là mien b% ch¾n và thuan nhat vái biên trơn tùng khúc thì D song chinh hình
15


16
vái tích cua các hình cau.
Chúng minh ket q cua Fu-Wong (Đ%nh lý (2.0.3)):
Trong tồn b® phan tiep theo, chúng ta se su dnng D l ký hiắu mđt mien
n liên trong C2 vái biên trơn tùng khúc, generic, Levi-flat và nhóm tn
đang cau Aut(D) khơng compact. Cho {gk } ⊆ Aut(D). Giã su rang gk (q)
→ bD khi k → ∞vái mői q ∈ D. Bang cách CHQN dãy con chúng ta có the
giã su dãy gk h®i tn đeu đ%a phương trên D đen g. Theo đ%nh lý Cartan ([?])
thì g : D → bD.
Đ¾t S = bD (jầk(Sj Sk)) l tắp tat có cỏc iem biên kỳ d%. Đ¾t R =
bD \ S
là t¾p tat cã các điem biên chính quy.

2.1 Chúng minh đ%nh lý chính phan 1
Trong mnc này, chúng ta se chúng minh đ%nh lý chính trong trưàng hap
khi g(D) ∩ R Ç ∅.
Đ¾t p = g(q) ∈ g(D) ∩ R. Giã su rang p ∈ S ã đó S là m®t siêu m¾t xác
đ%nh cua D vái hàm xác đ%nh là ρ. Khi ú ton tai mđt lõn cắn U cua p sao cho
D ∩ U = {(z, w) ∈ U; ρ(z, w) < 0}. Tù bő đe (1.2.3) ta có: g(D) ⊆ S.

Bo đe 2.1.1. Vái tat cã khái ni¾m và ieu kiắn trờn, chỳng ta cú g ầ constant.
Hn
nủa, neu Dˆ là mien con compact tương đoi cua D, khi đó g(Dˆ ) là m¾t Riemann
mã
đóng đ%a phương.
Chnng minh. Chúng minh.
Đ¾t q j = gj(q) và ký hi¾u p j là hình chieu cua q j lên biên theo phương
pháp tuyen ngồi cua bD tai p. Đ¾t M j là lá cua S đi qua p j và đ¾t ν j là
véc tơ pháp tuyen phúc đơn v% cua M j tai p j . Tù đó ta có:
||(g−1 )J (q j )ν j || ™ FK (q, (g−1 )J (q j )ν j ) = FK (q j , ν j ) ™ 1
j

D

j

D


vái MQI j. Đ¾t ν˜ j = (g−j 1 )J (q j )ν j /||(g−j 1 )J (q j )ν j ||. Bang cách CHQN dãy con
chúng ta có the giã su rang ν˜ j h®i tn tái véc tơ đơn v% ν˜. Tù |gJj (q)ν˜ j | ™ 1
chúng ta có
|gJ (q)ν˜| ™ 1. Do đó g Ç constant.
Lay qJ ∈ Dˆ và đ¾t pJ = g(qJ ). Sau m®t phép bien đői tQA đ® gan pJ
chúng
ta có the giã su rang pJ = (0, 0) và hưáng dương cua trnc thnc Re w là
véc tơ pháp tuyen ngoài cua bD tai pJ . Lá cua S qua pJ đưac tham
so hóa đ%a phương bãi ζ ›→ (ζ, 0). Đ¾t g = (g1 , g2 ). Tù chúng minh
cua bő đe 1.2.3 ta suy ra g2 là đong nhat bang 0 trong lân c¾n cua
qJ . Do đó g1 ầ constant. Do vắy g(D ) ( ì ) ⊇ ∆ε × 0 vái

ε > 0 đu nhõ. Ta se chúng minh g(Dˆ ) ∩ (∆ε × ∆ε ) = ∆ε × 0. Phãn
chúng giã su đieu đó là sai, khi đó ton tai m®t dãy pJj ∈ g(Dˆ ) sao cho
pJj → p và tQA đ® thú hai cua pJj là khác 0. Lay
qJj ∈ Dˆ sao cho pJj = g(qJj ). Bang cách CHQN dãy con chúng ta có the giã su
rang
qJj → q˜ ∈ D. Do đó g(q˜) = pJ , chúng ta có g2 (z, w) ≡ 0 vái MQI (z, w)
trong lân c¾n cua q˜. Mâu thuan vái giã thiet tQA đ® thú hai khác 0.
□
Bo đe 2.1.2. Cho Ω là m®t mien b% chắn sao cho M = ì {0} bΩ và
S = bΩ ∩ (∆ × ∆ε0 ) là trơn và Levi-flat vái ε0 > 0 nào đó. Vái δ ∈ (0, 1), ε
> 0 đ¾t Uδε = ∆δ × ∆ε. Khi đó vái bat kỳ dãy q j ∈ Ω → (0, 0) ta có:
lim lim
ε→0
j→∞

MC

Ω∩U

(qj)
δε = 1
(qj)

Ω∩Uδε

Chnng minh. Chúng minh,
Bãi đ%nh lý (1.2.2), chúng ta có the CHQN mđt hắ tQA đ trong lõn cắn cua M
sao cho véc tơ pháp tuyen ngoài cua bΩ là hưáng dương cua trnc thnc Re
w vái MQI điem trên M. Khi đó S đưac cho trong lân c¾n cua ∆δ × {0} bãi
hàm xác đ%nh dang :

ρ(z, w) = Re w + r(z, z¯, Im w),
e đó |r(z, z¯, Im w)| ≤ C| Im w|2 vái C là m®t hang so dương.


ắt N l mđt lõn cắn cua ì 0 và Φ(t, ζ) = (ζ, ϕ(t, ζ)) : (−1, 1)× ∆δ
→ S ∩ Nδ là vi phôi đưac xây dnng trong bő đe (1.2.1). Viet q j = (z j ,
a j + ib j ). CHQN t j ∈ (1, 1) thõa mãn ϕ(t j , z j ) = −r(z j , z¯ j , b j ) + ib j . Mői
t j đưac xác đ%nh là duy nhat và t j → 0. Ta có L j = Φ(t j , ∆δ ) là lá đi qua
hình chieu cua q j lên S theo phương cua hưáng dương trnc thnc Re w
Đ¾t v j = arg((∂ρ/∂w)(z, ϕ(t j , z))) ã đó argument lay theo nhánh chính.
Tù (∂ρ/∂w)(z, 0) = 1/2 vái |z| < δ, ta có v j là đưac xác đ%nh khi j đu lán. Tù
đ%nh lý (1.2.2) ta suy ra v j là hàm đieu hịa. Đ¾t u j (z) là liên hap đieu hòa
cua v j sao cho u j (0) = 0. Đ¾t h j (zJ ) = exp(−u j (zJ ) + iv j (zJ )), khi đó ta có
h j là hàm chinh hình. Cho F j : (z, w) ›→ (zJ , wJ ) đưac xác đ%nh bãi zJ =
z và wJ = (w − ϕ(t j , z))h j (z). Khi đó ta có:

F j (Ω ∩ Uδε ) = {(zJ , wJ ) : |zJ | < δ, |wJ /h j (zJ ) + ϕ(t j , zJ )| < ε, ρ˜(zJ , wJ ) <
0},
ã đó ρ˜(zJ , wJ ) = ρ(F−j 1 (zJ , wJ )). Tù đó
ρ˜(zJ , 0) = 0,

∂ρ˜
(zJ , 0) = 0
J
và
∂ρ ∂z
∂ρ˜ J
(zJ (t , zJ )) eu j (zj) > 0
(z , 0) =
.

.
∂wJ
. ∂w
.
,ϕ j
vái |zJ | < , do ú, trong hắ tQA đ (zJ , wJ ), L j = ∆δ × {0} và véc tơ pháp
tuyen
ngoài tai mői điêm trên L j là hưáng dương cua trnc thnc Re wJ . M¾t khác
ton tai hang so C > 0 sao cho |ϕ(t j , z)| ≤ C|t j | và 1/C ≤ |h j (z)| ≤ C vái |z| <
δ và vái j đu lán. Do đó, ton tai các hang so a > 0 và b > 1 sao cho
∆δ × {|wJ | < ε/b; Re wJ + a| Im wJ |2 < 0}
⊆ Fj(Ω ∩ Uδε)
⊆ ∆δ × {|wJ | < bε; Re wJ − a| Im wJ |2 < 0}


vái ε đu nhõ và j đu lán. Do v¾y vái bat kỳ hai góc θ1 ∈ (0, π/2) và
θ2 ∈ (π/2, π), chúng ta có ∆δ × Γε/b ⊆ Fj(Ω ∩ Uεδ) ⊆ ∆δ × Γbε đưac thõa mãn
θ
θ
vái
ε đu nhõ. Đ¾t qJj = F j (q j ) và wJj là tQA đ® thú hai cua qJj . Tù bő đe (1.3.1) suy
ra:
1

MC
1≥

(q )

Ω∩Uεδ

≥

2

MC
b ∆ Γε
× δ θ2

(qJ
)
j

MC (wJj )
Γbε


=

2

θ

ME ∩U (q )

.

Ω

εδ j

MEJ )
(q
j

ε/b

∆δ×Γθ

ME (wJj )
ε/b

1

Γθ1

Theo bő đe (1.3.2) thì hang tu cuoi cùng có the CHQN đu gan 1 khi
j →
∞,ε → 0, θ1 → (π/2)−, và θ2 → (π/2)+.

□

Tiep theo chúng ta se chúng minh đ%nh lý chính trong trưàng hap khi
g(D) ∩ R Ç ∅. Su dnng ý tưãng chúng minh tù ket quã trưác cua Fu-Wong
xem trong [FW2]. Chúng ta se giu các bưác ã phan bat đau mnc này.
Trưác tiên chúng ta xét t¾p Dε = {q ∈ D, dist(q, bD) > ε} là m®t có
rút (liên tnc) cua D vái ε > đu nhõ. Tù D liên thông ta suy ra Dε cũng v¾y. Do
dó chúng ta có the phu D bang các mien con compact tương đoi, liên thông.
Cho D1 và D2 là hai t¾p liên thơng cua D sao cho q ∈ D1 ⊂⊂ D2 ⊂⊂
D. Đ¾t V = g(D2 ). Bãi bő đe (2.1.1) ta suy ra V là mđt mắt Riemann mó

úng %a phng. Hn nua, V l hyperbolic bãi vì nó là m®t đa tap con
phúc cua mđt mien b% chắn trong C2 . Ta cú MQI m¾t Riemann là đa tap
Stein (xem [?, Thm 3.10.13]) và MQI phõn thỏ ng chinh hỡnh cua mđt
mắt Riemann mó là tam thưàng (xem [For, Thm 30.3]), tù đó và tù h¾ quã 1
(xem [Siu, Cor. 1]) ta suy ra ton tai m®t ánh xa song chinh hình Ψ tù mđt lõn
cắn mó W cua V tỏi mđt lõn cắn mã U cua V × {0} trong V × C sao cho
Ψ(g(z, w)) = (g(z, w), 0) vái (z, w) ∈ D2 . Chúng ta giã su rang U ⊂ V ×
∆. Cho π1 : ∆ → V là ánh xa phu phő dnng. Đ¾t π(z, w) = (π1 (z), w). Đ¾t
Ω = π−1 (Ψ(W ∩ D)). Khi đó
Ω = {(zJ , wJ ) ∈ ∆ × C; π(zJ , wJ ) ∈ U, ρ˜(zJ , wJ ) < 0},
ã đó ρ˜(zJ , wJ )
ra rang

=

ρ(Ψ−1 (π(zJ , wJ ))). De dàng chi

ρ˜(zJ , 0) =
0 và