Luận văn thạc sĩ về lục giác lồi rỗng

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN
------------------

NGUYEN GIANG THÀNH

VE LUC GIÁC LOI RŐNG

LU¾N VĂN THAC SY TOÁN HOC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CAP
Mã so: 60 46 01 13

Ngưài hưáng dan khoa HQC
PGS. TS. TA DUY PHƯeNG

HÀ N®I- 2013


Mnc lnc
Ma au
1

3

TONG QUAN VE BI TON ERDOă S VE ĐA GIÁC LOI RŐNG 5
1.1 Bài toán 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1.1 Bài toán 1a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1.2 Bài toán 1b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
1.1.3 Bài toán 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.1.4 Bài toán 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.1.5 Bài toán 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.2 Bài toán 2............................................................................................16
1.3 Bài toán 3 (Bài toán ve ton tai đa giác chúa k điem trong )...............19
1.4 Bài toán 4............................................................................................21

2 CHÚNG MINH ĐÁNH GIÁ E(6) ≤ ES(9) VÀ Hfi QUA
23
2.1 Đ%nh lý E(6) ≤ ES(9).....................................................................23
2.2 Lưoc đo chúng minh...........................................................................23
2.2.1 Kí hi¾u....................................................................................25
2.2.2 Các đ%nh nghĩa......................................................................25
2.3 Các trưòng hop đơn gian...................................................................27
2.4 Các trưòng hop (3, ≥ 0) và (≥ 6, 3)................................................27
2.4.1 Các trưòng hop (3, ≥ 0) và (8,3).............................................27
2.4.2 Các trưòng hop (6,3) và (7,3)..................................................29
2.5 Các trưòng hop (4, ≥ 0) và (≥ 7, 4)................................................34
2.5.1 Bưóc 1a...................................................................................34
2.5.2 Bưóc 1b...................................................................................35
2.5.3 Bưóc 2.....................................................................................38
2.5.4 Bưóc 3.....................................................................................38
2.5.5 Tőng ket...................................................................................38
2.6 Các trưòng hop (5, 0) và (≥ 7, 5, 0)................................................40
2.6.1 Các trưòng hop (5, 0) và (8, 5, 0).........................................40
2.6.2 Trưòng hop (7, 5, 0).............................................................40

2.7 Các trưòng hop riêng..........................................................................41
2.7.1 Trưòng hop (5,1)......................................................................41
2.7.2 Trưòng hop (6,1)......................................................................42
2.7.3 Các trưòng hop (6,2) và (7,1)..................................................43
2.8 Các trưòng hop (5, ≥ 2).................................................................43
1


2.8.1 M®t quan sát cơ ban...............................................................43
2.8.2 Các trưịng hop (5, ≥ 2).......................................................46
2.9 Các trưòng hop (6, ≥ 4).................................................................48
2.9.1 TW X ∩ TXY
∅...............................................................49
2.9.2 TW X ∩ TXY = ∅.................................................................51
2.10 Các trưòng hop (≥ 7, ≥ 5, ≥ 1).....................................................52
2.10.1 Quy tac 1................................................................................53
2.10.2 Quy tac 2................................................................................54
2.10.3 Úng dung cna Quy tac 1 và 2.................................................54
2.10.4 Quy tac 3.................................................................................56
2.10.5 Úng dung các Quy tac 1-3.....................................................58
2.10.6 Trưòng hop (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)...........................................59
2.10.7 Trưòng hop (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0)....................................... 59
2.10.8 Trưòng hop (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)....................................... 61
Ket lu¾n........................................................................................................... 65
Tài li¾u tham khao........................................................................................ 66

2


Ma đau

Năm 1935, Erdo˝s và Szekeres đã đưa ra gia thuyet sau đây (gia thuyet
Erdo˝s- Szekeres): MQI t¾p khơng ít hơn 2n−2 + 1 điem trên m¾t phang o v% trí
tőng qt (khơng có ba điem nào thang hàng) đeu chúa n điem là đinh cna m®t
đa giác loi. Gia thuyet Erdo˝s-Szekeres có ý nghĩa triet HQc sâu sac: Tù mđt tắp
hop hon đn, khụng cú trắt tn, n lún (t¾p các điem bat kì trên m¾t phang), ta có
the tỡm oc mđt tắp con cú cau trỳc ep (a giác loi).
Kí hi¾u ES(n) là so điem o v% trí tőng quát nho nhat mà tù đó ta có the cHQN ra
n điem là đinh cna n-giác loi. Khi ay, gia thuyet Erdo˝s-Szekeres nói rang ES (n)
= 2n−2 + 1.

Bat chap sn co gang cna hàng trăm nhà toán HQc đã viet hàng trăm bài báo, gia
thuyet Erdo˝s-Szekeres mói chi đưoc chúng minh cho các trưòng hop n = 3, 4,
5, 6. Trưịng hop n = 6 mói đưoc chúng minh gan đây (2006) boi Szekeres và
Peters nhị máy tính.
Trên con đưòng chúng minh gia thuyet Erdo˝s-Szekeres, nhieu phương pháp và
bài tốn mói đã xuat hi¾n.
Năm 1978 [xem 5], Erdo˝s đã phát bieu m®t bài tốn mói, đó là Bài tốn Erdo˝s ve
đa giác loi rong: Cho n là m®t so tn nhiên bat kì. Ton tai hay khơng so
ngun dương nho nhat E(n) sao cho tù MQI t¾p chúa toi thieu E(n) điem o v%
trí tőng qt trên m¾t phang, đeu có the cHQN ra đưoc n điem là đinh cna m®t đa
giác loi rong (đa giác khơng chúa điem nào cna t¾p đã cho bên trong nó).
Bài tốn này đã thu hút nhieu nhà nghiên cúu hình HQc tő hop trên the giói. Năm
1978, Harborth đã chúng minh E(5) = 10. Năm 1983, vói MQI n, Horton đã
xây dnng t¾p (sau này đưoc GQI là t¾p Horton), mà tù đó khơng the lay ra đưoc đa
giác loi rong bay đinh. Như v¾y, chi cịn phai nghiên cúu vói trưòng hop n = 6.
Năm 2003, Overmars đã chúng minh, neu E(6) ton tai thì E(6) ≥ 30.
Năm 2008, Gerken đã chúng minh E(6) ≤ ES(9) và tù đó suy ra ES(6) ton tai và
ta có đánh giá 30 ≤ E(6) ≤ 1717.
Nhieu ngưòi tin rang, E(6) = 30. Tuy nhiên, gia thuyet này cho đen nay van
chưa đưoc chúng minh.

Lu¾n văn Ve lnc giác loi rőng có muc đích trình bày tőng quan ve bài tốn Erdo˝s-


Szekeres và bài tốn Erdo˝s đong thịi trình bày chúng minh chi tiet bài báo cna
Gerken ve đánh giá E(6) ≤ ES(9).
Lu¾n văn gom hai Chương:
Chương 1 trình bày tőng quan ve gia thuyet Erdo˝s-Szekeres.
Chương 2 trình bày cách chúng minh E(6) ≤ ES(9) cna Gerken (năm 2008).
Lu¾n văn đưoc hồn thành tai trưịng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên, Đai HQc Quoc
gia Hà N®i dưói sn hưóng dan cna PGS. TS. Ta Duy Phưong- Vi¾n Tốn HQc. Tơi
xin bày to lịng biet ơn sâu sac tói Thay hưóng dan. Tôi xin đưoc cam ơn Khoa
sau đai hQc, các Thày Cơ trưịng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên, Đai HQc Quoc gia
H Nđi v Viắn Toỏn HQc ó nhiắt tỡnh truyen thu kien thúc và tao đieu ki¾n giúp
đõ tơi hồn thành khóa Cao HQc. Và cuoi cùng, xin cam n Gia ỡnh ó đng viờn
v khớch lắ tụi rat nhieu trong thịi gian nghiên cúu và HQc t¾p.


Chng 1
TONG QUAN VE BI TON
ERDOă S VE A GIC LOI
RŐNG
1.1

Bài toán 1

Vái mői so tn nhiên n ≥ 3 , hãy xác đ%nh so nguyên dương nhó nhat ES(n)
sao cho MQI t¾p tao thành tù toi thieu ES(n) điem trên m¾t phang á v% trí
tőng qt phai chúa n điem là đsnh cua m®t đa giác loi.
Bài tốn 1 đưoc phát bieu vào năm 1935 và sau này đưoc GQI l Bi toỏn
Erdăos- Szekeres. Erdăos ó GQI bi toỏn này là bài tốn có ket hanh phúc (happy

end problem hay happy ending problem), vì khơng lâu sau khi bài bỏo oc in ra
(1935), Gyăorgy Szekeres v Esther Klein ó tő chúc đám cưói (1937) và song
hanh phúc bên nhau 60 năm.
Bài toán 1 đã đưoc tách ra thành hai bài tốn:

1.1.1

Bài tốn 1a

Ton tai hay khơng ton tai so ES(n)?

1.1.2

Bài tốn 1b

Neu so ES(n) ton tai thì xác đ%nh ES(n) như m®t hàm cua n.
Sn ton tai so ES(n) có the đưoc chúng minh bang hai cách. Cách thú nhat do
Szekeres chúng minh không lâu sau khi E. Klein phát bieu bài tốn, dna trên đ%nh
lí Ramsey (mà Ơng đã tn tìm lai do khơng biet đ%nh lí này). Tù đó ta có bat đang
thúc ES(n) ≤ R4 (n, 5) , trong đó R4 (n, 5) là so Ramsey. Tuy nhiên, đánh giá này
là quá lón so vói thnc te. Thí du, vói n = 5 thì ES(5) ≤ 210000 quá xa so vói ES(5)
= 9. Cách thú hai do Erdăos chỳng minh dna trờn mđt so quan sỏt hình HQc và
ket qua ta đưoc m®t đánh giá tot hơn ES(n) ≤ C 2n−4 + 1. Như v¾y, bài toán
n
1a đã
−


đưoc tra lòi khang đ%nh.

Rõ ràng ba điem không thang hàng là đn đe tao ra m®t tam giác nên ES(3) = 3.
Dưói đây ta xét m®t so trưịng hop cu the cna bài tốn vói n = 4, 5, 6.

1.1.3

Bài tốn 1.1

(E. Klein) Tù năm điem bat kỳ trên m¾t phang á v% trí tőng quát bao già cũng
CHQN đưac bon điem là đsnh cua m®t tú giác loi.
Đây cũng ket qua cho bài tốn 1 trong trưịng hop n = 4. Bài tốn đã đưoc E.Klein
chúng minh vào năm 1932.
ChÉng minh Trưóc tiên ta nh¾n thay, ton tai bon điem khơng tao thnh mđt tỳ
giỏc loi (Hỡnh 1.1).

Hỡnh 1.1
Vắy so iem m tù đó có the tao thành tú giác loi phai khơng ít hơn 5. Xét
bao loi cna năm điem (t¾p loi nho nhat chúa năm điem đã cho) o v% trí tőng
qt. Chi có ba kha năng khác nhau sau đây.
• Kha năng 1 (Hình 1.2):

Hình 1.2
Bao loi cna năm điem là m®t ngũ giác ABCDE. Khi ay MQI b® bon điem tù
năm điem ay đeu tao thành tú giác loi (và điem cịn lai nam ngồi tú giác loi đó).
Trong


trưịng hop này ta có tat ca C4 = 5 tú giác loi. Đó chính là các tú giác ABCD,
5
ABCE, ABDE, ACDE, BCDE. Tat ca các tú giác này đeu khơng chúa điem cịn

lai (điem thú năm nam bên ngồi tú giác). Ta GQI các tú giác loi này là tú giác loi
rőng.
Ngồi ra, ta có tat ca 10 tam giác đưoc tao thành tù năm điem A, B, C, D, E
(ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE). Và tat ca các tam
giác này đeu là các tam giác rőng.
• Kha năng 2 (Hình 1.3):

Hình 1.3
Bao loi là m®t tú giác chúa m®t điem cịn lai o bên trong. Trong trưịng hop
này ta có m®t tú giác loi (kớ hiắu l ABCD) chỳa mđt iem E o bên trong. Tú giác
ABCD (chi chúa đúng m®t điem E o bên trong) đưoc GQI là tú giác gan rőng. Vì
khơng có ba điem nào thang hàng nên E phai nam ve cùng phía vói B (ho¾c vói
D) cna đưịng thang AC. Do đó ta có tú giác AECD (ho¾c ABCE) là tú giác loi
rong, cịn tú giác ABCE (ho¾c tương úng AECD) là tú giác lõm. Tương tn,
điem E phai nam cùng phía vói A (ho¾c vói C) cna đưịng chéo BD. Khi ay tú
giác BEDC (ho¾c tú giác ABED) là tú giác loi rong và tú giác ABED (ho¾c tú
giác BCDE) là tú giác lõm. Như v¾y, trong Trưịng hop 2 ta có hai tú giác loi
rong, m®t tú giác loi gan rong và hai tú giác lõm.
Ngoài ra, trong trưịng hop này, ta có tat ca 10 tam giác đưoc tao thành tù năm
điem A, B, C, D, E. Đó là các tam giác: ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE,
BCD, BCE, BDE, CDE. Trong đó tat ca 6 tam giác có đinh E đeu là tam giác
rong (khơng chúa hai điem cịn lai bên trong). Vì khi ke đưịng chéo AC (ho¾c
BD) cna tú giác loi ABCD thì do các điem khơng thang hàng nên E phai nam
trong mđt trong hai tam giỏc ABC hoắc ACD (ABD ho¾c BCD). Như v¾y ta
có hai tam giác gan rong (chúa điem E) và thêm hai tam giác rong nua.
• Kha năng 3 (Hình 1.4):


Hình 1.4
Bao loi chúa ba điem tao thành tam giác, thí du, ABC. Hai điem cịn lai E và

D nam bên trong tam giác. Do khơng có ba điem nào thang hàng (các điem o
v% trí tőng quát) nên hai điem E và D xác đ%nh m®t đưịng thang chia m¾t
phang tam giác ABC thành hai phan sao cho có hai đinh cna tam giác ABC, thí
du, A và B, nam trờn cựng mđt nua mắt phang mo. Hai iem E và D cùng vói
A và B tao thành m®t tú giác loi rong ABDE. Tú giác này là tú giác loi duy nhat.
Bon tú giác ABDC, ABEC, BDCE, ADCE cịn lai là các tú giác lõm.
Ngồi ra, ta có tat ca 10 tam giác đưoc tao thành tù năm điem A, B, C, D, E.
Đó là các tam giác: ABC (chúa hai điem bên trong), ACD và BEC chúa m®t
điem bên trong (tam giác gan rong). Bay tam giác còn lai ABD, ABE, ACE,
ADE, BCD, BDE, CDE là các tam giác rong.

1.1.4

Bài tốn 1.2

Vái chín điem cho trưác á v% trí tőng qt (khơng có ba điem nào thang hàng)
bao già ta cũng tìm đưac năm điem tao thành m®t ngũ giác loi.
Theo Erdo˝s và Szekeres, cơng thúc ES(5) = 9 đã đưoc Endre Makai chúng minh.

Hình 1.5
Tuy nhiên khơng có bài viet nào cna E. Makai trình bày chúng minh đó, mà chi
có phan ví du cna E. Makai (Hình 1.5, xem [6]) chi ra rang ton tai tám điem mà


khơng có năm điem nào trong so đó tao thành ngũ giác loi, túc là ES(5) ≥ 9
(xem [6]).
Bài toán 1.2 đã đưoc Hồng Chúng giói thi¾u vói ban ĐQc Vi¾t Nam trong Tốn
HQc và Tuői tre so 4, tháng 2 năm 1967. Ngay sau đó cơng thúc ES(5) = 9 đã
đưoc Đồn Huu Dũng chúng minh trong Tốn HQc và Tuői tre so 6 tháng 6, 1967.
Hồn tồn đ®c l¾p (nhưng cùng phương pháp) vói Đồn Huu Dũng, cơng thúc này

cũng đưoc chúng minh boi Bonnice năm 1974.
Dưói đây chúng tơi trình bày chúng minh chi tiet cơng thúc ES(5) = 9, ket hop
ca phương pháp hình HQc, (xem [1]) cna Đoàn Huu Dũng (su dung các đa giác loi
bao nhau) và ngơn ngu cau hình cna Bonnice (xem [3]).
ChÉng minh (Đoàn Huu Dũng, 1967; Bonnice, 1974) Lay bao loi cna 9
điem bat kỳ. GQI moi trưòng hop (kha năng) có the xay ra là m®t cau hình. Đe
phân loai các cau hình, ta xét các đa giác loi bao nhau, túc là đau tiên lay bao
loi cna 9 điem, bao loi chi có the là đa giác 9; 8; 7; 6; 5; 4; 3 đinh. Các điem còn
lai bên
trong bao loi tương úng se là 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. Khi so điem còn lai bên trong
bao loi lón hơn 3, ta lai lay bao loi cna các điem này đe đưoc các đa giác loi.
Chi có duy nhat m®t trưịng hop ba tam giác bao nhau. Các trưịng hop cịn lai
chi có the là hai hoắc mđt a giỏc bao nhau (cú the chỳa mđt ho¾c hai điem
trong).
Ta đưoc tat ca 12 cau hình khác nhau sau đây:
Trưàng hap 1 (Hình 1.6a) Cau hình (9;0): Bao loi là đa giác loi 9 đinh. MQI t¾p
năm đinh đeu tao thành ngũ giác loi (th¾m chí loi rong).
Trưàng hap 2 (Hình 1.6b) Cau hình (8;1): Bao loi là đa giác loi 8 đinh, m®t
điem cịn lai nam trong đa giác. Do khơng có ba điem nào thang hàng nên
năm đinh bat kì cna bao loi tao thành ng giỏc loi (cú the rong hoắc chỳa mđt
iem trong).
Trng hap 3 (Hình 1.6c) Cau hình (7;2): Bao loi là đa giác loi 7 đinh, hai
điem còn lai nam trong đa giác. Do khơng có ba điem nào thang hàng nên
năm đinh bat kì cna bao loi tao thành ngũ giỏc loi (cú the rong, chỳa mđt hoắc
hai iem trong).


Hình 1.6 Các cau hình (9,0), (8,1), (7,2)
Trưàng hap 4 (Hình 1.7a) Cau hình (6;3): Bao loi là đa giác loi 6 đinh, ba
điem còn lai tao thành tam giác nam trong bao loi. Năm đinh bat kì cna bao loi

tao thành ngũ giác loi (có the rong, chúa m®t, hai điem ho¾c ba điem trong).
Trưàng hap 5 (Hình 1.7b) Cau hình (5;4) ho¾c (5;3;1): Bao loi là ngũ giác loi,
bon điem cịn lai nam trong đa giác. Ta có san ngũ giác loi chúa 4 điem trong.
Trưàng hap 6 (Hình 1.7c) Cau hình (4;5): Bao loi là tú giác loi, năm điem còn
lai tao thành đa giác loi. Ta có san ngũ giác loi rong (nam trong tú giác).

Hình 1.7 Các cau hình (6,3), (5,4), (4,5)

Hình 1.8 Các cau hình (3,6), (3,5,1)


Trưàng hap 7 (Hình 1.8a) Cau hình (3;6): MQI b® 5 trong 6 đinh cna luc giác
loi tao thành các ngũ giác loi nam trong tam giác bao loi ngoài.
Trưàng hap 8 (Hình 1.8c) Cau hình (3;5;1): Ngũ giác loi (chúa m®t điem
trong và nam trong tam giác bao loi ngồi) đã có san.
Nh¾n xét 1 Như v¾y, ta cịn lai bon cau hình (4, 4, 1), (4, 3, 2), (3, 4, 2) và (3, 3,
3)

chưa xét.

Hình 1.9 Các cau hình (4,4,1), (4,3,2)

Hình 1.10 Các cau hình (3,4,2), (3,3,3)
Cau hình (3, 3, 3) tro ve cau hình (3, 3, 2) neu bo đi m®t đinh cna tam giác
trong cùng. Cau hình (4, 3, 2) tro ve cau hình (4, 3, 1) neu bo đi m®t trong hai
điem trong. Cau hình (4, 4, 1) tro ve cau hình (4, 3, 1) neu bo đi m®t đinh cna
tú giác trong sao cho ba inh cũn lai van chỳa mđt iem trong. Vắy ta chi cịn
phai chúng minh các cau hình (3, 3, 2), (3, 4, 2) và (4, 3, 1) chúa ngũ giác loi.
Bo đe 1.1 MQI t¾p Ω gom tám điem trên m¾t phang o v% trí tőng qt có cau
hình (4,3,1) chúa ngũ giác loi.

ChÉng minh Bao loi conv(Ω) cna Ω (là tú giác loi ngoài cùng) chúa tam giác
ABC.


Tam giác ABC lai chúa điem P bên trong. Ke các nua đưòng thang PA, PB,
PC . Các nua đưòng thang này chia m¾t phang thành ba mien loi đóng: mien
(I) giói han boi hai tia PA và PB; mien (II) giói han boi hai tia PB và PC; mien
(III) giói han boi hai tia PC và PA (Hình 1.11).

Hình 1.11 Cau hình (4,3,1)
Vì đa giác ngồi là tú giác gom bon đinh nên theo nguyên lí Dirichlet, ton tai
ít nhat mđt trong ba mien mo (I), (II) hoắc (III) chúa hai đinh, thí du mien (I)
giói han boi hai tia PA và PB chúa hai điem R và Q. Khi ay A, B, P cùng vói R
và Q tao thành ngũ giác loi.
Bo đe 1.2 MQI t¾p Ω gom tám điem trên m¾t phang o v% trí tőng qt có cau
hình (3, 3, 2) đeu chúa ngũ giác loi.
ChÉng minh Bao loi convΩ cna Ω là tam giác MNP chúa tam giác ABC, E
và F là hai điem nam trong tam giác ABC. Các nua đưòng thang FA, FB, EA,
EC chia m¾t phang thành ba mien: mien (I) giói han boi hai tia EA, EC; mien
(II) giói han boi hai tia FA, FB; mien (III) giói han boi tia FB, đoan FE và tia
EC.

Hình 1.12 Cau hình (3,3,2)
Neu convΩ (tam giác MNP) có m®t đinh, thí du M, nam trong mien (III) thì nó
tao vói các điem B, F, E, C m®t ngũ giác loi. Neu ca ba đinh cna tam giác MNP
khơng nam trong mien (III) thì MNP phai có ít nhat hai đinh nam trong mien (I)


ho¾c mien (II) (Hình 1.12). Túc là ton tai ít nhat mđt mien (I) hoắc (II) chỳa
hai inh cna tam giác bao ngồi MNP. Hai đinh này tao vói ba iem A, F, B

(hoắc A, E, C) mđt ng giỏc loi.
Bo đe 1.3 MQI t¾p Ω gom chín điem trên m¾t phang o v% trí tőng qt có cau
hình (3,4,2) đeu chúa ngũ giác loi.
ChÉng minh Bao loi convΩ cna Ω là tam giác MNP bao tú giác ABCD chúa
hai điem E, F bên trong. Các nua đưòng thang FA, FB, EC, ED chia m¾t
phang thành bon mien loi đóng. Neu có m®t đinh (thí du, N) cna MNP nam
trong mien
(I) giói han boi đoan thang FE và hai tia FA, EC (ho¾c nam trong mien (II) giói
han boi đoan thang FE và hai tia FB, ED) thì N cùng vói A, F, E, C (ho¾c B, F,
B, D) tao thành m®t ngũ giác loi (Hình 1.13).

Hình 1.13 Cau hình (3,4,2)
Neu khơng có đinh nào cna tam giác MNP nam trong mien (I) hoắc mien
(II) thỡ ớt nhat mđt trong hai mien (III) (giói han boi hai tia FA và FB) ho¾c (IV)
(giói han boi hai tia EC và ED) phai chúa hai đinh cna tam giác MNP. Thí du, Q
và R nam trong mien (III). Khi ay A, F, B và Q, R tao thành m®t ngũ giác loi
(Hình 1.13).
Vì các cau hình (4, 4, 1), (4, 3, 2), (3, 4, 2) và (3, 3, 3) qui đưoc ve các trưịng hop
cau
hình (4, 3, 1), (3, 4, 2) và (3, 3, 2) nên ta đã xét tat ca các trưịng hop có the
xay ra vói chín điem. Do đó ta có ket lu¾n: Tù chín điem bat kì trên m¾t
phang á v% trí tőng qt ln có the CHQN ra năm điem tao thành ngũ giác loi.
Nh¾n xét 1.2 Có the xay ra trưịng hop tú giác ABCD chúa hai điem E, F
bên trong khơng có tam giác nào cna tú giác ABCD chúa ca hai điem E và F
bên trong (khi đoan EF cat ca hai đưòng chéo sao cho hai điem E và F nam o
hai phía cna moi đưịng chéo, Hình 1.13) nên cau hình (3, 4, 2) nói chung
khơng đưa đưoc ve cau hình (3, 3, 2).


Lài bình Khái ni¾m đa giác loi bao nhau lan đau tiên

Dũng đưa ra và khái ni¾m cau hình do Bonnice su dung là hai
và đưoc rat nhieu tác gia (T. Gerken, V. Koselev,...) sau này su
báo cna Đoàn Huu Dũng trong Tốn HQc và Tuői tre khơng
nưóc ngồi biet đen.

1.1.5

đưoc Đồn Huu
khái ni¾m cơ ban
dung, m¾c dù bài
đưoc các tác gia

Bài tốn 1.3

MQI t¾p ít nhat 17 điem á v% trí tőng qt trên m¾t phang đeu chúa sáu
điem là đsnh cua lnc giác loi. Nói cách khác, ta phai chúng minh công
thúc ES(6) = 26−2 + 1 = 17.
Bài tốn 1.3 là trưịng hop riêng cna Bài tốn 1 khi n = 6. Tuy nhiên, trưòng
hop cu the ny cna Bi toỏn ErdăosSzekeres cng ó thỏch thỳc cỏc nhà tốn
HQc trong 70 năm. Nó chi vùa mói đưoc G. Szekeres và L. Peters chúng
minh năm 2006 bang máy tính (vói 300 giị chay máy, xem [15]). Nó cũng đưoc
ba tác gia Dehnhardt, Harborth, và Lángi chúng minh không su dung máy tính
năm 2009 (xem [4]), nhưng chi trong trưịng hop khi đa giác bao ngồi cũng là
ngũ giác loi. Trưịng hop khi đa giác bao ngồi là tú giác loi ho¾c tam giác van
chưa đưoc chúng minh.
Dna trên các đang thúc ES(3) = 3 , ES(4) = 5 và ES(5) = 9, Erdo˝s và Szekeres đưa
ra gia thuyet sau õy.
Gia thuyet (ErdăosSzekeres, 1935) Vúi moi so tn nhiờn n ≥ 3 , MQI t¾p có
toi thieu ES (n) = 2n−2 + 1 điem trên m¾t phang o v% trí tőng qt, đeu chúa n
điem là đinh cna m®t đa giác loi n canh.

Như v¾y, theo chúng minh cna E. Klein, ES(4) = 5. Makai đã đưa ra ví du
tám điem không chúa năm điem nào tao thành ngũ giác loi. Do đó, ES(5) ≥
9. Lan đau tiên cơng thúc ES(5) = 9 đã đưoc Đoàn Huu Dũng chúng minh. Vói
m®t vài thay đői nho trong trình bày, lịi giai này đã đưoc Hồng Đúc Tân giói
thi¾u lai trong Tap chí Tốn HQc và Tuői tré, so 174, tháng 4 năm 1990. Bài báo
cna Hoàng Đúc Tân đã đưoc in lai trong Tuyen CHQN theo chuyên đe Toán HQc
và Tuői tré, Quyen 4, Nhà xuat ban Giáo duc, 2008, trang 183-185. Chúng
minh cna Đoàn Huu Dũng cũng đã đưoc đưa vào các cuon sách: Hồng Chúng,
Lê Đình Phi, Quoc Trinh, Tốn CHQN LQc cap III, T¾p I (Hình HQc), Nhà xuat ban
Giáo duc, 1970, Bài t¾p 22, trang 9; Lịi giai trang 48-53; Phan Huy Khai, Các
bài tốn hình HQc tő hap, Nhà xuat ban Giáo duc, 2007, trang 116-120; Phan
Huy Khai, Giai tích loi


và các bài toán sơ cap, Nhà xuat ban Giáo duc, 2007, trang 163-167. Gia
thuyet ErdăosSzekeres cng oc giúi thiắu trong: Nguyen Bỏ ụ, ắng
Hựng Thang, Hong Vn Trung, Mđt so van đe toán HQc chưa giai quyet
đưac, Nhà xuat ban Giáo duc, 2007, trang 190-194. Trên các tài li¾u nưóc ngồi,
cơng thúc ES(5) = 9 lan đau tiên đưoc Kalbfleisch và Stanton chúng minh năm
1970 (xem [10]). Tuy nhiên, cách chúng minh khá cong kenh, do đó cơng thúc
ES(5) = 9 đã đưoc Bonnice chúng minh năm 1974 và Lovász năm 1979 chúng
minh theo cách đơn gian hơn. Cách chúng minh cna Bonnice ve cơ ban trùng vói
cách chúng minh cna Đồn Huu Dũng. Như v¾y, vói n = 5 ta có cơng thúc ES(5)
= 9 đã đưoc chúng minh ngan gQN boi Đoàn Huu Dũng vào năm 1967 và Bonnice
vào năm 1974 (như đã chúng minh o trên).
Cùng phương pháp giai cho trưòng hop n = 5, nhưng vì phai rà sốt rat nhieu
kha năng, nên mãi cho túi nm 2006, sau 70 nm khi gia thuyet ErdăosSzekeres
oc phát bieu, su dung kĩ thu¾t đánh dau theo hưáng cna b® ba điem đe loai
bót các trưịng hop, trưịng hop n = 6 mói đưoc Szekeres và Peters giai quyet
trên máy tính và chưa có lịi giai TRQN ven m khụng dựng mỏy tớnh.

Nm 1961, ErdăosSzekeres ó chỳng minh ES(n) ≥ 2n−2 + 1 là đat đưoc theo nghĩa
c¾n dưói. Vói MQI n ton tai t¾p 2n−2 điem o v% trí tőng qt trên m¾t phang mà
tù đó khơng the lay ra đưoc n điem tao thành n-giác loi. Vỡ gia thuyet Erdăos
Szekeres cha oc chỳng minh nờn mđt loi đi là tìm cách đánh giá trên và đánh
giá dưói so ES(n). Đánh giá tot nhat hi¾n nay là
2n−2 + 1 ≤ ES(n) ≤
C n−2
2n

+ 1.

−

Như v¾y, cho tói nay, gia thuyet ErdăosSzekeres van cũn l thỏch thỳc oi
vúi các nhà toán HQc. Gia thuyet này đưoc Ron Graham, mđt chuyờn gia lún
cna lớ thuyet o th%, ắt giai thưong 1000 USD. Ngay tù năm 1935, đe chúng minh
sn ton tai so N (n), G. Szekeres đã su dung đ%nh lí Ramsey (1930), m®t đ%nh lí
női tieng do có tính ban chat và có nhieu úng dung. Đieu này chỳng to moi quan
hắ sõu sac giua mđt bi toỏn hình HQc cu the vói các kien thúc tốn HQc tng
quỏt. %nh lớ Ramsey v %nh lớ ErdăosSzekeres (ve sn ton tai huu han cna so
N (n)) cùng có chung m®t ban chat triet HQ c sâu sac: Tù m®t cau trỳc hon đn,
khụng cú trắt tn (tắp cỏc iem trên m¾t phang, t¾p các ngơi sao trên bau trịi,
t¾p các so ngun to, m®t đo th% bat kì,...), nhưng n nhieu phan tu, cú the cHQN
ra oc mđt tắp có cau trúc đep (t¾p các điem tao thành đa giác loi, t¾p các
ngơi sao hình con gau (ơng Than Nơng, gau tát nưóc,...), dãy so ngun to tao
thành cap so c®ng, đo th% đơn sac,...). Gan đây, gia thuyet ErdăosSzekeres ó
giỳp chỳng minh mđt trũng hop cna gia thuyet big-clique line trong lí thuyet đo
th%. Trên con đưịng tìm cỏch chỳng minh gia thuyet ErdoăsSzekeres, cỏc nh
toỏn HQc cng đã phai su dung

nhieu kien thúc liên quan (Đ%nh lí Ramsey, giai tích, hỡnh HQc t hop,...). Bi toỏn
ErdăosSzekeres ó oc mo rđng theo nhieu hưóng khác nhau: thay các điem
trên m¾t phang bang các điem trong khơng gian ho¾c thay các điem thành các
t¾p loi ho¾c the loi; nghiên cúu sâu hơn ve cau trúc hình HQc cna t¾p các điem
(đa giác loi rong, đa giác loi gan rong, đa giác loi chúa k điem,...); quan h¾ giua
so các đa giác loi k đinh trong t¾p hop n điem (trên m¾t phang hoắc trong
khụng gian), tự
ú mđt so bi toỏn v gia thuyet mói đã đưoc phát bieu. Bài tốn Erdo˝s-Szekeres
nh¾n đưoc sn quan tâm r®ng rãi cna các nhà tốn HQc. Đã có đen vài trăm bài báo
viet ve gia thuyet này và nhung bài toán liên quan (xem danh muc tài li¾u ve gia
thuyet Erdo˝s-Szekeres và gia thuyet Erdo˝s ve đa giác loi rong trong [2], [12]).

1.2

Bài toán 2

Cho n là m®t so tn nhiên bat kì, n ≥ 3. Hãy xác đ%nh so nguyên dương nhó
nhat E(n) neu nó ton tai, sao cho tù MQI t¾p X chúa toi thieu E(n) điem á v% trí
tőng qt trên m¾t phang, đeu có the CHQn ra đưac n điem là đsnh cua m®t đa
giác loi rőng (đa giác khơng chúa bat kì điem nào cua X bên trong nó).
Bài tốn trên đã đưoc P. Erdo˝s phát bieu vào năm 1978 và cịn đưoc GQI là bài
tốn ve đa giác loi rong.
Trưàng hap n = 3: De thay E(3)=3.
Trưàng hap n = 4: Dna vào bài tốn 1.1 ta có E(4)=5.
Trưàng hap n = 5: Năm 1978, Harborth đã chúng minh rang E(5) = 10, túc là
tù mưịi điem o v% trí tőng quát có the chQn ra đưoc năm điem tao thành ngũ giác
loi rong.
Bat đang thúc E(5) ≥ 10 suy ra tù Hình 2.1a và Hình 2.1b, trong đó t¾p chín điem
o v% trí tőng qt khơng chúa năm điem nào tao thành ngũ giác loi rong (có

hai ngũ giác loi, nhưng ca hai đeu khơng rong).

Hình 2.1a T¾p 9 điem cna Harborth


Hình 2.1b T¾p 9 điem cna Avis và Rappaport
Goodman và Pollack (1982, 1983) đã đưa vào khái ni¾m đánh dau theo
hưáng cna b® ba điem. Bang máy tính, Avis và Rappaport (1986) đã tìm ra ví
du t¾p gom 9 điem khơng có ngũ giác loi rong (Hình 2.1b), khác vói ví du trên
cna Harborth theo nghĩa: Trong hai ví du này, t¾p các điem là khác nhau theo
cách đánh dau theo hưóng theo Goodman và Pollack.
Trưàng hap n ≥ 7: Vói MQI n ≥ 7, Horton (1983) đã xây dnng ví du t¾p vói n
điem o v% trí tőng qt không chúa đa giác giác loi rong bay đinh nào. Như v¾y,
E(n) khơng ton tai vói MQI so tn nhiên n ≥ 7. Horton đã xây dnng m®t cách
giai tích t¾p Sk trên m¾t phang gom 2k (k ≥ 1) điem o v% trí tőng qt khơng
chúa đa giác loi rong bay đinh.
Trưàng hap n = 6: Như v¾y, bài toán ve đa giác loi rong đã đưoc giai cho n ≤ 5
và n ≥ 7. Vói n = 6, Horton nhac lai câu hoi cna Erdo˝s ve đa giác rong như sau.
Bài toán 2.1 E(6) là huu han hay vơ han?
Có rat nhieu co gang đe chúng minh sn ton tai cna E(6). Horton bieu l® sn tin
tưong rang E(6) ton tai. Nicolỏs (2007) v Gerken (2008) đc lắp nhau đã chúng
minh rang MQI t¾p đn lón các điem o v% trí tőng qt trên m¾t phang chúa luc
giác loi rong. Ta có
Đ%nh lí 2.1 (Ton tai luc giác loi rong) Ton tai m®t so nguyên E(6) sao cho
MQI t¾p vái toi thieu E(6) điem á v% trí tőng qt trên m¾t phang có lnc giác loi
rőng.
Ca hai cách chúng minh cna Nicolás và Gerken đeu đưa đen vi¾c xét quan
h¾ giua luc giác loi rong và k –giác (đa giác k đinh) loi lón hơn cùng vói vi¾c
xét các

láp đa giác loi bao nhau nam bên trong k –giác loi. Trong khi Nicolás đã cho m®t
chúng minh đơn gian E(6) ≤ ES(25) thì Gerken phân tích thau đáo hơn (xét
57 trưòng hop) đe chi ra rang E(6) ≤ ES(9). Trên thnc te Gerken đã chúng minh
rang MQI 9-giác loi (đa giác loi 9 đinh) đeu chúa luc giác loi rong. Đây là m®t
đánh giá tot nhat theo nghĩa ton tai mđt tắp cú bao loi l 8giỏc khụng chúa luc
giác rong (Overmas, 2003). Valtr (2006) đã đơn gian hóa chúng minh cna Gerken
nhưng cho đánh giá kém hơn: E(6) ≤ ES(15) thay vì E(6) ≤ ES(9).
H¾ qua MQI t¾p điem trên m¾t phang o v% trí tőng qt chúa khơng ít hơn 1717
điem đeu chúa luc giác loi rong.
ChÉng minh
Khi n = 6, tù đánh giá
E(6) ≤ ES(9) ≤
C7

1
3

+1
=

13
!
7!
6!

+1=

8.9.10.11.12.13

+ 1 = 1717.

2.3.4.5
.6

Suy ra, MQI t¾p chúa khơng ít hơn 1717 điem đeu chúa luc giác loi rong.
Hơn nua, neu gia thuyet Erdo˝s–Szekeres đúng, thì E(6) ≤ ES(9) = 129.
Bang cách phân tích kĩ các trưịng hop đa giác loi bao nhau, Koselev (2007) đã
chúng minh E(6) ≤ max {ES(8), 400} ≤ 463 (tương úng, E(6) ≤ 65 neu gia
thuyet Erdo˝s–Szekeres đúng). Như v¾y, ta có
Đ%nh lí 2.2 (Đánh giá trên cho luc giác loi rong, Koselev, 2007) MQI t¾p có
toi thieu 463 điem á v% trí tőng qt trên m¾t phang đeu chúa sáu điem tao thành
lnc giác loi rőng.
Co gang tìm đánh giá dưói cna E(6), Chvátal v Klincsek (1980) ó xõy dnng
mđt thuắt toỏn cú đ phúc tap O(n3) đe xác đ%nh t¾p con loi lón nhat cna
t¾p n điem trên m¾t phang. Cai tien phương pháp cna Chvátal và Klincsek,
Rappaport (1985), Avis và Rappaport (1986) ó xõy dnng mđt thuắt toỏn cú
đ phỳc tap O(n3) ve thịi gian và O(n2) ve khơng gian đe tìm tắp con (cna
mđt tắp n iem trờn mắt phang o v% trí tőng qt) xác đ%nh đa giác loi rong
lón nhat. Bang cách su dung thu¾t tốn này, Avis và Rappaport đã tìm ra t¾p
15 điem khơng có ngũ giác loi rong. Thờm mđt iem vo tắp 15 iem trờn và
chay lai chương trình đe tìm luc giác loi rong. Tiep tuc như v¾y, Avis và
Rappaport đã tìm ra t¾p 20 điem o v% trí tőng qt khơng chúa luc giác loi
rong.
Bang cách cai tien ket qua cna Dobkin, Edelsbrunner và Overmars (1990),
Over- mars, Scholen và Vincent (1989) đã xây dnng mđt thuắt toỏn cú đ
phỳc tap O(n2) ve thũi gian đe giai bài toán sau đây:


Cho trưác t¾p huu han điem V trên m¾t phang không chúa lnc giác loi rőng và cho

điem z ∈/ V , hãy xác đ%nh khi nào t¾p {z} ∪ V chúa lnc giác loi rőng.
Su dung thu¾t tốn này, Overmars, Scholen và Vincent đã tìm ra t¾p gom 26
điem khơng chúa luc giác loi rong. Do đó, E(6) ≥ 27. Năm 2003, bang máy
tính, Overmars đã tìm ra 29 điem o v% trí tőng qt khơng chúa luc giác loi
rong. Như v¾y, E(6) ≥ 30.
Như trên ó trỡnh by, mđt so thuắt toỏn tỡm a giỏc loi rong vói so đinh lón
nhat xác đ%nh boi t¾p các điem cho trưóc đã đưoc xây dnng. Nhị các thu¾t
tốn này và su dung máy tính, ta có đánh giá dưói cna đai lưong E(6). Tuy
nhiên, gia thuyet sau đây van chưa đưoc chúng minh hay bác bo.
Gia thuyet 2.1 (ve luc giác loi rong) E(6) = 30.
Như trên ta thay, đánh giá tot nhat hi¾n nay là 30 ≤ E(6) ≤ 463.

1.3

Bài toán 3 (Bài toán ve ton tai đa giác chÉa k
điem trong )

Ta có the mo r®ng Bài tốn 1 và Bài tốn 2 như sau. Cho so nguyên
dương n ≥ 3 bat kỳ và m®t so dương k ≥ 0, hãy tìm so nguyên dương nhó nhat
H(n, k) sao cho tù t¾p điem X bat kỳ trên m¾t phang á v% trí tőng qt và chúa ít
nhat H(n, k) điem, có the CHQN đưac m®t tắp con gom n iem l snh cua mđt a
giỏc loi n canh chúa toi đa k điem cua X bên trong.
Hien nhiên khi k = 0 thì Bài tốn 3 chính là Bài tốn 2, túc là H(n, 0) = E(n) vói
MQI n ≥ 3. Vói các giá tr% nho cna n ta có: H(3, k) = 3; H(4, k) = 5; H(5, 0) =
E(5) = 10; H(5, k) = 9 vói MQI k ≥ 1. Đang thúc H(5, k) = 9 suy ra tù nh¾n
xét rang, MQi ngũ giác loi chúa hai điem (ho¾c nhieu hơn) bên trong ln chúa
ngũ giác loi nho hơn. Th¾t v¾y, gia su ngũ giác loi chúa hai điem ( hay nhieu
hơn, xem hình 1.7b) bên trong. Khi đó ke đưịng thang đi qua hai điem này thì

đưong thang đó se chia m¾t phang làm hai phan. Có ít nhat ba đinh cna ng
giỏc loi nam trờn mđt nua mắt phang úng. Ba điem này cùng vói hai điem đã
cho tao thành m®t ngũ giác loi nho hơn.
Su dung t¾p Horton, Sendov (1995) đã chúng minh H(n, k) khơng ton tai vói m®t
so giá tr% đ¾c bi¾t cna k và n > 7. Cu the, Sendov đã chi ra: H(9, 2), H(8,
1), H(7, 0) = E(7) không ton tai và sn ton tai các đai lưong H(7, 1); H(8, 2);
H(9, 3) còn chưa đưoc chúng minh. Tőng quát hơn, Sendov đã chúng minh
rang, neu n = 4m + r − 2, hay n = 4m+s vói s = r−2, m là so nguyên, r ∈ {0,
1, 2, 3} thì H(n, (s + 2) 2m−1 −4m−s−3)


không ton tai. Sendov cũng nêu
Gia thuyet 2.2 (Sendov, 1995)
H(n, (r + 4) 2m−1 − 4m − r) ton tai vói MQI n ≥ 6.

Ket qua tương tn cũng đã đưoc Helena Nyklová (2003) chúng minh. Hơn nua,
Nyklová đã chúng minh H(6, 5) = 19 và H(6, k) = ES(6) vói k ≥ 6. Koselev
đã cho m®t đánh giá trên cho H(6, 1) như sau.
Đ%nh lí 2.3 (Koselev,
2008)

H(6, 1) ≤ ES(7) ≤ 127.

Như v¾y, ta có 17 = E(6) ≤ H(6, 1) ≤ 127. Neu gia thuyet Erdo˝s-Szekeres
đúng thì 17 ≤ H(6, 1) ≤ ES(7) = 33. Hơn nua, ta có
Gia thuyet 2.3 (Koselev, 2008)
H(6, 1) = ES(6) = 17.

Neu gia thuyet này đúng thì H(6, 1) = H(6, 2) = H(6, 3) = H(6, 4) = H(6, 5)
= 17.

Đang thúc H(6, 5) = 17 khơng trùng vói H(6, 5) = 19 cna Nyklová. Tuy nhiên,
Koselev đã chi ra, các tính tốn cna Nyklová là thieu chính xác. Ket qua sau
đây cna Koselev là tot hơn ket qua cna Sendov khi n bat kì.
.
n−7
thì
Σ khi n chan và
2
H n, Cn−
7−
n≥7
Đ%nh lí 2.4 (Koselev, 2008) Vói
1
.
Σ
MQI
n −8
2
H n, 2Cn−
8−
1

khi n le khơng ton tai.

Theo đ%nh lí trên cna Koselev, ve m¾t ti¾m c¾n, so lưong các điem trong bang
. √4
n
(2 + o(1))n , tot hơn đánh giá
2 + o(1)
cna Sendov và Nyklová. Ta ln có

ES(n) ≤ H(n, k) ≤ E(n) , neu các
Σ so tương úng ton tai. Ta cịn có
E(n) = H(n, 0) ≥ H(n, 1) ≥ H(n, 2) ≥ ...

và ton tai so kJ = k J (n) sao cho H(n, k) = ES(n) vói MQI k ≥ kJ . Nói cách
khác, neu t¾p S chúa các điem tao thành n –giác loi thì đa giác ay chúa
khơng nhieu điem trong. Hien nhiên ta có, kJ (n) ≤ ES(n) − n , tuy nhiên, ta
chưa biet giá tr% chính xác cna k J (n) và ES(n). Câu hoi sau đây là thú v%:
Bài toán 2.4 (Koselev, 2008)


Vói giá tr% nào cna k thì H(n, k) = ES(n) ho¾c H(n, k) > ES(n)?


Vì ta chi biet ES(n) ≥ 2n−2 + 1 nên ta có the đ¾t câu hoi: Tìm giá tr% lón nhat cna
k đe H(n, k) > 2n−2 + 1. Ta có
n−2
+ 1.
||n −2 3
,n2 > 2
−
n−
Đ%nh lí 2.5 (Koselev, 2010) Neu n ≥ 6 thì
Σ
3
H
,

.n, C

1.4

Bài tốn 4

A. Bialostocki, P. Dierker , B. Voxman (1991) đã phát bieu bài toán sau đây
ve sn ton tai đa giác loi chúa modq điem trong
Cho hai so tn nhiên bat kì, n ≥ 3 và q ≥ 2. Hãy xác đ%nh so nguyên dương nhó nhat
H(n, modq), neu nó ton tai, sao cho tù MQI t¾p X có toi thieu H(n, modq)
điem á v% trí tőng qt trên m¾t phang, có the tìm đưac n điem là đsnh cua
m®t đa giác loi chúa so điem cua S trong phan trong chia het cho q .

Vói các giá tr% nho cna n, các khang đ%nh sau đây là hien nhiên:
H(3, modq) = 3; H(4, modq) = 5; H(5, modq) = H(5) = 10.

Vói n = 6 thì H(6, modq) = E(6) vói MQI q , ngoai trù m®t so huu han giá
tr%. Có the H(6, mod2) = ES(6) = 17, nhưng vói q ≥ 3 có the xây dnng t¾p
điem mà H(n, modq) > 17. Bialostocki, Dierker, Voxman đã đưa ra
Gia thuyet 2.4 So H(n, modq) ton tai vái MQI n ≥ 3 và q ≥ 2.
Gia thuyet này cho đen nay van chưa oc chỳng minh hoắc bỏc bo. Ta chi cú
mđt cụng thúc đánh giá trên như sau.
Đ%nh lí 2.8 (Bialostocki,
  Dierker, Voxman, 1991) Vái n ≥ q + 2 ta có đánh giá

H (n, modq) ≤ NR3 nJ , nJ , ..., nJ
, trong đó nJ là so tn nhiên nhú nhat
s
qá

x
J

thúa món ieu kiắn n n v nJ ≡ 2 (modq).
e đây R (l1, l2, ..., ls; 3) là so Ramsey.
Năm 1996, Caro đã nh¾n đưoc ket qua tőng qt hơn cho các điem trên m¾t
phang vói các giá tr% đưoc gán cho chúng tù nhóm Abel huu han và các đa