Luận văn thạc sĩ về cực trị hàm lồi

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------------

NGUYỄN ĐÌNH THỌ

VỀ CỰC TRỊ HÀM LỒI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - Năm 2014


NGUYỄN ĐÌNH THỌ

VỀ CỰC TRỊ HÀM LỒI
Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS. TSKH. LÊ DŨNG MƯU


MỤC LỤC
Lời nói đầu

ii

Chương 1. Các kiến thức cơ bản về giải tích lồi

1

1.1. Tập lồi

1

1.2. Hàm lồi

9

1.3. Dưới vi phân

11

1.3.1. Khái niệm

11

1.3.2. Phép tính với dưới vi phân

14

1.4. Đạo hàm theo hướng và tính khả vi của hàm lồi
Chương 2. Cực tiểu hàm lồi trên tập lồi

17
19

2.1. Phát biểu bài toán

19

2.2. Sự tồn tại nghiệm tối ưu

23

2.3. Điều kiện tối ưu

26

2.3.1. Bài toán với ràng buộc đẳng thức

27

2.3.2. Bài toán với ràng buộc bất đẳng thức

29

2.4. Đối ngẫu Lagrange

32

2.5. Các phương pháp giải cơ bản

35

2.5.1. Phương pháp chiếu dưới đạo hàm

35

2.5.2. Thuật toán Frank-Wolfe

38

Chương 3. Cực đại hàm lồi trên tập lồi

44

3.1. Phát biểu bài tốn

44

3.2. Tính chất cơ bản

44

3.3. Các phương pháp giải cơ bản

46

3.3.1. Phương pháp xấp xỉ ngồi

46

3.3.2. Phân hoạch khơng gian và thuật tốn nhánh cận

52

Kết luận

62

Tài liệu tham khảo

63

i


LỜI NÓI ĐẦU
Cực trị hàm lồi trên tập lồi là một lớp bài tốn cơ bản của tối ưu hóa. Cực
tiểu hàm lồi trên tập lồi gọi là quy hoạch lồi có tính chất cơ bản là mọi điểm cực
tiểu địa phương đều là cực tiểu tuyệt đối. Tính chất quan trọng này cho phép các lý
thuyết có tính địa phương như giới hạn, vi phân,...có thể áp dụng trực tiếp vào quy
hoạch lồi. Lý thuyết về bài toán quy hoạch lồi đã được nghiên cứu nhiều và đã thu
được nhiều kết quả quan trọng dựa trên lý thuyết của giải tích lồi và tối ưu hóa. Cực
đại hàm lồi trên tập lồi có tính chất khác hẳn cực tiểu hàm lồi trên tập lồi, cụ thể ta
thấy rằng cực đại địa phương của một hàm lồi không nhất thiết là cực đại tuyệt đối.
Mục đích của luận văn này là để trình bày bài tốn cực đại, cực tiểu hàm lồi
trên tập lồi và một số phương pháp giải cơ bản các bài tốn này. Luận văn gồm có
ba chương:
Chương 1. Các kiến thức cơ bản về giải tích lồi
Trình bày một số khái niệm, định nghĩa và kết quả cần thiết liên quan đến tập
lồi và hàm lồi.
Chương 2. Cực tiểu hàm lồi trên tập lồi
Trình bày bài toán cực tiểu hàm lồi trên tập lồi, sự tồn tại nghiệm tối ưu và
điều kiện tối ưu của bài tốn. Đối ngẫu Lagrange. Trình bày hai phương pháp cơ
bản giải bài tốn quy hoạch lồi đó là phương pháp chiếu dưới đạo hàm và thuật toán
Frank-Wolfe.

Chương 3. Cực đại hàm lồi trên tập lồi
Trình bày bài tốn cực đại hàm lồi trên tập lồi và một số tính chất cơ bản.
Trình bày hai phương pháp cơ bản giải bài tốn cực đại hàm lồi trên tập lồi đó là
phương pháp xấp xỉ ngồi và thuật tốn nhánh cận.
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học
Quốc gia Hà Nội, dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Lê Dũng Mưu.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS. TSKH. Lê Dũng Mưu, người đã
tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt q trình nghiên cứu để em có thể
hồn thành luận văn này.

ii


Em cũng bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới quý thầy, cô giáo Trường Đại học
Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội đã giảng dạy và giúp đỡ em hồn
thành khóa học.
Nhân dịp này em cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, đồng nghiệp
Trường THPT Ân Thi, gia đình và bạn bè đã luôn động viên, giúp đỡ và tạo điệu
kiện cho em về mọi mặt trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót.
Tác giả rất mong nhận được ý kiến đóng góp của quý thầy, cô giáo và bạn đọc để
luận văn được hoàn thiện hơn.
Xin trân trọng cảm ơn!

iii


Chương 1. Các kiến thức cơ bản về giải tích lồi
Chương này trình bày một số khái niệm, định nghĩa và kết quả cần thiết liên
quan đến tập lồi và hàm lồi. Nội dung của chương được tham khảo từ các tài liệu

[1], [2], [4], [9].

1.1. Tập lồi
a,b  n .

Định nghĩa 1.1. Cho hai
điểm

(i) Đường thẳng đi qua hai điểm a và b là tập hợp có dạng

x  

n



x  αa  βb, α, β  , α  β  1 .

(ii) Đoạn thẳng nối hai điểm a và b là tập hợp có dạng

x  
Định nghĩa 1.2. Một tập

n



x  αa  βb, α  0, β  0, α  β  1 .

C

n

được gọi là một tập lồi, nếu C chứa mọi đoạn

thẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó. Tức là
C là tập lồi 

x, y  C, λ 0,1
thì

λx  1  λ y  C .

Định nghĩa 1.3. (i) Ta nói x là tổ hợp lồi của các điểm (vectơ)
k

x   λj x j
với

x1, x2,..., xk nếu

k

λ j  0, j  1, 2,...,
k

và  λj  1.
j1

j1

(ii) Ta nói x là tổ hợp affine của các điểm (vectơ)
k

k

x1, x2,..., xk nếu

x   λ j x với  λ j  1.
j

j1

j1

1


Mệnh đề 1.1. Tập hợp C là lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồi của các điểm
của nó. Tức là
C
lồi

k

 k  , λ1,...,
λk

k

 0 sao cho  λ j  1 và x ,..., x  C thì  λ j x j  C .

1

j1

2

k

j1


Chương 1. Các kiến thức cơ bản về giải tích
lồi
Định nghĩa 1.4. Một tập C được gọi là tập affine nếu nó chứa đường thẳng đi qua
hai điểm bất kỳ của nó, tức là
C là tập affine  x, y  C, λ   thì λx  1  λ y  C .
Định nghĩa 1.5. Siêu phẳng trong khơng gian n

x   a x  α,
n

a
n

trong
đó

là tập hợp các điểm có dạng

T

là một vectơ khác 0 và α   .

Định nghĩa 1.6. Nửa không gian là một tập hợp có dạng

x   a x  α,
n

trong
đó

a
n
Tập

T

là một vectơ khác 0 và α   , đây là nửa khơng gian đóng.

x   a x  α là nửa không gian mở.
n

T

Mệnh đề 1.2. Tập M   là tập affine khi và chỉ khi nó có dạng M

L
a

với L

là một khơng gian con và a  M . Không gian con L này được xác định duy nhất.
Không gian L trong mệnh đề trên được gọi là không gian con song song với
M (hoặc không gian con của M ).
Định nghĩa 1.7. Thứ nguyên (hay chiều) của một tập affine M là thứ nguyên của
không gian song song với M và được ký hiệu là dim M .
Mệnh đề 1.3. Bất kỳ một tập
affine

M  n có số chiều r đều có dạng
M

x  

n



Ax  b ,

(1.1)

trong đó A là ma trận cấp m  n , b  m và rankA  n  r . Ngược lại, mọi tập hợp
có dạng (1.1) với rankA  n 
r

đều là tập affine có số chiều là r .
2

Chương 1. Các kiến thức cơ bản về giải tích
lồi nghĩa 1.8. Các
Định
x 0 , x1,...,
trong n được gọi là độc lập affine nếu bao
điểm
xk
affine của chúng có thứ nguyên là k .
Định nghĩa 1.9. Một tập
hợp

S  n được gọi là một đơn hình có thứ ngun bằng

k (hoặc k  đơn hình), nếu S là tổ hợp lồi của
này được gọi là đỉnh của đơn hình.

3

k 1 vectơ độc lập affine. Các vectơ


Định nghĩa 1.10. Một tập được gọi là tập lồi đa diện, nếu nó là giao của một số
hữu hạn các nửa khơng gian đóng.
Dạng tường minh của một tập lồi đa diện được cho như sau:



j
D : x   n a ,
x

trong đó 0  a j 
n



 b j , j  1, 2,..., m ,

và b j   j  1, 2,..., m .
,

Nếu ta kí hiệu A là ma trận có m hàng là các vectơ a j
vectơ bT

 j  1, 2,..., m và

 b1,b2,...,bm  thì hệ trên viết được là:
D

x   Ax  b.
n

Định nghĩa 1.11. Một tập C được gọi là nón nếu
λ  0, x  C  λx  C .
(i) Một nón được gọi là nón lồi nếu nó đồng thời là một tập lồi.
(ii) Một nón lồi được gọi là nón nhọn nếu nó khơng chứa đường thẳng, khi đó ta
nói O là đỉnh của nón. Nếu nón lồi này là một tập lồi đa diện thì ta nói nó là nón lồi
đa diện.
Định nghĩa 1.12. Cho C  n

là một tập lồi và x  C .

(i) Tập



NC  x  : w w, y 
x

 0, y  C



được gọi là nón pháp tuyến (ngoài) của C tại x .
(ii) Tập
NC  x  :

w

w, y 
x

được gọi là nón pháp tuyến (trong) của C tại x .

 0, y  C




Định nghĩa 1.13. Một điểm a 

C

được gọi là điểm trong tương đối của C nếu nó

là điểm trong của C theo tô-pô cảm sinh bởi affC . Ký hiệu tập các điểm trong
tương đối của C là riC . Vậy
riC :

a  C B : a  B  affC  C,


trong đó B là một lân cận mở của gốc.
Hiển nhiên
riC 
Mệnh đề 1.4.
Cho

C
n

a affC B : a  B  affC  C .
là một tập lồi. Giả sử x  riC . Khi đó với mọi y  C ,

tất cả các điểm trên đoạn thẳng nối x và y , có thể trừ y , đều thuộc riC . Nói cách
khác, với mọi 0  λ  1 thì 1  λ  riC  λC  riC .
Định nghĩa 1.14. Bao lồi của một tập E là giao của tất cả các tập lồi chứa E . Ký
hiệu là coE .
Định nghĩa 1.15. Một điểm x 
C

được gọi là điểm cực biên của C nếu không tồn

tạ
i a,b  C, a  và 0  λ  1 sao
0
cho

x  λa  1  λb .

Trong trường hợp C tập lồi đa diện thì điểm cực biên cịn được gọi là đỉnh.
Ta kí hiệu V C là tập các điểm cực biên của C . Bao lồi của một số hữu hạn điểm



là một tập đa diện lồi, compact. Nếu

v 0 , v1,...,
vm

độc lập affine thì bao lồi của

chúng là một đơn hình. Đơn hình này có thứ nguyên là m . Các điểm

v 0 , v1,..., vm

được gọi là đỉnh (điểm cực biên) của đơn hình này.
Định nghĩa 1.16. Một tập F  C được gọi là một diện của một tập lồi C nếu F là
tập lồi có tính chất
x, y  C
tx  1  t  y  F , 0  t  1 thì  x, y  F .

:
Điểm cực biên là diện có thứ nguyên bằng 0. Cạnh là diện có thứ nguyên bằng 1.
Tia cực biên là một diện nửa đường thẳng. Như vậy tia cực biên là một cạnh vô hạn.
Hướng cực biên là hướng của tia cực biên.


Định nghĩa 1.17.
Cho

x0  C . Ta
nói

aT x 
α

là siêu phẳng tựa của C tại x0 , nếu

aT x0  α , aT x  α , x  C .
Định nghĩa 1.18. Cho C   (không nhất thiết lồi) và y là một vectơ bất kỳ, đặt
dC  y  : inf
xC

Ta nói

dC 

xy.

là khoảng cách từ y đến C . Nếu tồn tại π  C

sao cho

y
dC  y 
π

y

, thì ta nói π là hình chiếu (vng góc) của y trên C và ký hiệu là

π  PC  y  .

PC 

Theo định nghĩa, ta thấy rằng hình chiếu

y

của y trên C là nghiệm của

bài toán tối ưu

1

min  x  y 2 x  C .


2
Nói cách khác việc tìm hình chiếu của y trên C có thể đưa về việc tìm cực
tiểu của hàm toàn

phương

x  y 2 trên C . Nếu C   thì dC  y  hữu hạn, vì
0  dC  y  

x
y

, x  C .

Mệnh đề 1.5. Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng. Khi đó:
(i) Với
mọi

y  n , π  hai tính chất sau là tương đương:
C

 π  PC  y  ,
 y  π  NC π  .
(ii) Với mọi

y  n , hình chiếu


PC  y 

của y trên C luôn tồn tại và duy nhất.

(iii) Nếu y  C ,
thì

PC  y   y, x  PC  0 là siêu phẳng tựa của C tại

 y

và tách hẳn y khỏi C , tức là
PC  y   y, x  PC

 0, x  C

 y
PC  y   y, y  PC

và

 y
(iv) Ánh
xạ

y  PC  y  có các tính chất sau:

 PC  x   PC 
y 

 P  x   P
P
C

x
y

 y , x  y 

C

và C lồi, nên
Do x, π 
C

(tính khơng giãn).

, x, y 
n
P

 x 2 y 

C

Chứng minh. (i) Giả sử có a). Lấy x 
C

πy

0.

(tính đồng bức).

C

và λ 0,1. Đặt

xλ : λx  1  λπ .
xλ  C . Hơn nữa do π là hình chiếu của y nên

y
xλ

. Hay

2

πy2

λ  x  π   π  y  .

Khai triển vế phải, ước lược và chia hai vế
cho

λ  0 , ta có

PC  y




λxπ22

Điều này đúng với mọi x 
C

y  π  NC  π
Vậy



x  π, π 
y

0.

và λ 0,1. Do đó khi cho λ  0 , ta được
π  y, x 
π

.

 0, x  C .

Bây giờ giả sử có b). Với mọi x  C , ta có
T

0 yπ

T

 xπ  yπ  xyyπ
2

T

yπ  yπ

 x  y .

Từ đây và b), dùng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có
2

yπ  yπ
x 
Suy ra

(ii) Do

y  π  y  x , x 
C
dC  y  
inf

x
y

T

 y

yπ. yx.

và do đó π  PC  y  .

nên theo định nghĩa của cận dưới đúng, tồn tại một dãy

xC

x   C sao
k

 dC  y    .
lim xk  y

cho

Vậy dãy



k

x

k



bị chặn, do đó nó có một dãy con x



đó. Do C đóng nên π  C . Vậy
πy

hội tụ đến một điểm π nào
k j


 lim

j

xk j 
y

 lim xk  y
k


Chứng tỏ π là hình chiếu của y trên C .

 dC

y.


Bây giờ ta chỉ ra tính duy nhất của hình chiếu. Thật vậy, nếu tồn tại hai điểm
π và π1 đều là hình chiếu của y trên C thì

 

y  π  NC  π  , y  π1  NC π1 .
Tức là

π  y, π1  π  0

và
π1  y, π  π1

Cộng hai bất đẳng thức này ta suy
ra
(iii) Do y  π  NC

π 
Vậy π  y,
x

nên

 π  y, π

y khỏi C vì y  π

nên

(iv) Theo phần (ii) ánh xạ

π
π1

π  y, x 
π

0.

 0 , và do đó π  π1.

 0, x  C .

là một siêu phẳng tựa của C tại π . Siêu phẳng này tách

π  y, y 
π

πy20.

x  PC  x xác định khắp nơi.

Do z  PC  z   N C  PC  z   với mọi z , nên áp dụng z và z  y ta có
x
x  PC  x  , PC  y  
PC  x 
và
x  PC  y  , PC  x  
PC  y 

0

0.


Cộng hai bất đẳng thức trên ta được

0.

PC  y   PC  x  , PC  y   PC 
x  x  y

Từ đây và theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz suy ra
PC  x   PC 

xy.

y 

Để chứng minh tính đồng bức, áp dụng tính chất b) của (i) lần lượt với
PC  x  và PC  y  , ta có
PC  x   x, PC  x  

0,

PC  y  y  PC  y  , PC

0.

 x   PC  y 
Cộng hai bất đẳng thức ta được
PC  x   PC  y   y  x, PC  x   PC  y   0
P
P

 x  P  y , y  x
C

P
P

C

 P
C

 x  P  y , x  y 
C

 x  y  2  0

C

C

P
C

 x

 y

2

.

C

Định lý 1.1. (Định lý xấp xỉ tuyến tính tập lồi) Mọi tập lồi đóng khác rỗng và khơng
trùng với tồn bộ khơng gian đều là giao của tất cả các nửa không gian tựa của nó.
Định nghĩa 1.19. Cho hai tập C và D khác rỗng, ta nói siêu phẳng
C và D nếu
aT x  α  aT y, x  C, y  D .
Ta nói siêu phẳng aT x  α tách chặt C và D nếu
aT x  α  aT y, x  C, y  D .
Ta nói siêu phẳng aT x  α tách mạnh C và D nếu

aT x  α tách


p aT x  α  inf aT y, x  C, y  D .

s
u

xC

yD

Định lý 1.2. (Định lý tách 1) Cho C và D là hai tập lồi khác rỗng trong n sao
cho C  D   . Khi đó có một siêu phẳng tách C và D .
Định lý 1.3. (Định lý tách 2) Cho C và D là hai tập lồi đóng khác rỗng trong n
sao cho C  D   . Giả sử có ít nhất một tập là compact. Khi đó hai tập này có
thể tách mạnh được bởi một siêu phẳng.
Bổ đề 1.1. (Bổ đề Farkas) Cho A là một ma trận thực cấp m  n và a  n . Khi đó
trong hai hệ dưới đây có một hệ và chỉ duy nhất một hệ có nghiệm
Ax  0, aT x  0, x  n ,
AT y  a, y  0, y  m .

Ý nghĩa hình học của Bổ đề Farkas: Nón lồi, đóng



x  n

Ax 
0

trong nửa khơng gian

x   a x 
n

T



nón sinh bởi các hàng của ma trận A .

1.2. Hàm lồi
Cho C  n là tập lồi và f : C   . Ta sẽ ký hiệu

x 



f  x    .

C

Định nghĩa 1.20. Tập domf được gọi là miền hữu dụng của f . Tập
epif



khi và chỉ khi vectơ pháp tuyến a ở trong

0

domf :

nằm

:

 x, μ  C  


f  x  μ



được gọi là trên đồ thị của hàm f .
Bằng cách cho
tồn khơng gian, và ta
có

f  x   nếu x  C , ta có thể coi f được xác định trên
dom
f



x 



f  x    ,

n
epif 

 x, μ  n



f  x  μ .


Định nghĩa 1.21.
Cho

C
n

nếu epif là một tập lồi trong

lồi
và

f : C   . Ta nói f là hàm lồi trên C ,

n1 .

Ta chủ yếu làm việc với hàm

f : n    . Trong trường hợp này

định nghĩa trên tương đương với
f  λx  1  λ  y   λf  x   1  λ  f  y  , x, y  C , λ   0,1 .
Định nghĩa 1.22. Cho   C  n lồi.
(i) Hà
m

f : n  


được gọi là hàm lồi chặt trên C nếu

f  λx  1  λ  y   λf  x   1  λ  f  y  , x, y  C , λ   0,1 .
được gọi là hàm lồi mạnh trên C với hệ số

f
:
n

(ii) Hà
η0,
m

nếu x, y  C , λ

0,1

ta có


1
f  λx  1  λ  y  λf  x   1  λ  f  y   ηλ x  y 2 .
2
1  λ 
(iii) Hàm f được gọi là hàm lõm trên C , nếu  f
Mệnh đề 1.6. Một
hàm

là hàm lồi trên C .

f : C   là hàm lồi trên C khi và chỉ khi

x, y  C , α
f  x  , β f  y  , λ 0,1 f  λx  1  λ  y   λα  1  λ 



β.
Ví dụ 1.1. (Một số ví dụ về hàm lồi)
 Cho C  

là một tập lồi, δC là hàm chỉ của C , được định nghĩa như sau:
δ



C

0 khi x  C,
x  :

 khi x  C.

δC là một hàm lồi.
 Cho C lồi đóng, hàm khoảng cách đến tập C , được định nghĩa như sau:
dC  x  :
min

xy.

yC

dC là một hàm lồi.
Định nghĩa 1.23. Một hàm

gọi là chính thường, nếu domf   và

f

f  x   , x .
Định nghĩa 1.24. Một hàm f gọi là đóng, nếu epif là một tập đóng trong

n1 .

Chú ý 1.1. (i) Nếu f là một hàm lồi trên một tập lồi C , thì có thể thác triển f lên

tồn khơng gian bằng cách đặt

 f  x  khi

fe  x  : 

(ii) Nếu f là hàm lồi trên n

khi


x  C,
x  C.

thì domf là một tập lồi, vì domf là hình chiếu trên


n của epif , tức là domf



x μ   :  x, μ   epif  .

Định nghĩa 1.25. Hàm f được gọi là thuần nhất dương (bậc 1) trên n

nếu


f  λx  λf  x  , x  n , λ  0 .
Mệnh đề 1.7. Cho f là một hàm thuần nhất dương trên

khi và chỉ khi f là dưới cộng tính theo nghĩa

Mệnh đề 1.8.
Nếu
Hệ quả 1.1.
Nếu
dương thì
hàm

n . Khi đó f là hàm lồi

f  x  y  f  x   f  y  , x, y 
n .


f1, f2 là những hàm lồi, chính thường
thì

f1  f2 là hàm lồi.

f1, f2 ,..., fm là các hàm lồi, chính thường và λ1, λ2 ,...,
λm
λ1 f1  λ2 f2  ...  λm
fm

là lồi.

Định nghĩa 1.26. Hàm l là hàm non affine của một hàm f trên n
affine trên n

là các số

nếu l là hàm

và l  x  f  x  , x  n .


Định lý 1.4. Mọi hàm lồi đóng chính thường f trên n

đều là bao trên của các

hàm non affine của nó. Tức là
f  x   sup lv  x  lv  A ,
v

trong đó A là tập hợp tất cả các hàm non affine của f .

1.3. Dưới vi phân
1.3.1. Khái niệm

f : n    . Ta
Định nghĩa 1.27. Cho nói

tại
điểm

x0 
n

nế

u

x*, x 
x0

x* 
n

là dưới đạo hàm của f

  , x  n .

 f  x   f x0


Tập hợp tất cả các dưới đạo hàm của f tại điểm

x0 được gọi là dưới vi phân của

 

f tại điểm đó và được kí hiệu là f x0 . Vậy

 

f x 0

x

x*, x 

x0

 

*

    thì ta nói f khả dưới vi phân tại điểm

Nếu f x 0



 f  x   f x0 , x  n .

x0 .


Ví dụ 1.2. (Một số ví dụ về dưới vi phân)
(i) Nếu f là hàm affine

   x 

thì f x 0

*

f (x)  x*,
x
0
, x 

 α với x* 
n

và α  

n
(ii) Nếu C  n là tập lồi và x0  C thì

   x 

δC x 0

x*, x 
x0

*

n
Với x 
C

thì δC  x  


nên

 δC 

x *, x 

x0

*

luôn đúng. Vậy

x

x *, x 
x0

   x 

δC x

0



 δC  x  , x  n .

 0, x  C

n

Mệnh đề 1.9.
Cho

f : n  

(i) Nế
x
u
domf

thì f  x    .

(ii) Nế
u
compact
thì

  N x  .
C

0

lồi, chính thường. Khi đó:



x int domf th f  x    và compact. Ngược lại, nếu
ì



f  x   
,

x  ri domf  .

Chứng minh. (i) Cho

z
domf

và do đó khơng thể tồn tại

thì f  z    . Vậy
nếu

x* thỏa mãn

x
domf

thì f  x   