Luận văn thạc sĩ tính đa điều hòa dưới của nghiệm của phương trình fefferman và ứng dụng

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU
NHIÊN

NGUYEN TH± LUA

TÍNH ĐA ĐIEU HỊA DƯéI CUA NGHIfiM
CUA PHƯƠNG TRÌNH FEFFERMAN VÀ ÚNG DUNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà N®i - 2019


NGUYEN TH± LUA

TÍNH ĐA ĐIEU HỊA DƯéI CUA NGHIfiM
CUA PHƯƠNG TRÌNH FEFFERMAN VÀ ÚNG DUNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành: Tốn giai tích
Mã so: 60460102

Cán b® hưáng dan: PGS. TS. NGUYEN THAC DŨNG


LèI CAM ƠN
Đe hồn thành đe tài lu¾n văn, em xin gui lịi cam ơn sâu sac tói thay giáo
hưóng dan Nguyen Thac Dũng đã t¾n tình giúp đõ em trong suot q trình
nghiên cúu lu¾n văn và trnc tiep hưóng dan em hồn thi¾n đe tài lu¾n văn tot
nghi¾p này. Thay ln dành thịi gian và tâm huyet vào cơng vi¾c, vì the

thay ln đ¾t niem tin vào HQc trị và khơng ngùng mong moi HQc trị cna mình
ln tien b®, lĩnh h®i đưoc nhieu kien thúc.
Em cũng xin bày to lịng cam ơn tói thay giáo, cơ giáo trong khoa Tốn Cơ - Tin HQc, trưịng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên - Đai HQc Quoc gia Hà N®i
đã giang day và giúp đõ em có m®t mơi trưịng HQc t¾p tot trong suot thịi gian
HQc t¾p tai trưịng.
Cuoi cùng con xin cam ơn bo me đã ln nng hđ trong viắc HQc tắp; cam
n ban bố, anh ch% em và đong nghi¾p đã ln giúp đõ, cő v v đng viờn trong
HQc tắp, cụng viắc cng nh trong q trình hồn thi¾n lu¾n văn.Tơi xin cam ơn
anh ch% và các ban trong lóp cao HQc Tốn đã nhiắt tỡnh giỳp ừ v đng viờn
tụi trong suot quỏ trỡnh HQc tắp tai lúp.
H Nđi, ngy 21 thỏng 11 năm 2019
HQc viên

Nguyen Th% Lna

1


Mnc lnc
LèI CAM ƠN

1

LèI Me ĐAU

3

1 Kien thÉc cơ ban
1.1 Mien siêu gia loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Hàm đa đieu hịa dưói . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2 Mien gia loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Toỏn tu Laplace-Beltrami trờn a tap Kăahler . . . . . .
1.1.4 Mien siêu gia loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Công thúc xap xi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6
.
.
.
.
.
.

.6
.6
.7
.7
.9
.11

2 Phương trình Fefferman trên mien siêu gia loi và Éng dnng
16
2.1 Hàm đa đieu hịa dưói ch¾t và mieu siêu gia loi.........................17
2.2 Moi liên h¾ giua các mien siêu gia loi và các mien loi................19
2.3 Các phan ví du............................................................................23
KET LU¾N

30

Tài li¾u tham khao

31

2


LốI Me AU
Cho D l mđt mien trn, b% chắn, gia loi trong Cn, u ∈ C2(D) là m®t
hàm giá tr% thnc và H(u) là ma tr¾n Hessian phúc cõ n× n cna u. Ta biet
rang u là đa đieu hịa dưói ch¾t trong D neu H(u) xác đ%nh dương trên D.
Khi u là đa đieu hịa dưói ch¾t trong D, u cam sinh mđt metric Kăahler
n

2u

g = g[u] =

i,j=1

∂zi∂zj

(1)

dzi ⊗ dzj.

Ta nói rang metric g là Einstein neu nó có đ® cong Ricci
∂ log det[gij ]
∂zk ∂zl

Rkl = −

(2)

thoa mãn phương trình: Rkl = cgkl vói hang so c nào đó.
Khi c < 0, sau khi chuan hóa, ta có the gia su c = −(n + 1). Cheng và Yau
[2] đã chúng minh rang phương trình Monge-Ampère
.
det H(u) = e(n+1)u , z ∈
(3)
D u = +∞,
∂D

z∈

có mđt nghiắm a ieu hũa dúi chắt duy nhat u C(D). Hn nua, metric
Kăahler
n
2u
g[u] =
dzi dzj
(4)
i,j=1

zizj

cam sinh boi u l mđt metric Kăahler-Einstein n trờn D.
Khi D là gia loi ch¾t, bài tốn ton tai nghi¾m và duy nhat nghi¾m đưoc
nghiên cúu boi Fefferman [3]. Feffermann đã xét phương trình dưói dây
.
det J(ρ) = 1, z ∈ D

(5)
ρ = 0,

Σ

z∈

∂D Σ

.

3

Σ


trong đó J(ρ) =
−det

ρ

∂ρ

, ∂ρ =

(∂ρ)∗ H(ρ)

∂ρ , . . . ,
∂z 1 ∂ρ

và (∂ρ)∗
=

.

∂ρ Σ
∂ρ
,...,
.
∂z1
∂zn

∂z n

Phương trình này cũng đưoc GQI là phương trình Feffermann. Fefferman đã tìm

4

t


MUC LUC

oc mđt nghiắm < 0 trờn D sao cho u = − log(−ρ) là đa đieu hịa dưói
ch¾t trong D. Tác gia chúng minh tính duy nhat và đưa ra cơng thúc
nghi¾m xap xi cho (5).
Neu quan h¾ giua ρ và u đưoc cho boi
ρ(z) = −e−u(z), z ∈ D

(6)

thì (3) và (5) là trùng nhau. Hơn nua, có the chúng minh rang (xem [8])
det H(u) = J(ρ)e(n+1)u.

(7)

Khi D là mien trơn, b% ch¾n, gia loi ch¾t, Cheng và Yau [2] đã chúng minh
rang ρ ∈ C n+3/2 (D). Trên thnc te, ngưịi ta có ρ ∈ C n+2−G (D) vói s > 0 đn nho.
Đieu khang đ%nh này đưoc suy ra tù m®t cơng thúc mo r®ng ti¾m c¾n cho ρ thu
đưoc boi Lee và Melrose [6]:
∞
Σ

ρ(z) = r(z) .a0 (z) +

aj(rn+1log(−r))jΣ ,

(8)

j=
1

trong đó r ∈ C∞(D) là hàm xác đ%nh bat kì cho D, aj ∈ C∞(D) và a0(z) > 0 trên
∂D.

Nhieu nghiên cúu [8, 9, 13, 14] chúng to rang bài tốn dưói đây rat thú v%
và quan TRQNG.
Bài toán 0.1. Gia su D là mien trơn, b% ch¾n, gia loi ch¾t trong Cn. Cho ρ là
nghi¾m cua phương trình Fefferman (5) sao cho u = −log(−ρ) là đa đieu hịa
dưái ch¾t trong D. V¾y bő sung đieu ki¾n nào trên D thì ta có ρ là đa đieu hịa

dưái ch¾t trong D.
Bang cách giói thi¾u khái ni¾m mien siêu gia loi trong bài báo [7],
Song Ying Li ó a ra mđt ắc trng húa cho các mien D trong Cn sao
cho câu tra lòi cna bài tốn trên là đúng. Ngồi ra, tác gia cũng nghiên cúu
giá tr% cnc đai cho giá tr% riêng "nhó nhat" ("bottom of the spectrum") trên
các mien này.
Muc tiêu chính cna lu¾n văn là trình bày lai các kêt qua trong bài báo
nói trên cna Li. Lu¾n văn bao gom hai chng. Trong chng mđt, chỳng
tụi giúi thiắu lai các khái ni¾m mien gia loi, hàm xác đ%nh, tốn tu LaplaceBeltrami. Đ¾c bi¾t, chúng tơi giói thi¾u khái ni¾m mien siêu gia loi và
chúng minh m®t ket qua xap xi cho hàm xác đ%nh. Ket qua này se đưoc
dùng trong chương hai đe chúng minh các ket qua chính. Như đã nói o trên,
chương hai se t¾p trung vào phân tích các ket qua chính cna Li. Cu the,
4


MUC LUC

trong Đ%nh lý 2.2 chúng tôi chi ra rang trên các mien siêu gia loi thì lịi giai
cna Bài tốn 0.1 là ln ton tai. Ket

5


qua chính cuoi cùng trong lu¾n văn là Đ%nh lý 2.1 đưa ra các moi liên h¾
giua các khái ni¾m mien siêu gia loi và mien loi.
Do han che ve kien thúc cơ ban nên ban lu¾n văn này khơng tránh khoi
nhung thieu sót, tác gia rat mong nh¾n đưoc nhung ý kien đóng góp cna thay
phan bi¾n và ban ĐQc đe nâng cao và trau doi kien thúc cna mình. Các thao
lu¾n góp ý và trau đői đưoc tác gia cam ơn và trân TRQNG.

Chương 1
Kien thÉc cơ ban
1.1
1.1.1

Mien siêu gia loi
Hàm đa đieu hịa dưái

Trong phan này ta se đưa ra m®t so tính chat cơ ban cna hàm đa đieu
hịa dưói. Trưóc het ta se nhac lai m®t vài đ%nh nghĩa và đ%nh lý cho hàm
đa đieu hịa dưói, chúng minh cna đ%nh lý ta có the xem Kenzo Adachi ([4],
phan 1.2. Đ¾c trưng cna tính gia loi).
Đ%nh nghĩa 1.1. Gia su Ω là t¾p con má trong Cn , u : Ω → R. Hàm u đưac
GQI là đa đieu hòa dưái neu
(i) u là nua liên tnc trên trong Ω, túc là vái MQI c ∈ R : {z ∈ Ω : u(z) < c} là
t¾p má.
(ii) Vái bat kì z ∈ Ω và ω ∈ Cn thì u(z + ζω) là đieu hòa dưái trên {ζ ∈ C :
z + ζω ∈ Ω}.

Ta chú ý m®t vài tính chat cơ ban cna hàm đa đieu hịa dưói sau đây.
Đ%nh lý 1.1. Cho Ω ⊂ Cn, u : Ω → R, u ∈ C2(Ω). Khi đó,
n

Σ

(i) u là đa đieu hòa dưái neu và chs
neu

j,k=

∂2u
∂zj∂zk (z)ωjωk ≥ 0,

∀z ∈ Ω,

1

ω = (ω1, . . . , ωn) ∈ Cn.

Σ

(ii) u là đa đieu hịa dưái ch¾t neu và chs
neu

n
j,k=
1

ω = (ω1, . . . , ωn) ∈ Cn.
6

∂2u
∂zj∂zk (z)ωjωk > 0,

∀z ∈ Ω,


Chương 1. Kien thúc cơ
bán

Ví dn 1.1. Xét khơng gian phúc
|ω|4
, cho u(z, ω) = | +|ω| và v(z, ω) = |z|2
2
C
4
2
2
+
vái (z, ω) ∈ C . Khi đó, u là hàm đa dieu hịa dưái ch¾t cịn v là hàm đa đieu
z|

2

hịa dưái.
Th¾t v¾y, u, v là các hàm trơn và ma tr¾n Hessian phúc cua u và v lan lưat là
.
Σ
.
1 0
và
H
v
H (z, ω) =
= I
1 0
(z, ω) =
Σ. Ca hai ma tr¾n trên đeu là
0
1

u
2
0 |ω|2

ma tr¾n Hermit. Ma tr¾n Hu là xác đ%nh dương ch¾t và ma tr¾n Hv là xác đ%nh
dương.

1.1.2

Mien gia loi

Cho Ω ⊂ Cn là t¾p mo. Ta nói rang Ω có biên lúp Ck (k 2) neu ton tai
mđt lõn cắn U cna ∂Ω và m®t hàm r xác đ%nh lóp Ck trên U sao cho
• Ω ∩ U = {z ∈ U : r(z) < 0}.
• dr ƒ= 0 trên ∂Ω, ta có dr(z)
=

Σ
n

∂r
(z)dxj vói MQI z ∈ ∂Ω.
∂x

j=

j

1

Đ%nh nghĩa 1.2. Gia su l mđt mien b% chắn trong Cn (n ≥ 2), Ω có biên
trơn, D là biên cua Ω và r là m®t hàm xác đ%nh trên D. Khi đó D GQI là
mien gia loi tai p ∈ ∂Ω neu dang Levi
n

L
p (r, ω) =

Σ ∂2r

i,j=
1

(p)ω ωi ≥
j 0
∂zi∂zj

vái MQI ω ∈ Tp (1,0) (∂Ω). Ω đưac GQI là mien gia loi ch¾t neu L(r, ω) là xác
đ%nh dương vái MQI ω ƒ= 0.
Ví dn 1.2. Xét khơng gian phúc C2 và hình cau đơn v% B2 = {(z, ω) ∈ C2 :
|z|2 + |ω|2 < 1}. Khi đó, B2 là mien gia loi ch¾t. Th¾t v¾y, ta có the CHQN
hàm xác đ%nh cua ∂B2 là hàm r(z, ω) = |z|2 + |ω|2 − 1. Hàm này là hàm đa
đieu hịa dưái ch¾t tai MQI điem (z, ) B2 .

1.1.3

Toỏn tE Laplace-Beltrami trờn a tap Kăahler

Gia su M là m®t đa tap Riemann đ%nh hưóng, n chieu và Ωp(M ) là
khơng gian p-dang trênΣM , đ¾t d : Ωp(M ) −→ Ωp+1(M ) là toán tu vi phân

≥

2

⊗

⊗

7


Chương 1. Kien thúc cơ
bán thưòng, p 0. Gia su rang ds = gijdxi dxj là m®t metric Riemann trên T ∗ M
thông
T∗M ,
i,j

8


gij là ma tr¾n thnc cap n và xác đ%nh dng chắt. Khi ú ds2 chỳa mđt metric
Riemann trờn T ∗ M ⊗ T ∗ M xác đ%nh boi
∂
∂
dS2 = Σ gij
⊗
∂xi
∂xj
i,j

trong đó (g ) là ma tr¾n ngh%ch đao cna (gij).
Ln Ωp(M ) tương úng vói metric
Gia su d∗ là toán tu liên hop cna d trên p=
Σ
ij

0

dxj nghĩa là

⊗ gijdxi

d∗ : Ωp(M ) −→ Ωp−1(M )

i,j

và
∫

(dα, β) = (α, d∗β) = (dα, β)ds2
M

MQI α ∈ Ω

p−1

M, β ∈ Ω M , trong đó
p

∗

là tốn tu Hogde.

Đ%nh nghĩa 1.3. Toán tu Hogde-Laplace trên ΩpM là
OH = −(dd∗ + d∗d) : Ωp(M ) −→ Ωp(M ).

Toán tu Hogde-Laplace đưoc liên h¾ vói tốn tu Laplace-Beltrami như sau:
Vói MQI hàm trơn f ta có the đ%nh nghĩa gradient cna nó là
Q
g f

=: grad f =:ij ∂f ∂f
∂xi ∂xj

trong đó g = det(gij ), khi đó vói MQI trưịng vecto X ta có
(grad f, X) = X(f ) = df (X).

M¾t khác, tốn tu div tác đ®ng lên m®t trưịng vecto Z = Z i

đưoc đ%nh nghĩa

∂

∂xi

là
divZ =:

1 ∂ (√gZj).
g ∂xj

Đ%nh nghĩa 1.4. Toán tu Laplace-Beltrami trên Ωp(M ) là
Of = −div(grad f )

Khi đó, chúng ta biet rang trên khơng gian các hàm kha vi trên M ta có
O = −OH .
De dàng nh¾n thay rang
Σ


1 ∂
√
Of = −√
. gg
g
∂xj

ij

∂f
∂xi

=
−g

ij

∂2
∂xi∂xj

f+···

Vì (gij) là xác đ%nh dương nên − O f là m®t tốn tu elliptic.


Chương 1. Kien thúc cơ
bán
Đ%nh nghĩa 1.5. Gia su M là m®t đa tap phúc vái TQa đ® đ%a phương z
= (z1 , · · · , zn ). M®t metric Hermit trên M đưac xác đ%nh bái
hjk(z)dzj ⊗ dzk

trong đó hjk(z) là ma tr¾n Hermit, xác đ%nh dương phn thu®c vào z.
Ngồi ra, các thành phan hjk(z) là các hàm trơn. Dang vi phân song b¾c (1, 1)
xác đ%nh bỏi
i

2

hjk(z)dzj dzk

ac GQI l dang Kăahler cua metric Hermit.
%nh nghĩa 1.6. M®t metric Hermit hjk (z) đưac GQI là mđt metric Kăahler
neu vỏi MQI z ton tai mđt lõn cắn U cua z v mđt hm F : U −→ R
i

vái h

2
j(z)dz
k

∧dzk
j

9


Chng 1. Kien thỳc c
dan g Kăahler, F GQI l the v% Kăahler.

= bỏn
F ,
GQI
F ac l

Gia su hjk (z) l mđt metric Kăahler trờn mđt a tap phỳc M . Do
moi metric Hermit đeu cam sinh m®t metric Riemann nên ta có the đ%nh
nghĩa tốn tu Laplace-Beltrami tương úng vói metric Riemann (v, ω)R,h. Trong
metric này, tốn tu Laplace-Beltrami có dang
.
Σ
2
1∂

ij

i

1
0

∂

ij

∂


Chương 1. Kien thúc cơ
bán
O = −4

h

∂z

trong hh ∂zi
đó h
=
det(hj
k ).

1.1.4 Mien
siêu
gia
loi

1
1

Chương 1. Kien thúc cơ

=
−4h
bán

,

∂zi∂zj

Trong phan này, ta giói thi¾u khái ni¾m cna mien siêu gia loi.
Đ%nh nghĩa 1.7. Cho D l mđt mien trn, b% chắn trong Cn. Ta nói rang D là
siêu gia loi ch¾t (siêu gia loi) neu cú mđt hm xỏc %nh a ieu hũa dỏi
chắt r ∈ C4(D) sao cho L2[r] > 0 (L2[r] ≥ 0) trên ∂D. Trong đó
L2[r] =: 1
+

˜

Σn
i,j=
1
j

ij

|∂r|2r
O˜ log
n(n + J(r) −
1)

∂2

Σn

2Re R log
J(r)
n+1

∂

j=
1

∂
z

1
2

j

r

− |∂r |2 |Q˜ log J(r)|2 , (1.1)

˜

2

Σn

vá O
a [r]
Chương
∂zi∂zcơ
= 1. Kien thúc
i
bán
Σ
j và ri
= H(r)−1
r j,
n
=

j=
1

ri

j

ij

[r

ij

]

∂f ∂f
,

t

1
3

aij

i

∂
z

j


Chương 1. Kien thúc cơ

=:bán
rij

,
=

r

R

r

1
4

,

Qf|

|

a [r]
∂
z
−
, 1 ≤ i, j ≤ n.
−r + |∂r|r 2
=

i,j=
1


Chương 1. Kien thúc cơ
bán
Đ%nh nghĩa 1.8. Cho D là mđt mien trn, b% chắn, gia loi chắt trong Cn, r ∈
C∞(D) là m®t hàm xác đ%nh trên D sao cho u = − log(−r) là hàm đa đieu hòa
dưái chắt. Ta núi rang metric Kăahler g[u] cam sinh bỏi u l siờu tiắm cắn
Einstein neu

(i)đ cong Ricci Rij −(n + 1)gij trên D.
(ii) J(r) = 1 + O(r2).
Gia su J là tốn tu Fefferman thì
Σ−
J(r) = det
r

Σ
∂r
(∂r)∗ H(r)

Σ
,...
∂r ,
∂r
= (r1, . . . , rn) ∈ Cn, (∂r)∗
∂z 1
∂zn
Σ
=

.
trong đó ∂r
=
H(r)
=

Σ ∂2r

.

, . . . ∂r Σ t
∂r ,
và
∂z1
∂zn

.

∂zi∂zj
Vì r = −e−u(z), z ∈ D nên ta có
−u t
− ∂( e−u)
∂r
, (∂r)∗ = (uze )
=u
u
∂r =
u e−
z
=
∂z Σ
.
2 ∂z
∂
−
Σ
∂r = ∂ .
∂r =
−u = uzi z j e u + (−u)z uz e− =

j
i
∂zj ∂zi
∂zj uzi e
∂zi∂zj
u e−u
ij

− uiuje−u

= (uij − uiuj )e−u

Khi đó,




−e−u
u1e−u
···
une−u
−u
(u11 − u1u1)e−u · · · (u1n − u1un)e−u 
 u1 e
J(r) = −det


.
.
·

·
.


·
−u
−u
−u
une
(un1 − unu1)e
· · · (unn − unun)e



1

−u1

···

−un





u
u
−
u

u
·
·
·
u
−
u
u
n
1
1
1n
1
11
1

= e−(n+1)udet  .
.
.
.

.
···
.
un

un1 − unu1 · · · unn − unun

Nhân hàng đau vói −ui roi c®ng vào hàng i + 1, i = 2, n, ta se đưoc


10



u11 · · ·
u1n





Chương 1. Kien thúc cơ
bán
J(r) = e−(n+1)udet
.
=e

−(n+1)u

···

.

un1 · · · unn

det H(u).

11

1.2

Cụng thẫc xap xi

Cho D l mđt mien b% chắn trong Cn vói biên trơn và r ∈ C2(D) là m®t
hàm xác đ%nh cna D, giá tr% thnc và âm trên D. Khi đó tốn tu Fefferman
tác đ®ng lên r đưoc đ%nh nghĩa boi
Σ−
J(r) = det

trong đó
∂r = .

∂r

,...,

r

∂r

Σ

(1.2)

(∂r)∗ H(r)

∂r

) ∈ Cn,

,...,
r

Σ=

(r

Σ

∂2r

(∂r)∗
=

Σ
và H(r)

∂z1 , . . . ∂z n
.
Σt
∂r ,
∂r
∂z1
∂zn

1

n

là ma trắn Hessian phỳc cừ n ì n cna
j r.
Gia su rang H(r) = [rij ] là kha ngh%ch, m®t cách đ¾c bi¾t gia su nó là xác
đ%nh dương, thì ta su dung kí hi¾u [rij]t =: H(r)−1 và
nΣ
|∂r|r2 =
r ijrirj .
(1.3)
=

∂zi∂z

i,j=1

Ta de dàng tính
đưoc
J(r) = −det[rH(r) − (∂r)∗(∂r)]
= (−r)det ΣH(r) −

(∂r) (∂r)
∗

Σr
.
2
|∂r|
r
= (−r)det H(r) 1 −
r
2

= det H(r)(−r + |∂r|
r ).

Σ

(1.4)

Nh¾n xét 1.1. Khi H(r) khơng xác đ%nh dương trên ∂D, ta có the thay r bái
a
r[a] := r(z) + r 2 .
2

(1.5)

Khi đó r[a] là xác đ%nh dương vái a đu lán và
1
J(r) =

(1 + ar)n

det H(r[a])(−r + (1 + 2ar)|∂r|r[a]).

(1.6)


Xun suot trong lu¾n văn này, ta se ln gia su rang r(z) ∈ C∞(D) là
hàm xác đ%nh cho mien D, và nh¾n giá tr% âm sao cho
A(r) = − log(−r)

(1.7)

là đa đieu hịa dưói ch¾t trong D. Bang tính toán trnc tiep o phan 1.4
chương 1 và xem các bài báo [2, 8, 9, 10], ta nh¾n đưoc
det H(A(r)) = J(r)e(n+1)A(r).

(1.8)

Tù đó, ta có ket lu¾n sau
(i) u := A(r) là đa đieu hịa dưói ch¾t trên D neu và chi neu J(r) > 0 trên D.
(ii) J(r) = 1 neu và chi neu det H(u) = e(n+1)u vói u := A(r).
Ta se khang đ%nh và chúng minh các cơng thúc xap xi dưói đây.
Đ%nh lý 1.2. Cho D l mđt mien trn, b% chắn gia loi trong Cn. Cho r(z) là
hàm trơn xác đ%nh âm trên D sao cho A(r) là đa đieu hịa dưái ch¾t trong D.
Cho
(1.9)

ρ1 (z) = r(z)J(r)n+1−1 e−B(z)

vái

tr(H(A(r)))−1H(log(J(r))) .
2n(n + 1)

B(z) = B[r](z)
=

(1.10)

Khi đó

(1.11)

J(ρ1)(z) = 1 + O(r2).

Hơn nua, neu J(r) = 1 + O(r2) thì ρ1 = r + O(r3) và
(1.12)

J(ρ 1) = 1 + O(r3).

Chúng minh. Trưóc het, ta cHQN a ≥ 0 đn lón đe r[a] là đa đieu hịa dưói
ch¾t. Tù đ%nh nghĩa cna r[a] và tính tốn trnc tiep, ta có
H(A(r)) =

1

ΣH(r[a]) +

1 + 2ar

(−r)(1 + ar)

(∂r)∗(∂r)Σ .

(1.13)

(−r)

Vì v¾y, ta có the viet
B(z) = (−r)B0(z)

vói B0(z) ∈ C∞(D). Tính tốn trnc tiep, tù cơng thúc trên, ta nh¾n đưoc
.
Σ
H(B) =(−r)H(B0

+ B0

)−
B0

(∂r) ∂r
∗

−r

(∂r)∗∂r
H(r) + −r

∗
− (∂r) (∂B 0) − (∂B)∗(∂r).

(1.14)