Luận văn thạc sĩ tính toán ngẫu nhiên và một số ứng dụng vào lĩnh vực tài chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

NGUYỄN THỊ PHƢƠNG THUỶ

TÍNH TỐN NGẪU NHIÊN VÀ MỘT SỐ ỨNG
DỤNG VÀO LĨNH VỰC TÀI CHÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – Năm 2012


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

NGUYỄN THỊ PHƢƠNG THUỶ

TÍNH TỐN NGẪU NHIÊN VÀ MỘT SỐ ỨNG
DỤNG VÀO LĨNH VỰC TÀI CHÍNH
Chuyên ngành: Lý thuyết Xác suất và Thống kê toán học
Mã số:

60 46 15

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGUYỄN THỊNH

Hà Nội – Năm 2012
2


BẢNG KÝ HIỆU


Tập các số tự nhiên



Tập các số hữu tỉ



Tập các số thực



Tập các số nguyên



Tập các số phức

n

Không gian n - chiều

, 
, 
A
BA

A B  AB
ai

i

a

i

i

x  X : x  P  x  X x  P

Tổng các số ai
Tích các số ai
Tập các phần tử x  X có tính chất P
Chuẩn của x

sup E

Cận dưới đúng của

n

lim  liminf

n

P  A
P AF
EX :  X   dP
EF ( X )  E( X F)

3

Giao của A và B

Cận trên đúng của E

lim  limsup

n

A là tập con của B

x

inf E
n

Tồn tại, với mọi

Hợp của A và B

B



Thuộc, không thuộc

E Giới hạn trên
Giới hạn dưới
Xác suất của A
Xác suất có điều kiện của A đối với F
Kỳ vọng của X
Kỳ vọng có điều kiện của X đối với F


MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU........................................................................................................... 7
CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ........................................................................ 9
Phần 1. Cơ sở giải tích ngẫu nhiên........................................................................... 9
1.1. Một số kiến thức liên quan tới quá trình ngẫu nhiên...................................... 9
1.1.1. Quá trình đo được...................................................................................9
1.1.2. Quá trình đo được dần.............................................................................9
1.1.3. Q trình khả đốn.................................................................................. 9
1.1.4. Q trình thích nghi với một bộ lọc......................................................10
1.1.5. Quá trình khuếch tán.............................................................................11
1.1.6. Quá trình Ornstein-Uhlenbeck..............................................................12
1.1.7. Q trình Wiener (Chuyển động Brown)..............................................13
1.2. Tích phân ngẫu nhiên và Bài tốn lọc..........................................................14
1.2.1. Tích phân ngẫu nhiên Itơ và công thức Itô............................................14
1.2.2. Lý thuyết lọc ngẫu nhiên.......................................................................18
Phần 2. Martingale với thời gian rời rạc................................................................ 22
1.3. Khái niệm tương thích và dự báo được........................................................23
1.4. Thời điểm Markov và thời điểm dừng..........................................................23

1.4.1. Thời điểm dừng.....................................................................................23
1.4.2. Quá trình dừng......................................................................................24
1.4.3. Thời điểm Markov................................................................................24
1.4.4. Q trình Markov..................................................................................25
1.4.5. Hai điều kiện tương thích của q trình Markov...................................25
1.4.6. Các tính chất của thời điểm Markov và thời điểm dừng........................25
1.5. Martingale....................................................................................................26
1.5.1. Các định nghĩa......................................................................................26
1.5.2. Các tính chất.........................................................................................28
1.5.3. Phép biến đổi Martingale......................................................................28
1.5.4. Ví dụ.....................................................................................................29
1.6. Một số bất đẳng thức và định lý cơ bản........................................................30


1.6.1. Bất đẳng thức Kolmogorov...................................................................30
1.6.2. Định lý Kolmogorov.............................................................................30
1.6.3. Bất đẳng thức Doob.............................................................................. 30
1.6.4. Bất đẳng thức cắt ngang........................................................................ 31
1.6.5. Định lý hội tụ Doob............................................................................... 31
1.6.6. Định lý về tồn tại và duy nhất lời giải................................................... 32
1.6.7. Lời giải yếu và lời giải mạnh................................................................. 37
CHƢƠNG 2. TÍNH TỐN NGẪU NHIÊN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG VÀO
LĨNH VỰC TÀI CHÍNH........................................................................................ 38
2.1. Thị trường, danh mục đầu tư và thị trường có độ chênh lệch thị giá............38
2.1.1. Định nghĩa............................................................................................. 38
2.1.2. Định nghĩa.............................................................................................42
2.1.3. Định nghĩa.............................................................................................42
2.1.4. Ví dụ..................................................................................................... 43
2.1.5. Định lý của Dudley............................................................................... 45
2.1.6. Bổ đề..................................................................................................... 45

2.1.7. Định nghĩa............................................................................................. 46
2.1.8. Định lý.................................................................................................. 47
2.1.9. Ví dụ..................................................................................................... 49
2.2. Tính đạt được và tính đầy đủ........................................................................50
2.2.1 Bổ đề...................................................................................................... 50
2.2.2 Bổ đề...................................................................................................... 50
2.2.3. Bổ đề..................................................................................................... 52
2.2.4. Định nghĩa............................................................................................. 53
2.2.5. Định lý..................................................................................................54
2.2.6. Hệ quả...................................................................................................57
2.2.7. Ví dụ.....................................................................................................57
2.2.8. Ví dụ..................................................................................................... 57
CHƢƠNG 3. ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN............................................................ 59
3.1. Định nghĩa.................................................................................................... 60


3.2. Định lý.......................................................................................................... 60
3.3. Định lý.......................................................................................................... 65
3.4. Định lý.......................................................................................................... 66
3.5. Ví dụ............................................................................................................. 67
3.6. Định lý (Cơng thức tổng qt Black & Scholes).......................................... 69
Quyền chọn kiểu Mỹ (American options)........................................................... 74
3.7. Định nghĩa.................................................................................................... 74
3.8. Định lý (Công thức định giá quyền chọn kiểu Mỹ)...................................... 75
Trường hợp Khuyếch tán Itô: Liên kết với tối ưu dừng.......................................78
3.9. Định lý.......................................................................................................... 80
3.10. Ví dụ........................................................................................................... 80
KẾT LUẬN............................................................................................................. 82

LỜI MỞ ĐẦU
Ngày nay quá trình ngẫu nhiên ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành khoa
học như: tin học, sinh học, y học, vật lý, tài chính. Trong đó có những kiến thức về
lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên, lý thuyết martingale, lý thuyết lọc ngẫu nhiên, lý
thuyết khuyếch tán, tích phân ngẫu nhiên, cơng thức Itơ.
Bản luận văn gồm 3 chương: Dựa trên cơ sở các phần nội dung cơ bản là lý
thuyết của các quá trình ngẫu nhiên để nghiên cứu và vận dụng vào các mô hình
tốn đáng tin cậy và được áp dụng rất nhiều trong thực tế đặc biệt là trong ngành tài
chính. Các mơ hình được nghiên cứu là các mơ hình chung (có thể khơng liên tục)
như mơ hình nửa martingale hoặc những mơ hình làm cơ sở cho các q trình ngẫu
nhiên mà không cần nửa martingale như chuyển động Brown.
Chương 1. Trình bày một số khái niệm cơ bản của giải tích ngẫu nhiên
Đó là các q trình liên quan tới quá trình ngẫu nhiên như: quá trình đo được,
đo được dần, q trình khả đốn, q trình thích nghi, quá trình khuyếch tán, quá
trình Ornstein - Uhlenbeck, quá trình Wiener (chuyển động Brown).
Đó là Martingale với thời gian rời rạc nội dung chủ yếu là Thời điểm Markov
và thời điểm dừng, Mactingale; Các bất đẳng thức và Định lý Kolmogorov, Doob.
Chương 2. Trình bày về tính tốn ngẫu nhiên Ito và khái niệm đầy đủ của thị
trường. Chương này đưa ra các định nghĩa về thị trường đầu tư, danh mục
đầu tư,
danh mục đầu tư chấp nhận được (có độ chênh lệch thị giá - arbitrage) để so sánh
với thị trường thực tế hiện nay là khơng có độ chênh lệch thị giá -no arbitrage (Định
nghĩa 2.1.1, 2.1.2);
Nội dung cơ bản của chương đó là đưa ra các Bổ đề, trên cơ sở đó nêu định
nghĩa về tính đạt được và tính đầy đủ (Định nghĩa 2.2.4); Định lý quan trọng (2.2.5)
đó là đưa ra điều kiện cần và đủ để một thị trường đầy đủ, hệ quả và ví dụ cụ thể
của thị trường đầy đủ.
Chương 3. Dùng các kỹ thuật tính tốn ngẫu nhiên được trình bày trong
chương 2 để tính giá (pricing) và chiến lược đầu tư tương ứng (hedging) cho thị
trường đầy đủ, sau đó áp dụng cho mơ hình Black & Scholes là trường hợp riêng

của thị trường đầy đủ.


Trong lĩnh vực tài chính ta biết rằng hoạt động tiêu biểu chính là hoạt động
ngân hàng và trong nền kinh tế thị trường hoạt động này thường có các dịch vụ chủ
chốt như: dịch vụ khách hàng, ngoại thương, nhận tiền gửi, dịch vụ cho vay kinh
doanh và các dịch vụ khác. Trong các dịch vụ ấy, có nhiều công đoạn hoạt động với
lãi lỗ khác nhau và thay đổi theo thời gian. Vì vậy điều quan trọng là: xác định được
giá của mỗi quyền chọn mua tại từng thời điểm và đầu tư số tiền bảo chứng là bao
nhiêu cho vừa phải để đảm bảo cho hoạt động kinh doanh. Có hai loại quyền chọn
mua chủ yếu:
- Quyền chọn kiểu Châu Âu (European options) - Nhà đầu tư đi mua quyền
được bán hoặc được mua, trong đó chỉ cho phép kinh doanh tại chính một thời điểm
cố định.
- Quyền chọn kiếu Mỹ (American options) trong đó có thể kinh doanh tại bất
cứ thời điểm nào trước thời điểm kết thúc kinh doanh.
Hiện nay quyền chọn kiểu Châu Âu là khá phổ biến và nội dung cơ bản của
phần này đó là đưa ra các định nghĩa về giá, giá mà người mua sẽ phải trả cho
quyền chọn mua và giá mà người bán có thể chấp nhận trong quyền chọn bán của
mình (Định nghĩa 3.1). Bên cạnh đó cũng đưa ra cơ sở lý luận cho việc đầu tư quay
vịng như thế nào để có thể đạt được một yêu cầu? thể hiện trong nội dung (Định lý
3.4) tìm một danh mục đầu tư quay vịng để đạt được yêu cầu F cho trước. Hiểu rõ
hơn vấn đề này luận văn cũng đưa ra một ví dụ cụ thể (Ví dụ 3.5).
Lý thuyết xác suất nói chung và lý thuyết các q trình ngẫu nhiên nói riêng
đã được áp dụng có hiệu quả trong ngành tài chính những năm gần đây, đặc biệt là
sử dụng mơ hình Black & Scholes để xác định chính xác hơn giá chi phí cho một
quyền chọn mua kiểu Châu Âu (Định lý 3.6).
Quyền chọn kiểu Mỹ có sự khác biệt với quyền chọn kiểu Châu Âu đó là
người mua có thể tự do chọn lựa thời điểm kinh doanh bất kỳ trước hoặc tại thời
điểm kết thúc kinh doanh. Chương này cũng đưa ra các định nghĩa trong quyền

chọn kiểu Mỹ và công thức định giá quyền chọn kiểu Mỹ (Định lý 3.8).


CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ
Phần 1. Cơ sở giải tích ngẫu nhiên
Trong chương này, các kiến thức chuẩn bị về giải tích ngẫu nhiên được đưa
ra gồm các khái niệm, các tính chất và các định lý có liên quan được ứng dụng vào
lĩnh vực tài chính. Trong đó có những kiến thức về lý thuyết các q trình ngẫu
nhiên, lý thuyết martingale, lý thuyết lọc ngẫu nhiên, lý thuyết khuyếch tán, tích
phân ngẫu nhiên, các cơng thức Itơ.
1.1. Một số kiến thức liên quan tới quá trình ngẫu nhiên
1.1.1. Quá trình đo đƣợc
Cho (, F , P) là một khơng gian xác suất. Một q trình ngẫu nhiên

X   X t ,t 
0
B



được gọi là đo được nếu nó đo được đối với   trường tích

 F . Điều đó có nghĩa là với mọi tập Borel của  , tập hợp



t,  : X t, 
B

thuộc về   trường tích B   F . Đó là   trường nhỏ



nhất chứa các tập có dạng  0,t   A với t   , AF .
1.1.2. Quá trình đo đƣợc dần

B0,t là

Cho một không gian xác suất được lọc ( , F ,  Ft t0
 , P ). Gọi
  trường Borel trên 0, t  . Cho một quá trình ngẫu nhiên X   X t 

chế của X trên đoạn

0, t  , với một

. Xét hạn

t cố định thuộc   . Ta có ánh xạ

X :  0,t     . Trên tích 0, t   , ta xét   trường

tích



t 0,

B0,t  Ft . Nếu X đo được

đối với   trường tích ấy với mỗi t   thì q trình X là quá trình đo được dần.

1.1.3. Quá trình khả đoán
  trường khả đoán là   trường nhỏ nhất các tập con của





 , mà đối

với nó mọi quá trình liên tục trái đều là đo được. Cho một quá trình ngẫu nhiên


X X

thích nghi với Ft  . Nếu hàm t,  X t,

t,

(từ      ) là

P  đo được thì ta nói X là một hàm khả đoán đối với Ft  .

a.   trường các tập hoàn toàn đo được trên 
tập con của







 đó là   trường O các

 và nhỏ nhất mà đối với nó mọi q trình liên tục bên phải và có

giới hạn trái là đo được.
b. Nếu X   X

t,

là một ánh xạ đo được từ  ,O    , B


ta nói




X là một quá trình hồn tồn đo được.

1.1.4. Q trình thích nghi với một bộ lọc
1.1.4.1. Một họ các   trường con
các điều kiện sau:
(i) Họ đó là một họ tăng, tức
là

Ft  F được gọi là một bộ lọc nếu thoả mãn
F ss  nếu s  t
Ft

(ii) Họ đó là liên tục phải, tức là F 
t

F



t 

0

(iii)

trong mọi

Mọi tập P  bỏ qua được AF đều được chứa trong F0

(do đó nằm

Ft ).

1.1.4.2. Cho một q trình ngẫu nhiên X   X t ,t  0 . Xét họ   trường F t X
sinh bởi biến ngẫu nhiên

F
t

X

Xt   , tức

F

X

t

   X s ,0  s  t  . Khi đó họ

 được gọi là bộ lọc tự nhiên của quá trình X , hay lịch sử của X .

,t  0

1.1.4.3. Cho một bộ lọc bất kỳ

W, F

F ,t   trên
t

là thích nghi với bộ lọc này nếu với mọi

Yt
Mọi quá trình

 . Một quá trình Y được gọi

là đo được đối với   trường Ft .



X  X ,t 


 là thích

nghi với lịch sử

F
.

của nó

 

X

,t
t

1.1.4.4. Cho một q trình X với lịch sử của nó là

Y bất kỳ là thích nghi với lịch sử
X

Ft

F

X

,t 
t



 . Một quá trình

của quá trình X nếu và chỉ nếu

Yt   có

thể biểu diễn được dưới dạng

Yt   

ft  Xs   , Xs   ,...
1

trong đó s1,

s2

2

t

,... là một dãy các phần tử của  0,t  f là một hàm Borel thực trên   .

và


1.1.5. Quá trình khuếch tán
Theo quan điểm tất định, một q trình khuếch tán là lời giải của bài tốn
Cauchy cho một loại phương trình đạo hàm riêng parabolic. Theo quan điểm ngẫu
nhiên, thì quá trình này thực chất là một họ các quá trình ngẫu nhiên và là các quá
trình Markov, chúng thoả mãn một phương trình vi phân ngẫu nhiên được gọi là
phương trình khuếch tán.
1.1.5.1. Định nghĩa
Một họ các q trình Markov  Xt ,

trên khơng gian   n , B

Px 



được gọi là

n



quá trình khuếch tán trên  n , nếu:
a. Toán tử sinh cực vi A của quá trình Markov X xác định trên mọi hàm
hữu hạn khả vi liên tục hai lần và tồn tại hàm vectơ liên tục

bi 

và ma trận vectơ

x

liên tục aij 

đối xứng và xác định không âm với mọi x sao cho

x


b.

2ij

1

n



f C : Af  x   Lf  x   
a
2 i, j 1

x

2

f

n
i

x x

i

 b
j
i1



f
x

x

i

Toàn bộ quĩ đạo của các Xt đều là liên tục

1.1.5.2. Chú ý
a. Toán tử sinh cực vi (infinitesimal generator) của một quá trình Markov:
Một quá trình Markov X tương ứng với một bán nhóm  Pt 

xác định trên

các hàm thuộc lớp C 2 bởi

Pt f  x   P  x, dy f  y 
với

P  x,

là xác suất chuyển.

A

Khi đó tốn tử sinh cực vi tương ứng A được xác định bởi A  lim

Ph  I

h0

h

,


trong đó I là tốn tử đồng nhất.
b. Một q trình khuếch tán X trên  n là một quá trình với quỹ đạo liên tục
X  ( X 1, X 2,..., X
sao cho với t  0,
n
)
E  X i

t h



và E 
X

t h

i

thì

s

 X X ; s  t   bi
i

h (h)

X



 X ti  bi  t  h  t h  X tj  b j  t  h   aij
Xt
X
Xj
X

với những hàm bi 1  i 

n

hàm

h
0

nào đó trên 

h   h

mà ta gọi là hệ số dịch chuyển và những

n

aij 1  i, j 
n

nào đó trên  mà ta gọi là các hệ số khuếch tán.
n

c. Nếu dịch chuyển b và khuếch tán a là những hàm trơn đến một cấp nào
đấy thì hàm mật độ chuyển

pt  x,

của quá trình khuếch tán X sẽ thoả mãn hai

y

phương trình đạo hàm riêng sau đây:
(1)

(2)



pt  x, y   Lx pt 
t
x, y 

t

p  x, y  L* p  x, y  với x cố định
t

y t

Lx pt  x,

trong đó,

với y cố định

y 

1
x
2
i, j

aij 

2 p  x,



y
xix j



p  x,

y
bi  x
i
x
p  x, y 

i

2 p  x, y 

1

yt

 và

L

*

p

 x, y  


2

yiy j

aij  y 

yi

 bi
y

i, j

i

Phương trình (1) được gọi là phương trình Kolmogorov lùi,
Phương trình (2) được gọi là phương trình Kolmogorov tiến.
1.1.6. Quá trình Ornstein-Uhlenbeck
Quá trình Ornstein-Uhlenbeck

X   X ,t 



với tham số   0 và giá trị


t

ban đầu

X0 
N(0,1)

là một quá trình Gauss với

trung bình EX  0, t  
t
hàm tương quan E  Xt X s  
exp

ts



s,t  

Đó là một quá trình dừng theo nghĩa rộng.
Xét quá trình dừng theo nghĩa hẹp, ta xét trên mật độ xác suất chuyển của
một quá trình Ornstein-Uhlenbeck với   1
p  s, x;t, y 



t (t s )
1
exp  y  xe 2t s 
2(1 e
)
2 (1 e2(t s) )
2






mật độ này chỉ phụ thuộc vào t  s , do đó phân bố của X cũng chỉ phụ thuộc vào t  s .
1.1.7. Quá trình Wiener (Chuyển động Brown)
1.1.7.1. Một quá trình

, F,
P

X   Xt ,t  0 được xác định trên một không gian xác suất đủ

được gọi là một quá trình Wiener với tham số phương sai  2

nếu nó là

một q trình Gauss với các tính chất sau:
(i) X  0 h.c.c.

0
(ii) Với mỗi cặp s,t s  t, Xt 

có phân phối chuẩn (Gauss) với trung

Xs

bình 0 và phương sai là  2 t  s
(iii)



Có số gia độc lập, tức là các biến ngẫu nhiên X t

Xt và Xt

4

lập, với  t1  t2  t3  t4 .

3



2

Xt là độc

1

(iv) Với hầu hết  , các quỹ đạo t  Xt  là liên tục.
1.1.7.2.

X   X  là một quá trình Wiener với tham số phương sai 
2

nếu X là một

t

quá trình Gauss với

E  Xt   t và hàm tương quan cho bởi:
0

R t, s  E  tX X

1.1.7.3. Một quá trình Wiener

   2. mint, s

X   Xt với tham số phương sai  2  1 được gọi là


quá trình Wiener tiêu chuẩn (hay chuyển động Brown tiêu chuẩn).
1.1.7.4. Các tính chất quan trọng của một quá trình Wiener
Cho W  Wt



là một quá trình Wiener


 Wt là một martingale đối với F w (  trường nhỏ nhất sinh bởi W , s  t,
s
t

cịn gọi là lịch sử của

tính cho đến thời điểm t ).

Wt

 (i) P{  : quỹ đạo

(ii)

P{  : quỹ

t  Wt

là khả vi }= 0.

t  Wt  có biến phân bị chặn trên một khoảng hữu

đạo hạn bất kỳ}= 0.
 W tuân theo luật lôga lặp như sau:

: limsup

Wt

 

P







1

1
t

2t log log t



 Cho B là họ tất cả các hàm thực Borel xác định trên  . Với mỗi

t  0 và

f  B , ta định nghĩa hàm Pt f trên  xác định bởi

Pt f  x




1

 f  y exp

 2 t  12 

Khi đó: (i)



yx2
dy
2t 




Pt f  B
(ii) Với 0  s 
và f  B , thì
t

 Pts f  x   E  f Wt  Ws  x

hầu khắp nơi đối với độ đo Lesbesgue trên  .
(iii) E  f W  FW   E  f W  W    P f W  ,


t

s





t

s



ts

s

Vậy W là một quá trình Markov.
1.2. Tích phân ngẫu nhiên và Bài tốn lọc
1.2.1. Tích phân ngẫu nhiên Itô và công thức Itô
Một số nội dung của luận văn này phải đưa về bài tốn tính tích phân có dạng:
vớ
là một q trình Wiener.
b
i
f t,   là một hàm ngẫu nhiên,
I   f  t,  
Wt

dWt

a


f t, 

1.2.1.1. Tích phân ngẫu nhiên Itơ

Tích phân Itơ của một hàm ngẫu nhiên đo được dần 

có thể được định

nghĩa như một giới hạn theo xác suất như sau:

T

I  f    f  t,   dt  P  lim  f t,   Wti1 Wti 
0

trong đó   maxtk1  tk  với mọi phân hoạch t0  0  t1  ...  tn  T .
1.2.1.2. Các tính chất quan trọng của tích phân Itơ
t

a. E  f  s, 
0

 dWs  0
2

t

b. E

 f s, 
dWs

t
 E  2 
 0 f ds


0

F
c.

Xt

  f  s, 

w

là một martingale đối với

t



dWs

0

t

1.2.1.3. Vi phân ngẫu nhiên Itô
Cho

f  t, 

một chiều, giả sử

 là một hàm ngẫu nhiên khả đốn,

Wt là một q trình Wiener

X   Xt là một quá trình ngẫu nhiên đo được bất kỳ lấy giá trị


trong   , B  . Ta nói q trình ngẫu nhiên này có vi phân ngẫu nhiên
dXt nếu
Itô
a. Hầu hết các quỹ đạo của
b. Tồn tại

f  t, 

,



Xt   là liên tục

h t,  là những hàm ngẫu nhiên đo được dần, f khả



đốn, khả tích theo mọi đoạn hữu hạn với hầu hết  .


t

c. H.c.c ta có

t

Xt  X 0   f  s, 
0

 dWs  h s,  ds
0

khi đó ta viết dXt  f  t,   dWt  h  t,   dt
1.2.1.4. Công thức Itô
Cho X  X là một q trình ngẫu nhiên có vi phân ngẫu nhiên Itơ (có dạng
t
dXt  adt  bdWt ). Giả sử

gt, x :  2   là một hàm một lần khả vi liên tục theo

biến thứ nhất t , hai lần khả vi liên tục theo biến thứ hai x .

Khi đó q trình ngẫu nhiên

Yt  g t, Xt có vi phân Itơ tính bởi công thức Itô như


sau:

I1



g
g
1 2 2g
g
dYt  dt  a
dt  b 2 dt  b
dWt
2 x
t
x
x

Hoặc viết dưới dạng tích phân:

 I2 

Yt  g t, Xt

t

g

  g 0, X 0   

t

0



1 t 2g



20

2

s,
Xs

g

s, Xs  ds  
0

s

 f 2 s,  ds

x

s, Xs  dXs


g
 g

Yt  Y0   
s, X s    a s,  s, X s  ds
x
 0s
2

 s,
t b2  s, 
s,    ds


1
t
g

X


x2 Xs
 bgs, 
2

t

Hoặc

s

   dWs

x
0

0

Chứng minh: Ta có thể giả sử các hàm

g
g
2g
g,

cơng thức Taylor ta có:
g t,
Xt



Xj
2g

1

2  t
j

, ,
t x x2
g
j

X0
j

2



 tj 
2





j

g 2
tx

g

  t t   x X j

  g 0,    g t j ,  g 0,
X0

là các hàm bị chặn. Theo

1


j



tj

2g



 x


 

Xj

j

2

j


Xj



2



R
j

j

2

trong đó,

 là phân hoạch của 0,

t

j

t,

g g 2g

,
,
x x2

t
t j  t j1  t j , X j  X j1  X j , g t j , X j   g t j 1, X j 1  g t j , X j ,
2

Rj   t j  X

2

, j

Nếu t  0 thì
j

t

g

 t
j

g

g
t j 
j

t

t j , Xt  t j   s  s, X s  ds
j

0

g
g

t

g

 x X j  x t j , Xt  X j   x  s, X s  dX s
j

j

j

0

2



được tính tại các điểm t , X
j


tj


2g

1



2g

 t  0;
2  t
2

j

Hơn nữa, vì dX  adt 
t
2g




 x



2

Xj





j

j

nên

bWt

2

2

j

j

hay Xt  at 

bdWt
g

tx  t  x   0;

j

j

x

2g

2

2

a t j
2 j

2g

2

2

(*)

 2 2 a j b j  t j  W j   2 b j
 Wj  x
x
j

j

Từ (*) ta thấy khi t  0 thì 2 biểu thức đầu tiên đều tiến dần đến 0, thật vậy
j




2g



x

2

2

 2g

j



j

vì   W 2 
j

t



 W

W 2 
t t
j



j
1





2

ta có,    Aj  W j   
j 



j

j

2
0

x

2g



i
i

 2  

ds


,

 W 2  t



b2 s,   trong

s, Xs



và

3

a jbj ) 

2
 

Aj t     Ai Aj
 Wi  
  i, j

tA  W 2 
Nếu i  j thì A
i

t

t, Xt b t,
Aj



j







.

2

2



j

Biểu thức cuối cùng trong (*) hội tụ tới 
  , thật vậy, đặt
tj 0

x

 t j  t j

 g

2

0;

a j b j  t j  W j      (

 t 




j

L2



khi



Atj



2

2

 ti



  W

j

 t j



là độc lập, do đó các biểu thức

j

2
tương ứng bị triệt tiêu, vì   W   t ;   W 2  t tương tự nếu i  ta cũng

j

i

i

j

j

có kết luận như trên. Vì thế chỉ còn lại trường hợp i  j , khi đó nếu


t j  0thì

 W
  A2  W 2  t 2     A2  .



j





j

j

j






2

3t  A  .

 j  

j



j

j

j

j





2. t 2  t 2   t 2      A 2  0,

2

j

j



j



j

j

j



j

j

trong

t

 A  W   
2

Hoặc, ta có

4  2  W 2 t   t 2 

j

L2

khi



Asds

t j 
0

hay dWt   dt .
2

0

Các lập luận trên cũng cho thấy khi t j  0 thì  Rj  0 . Cơng thức Itô được chứng minh.
j

1.2.1.5. Công thức Itô tổng quát (trƣờng hợp nhiều chiều)
Cho

B  t,     B1 t,   ,..., Bm

là chuyển động Brown m-chiều, X1,..., Xn

t,  
là các vi phân ngẫu nhiên Itơ có dạng: dX  hdt  fdB
Với

f  t, 



h  t,  là những hàm ngẫu nhiên đo được dần, f khả đốn, khả tích



,

theo mọi đoạn hữu hạn với hầu hết  .
Giả sử là các ánh xạ hai lần khả vi liên tục
Y  t,    g t,
Xt 

   n    . Khi đó q trình

là một vi phân ngẫu nhiên p-chiều mà thành phần thứ k là

được

Yk

cho bởi

g
g
1
2g



k
dY  k t, X   
t, X  dX   k t, X  dX dX
k
i 2 i, j x x
t
i xi
i
j

i

với các biểu thức dX dX th dB dB  ijdt, dB dt  dtdB  0 .
i

j
i
j
i
i
ì
Để chứng minh cho trường hợp tổng quát ta tiến hành bằng cách xấp xỉ hàm
g

g

2g


g bởi dãy hàm gn

sao cho g ,
n

n

t

,

n

x

,

x

là các hàmgbịg
chặn
2g và hội tụ đều trên

n
2

các tập con compact của 0,  tương ứng với

g,

, ,
t x x2

sau đó chứng

minh tương tự như phần 1 - chiều.
t

Ví dụ: Tính tích
phân:

I   Ws dWs
0

Chọn X  W ; g t, x  x2 Khi đó,
Y

t

Vì

t

t

g

2

gx t, x   

g

t

t

2g


0,
x

t

 g t,W   W 2

 2x,

2

x

2

t

X t  Wt   1.dWs  b  1
0

Áp dụng công thức Itô ta có
t

Wt 2 
Y

1

  2Ws

t

dWs
s

s

Suy ra I  W dW 

t

Wsds  t

  2.ds 
22

0



t

0

W2t 2

0

2t
 .

0

1.2.2. Lý thuyết lọc ngẫu nhiên
1.2.2.1. Các khái niệm
Cho , F , P

là một không gian xác suất đủ trang bị bởi một họ tăng liên

tục phải các  -trường con

Ft  F , t 0,T . Cho Xt ,t 0,T là một họ các q


trình ngẫu nhiên F -thích nghi (được gọi là các q trình tín hiệu hay q trình hệ
t
thống). Giả sử ta khơng thể quan sát
và ta có thể thực hiện quan sát

X t một cách trực tiếp nhưng muốn biết về X t

Xt thông qua một quá trình ngẫu nhiên (được gọi là

một quá trình quan sát) có dạng:


t

Yt   hsds  Zt
0

trong đó Zt

là một quá trình F t -Wiener n-chiều sao cho với mỗi t thì  -trường

tương lai  (Zu  Zt )(u  t) độc lập với  -trường quá khứ  (Yv , hv , v  t) .

Thông tin về X được giả thiết là có trong q trình ngẫu nhiên n-chiều h
s
s

sao cho

t

E



2

ds

hs



t 0,T  .

,

0

Các số liệu quan sát được cho bởi  -trường Gt

sinh bởi các Ys , s  là một  t

trường con của

Ft , tức Gt   (Ys , s  t) .

1.2.2.2. Định lý Girsanov
Cho W

 W1,...,W m là một quá trình Wiener n-chiều trên không gian xác
t



suất , F, P và

t

  g 1 ,...g m là một quá trình B -khả đoán

B   W , s  t  ; cho
g
t

s



t

s
s

t

sao cho  g s2 ds  h.c.c.
0

Đặ
t

1t
t
t  exp  (g s , dWs ) 


gs
20
0



Xây dựng độ đo xác suất Q trên

Nếu Mt


ds với
thiếtgiả


E

 t  
1,t

Bt như sau: Q  A  E

t

Khi đó:
(i)

2

A,

(1)

A
Bt

(2)

là một Bt , P  -martingale địa phương thì
t

M t  Mt     gs , dWs  , M t là một  Bt , Q  -martingale địa phương
0

(3)

t

Cịn W t  Wt  
gsds

là một q trình Wiener đối với Bt , Q .

0

(ii) Mỗi Bt , Q -martingale bình phương khả tích
Mt
M

  fs ,


t
M
t
0
dW s



vớ
i



0

f   f 1,... f m



s

đều được biểu diễn dưới dạng

là một q trình

Bs khả đốn và

s

t

EQ 

2

(4)

ds 

fs
0

Chứng minh:

t

1

Theo
giả thiết ta có t  exp  (g s , dWs ) 
g
s

t

2



t



nên

ds và Wt  Wt  
gsds

0

20

0



Áp dụng kết luận ở phần (i) cho phép biến đổi Girsanov Q   1Q  P .
t

Khi đó, nếu M
là một Bt , Q -martingale địa phương thì

t

Mt 
M

t



   gs , dW s
t

là một Bt , P  -martingale địa phương.

 ,Mt 
0

Vì Bt

là  -trường sinh bởi Wt , Mt

được biểu diễn như sau:

t

Mt  M0  ( fs , dWs )
0

Khi đó ta có
M


M
t

t
0

t

t

  ( fs , dW s )   ( fs , gs )   (gs , dW s ),M
0

0

0

t



Số hạng thứ nhất trong vế phải của biểu thức trên là một tích phân Itơ và là một
martingale đối với Bt , Q . Phần còn lại phải của vế phải phải là một martingale,
nó phải bằng 0 vì nó là một q trình với biến phân bị chặn (martingale liên tục với
biến phân bị chặn là bằng 0). Vậy ta có
M


M
t

t

(đpcm)

  ( fs ,
dW s )
0

0

1.2.2.3. Bài tốn lọc tuyến tính (Lọc Kalman-Bucy 1-chiều)
Xét bài tốn lọc tuyến tính, trong đó q trình hệ thống và q trình quan sát
đều được cho bởi phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính sau:
+ Q trình hệ thống: dXt  F(t)Xtdt  C(t)dUt ;

F(t),C(t) 

+ Quá trình quan sát: dYt  G(t)Xtdt  D(t)dVt ; G(t), D(t) 

trong đó F,G,C, D là các hàm giới nội trên những khoảng giới nội D(t)  0 , U ,V là
các chuyển động Brown.
Ta có thể tìm được ước lượng X t  E 

của Xt

tốt nhất (theo nghĩa

Xt Gt 

bình phương tối thiểu) dựa trên các quan sát này theo phương trình sau:

G2 (t)S(t)
 
2
D
(t)
d X t  F (t) 

G(t)S(t)


 X tdt 