Luận văn thạc sĩ phân tích ổn định của vỏ trụ FGM có gân gia cường
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (553.63 KB, 150 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------------
HỒNG THỊ THIÊM
PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH CỦA VỎ TRỤ FGM
CÓ GÂN GIA CƢỜNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội – 2014
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------------
HỒNG THỊ THIÊM
PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH CỦA VỎ TRỤ FGM
CÓ GÂN GIA CƢỜNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành : Cơ học vật rắn
Mã số : 604421
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đào Văn Dũng
LỜI CẢM ƠN
Với lịng kính trọng và biết ơn sâu sắc, em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất
đến PGS.TS. Đào Văn Dũng người đã giao đề tài, trực tiếp hướng dẫn và tạo mọi
điều kiện giúp đỡ em hoàn thành luận văn tốt nghiệp này.
Em xin cảm ơn các thầy cô giảng viên trường Đại học Khoa học Tự nhiên
ĐHQGHN đã dạy em những kiến thức cơ bản về phương pháp, nghiên cứu, lí luận
để có thể hồn thành luận văn một cách thuận lợi nhất.
Cuối cùng, em xin cảm ơn các bạn cùng lớp, những người thân ln ở bên động
viên, khích lệ, giúp đỡ em trong q trình hồn thành luận văn tốt nghiệp.
Hà Nội, tháng 3 năm 2014
Hoàng Thị Thiêm
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU.................................................................................................................. 1
CHƢƠNG 1 – CƠ SỞ LÝ THUYẾT.................................................................... 4
1.1. Vật liệu cơ tính biến thiên............................................................................. 4
1.1.1. Một số khái niệm...................................................................................... 4
1.1.2. Tiêu chuẩn ổn định tĩnh........................................................................... 5
1.2. Các hệ thức cơ bản........................................................................................ 5
1.2.2. Liên hệ giữa nội lực và mơmen qua biến dạng........................................6
1.2.3. Hệ phương trình ổn định phi tuyến:.......................................................... 8
CHƢƠNG 2 – PHƢƠNG PHÁP GIẢI............................................................... 11
2.1. Ổn định tuyến tính...................................................................................... 11
2.2. Ơn định phi tuyến........................................................................................ 26
CHƢƠNG 3 – TÍNH TỐN BẰNG SỐ.............................................................. 42
3.1. Các kết quả so sánh..................................................................................... 42
3.2. Khảo sát ảnh hƣởng của các tham số đầu vào.......................................... 42
3.2.2. Ảnh hưởng của nền (không gân)............................................................. 44
3.2.3. Ảnh hưởng của gân và nền...................................................................... 45
3.2.4. Ảnh hưởng của chỉ số thể tích k.............................................................. 46
3.2.5. Ảnh hưởng của các tham số hình học (trụ có gân...................................48
KẾT LUẬN............................................................................................................ 50
TÀI LIỆU THAM KHẢO..................................................................................... 51
MỞ ĐẦU
Trong những năm gần đây, vỏ cơ tính biến thiên (FGM) có gân gia cường được
ứng dụng rộng rãi trong các cấu trúc kỹ thuật hiện đại như đường hầm, đường ống,
bồn áp lực, bể chứa và trong các ứng dụng khác. Những cấu trúc này thường đặt
trong môi trường đất coi như một nền đàn hồi. Như vậy, phân tích ổn định của
chúng là một vấn đề quan trọng và đã nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà
nghiên cứu .
Đối với vỏ trụ có gân gia cường, nhiều nghiên cứu được thực hiện với vỏ có gân
gia cường lệch tâm làm bằng vật liệu thuần nhất. Baruch và Singer [2] đã xem xét
ảnh hưởng của gân lệch tâm đến sự bất ổn định chung của vỏ trụ dưới tác động của
áp lực thủy tĩnh. Họ kết luận rằng ứng xử của gân lệch tâm phụ thuộc rất nhiều vào
các tham số hình học của vỏ. Ji và Yeh [10] dựa trên các phương trình Donnell và
phương pháp nhiễu, đã trình bày dạng nghiệm tổng quát cho sự vồng phi tuyến của
vỏ trụ không thuần nhất được gia cường gân tròn và gân dọc. Reddy và Starnes [15]
đã nghiên cứu sự vồng của vỏ trụ chịu nén theo hướng vòng hoặc theo hướng dọc
trục dưới điều kiện biên tựa bản lề bằng cách sử dụng lý thuyết phân lớp và phương
pháp lân cận. Shen cùng các cộng sự [20] đã nghiên cứu ứng xử vồng và sau vồng
của vỏ trụ hồn hảo và khơng hồn hảo có gân gia cường dưới tác dụng của tải
ngoài kết hợp và lực nén dọc trục bằng cách sử dụng lý thuyết phân lớp biên. Trong
nghiên cứu của họ đã sử dụng phương pháp nhiễu một bước để xác định tải vồng và
trạng thái cân bằng sau vồng. Kidane cùng nhóm nghiên cứu [11] đã xác định được
tải vồng toàn cục cho vỏ trụ được gia cường gân theo mạng lưới ngang và dọc với
các điều kiện biên bản lề và ngàm, bằng cách phát triển phương pháp lân cận giải
tích hiện đại. Tian và nhóm nghiên cứu [27] đã mở rộng phương pháp Ritz để giải
bài toán vồng của vỏ trụ gia cường gân tròn chịu tác động của tải nén. Sadeghifar
cùng các cộng sự [16] đã nghiên cứu sự vồng của vỏ trụ nhiều lớp được gia cường
gân lệch tâm không thuần nhất dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất của
Love. Trong đó tải tới hạn được được xác định bằng cách sử dụng phương pháp
Rayleigh - Ritz. Stamatelos và nhóm nghiên cứu [26] đã trình bày các ứng xử vồng
1
địa phương và sau vồng của các panel trụ đẳng hướng và trực hướng có gân gia
cường dựa trên lý thuyết tấm phân lớp cổ điển và hàm chuyển vị hai chiều Ritz khi
các cạnh chịu điều kiện biên tùy ý. Shen [17] đã phân tích ứng xử sau vồng của vỏ
trụ FGM không gân chịu tải nén dựa trên lý thuyết vỏ cổ điển cùng phương trình
Von Karman - Donnell phi tuyến động. Huang và Han [9] đã trình bày sự vồng phi
tuyến của vỏ trụ FGM không gân chịu áp lực đều xuyên tâm bằng cách sử dụng các
lý thuyết tổng quát độ võng phi tuyến. Trong các nghiên cứu, ứng xử vồng phi tuyến
thu được thông qua các thí nghiệm tính tốn.
Đối với các vỏ đặt trên nền đàn hồi, nhiều nghiên cứu tập trung vào phân tích sự
vồng và sau vồng của vỏ khơng gia cường. Sheng và Wang [21] xem xét ảnh hưởng
của tải nhiệt đến sự vồng, sự dao động và sự vồng động lực học của vỏ FGM không
gân được bao quanh trong mơi trường đàn hồi tuyến tính dựa trên lý thuyết biến
dạng trượt bậc nhất (FSDT) có tính đến qn tính quay và biến dạng trượt ngang.
Phân tích sự vồng của vỏ trụ FGM không gân bao quanh bởi môi trường đàn hồi
Pasternak dưới áp lực bên và tải dọc trục được thực hiện bởi Shen cùng các cộng sự
[ 18, 19 ] bằng cách sử dụng phương pháp nhiễu một bước và lý thuyết biến dạng
trượt bậc cao (HDST). Một vài nghiên cứu về sự ổn định và dao động của vỏ trụ
FGM không gân trên nền đàn hồi Pasternak đã được Sofiyev cùng nhóm nghiên cứu
[ 24-25 ] xem xét. Bagherizadeh và các cộng sự [1] đã nghiên cứu sự vồng cơ học
của vỏ trụ FGM bao quanh bởi nền đàn hồi Pasternak. Phương trình cân bằng và ổn
định thu được dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc cao.
Đối với vỏ FGM có gân gia cường, gần đây, Najafizadeh và nhóm nghiên cứu
[12] đã sử dụng phương trình ổn định qua các chuyển vị để tiến hành nghiên cứu
ửng xử vồng cơ học của vỏ trụ FGM được gia cường gân tròn và gân dọc dựa trên
lý thuyết vỏ cổ điển (CST). Với giả thiết là vỏ và gân được làm bằng vật liệu FGM
và tính chất của nó biến thiên liên tục theo độ dày của vỏ. Bích và các cộng sự [ 4,
5] đã xem xét ứng xử vồng phi tuyến tĩnh và động của tấm và các panel trụ FGM
khơng hồn hảo có gân lệch tâm, bằng cách sử dụng lý thuyết tấm và vỏ cổ điển.
Dũng và Hoa [6] dựa trên lý thuyết vỏ cổ điển đã nghiên cứu ứng xử vồng và sau
vồng của vỏ trụ FGM mỏng có gân lệch tâm dưới tác động của áp lực ngoài phân bố
đều bằng việc xấp xỉ ba số hạng của độ võng. Dũng và Thiêm [8] đã xác định
đường cong lực độ võng sau vồng và tải vồng tới hạn của vỏ trụ FGM có gân gia
cường tựa trên nền đàn hồi, bằng việc áp dụng phương pháp Galerkin. Các tính chất
của vỏ và gân được giả thiết là liên tục theo biến độ dày.
Nhìn tổng quan các tài liệu chỉ ra rằng vẫn chưa có nghiên cứu về sự ổn định
của vỏ có gân gia cường lệch tâm ( ES- FGM ) tựa trên nền đàn hồi dựa vào lý
thuyết biến dạng bậc nhất. Luận văn tập trung để giải quyết bài tốn trên bằng
phương pháp giải tích. Dựa vào lý thuyết biến dạng bậc nhất của vỏ và phương
pháp lân cận để nhận được các công thức lý thuyết. Ảnh hưởng của sự biến dạng
của gân và chuỗi lực trước tới hạn vào các tham số nền được tính tốn. Sự mới lạ
của nghiên cứu này là có được biểu thức đóng xác định tải vồng tới hạn của vỏ trụ
ES- FGM bao quanh bởi nền đàn hồi Pasternak. Các phân tích được tiến hành để
đánh giá những ảnh hưởng của gân, nền, vật liệu và các tham số kích thước đến sự
ổn định của vỏ FGM có gân gia cường.
Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và ba chương chính:
Chương 1: Trình bày các hệ thức cơ bản và hệ phương trình ổn định phi tuyến
qua các thành phần chuyển vị của vỏ trụ.
Chương 2: Trình bày và diễn giải chi tiết các bước giải hệ phương trình ổn định
theo hai cách tiếp cận: tuyến tính hóa và phi tuyến.
Chương 3: Tính tốn bằng số
CHƢƠNG 1 – CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1. Vật liệu cơ tính biến thiên
1.1.1. Một số khái niệm
Vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) là một loại vật liệu gồm hỗn hợp kim loại
và gốm hoặc là tổ hợp của các vật liệu khác nhau. Đó là vật liệu khơng thuần nhất,
các tính chất cơ học của nó biến thiên liên tục từ mặt này tới mặt kia của lớp vật
liệu. Để có được loại vật liệu như vậy người ta pha trộn các vật liệu thành phần với
nhau theo một tỷ lệ phù hợp nào đó. Ví dụ vật liệu có cơ tính biến thiên được tạo từ
thép khơng rỉ SUS 304 (kim loại) và Zirconia ZnO2 (gốm) chẳng hạn. Loại vật liệu
này có tính bền cao và chịu nhiệt tốt.
Xét trụ là vật liệu composite, được làm từ hỗn hợp của kim loại và gốm.
z
K1
h1
d1
x
z1
b1
h2
b2
h
z2
h
K2
L
d2
h
(a)
(b)
Hình 1. Mơ hình của vỏ trụ trịn có gân gia cường
lệch tâm trên nền đàn hồi
Tỷ phần thể tích của gốm và kim loại được cho bởi hàm lũy thừa:
z 1 k
Vc Vc (z) ,
h 2
Vm Vm (z) 1 Vc (z),
trong đó:
Các chỉ số c và m lần lượt tương ứng với gốm và kim loại.
(1.1)
z: biến dạng thay đổi theo độ dày của vỏ trụ
h: độ dày của trụ.
k: số mũ không âm xác định sự phân bố của vật liệu.
Giả thiết vỏ trụ chịu tác động theo quy luật tuyến tính của vật liệu như:
Preff
Prm (z)Vm (z) Prc (z)Vc
(z).
(1.2)
Dựa vào (1.1) và (1.2) mô đun đàn hồi Young E có dạng:
z 1 k
E E(z) EmVm EcVc Em Ecm ,
h 2
vớ
i
(1.3)
Ecm Ec Em,
và hệ số Poisson được coi là hằng số:
(z) const.
(1.4)
1.1.2. Tiêu chuẩn ổn định tĩnh
Xét trạng thái cân bằng vô cùng gần với trạng thái cân bằng xuất phát (hay
trạng thái cân bằng cơ bản). Với một giá trị nào đấy của lực có thể tồn tại dạng cân
bằng mới đồng thời với dạng cân bằng cơ bản. Nói cách khác với cùng giá trị của
lực tồn tại nhiều dạng cân bằng khác nhau, có thể xem các dạng này là chuyển tiếp
từ dạng cân bằng ổn định sang dạng cân bằng mất ổn định. Giá trị lực nhỏ nhất để
tồn tại các dạng cân bằng khác nhau gọi là lực tới hạn.
1.2. Các hệ thức cơ bản
Xét vỏ trụ tròn mỏng có cơ tính biến thiên, độ dài L, bề dày h và bán kính mặt
trung bình bằng R chịu tác động của lực nén dọc trục P và áp lực ngoài phân bố
đều q. Giả thiết trụ tựa bản lề tại hai đầu. Hệ trục tọa độ Oxyz được chọn như hình
vẽ. Giả thiết có các gân trịn và gân dọc nằm trên vỏ trụ.
1.2.1. Liên hệ hình học
Theo lý thuyết vỏ cổ điển, liên hệ phi tuyến giữa biến dạng và chuyển vị của
điểm thuộc mặt giữa là:
1 w 2
;
x
x 2 x
0
v w 1 w 2 ;
y
y R 2 y
0
u
(1.5)
u v w w
0
xy y x x. y;
trong đó u=u(x,y), v=v(x,y), w=w(x,y) là các chuyển vị của một điểm bất kỳ thuộc
mặt giữa theo hướng x, y, z.
Liên hệ phi tuyến giữa biến dạng và chuyển vị của điểm bất kỳ thuộc trụ là:
y
0 z x , 0 z
,
x
x
y
y
x
y
y , w
v
x
0
,
w .
z
xy
xy
y x
xz
,x
x
yz
,y
y
R
1.2.2. Liên hệ giữa nội lực và mơmen qua biến dạng:
Phương trình
liên0 hệ nội lực và mơmen với biến dạng cho trụ FGM:
0
a b
y
x
Na
;
b
x
11 x
Na
12 y
11
a b
0
0
x
x
y
12 x
0
22 y
12
x
11 x
12 y
11
12
y
y
b
;
22
x
y
b
x y
N
a
;
x
xy
66 xy
66
y
0
0
b d
y
x
Mb
;
d
x
12
y
Mb
(1.6)
b d
0
y
12 x
0
66
QA
x
22 y
12
xy
Qy A55
44
x
w
A
y
d
; N
w
A
44
x
y
;
22
x
y
x y
;
x
66
y
d
bM
xy
0
55
x
const
x0
y ;
với x , y
lần lượt đặc trưng cho sự quay vng góc với trục x và trục y và
EA
EA
a A 0 1 ;
A ;
a A 0 2 ;
a A
a
11
11
66
66
12
12
22
22
d
d
1
2
b11 B11 C1
d D
d
11
11
d
;
E0I1
B
B
D ;
12
b22 B22 C2
d D
22
a55
5Gsx A1
6d1 ;
22
12
;
b66 B66
(1.7)
d D
66
d2
5E1
121
66
5Gsy A2
6d2
Aij , Bij và Dij được cho bởi:
E1
,A
,A
E1
E1
22
1
2
E2
,
;
E0I2
1
trong đó các hệ số
11
;
12
a44 5E1
121
A
A
b12 B12 ;
1
2
B
E2
66
,
2 1
, B
E2
,
(1.8)
11
22
D
D
11
22
A44 a44
1
2
1
12
E3
E3 , D
1
2
5E1
121
66
2 1
E3
,D
1
12
2
2 1
66
2
,
1
a55 125E
1
55
5Gsx A1
6d , A
1
5Gsy A2
6d
2
và
C
E0A1z1
1
I1
C
,
2
d1
1
1 1
E1 Em
12
b h3 A z2 ,
2
2
22
11
bh,z
Ab h ,A
1 1
,
d2
I2 1
b h3 A z2
,
12
1
E0A2z2
2
2
2
1
EE
c
m
k 1
h h1
,z
2
2
h h2
,
(1.9)
2
E Ec E m kh ,
2
h ,
2
2
2 k 1 k
E
1
3
E h E E
1
1
1
3
h ,
m
c
m
k 3 k 2 4k 4
12
Trong đó d1 và d lần lượt là khoảng cách giữa hai gân dọc và gân trịn,
2
3
A2 là diện tích mặt cắt ngang của gân, z1 và z2
giữa của gân đến mặt trung bình của vỏ trụ;
A1 và
đặc trưng cho khoảng cách từ mặt
b1 , h1 và b2 , h2 lần lượt là chiều rộng
và bề dày của gân dọc và gân tròn. Với chú ý rằng cặp tham số
C1 , C2 lấy dấu
dương nếu các gân được gắn vào trụ ở phần dương của trục z và lấy dấu âm trong
trường hợp ngược lại.
1.2.3. Hệ phƣơng trình ổn định phi tuyến:
Hệ năm phương trình ổn định phi tuyến của trụ trên nền đàn hồi:
Nx
Nxy 0
y ;
x
Nxy
x
Qx
Ny
y 0
Qy ;
x
Mxy
y
x
trong đó K1
Ny y2
w
2
2
x
Mx
y
2
K1w
q0;
Qx 0 ;
Qy 0 ;
y
My
y
w
2
2
K2
Mx
Ny Nx x2
y
R
w
w
2
w
2
2
1
x
w
và K2 là các tham số nền.
2
N
0 x x
2Nxy
xy
(1.10)
Bây giờ, ta đi tìm hệ năm phương trình ổn định đối với u, v, w, x , y
bằng cách
thay các liên hệ cơ bản (1.5) và (1.6) vào hệ phi tuyến (1.10):
Thay (1.5) vào (1.6) ta được:
u
v
a
a
a w 2
w
y
x
2
N
12
12
11
12
b
b
a a
w+
x
11
y R
2 2 y
11
12
x
x
x
y
u
v a
a
a w 2
w
y
x
2
b
aN a
22 w+ 12
22 b
22
y
12
y R
2
2 y
12
22
x
x
y
x
N
a
u
xy
v
w w
.
66
y
66
66
x
x
x
66
y
b
66
y
x
y
u
v
b
b
u
v
b
b
b w 2
w
y
x
2
M
12
d
12
12
d
b b
w+ 11
x
11
y R
2
2 y
11
12
x
x
y
x
bM b
22
y
12
x
M
b
xy
y
u
v
w
A
x
w
55
w+
y
x
44
x ;
;
A
55 y
2
x
w w
.
66
66
QA
22
R
66
Qx A44
y
y
w
2
12
x
y
b w 2
x
66
y
22
2 y
y
d
66
x
d
12
x
x
d
22
y
y
Thay hệ trên vào (1.10) được hệ năm phương trình đối với u, v, w, x , y như
sau:
2
u
u
a
a
v
2
2
a
a
12
2
aw
b
x
2
2
b
x
b
b
y
12
66
12
66
11
66
2
xy R x
2
2
xy
y
x
y
2
2
a w 2 a w
w w
w w
211
12
2 0
66 xy y a66
a 2 x x 2 x y
y
x
2
2
2
2
2
2
u
v
v a w
(a a )
a
a
22
b b x b
y
y
b
12
66
12
66
66
22
22
66
x
2
2
R y
x
2
2
x
y
y
x
y
y
11
2
x
66
w w
2
w 2
a w 2
a
a
a
22
12
0
66
2
2
x y
66
xy 2 y x
2 y y
w
x
2
w
a u a22 v a22
12
y
R2
w w
2
K1 w A44 N x 0 K 2
x
2
A55 K 2
y
2
b
A 44 R12 x x A
v w
55
2
a w
a w
u w
b
y 212
222
a
2
22R y 2R
x
2R y
11
x
x
2
w a w 2 w a w w
12
a
a
w 2 11
12
12
2
2
2
2
y x
R
x
2 x x
2 x y
2 w y
b
12
2
2
2
22
u w
2
a
a v w a
2
w
w
2
x y
12
y
2
x
22
y
w
y
y
2
2
w
2
x x
2
a w 2 w
2
2 y
x
2
u w
w
w
66
w
2
x y
xy
2
2b
x
2a
66
x xy
w y
66
xy x
w
66
xy y
2
v w
2
y
x
2a
b
b 22
12
66
2
2
2 y2
y x
y y
y xy
22
u
x
11
12
2
2
a w 2
w
2a
b
2
2
R
w
2
2b
q
2
u
v
b
w
x
x
b
b
b b
12 A
d
d
A
11
66
11
66
44 x
2
2
12
66 xy
44
2
2
R
x
y
x
y
x
2 b w 2
2
2
b
w
w w
w w
2
y
d
b
0
12
b66
d 11
2
12
66 xy
2 x x
2 x y
xy y
66
y
x
2
2
2
2
x
dd
(b b ) u b v b b22 A
2y
v
w
d
66
22
55
66
12
66 x
2
2
12
66 x
2
y
y
R
x
y
y
x
2
2
w
2
w 2
w w
w
2
y
d
22
2
y
2
b b
A b
55 y
66
2
x y
2
66
x
12
xy 2 y x
2
w 2
b
0
2 y y
Xét trụ tựa bản lề ở hai đầu vỏ, ta có điều kiện biên tương ứng là:
22
v w y 0 ,
Mx 0 tại x 0 và x L .
(1.11)
CHƢƠNG 2 – PHƢƠNG PHÁP GIẢI
2.1. Ổn định tuyến tính
Hệ phương trình cân bằng của vỏ trụ FGM hồn hảo trên nền đàn hồi dựa vào
lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất:
Nx,x Nxy,y 0,
Nxy,x Ny,y 0,
Q
Q
x,x
y,y
1
N N w N w
R
y
x
,xx
y
2N w
,yy
xy
w
K
,xy
2
Kwq,
w
,xx
,yy
1
Mx,x Mxy,y Qx 0 ,
Mxy,x M y,y Qy 0 .
trong đó K1
(2.1)
và K2 là các tham số nền.
Để thiết lập phương trình ổn định, ta sử dụng phương pháp cân bằng lân cận.
Giả thiết, trạng thái cân bằng của vỏ trụ FGM chịu tác dụng tải cơ được đặc trưng
bởi các thành phần chuyển vị
u0 ,
v0
và w0. Cho trước các số gia bé tuỳ ý của
chuyển vị là u1, v1 và w1, khi đó chuyển vị của trạng thái lân cận sẽ là:
u u0 u1
v v0 v1 w w0 w1
,
,
(2.2)
Tương tự, lực, mômen và lực cắt của điểm lân cận liên hệ qua trạng thái cân
bằng là:
Nx Nx 0 Nx1 ,
Mx Mx 0 Mxy1 ,
Ny Ny0 Ny1 ,
Nxy Nxy0 Nxy1
My My0 My1 , M M M
xy
xy0
xy1
Qy Qy0 Qy1
Qx Qx0 Qx1 ,
trong đó, chỉ số 0 ứng với các thành phần chuyển vị
(2.3)
u0, v0 và w0 và chỉ số 1 đặc
trưng cho các điểm chịu tác dụng của lực, mômen và lực cắt ứng với các thành phần
tuyến tính u1, v1 và w1. Để xác định phương trình ổn định ta thay (2.2) và (2.3) vào
(2.1), với chú ý rằng các số hạng trong phương trình hệ quả với chỉ số 0 thì thoả
mãn phương trình cân bằng. Ngồi ra, các số hạng phi tuyến với chỉ số 1 sẽ được bỏ
qua do chúng quá nhỏ so với các số hạng tuyến tính. Cụ thể là:
Nx,x Nxy,y 0
Nx 0 Nx1 ,x Nxy0 Nxy1,y 0
Nx 0,x Nxy0,y Nx1,x Nxy1,y 0
Nx1,x Nxy1,y 0
Nxy,x Ny,y 0,
Nxy0 Nxy1 ,x Ny0 Ny1 ,y 0
Nxy0,x Ny0,y Nxy1,x Ny1,y 0
Nxy1,x Ny1,y 0
Q
Q
x,x
y,y
Q
x0
1
N N w N w
y
R
x
,xx
y
Q Q Q
x1
,x
y0
1
2N w
,yy
xy
N
N
y0
y1 ,y
w
K
,xy
2
N
,yy
x0
0,yy
0 xy
x1
R
N y 0 N y1 w 0 w1 ,yy 2 N xy0 N xy1 w 0 w1 ,xy
K 2 w 0 w1 w 0 w1 K1 w 0 w1 q
,xx
,yy
1
Q Q N N w N w 2N w
x 0,x
y0,y
y0
x0
0,xx
0y
1
w
N
y1
Kwq
w
,xx
w
0
1 ,xx
0,xy
R
1
K 2 w 0,xx w 0,yy K1w ,0 Q x1,x Q y1,y N y1 N x 0 w1,xx
R
N x1 w 0 w1 N w N w w 2Nxy0 w1,xy
y0
1,yy
y1
0
1 ,yy
,xx
2N xy1 w 0 w1 ,xy K 2 w1,xx w1,yy K1w1 q
Q
Q
x1,x
y1,y
1
N N w
y1
x0
N w
1,xx
y0
2N w
1,yy
xy0
w
K
1,xy
2
1,xx
w
1,yy
R
K1w1 N x1 w 0 w1 N y1 w 0 w1 2N xy1 w 0 w1 0
,xx
,yy
,xy
Bỏ qua các số hạng phi tuyến ứng với chỉ số 1, do chúng quá nhỏ so với các số
hạng tuyến tính và bỏ qua các vơ cùng bé bậc cao, thì phương trình được rút gọn
thành:
Q
Q
x1,x
y1,y
1
R
N N w
y1
x0
N w
1,xx
y0
2N
1,yy
xy0
w
K
w
1,xy
2
1,xx
Kw0
w
1,yy
1 1
M x,x Mxy,y Qx 0
Mx0 Mxy1 Mxy0 Mxy1 Qx0 Qx1 0
,x
,y
Mx0,x Mxy0,y Qx0 Mx1,x Mxy1,y Qx1 0
Mx1,x Mxy1,y Qx1 0
Mxy,x M y,y Qy 0
Mxy0 Mxy1 ,x My0 My1,y Qy0 Qy1 0
M xy0,x M y0,y Qy0 Mxy1,x M y1,y Qy1 0
Mxy1,x My1,y Qy1 0
Do đó, hệ phương trình ổn định sẽ có dạng sau:
Nx1,x Nxy1,y 0 ,
Nxy1,x Ny1,y 0 ,
Q
Q
x1,x
y1,y
1
N N w
y1
R
Mx1,x Mxy1,y Qx1 0 ,
x0
N w
1,xx
y0
2N
1,yy
w
K
w
xy0
1,xy
2
Mxy1,x My1,y Qy1 0 .
1,xx
Kw0
w
1,yy
1 1
(2.4)
trong đó lực, mơmen và lực cắt ở trạng thái ổn định đựơc cho bởi:
b
y1
x1
N a
;,
b
a
x1
11 x1
12 y1
11
12
x
y
Mx1 b11x1 b12y1 d11x1,x d12y1,y ,
Qx1 A44 w1,x A44x1 , etc.
và
x1
u 1
x
,
y1
v1
y
w1
R
(2.5)
,
xy1
u1
y
v1
x
.
(2.6)
Để xác định phương trình ổn định qua các thành phần chuyển vị, ta thay (2.5) và
(2.6) vào (2.4):
Xét phương trình: Nx1,x Nxy1,y 0
a b
Nx1
y1
x1
b
a
x
x 11 x1 12 y1 11
x
12
y
u
1
a
a
v1 w1
y1
b 11 x1 b
x 11
12
y R
x
x
12
y
