Tính đa điều hòa dưới của nghiệm của phương trình fefferman và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ LỤA

TÍNH ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI CỦA NGHIỆM
CỦA PHƯƠNG TRÌNH FEFFERMAN VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2019


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ LỤA

TÍNH ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI CỦA NGHIỆM
CỦA PHƯƠNG TRÌNH FEFFERMAN VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60460102

Cán bộ hướng dẫn: PGS. TS. NGUYỄN THẠC DŨNG

Hà Nội - 2019


LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành đề tài luận văn, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo
hướng dẫn Nguyễn Thạc Dũng đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình
nghiên cứu luận văn và trực tiếp hướng dẫn em hoàn thiện đề tài luận văn tốt
nghiệp này. Thầy luôn dành thời gian và tâm huyết vào công việc, vì thế thầy
luôn đặt niềm tin vào học trò và không ngừng mong mỏi học trò của mình luôn
tiến bộ, lĩnh hội được nhiều kiến thức.
Em cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn tới thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội
đã giảng dạy và giúp đỡ em có một môi trường học tập tốt trong suốt thời gian
học tập tại trường.
Cuối cùng con xin cảm ơn bố mẹ đã luôn ủng hộ trong việc học tập; cảm
ơn bạn bè, anh chị em và đồng nghiệp đã luôn giúp đỡ, cổ vũ và động viên trong
học tập, công việc cũng như trong quá trình hoàn thiện luận văn.Tôi xin cảm ơn
anh chị và các bạn trong lớp cao học Toán đã nhiệt tình giúp đỡ và động viên
tôi trong suốt quá trình học tập tại lớp.
Hà Nội, ngày 21 tháng 11 năm 2019
Học viên

Nguyễn Thị Lụa

1


Mục lục
LỜI CẢM ƠN

1

LỜI MỞ ĐẦU

3

1 Kiến thức cơ bản
1.1 Miền siêu giả lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Hàm đa điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Miền giả lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Toán tử Laplace-Beltrami trên đa tạp K¨ahler
1.1.4 Miền siêu giả lồi . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Công thức xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

2 Phương trình Fefferman trên miền siêu giả lồi và ứng
2.1 Hàm đa điều hòa dưới chặt và miều siêu giả lồi . . . . .
2.2 Mối liên hệ giữa các miền siêu giả lồi và các miền lồi . .
2.3 Các phản ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.

6
6
6
7
7
9
11

dụng
16
. . . . . . 17
. . . . . . 19
. . . . . . 23

KẾT LUẬN

30

Tài liệu tham khảo

31

2


LỜI MỞ ĐẦU
Cho D là một miền trơn, bị chặn, giả lồi trong Cn , u ∈ C 2 (D) là một hàm
giá trị thực và H(u) là ma trận Hessian phức cỡ n × n của u. Ta biết rằng u là đa
điều hòa dưới chặt trong D nếu H(u) xác định dương trên D. Khi u là đa điều
hòa dưới chặt trong D, u cảm sinh một metric K¨ahler
n

g = g[u] =
i,j=1

∂ 2u
dz i ⊗ dz j .
∂zi ∂z j

(1)

Ta nói rằng metric g là Einstein nếu nó có độ cong Ricci
Rkl = −

∂ log det[gij ]

(2)

∂zk ∂z l

thỏa mãn phương trình: Rkl = cgkl với hằng số c nào đó.
Khi c < 0, sau khi chuẩn hóa, ta có thể giả sử c = −(n + 1). Cheng và Yau
[2] đã chứng minh rằng phương trình Monge-Ampère
det H(u) = e(n+1)u , z ∈ D

(3)

z ∈ ∂D

u = +∞,

có một nghiệm đa điều hòa dưới chặt duy nhất u ∈ C ∞ (D). Hơn nữa, metric
K¨ahler
n
g[u] =
i,j=1

∂ 2u
dz i ⊗ dz j
∂zi ∂z j

(4)

cảm sinh bởi u là một metric K¨ahler-Einstein đủ trên D.
Khi D là giả lồi chặt, bài toán tồn tại nghiệm và duy nhất nghiệm được
nghiên cứu bởi Fefferman [3]. Feffermann đã xét phương trình dưới dây
det J(ρ) = 1, z ∈ D

trong đó J(ρ) = −det

ρ

ρ = 0,

z ∈ ∂D

∂ρ

∂ρ
∂ρ
,...,
∂z 1
∂z n

(∂ρ)∗ H(ρ)

, ∂ρ =

(5)

và

(∂ρ)∗

=

∂ρ
∂ρ
,...,
∂z1

∂zn

Phương trình này cũng được gọi là phương trình Feffermann. Fefferman đã tìm
3

t

.


MỤC LỤC

được một nghiệm ρ < 0 trên D sao cho u = − log(−ρ) là đa điều hòa dưới chặt
trong D. Tác giả chứng minh tính duy nhất và đưa ra công thức nghiệm xấp xỉ
cho (5).
Nếu quan hệ giữa ρ và u được cho bởi
ρ(z) = −e−u(z) , z ∈ D

(6)

thì (3) và (5) là trùng nhau. Hơn nữa, có thể chứng minh rằng (xem [8])
det H(u) = J(ρ)e(n+1)u .

(7)

Khi D là miền trơn, bị chặn, giả lồi chặt, Cheng và Yau [2] đã chứng minh
rằng ρ ∈ C n+3/2 (D). Trên thực tế, người ta có ρ ∈ C n+2− (D) với > 0 đủ nhỏ.
Điều khẳng định này được suy ra từ một công thức mở rộng tiệm cận cho ρ thu
được bởi Lee và Melrose [6]:
∞

ρ(z) = r(z)

aj (rn+1 log(−r))j

a0 (z) +

,

(8)

j=1

trong đó r ∈ C ∞ (D) là hàm xác định bất kì cho D, aj ∈ C ∞ (D) và a0 (z) > 0 trên
∂D.

Nhiều nghiên cứu [8, 9, 13, 14] chứng tỏ rằng bài toán dưới đây rất thú vị
và quan trọng.
Bài toán 0.1. Giả sử D là miền trơn, bị chặn, giả lồi chặt trong Cn . Cho ρ là
nghiệm của phương trình Fefferman (5) sao cho u = −log(−ρ) là đa điều hòa
dưới chặt trong D. Vậy bổ sung điều kiện nào trên D thì ta có ρ là đa điều hòa
dưới chặt trong D.
Bằng cách giới thiệu khái niệm miền siêu giả lồi trong bài báo [7], Song
Ying Li đã đưa ra một đặc trưng hóa cho các miền D trong Cn sao cho câu trả
lời của bài toán trên là đúng. Ngoài ra, tác giả cũng nghiên cứu giá trị cực đại
cho giá trị riêng "nhỏ nhất" ("bottom of the spectrum") trên các miền này.
Mục tiêu chính của luận văn là trình bày lại các kêt quả trong bài báo nói
trên của Li. Luận văn bao gồm hai chương. Trong chương một, chúng tôi giới
thiệu lại các khái niệm miền giả lồi, hàm xác định, toán tử Laplace-Beltrami.
Đặc biệt, chúng tôi giới thiệu khái niệm miền siêu giả lồi và chứng minh một kết

quả xấp xỉ cho hàm xác định. Kết quả này sẽ được dùng trong chương hai để
chứng minh các kết quả chính. Như đã nói ở trên, chương hai sẽ tập trung vào
phân tích các kết quả chính của Li. Cụ thể, trong Định lý 2.2 chúng tôi chỉ ra
rằng trên các miền siêu giả lồi thì lời giải của Bài toán 0.1 là luôn tồn tại. Kết
4


MỤC LỤC

quả chính cuối cùng trong luận văn là Định lý 2.1 đưa ra các mối liên hệ giữa
các khái niệm miền siêu giả lồi và miền lồi.
Do hạn chế về kiến thức cơ bản nên bản luận văn này không tránh khỏi
những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy
phản biện và bạn đọc để nâng cao và trau dồi kiến thức của mình. Các thảo
luận góp ý và trau đổi được tác giả cảm ơn và trân trọng.

5


Chương 1
Kiến thức cơ bản
1.1

Miền siêu giả lồi

1.1.1

Hàm đa điều hòa dưới

Trong phần này ta sẽ đưa ra một số tính chất cơ bản của hàm đa điều hòa

dưới. Trước hết ta sẽ nhắc lại một vài định nghĩa và định lý cho hàm đa điều
hòa dưới, chứng minh của định lý ta có thể xem Kenzo Adachi ([4], phần 1.2.
Đặc trưng của tính giả lồi).
Định nghĩa 1.1. Giả sử Ω là tập con mở trong Cn , u : Ω → R. Hàm u được gọi
là đa điều hòa dưới nếu
(i) u là nửa liên tục trên trong Ω, tức là với mọi c ∈ R : {z ∈ Ω : u(z) < c} là
tập mở.
(ii) Với bất kì z ∈ Ω và ω ∈ Cn thì u(z + ζω) là điều hòa dưới trên {ζ ∈ C :
z + ζω ∈ Ω}.

Ta chú ý một vài tính chất cơ bản của hàm đa điều hòa dưới sau đây.
Định lý 1.1. Cho Ω ⊂ Cn , u : Ω → R, u ∈ C 2 (Ω). Khi đó,
∂ 2u
(z)ωj ω k ≥ 0,
j,k=1 ∂zj ∂z k
n

(i) u là đa điều hòa dưới nếu và chỉ nếu

∀z ∈ Ω,

ω = (ω1 , . . . , ωn ) ∈ Cn .
∂ 2u
(z)ωj ω k > 0,
j,k=1 ∂zj ∂z k
n

(ii) u là đa điều hòa dưới chặt nếu và chỉ nếu
ω = (ω1 , . . . , ωn ) ∈ Cn .

6

∀z ∈ Ω,


Chương 1. Kiến thức cơ bản
Ví dụ 1.1. Xét không gian phức C2 , cho u(z, ω) = |z|2 +|ω|2 và v(z, ω) = |z|2 +

|ω|4
4

với (z, ω) ∈ C2 . Khi đó, u là hàm đa diều hòa dưới chặt còn v là hàm đa điều
hòa dưới.
Thật vậy, u, v là các hàm trơn và ma trận Hessian phức của u và v lần lượt là
Hu (z, ω) =

1 0
0 1

= I2 và Hv (z, ω) =

1

0

0 |ω|2

. Cả hai ma trận trên đều là

ma trận Hermit. Ma trận Hu là xác định dương chặt và ma trận Hv là xác định

dương.

1.1.2

Miền giả lồi

Cho Ω ⊂ Cn là tập mở. Ta nói rằng Ω có biên lớp C k (k ≥ 2) nếu tồn tại
một lân cận U của ∂Ω và một hàm r xác định lớp C k trên U sao cho
• Ω ∩ U = {z ∈ U : r(z) < 0}.
n

• dr = 0 trên ∂Ω, ta có dr(z) =

∂r
(z)dxj với mọi z ∈ ∂Ω.
j=1 ∂xj

Định nghĩa 1.2. Giả sử Ω là một miền bị chặn trong Cn (n ≥ 2), Ω có biên
trơn, D là biên của Ω và r là một hàm xác định trên D. Khi đó D gọi là miền
giả lồi tại p ∈ ∂Ω nếu dạng Levi
n

Lp (r, ω) =
i,j=1

∂ 2r
(p)ωi ω j ≥ 0
∂zi ∂z j

với mọi ω ∈ Tp(1,0) (∂Ω). Ω được gọi là miền giả lồi chặt nếu L(r, ω) là xác định

dương với mọi ω = 0.
Ví dụ 1.2. Xét không gian phức C2 và hình cầu đơn vị B2 = {(z, ω) ∈ C2 :
|z|2 + |ω|2 < 1}. Khi đó, B2 là miền giả lồi chặt. Thật vậy, ta có thể chọn hàm
xác định của ∂B2 là hàm r(z, ω) = |z|2 + |ω|2 − 1. Hàm này là hàm đa điều hòa
dưới chặt tại mọi điểm (z, ω) ∈ ∂B2 .

1.1.3

Toán tử Laplace-Beltrami trên đa tạp K¨
ahler

Giả sử M là một đa tạp Riemann định hướng, n chiều và Ωp (M ) là không
gian p-dạng trên M , đặt d : Ωp (M ) −→ Ωp+1 (M ) là toán tử vi phân thông thường,
p ≥ 0. Giả sử rằng ds2 =
gij dxi ⊗ dxj là một metric Riemann trên T ∗ M ⊗ T ∗ M ,
i,j

7


Chương 1. Kiến thức cơ bản
gij là ma trận thực cấp n và xác định dương chặt. Khi đó ds2 chứa một metric

Riemann trên T ∗ M ⊗ T ∗ M xác định bởi
dS 2 =

g ij
i,j

∂

∂
⊗
∂xi ∂xj

trong đó (g ij ) là ma trận nghịch đảo của (gij ).
Giả sử d∗ là toán tử liên hợp của d trên
gij dxi ⊗ dxj nghĩa là

n
p
p=0 Ω (M )

tương ứng với metric

i,j

d∗ : Ωp (M ) −→ Ωp−1 (M )

và
(dα, β) = (α, d∗ β) =

dα, β

ds2

M

mọi α ∈

Ωp−1 M, β

∈

Ωp M ,

trong đó

∗

là toán tử Hogde.

Định nghĩa 1.3. Toán tử Hogde-Laplace trên Ωp M là
H

= −(dd∗ + d∗ d) : Ωp (M ) −→ Ωp (M ).

Toán tử Hogde-Laplace được liên hệ với toán tử Laplace-Beltrami như sau:
Với mọi hàm trơn f ta có thể định nghĩa gradient của nó là
f =: grad f =: g ij

∂f ∂f
∂xi ∂xj

trong đó g = det(gij ), khi đó với mọi trường vecto X ta có
grad f, X = X(f ) = df (X).

Mặt khác, toán tử div tác động lên một trường vecto Z = Z i
là
divZ =:

∂
được định nghĩa
∂xi

1 ∂ √ j
( gZ ).
g ∂xj

Định nghĩa 1.4. Toán tử Laplace-Beltrami trên Ωp (M ) là
f = −div(grad f )

Khi đó, chúng ta biết rằng trên không gian các hàm khả vi trên M ta có
= − H.
Dễ dàng nhận thấy rằng
1 ∂ √ ij ∂f
f = −√
gg
g ∂xj
∂xi

Vì (gij ) là xác định dương nên −

= −g ij

∂2
f + ···
∂xi ∂xj

f là một toán tử elliptic.

8


Chương 1. Kiến thức cơ bản
Định nghĩa 1.5. Giả sử M là một đa tạp phức với tọa độ địa phương z =
(z1 , · · · , zn ). Một metric Hermit trên M được xác định bởi
hjk (z)dzj ⊗ dz k

trong đó hjk (z) là ma trận Hermit, xác định dương phụ thuộc vào z .
Ngoài ra, các thành phần hjk (z) là các hàm trơn. Dạng vi phân song bậc (1, 1)
xác định bởi
i
h (z)dzj ∧ dz k
2 jk

được gọi là dạng K¨ahler của metric Hermit.
Định nghĩa 1.6. Một metric Hermit hjk (z) được gọi là một metric K¨
ahler nếu
với mọi z tồn tại một lân cận U của z và một hàm F : U −→ R
i
với hjk (z)dzj ∧ dz k = ∂∂F , ∂∂F được gọi là dạng K¨
ahler, F gọi là thế vị K¨
ahler.
2

Giả sử hjk (z) là một metric K¨ahler trên một đa tạp phức M . Do mỗi
metric Hermit đều cảm sinh một metric Riemann nên ta có thể định nghĩa toán
tử Laplace-Beltrami tương ứng với metric Riemann v, ω R,h . Trong metric này,
toán tử Laplace-Beltrami có dạng
= −4

1 ∂
∂
hhij
h ∂zi
∂z i

= −4hij

∂2
,
∂zi ∂z j

trong đó h = det(hjk ).

1.1.4

Miền siêu giả lồi

Trong phần này, ta giới thiệu khái niệm của miền siêu giả lồi.
Định nghĩa 1.7. Cho D là một miền trơn, bị chặn trong Cn . Ta nói rằng D là
siêu giả lồi chặt (siêu giả lồi) nếu có một hàm xác định đa điều hòa dưới chặt
r ∈ C 4 (D) sao cho L2 [r] > 0 (L2 [r] ≥ 0) trên ∂D. Trong đó
L2 [r] =: 1 +
n

với

=

và ri =

|∂r |2r
n(n + 1)

aij [r]

i,j=1
n
rij rj ,
j=1

∂2
,
∂zi ∂z j

2Re R log J(r)
− |∂r |2r |
n+1

log J(r) −
n

R=
j=1

[rij ]t = H(r)−1 ,

rj

∂
,
∂zj

| f |2 =

aij =: rij −

9

log J(r)|2 ,
n

aij [r]

i,j=1
i
r rj

−r + |∂r|2r

∂f ∂f
∂zi ∂z j

, 1 ≤ i, j ≤ n.

(1.1)


Chương 1. Kiến thức cơ bản

Định nghĩa 1.8. Cho D là một miền trơn, bị chặn, giả lồi chặt trong Cn , r ∈
C ∞ (D) là một hàm xác định trên D sao cho u = − log(−r) là hàm đa điều hòa
dưới chặt. Ta nói rằng metric K¨
ahler g[u] cảm sinh bởi u là siêu tiệm cận Einstein
nếu
(i) Độ cong Ricci Rij ≥ −(n + 1)gij trên D.
(ii) J(r) = 1 + O(r2 ).
Giả sử J là toán tử Fefferman thì
J(r) = −det

trong đó ∂r =

∂r
∂r
,...,
∂z 1
∂z n

r
(∂ r

∂r
)∗

H(r)

= (r1 , . . . , rn ) ∈

(∂r)∗

Cn ,

∂r
∂r
,...,
∂z1
∂zn

=

t

và

∂ 2r
.
∂zi ∂z j
Vì r = −e−u(z) , z ∈ D nên ta có
∂(−e−u )
∂r
=
= uz e−u , (∂r)∗ = (uz e−u )t
∂r =
∂z
∂z
∂
∂
∂ 2r
∂r
=

=
uzi e−u = uzi z j e−u + (−u)z j uzi e−u = uij e−u − ui uj e−u
∂zi ∂z j
∂z j ∂zi
∂z j

H(r) =

= (uij − ui uj )e−u

Khi đó,


−e−u

u1 e−u

un e−u

···



 u e−u (u − u u )e−u · · · (u − u u )e−u 
1 1
1n
1 n
 1

11

J(r) = −det  .

.
.
.
.
.
 .

.
···
.
un e−u (un1 − un u1 )e−u · · ·



−u1

1

···

u u − u u · · ·
1 1
 1 11
= e−(n+1)u det  .
.
..
 ..
···

un un1 − un u1 · · ·

(unn − un un )e−u
−un



u1n − u1 un 


..
.




unn − un un

Nhân hàng đầu với −ui rồi cộng vào hàng i + 1, i = 2, n, ta sẽ được


u11 · · ·

J(r) = e

−(n+1)u


det  ...

···

un1 · · ·
= e−(n+1)u det H(u).

10

u1n

.. 
. 
unn


Chương 1. Kiến thức cơ bản

1.2

Công thức xấp xỉ

Cho D là một miền bị chặn trong Cn với biên trơn và r ∈ C 2 (D) là một
hàm xác định của D, giá trị thực và âm trên D. Khi đó toán tử Fefferman tác
động lên r được định nghĩa bởi
r

J(r) = −det

(∂ r

∂r

)∗

H(r)

(1.2)

trong đó
∂r =
∗

(∂r) =

và H(r) =

∂ 2r
∂zi ∂z j

∂r
∂r
,...,
∂z 1
∂z n
∂r
∂r
,...,
∂z1
∂zn

= (r1 , . . . , rn ) ∈ Cn ,
t

là ma trận Hessian phức cỡ n × n của r.

Giả sử rằng H(r) = [rij ] là khả nghịch, một cách đặc biệt giả sử nó là xác
định dương, thì ta sử dụng kí hiệu [rij ]t =: H(r)−1 và
n

|∂r|2r

rij ri rj .

=

(1.3)

i,j=1

Ta dễ dàng tính được
J(r) = −det[rH(r) − (∂r)∗ (∂r)]
= (−r)det H(r) −

(∂r)∗ (∂r)
r

= (−r)det H(r) 1 −

|∂r|2r
r

= det H(r)(−r + |∂r|2r ).

(1.4)

Nhận xét 1.1. Khi H(r) không xác định dương trên ∂D, ta có thể thay r bởi
a
r[a] := r(z) + r2 .
2

(1.5)

Khi đó r[a] là xác định dương với a đủ lớn và
J(r) =

1
det H(r[a])(−r + (1 + 2ar)|∂r|r[a] ).
(1 + ar)n

(1.6)

Xuyên suốt trong luận văn này, ta sẽ luôn giả sử rằng r(z) ∈ C ∞ (D) là hàm
xác định cho miền D, và nhận giá trị âm sao cho
(r) = − log(−r)

11

(1.7)


Chương 1. Kiến thức cơ bản
là đa điều hòa dưới chặt trong D. Bằng tính toán trực tiếp ở phần 1.4 chương 1

và xem các bài báo [2, 8, 9, 10], ta nhận được
det H( (r)) = J(r)e(n+1) (r) .

(1.8)

Từ đó, ta có kết luận sau
(i) u := (r) là đa điều hòa dưới chặt trên D nếu và chỉ nếu J(r) > 0 trên D.
(ii) J(r) = 1 nếu và chỉ nếu det H(u) = e(n+1)u với u := (r).
Ta sẽ khẳng định và chứng minh các công thức xấp xỉ dưới đây.
Định lý 1.2. Cho D là một miền trơn, bị chặn giả lồi trong Cn . Cho r(z) là
hàm trơn xác định âm trên D sao cho (r) là đa điều hòa dưới chặt trong D. Cho
−1

ρ1 (z) = r(z)J(r) n+1 e−B(z)

với
B(z) = B[r](z) =

tr(H( (r)))−1 H(log(J(r)))
.
2n(n + 1)

(1.9)

(1.10)

Khi đó
J(ρ1 )(z) = 1 + O(r2 ).

(1.11)

Hơn nữa, nếu J(r) = 1 + O(r2 ) thì ρ1 = r + O(r3 ) và
J(ρ1 ) = 1 + O(r3 ).

(1.12)

Chứng minh. Trước hết, ta chọn a ≥ 0 đủ lớn để r[a] là đa điều hòa dưới chặt.
Từ định nghĩa của r[a] và tính toán trực tiếp, ta có
H( (r)) =

1
1 + 2ar
H(r[a]) +
(∂r)∗ (∂r) .
(−r)(1 + ar)
(−r)

(1.13)

Vì vậy, ta có thể viết
B(z) = (−r)B0 (z)

với B0 (z) ∈ C ∞ (D). Tính toán trực tiếp, từ công thức trên, ta nhận được
H(B) =(−r)H(B0 ) − B0
+ B0

H(r) +

(∂r)∗ ∂r
−r

(∂r)∗ ∂r
− (∂r)∗ (∂B0 ) − (∂B)∗ (∂r).
−r

12

(1.14)


Chương 1. Kiến thức cơ bản
Với mỗi z = z0 cố định, bằng cách sử dụng phép quay phức (nếu cần), ta có thể
giả sử rằng

∂r
(z0 ) = 0 với 1 ≤ j ≤ n − 1 và H(r)(z0 ) là đường chéo, khi đó
∂zj
tr(H( (r)))−1 H(B) = −nB(z) + (−r)B0 + O(r2 )
= −(n − 1)B + O(r2 ).

(1.15)

Mặt khác, ta tính được
J(ρ1 )(z)e(n+1)

(ρ1 )

= detH( (ρ1 ))
1
H(log J) + H(B)

n+1
1
= det H( (r))det In + H( (r)))−1
H(log J) + H(B)
n+1
1
H(log J) + H(B)
= J(r)e(n+1) (r) det In + H( (r)))−1
n+1
= det H( (r)) +

Chú ý rằng, e(n+1) (ρ1 ) = e(n+1)B J(r)e(n+1) (r) , từ đó ta có
J(ρ1 )(z) = e−(n+1)B det In + H( (r))−1
= e−(n+1)B 1 + tr H( (r))−1

1
H(log J) + H(B)
n+1
1
H(log J) + H(B)
n+1

+ O(r2 )

= e−(n+1)B [1 + 2nB + trH( (r))−1 H(B)] + O(r2 )
= e−(n+1)B [1 + 2nB − (n − 1)B + O(r2 )] + O(r2 )
=1+

(n + 1)2 2
B + O(r2 ) = 1 + O(r2 ).

2

Khi J(r) = 1 + Ar2 với A trơn trên D, dễ dàng chứng minh B = B1 r2 với B1 trơn
trên D gồm ∂D. Dễ dàng thấy rằng ρ1 [r] = r + O(r3 ) và J(ρ1 [r]) = 1 + O(r3 ).
Mệnh đề 1.1. Cho D là một miền trơn bị chặn giả lồi chặt trong Cn . Cho u là
nghiệm đa điều hòa dưới của phương trình
det H(u) = e(n+1)u ,

z∈D

u = +∞,

z ∈ ∂D

và ρ(z) = −e−u .

Khi đó, với bất kỳ hàm xác định trơn r của D sao cho (r) là đa điều hòa dưới
chặt trong D, ta có
−n

det H(ρ) = J(r) n+1 det H(r) −

[∂i r∂j log J + ∂i log J(r)∂j r]
n+1

− [∂i r∂j B(z) + ∂i B∂j r]

(1.16)
trên ∂D, trong đó B(z) = B[r](z) như trong công thức (1.10).
13

Chương 1. Kiến thức cơ bản
Chứng minh. Đặt
−1

ρ1 (z) := ρ1 [r] := r(z)J(r) n+1 e−B .

(1.17)

Định lý 1.2 suy ra rằng ρ(z) = ρ1 (z) + O(r(z)3 ). Bằng tính toán trực tiếp, ta nhận
được
det H(ρ) = det H(ρ1 ), z ∈ ∂D.
(1.18)
Bởi vì B(z) = (−r)B0 (z), ta dễ dàng thấy rằng
−1

−1

ρ1 (z) = r(z)J(r) n+1 − r(z)J(r) n+1 B(z) + O(r(z)3 )

(1.19)

và
−1

−1

det H(ρ1 ) = det H r(z)J(r) n+1 − r(z)J(r) n+1 B(z) ,

z ∈ ∂D.

(1.20)

Với bất kì z ∈ ∂D, bởi (1.20), ta có
−1

−1

det H(ρ1 )(z) =det H(rJ(r) n+1 ) − J(r) n+1 [∂i r∂j B + ∂i B∂j r]
−(n+2)

=det J(r)

−1
n+1

J(r) n+1
H(r) −
[∂i r∂j J(r) + ∂i J(r)∂j r]
n+1

−1

− J(r) n+1 [∂i r∂j B + ∂i B∂j r]
−n

=J(r) n+1 det H(r) −

(1.21)

1
[∂i r∂j log J + ∂i log J(r)∂j r]
n+1

− [∂i r∂j B + ∂i B∂j r] .

Đó là điều phải chứng minh.
Với mỗi j = 1, 2, cho trước các miền Dj ⊂ Cn , gọi uDj là hàm thế vị cho
metric K¨ahler - Einstein của Dj và cho
ρDj (z) = −e−u

Dj
(z)

,

j = 1, 2.

(1.22)

Khi đó, ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.2. Cho φ : D1 → D2 là ánh xạ trơn song chỉnh hình. Khi đó
−2

ρD1 (z) = ρD2 (φ(z))|detφ (z)| n+1 .

(1.23)

Đặc biệt, nếu det φ (z) là hằng số c thì

2

det H(ρD1 )(z) = |c| n+1 det H(ρD2 )(φ(z)).

14

(1.24)


Chương 1. Kiến thức cơ bản
Chứng minh. Vì uDj là hàm thế vị cho metric K¨ahler - Einstein của Dj nên uDj
là nghiệm đa điều hòa dưới duy nhất cho phương trình Monge-Ampère
detH(u) = e(n+1)u , z ∈ Dj
u = ∞,

z ∈ ∂Dj .

Do φ : D1 → D2 là song chỉnh hình, ta có
uD1 (z) = uD2 (φ(z)) +

1
log |det φ (z)|2 ,
n+1

z ∈ D1 ,

(1.25)

và
−2

ρD1 (z) = ρD2 (φ(z))|det φ (z)| n+1 .

(1.26)

Đặc biệt, khi det φ (z) = c, ta có
−2n

det H(ρD1 )(z) = |c| n+1 det H(ρD2 )(φ(z))|c|2
2

= |c| n+1 det H(ρD2 )(φ(z)).

Đó là điều phải chứng minh.
Chúng ta cũng cần công thức đổi biến chỉnh hình sau đây.
Bổ đề 1.1. Cho z0 ∈ ∂D, và δ0 > 0 nào đó, nếu z = φ(w) : B(0, δ0 ) → B(z0 , 1) là
ánh xạ chỉnh hình một - một với φ(0) = z0 và r(z) = r(w) thì
2

ρ1 (φ(w)) = |detφ (w)| n+1

r(w)
J(r(w))

1
n+1

e−B(r(w)) .

(1.27)

Hơn nữa, nếu |detφ (z)|2 là một hằng số trên B(0, δ0 ) thì
2

det H(ρ1 )(z0 )|det φ (0)| n+1 = det H

r
J(r)

1
n+1

e−B(r) (0)

Chứng minh. Bổ đề được suy ra từ Định lý 1.2 và Mệnh đề 1.1.

15

.

(1.28)


Chương 2
Phương trình Fefferman trên miền
siêu giả lồi và ứng dụng
Kết quả chính đầu tiên trong chương này là để chứng minh rằng nghiệm
của phương trình Fefferman trên một miền trơn, bị chặn, giả lồi chặt D trong
Cn là đa điều hòa dưới trong D nếu và chỉ nếu D là miền siêu giả lồi (xem Định
lý 2.2). Mục tiêu chính thứ hai của chương này là chứng minh đưa ra các một

liên hệ giữa các miền siêu giả lồi và các miền lồi như trong định lý sau đây.
Định lý 2.1. Cho D là một miền trơn, bị chặn trong Cn . Khi đó,
(i) Với n = 1, D là siêu giả lồi chặt (siêu giả lồi) nếu và chỉ nếu D là lồi chặt
(lồi).
(ii) Với n > 1, nếu D là lồi và nếu có một hàm xác định đa điều hòa dưới chặt
r ∈ C 4 (D) sao cho
n−1+

|∂r|2 kl
a [r] ∆rkl − aiq [r]rpj rijk rpql − (∆rk )(∆rl ) − 2Re rk ∆rk > 0
n

thì D là siêu giả lồi chặt.
(iii) Tính lồi không suy ra tính siêu giả lồi và tính siêu giả lồi không suy ra tính
lồi.
Chứng minh của Định lý 2.1 sẽ được trình bày trong hai tiểu mục. Trong
mục "Mối liên hệ giữa các miền siêu giả lồi và các miền lồi", chúng tôi trình bày
chứng minh phần (i) và (ii). Trong mục "Các phản ví dụ", chứng minh của (iii)
được giới thiệu thông qua các phản ví dụ.

16


Chương 2. Phương trình Fefferman trên miền siêu giả lồi và ứng dụng

2.1

Hàm đa điều hòa dưới chặt và miều siêu giả lồi

Kết quả đầu tiên của luận văn sẽ chứng minh rằng nghiệm của phương

trình Fefferman trên một miền trơn, bị chặn, giả lồi chặt D trong Cn là đa điều
hòa dưới trong D nếu và chỉ nếu D là miền siêu giả lồi.
Định lý 2.2. Cho D là một miền trơn, bị chặn, giả lồi chặt trong Cn . Cho
ρ ∈ C 4 (D) là một hàm xác định của D sao cho u = − log(−ρ) là đa điều hòa dưới
chặt. Nếu metric K¨ahler g[u] cảm sinh bởi u là siêu tiệm cận Einstein thì hai
khẳng định sau là đúng:
(i) ρ là đa điều hòa dưới chặt trên D nếu và chỉ nếu D là siêu giả lồi chặt.
Đặc biệt, nếu ρ = ρ(z) là nghiệm của phương trình Fefferman
det J(ρ) = 1, z ∈ D
z ∈ ∂D

ρ = 0,

thì ρ là đa điều hòa dưới chặt trong D khi D là siêu giả lồi chặt.
(ii) Nếu D là siêu giả lồi thì λ1 (∆g[u] ) = n2 , trong đó
n

g ij

∆g = −4
i,j=1

∂2
.
∂zi ∂zj

Chứng minh. Lấy r ∈ C ∞ (D) là hàm xác định đa điều hòa dưới chặt bất kì cho
miền D. Đặt
−1
ρ1 (z) = r(z)J(r) n+1 e−B(z) ,

(2.1)
trong đó,
B(z) =

tr(H( (r)))−1 H(log J(r))
.
2n(n + 1)

(2.2)

Theo Định lý 1.2, ta có
J(ρ1 ) = 1 + O(r(z)2 ).

(2.3)

Gọi ρ = ρD là nghiệm của phương trình Fefferman sao cho (ρ) là đa điều hòa
dưới chặt trong D. Khi đó
det H(ρ)(z) = det H(ρ1 )(z) trên ∂D.
Bởi Mệnh đề 1.1 và
B(z) =

(−r)
tr
2n(n + 1)

(−r)
=
2n(n + 1)

H(r) +

n

rij −
i,j=1

ri rj
−r

−1

H(log J(r)) (z)

ri rj
−r + |∂r|2r

17

∂ 2 log J(r)
= −B 0 (z)r,
∂zi ∂z j

(2.4)


Chương 2. Phương trình Fefferman trên miền siêu giả lồi và ứng dụng
trong đó
1
B (z) =
2n(n + 1)

n

0

∂ 2 log J(r)
1
=
∆r log J(r).
∂zi ∂z j
2n(n + 1)

aij [r]
i,j=1

(2.5)

Do đó, với z0 ∈ ∂D, ta có
∂j B(z0 ) = −B 0 (z0 )∂j r(z0 ),

Đặt

n

n

∂
,
r
∂zj
j

R=
j=1

∂j B(z0 ) = −B 0 (z0 )∂j r(z0 ) với 1 ≤ j ≤ n.

rj

R=
j=1

và

∂
,
∂z j

n
2

rij −

|∇r f | =:
i,j=1
n

ri rj
−r + |∂r|2r

rij ∂i f ∂j f −

=

ri = rij rj ,

i,j=1

(2.6)

rj = rij ri

(2.7)

∂i f ∂j f

|Rf |2
.
−r + |∂r|2r

Khi đó, dễ dàng thấy rằng |∇r r|2 = 0 trên ∂D. Vì vậy, bởi (1.21) ta có
−n

det H(ρ1 )(z) = J(r) n+1 det H(r) −

1
[∂i r∂j log J + ∂i log J(r)∂j r] − [∂i r∂j B + ∂i B∂j r] .
n+1

Mặt khác, Bổ đề 3.1 trong [8] nói rằng
det(In − A∗ B − B ∗ A) = |1 − A, B |2 − |A|2 |B|2

với A = (A1 , . . . , An ), B = (B1 , . . . , Bn ). Do vậy, tại z = z0 ∈ ∂D, ta nhận được
n

det H(ρ)(z 0 )J(r) n+1 (z 0 ) = det H(r)
n

− |∂r|2r

rij
i,j=1

1 − rij ∂i r

n

− |∂r|2r

rij

∂i log J(r)∂j log J(r)
(n + 1)2

i,j=1

n+1

2

− B 0 ∂j r

∂j log J(r)

∂i log J(r)
− B 0 ∂i r
n+1

R log J(r)
1−
+ B 0 |∂r|2r
n+1

=det H(r)

∂j log J(r)

n+1

− B 0 ∂j r

2

+ |∂r|2r 2Re B 0

R log J(r)
− |∂r|4r |B 0 |2
n+1

R log J(r)
|∂r|2r
=det H(r) 1 + 2B |∂r| − 2Re

−
|
n+1
(n + 1)2
0

=det H(r) 1 +
−

|∂r|2r
|
(n + 1)2

r

2

|∂r|2
n(n + 1)
log J(r)|2

log J(r) − 2Re
> 0.

18

R log J(r)
n+1

r

log J(r)|2


Chương 2. Phương trình Fefferman trên miền siêu giả lồi và ứng dụng
Bây giờ, giả sử rằng D là siêu giả lồi chặt, khi đó theo định nghĩa của
miền siêu giả lồi chặt, tồn tại hàm đa điều hòa dưới chặt r ∈ C 4 (D) sao cho bất
đẳng thức trên đúng trên ∂D. Ngược lại, giả sử ρ là hàm trơn xác định trên D
sao cho metric K¨ahler cảm sinh bởi u = − log(−ρ) là siêu tiệm cận Einstein thì
detH(ρ) = detH(ρ) > 0 trên ∂D. Theo Bổ đề 2 trong [14], ta có detH(ρ) đạt cực
tiểu trên D tại một điểm nào đó trong ∂D. Vì vậy, detH(ρ) > 0 trên D và chứng
minh (i) của Định lí 2.2 được hoàn thành.
Phần (ii) của Định lý 2.2 là hệ quả của phần (i) và kết quả trong [13] và
[14].

2.2

Mối liên hệ giữa các miền siêu giả lồi và các
miền lồi

Như đã nói ở phần mở đầu chương, trong mục này, chúng ta sẽ chứng minh
các khẳng định (i) và (ii) của Định lý 2.1. Trước khi trình bày chứng minh, ta
nhắc lại một số ký hiệu và khái niệm
log J(r) = log det H(r) + log(−r + |∂r|2r ),

(2.8)

∂(−r + |∂r|2r )
= −rk + ∂k (rij )ri rj + rij rik rj + rij ri rkj
∂zk

= −riq rpj rpqk ri rj + rij rik rj

(2.9)

= −rq rp rpqk + ri rik

và

∂ log J
∂ log det H(r) + log(−r + |∂r|2r )
=
∂zk
∂zk
=

ri rj
r −
−r + |∂r|2r
ij

ri rik
rijk +
,
−r + |∂r|2r

(2.10)

ta có
R log J(r)(z0 ) = rk ∆rk +

ri rk
rik .
|∂r|2r

(2.11)

Do đó
n

det H(ρ)(z 0 )J(r) n+1 (z 0 ) = det H(r) 1 −

19

2Re rk ri rik
+ E(r) ,
(n + 1)|∂r|2

(2.12)


Chương 2. Phương trình Fefferman trên miền siêu giả lồi và ứng dụng
trong đó
E(r) =:

rk ∆rk
|∂r|2
n| log J(r)|2
∆ log J(r) −
− 2nRe
n(n + 1)

n+1
|∂r|2r

.

(2.13)

Mệnh đề dưới đây đưa ra chứng minh của khẳng định (i) trong Định lý 2.1.
Mệnh đề 2.1. Cho D là một miền trơn, bị chặn trong không gian phức C. Khi
đó D là siêu giả lồi (chặt) nếu và chỉ nếu D là lồi (chặt).
Chứng minh. Cho r là hàm trơn xác định điều hòa dưới chặt trên D ⊂ C. Theo
(2.12) và (2.13), ta có a11 [r] = 0 và E(r) = 0 trên ∂D. Vì vậy, D là siêu giả lồi
chặt nếu và chỉ nếu
Sr (z) :=det H(r) 1 −

2
rk ri rik
Re
n+1
|∂r|2r

rk ri rik
=det H(r) 1 − Re
|∂r|2r

(2.14)

> 0 trên ∂D.

Tại mỗi điểm z = z0 ∈ ∂D bất kỳ cho trước, bằng cách sử dụng phép quay (nếu

cần), ta có thể giả sử rằng rn (z0 ) = r1 (z0 ) > 0. Do đó,
Sr (z0 ) = r11 − Re r11 (z0 )

(2.15)

là dương với mọi z0 ∈ ∂D nếu và chỉ nếu ∂D là lồi chặt; và không âm với mọi
z0 ∈ ∂D nếu và chỉ nếu ∂D là lồi.
Bây giờ ta đánh giá E(r).
Mệnh đề 2.2. Với kí hiệu trên, z ∈ ∂D, ta có
ri rik rj rjl
|∂r|2 akl [r]
2Re rk ∆rk
iq
pj
E(r) ≥
∆rkl − a [r]r rijk rpql − (∆rk )(∆rl ) − n
−
n(n + 1)
|∂r|4r
(n + 1)

(2.16)
và

E(r) ≤

rik rql
|∂r|2 akl
2Re rk ∆rk
∆rkl + aiq [r]rp rj rijk rpql + 2aiq [r]

−
.
n(n + 1)
|∂r|2
(n + 1)

Chứng minh. Ta sử dụng hai đồng nhất thức sau
(ri )l = (riq rq )l = rq (riq )l + riq rql = −rit rsq rstl rq + riq rql
= −rit rs rstl + riq rql

20

(2.17)


Chương 2. Phương trình Fefferman trên miền siêu giả lồi và ứng dụng
và
(rj )l = (rpj rp )l = −rq rij riql + δjl .

Theo (2.9) và (2.10), với z ∈ ∂D, ta có
∂ 2 log J(r)
=
∂zk ∂z l

rij −
+

ri rj
|∂r|2r

rijkl + rijk

∂
∂z l

rij −

ri rj
−r + |∂r|2r

ri rik
∂
∂z l (−r + |∂r|2r )

=∆rkl − rijk riq rpj rpql
∂(−r + |∂r|2r )
1
i j
i
r
r
−
r
r
)
(r
ik
(|∂r|2r )2 ijk
∂z l
rijk i j

1
−
(r (r )l + rj (ri )l ) +
(ri rikl + rik (ri )l )
2
|∂r|r
|∂r|2
+

=∆rkl − rijk riq rpj rpql
1
+
(r ri rj − ri rik )(−rq rp rpql + rq rql )
(|∂r|2r )2 ijk
rijk j
−
r (−rit rs rstl + riq rql ) + ri (−rq rpj rpql + δjl )
|∂r|2r
1
+
ri rikl + rik (−rit rs rstl + riq rql )
2
|∂r|
1
(r ri rj − ri rik )(rq rp rpql − rq rql )
=∆rkl − riq rpj rijk rpql −
(|∂r|2r )2 ijk
r
1
1 j iq

+
(rp rj riq + ri rq rpj )rpql rijk −
r r rql rilk − ilk2 ri
2
2
|∂r|r
|∂r|r
|∂r|r
1
+
ri rikl − rit rs rstl rik + riq rql rik
|∂r|2
=∆rkl − riq rpj rijk rpql −

ri rj rp rq
r r
|∂r|4r ijk pql

1
(ri rj rijk rq rql + rp rq rpql ri rik )
4
|∂r|r
1
(rp rj riq + ri rq rpj )rpql rijk
+
|∂r|2r
1
1
−
(ri rpj rpk rijl + rj riq rql rijk ) +

2
|∂r|r
|∂r|2r
+

21

riq −

ri rq
|∂r|2r

rql rik ,


Chương 2. Phương trình Fefferman trên miền siêu giả lồi và ứng dụng
do đó
∂ 2 log J(r)
=∆rkl −
∂zk ∂z l

riq −

ri rq
|∂r|2r
rpj −

−

1

|∂r|2r

ri

+

1
|∂r|2r

riq −

rpj −
rp rj
|∂r|2r

ri rq
|∂r|2r

rp rj
|∂r|2r

rijk rpql

rpk rijl + rj

riq −

ri rq
|∂r|2r

rql rijk

rql rik .

Với mỗi z ∈ ∂D, ta có
∆ log J(r)(z) ≥akl [r]∆rkl − akl [r]aiq [r]apj [r]rijk rpql
− akl [r]

1 kl
aiq [r] j
r rijk rp rpql + rki rql +
a [r]aiq [r]rql rik
2
2
|∂r|r
|∂r|r

=akl ∆rkl − akl [r]aiq [r]rpj rijk rpql

và
∆ log J(r)(z) ≤ akl ∆rkl + 2akl [r]aiq [r]

rik rql
|∂r|2

+ akl [r]aiq [r]rp rj rijk rpql .

Hơn nữa,

|

log J(r)|2 = akl [r] ∆rk +

ri rik
|∂r|2r

∆rl +

= akl [r] (∆rk )(∆rl ) + (∆rk )

rj rjl
|∂r|2r

rj rjl
|∂r|2r

+

j
ri rik r rjl
ri rik
+
∆r
.
|∂r|2r l |∂r|2r |∂r|2r

j
ri rik r rjl
n+1
≤ a [r]

(∆rk )(∆rl ) + (n + 1)
.
n
|∂r|2r |∂r|2r
kl

Do đó
∆ log J(r) −

n
|
n+1

log J|2

≥ akl [r] ∆rkl − aiq [r]rpj rijk rpql

− akl [r]

(∆rk )(∆rl ) + n

j
ri rik r rjl
|∂r|2r |∂r|2r

.

Vì vậy

E(r) ≥

|∂r|2 akl [r]
ri rik rjrjl
2Re rk ∆rk
∆rkl − aiq [r]rpj rijk rpql − (∆rk )(∆rl ) − n
−
n(n + 1)
|∂r|2r |∂r|2r
n+1

22


Chương 2. Phương trình Fefferman trên miền siêu giả lồi và ứng dụng
và
E(r) ≤

rik rql
|∂r|2 akl [r]
2Rerk ∆rk
∆rkl + aiq rp rj rijk rpql + 2aiq [r]
.
−
n(n + 1)
|∂r|2
n+1

Do vậy, chứng minh của mệnh đề đã hoàn thành.
Sử dụng mệnh đề trên, ta nhận được hệ quả sau đây và thực chất là chứng
minh cho khẳng định (ii) trong Định lý 2.1.

Hệ quả 2.1. Cho D là miền lồi trơn, bị chặn trong Cn . Nếu có một hàm xác
định đa điều hòa dưới r ∈ C 4 (D) sao cho
2Re rk ∆rk
n − 1 |∂r|2 akl [r]
+
∆rkl − aiq [r]rpj rijk rpql − (∆rk )(∆rl ) −
> 0 trên ∂D
n + 1 n(n + 1)
n+1

(2.18)
thì D là siêu giả lồi chặt.
Chứng minh. Nếu ∂D là lồi thì với bất kì hàm xác định đa điều hòa dưới chặt
r ∈ C 4 (D), ta có
kl
i
j
2
2
rk ri rik a [r]r rik r rjl
−
Re
−
trên ∂D.
n+1 n+1
|∂r|2
(n + 1)|∂r|2r

(2.19)

Vì
E(r) +

|∂r|2 akl [r]
1
akl [r]ri rik rj rjl =
n+1
n(n + 1)

× ∆rkl − aiq [r]rpj rijk rpql − (∆rk )(∆rl ) −

2Re rk ∆rk
n+1

2
n−1
=
, bởi (2.12), (2.18) và (2.19) ta có detH(ρ) > 0 trên ∂D. Điều
n+1
n+1
này suy ra ρ là đa điều hòa dưới chặt trên D bởi Bổ đề 2 trong [14].

và 1 −

2.3

Các phản ví dụ

Trong phần này, ta xét hai ví dụ trong C2 để chứng minh phần (iii) của
Định lý 2.1. Để chứng minh tính lồi chặt không suy ra tính siêu giả lồi, ta sẽ

xây dựng một phản ví dụ như dưới đây. Với δ = 4−12 , ta chọn hàm
δ

g(t) := gδ (t) :=

e− δ−t ,

nếu t < δ

0,

nếu t ≥ δ.

(2.20)

Đặt
r(z) = −2Re z2 + |z|2 − 8|z1 |4 g(|z1 |2 ),

23

z = (z1 , z2 ) ∈ C2 .

(2.21)