Luận văn thạc sĩ phân tích thống kê chuỗi thời gian dừng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRẦN THỊ HẰNG

PHÂN TÍCH THỐNG KÊ
CHUỖI THỜI GIAN DỪNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HÀ NỘI – 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRẦN THỊ HẰNG

PHÂN TÍCH THỐNG KÊ
CHUỖI THỜI GIAN DỪNG
Chuyên ngành:

Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Mã số:

60 46 01 06

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Trần Mạnh Cường

Myc lyc
Md dau
1

5

Gifii thieu mot so qua trinh dñ’ng quan trpng
1.1 Mot so khai niem lien quan ve qua trinh dung
1.1.1 Ham trung binh va ham to hiep phuDng sai
1.1.2 Tinh dung
1.1.3 Tinh ergodic .
1.2 Mot so quo trinh difng quan trpng
1.2.1 Qua trinh trung binh trttpt cap I
1.2.2 Qua trinh trung binh trttDt cap q
1.2.3 Qua trinh trung binh trttpt cap vo han
1.2.4 Qua trinh ty hoi quy cap 1
1.2.5 Qua trinh tu hoi quy cap 2 .
1.2.6 Qua trinh In hoi quy cap p
1.2.7 Qua trinh hñn hip ARMA (p,q)
1.3 Ham sinh tu hiep phuong sai .
1.4 Bo loc
1.5 Tinh kha nghich
1.5.1 Tinh kha nghich cua MA(1)
1.5.2 Tinh kha nghich cua MA(q)

2 Dif bao mot sñ qua trinh diitig
2.1 Nguyén tae dat bao
2.1.1 Dia tren ky vong co dieu kien .

2.1.2 Det bao dtta tren phép chieu tuyén tinh
2.2 Du bao data tren vS hon cfc quan sit
2.2.1 Dtt bao dna trén cac gia tri tre cua e's
2.2.2 Dy bâo dia tren cfc gif try tre
cua Y’s
2.3 Det bao cho mot so qua trinh dttng
2.3.1 Do bao qua trinh AR(1)
2.3.2 Do bño quo trinh AR(p)
2.3.3 Do bao qua trinh MA(1)
2.3.4 Det bâo quo trinh MA(q)
2.3.5 Det bao qua trinh ARMA(1,1)
2.3.6 Do bao qua trinh A RMA(p,q)
2.4 Do bao data Wren hñu han cfc quan sit

3

6
6
6
7
9
10
10
11
12
16

18

21

22
24
26
28
28
29

31
31
31
33
34
34
36
37
38
38
40
41
41
43
43


2.4.1
2.4.2

2.6
2.7
3

Xap xi d0 bâo Hi uu (approximations to optimal forecasts) .
Do bâo chinh xac dna tran huu han cfc quan sat (exact finite
sample forecast) .
Bieu dien tarn giac hoa ma tr{an doi xttng xñc dtnh dudng va Eng dung
vao bâi toan dtt bao
2.5.1 Tim hieu ve bieu dien tarn giâc hoa ma tran doi xâng xac dinh
rluong
2.5.2 Bieu dien tarn giac hoa cua ma tran co moment cup 2 vâ phep
chieu tuyen Minh
2.5.3 Ap dung : Do bao chinh xñc dia Wren hâu han cac quan sit cua
qua trinh MA(1)
Bieu dieu tarn gific hoa kh0i (block triangular factorization va dat bao
Hi uu cho qua trinh Gauss)
7

Udc lifdng hdp ly cifc dat
3.1 Ufic ludng hdp ly ccc dai cho cac qua trinh AR(1)
3.1.1 Tim ham hfip ly
3.1.2 Tim ufic hung hip 1y cuc dai
3.2 Ufic hung hip 1y cite dai cho qua trinh AR(p)
3.2.1 Ham hip ly co Hieu kien
3.2.2 Uñc lufing hDp 1y ccc dai co dieu kién cho AR(p)
3.3 Ham hip ly cho qua trinh MA(1)
3.3.1 Ham hqp ly co dieu kien
3.3.2 Ham hop ly chinh xac
3.4 Ham hip ly qua trinh MA(q)
3.4.1 Ham hip ly co dieu kien
3.4.2 Ham hip ly chinh xac
3.5 Ham hqp ly qua trinh ARMA(p, q)

3.6 Vi du ufic luong tham so

Két lu{an
Tai lieu tham khao

43
44
45
46
47
50
52
Vi du ap dung
56
59
60
60
65
66
66
69
70
70
71
74
74
74
76
76
79

80


Md dau
Chuoi thdi gian ta hieu nhrf la tip cac quan sat md moi quan sat date
ghi nhan tpi thñi diém t vfii t thuoc tap T mo do. Chuoi thñi gian la rdi
rac neu T la tip rñi rac (vi du doanh thu chic dien thoai hang thing ciia
1 tram buu dien) , T lđ không thi chuoi dopc goi la lién tuc (biéu do nhip
tim cua 1 benh nhñn trong 2h). Gia st cS mot mau hinh cv ban tiem in
trong cac so lieu dang nghien edu cung vfii cfc yeu to ngau nhien ânh
hoñng tñi he thong dang xét, c0ng viec cua phan tich chufii thai gian la
nghién cpu cac ky thuat de tach mau hinh cd ban nay va st dung nñ nhu
co sñ de dll bao cho tudng lai. Cñ nhiéu y tnñng vé bâi town phan tich
chuoi thñi gian, trong do cac khai niem vé tinh ding, he so trtdng quan
...co vai tro dac biét quan trong. Qua trinh drtng lâ qua trinh ngau nhien
co mot vai doc trtfng kh0ng bién doi theo thdi gian, day la khai niem cot
lñi trong viec phan tich chuoi thdi gian, cac khai niem lién quan vé qua
trinh doing nhrf : him tit hiep phndng sai, ham tif tudng quan (do so phu
thuoc lan nhau girfa cfc quan sit ), he so to thing quan do moi quan he
gitfa hai gia tri cua chufii thdi gian, khoâng each xa nhau cua hai so lieu
goi la do tre cua thoi gian. Chrfong 1 cua lu?an van tim hieu cu the hon ve
cac van de nay
- Khai niem qua trinh ding (ding manh, dimg yeu).
- Gifii thieu moot so qua trinh diing quan trong (qua trinh MA,AR,ARMA) vñ
tinh cac ham trung binh, ham th hiep phtfong sai, ham to thing quan...cua
cfc quo trinh ding nay.
View dv bao 1 dai lifong bien thien noi chung vâ dv bao nhu cau noi
rieng dsng 1 vai trñ quan trong trong kinh te cung nhu trong dci song hang
ngây. Chung giup ngani dna ra quyet dinh, cfc doanh nghiep xu hufing

phât trien trong todng lai. Dp bâo noi chung la oñc lopng cfc gia tri thing
lai cua 1 bien ngau nhien dna tren quan sit cfc gif tri qua khñ cua nñ.
4


Dy bâo chuoi th0i gian ding vfii ham trung binh, ham to tufing quan da
biet. Chudng 2 cua lu?an van gifii thieu ly thuyet dy bao va y tuñng phép
chiéu tuyen tinh tic gia tri drt bâo la him tuyen tinh cua cac gia tri qua
khñ cua no, ta sé lam vfii 2 trrfñng hdp do la : co vfi so cac quan sat trong quo
khñ va hfiu han cfc quan sat qua khfi. Tuy nhién khi cfc quan sat quo
khñ la hñu hon ta dung dy bâo toi 0u xap xi gap phai mot so han che,
phép bieu dien tarn giac hoa cua ma trian doi xffng xac dinh dudng la c0ng cu
hieu quo giup ta tinh toan chinh xac d bao t0i 0u dia trén hfiu han cac
quan sat qua khrf cua no. Tren cv sñ phép bieu dien tarn give ta phât trien
thanh phép biéu dién tarn giac khoi dé dJ bâo toi nu cho quo trinh Gauss.
Trong ch0dng 1, 2 ta coi nh0 tap cfc tham so dâ biét, cfc momen va
cac dp bao tuyen tinh drtfic tinh toan nhtf la ham cua nhñng tham so nay,
nhttng trong chttdng 3 cua lu?an van nhñng tham so chtfa biet va ta can di
rtfic lrtdng chung dia tren cac quan sat lien quan. Co sñ cua so etc lrfdng nay
la rtfic lHfing hdp ly cfc dai, de tim nfic ltfdng hdp ly ccc dai ta phai trai qua
2 brtfic cv ban : the nhat lâ tim dupc ham hdp ly, the
2 la
tim gia tri Um ccc dai ham hDp ly do. Trong gifii han cho phép luan chi
drfng lai ñ viec tim ham hip ly cho 1 so qua trinh quan trong, tiéu biéu.
Tuy da co gang nh0ng luân van kh0ng trânh khñi sai sot, kinh mong
nhân dtffic so quan Um gop y cua cac thay cfi cfc ban dong nghiép va
doc gia de noi dung cua lu?an van date hoan thien hfin.
Em xin chan thânh cam fin dac biet TS.Tran Manh Crtfing, thay da
hufing dan va chi bao tin tinh trong qua trinh lam luian van. Em cung xin
cam dn cac thay, co trong khoa Toan -Co - Tin va cac ban hoc vien trong

chuyen nganh da giup em horn thânh luan van.


Chtfdng 1

Gifii thigu mQt sS qué trinh dñng
quan trgng
1.1
1.1.l

Mpt sS khai niem lien quan ve qua trinh di rig
Ham trung binh va ham tit hiep phtfdng sai Xét
him gia tri thtfc (phfic) U (in, t) vfii in C D va t C F.

Neu co dinh t CF thi ta dupc V (in) lâ mfit dai lufing hay bien ngau nhien.
Neu co dinh in C H thi ta dtfpc U (t) la mfit ham cua bien t C Y.
Ham U (in, t) goi lâ him ngau nhién, dtfpc viét ngan gon lâ V (t)

hoâc Ut.
Khi F C R khi do U (t) la qua trinh ngau nhien vfii t lâ bién thfii
gian va T la tip chi sfi thdi gian, khi F = N ta co day ngau nhien.

Cho qua trinh ngau nhien Vi.
Dinh nghia 1.1.1. Ham trung binh p (t) dupc dinh nghia bñi c0ng
thñc sau p, fi(Vt).
Dsnh nghia 1.1.2. Ham tJ hiep phtfdng sai thii j cua V, ki hieu q3
(I. I)

Nhu vay (1.1) dufic mo ta nhu covariance cue >t vfii gia tri tre cua no.
To hiep phrtfing sai cap 0 chinh la phu0ng sai cua Pt nhu da biet

6


Vi du 1.1.1. Day on trang
Diy (st)
dtfpc gpi la fin trang neu thña man

Neu z
g la doc leap (manh hdn dieu kien kh0ng tudng quan) thi dude
gpi qua trinh on trang doc lap.
Nhu vay ham trung binh bang 0, ham to hiép phuong sai that j cung bang
0 vfii moi

0.

Vi du 1. 1.2. Xét qua trinh Vt la tong cua 1 hang so
trang Gauss

va 1 qua trinh on
(1.2)

Him trung binh : E V)
p -1- fi(st) p.
Ham to hiep ph0fing sai the j :
E ee
1.1.2

3

) = 0 vfii 4 j

0.

Tinh dtfng

Dsnh nghia 1.1.3. Cho qua trinh ngau nhien Ut
Quo trinh V, goi la qua trinh difrig yen neu him trung binh yt va him
tit hiép phu0ng sai kh0ng phu thuoc vâo t tic la

•. +> =

vfii It.

b, E
— u‹) >‹— 3 — u‹ 3 ) — y; 4 t j bat ky nao do.
Quo etc : Khi ta noi 1 quo trinh lâ doing cS nghia la diing yéu.
Vi du 1. 1.3. Dé thay qua trinh fin trang la qua trinh doing.

Vi du 1. 1.4. Qua trinh (1.2) la quo trinh ding vi
2

’' = 0
0,
0

Vi du 1.1.5. Qufi trinh Wiener Quo trinh W, , t
0 date goi la quo
trinh Wiener vfii tham so w2 neu nñ thña man cac tinh chat sau
i, Wq = 0.

ii, Yfii moi 0
s
I th It
s lfi dai lrffing ngau nhien co phan ph0i


chuan vñi ky vpng 0 va phudng sai w2 (I — s).

iii, W, la quo trinh vñi gia sfi doc leap, tic la vfii moi 0
cfc dai lrfong ngau nhien Wt 2

W

i

, Wt

ti < 2

Wt 2 .... ,Wtq

< I»

Wtq , la doc

lap.
Ro rang Wt la dai lrtdng ngau nhién cS phan phoi chuan N (0, I). Viay

fw, = o
Ta tinh ham th hiep phfldng sai thtf j : gif st 0

—— cov (W„Wt g) = E \ V \V

y

3

3

—— Eli—s (

—

—

‹— 3 )

w 2 min (I, * — )-)

Thay rang vñi moi t, j ham th hiep phfldng sai déu phu thuoc vao t nén
quo trinh Wiener khong lâ ding.

Vi du 1.1.6. Qua trinh Poisson Qua trinh X, , t
0 date goi la quo
trinh Poisson vñi cuñng do > 0 neu nñ thña man cac tinh chat sau

i, Xo = 0.
Xs
ii, Yñi moi 0 s
I thl X f

Poisson vfii tham so (t — s).

dai luong ngau nhien co phan phoi

iii, X, la qua trinh vfii gia so doc lap, tic lâ vfii moi 0

ti < t2 < ..

cac dai ludng ngau nhien Xt 2 — Xm l , Xt, — X,z ,....,Xtq — Xtq i lñ doc lip.

NhH vay Xt la dai lndng ngan nhien cñ phan phoi Poisson vfii tham so It.

Do do fiNt — 2t.
Ta tinh ham to hiep phudng sai the j : gif st

> 0 , khi dđ

,• — °* (»r' x'—,) = cov (z'-, I<•—› + >• — >•—›))
Yarxi—, + cov ((/i—3 — >o) >• — >i—3) 1

t.


Ta thay vñi moi t, j ham th hiep phuong sai deu phu thuoc vao t nen qua
trinh Poisson khong lâ ding.
Nhan xét 1.1.1.
Neu 1 qua trinh dtfng yéu thi covariance giña Vt va V 3 chi phu thu0c
vâo j (khoang chia quan sat) ma kh0ng phu thuoc thñi gian quan sat.
Neu l qua trinh ding yéu thi q3 ——
.

That viay, ta co y; = fi (U — ) U 3 p) thay t bñi t -1- disc
Mat khac
minh.

E (Vt — y) (Vt+; — y) de dang suy ra dieu phai chtfng

Dinh nghia 1.1.4. Qua trinh U, dude got la qua trinh diing manh
neu vñi moi h vâ vñi mpi t < t2 <
tq phan ph0i dong thdi cua
( 1 - . 2+ . -- n+ ). ( 1 2 . Utq) la nhtf nhau.
Dieu nay cS nghia la phan phfii h0u han chieu khong thay doi khi ta tinh

tien bio chi so th0i gian (ti. t2. I»-)
Nh{an xét 1. 1.2.
Rñ rang 1 qua trinh la doing manh co momen cap 2 la 1 quo trinh diing
yeu, diéu ng0pc lai noi chung kh0ng dung.
+ Neu 1 qua trinh dang yeu lâ Gauss se la dttng manh bñi phan phoi hñu han
chiéu cua qua trinh Gauss hoan toan disc xâc dinh bñi ham trung binh va
ham to hiep phu0ng sai.
1.1.3

Tinh ergodic

Cho mau quan sat ct T ki hieu {Hi› >2, ....› VJ) Tif mau nay ta cñ the
tinh drtdc trung binh theo thdi gian

Cho Ut lâ qua trinh dtfng, Ut lâ ergodic neu trung binh theo thdi gian h0i tu
theo nghia binh phrtong trung binh tfii trung binh theo kh0ng gian fi (Vt)
tic la

10


Ta thua nhân dinh ly sau
Dinh ly 1.1.1. Neu 1 qua trinh dang V thña min
(1.3)

trong do q3 lâ ham to hiep phudng sai cua qua trinh dang U„ khi do V, la
ergodic.
1.2
1.2.l

Mpt so qua trinh ding quan trpng
Qua trinh trung binh trtfdt cap 1

Cho (s,} _

la day On trang. Quo trinh Vf cñ bieu dien sau

date goi la qua trinh trung binh trait cap 1 ki hieu MA(1),

va # lâ mfit

hang sfi bat ky.
Ham trung binh
PhuDng sai
E Y — y)

2

E c + 8s /)

2

2+

y2 2

(i + « 2 ) » 2

To hiep phHfing sai cap 1

To hiep phHfing sai cap j, y

1 ta co

0.
Vay tat ct cac to hiep phudng sai cap lñn hdn 1 deu bang 0.


Nh{an xét 1.2.1.
Ham trung binh cua MA(1) lai chinh la hang so y.
Ham trung binh va ham tit hiep phrfdng sai kh0ng phu thuoc vao t nen

MA(l) lñ qua trinh dtfng vfii moi gia tri cua 8.
Ta thay Z

j=0

3

(1 + 8 2 ) cr 2 -1- 8 w 2 (on do do MA(1) la ergodic.

He so tudng quan thtt j cua qua trinh Ut (ki hiéu p3 ) dinh nghia la ham to
hiep phrtong sai thtf j chia cho phtfdng sai cua no

He so th thing quan giña Vt va V

3

Dia vao bat ding thee Cauchy-Schwarz ta suy ra
thay Po bang 1 doi vfii tat ca cfc quo trinh ding.

pt

1 vfii moi j. Ta

Vi du 1.2.1. Xét MA(1) thi

Tat ca cac he so th thing quan cap lñn hon 1 deu bang 0. Khi ta thay 8
bñi 1 gia tri pt kh0ng thay doi vi

(1/8)
" '
1.2.2

i + ti /

)2 '

2 1 + (1/ )2 '

$2+ 1

Qua trinh trung binh trtfcit cap q

Qua trinh U, cho bñi biéu dien

trong do rt la diy on trang va 8 2-› -- q 1 CXC SP Chic bat ky dnpc gpi
la quo trinh trung binh trait cap q (ki hieu MA(q).
Ta cñ ham trung binh chinh bang hang so p vi


Phuong sai cua MA(q) la
2

Cho

22

1, 2, ..., q,

—— E 8
De thay neu

2

q thi q 3 —— 0.Vây

0

neu

}q

Do do vfii bo gif tri bat ky ciia (8i. 2. ...... 8g) thi MA(q) la qufi trinh
difng theo dinh nghia.
Do tat ct cac ham tH hiep phrfdng sai cap lfin hdn q thi deu bang 0 nen

Z

3

j=0

1.2.3

Z

j=0

3 < on hay noi cach khac MA(q) la ergodic.

Qua trinh trung binh trtfdt cap vñ han

Qua trinh MA(q) co the viet

7 ——0

Xét qua trinh MA(q) khi cho q on,

(1.5)

Quo trinh nay disc goi lâ qua trinh trung binh trust cap v0 han. Ki hieu
MA (oo), de thong nhat ve sau chung ta se st dung I cho he so cua quo
trinh trung binh tract cap v0 han va 81 cho he so cua 1 qua trinh trung
binh trust cap h0u han.
Ta thoa nhan dinh ly sau va khong chtfng minh:
13


Dinh ly 1.2.1. Cho qua trinh MA on), neu cfc he so cua quo trinh nay
thđa min

Z=*:•=

thi MA (on) lâ qua trinh dang.

Nhan xét 1.2.2. Neu day cac he so

1

thña min

j=0

thi MA on) ciing la qua trinh dimg. M0t day so thña man (1.7) goi la
binh phufing kha tong, vâ day thña min (1.8) dupc goi la khâ tong tuyet

Tinh kha tong tuyet doi bao ham binh phudng kha tong.
Thâ! rap:

Gig st day (J
_0 la kha tong tuyet d0i khi do ton tai N
1 vñi moi y N , ta cung cñ vfii moi 4 > N. Suy ra

Nhung Z *, 2 lâ huu han do N hñu han, Z 1 | hñu han do

on sao cho

3

]

0

kha

——N

J ——0

Ta thay dieu ngrfoc lai chua chac dung, vi du sau se chñng tñ dieu my.
Vi du 1.2.2. Chuoi sau binh phtffing kha tong nhung kh0ng kha tong
tuyet doi.
vñi z
y diéu do co nghia la
Xét
cho 4 —— 1, 2, ......, ta co

All

N

Z

1/

7 ——1

l/ x)dx
i

log N + 1) — log (1)

log N + 1) ,


khi N
on thi nñ hoi tu ra vo cifc, nen day (Jj) _ khong kha tong tuyet
dfii. Day tren binh phuong kha tong. Thiat viay
1
TO 2
co nghia lâ
I2 vfii z
1

(1/ z 2) dz.
1
nhtr viay

i + y /• › d= ——i + ( —

i /=)1 N

z=1

= 2

(1/N)

Gig tri tren h0i tu den 2 khi N —› in, hay noi cach khac nñ binh phoong
khâ tong.
Him trung binh va him tit hiep phrfdng sai cua 1 qua trinh MA (on) vfii
he sñ kha tong tuyet dñi cS the disc tinh tii 1 phép ngoai suy ddn gian to
quo trinh MA (q)

vo = fi(U— q)

2

lim fi (vo« + via›—1 +

2 I—2 - + T t—T)

Dsnh ly 1.2.2. Cho qua trinh MA (on) vfii hé so khâ tong tuyet doi, khi
do cac ham tif hiep ph0dng sai ning thña min tinh khâ tong tuyet dsi tile

Ta viet lai

khi do

Ta da biet o + h + c|

Nhtfng ton tai M
k

|o| + | b| + c| . Hi viay

on *• Z 19i |

0, 1, 2........Vay

j=0

M va trtfñc d^ Z '!i+k

M vfii

j=0

Do do MA (oo) la ergodic.

1.2.4

Qua trinh tJ hoi quy cap 1

Qua trinh tit hoi quy cap 1 la qua trinh cho bñi phtfdng trinh h0i quy
sau

trong do si la day on trang, c va Q la mfit hang so bat ky ki hieu (AR(1).
Ta thay (1.9) co dang cua phu0ng trinh hfii quy sau

vfii wt = c + c‹.
TO viec phan tich cua phu0ng trinh hot quy biac 1 ta co neu |&| 1 se
kh0ng ton tai qua trinh doing nao, neu |8 | 1 se co 1 qua trinh doing
thña min (1.9). Dtfa vao die trung cua phan tich phu0ng trinh hoi quy
t—2 +


y

t —— c + st. Ta viet V, theo phan tich tren nhu sau

+ s (c * * —›) + eo

C

C

c + $c + b2 + ..... + «, + a«,-i + a2r,2+
j

.

s

—

2

t—2

....

(1.9)
Nhu
vay ta
co the
coi
qua
qua
trinh
AR(1)
nhH la
quo
trinh
MA
(oo)
trong
(1.9),
vfii he
so
/j
dufic
cho bđi
. Khi |
Q|
1
dieu
kien
(1.8)

se thña
min

Suy ra
MA
(on) la
qua
trinh


ding, dieu dñ cung co nghia AR(1) la qufi trinh
dñ’iig.
Him trung binh dude tinh bang cach lay ky vong 2 vé cua (1.10)

E (V,
)

‹ + 0+0 +

Diy cung chinh la ham trung binh
cua quo trinh AR(1) Phudng sai cua
AR(1)
i3

1

2'

Him to hiep phnong sai the y

t—j—2

Theo dinh ly 1.2.2 neu cac he so cua MA (oo) kha
tong tuyet d0i thi cac ham to hiép phrffing sai cung
thña min tinh khâ tong tuyet d0i, khi dñ theo
dinh ly 1.1.1 thi AR(1) la ergodic.
TO cac két quo trén ta co thé suy ra ham h so th ttfdng quan

16


Moot cfich khfic ning cho ket qua t0dng t vé AR(1). Ta gif st nñ la qua
trinh ding va tinh true tiep tit phufing trinh (1.9).
Lay ky vong 2 ve cua (1.9)
(1.10)
Vfii gif st AR (1) la quo trinh diing thi

thay vao (1.11)

Suy ra

Nhu vay ta thu drffic ham trung binh 1 each rat nhanh, tuy nhien p se
kh0ng tfin tai neu |&|
1, ly do cua st khfing ton tai khi | Q| 1 la do gia
st ban dau AR(1) la quo trinh diing, gif st nay khfing dung khi | Q|
1.
Sau day ta sé tim phrtdng sai
Ta thay p
vao (1.9)
1

(1.11)
Binh phudng 2 ve (1.12) sau do lay ky vong

TO (1.10) ta co (^‹— i — p) la ham tuyén tinh cua sta r› e/—2,

Nhung st kh0ng trfdng quan vfii s ›—i.

t—2. ... do st la day on trang, vi
vay st sé kh0ng trffing quan vñi (Vt — p). Suy ra so hang giña cua ve phai
(1.13) bang 0.
Vfii gif st AR (1) la quo trinh drfng thi


thay vao (1.13)
2

2

do do

g2

Thing tit nhân 2 vé cua (1.12) vfii (Pt — y) roi lay ky vong

*l(*‹—»)

—3 n) =a*l(r'——» )(rd—, —r) +z • r—3 — n)
(1.13)

Nhrfng so hang
p) la him tuyén tinh cua ct—i. e›— I — 1 . rt—d—2i
3
... nén V 3 y) sé kh0ng t0dng quan vfii s„ do do sfi hang cuoi cua (1.14)
bang 0.
Hfin ma

E Qtr'— — *) frs—, — »)l - E /t>•—› — ») (';‹—‹—i,—fl — *)/ - v —»
Vi viay vñi y > 0 thi (1.14) se trñ thanh
Phudng trinh nay co cau tao cua phrffing trinh tit hoi quy cap 1

Bang phép thay the lien tiep to phudng trinh

Qy; t ta suy ra

TO do suy ra ham th hiep phudng sai cua AR(1) .
1.2.5

Qua trinh ttf hoi quy cñp 2

M0t qua trinh to h0i quy cap 2 ki hieu AR (2) cho bñi phudng trinh sau
(1.14)
trong do st la day on trang, c va Q 8s la mot hung so bat ky.
Hoac ki hieu dang toan trt

1 — Bi L — 2 L 2 )

20

—— c ct.

(1.15)


ñ day L la toan tñ tre cua qua trinh U,. Phufing trinh (1.15) on dinh neu
nghiem cua phufing trinh

nam ngoai vong tron ddn vi. Khi dieu kien nay thña man AR (2) se la quo
trinh ding va nghich dao cua toan tñ hot quy (1.16) cho bñi
Nhan 2 ve cua (1.16) vfii

(ñ) date
(1.16)

suy ra

Ta coi (1. l7) nh0 la 1 quo trinh MA (oo), theo két qua cua quo trinh
MA (in) ñ phan tren him trung binh cua AR (2)
c
Mot each khâc de tinh ham trung binh, ta coi AR (2) lâ qua trinh dtfng.
Bang each lay ky vong true tiep 2 ve (1.15)
Thong dtfong
Ta cung suy ra drtdc
1 — i1 —8 2
Cac momen cap 2 tinh nh0 sau :

Thay gia tri cua c = p (1 — i i — e2) vao (1.15) tH CA

Nhan 2 ve cua (1.18) vfii (F,

— p) roi lay ky vong
(1.18)


Ta thay him th tudng quan cung cñ dang phufing trinh trf hoi b?ac 2 quy
giong. De dang suy ra him he sfi th tufing quan thña min

(1.19)
Xe+ J —— 1 ta co

trtdng dudng

!
Xét

1

6z

1

6z

2 ta co

suy ra

,

Phudng sai cua qua trinh to hoi quy cap 2 tim bang cach nhân 2 ve cua

(1.18) vñi (V — y) r0i lay ky vong

_ )2

0 ^ (^‹— — /‹) (^‹ — /)

+ 0s* (v-2 «) (^‹ — /*)

+E( )( —v)
Hay

(1.20)

^(«)(*‹— n)-^(« )la›(*‹-›— n)+ as(r'—2—
n)+« l
Phudng trinh (1.21) co the viet

Thay p s2 vao phtfong trinh tren
2
s

2

1—

Hoan

2

(1—

0

(1 —[— 92)

+@2

2)c

2
70+

2

(1 — 92) 2


1.2.6

Qua trinh tJ hoi quy cap p

M0t qua trinh to hñi quy cap p ki hieu AR(p) cho bñi phudng trinh sau
(1.21)
trong do s, la day On trang, c va Q a2. . 8, la m0t hang so bat ky.
Tu0ng to nhu d0i vñi qua trinh to h0i quy bac 2, phudng trinh (1.22) la
on dlnh neu nghiem cua
nam ngoai vong tron d0n vi, vâ qua trinh (1.22) cung done bieu dien dtfñi
dang
(1.22)
trong do

L)

(1 — 8 L — 2 L

2

.....

pL’)

1

Ta gif st tinh drtng thña man, lay ky vong 2 ve (1.22) ( E (Vt)

p) suy

ra

> = c + °„ + +2* +....+
epr

hay

(1.23)

SP dung (1.24) phudng trinh (1.22) co the viet lai nhtf sau

Him tit hiep phrtdng sai tim bang cach nhan 2 ve cua (1.25) vfii (Ut
= 1, 2....
2

Chia 2 ve cua phudng trinh tren cho v0 !
Q)

@l @ —1+

@2@j—2 + --- ' +

P

=0

dtfpc
—P'

1,2......

PhuDng trinh nay dttdc goi la phifdng trinh Yule-Walker.
Ta thay him tit trtdng quan va ham he sfi th tHdng quan ciing la phudng
trinh tit hoi quy bac p. Chung cñ dang

— p)


1.2.7

Qua trinh hon hip ARMA (p,q)

M0t qua trinh AREA p, q) bao gom cac so hang to hñi quy va trung
binh trudt

t'

C+

1 I— 1 +

2 t — 2+ - - - - +

(1.25)

p t —p

Hoac viet theo ding toan tñ tre cua V,

(1.26)
phtfong trinh (1.26) la on dinh neu nghiem cua phrtfing trinh
(1.27)

nam ngoai vong trñn ddn vi.
Nhan ct 2 ve cua (1. 27) vfii (1 — Q L —

(1 + 8 L + 2 L2 +
(1

Him

a2L

L

2

trung binh cua ARMA(p,q) : p

Ta thay c = p (1 — J I

2

2L

2

. •••

pL") thu dugc

. + a,Lq)
pL’)'

c/(1 — Al — &2

8›)

p) vao phrffing trinh (1.26) vâ bien

doi nhu sau

Nhan 2 ve cua (1.29) vfii ( >t —i — y) rfii lay ky vong ta dupc him to hiep
phrfdng sai cua ARMA(p,q)

», — &i»,—› + «2»,—2 + .. + 8 »— › ; — e + i, e + 2,

(i 29)

Nh{an xét 1.2.3.
Tinh dung cua qua trinh AREA chi phu thuoc nguyen vao tham so to


hoi quy (

s2.

.. 4' ) ma khfing phu thuioc vâo tham so trung binh truot

Vfii cfc gif tri cua j lfin hdn q him tit hiep phrtdng sai (vñ ham he so
to trffing quan) cung la ph0dng trinh trf hoi quy bñc p vfii cac he sfi lâ cac

tham sfi to hfii quy ciia ARMA(p, q).
(1.30) sé khong ton tai cho trtffing hip < q bñi st ttffing quan gitfa

— va <—, Yfii 4 > q ham to hiep phrtfing sai cho bñi
(1.30)

y(

2. - Up) lâ cac nghiem phan biet cua phudng trinh

Dieu nay giong nhu cau truc cua ham to hiep phudng sai cua quo trinh
AR p), tuy nhién tham so fi# se kh0ng giong p-k
Vi du 1.2.3. Xét 1 qua trinh on trang den gian

(1.31)
Nhan 2 ve cua (1.32) vfii (1 — pt)

ta dudc
(1.32)

RS ring neu biéu dien (1.32) ton tai thi bieu dién (1.33) cung ton tai vñi
moi gia tri p. Vi vây (1.33) d0dc coi nh0 1 quo trinh AR (1, 1) vfii Qt = p
vâ = —p I a trinh dopc str tham so hsa.

Moi 1 st xac dinh tham so hoa cñ the phat sinh 1 mo hinh AREA(p, q).
Xét so phan tich da thee toan tñ trong (1.27)

(1.33)
Chung ta gia st rang | Jg | 1 vfii moi i de cho quo trinh my la diing. Neu
toan tñ to hoi quy (1 — e

— &2

2

p ) va toan tit

trung

binh

trtfpt (1 + 8,z + r 2z + ... qfi ) co nghiem chung nao do 2, = g3 thi
2 ve cua (1.34) date chia cho (1 — 5,L)
(1.34)

25